第三章图形的平移与旋转教案设计

第三章图形的平移与旋转教案【知识精讲】知识点1 平移、旋转和轴对称的区别和联系（1）区别。

①三者概念的区别：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移；在平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转；在平面内，将一个图形沿着某条直线折叠。

如果它能够与另一个图形重合，那么这两个图形成轴对称。

②三者运动方式不同：平移是将图形沿某个方向移动一定的距离。

旋转是将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度；轴对称是将图形沿着某一条直线折叠。

③对应线段、对应角之间的关系不同：平移变换前后图形的对应线段平行（或共线）且相等；对应点所连的线段平行且相等；对应角的两边分别平行且对应角的方向一致。

轴对称的对应线段或延长线相交，交点在对称轴上：对应点的连线被对称轴垂直平分。

旋转变换前后图形的任意一对对应点与旋转中心的距离相等、与旋转中心的连线所成的角是旋转角。

④三者作图所需的条件不同：平移要有平移的方向和平移的距离，旋转要有旋转中心、旋转方向和旋转角：轴对称要有对称轴。

（2）联系。

①它们都在平面内进行图形变换②它们都只改变图形的位置不改变图形的形状和大小，因此变换前后的两个图形全等。

③都要借助尺规作图及全等三角形的知识作图。

知识点2 组合图案的形成（1）确定图案中的“基本图案”。

（2）发现该图案各组成部分之间的内在联系。

（3）探索该图案的形成过程：运用平移、旋转、轴对称分析各个组成部分如何通过“基本图案”演变成“形”的。

要用运动的观点、整体的思想分析“组合图案”的形成过程。

运动的观点就是要求我们不能静止地挖掘“基本图案”与“组合图案”的内在联系，头脑中应想象、再现图案形成的过程，做到心中有数，特别是有的图案含有不同的“基本图案”其形成的方式也多种多样，可以通过平移、旋转、轴对称变换中的一种或两种变换方式来实现，也可以通过同一种变换方式的重复使用来实现。

整体的思想包括整体的构思和“基本图案”的组合。

知识点3 利用平移、旋转和轴对称的知识解决几何问题在几何题或代数几何综合题的解证过程中，经常会使用几何变换的观点来解决问题。

从图形的特点出发，利用几何变换，可将图形的全部或一部分移动到一个新的位置，构成一个新的关系，从而使问题获得解决。

这种几何变换不改变被移动部分图形的形状和大小，而只是它的位置发生了变化，这种移动有利于找出图形之间的关系，从而使解题更为简捷。

移动图形一般有三种方法：（1）平移法。

（2）旋转法：利用旋转变换。

（3）对称：可利用中心对称和轴对称。

知识点4 欣赏现实生活中的一些精美图案通过欣赏现实生活中的一些精美图案，引起学生的兴趣。

通过分析它们的形成过程，为今后进行图案设计提供素材。

知识点5 图案设计的步骤1、整体构思（1）图案的设计要突出“主题”，即设计图案的意图，要求简捷、自然、别致，具有一定的意义，例如，奥运会徽是由五个两两相联的圆环组成的，分别代表世界上五大洲的人民热爱体育运动，携手共创美好的未来。

（2）确定整幅图案的形状（如圆形或正方形）和“基本图案”（不宜太复杂）。

（3）构思图案的形成过程：首先构思该图案由哪几部分构成。

再构思如何运用平移、旋转、轴对称等方法实现由“基本图案”到各部分图案的组合，并作出草图。

2、具体作图根据草图，运用尺规作图的方法准确地作出图案。

有条件的同学可用几何画板画出满意的图案。

【典型例题】例1. 如图所示，A、B两村之间有一条河，河宽为a，现要在河上修一座垂直于河岸的桥，要使AB两村路程最近，请确定修桥的地点。

分析：假设桥为MN，从A→B要走的路程为AMNB，要使路程最近，只需AM＋NB 最小即可。

例2. 在△ABC的边BC上，取两点D、E，使BD＝CE，观察AB＋AC与AD＋AE的大小关系。

分析：四条线段AB、AC、AD、AE比较分散，可利用平移的方法将它们集中到一起，即可求出大小关系。

证明：将△AEC沿EB的方向平移到△FBD位置∴FB＝AE，FD＝AC设FD与AB的交点为O在△AOD中，AO＋OD＞AD在△FOB中，FO＋OB＞FB例3. 已知：AB＝CD＝1，AB与CD交于O点，∠DOB＝60°，比较AC＋BD与1的大小。

分析：利用平移将AC与BD集中，再利用三角形三边关系进行比较大小。

解：证明：过C作CE∥AB，过B作BE∥AC，连结DE∴四边形ABEC为平行四边形∴AC＝BE，AB＝CE∵∠DOB＝60°，AB∥CE∴∠DCE＝60°∵AB＝CD＝1∴CE＝CD＝1∴△DCE为等边三角形∴DE＝1在△DEB中，DB＋BE＞DE即DB＋AC＞1例4. 已知：如图，E是正方形ABCD的边BC上一点，AF平分∠EAD交CD于点F，说明AE＝BE＋DF的理由。

分析：由于要证的3条线段AB、BE、DF分散在两个三角形中，可利用旋转变换，将其放到一个三角形中。

解：把△ADF绕点A顺时针旋转90°，则点D转到了点B的位置，点F转到了点F'的位置，根据旋转的性质得：∠3＝∠1，F'B＝FD，∠AF'B＝∠AFD∵ABCD为正方形∴∠D＝∠ABF'＝90°∴F'、B、E、C在一条直线上又∵∠1＋∠2＋∠EAB＝90°∴∠3＋∠2＋∠EAB＝90°∴∠F'AE＋∠2＝90°又∵∠AFD＋∠1＝90°∴∠AF'B＋∠1＝90°∵∠1＝∠2∴∠F'AE＝∠AF'B∴AE＝F'E＝F'B＋BE＝FD＋BE例5. 如图，P是正方形ABCD内一点，将△ABP绕点B顺时针旋转90°，使AB与CB 重合，BP到达BP'处，AP到达CP'处，若AP的延长线正好经过P'，求∠APB的度数。

分析：此题运用旋转将△ABP绕点B顺时针旋转90°，根据旋转性质求出∠BP'C的度数即可。

而∠BP'C又是∠BP'P与∠CP'P之和，可各个击破，从而得解。

解：由旋转的性质及特征可知：∠PBP'＝90°，AP⊥P'C，BP＝BP'∴在△BPP'中，又∵AP的延长线正好经过P'点∴∠AP'C＝90°∴∠BP'C＝∠AP'C＋∠BP'P＝135°从而可得∠APB＝135°例6. 已知：如图，E、F、G分别是正方形ABCD中BC、AB、CD上的点，且AE⊥FG。

求证：AE＝FG分析：AE、FG所在位置不易证明相等，可将其一改变位置，如可用平移、旋转将其位置改变后再进行证明。

证明：延长AB至F'使BF'＝BE，连结CF'∵正方形ABCD∴AB＝CB，∠ABC＝90°又∵∠CBF'＝90°，BE＝BF'∴△ABE绕点B顺时针旋转90°可得△CBF'∴AE＝CF'，AE⊥CF'∵FG⊥AE∴FG∥CF'又∵正方形ABCD，AB∥CD∴四边形GFF'C为平行四边形∴CF'＝FG∴AE＝FG例7. 如图，P是正方形ABCD中AC上一点，PE⊥AD于E，PF⊥CD于F。

求证：（1）OE⊥OF（2）OE＝OF分析：充分利用正方形的中心对称性及旋转变换。

证明：∵正方形ABCD∴∠ADC＝90°，∠DAC＝45°∵DE⊥AD，∴∠PED＝90°∵PF⊥CD，∴∠PFD＝90°∴四边形EPFD为矩形∴PE＝DF又∵∠PED＝90°，∠DAC＝45°∴∠APE＝45°∴△AEP中，AE＝PE∴AE＝DF∵正方形ABCD为中心对称图形∴△AOD绕点O顺时针旋转90°与△DOC重合∴A与D为对应点又∵AE＝DF∴E与F为对应点由旋转变换的特征知：OE⊥OF，OE＝OF例8. △ABC为等边三角形，点D、E、F分别在边AC、AB、BC上，且AE＝BF＝CD，连结AF、BD、CE，分别交于点G、H、M。

（1）求∠1的度数；（2）判断△GMH的形状。

分析：等边三角形是旋转对称图形，且每个角都是60°，∠1是△BCH的外角，可知∠1＝∠2＋∠3。

而∠2＝∠4∴∠1＝∠4＋∠3＝60°，从而得证。

解：（1）∵等边△ABC是旋转对称图形，且AE＝BF＝CD所以，△ABC绕旋转中心旋转120°后，△AEC、△BFA、△CDB能够重合∴∠2＝∠4由∠1＝∠2＋∠3∴∠1＝∠4＋∠3＝60°（2）同理可得：∠GMH＝∠MGH＝60°∴△GMH是等边三角形第三章《图形的旋转与平移》整章水平测试一、耐心填一填，一锤定音！（每小题3分，共27分）1．在下列给出的五种运动中，其中属于平移的是．（1）急刹车的小汽车在地面上的运动；（2）自行车轮子的运动；（3）时钟的分针的运动；（4）高层建筑内的电梯的运动；（5）小球从高处作自由落体运动．2．将面积为12cm2的等腰直角△ABC向右上方平移20cm，得到△MNP，则△MNP是三角形，它的面积是 cm2．3．如图1，四边形ABCD中，AD∥BC，BC=8，AD=3，AB=4，CD=3，将AB平移到DE处，则△CDE为三角形，周长为．4．如图2，Rt△AOB绕点O逆时针旋转到△COD的位置，若∠BOC=127°，则旋转角是．5．△ABC经过平移得到△DEF，并且A与D，B与E，C与F是对应点，AD=3cm，则BE= cm，AD与BE之间的关系是，AB与DE之间的关系是．6．如图3，把三角形△ABC绕着点C顺时针旋转35°，得到△A′B′C，A′B′交AC于点D，若∠A′DC=90°，则∠A的度数是．7．如图4给出的图案，可看作由“基本图案”：旋转度得到的，旋转的两个图形必．8．如图5，绕点O旋转得到的两个图形的对应点M与N到旋转中心O的距离（相等或不相等）．9．如图6，正方形ABCD可看作是由图形经次平移得到的，也可看作是由图形绕点O旋转次得到．二、精心选一选，慧眼识金！（每小题3分，共27分）1．下列图案中，可以由一个“基本图案”连续旋转45°得到的是（）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．2．如图7，四边形EF GH是由四边形ABCD平移得到的，已知AD=5，∠B=70°，则（）A．FG=5，∠G=70° B．EH=5，∠F=70°C．EF=5，∠F=70° D．EF=5，∠E=70°3．下列图案都是在一个图案的基础上，在“几何画板”软件中拖动一点后形成的，它们的共性是都可以由一个“基本图案”通过连续旋转得来，旋转的角度是（）A．30°B．45°C．60°D．90°4．下列说法正确的是（）A．平移不改变图形的形状和大小，而旋转则改变图形的形状和大小B．平移和旋转的共同点是改变图形的位置C．图形可以向某方向平移一定距离，也可以向某方向旋转一定距离D．由平移得到的图形也一定可由旋转得到5．6．下列说法正确的是（）A．若△ABC≌△DEF，则△ABC可以看作是由△DEF平移得到的B．若∠A=∠B，则∠A可以看作是由∠B平移得到的C．若∠A经过平移后为∠A′，则∠A=∠A′D．若线段a∥b，则线段a可以看作由线段b平移得到的7．如图9，O是六个正三角形的公共顶点，下列图形中可由△OBC平移得到的是（）A．△OCD B．△OAB C．△FAO D．△OEF8．图10中，可以视为是图形平移的不同组合对数（一个梅花对另一个梅花不计方向）有（）A．9对B．10对C．5对D．8对9．如果将一图形沿北偏东30°的方向平移3厘米，再沿某方向平移3厘米，所得的图形与将原图形向正东方向平移3厘米所得的图形重合，则这一方向应为（）A．北偏东60°B．北偏东30°C．南偏东60°D．南偏东30°三、用心想一想，马到成功！（本大题共45分）1．（本小题8分）请画一个圆，画出圆的直径AB，分析直径AB两侧的两个半圆可以怎样相互得到？2．（本小题9分）如图11，四边形ABCD中，OA=OC，OB=OD．试判断：（1）图中哪些边可以通过平移得到；（2）图中哪些三角形可以通过旋转得到．3．（本小题9分）在图12中，将大写字母A绕它上侧的顶点按逆时针方向旋转90°，作出旋转后的图案．4．（本小题9分）剪两个全等的三角形，把这两个三角形重叠在一起放在桌面上，实际操作试一试，保持其中一个三角形不动，怎样移动另一个三角形，能够得到图13中的两个图形？5．(本小题10分)如图14是某设计师设计的方桌布图案的一部分，请你运用旋转变换的方法，在方格纸上将该图形绕点O顺时针依次旋转90°、180°、270°，并画出它变换后的图形，你会得到一个美丽的图形，快来试一试吧!四、综合应用，再接再厉！（本大题共21分）1．（本小题10分）如图15，△ABC中，∠BAC=120°，以BC为边向形外作等边△BCD，把△ABD绕点D按顺时针方向旋转60°后到△ECD的位置．若AB=3，AC=2，求∠BAD的度数和AD的长．2．（本小题11分）观察下列图案，你能利用图案16来分析图案17和图案18是如何形成的吗？参考答案：一、1．（1），（4），（5） 2．等腰直角，12 3．直角，124．37° 5．3，平行且相等，平行且相等6．55°7．三角形，180，全等 8．相等 9．小正方形AEOF，三，△AOD（答案不惟一），三二、1．B2．B3．D4．B5．B6．C7．C8．B9．D三、1．略． 2．略． 3．将其中的关键点绕上顶点逆时针旋转90°后，连接各关键点成“A”即可．图略．4．略．5．略．四、1．AD=5．2．图案17是将图案16进行连续的平移得到的；图案18是将图案16进行连续的平移、旋转再平移得到的．说明略．。