随机变量的协方差和相关系数

相关系数的性质：
1.| |1
由于方差D(Y)是正的,故必有
证: 由方差的性质和协方1 差 的2 ≥定0义, 所知,以 | | ≤1。 对任意实数 b, 有 0≤D(Y-bX)= b2D(X)+D(Y)-2b cov(X,Y )
令b cov(X,Y) ，则上式为 D(X)
D(Y- bX)= D(Y)[cov(X,Y)]2
注:协方差cov(X,Y)是X和Y的二阶混合中心矩.
六、例题讲解
1、设 X ~ N (,2 )Y ,~ N (,2 )，X 且 ， Y 相 设 互
试Z求 1XY和 Z2XY的相关 (其系 中 ， 数
是不全为零的常数）。
1、解 D (X)D (Y)2
D ( Z 1 ) D ( X Y ) 2 D ( X ) 2 D ( Y ) ( 2 2 ) 2 D ( Z 2 ) D ( X Y ) 2 D ( X ) 2 D ( Y ) ( 2 2 ) 2
这是一个非
排成矩阵的形式:
v v
11 21
v 12 v 22
负定对称矩阵
称此矩阵为（X1,X2）的协方差矩阵.
类似定义n 维随机变量(X1,X2, …,Xn) 的协方差矩阵.
若 vij co(X vi,Xj)E {X [i E (X i)] X j[ E (X j)]}
都存在, 则称
( i, j=1,2,…,n )
协方差的大小在一定程度上反映了X和Y相互间 的关系，但它还受X与Y本身度量单位的影响.
为了克服这一缺点，对协方差进行标准化，这 就引入了相关系数 .
二、相关系数
定义: 设D(X)>0, D(Y)>0, 称
XY
cov(X,Y) D(X)D(Y)
为随机变量 X 和 Y 的相关系数 .
在不致引起混淆时，记 XY 为 .
随机变量的协方差和相关系数
第三节 随机变量的协方差和相关系数
协方差
协方差矩阵 相关系数矩阵 原点矩、中心矩
前面我们介绍了随机变量的数学期望和方差， 对于二维随机变量（X，Y），我们除了讨论X与Y 的数学期望和方差以外，还要讨论描述X和Y之间 关系的数字特征，这就是本讲要讨论的
协方差和相关系数
一、协方差
11 12
矩阵
R
21
n1
22
n2
1n
2n
nn
这是一个非 负定对称矩阵
为(X1,X2, …,Xn) 的相关系数矩阵。
由于 ii
co(vXi,Xi) 1, D(Xi) D(Xi)
故相关系数矩阵的主对角元素均为1.
五、 原点矩和中心矩
定义 设X和Y是随机变量，若 E (X k)k , 1 ,2 ,
D(X)D(Y)
但由 0并不一定能推出X和Y 独立.
例1 设X~N(0,1), Y=X2, 求X和Y的相关系数。
4. 若 XY 0 ，则称X和Y（线性）不相关。
定理：若随机变量X与Y的数学期望和方差都存 在，且均不为零，则下列四个命题等价： （1） XY 0 ； （2）cov(X ,Y) = 0； （3）E(XY)=EXEY； （4）D(X ±Y)=DX+DY。
co X ,Y v ) ( (x E)X y ( E)fY (x ,y )dx .
2.简单性质
(1) cov(X,C)= 0, C为常数； (2) cov(X,X)= D(X) (3) cov(X,Y)= cov(Y,X) (4) cov(aX+b, Y) = a cov(X,Y) a, b 是常数 (5) cov(aX, bY) = ab cov(X,Y) a, b 是常数 (6) cov(X1+X2,Y)= cov(X1,Y) + cov(X2,Y) (7) D(X±Y)=D(X)+D(Y)±2cov(X,Y)
v11 v12
矩阵
V
v21 vn1
v22 vn2
v1n v2n vnn
为(X1,X2, …,Xn) 的协方差矩阵.
这是一个非 负定对称矩阵
四、相关系数矩阵
若
i j
cov(Xi, Xj )
D(Xi) D(Xj)
都存在, 则称
v Leabharlann Baiduj
( i, j=1,2,…,n )
vii v jj
D(X)
D(Y)1[[co(vX,Y)]2] D(Y)1[2]
D(X)D(Y)
2. XY 1
存在常数 a,b(b≠0)， 使 P{Y= a + b X}=1，
即 X 和 Y 以概率 1 线性相关.
3. X和Y独立时，=0，但其逆不真 .
证: 由于当X和Y独立时，cov(X,Y)= 0, 故
cov(X,Y) = 0
三、协方差矩阵
将二维随机变量（X1,X2）的四个数量指标
v11 E {X [1E (X 1)2 ]}
v 1 2 E { X 1 [ E (X 1 )X ]2 [ E (X 2 )]}
v 2 1 E { X 2 [ E (X 2 )X ] 1 [ E (X 1 )]}
v22 E {X [2E (X 2)2} ]
1.定义 E[ X-EX][Y-EY]称为随机变量X和Y的协方 差,记为cov(X,Y) ，即
cov(X,Y)=E[X-EX][Y-EY]=EXY-EXEY
1) 当(X,Y)是离散型随机变量时,
co X ,Y v ) ( (x i E)(y X j E)p Y i,j
ij
2) 当(X,Y)是连续型随机变量时,
注： X Y 反应了X与Y的线性关系密切程度；X与Y不相关
表明两者没有线性关系，但不等于说没有其他关系。
独立与不相关的关系： 若 X 与 Y 独立，则X与Y不相关， 但由X与Y不相关，不一定能推出X与Y独立.
但可以证明对下述情形，独立与不相关等价
若(X,Y)服从二维正态分布，则
X与Y独立 X与Y不相关
存在，称它为X的k阶原点矩，简称 k阶矩.
若 E { X E [ ( X ) k } k ] 2 , 3 , 存在，称它为X的k阶中心矩.
注：均值 E(X)是X一阶原点矩,
方差D(X)是X的二阶中心矩.
设 X 和 Y 是随机变量，若
E(XkYl ) k,l=1,2,… 存在，
称它为 X 和 Y 的 k+l 阶混合原点矩. 若 E {X [E (X )k] [YE (Y )l} ]存在， 称它为X 和 Y 的 k+l 阶混合中心矩.