滑移线理论及应用

3）混合问题
这是给定一条α线OA，和与之相交的另一 条不是滑移线的某曲线OB（可能是接触边 界线或变形区中的对称轴线）上倾角值
滑移线场绘制的 数值计算方法
1）特征线问题
这是给定两条相交的滑移线为初始线，求 作整个滑移线网的边值问题，即所谓黎曼 （Riemann）问题。
2）特征值问题
x y x点这y 的是应已力知分一量条（不为、滑移、线的）边的界初A始B上值任，一 求作滑移线场的问题，即所谓柯西 （Cauchy）问题。
一、汉盖第一定理 同族的两条滑移线与加族任意一条
滑移线相交两点的倾角差和静水压力 变化量均保持不变。 二、汉盖第二定理
一动点沿某族任意一条滑移线移动 时，过该动点起、始位置的另一族两 条滑移线的曲率变化量等于该点所移 动的路程
§8.4 应力边界条件和滑 移线场的绘制
应力边界条件 1）自由表面 2）光滑（无摩擦）接触表面 4）滑动摩擦接触表面 3）粘着摩擦接触表面
§8.2 汉盖（Hencky）应力方程——滑移线的沿
线力学方程
推导：
有平面应变问题的微分平衡方程
x yx 0
x y
xy y 0
x y
将式（8-3）代入上式，得
p 2k cos2 2k sin 2 0
x
x
y
p 2k sin 2 2k cos2 0
y
x
y
整理得表达成
滑移线理论及应用
§8.1 平面应变问题和滑移线场 §8.2 汉盖（Hencky）应力方程——滑
移线的沿线力学方程 §8.3 滑移线的几何性质 §8.4 应力边界条件和滑移线场的绘制 §8.5 三角形均匀场与简单扇形场组合
问题及实例 §8.6 双心扇形场问题及实例
§8.1 平面应变问题和滑移线场
（a）塑性流动平面（物理平面），（b）正交曲线坐标系的应力特点，（c）应力莫尔圆
图8-1 平面应变问题应力状态的几何表示
平面应变问题
根据平面流动的塑性条件， max k
（对Tresca塑性条件
k T /2 ；
对Mises塑性条件
k T / 3
）
于是，由图8-1c的几何关系可知，有
y p k sin 2 x p k sin 2 xy k cos 2
式中 ——静水压力 p( m ( x y ) / 2) ——定义为最大切应力 max( k) 方向
即在P点的
的，即 方向上取点，也可得
到一条折线
……，称为 线。
由图8-2可知，滑移线的微分方程为：
dy tg dx
对 线
对 线 dy tg( /) ctg
dx
图8-2 x-y坐标系与滑移经网络
滑移线理论法
滑移线理论法是一种图形绘制与数值计算相结合 的方法，即根据平面应变问题滑移线场的性质绘 出滑移线场，再根据精确平衡微分方程和精确塑 性条件建立汉盖（Hencky）应力方程，求得理想 刚塑性材料平面应变问题变形区内应力分布以及 变形力的一种方法。
根据塑性变形增量理论，平面塑性流动问题独立的应力分量
也只有三个（ x 、 y 、 xy ），于是平面应变问题的最大切应力 为：
max ( 1 3 ) / 2
[(
x
y
) / 2]2
2 xy
绘制滑移线
对于理想刚塑材料，材料的屈服切应力k为常数。
因此塑性变形区内各点莫尔圆半径（即最大切应
力 ）等于材料常数k。如图8-2所示，在x-y坐标平max 0
max k
0
1
2
面上任取一点P1，其
的，即 方向为
， (max) P1 P'2Fra Baidu bibliotek'3P'4
沿
方向上取一点P2，其 方向为
，
依此取点a2，其 线方向为 ，依次连续取下去，
直至塑性变形区的边界为止……，最后获得一条折线
P1-P2-P3-P4……，称为 线。按正、负两最大切
应力相互正交的性质，由P点沿与 的垂直方向上，
ab a b
pab pa pb
对 线取“+”号 对 线取“-”号
式中， pab 2k ab
上式表明，沿滑移线的静水压力差（ pab ）与滑移线 上相应的倾角差（ ab ）成正比。故式表明了滑移线的 沿线性质。
汉盖应力方程不仅体现了微分平衡方程，同时也满足 了塑性条件方程。
§8.3 滑移线的几何性质
与坐标轴Ox的夹角。
平面应变问题
对于平面塑性流动问题，由于某一方向上的位移分量为零 （设duZ=0），故只有三个应变分量（ d x 、d y 、d xy ），也称 平面应变问题。根据塑性流动法则，可知
Z 2 ( x y ) / 2 m p
式中， m 为平均应力；p称为静水压力。