11.幂函数与反比例函数(教师版)
初升高数学暑假衔接(人教版)第12讲 幂函数(教师版)
第12讲幂函数1．理解幂函数的概念；2．会画幂函数y x =，2y x =，3y x =，1y x -=，12y x =的图象，结合这几个幂函数的图象，理解幂函数图象的变化规律和性质；3．能解决与幂函数有关的复合函数问题。
一、幂函数的概念1、幂函数的概念：把形如函数y ＝x α的函数称为幂函数，其中x 是自变量，α是常数．2、幂函数需要满足三个条件：（1）系数为1；（2）指数α为常数；（3）后面不加任何项。
例如3y x =，1x y x +=，21y x =+等的函数都不是幂函数．二、幂函数的图象同一坐标系中，幂函数y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝x －1，=12的图象(如图)．三、幂函数的性质1、所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点(1,1)；2、如果α＞0，那么幂函数的图象过原点，并且在区间[0，＋∞)上单调递增；3、如果α＜0，那么幂函数的图象在区间(0，＋∞)上单调递减，在第一象限内，当x 从右边趋向于原点时，图象在y 轴右方无限接近y 轴，当x 从原点趋向于＋∞时，图象在x 轴上方无限接近x 轴；4、在(1，＋∞)上，随幂指数的逐渐增大，图象越来越靠近y 轴．四、画幂函数图象的技巧（类比具体幂函数）1、当0a <时，函数图象与坐标轴没有交点，类似于1y x -=的图象；2、当01a <<时，函数的图象向x 轴弯曲，类似于的12y x =图象；3、当1a >时，函数的图象向y 轴弯曲，类似于3y x =的图象。
再结合函数的奇偶性就容易知道它们的图象了。
考点一：判断是否为幂函数例1．下列函数为幂函数的是（）A ．22y x =B ．221y x =-C ．2y x=D ．2=y x 【答案】D【解析】由幂函数的定义可知：2=y x 是幂函数，22y x =，221y x =-和2y x=的系数不为1，故不是幂函数，故选：D【变式训练】现有下列函数：①3y x =；②12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭；③24y x =；④51y x =+；⑤()21y x =-；⑥y x =；⑦(1)x y a a =>，其中幂函数的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【解析】幂函数满足a y x =形式，故3y x =，y x =满足条件，共2个故选：B考点二：根据函数是幂函数求参数例2．已知幂函数f(x)＝x(α为常数)的图象经过点(，则f(9)＝（）A ．3-B ．13-C ．3D ．13【答案】C【解析】由题意f （2）＝2α122=2，所以α＝12，所以f (x )所以f (9) 3.故选：C【变式训练】幂函数()()23mx m x f =-在第一象限内是减函数，则m =（）A ．2BC ．D ．2-【答案】D【解析】由幂函数的定义可知231m -=，解得2m =±，由幂函数的单调性可知0m <，所以2m =-．故选:D ．考点三：幂函数的定义域问题例3．函数()112f x x x -=+的定义域为（）A ．(),-∞+∞B ．()(),00,∞-+∞U C ．[)0,∞+D ．()0,∞+【答案】D【解析】因为()1121f x x x x -=+=，则00x x ≠⎧⎨≥⎩，可得0x >，故函数()f x 的定义域为()0,∞+.故选：D.【变式训练】给出5个幂函数：①2y x -=；②45y x =；③14y x =；④23y x =；⑤45y x -=，其中定义域为R 的是（）A ．①②B ．②③C ．②④D ．③④【答案】C【解析】①221y x x -==的定义域为{}|0x x ≠，不符合.②45y x ==R ，符合.③14y x =={}|0x x ≥，不符合.④23y x ==R ，符合.⑤54y x-==的定义域为{}|0x x ≠，不符合.所以符合的是②④.故选：C考点四：幂函数的图象判断与应用例4．如图，下列3个幂函数的图象，则其图象对应的函数可能是（）A ．①1y x -=，②12y x =，③13y x =B ．①1y x -=，②13y x =，③12y x =C ．①13y x =，②12y x =，③1y x -=D ．①13y x =，②1y x -=，③12y x =【答案】A【解析】由函数11y x x-==是反比例函数，其对应图象为①；函数12y x x ==(0,)+∞，应为图②；因为13y x =的定义域为R 且为奇函数，故应为图③.故选：A.【变式训练】如图所示，图中的曲线是幂函数n y x =在第一象限的图象，已知n 取2±，12±四个值，则相应于1C ，2C ，3C ，4C 的n 依次为（）A ．2-，12-，12，2B ．2，12，12-，2-C ．12-，2-，2，12D ．2，12，2-，12-【答案】B【解析】根据幂函数n y x =的性质，在第一象限内的图象:当0n >时，n 越大，n y x =递增速度越快，故1C 的2n =，2C 的12n =；当0n <时，n 越大，曲线越陡峭，所以曲线3C 的12n =-，曲线4C 的2n =-.故选:B考点五：幂函数图象过定点例5．当R α∈时，函数2y x α=-的图象恒过定点A ，则点A 的坐标为________．【答案】()1,1-【解析】由于对任意的R α∈，y x α=恒经过点()1,1，所以函数2y x α=-的图象恒过定点()1,1A -,故答案为：()1,1-【变式训练】不论实数a 取何值，函数()12ay x =-+恒过的定点坐标是___________．【答案】(2,3)【解析】因为11a =，故当11x -=，即2x =时，3y =，即函数()12ay x =-+恒过定点(2,3).故答案为：(2,3).考点六：幂函数的单调性与奇偶性例6．下列函数中，在区间(,0]-∞上为增函数的是（）A ．1y x=B ．2y x =-C ．y =D ．3y x =-【答案】B【解析】由于1y x=在(,0)-∞为单调递减函数，在0x =时无意义，A 错误；2y x =-在(,0]-∞为单调递增函数，B 正确；y =定义域为[0,)+∞，在(,0)-∞无意义，C 错误；3y x =-在(,0]-∞为单调递减函数，D 错误，故选：B【变式训练1】已知幂函数()f x 的图象经过点19,3⎛⎫⎪⎝⎭，则()f x 在定义域内（）A ．单调递增B ．单调递减C ．有最大值D ．有最小值【答案】B【解析】设()f x x α=，则()1993f α==，所以12α=-，即()12f x x -==则函数()f x 的定义域为()0,∞+，且在定义域内单调递减，没有最大值和最小值.故选：B.【变式训练2】已知幂函数()()21mf x m m x =+-的图象关于y 轴对称，则m 的值为_________．【答案】2-【解析】由已知得211m m +-=，解得2m =-或1m =，当2m =-时，()2f x x -=，其图象关于y 轴对称，当1m =时，()f x x =，其图象关于原点对称.故答案为：2-考点七：利用幂函数单调性解不等式例7．已知幂函数1101 ()f x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，若()()182f a f a -<-，则a 的取值范围是__________.【答案】(3,4)【解析】由幂函数1110101()f x x x -⎛⎫== ⎪⎝⎭，可得函数()f x 的定义域为(0,)+∞，且是递减函数，因为()()182f a f a -<-，可得18210820a aa a ->-⎧⎪->⎨⎪->⎩，解得34a <<，即实数a 的取值范围为(3,4).故答案为：(3,4).【变式训练】若幂函数()f x 过点()42，，则满足不等式()()21f a f a ->-的实数a 的取值范围是______．【答案】312⎡⎫⎪⎢⎣⎭，【解析】设幂函数()y f x x α==，其图像过点()42，，则42α=，解得12α=；∴()12f x x =，函数定义域为[)0,∞+，在[)0,∞+上单调递增，不等式()()21f a f a ->-等价于210a a ->-≥，解得312a ≤<；则实数a 的取值范围是31,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭.故答案为：31,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭考点八：幂函数的综合应用例8．已知幂函数()223(22mm y f x x m --+==-<<，且)m Z ∈满足：①在区间()0,∞+上是增函数；②对任意的x ∈R ，都有()()0f x f x -+=.（1）求同时满足①②的幂函数()f x 的解析式，（2）在（1）条件下，求[]0,3x ∈时()f x 的值域.【答案】（1）()3f x x =；（2）[]0,27【解析】（1）对任意的x ∈R ，都有()()0f x f x -+=，∴()f x 是奇函数.22m -<<且m ∈Z ，则当1m =-时，()2f x x =，满足①不满足②；当0m =时，()3f x x =，满足①②；当1m =时，()1f x =，不满足①②.故幂函数()f x 的解析式为()3f x x =；（2）[]0,3x ∈，()[]30,27f x x =∈，故()f x 的值域为[]0,27.【变式训练】已知幂函数()223m m f x x --=(m ∈Z)的图象关于y 轴对称，且在()0,+∞上是单调递减函数．（1）求m 的值；（2）解不等式()()122f x f -≥．【答案】（1）1m =；（2）1113,,2222⎡⎫⎛⎤-⋃⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦【解析】（1）因为幂函数()223mm f x x --=(m ∈Z )的图象关于y 轴对称，所以函数()f x 是偶函数，223m m ∴--为偶数，22m m ∴-为奇数，因为函数在()0,+∞上是单调递减函数，所以2230m m --<，解得13m -<<，因为m ∈Z ，则0m =，1，2，当0m =时，220m m -=为偶数，舍去；当1m =时，221m m -=-为奇数，当2m =时，220m m -=为偶数，舍去；故1m =；（2）由（1）可得()4f x x -=，定义域为{|0}x x ≠，且在()0,+∞上是单调递减函数，()f x 为偶函数，又()()122f x f -≥，即122x -≤，且120x -≠，解得1322x -≤≤且12x ≠，所以不等式的解集为1113,,2222⎡⎫⎛⎤-⋃⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦．1．下列函数，既是幂函数，又是奇函数的是（）A ．()3f x x=-B ．()f x x=C ．()41f x x =D ．()5f x x=【答案】D【解析】根据幂函数的定义：形如()R ay x a =∈的函数是幂函数，排除A ；()f x x [0,)+∞，不关于原点对称，所以是非奇非偶的函数，所以排除B;()41f x x =是偶函数，所以排除C ；()5f x x =，既是幂函数，又是奇函数，所以选D.故选：D.2．已知幂函数的图象经过点116,4P ⎛⎫⎪⎝⎭，则该幂函数的大致图象是（）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】设幂函数的解析式为y x α=，因为该幂函数的图象经过点116,4P ⎛⎫⎪⎝⎭，所以1164α=，即4222α-=，解得12α=-，即函数12y x -=，也即()1f x x =则函数的定义域为{}0xx >∣，所以排除选项CD ；又()11=>f ()122f B ，故选：A.3．幂函数的图象过点12,4⎛⎫⎪⎝⎭，则下列说法正确的是（）A ．偶函数，单调递增区间()0,+∞B ．偶函数，单调递减区间[)0,+∞C ．偶函数，单调递增区间(),0-∞D ．奇函数，单调递增区间(),-∞+∞【答案】C【解析】设幂函数为()a f x x =，则124a=，解得2a =-，所以2()f x x -=，定义域为()(),00,-∞⋃+∞，关于原点对称，又()()21f x f x x -==，故()f x 为偶函数；显然其单调增区间为(),0-∞.故选：C.4．幂函数a b c d y x y x y x y x ====，，，在第一象限的图像如图所示，则a b c d ，，，的大小关系是（）A ．a b c d >>>B ．d b c a >>>C ．d c b a >>>D ．b c d a>>>【答案】D【解析】根据幂函数的性质，在第一象限内，1x =的右侧部分的图像，图像由下至上，幂指数增大，所以由图像得：b c d a >>>，故选：D5．（多选）下列关于函数的描述中，正确的是（）A ．y =是幂函数B ．12x y +=是指数函数C ．22log y x =是对数函数D ．21)y =不是二次函数【答案】ACD【解析】因为13y x ==，所以y =是幂函数;因为1222x x y +==⋅，所以12x y +=不是指数函数;因为22log y x x ==，所以22log y x =是对数函数;21)1y x ==-+不是二次函数．故选：ACD.6．（多选）下列函数为幂函数的是（）A ．132y x =B ．0y x =C ．()21y x =+D ．1y x -=【答案】BD【解析】根据幂函数的定义可得结果.故选：BD.7．（多选）下列关于幂函数说法正确的是（）A ．图像必过点(1,1)B ．可能是非奇非偶函数C ．都是单调函数D ．图像不会位于第四象限【答案】ABD【解析】幂函数的解析式为()ay x a =∈R ，当1x =时，无论a 取何值，都有1y =，图像必过点()1,1，A 选项正确；当2a =时，2y x =，定义域为R ，此函数为偶函数，当12a =时，y ={}0x x ≥，此函数为非奇非偶函数，所以可能是非奇非偶函数，B 选项正确；当2a =时，2y x =，此函数先单调递减再单调递增，则都是单调函数不成立，C 选项错误；当0x >时，无论a 取何值，都有0y >，所以图像不会位于第四象限，D 选项正确；故选：ABD.8．已知幂函数()f x 的图象经过点⎛ ⎝⎭，则(4)f 的值为________．【答案】12/0.5【解析】设幂函数()y f x x α==，的图象过点(2,2，即2α=12α=-，所以12()f x x -=.所以f （4）12142-==.故答案为：12.9．已知函数()2+af x x =（a 为不等于0的常数）的图象恒过定点P ，则P 点的坐标为_______.【答案】()1,3【解析】因为a y x =的图象恒过()1,1，所以()2+af x x =的图象恒过定点()1,3P .故答案为：()1,310．已知幂函数()()2211mm f x m m x+-=--在()0,∞+上是减函数，则实数m 值是______.【答案】1-【解析】因为幂函数()()2211mm f x m m x+-=--在()0,∞+上是减函数，所以221110m m m m ⎧--=⎨+-<⎩，解得1m =-.故答案为：1-11．已知函数()nf x x =的图像经过点()2,8，若()()210f x f x +-<，则x 的取值范围为__________.【答案】}{1x x <-【解析】因为幂函数()n f x x =的图像过点(2,8)，所以3n =，3()f x x =，易知函数3()f x x =在R 上是奇函数，且单调递增，所以()()210f x f x +-<可化为()()21f x f x <-，即21x x <-，解得1x <-，故取值范围为}{1x x <-.故答案为：}{1x x <-12．已知幂函数()f x 的图像经过111(1,1),3,,,924A B C D ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭四点中的两点，且()f x 在(0,)+∞上为减函数．（1）求()f x 的解析式；（2）若(1)(23)f a f a +=-，求实数a 的值．【答案】（1）2()f x x -=；（2）实数a 的值为4或23．【解析】（1）解法一：设()a f x x =，易知幂函数()f x 的图像必过点(1,1)B ，当幂函数()f x 的图像经过点A 时，1222α==，所以12α=，12()f x x =在(0,)+∞上为增函数，不符合题意；当幂函数()f x 的图像经过点13,9C ⎛⎫ ⎪⎝⎭时，21339a -==，所以2α=-，2()f x x -=在(0,)+∞上为减函数，符合题意；当幂函数()f x 的图像经过点11,24D ⎛⎫ ⎪⎝⎭时，2111242α⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以2α=，2()f x x =在(0,)+∞上为增函数，不符合题意：故2()f x x -=；解法二：设()f x x α=，易知幂函数()f x 的图像必过点(1,1)B ，因为()f x 在(0,)+∞上为减函数，所以13,9C ⎛⎫ ⎪⎝⎭在()f x 的图像上，所以21339α-==，所以2α=-，故2()f x x -=；（2）易知2()f x x -=的定义域为{}0x x ≠，且为偶函数，由(1)(23)f a f a +=-可得，|1||23|0a a +=-≠，解法一：两边平方整理得，231480a a -+=，解之得23a =或4a =．故实数a 的值为4或23．解法二：123a a +=-或1(23)a a +=--，解之得4a =或23a =．故实数a 的值为4或23．13．已知幂函数()()()2246101,Z,R n n f x m m x n n m -+=-+>∈∈的图象关于y 轴对称，且在()0,∞+上单调递增.（1）求m 和n 的值；（2）求满足不等式()()32231n m a a --+<-的a 的取值范围.【答案】（1）3m =，2n =；（2）3(4)(1)2，，--+∞ 【解析】（1）∵()()224610n n f x m m x -+=-+是幂函数224()(610)n n f x m m x -+=-+，∴26101m m -+=，解得m =3.由()f x 在()0,∞+上单调递增得240n n -+>，解得04n <<.∵1，n n >∈Z ，∴2n =或3n =.当2n =时，函数4()f x x =，图象关于y 轴对称，符合题意.当3n =时，函数3()f x x =，图象关于原点对称，不合题意.综上，3m =，2n =.（2）由（1）得3m =，2n =，∴11(23)(1)a a --+<-.∵函数1y x -=在(0)-∞，和(0)，+∞上均单调递减，∴当0x >时，10y x -=>，当0x <时，10y x -=<.∴满足不等式的条件为0123a a <-<+或1230a a -<+<或2301a a +<<-，解得342a -<<-或1a >，∴满足不等式32(23)(1)m n a a --+<-的a 的取值范围3(4)(1)2，，--+∞ .1．下列函数中不是幂函数的是()A ．y =B ．3y x =C ．3y x=D ．1y x -=【答案】C 【解析】A 选项中，12y x ==，故它是幂函数．B 选项是幂函数．C 选项x 的系数为3，所以它不是幂函数．D 选项是幂函数．2．下列函数是幂函数的是（）A ．22y x =B ．1y x -=-C ．31y x =D ．2xy =【答案】C【解析】形如y x α=（α为常数且R α∈）为幂函数，所以，函数331=xy x -=为幂函数，函数22y x =、1y x -=-、2x y =均不是幂函数.故选：C.3．若幂函数()()223265m f x m m x --+＝的图象与x 轴没有交点，则()f x 的图象（）A ．关于原点对称B ．关于x 轴对称C ．关于y 轴对称D ．不具有对称性【答案】A 【解析】∵幂函数()()223265m f x m m x --+＝的图象与x 轴没有交点，∴22651m m -+=，且230m -<，解得1m=.∴()1f x x=是奇函数，其图象关于原点对称.故选：A 4．在下列幂函数中，是偶函数且在()0,∞+上是严格增函数的是（）．A ．2y x -=B ．12y x -=C ．13y x =D ．23y x =【答案】D【解析】函数2y x -=为偶函数，在()0,∞+上是严格减函数，A 错，函数12y x -=不是偶函数，在()0,∞+上是严格减函数，B 错，函数13y x =是奇函数，在()0,∞+上是严格增函数，C 错，函数23y x =是偶函数，在()0,∞+上是严格增函数，D 对，故选：D.5．已知幂函数()y f x =的图象过点24⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，则下列关于()f x 说法正确的是（）A ．奇函数B ．偶函数C ．在(0,)+∞单调递减D ．定义域为[0,)+∞【答案】C【解析】设幂函数(),R y f x x αα==∈，由题意得：32,42αα==-，故32()y f x x -===(0,)+∞，故D 错误；定义域不关于原点对称，()y f x =为非奇非偶函数，A ，B 错误；由于302-<，故32()y f x x -==在(0,)+∞单调递减，C 正确，故选：C 6．函数54y x =的图像可能是（）A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】由题意知，函数54y x ==50x ≥，解得0x ≥，故函数的定义域为[)0,∞+，又514>，结合幂函数的性质，可得选项C 符合题意．故选：C 7．如图是幂函数y x α=的部分图像，已知α分别取113333--、、、这四个值，则与曲线1234C C C C 、、、相应的α依次为（）A ．113333--、、、B ．113333--、、、C ．113333--、、、D ．113333--、、、【答案】A 【解析】当a<0时，幂函数y x α=在第一象限内单调递减，当0a >时，幂函数y x α=在第一象限内单调递增，所以123400C C C C ><、，、，当1x >时，幂函数y x α=在第一象限内单调递增，所以113333x x x x --<<<，所以相应曲线1234C C C C 、、、的α依次为113333--，，，.故选：A8．已知幂函数()f x 的图像过点(，则()8f =______.【答案】4【解析】设幂函数()f x x α=，故2333α==，解得：23α=，则()23f x x =，则()23884f ==.故答案为：49．若函数25(3)m y m x -=-是幂函数，则当12x =时的函数值为______．【答案】2【解析】由于函数25(3)m y m x -=-是幂函数，所以31,2m m -==，则1y x -=，所以当12x =时，2y =.故答案为：210．已知()(21)1n f x x =-+，则函数()y f x =的图象恒过的定点P 的坐标为__．【答案】(1,2)【解析】令211x -=，得1,2x y ==，故函数()f x 图象过定点(1,2)P ，故答案为：(1,2)11．已知幂函数()()211432()1t t f x t t x --=-+(Z t ∈)是偶函数，且在(0,)+∞上是增函数，则函数的解析式为_______．【答案】()2f x x=【解析】由()f x 是幂函数，则311t t -+=，解得1t =-或0=t 或1t =.当0=t 时，12()f x x =是非奇非偶函数，不满足题意；当1t =时，2()f x x -=是偶函数，但在(0,)+∞上递减，不满足题意；当1t =-时，2()f x x =是偶函数且(0,)+∞上递增，满足题意．综上，实数t 的值为1-，所求解析式为2()f x x =.故答案为：2()f x x =12．已知幂函数()()()2157R m f x m m x m --=-+∈为奇函数.（1）求12f ⎛⎫ ⎪⎝⎭的值；（2）若()()21f a f a +>，求实数a 的取值范围.【答案】（1）8；（2）1a <-或102a -<<.【解析】（1）由2571m m -+=，得2m =或3m =，当2m =时，()3f x x -=是奇函数，满足题意，当3m =时，()4f x x -=是偶函数，不满足题意，所以()3f x x -=，311822f -⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（2）因为()3f x x -=的定义域为()(),00,∞-+∞U ，单调减区间为(),0∞-，()0,∞+，由()()21f a f a +>，可得210a a +<<或021a a <+<或210a a +>>，解得1a <-或102a -<<，所以实数a 的取值范围为1a <-或102a -<<.13．已知幂函数()()226Z m m f x x m --=∈在区间()0,∞+上是减函数．（1）求函数()f x 的解析式；（2）讨论函数()f x 的奇偶性和单调性；（3）求函数()f x 的值域．【答案】（1）()3f x x -=或()6f x x -=或()5f x x -=；（2）答案见解析；（3）答案见解析【解析】（1）依题意2260m m --<，即()()2320m m +-<，解得322m -<<，因为m ∈Z ，所以1m =-或0m =或1m =，所以()3f x x -=或()6f x x -=或()5f x x-=（2）若()3f x x -=定义域为()(),00,∞-+∞U ，则()3f x x -=为奇函数，且在(),0∞-和()0,∞+上单调递减；若()6f x x -=定义域为()(),00,∞-+∞U ，则()6f x x -=为偶函数，且在(),0∞-上单调递增，在()0,∞+上单调递减；若()5f x x -=定义域为()(),00,∞-+∞U ，则()5f x x -=为奇函数，且在(),0∞-和()0,∞+上单调递减；（3）若()3f x x -=，则()f x 为奇函数，当0x >时()()0,f x ∞∈+，所以0x <时()(),0f x ∈-∞，所以函数的值域为()(),00,∞-+∞U ；若()6f x x -=，则()f x 为偶函数，当0x >时()()0,f x ∞∈+，所以0x <时()()0,f x ∞∈+，所以函数的值域为()0,∞+；若()5f x x -=，则()f x 为奇函数，当0x >时()()0,f x ∞∈+，所以0x <时()(),0f x ∈-∞，所以函数的值域为()(),00,∞-+∞U .。
3.4 幂函数-(必修第一册) (教师版)
幂函数1 定义一般地，形如y =x α的函数称为幂函数，其中x 是自变量，α为常数．2 常见幂函数图像3 性质① 所有的幂函数在(0 ,+∞ )都有定义，并且图象都过点(1 ,1)；② α>0时，幂函数的图象通过原点，并且在[0 ,+∞ )上是增函数．特别地，当α>1时，幂函数变化快，图象下凹；当0<α<1时，幂函数变化慢，图象上凸；③ α<0时，幂函数的图象在(0 ,+∞ )上是减函数．在第一象限内，当x 从右边趋向原点时，图象在y 轴右方无限地逼近y 轴正半轴，当x 趋于+∞时，图象在x 轴上方无限地逼近x 轴正半轴．【典题1】已知幂函数f(x)过点(2 ,√22)则 ( ) A ．f(x)=x −12，且在(0 ,+∞)上单调递减 B ．f(x)=x −12，且在(0 ,+∞)单调递增C ．f(x)=x 12且在(0 ,+∞)上单调递减D ．f(x)=x 12，且在(0 ,+∞)上单调递增 【解析】∵幂函数f(x)=x a 过点(2 ,√22)， ∴f(2)=2a =√22，解得a =−12， ∴f(x)=x −12，在(0 ,+∞)上单调递减．故选：A．【点拨】利用待定系数法求解函数解析式.【典题2】下列命题中：①幂函数的图象都经过点(1 ,1)和点(0 ,0)；②幂函数的图象不可能在第四象限；③当n=0时，幂函数y=x n的图象是一条直线；④当n>0时，幂函数y=x n是增函数；⑤当n<0时，幂函数在第一象限内的函数值随x的值增大而减小．其中正确的是()A．①和④B．④和⑤C．②和③D．②和⑤【解析】①幂函数的图象都经过点(1 ,1)，但不一定经过点(0 ,0)，比如y=1x，故错误；②幂函数的图象不可能在第四象限，故正确；③当n=0时，幂函数y=x n的图象是一条直线去除(0 ,1)点，故错误；④当n>0时，如y=x2，幂函数y=x n在(0 ,+∞)上是增函数，但在整个定义域为不一定是增函数，故错误；⑤当n<0时，幂函数y=x n在(0 ,+∞)上是减函数，即幂函数在第一象限内的函数值随x的值增大而减小，故正确．故选：D．【典题3】如图所示是函数y=x mn(m、n∈N∗且互质)的图象，则()A．m、n是奇数且mn <1B．m是偶数，n是奇数，且mn>1C．m是偶数，n是奇数，且mn <1 D．m、n是偶数，且mn>1【解析】∵函数y=x mn的图象的图象关于y轴对称，故n为奇数，m为偶数，在第一象限内，函数是凸函数，故mn<1，故选：C.巩固练习1(★)已知幂函数f(x)的图象经过点(2 ,√22)，则f(4)的值为．【答案】12【解析】∵幂函数f(x)=x a过点(2，√22 )，∴f(2)=2a=√22，解得a=−12，∴f(x)=x−12，∴f(4)=12.2(★)已知α∈{−2 ,−1 ,−12 ,12,1 ,2 ,3}，若幂函数f(x)=xα为奇函数，且在(0 ,+∞)上递减，则α=．【答案】−1【解析】∵α∈{−2，−1，−12，12，1，2，3}，幂函数f(x)=xα为奇函数，且在(0，+∞)上递减，∴a是奇数，且a<0，∴a=−1．3(★)图中曲线是幂函数y=x n在第一象限的图象，已知n取±2 ,±12四个值，则相应于曲线C1，C2 ,C3 ,C4的n依次为()A．−2 ,−12 ,12,2B．2 ,12,−2 ,−12C．−12,−2 ,2 ,12D．2 ,12,−12,−2【答案】D【解析】根据指数函数的单调性，x>1时，x2>x 12>x−12>x−2，∴相应于曲线C1，C2，C3，C4的n依次为2，12，−12，−2．故选：D ．4(★★) 已知幂函数y =x p q ，(p ,q ∈Z)的图象如图所示，则( )A ．p ,q 均为奇数，且p q >0B ．q 为偶数，p 为奇数，且p q <0C ．q 为奇数，p 为偶数，且p q >0D ．q 为奇数，p 为偶数，且p q <0【答案】 D【解析】因为函数为偶函数，所以p 为偶数，且由图象形状判定p q <0．又因p 、q 互质，所以q 为奇数．所以选D ．5(★★) 已知幂函数f(x)=x m 2−2m−3(m ∈Z)的图象关于原点对称，且在(0 ,+∞)上是减函数，则m =( )A ．0B ．0或2C ．0D ．2【答案】B【解析】幂函数f(x)=x m 2−2m−3(m ∈Z)在(0，+∞)上是减函数， 则m 2﹣2m ﹣3<0，解得﹣1<m <3；又m ∈Z ，∴m =0，1，2；当m =0时，f(x)=x ﹣3，图象关于原点对称；当m =1时，f(x)=x ﹣4，其图象不关于原点对称；当m =2时，f(x)=x ﹣3，其图象关于原点对称；综上，m 的值是0或2．故选：B ．。
新人教A版必修1《幂函数》教案
-强调幂函数的单调性、奇偶性、过定点等性质。
-结合具体幂函数，如f(x) = x^2、f(x) = x^3等，讲解其性质并举例说明。
-核心内容三：常见幂函数的图像与性质
-详细分析正比例函数、反比例函数、二次函数、三次函数的图像及其性质。
-引导学生观察图像，总结性质，并能运用性质解决相关问题。
2.教学难点
4.数学抽象：帮助学生从具体实例中抽象出幂函数的一般规律，培养学生的数学抽象思维。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-核心内容一：幂函数的定义及其一般形式
-重点讲解幂函数的一般形式f(x) = x^a，强调a为常数的特点。
-通过实例展示，让学生理解不同a值对应的幂函数图形差异。
-核心内容二：幂函数的性质
-难点三：幂函数在实际问题中的应用
-学生可能不知道如何将幂函数应用于实际问题，如计算面积、体积等。
-教师应设计相关实际问题，引导学生运用幂函数知识解决问题，提高应用能力。
-难点四：幂函数性质的应用与拓展
-学生可能难以将幂函数性质应用于更广泛的数学问题。
-教师可通过举例，如数学竞赛题等，展示幂函数性质在更复杂问题中的应用，拓展学生思维。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解幂函数的基本概念。幂函数是形如f(x) = x^a的函数，其中a为常数。幂函数在数学中具有重要地位，广泛应用于实际问题中。
幂函数与反比例函数教学方法总结
幂函数与反比例函数教学方法总结数学教学中的幂函数与反比例函数是常见的两类函数，它们的特点和应用广泛且重要。
本文将从教学方法的角度，对幂函数与反比例函数的教学进行总结和分析。
一、幂函数的教学方法幂函数是基于幂运算的函数，通常表示为y = ax^b，其中a和b为实数，且a ≠ 0，x为自变量，y为函数值。
在幂函数的教学中，我们应注重以下几个方面的方法和技巧。
1. 引入生活实例和应用场景幂函数常见于许多自然现象和实际问题中，例如人口增长、物体的面积和体积关系等。
在教学中，可以通过引入一些生活实例和应用场景，使学生能够将幂函数与实际问题联系起来，从而提高学习的兴趣和理解的深度。
例如，可以通过引入人口增长问题，让学生了解到幂函数在描述人口增长趋势中的重要性。
2. 图像展示与分析图像是学生理解幂函数特性的重要工具。
在教学中，可以通过绘制幂函数的图像，让学生直观地感受函数曲线的形态和变化规律。
同时，可以通过观察图像，引导学生分析函数的特性，如定义域、值域、单调性、对称性等。
这样有助于学生建立起对幂函数的整体认知。
3. 探索幂指数的作用幂指数b是幂函数中的关键参数，它决定了函数曲线的走势。
在教学中，可以通过让学生改变幂指数的值，并观察其对函数图像的影响，引导学生发现和总结幂指数与函数的关系。
通过探索的过程，让学生能够理解和掌握幂指数对幂函数图像的控制作用。
二、反比例函数的教学方法反比例函数是指满足y = k/x的函数，其中k为常数。
在教学反比例函数时，我们可以采用以下方法和技巧来提高学生对反比例函数的理解和掌握。
1. 引入实际问题反比例函数常见于一些实际问题中，例如速度与时间的关系、工作人员完成一项任务所需时间与人数的关系等。
在教学中，可以通过引入这些实际问题，让学生将反比例函数与实际问题相联系，从而提高学习的兴趣和动力。
例如，可以让学生通过实际调研，了解到人均用水量与居民数量的关系，进而理解反比例函数的概念和特性。
高中数学备课教案幂函数与反比例函数的基本性质与像
高中数学备课教案幂函数与反比例函数的基本性质与像敬爱的数学教师：以下是我为您准备的关于幂函数与反比例函数的基本性质与像的备课教案，请您审阅：一、幂函数的基本性质与像（1）定义：幂函数是指函数y = f(x) = ax^n，其中a和n是实数常数，且n≠0。
当n>0时，幂函数是指数函数的延伸；当-n<1时，则称其为幂函数。
（2）幂函数与图像：幂函数的图像特点如下：a）当n为正偶数时，函数的图像呈现出类似开口向上的U形。
例如，当n=2时，函数图像为抛物线；当n=4时，函数图像为双曲线。
b）当n为正奇数时，函数的图像呈现出类似S形。
例如，当n=3时，函数图像为倒开口向上的抛物线。
c）当n为负数时，函数的图像在定义域上根据a的正负而有所不同。
（3）幂函数的性质：a）定义域：当n>0时，幂函数的定义域是全体实数；当n<0时，幂函数的定义域是正实数。
b）值域：幂函数的值域与定义域有关，根据n的奇偶性和a的正负性决定。
二、反比例函数的基本性质与像（1）定义：反比例函数是指函数y = f(x) = k/x，其中k为常数，且k≠0。
（2）反比例函数与图像：反比例函数的图像特点如下：a）图像经过原点（0,0）。
b）当x不等于0时，函数的图像为开口向右下或开口向左上的双曲线。
c）当k>0时，函数的图像开口朝右上和左下；当k<0时，函数的图像开口朝右下和左上。
（3）反比例函数的性质：a）定义域：反比例函数的定义域是除了x=0的全体实数。
b）值域：反比例函数的值域是除了y=0的全体实数。
三、幂函数与反比例函数的比较（1）定义：幂函数和反比例函数都属于函数的一种，是数学中常见的特殊函数形式。
（2）图像比较：a）幂函数和反比例函数在图像表现上有明显的差异，幂函数的图像一般是U形或S形，而反比例函数的图像则是双曲线。
b）幂函数的图像在直线y轴左侧和右侧都存在；而反比例函数的图像在y轴左侧和右侧不存在。
高考数学总复习 基础知识名师讲义 第二章 第八节反比
第八节 反比例函数与幂函数1．了解幂函数的概念．2．结合函数y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝1x ，y ＝x 12的图象，了解它们的变化情况．知识梳理 一、反比例函数1．定义：形如y ＝kx(k 是常数，k ≠0)的函数叫做________函数，其定义域为{x |x ∈R 且x ≠0}．2．反比例函数的图象和性质．(1)图象：双曲线，它们的渐近线是两条坐标轴，对称中心是________．(2)性质：当k >0时，函数在区间()－∞，0和()0，＋∞上是减函数；当k <0时，函数在区间________和________上是增函数．二、 幂函数1．定义：形如y ＝x α(α是常数，x 是自变量)的函数叫做幂函数．其特征是以幂的底为自变量，指数为常数，其定义域随着常数α取值的不同而不同．2．幂函数的图象(如右图)．3．幂函数的性质.函数性质y＝x y＝x2y＝x3Y＝x12y＝x－1定义域R R R{x|x≥0}________ 值域R R R________{y|y≠0} 奇偶性__________________________________单调性递增区间(－∞，＋∞)递增区间________递减区间________递增区间________递增区间(0，＋∞)递减区间________，________ 公共点(1,1)一、1.反比例 2.(1)原点(0,0)(2)(－∞，0)(0，＋∞)二、3.{x|x≠0}{y|y≥0}奇函数偶函数奇函数非奇非偶函数奇函数(0，＋∞)(－∞，0)(－∞，＋∞)(－∞，0)(0，＋∞)基础自测1．函数y＝x－1的图象可看成是由幂函数y＝x的图象()A．向左平移1个单位长度得到B．向右平移1个单位长度得到C．向上平移1个单位长度得到D．向下平移1个单位长度得到解析：y＝x＝x.故选B.答案：B2．已知幂函数f(x)＝xα部分对应值见下表：x 1 12 f (x )122则不等式f (|x |)≤2的解集是( ) A ．{x |0<x ≤2} B ．{x |0≤x ≤4} C ．{x |－2≤x ≤2} D ．{x |－4≤x ≤4}解析：∵f ⎝⎛⎭⎫12＝22，∴α＝12.∴f (|x |)≤2可化为|x |12≤2.∴|x |≤4.∴其解集为{x |－4≤x ≤4}．故选D.答案：D3．若幂函数y ＝(m 2－3m ＋3)xm 2－m －2的图象不经过原点，则实数m 的值为________．解析：由m 2－3m ＋3＝1且m 2－m －2≤0，解得m ＝1或2.经检验m ＝1或2都适合． 答案：1或24．函数f (x )＝1x ＋2＋1图象的对称中心的坐标是___________________．解析：因为y ＝1x 的对称中心是(0,0)，将y ＝1x 的图象向左平移2个单位，再向上平移1个单位，得到f (x )＝1x ＋2＋1的图象，所以f (x )＝1x ＋2＋1图象的对称中心是(－2,1)．答案：(－2,1)1．函数y ＝x 的图象是( )解析：取x ＝18，－18，则y ＝12，－12，选项B ，D 符合；取x ＝1，则y ＝1，选项B 符合题意．故选B.答案：B2．在平面直角坐标系xOy 中，过坐标原点的一条直线与函数f (x )＝2x的图象交于P ，Q两点，则线段PQ 长的最小值是______．解析：设经过原点的直线与函数的交点为⎝⎛⎭⎫x ，2x ，⎝⎛⎭⎫－x ，－2x ，则PQ ＝ (2x )2＋⎝⎛⎭⎫4x 2≥4，当且仅当2x ＝4x，即x ＝±2时取等号．答案：41. (2012·河南四校联考)已知函数f (x )＝x ＋mx，x ∈(0，＋∞)(m >0)，若不等式f (x )<4的解集非空，则( )A ．m ≥4B ．m ≥2C ．m <4D ．m <2解析：因为f (x )＝x ＋m x ，x ∈(0，＋∞)(m >0)，所以f (x )＝x ＋mx ≥2m ，即函数f (x )min ＝2m ，若不等式f (x )＜4有解，则有2m <4，解得m <4.故选C.答案：C2. (2012·青岛期末)在平面直角坐标系中，横坐标、纵坐标均为整数的点称为整点，如果函数f (x )的图象恰好通过n (n ∈N *)个整点，则称函数f (x )为n 阶整点函数．有下列函数：①f (x )＝x ＋1x(x >0)；②g (x )＝x 3；③h (x )＝⎝⎛⎭⎫13x ；④φ(x )＝ln x ．其中是一阶整点函数的是( ) A ．①②③④ B ．①③④ C ．②④D ．①④解析：g (x )＝x 3通过点(1,1)，(2,8)等，故不是一阶整点函数；h (x )＝⎝⎛⎭⎫13x通过点(－1,3)，(－2,9)等，故不是一阶整点函数．故选D.答案：D。
高一数学《幂函数与反比例函数》课件
m2 2 m 3
(m∈N＋)的图象关于 y 轴对称，
m 3
且在 (0，＋∞)上是减函数，求满足 (a 1) 的取值范围
(3 2a )
m 3
的 a
(练习)已知幂函数f(x)＝
x
m2 2 m 3
(m∈N)的图象关于坐标
原点对称且在(0，＋∞)上是减函数，求f(x)的表达式并画出 该函数的草图．
考试要求： 1.了解幂函数的概念； 1 2.结合函数 y x, y x 2 , y x 3 , y x 2 , y x 1 的图象，了解它们的变化情况.
知识要点： 1.幂函数的定义: 函数y x（ 为常数）叫作幂函数.
2.幂函数的图象和性质:
(1) y x (3) y x
题型3.幂函数图象与性质的综合应用
[例].已知函数f ( x ) x
1 3 p 2 p 2 2
( p Z )在(0, )上是增
函数, 且在其定义域上是偶函数.
（1）求p的值，并写出相应的函数f(x)
(3).
k2 k 2
【巩固练习】
1 练习1.(07山东)设 1,1, ,3，则使函数 y x 2
的定义域为R且为奇函数的所有 的值为（A） A.1,3 B.-1,1 C.-1,3 D.-1,1,3
练习2.函数y x ( m , n Z , m 0, m , n 互质） 图象如下图所示，则 A.mn>0,m,n均为奇数 B.mn<0,m,n一奇一偶 C.mn<0,m,n均为奇数 D.mn>0,m,n一奇一偶
( k N ), 且满足
（1）求k的值，并求出相应的函数f(x)
幂函数与反比例函数的性质教学方法总结
幂函数与反比例函数的性质教学方法总结在数学教学中，幂函数和反比例函数是常见的两类函数。
幂函数是指形如f(x) = ax^b的函数，其中a和b是常数，而x是自变量；反比例函数则是指形如f(x) = a/x的函数，其中a是常数，x是自变量。
本文将就幂函数和反比例函数的性质以及相应的教学方法进行总结和探讨。
一、幂函数的性质：1. 定义域和值域：对于幂函数f(x) = ax^b，当b是整数时，函数的定义域为全体实数，值域则依赖于a的正负性质；当b是分数时，函数的定义域为使得x^b存在的实数集，值域也与a的正负性质相关。
2. 增减性和奇偶性：对于不等于0的幂函数，当b为正数时，函数在整个定义域上递增；当b为负数时，函数在整个定义域上递减。
而幂函数一般是奇函数或偶函数，具体取决于幂指数。
教学方法：1. 引导学生观察：通过给出具体的幂函数图像，引导学生观察函数在不同幂指数下的变化规律，进而推导出幂函数的增减性和奇偶性。
2. 给出具体例子：通过实际问题引出幂函数的应用，例如面积与边长的关系等，使学生能够将幂函数的性质应用到实际问题中。
二、反比例函数的性质：1. 定义域和值域：反比例函数f(x) = a/x的定义域为除去x=0的全体实数集，值域也依赖于a的正负性质。
2. 增减性和奇偶性：反比例函数在定义域内是单调递减的，并且是奇函数。
教学方法：1. 观察并比较：给出反比例函数图像，并与线性函数的图像进行比较，引导学生观察反比例函数的特点和与线性函数的区别。
2. 实际问题的应用：通过实际问题引入反比例函数的应用，如速度与时间、工人数量与完成工作所需时间等，使学生能够理解反比例函数的实际意义和应用方法。
综上所述，对于幂函数和反比例函数的教学，我们可以通过观察函数图像、给出具体例子以及引入实际问题的应用等方法来帮助学生理解和掌握这两类函数的性质。
同时，针对不同的年级和学生水平，可以适度地调整教学内容和深度，以确保教学效果的最大化。
11.幂函数与反比例函数(教师版)
k幂函数与反比例函数（教师版）【知识梳理】1. 反比例函数 形如(0)ky k x=≠的函数称为反比例函数. (1) 定义域: {|0,R}x x x ≠∈; (2) 值域: {|0,R}x x x ≠∈; (3) 奇偶性: 奇函数;(4) 单调性: 当0k >时, 其图像出现在1,3象限, 在每个象限中单调递减;当0k >时, 其图像出现在2,4象限, 在每个象限中单调递增;(5) 图像: 双曲线, 直线0x =和0y =是它的渐近线. 2. 幂函数形如(Q)k y x k =∈的函数称为幂函数. 需要注意的是, 这里的系数规定为1.3. 幂函数的图像(1) 幂函数(Q)k y x k =∈的作图可按以下流程进行(为讨论方便, 设0,1≠k ):(2) 幂函数过定点(1,1); (3) 设nk m=(m , n 既约), 则y ①当m , n 都为奇数时, 它是一个奇函数; ②当m 是奇数, n 是偶数时, 它是一个偶函数; ③当m 是偶数, n 是奇数时, 它是一个非奇非偶函数; (4) 0(0)=≠y x x 是一个特殊的幂函数, 其图像为直线1=y 去掉点(0,1); (5) 幂函数为偶函数⇔图像出现在第二象限; 为奇函数⇔图像出现在第三象限.【基础训练】1. 已知一次函数1y ax =+的图像与反比例函数ky x=的图像交于点(2,3)M 与N , 则||MN =2. 幂函数()f x的图像经过点, 则(8)f =3.函数12(0)y x x x=+<单调递增区间为单调递减区间为4. 当幂函数(Q)k y x k =∈的图像满足: (1)不经过原点; (2)不与坐标轴相较; (3)不是(0,)+∞上的减函数,则k =_______; 解: 不经过原点, 则0k ≤;不与坐标轴相交, 则0k ≤;不是(0,)+∞的减函数, 则是(0,)+∞增函数或者常值函数, 若是增函数, 则0k >, 但此时函数必过原点; 若是常值函数, 则0k =, 则符合题意. 5. 作出下列函数的大致图像.(1)32y x =; (2)43y x =; (3)53y x =; (4)23y x -=.【例题解析】例1. 在22919()(279)mm f x m m x -+=--中, 当m 为何值时,(1) ()f x 是正比例函数, 且它的图像的倾斜角为钝角? (2) ()f x 是反比例函数, 且它的图像在第一, 三象限?. 解: (1)由题意, 倾斜角为钝角, 则斜率小于0,得22 3 or 6919139127902m m m m m m m m ==⎧⎧-+=⎪⎪⇔⇒=⎨⎨-≤≤--<⎪⎪⎩⎩; (2)由题意, 图像在第一, 三象限, 则22790m m -->, 得22 4 or 5919159(,1)(,)27902m m m m m m m m ==⎧⎧-+=-⎪⎪⇔⇒=⎨⎨∈-∞-⋃+∞-->⎪⎪⎩⎩.(,-∞[0例2. 已知幂函数21(732)35(1)(Z)t t y t t xt +-=-+∈是偶函数, 且在区间[0,)+∞上是增函数, 求整数t 的值, 并作出相应的幂函数的大致图像. 解: 由题意3110 or 1t t t t -+=⇔==±,当0t =时, 则75y x =, 是奇函数, 不合题意;当1t =时, 则85y x =, 是偶函数, 符合题意; 其大致图像如图(1); 当1t =-时, 则25y x =, 是偶函数, 符合题意; 其大致图像如图(2).例3. 已知函数221m m y x--=在区间(,0)-∞上是减函数, 求m 的最大负整数值.解: 原函数等价于22(0)m m y x x +-=≠,若函数是奇函数, 由函数在(,0)-∞递减, 可知其在(0,)+∞上递减, 则有220(2,1)m m m +-<⇒∈-,当1m =-时, 222m m +-=-, 是偶函数, 不合题意;若函数是偶函数, 由函数在(,0)-∞递减, 可知其在(0,)+∞上递增, 则有220(,2)(1,)m m m +->⇒∈-∞-⋃+∞, 当3m =-时, 224m m +-=, 是偶函数, 符合题意; 综上所述, m 的最大负整数值为3-.[评注]事实上, 如果注意到22(1)2m m m m +-=+-, 当m 是整数时, (1)m m +一定是偶数,那么(1)2m m +-一定是偶数, 因此这个函数一定是偶函数.例4. 已知1133(2)(12)a a --+>-, 求实数a 的取值范围.[分析]本题是典型的利用函数的单调性求解不等式的题型, 在这里首先需要弄清要使用哪一个函数的单调性; 其次要知道这个函数的单调区间有哪些. 解法一: 由函数13y x-=在(,0)-∞和(0,)+∞分别单调递减, 因此可知:情形一: 1021223a a a <+<-⇔-<<-;情形二: 121202a a a +<-<⇔>且13a <-, 无解; 情形三: 112022a a a -<<+⇔>;综上所述, a 的取值范围是123a -<<-或者12a >.解法二: 原不等式等价于113311212⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭a a ;由13=y x 在R 上单调递增, 则有11112>+-a a, 解不等式得11(2,)(,)32∈--⋃+∞a .[评注]解法二相比解法一来说要略为简介, 省去了讨论的过程, 本质是因为其选择了一个仅有一个单调区间的函数, 因此不必讨论; 而解法一选择的函数是分段单调的, 因此不仅要讨论每一段上的情形, 还要讨论自变量取在不同段上时的情形. 一般而言, 我们尽可能选择在整个定义域上只有一种单调性的函数来求解不等式.例5. 设函数2245()44x x f x x x ++=++, 作出()y f x =的大致图像, 讨论()y f x =的性质, 并比较()f π-与(f . 解:2224411()144(2)x x f x x x x +++==++++,它的函数图像是有2y x -=向左两个单位, 向上一个单位平移所得, 其大致图像如图所示,定义在{|2,R}≠∈x x x 上的非奇非偶函数, 值域为(1,)+∞, 在(,2)-∞-上单调递增, (2,)-+∞单调递减, 其图像关于直线2=x 成对称轴图形. 由π-到2-的距离约为1.414,而到2-的距离约为1.292;因此有()f f π-<.【巩固练习】1. 若幂函数()=y f x的图像过点, 则函数的解析式为_____________;2. 设3111{2,,,,,1,2,3}5232α∈----, 已知幂函数α=y x 是奇函数, 且在区间(0,)+∞上是减函数, 则满足条件的α的值是____________;3. 函数12-=+x y x 的图像的对称中心是__________;4. 试写出一个函数, 使之满足: (1)它是两个幂函数组的和函数; (2)自然定义域为(0,)+∞; (3)最小值为2; 则解析式为5. 幂函数223(Z )--+=∈m m y x m , 且为偶函数, 则m 的值为______; 解: 与坐标轴无交点, 则2230[1,3]--≤⇔∈-m m m ,结合m 是正整数, 得{1,2,3}∈m ,2()-=f x x 31,53--(2,1)- 1 or 3()f x =当1=m 时, 4-=y x , 偶函数; 当2=m 时, 3-=y x , 奇函数; 当3=m 时, 0=y x , 偶函数; 综上所述, m 的值为1或3. 6. 若幂函数2223(1)mm y m m x --=--在区间(0,)+∞上是减函数, 则m 的值为____; 7. 设()y f x =与()=y g x 是两个不同的幂函数, 集合M {|()()}==x f x g x , 则集合M 中的元素个数是……………………………………………………………………………….( B ) A. 0或1或2 B. 1或2或3 C. 1或2或3或4 D. 0或1或2或3 解: 幂函数的图像都过点(1,1), 因此不可能无交点;当两个幂函数都是指数小于0的非奇非偶函数时, 它们图像的交点个数为1, 例如: 幂函数32y x -=和52y x -=;当两个幂函数都是指数大于0的非奇非偶函数时, 它们图像还交于(0,0), 例如: 幂函数32y x =和52y x =;当两个幂函数都是指数大于0的奇(或偶)函数时, 它们图像还交于(0,0)和(1,1)--(或(1,1)-), 例如: 幂函数3y x =和y x =;另一方面, 由于幂函数的图像至多过两个象限, 在每个象限中的交点至多一个1, 再加上当指数大于0时过(0,0), 因此交点个数之多为3个. 因此可能的交点个数为1或2或3.8. 已知幂函数q py x =(p ,q 互质)的图像如图所示, 则………………………….………….( B )A. p ,q 均为奇数B. p 是奇数, q 是偶数, 且01q p<< C. p 是偶数, q 是奇数 D. p 是奇数, q 是偶数, 且1qp>9. 若1133(1)(32)x x --+<-, 求实数x 的取值范围.解: 即113311132x x ⎛⎫⎛⎫<⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭, 由13y x =单调递增, 有11132x x <+-, 解不等式得23(,1)(,)32-∞-⋃.10. 讨论函数2222()21x x f x x x -+=-+的性质, 并比较(1)f -与()f π的大小.解: 类似例4可知:定义域: (,1)(1,)-∞⋃+∞; 值域: (1,)+∞;奇偶性: 非奇非偶; 图像: 关于直线1x =成轴对称; 单调性: (,1)-∞上单调递减, (1,)+∞上单调递增;(1)(3)()f f f π-=>.1需利用函数递增速度的快慢来说明.211. 已知函数1133()5x xf x --=, 1133()5x x g x -+=,(1) 证明: ()f x 是奇函数, 并求()f x 的单调区间;(2) 分别计算(4)5(2)(2)f f g -和(9)5(3)(3)f f g -的值, 由此概括出涉及函数()f x 和()g x 的, 对所有不等于零的实数x 都成立的一个等式, 并加以证明. 证明: (1)函数的定义域为R, 关于原点对称;任取R x ∈, 则11113333()()()()55x x x x f x f x ---+-+-==-=-;综上所述, 函数为奇函数;解: (2)(4)5(2)(2)0f f g -=, (9)5(3)(3)0f f g -=;猜得2()5()()0f x f x g x -=.证明: 222331()()5f x x x -=-,11112233333315()()5()555x x x x f x g x x x ---⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪⋅=⋅=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 则2()5()()0f x f x g x -=.。
幂函数与反比例函数幂函数与反比例函数的像和性质
幂函数与反比例函数幂函数与反比例函数的像和性质幂函数与反比例函数的像和性质一、幂函数的像和性质幂函数是指形如y=x^a的函数，其中a为实数常数，且x为定义域内大于0的实数。
幂函数的像和性质主要包括指数的正负和取值范围、幂函数的图像特征及对称性。
1. 指数的正负和取值范围当指数a大于0时，幂函数的定义域为正实数集(0, +∞)，这是因为幂函数要求x大于0，否则会得到非实数结果。
当指数a小于0时，幂函数的定义域为非零实数集R*，这是因为幂函数求倒数时，要求x不能等于0，否则会得到无穷大的结果。
根据指数的正负和取值范围的不同，幂函数的图像会有所区别。
2. 幂函数的图像特点当指数a大于1时，幂函数的图像呈现上开弯曲的形状，随着x的增大，函数值也越来越大，增长速度逐渐加快。
当指数a介于0和1之间时，幂函数的图像呈现上开但趋于平缓的形状，随着x的增大，函数值增长速度逐渐减慢。
当指数a等于1时，幂函数的图像为一条直线，斜率为1，函数值与x成正比。
当指数a小于0时，幂函数的图像呈现下开的形状，随着x的增大，函数值趋于0但不等于0。
3. 幂函数的对称性当指数为偶数时，幂函数具有y轴对称性，即f(x)=f(-x)，图像关于y轴对称，左右两侧形状相同。
当指数为奇数时，幂函数具有原点对称性，即f(x)=-f(-x)，图像关于原点对称，左右两侧形状颠倒。
二、反比例函数的像和性质反比例函数是指形如y=k/x的函数，其中k为非零实数常数。
反比例函数的像和性质主要包括定义域、图像特征及其与幂函数的关系。
1. 反比例函数的定义域反比例函数的定义域为除去x=0之外的所有实数集，因为反比例函数的分母不能为零。
2. 反比例函数的图像特点反比例函数的图像为一个以原点为对称中心的一条曲线，其左右两侧的形状相似但关于y轴对称。
随着x的增大，函数值逐渐逼近0但不会等于0；随着x的减小，函数值也逐渐逼近0但不会等于0。
3. 反比例函数与幂函数的关系反比例函数是一种特殊的幂函数，可以看作是幂函数的特例。
幂函数与反比例函数的性质与计算
幂函数与反比例函数的性质与计算幂函数和反比例函数是高中数学中常见的函数类型，它们在数学与实际问题的解决中起着重要的作用。
本文将介绍幂函数和反比例函数的性质以及计算方法。
一、幂函数的性质与计算幂函数是指形如y = ax^n (a≠0, n为常数)的函数。
以下是幂函数的一些性质和计算方法：1. 幂函数的图像特点幂函数的形状取决于常数n的正负和大小关系：- 当n>0时，函数图像随着x的增大而上升，随着x的减小而下降，曲线经过点(0,0)；- 当n<0时，函数图像在定义域内与x轴分离，且随着x的增大而逐渐靠近y轴，在x轴的左侧有一个垂直渐近线；- 当n为偶数时，函数图像关于y轴对称；- 当n为奇数时，函数图像具有一段特定的起伏。
2. 幂函数的计算方法对于幂函数的计算，主要包括以下几个方面：- 求函数的定义域和值域：对于幂函数y=ax^n，当a>0时，定义域是实数集R，值域取决于n的正负性；- 求函数的奇偶性：当n为偶数时，函数为偶函数，即f(x) = f(-x)；- 求函数的单调性：当n>0时，函数严格单调递增；当n<0时，函数严格单调递减。
二、反比例函数的性质与计算反比例函数是指形如y = k/x (k≠0)的函数。
以下是反比例函数的一些性质和计算方法：1. 反比例函数的图像特点反比例函数的图像是一个双曲线，其特点主要有：- 函数图像与坐标轴有两个渐近线；- 当x趋近于0时，y的值趋向于无穷大；- 当x趋近于无穷大时，y的值趋向于0。
2. 反比例函数的计算方法对于反比例函数的计算，主要包括以下几个方面：- 求函数的定义域和值域：反比例函数y=k/x中，定义域是x≠0，值域也是实数集R；- 求函数的对称轴：反比例函数关于y轴对称；- 求函数的单调性：反比例函数在定义域内是严格单调递减的。
三、幂函数与反比例函数的比较与应用幂函数和反比例函数在数学和实际问题中常常需要进行比较和应用。
幂函数与反比例函数的像教学备课
幂函数与反比例函数的像教学备课在教学备课中，幂函数与反比例函数是数学教学中的重要内容。
幂函数是指以自变量为底数，指数为幂次的函数，可以表示为f(x) = a^x，其中a为常数。
反比例函数是指函数的值与其自变量的乘积为常数的函数，可以表示为f(x) = k/x，其中k为常数。
本文将介绍幂函数与反比例函数的定义、特点以及教学备课中的注意事项。
一、幂函数的定义与特点幂函数是一种常见的数学函数形式，它可以表示各种指数关系。
幂函数的定义是f(x) = a^x，其中a为底数，x为幂次。
幂函数的特点主要包括以下几点：1. 幂函数的定义域为实数集，即x可以取任意实数值。
2. 当幂次x为正整数时，幂函数呈现递增的趋势，底数a的大小决定了函数的增长速度和增长趋势。
3. 当幂次x为负整数时，幂函数呈现递减的趋势，底数a的大小同样影响函数的减少速度和减少趋势。
4. 当幂次x为0时，幂函数的值始终为1，即f(x) = a^0 = 1。
二、反比例函数的定义与特点反比例函数是一种特殊的函数形式，它的定义是f(x) = k/x，其中k为常数。
反比例函数的特点包括：1. 反比例函数的定义域为除了x=0之外的所有实数。
2. 当x逐渐增大时（取正值），反比例函数的值逐渐减小，这是因为x的增大导致k/x的值减小。
3. 当x逐渐减小时（取负值），反比例函数的值同样逐渐减小，这是因为x的减小导致k/x的值减小。
4. 反比例函数的图像是一个经过原点的拋物线，两条轴（x轴和y 轴）都是反比例函数的渐近线。
三、教学备课中的注意事项在教学备课中，教师应该注意以下几点：1. 理解函数的定义与特点：教师需要深入理解幂函数与反比例函数的定义与特点，以便能够准确地解释给学生听。
只有掌握了幂函数和反比例函数的特点，才能更好地教学。
2. 设计合适的教学活动：教师可以设计一些有趣的教学活动，比如通过实例演示幂函数和反比例函数的图像变化情况，让学生通过实际观察和计算来理解函数的特点。
第11讲 幂函数(讲义)
第11讲 幂函数（讲义）1.10.0 幂指对函数的算术背景让我们从乘方运算谈起，设变量r q p ,,满足等式r p q =（例如8,2,3===r q p ），则称“r 是p 的q 次方”. 若其中一个变量的值确定，则另外两个变量之间可能具有函数关系. 所谓“可能具有”，是指某些情况下一个变量的值不足以唯一确定另外一个值，例如当确定变量2=q 时，变量p 的值可以唯一确定变量r 的值，因此r 是p 的函数，即2p r =；但是反过来，变量r 的值不足以唯一确定p 的值. 在后一种情况下，我们可以通过引入某种“单值化”条件来保证函数关系成立，例如，引入算术平方根的概念（也就是要求变量p 只能取非负值），就可以使p 是r 的函数，即r p =.现在，我们设三个变量中已确定具体值的为a ，另外两个分别称为y x ,，则这样的表达式总共有6种形式：①y a x =，②x a y =，③y x a =，④x y a =，⑤a x y =，⑥a y x =. 我们认为其中三种是重要的（①②③），因此为它们赋予专门的名称并加以研究：（A ）幂函数：R a x y a ∈=,①；（B ）指数函数：R a a y x ∈=,；（C ）对数函数：*∈=R a x a y ,②；你可能会好奇另外三种为什么会被认为是不重要的？简单的代数变形可以帮我们看清楚上述选择的理由：④a a xy x y 1=⇒=与③本质上是一样的，⑤y y a x a x 1=⇒=与②本质上是一样的，⑥x x a y a y 1=⇒=本质上是一样的.补充：有理指数的乘方运算初中阶段我们已经学习过正整数指数的乘方运算，并给出了最重要的运算规则：()*+∈∈=⋅N n m R a a a a n m n m ,,下面我们将看到，如果保留这条基本性质并假设它对于指数不是正整数的情况也成立，就可以顺利地导出指数为任意有理数情况的意义.（1）整数指数考虑到n n n a a a a ==⋅+00，因此应该定义10=a ，同时保证除法运算n n n n a a aa ==-0的有效性，约定()010≠=a a . 接着，由于10==⋅-a a a n n ，定义()01≠=-a a a nn . 例如，① 不过在中学阶段，我们实际上只研究有理指数即Q a ∈的情况. 在各种场合下，如果没有特别加以说明，我们总是对Q a ∈的情况进行具体研究（并不加论证地假设研究结果可以推广到R a ∈的情况）. ② 关于每一种函数对a 的取值范围以及定义域的要求，我们会在后继内容中详细讨论.()441121121,4917172222===⎪⎭⎫ ⎝⎛==--. （2）分数指数 最容易理解的分数指数当属开方运算：()a a a a a =⇒==⋅1212221，实际上平方后得a 的数通常是两个符号相反的实数，我们约定只考虑其中非负的那个（即算术平方根），就使得1a 具有唯一的意义. 类似地，a N n 1,*∈∀具了唯一的意义. 而()m nn m a a 1=也随之具有了唯一确定的含义. 例如，()()23834834333122216,12525252883======⋅，，()91313332722-23-32-332-=====⋅.*（3）实数指数：以23为例. 我们对实数2的认识是：存在一族闭区间[][][][] 415.1414.142.1,41.15.1,4.12,1，，，，使得2始终位于这个闭区间内，且这族闭区间的“长度”（即闭区间两端点所对应实数的距离）可以小于任意给定的正数，因为它们每次比原先缩小10倍，因此一定能够变到足够小③. 在此基础上我们可以理解23是一个什么样的实数，即考虑闭区间族[]213,3，[]5.14.13,3，[] ，5.141.13,3，由于每个端点所代表的实数是唯一确定的，因此它们自身也是确定的，并且确实将23包含于其中；此外，由于指数之间的差距可以充分小，因此闭区间的长度也随之而变得充分小，由此可知它们最终必将唯一确定某一实数，即23④.利用上述思想我们可以知道，任意实数指数的乘方运算是有明确意义的，它可以唯一确定一个实数. 当然，大多数情况下，我们可以借助计算器来完成这一工作.1.11.1 幂函数的定义与基本性质我们称形如()R a x y a∈=的函数为幂函数. 但是在这个约定中，我们还没有说明函数的定义域，因此这个“定义”还不够完整. 在下面的讨论，我们将针对a 的不同取值情况来加以考察.例1、画图象找规律（1）在同一坐标系内画出函数32x y x y x y ===、、的图象；（2）将函数5.25.1x y x y ==、的图象添加到该坐标系中；③这里我们实际上使用了实数的“阿基米德公理”：b an N n R b a >∈∃∈∀*+,,,. ④ 我们所使用的想法可以概括为：一族长度趋近于0的闭区间套唯一确定了一个实数，它是实数理论中一个具有基础性地位的定理.（3）将函数11x y x y ==、的图象添加到该坐标系中；接着观察图象，看看能发现哪些规律？将你的发现归纳出来. 解答：右图中包含12132x y x y x y x y x y =====、、、、的图象；（1）定义域：图中所有函数的定义域都包含()∞+，0，或者说，包含()∞+，0是一个必要条件；（2）在区间()∞+，0上各函数的值域是()∞+，0；（3）在5.1x y =的图象时，需保证它始终位于函数x y =与2x y =的图象之间，类似地，5.2x y =始终介于2x y =与3x y =之间；（4）()0>=a x y a 在()∞+，0上是增函数；（5）()02>=x x y 与21x y =关于x y =轴对称，()03>=x x y 与31x y =关于x y =轴对称；猜测更一般地，在()+∞,0上，()0>=a x y a 与()01>=a x y a 关于x y =轴对称； 例2、画图象研究性质：32xy =. 分析：由()122x x y ==可知它是偶函数，考虑到()23132x x y ==，列表描点时不妨代入一些可以开立方的x 值。
高考数学总复习 第二章 第八节反比例函数与幂函数课件 文
和
上是
减函数；当k<0时，函数在区间________和(____, 0__)__上(0是, 增函)数．
(,0) (0,)
第三页，共38页。
二、 幂函数 1．幂函数的定义：形如y＝xα(α∈R，α是常数，x是自变量)的 函数叫做幂函数．其特征是以幂的底为自变量，指数为常数，其定 义域随着常数α取值的不同而不同． 2．幂函数的图象都过定点(dìnɡ(1d,1i)ǎn)________． 3．幂函数y＝xα(α为常数)在第一象限内的单调性：当α>0时， 在第一象限内为增函数；当α<0时，在第一象限内为减函数，且以两 条坐标轴为渐近线． 4．幂函数的图象一定会出现在____第__一__(象dì限yī)，一定不会出现 在第________象限．幂函数的图象最多只能同时出现在________个
或3a－ ＋21<a>00，，
所以
a
的取值范围是
2 3
,
3 2
∪(－∞，－1)．
点评：比较幂函数形式的两个数的大小，一般的思路是：(1)若 是则数能 数 需用，：化函 寻(指则点1为数 找)数需若评同的 一函寻能：指单 个数找化比数调 恰的一为较，性 当单个同幂则； 的调恰指函用(数3性当数)数幂(若比； 的，形函既如(数则式3数不)1(用若(比的)能x作í幂既如单n化为g函不1调s为桥h)数能作性ì同)梁的的化为；指来两单为桥(数2比个调同梁)若，较数性指来也能大的；数比不化小大，(较2能为．小)也大若化同，不小能为底一能．化同数般化为底，的为同则数思同底用，路底数则指，
基础(jīchǔ) 自测
1．函数y＝ x 1的图象可看成(kàn chénɡ)是由幂函12 数y＝x 的图象 ()
A．向左平移1个单位长度得到 B．向右平移1个单位长度得到 C．向上平移1个单位长度得到 D．向下平移1个单位长度得到 解析(jiě xī)：y12＝x x＝ .故选B.
高一数学幂函数的图像和性质(教师版)
学科教师辅导讲义 年 级：高一 辅导科目： 数学 课时数：课 题 测试卷 幂函数的图像和性质教学目的 1、掌握幂函数的图像与性质；2、查漏补缺。
教学内容一、填空题1、若幂函数()y f x =的图像过点2,22⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，则函数()y f x =的解析式为2、已知函数()()22144m m f x m m x --=--是幂函数，则实数m 的值为3、幂函数223n n y x --=（n Z ∈）的图像与两坐标轴无交点且关于y 轴对称，则n 的值等于4、设1112,1,,,,1,2,3232α⎧⎫∈---⎨⎬⎩⎭，已知幂函数()f x x α=是偶函数，且在区间()0,+∞上是减函数，则满足要求的α值的个数是 ．5、已知函数()1a x f x x a -=--的图像的对称中心是(3，-1)，则函数()f x 的单调递增区间是 6、若二次函数()2f x ax bx c =++的图像如右图所示，且1x 、2x 是函数()f x 的零点，则2x =7、若二次函数()2f x ax bx =+有()()()1212f x f x x x =≠，则()12f x x +的值等于8、已知()()1133132x x --+<-，则实数x 的取值范围是二、选择题9、如图，,,,M N P Q 分别为幂函数图像上的点，且它们的纵坐标相同，若四个幂函数为①3y x -=；②2y x -=；③23y x -=；④13y x -=，则,,,M N P Q 与四个函数序号的对应顺序只可能是（ ）A ．①②③④B ．②③④①C ．②①③④D ．③②①④10、已知函数()32f x ax bx cx d =+++的图像如图所示，则下列结论中正确的是（ ）A ．(),0b ∈-∞B ．()0,1b ∈C ．()1,2b ∈D ．()2,b ∈+∞11、方程211880x x x --+-=的解的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．412、设()y f x =和()y g x =是两个不同的幂函数，集合()(){}M x f x g x ==，则集合中的元素的个数是（ ）A ．1或2或0B ．1或2或3C ．1或2或3或4D ．0或1或2或3三、解答题13、研究函数23y x =的定义域、值域、奇偶性和单调性，并画出其大致图像。
高一第9讲__幂函数(教师版)
第9讲 幂函数（教师版）一．学习目标：1．掌握幂函数的概念．熟悉α＝1,2,3，12，－1时幂函数y ＝x α的图象与性质．2．能利用幂函数的性质来解决一些实际问题．二．重点难点：重点：幂函数的定义、图象和性质． 难点：幂函数图象的位置和形状变化．三．知识梳理：（一）幂函数：1.一般地，幂函数的表达式为_ y ＝x α_；其特征是以幂的_底数_为自变量，_底数__为常数．2．幂函数的图象及性质：在同一坐标系中，幂函数y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝x 12，y ＝x －1的图象如图．结合图象，填空：(1)所有的幂函数图象都过点_（1,1）_，在(0，＋∞)上都有定义． (2)若α>0时，幂函数图象过点_（0,0），（1,1）_，且在第一象限内__递增__；当0<α<1时，图象上凸，当α>1时，图象_下凸 __．(3)若α<0，则幂函数图象过点__（1,1）_，并且在第一象限内单调_递减 ，在第一象限内，当x 从＋∞趋向于原点时，函数在y 轴右方无限地逼近于y 轴，当x 趋于＋∞时，图象在x 轴上方无限逼近x 轴．(4)当α为奇数时，幂函数图象关于原点对称；当α为偶数时，幂函数图象关于__ y 轴 __对称．(5)幂函数在第_四_______象限无图象．四．典例剖析：题型一 幂函数概念例1 【1】在下列函数中，哪些是幂函数 （1）2x y = （2）23x x y +=（3）x y = （4）1x 3y 2+=（5）2x 2y = （6）0x y =【2】已知函数322)33(-+-=a xa a y 是常数）a (是幂函数，求a 的值。
【3】已知幂函数的图像过点)2,2(，求这个函数的解析式。
答：【1】（1），（3），（6）课堂小结： 幂函数y ＝x α(α∈R )，其中α为常数，其本质特征是以幂的底x 为自变量，指数α为常数(也可以为0)．这是判断一个函数是否为幂函数的重要依据和唯一标准。
反比例函数与幂函数
类型二： 类型二：幂函数的定义
已知
f ( x ) = ( m + ， x m)
2
m什么值时， 取什么值时 (1)f(x)是正比例函数； 是正比例函数； 是正比例函数 (2)f(x)是反比例函数； 是反比例函数； 是反比例函数 (3)在第一象限内它的图象是上升的曲线 在第一象限内它的图象是上升的曲线. 在第一象限内它的图象是上升的曲线
类型3： 类型 ：幂函数图像的应用
对于函数y＝ 对于函数 ＝x2，y＝x1/2有下列说法： ＝ 有下列说法： 两个函数都是幂函数； ①两个函数都是幂函数； 两个函数在第一象限内都单调递增； ②两个函数在第一象限内都单调递增； 它们的图象关于直线y＝ 对称 对称； ③它们的图象关于直线 ＝x对称； 两个函数都是偶函数； ④两个函数都是偶函数； 两个函数都经过点（ ， ）（ ）（1， ） ⑤两个函数都经过点（0，0）（ ，1） 两个函数的图象都是抛物线型. ⑥两个函数的图象都是抛物线型 其中正确的有_________ 其中正确的有
练习） 练习）若幂函数 f ( x) = (m 3m + 3) x
2
m2 m 2
的图象不经过原点，则实数 的值等于 的值等于（ 的图象不经过原点，则实数m的值等于（ A.1 B.2 C.2或1 或 D.0
）
在幂函数f(x)的图象上，点 的图象上， 例2、若点 2,2)在幂函数 、若点( 在幂函数 的图象上 的图象上， （-1/2，4）在幂函数 ， ）在幂函数g(x)的图象上，定义 的图象上 定义
1.9幂函数与反比例函数
1 3
-
1 3
1 3
-
1 3
(2)分别计算f(4)-5f(2)g(2)和f(9)-5f(3)g(3)的值，由此概 括出涉及函数f(x)和g(x)的对所有不等于零的实数x都成 立的一个等式，并加以证明．
(1)求f(x)的单调区间； (2)分别计算f(4)-5f(2)g(2)和f(9)-5f(3)g(3)的值，由此概 括出涉及函数f(x)和g(x)的对所有不等于零的实数x都成 立的一个等式，并加以证明．
1 2002 全国理， 函数 y=1－ 10） 的图象是 （ x -1
）
答案：B 解析一：该题考查对 f（x）=
1 1 图象以及对坐标平移公式的理解，将函数 y= x x
的图形变形到 y=
1 1 ，即向右平移一个单位， 再变形到 y=－ 即将前面图形沿 x -1 x -1 1 +1，从而得到答案 B. x -1
1.9 幂函数与 反比例函数
一、知识要点
1．幂函数的定义： 一般地，函数y=xa叫做幂函数，其中x是自变量，a是
1 常数．对于幂函数，我们只讨论1,2,3,-1, 2 时的情形．
y
y
y
1 -1 o 1 -1
1
1 1
x y o
-1 o -1
x
y
-1 o 1 -1
x
正抛负双，
x
o
x 大竖小横。
2．幂函数的图象和性质
6 0．7 0．7
．
B.0．7 ＜6 ＜log0．76
6
0．7
C.log0．76＜6 ＜0．76
D.log0．76＜0．76＜60．7
.答案：D 6 0.7 解析：显然 log0.76<0<0.7 <1<6 .故选 D.
高一第9讲 幂函数(教师版)
第9讲幂函数（教师版）一．学习目标：1．掌握幂函数的概念．熟悉α＝1,2,3，12，－1时幂函数y ＝x α的图象与性质．2．能利用幂函数的性质来解决一些实际问题．二．重点难点：重点：幂函数的定义、图象和性质． 难点：幂函数图象的位置和形状变化．三．知识梳理：（一）幂函数：1.一般地，幂函数的表达式为_ y ＝x α_；其特征是以幂的_底数_为自变量，_底数__为常数．2．幂函数的图象及性质：在同一坐标系中，幂函数y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝x12，y ＝x －1的图象如图．结合图象，填空：(1)所有的幂函数图象都过点_（1,1）_，在(0，＋∞)上都有定义．(2)若α>0时，幂函数图象过点_（0,0），（1,1）_，且在第一象限内__递增__；当0<α<1时，图象上凸，当α>1时，图象_下凸 __．(3)若α<0，则幂函数图象过点__（1,1）_，并且在第一象限内单调_递减 ，在第一象限内，当x 从＋∞趋向于原点时，函数在y 轴右方无限地逼近于y 轴，当x 趋于＋∞时，图象在x 轴上方无限逼近x 轴．(4)当α为奇数时，幂函数图象关于原点对称；当α为偶数时，幂函数图象关于__ y 轴__对称．(5)幂函数在第_四_______象限无图象．四．典例剖析：题型一幂函数概念例1【1】在下列函数中，哪些是幂函数 （1）2x y = （2）23x x y +=（3）x y = （4）1x 3y 2+=（5）2x 2y = （6）0x y =【2】已知函数322)33(-+-=a x a a y 是常数）a (是幂函数，求a 的值。
【3】已知幂函数的图像过点)2,2(，求这个函数的解析式。
答：【1】（1），（3），（6）课堂小结： 幂函数y ＝x α (α∈R )，其中α为常数，其本质特征是以幂的底x 为自变量，指数α为常数(也可以为0)．这是判断一个函数是否为幂函数的重要依据和唯一标准。
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k幂函数与反比例函数（教师版）【知识梳理】1. 反比例函数 形如(0)ky k x=≠的函数称为反比例函数. (1) 定义域: {|0,R}x x x ≠∈; (2) 值域: {|0,R}x x x ≠∈; (3) 奇偶性: 奇函数;(4) 单调性: 当0k >时, 其图像出现在1,3象限, 在每个象限中单调递减;当0k >时, 其图像出现在2,4象限, 在每个象限中单调递增;(5) 图像: 双曲线, 直线0x =和0y =是它的渐近线. 2. 幂函数形如(Q)k y x k =∈的函数称为幂函数. 需要注意的是, 这里的系数规定为1.3. 幂函数的图像(1) 幂函数(Q)k y x k =∈的作图可按以下流程进行(为讨论方便, 设0,1≠k ):(2) 幂函数过定点(1,1); (3) 设nk m=(m , n 既约), 则y ①当m , n 都为奇数时, 它是一个奇函数; ②当m 是奇数, n 是偶数时, 它是一个偶函数; ③当m 是偶数, n 是奇数时, 它是一个非奇非偶函数; (4) 0(0)=≠y x x 是一个特殊的幂函数, 其图像为直线1=y 去掉点(0,1); (5) 幂函数为偶函数⇔图像出现在第二象限; 为奇函数⇔图像出现在第三象限.【基础训练】1. 已知一次函数1y ax =+的图像与反比例函数ky x=的图像交于点(2,3)M 与N , 则||MN =2. 幂函数()f x的图像经过点, 则(8)f =3.函数12(0)y x x x=+<单调递增区间为单调递减区间为4. 当幂函数(Q)k y x k =∈的图像满足: (1)不经过原点; (2)不与坐标轴相较; (3)不是(0,)+∞上的减函数,则k =_______; 解: 不经过原点, 则0k ≤;不与坐标轴相交, 则0k ≤;不是(0,)+∞的减函数, 则是(0,)+∞增函数或者常值函数, 若是增函数, 则0k >, 但此时函数必过原点; 若是常值函数, 则0k =, 则符合题意. 5. 作出下列函数的大致图像.(1)32y x =; (2)43y x =; (3)53y x =; (4)23y x -=.【例题解析】例1. 在22919()(279)mm f x m m x -+=--中, 当m 为何值时,(1) ()f x 是正比例函数, 且它的图像的倾斜角为钝角? (2) ()f x 是反比例函数, 且它的图像在第一, 三象限?. 解: (1)由题意, 倾斜角为钝角, 则斜率小于0,得22 3 or 6919139127902m m m m m m m m ==⎧⎧-+=⎪⎪⇔⇒=⎨⎨-≤≤--<⎪⎪⎩⎩; (2)由题意, 图像在第一, 三象限, 则22790m m -->, 得22 4 or 5919159(,1)(,)27902m m m m m m m m ==⎧⎧-+=-⎪⎪⇔⇒=⎨⎨∈-∞-⋃+∞-->⎪⎪⎩⎩.(,-∞[0例2. 已知幂函数21(732)35(1)(Z)t t y t t xt +-=-+∈是偶函数, 且在区间[0,)+∞上是增函数, 求整数t 的值, 并作出相应的幂函数的大致图像. 解: 由题意3110 or 1t t t t -+=⇔==±,当0t =时, 则75y x =, 是奇函数, 不合题意;当1t =时, 则85y x =, 是偶函数, 符合题意; 其大致图像如图(1); 当1t =-时, 则25y x =, 是偶函数, 符合题意; 其大致图像如图(2).例3. 已知函数221m m y x--=在区间(,0)-∞上是减函数, 求m 的最大负整数值.解: 原函数等价于22(0)m m y x x +-=≠,若函数是奇函数, 由函数在(,0)-∞递减, 可知其在(0,)+∞上递减, 则有220(2,1)m m m +-<⇒∈-,当1m =-时, 222m m +-=-, 是偶函数, 不合题意;若函数是偶函数, 由函数在(,0)-∞递减, 可知其在(0,)+∞上递增, 则有220(,2)(1,)m m m +->⇒∈-∞-⋃+∞, 当3m =-时, 224m m +-=, 是偶函数, 符合题意; 综上所述, m 的最大负整数值为3-.[评注]事实上, 如果注意到22(1)2m m m m +-=+-, 当m 是整数时, (1)m m +一定是偶数,那么(1)2m m +-一定是偶数, 因此这个函数一定是偶函数.例4. 已知1133(2)(12)a a --+>-, 求实数a 的取值范围.[分析]本题是典型的利用函数的单调性求解不等式的题型, 在这里首先需要弄清要使用哪一个函数的单调性; 其次要知道这个函数的单调区间有哪些. 解法一: 由函数13y x-=在(,0)-∞和(0,)+∞分别单调递减, 因此可知:情形一: 1021223a a a <+<-⇔-<<-;情形二: 121202a a a +<-<⇔>且13a <-, 无解; 情形三: 112022a a a -<<+⇔>;综上所述, a 的取值范围是123a -<<-或者12a >.解法二: 原不等式等价于113311212⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭a a ;由13=y x 在R 上单调递增, 则有11112>+-a a, 解不等式得11(2,)(,)32∈--⋃+∞a .[评注]解法二相比解法一来说要略为简介, 省去了讨论的过程, 本质是因为其选择了一个仅有一个单调区间的函数, 因此不必讨论; 而解法一选择的函数是分段单调的, 因此不仅要讨论每一段上的情形, 还要讨论自变量取在不同段上时的情形. 一般而言, 我们尽可能选择在整个定义域上只有一种单调性的函数来求解不等式.例5. 设函数2245()44x x f x x x ++=++, 作出()y f x =的大致图像, 讨论()y f x =的性质, 并比较()f π-与(f . 解:2224411()144(2)x x f x x x x +++==++++,它的函数图像是有2y x -=向左两个单位, 向上一个单位平移所得, 其大致图像如图所示,定义在{|2,R}≠∈x x x 上的非奇非偶函数, 值域为(1,)+∞, 在(,2)-∞-上单调递增, (2,)-+∞单调递减, 其图像关于直线2=x 成对称轴图形. 由π-到2-的距离约为1.414,而到2-的距离约为1.292;因此有()f f π-<.【巩固练习】1. 若幂函数()=y f x的图像过点, 则函数的解析式为_____________;2. 设3111{2,,,,,1,2,3}5232α∈----, 已知幂函数α=y x 是奇函数, 且在区间(0,)+∞上是减函数, 则满足条件的α的值是____________;3. 函数12-=+x y x 的图像的对称中心是__________;4. 试写出一个函数, 使之满足: (1)它是两个幂函数组的和函数; (2)自然定义域为(0,)+∞; (3)最小值为2; 则解析式为5. 幂函数223(Z )--+=∈m m y x m , 且为偶函数, 则m 的值为______; 解: 与坐标轴无交点, 则2230[1,3]--≤⇔∈-m m m ,结合m 是正整数, 得{1,2,3}∈m ,2()-=f x x 31,53--(2,1)- 1 or 3()f x =当1=m 时, 4-=y x , 偶函数; 当2=m 时, 3-=y x , 奇函数; 当3=m 时, 0=y x , 偶函数; 综上所述, m 的值为1或3. 6. 若幂函数2223(1)mm y m m x --=--在区间(0,)+∞上是减函数, 则m 的值为____; 7. 设()y f x =与()=y g x 是两个不同的幂函数, 集合M {|()()}==x f x g x , 则集合M 中的元素个数是……………………………………………………………………………….( B ) A. 0或1或2 B. 1或2或3 C. 1或2或3或4 D. 0或1或2或3 解: 幂函数的图像都过点(1,1), 因此不可能无交点;当两个幂函数都是指数小于0的非奇非偶函数时, 它们图像的交点个数为1, 例如: 幂函数32y x -=和52y x -=;当两个幂函数都是指数大于0的非奇非偶函数时, 它们图像还交于(0,0), 例如: 幂函数32y x =和52y x =;当两个幂函数都是指数大于0的奇(或偶)函数时, 它们图像还交于(0,0)和(1,1)--(或(1,1)-), 例如: 幂函数3y x =和y x =;另一方面, 由于幂函数的图像至多过两个象限, 在每个象限中的交点至多一个1, 再加上当指数大于0时过(0,0), 因此交点个数之多为3个. 因此可能的交点个数为1或2或3.8. 已知幂函数q py x =(p ,q 互质)的图像如图所示, 则………………………….………….( B )A. p ,q 均为奇数B. p 是奇数, q 是偶数, 且01q p<< C. p 是偶数, q 是奇数 D. p 是奇数, q 是偶数, 且1qp>9. 若1133(1)(32)x x --+<-, 求实数x 的取值范围.解: 即113311132x x ⎛⎫⎛⎫<⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭, 由13y x =单调递增, 有11132x x <+-, 解不等式得23(,1)(,)32-∞-⋃.10. 讨论函数2222()21x x f x x x -+=-+的性质, 并比较(1)f -与()f π的大小.解: 类似例4可知:定义域: (,1)(1,)-∞⋃+∞; 值域: (1,)+∞;奇偶性: 非奇非偶; 图像: 关于直线1x =成轴对称; 单调性: (,1)-∞上单调递减, (1,)+∞上单调递增;(1)(3)()f f f π-=>.1需利用函数递增速度的快慢来说明.211. 已知函数1133()5x xf x --=, 1133()5x x g x -+=,(1) 证明: ()f x 是奇函数, 并求()f x 的单调区间;(2) 分别计算(4)5(2)(2)f f g -和(9)5(3)(3)f f g -的值, 由此概括出涉及函数()f x 和()g x 的, 对所有不等于零的实数x 都成立的一个等式, 并加以证明. 证明: (1)函数的定义域为R, 关于原点对称;任取R x ∈, 则11113333()()()()55x x x x f x f x ---+-+-==-=-;综上所述, 函数为奇函数;解: (2)(4)5(2)(2)0f f g -=, (9)5(3)(3)0f f g -=;猜得2()5()()0f x f x g x -=.证明: 222331()()5f x x x -=-,11112233333315()()5()555x x x x f x g x x x ---⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪⋅=⋅=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 则2()5()()0f x f x g x -=.。