多回路闭环系统传递函数的求解方法及应用

多回路闭环系统传递函数的求解方法及应用摘要:本文在分析闭环系统传递函数求解方法的基础上归纳得出三个计算式并分析应用,利用这三个计算式可以巧妙、快速求解出闭环系统的传递函数,省去了通过化简系统方块图逐步求解传递函数的复杂过程,学生容易掌握。

关键词:闭环回路传递函数方块图信号流程图
在机械工程控制基础课程中,为了分析动态系统的性能往往需要建立系统的微分方程,画出系统方块图、化简方块图等步骤,最后求解系统的传递函数,为系统的响应及性能分析提供必要的依据。

通常传递函数的求解有以下三种方法:一是通过分析系统建立系统的微分方程取拉氏变换求得;二是利用系统方块图或信号流图进行等效的逐步化简求得;三是利用梅逊公式求得。

通过微分方程的拉氏变换适用于系统比较简单、容易建立微分方程的场合;利用方块图或信号流图逐步化简过程繁琐,而且容易出错。

本文在上述三种方法的基础上归纳得出三个个计算式,利用这三个计算式可以巧妙、快速求解出闭环系统的传递函数,省去了通过化简系统方块图逐步求解传递函数的复杂过程,学生容易掌握。

1 闭环系统的传递函数及其求解方法
1.1 传递函数、方块图与梅逊公式
传递函数是经典控制论中对线性系统进行分析、研究与综合的重要数学模型形式,它通过输入与输出之间信息的传递关系来描述系统本身的动态特性。

传递函数的定义[1]:线性定常系统的传递函数是初始条件为零时,系统输出的拉氏变换比输入的拉氏变换,即:, 用方块图表示如图1所示。

一个系统的传递函数可以看成是由一些典型环节组合而成的,而方块图就是系统中各个环节的功能和信号流向的图解表示方法。

当线性系统的方块图比较简单时通过对方块图进行等效的化简可以得出系统的总传递函数;当系统的方块图复杂时可以采用信号流图梅逊公式求得。

所以由系统的方块图或信号流图都可以求解出系统的传递函数。

1.2 闭环系统传递函数的求解方法
1.2.1 一条前向通道传递函数的求解
在只有一个输入和输出的线性定常系统中,当闭环系统只有一条前向通道的时候其传递函数可按下面两种情况进行求解。

(1)回路中无互不接触回路。

当前向通道只有一条,而且回路中有公共节点(即无互不接触回路),则闭环系统的传递函数可按下式进行求解:
1.3 求解多回路闭环系统传递函数的步骤
求解多回路闭环系统传递函数的一般步骤如下。

(1)找前向通道:找出方块图中或信号流图中所有的前向通道,并计算各个前向通道各环节传递函数的乘积。

(2)找回路:找出方块图中或信号流图中各个反馈回路,并计算各个回路传递函数的乘积。

(3)找互不接触回路,从每两个互不接触回路开始找起,找到最后每m个互不接触回路,并计算每两个至每m个互不接触回路传递函数的乘积。

(4)判断根据上述三个计算式进行计算,求出该系统总传递函数的表达式。

2 应用举例
2.1 单前向通道无互不接触回路闭环系统传递函数的求解
已知系统方块图如图2所示,按照多回路闭环系统传递函数的求解步骤如下。

(1)找前向通道:由图2可知前向通道只有1条,故其传递函数各环节传递函数的乘积:。

3 结语
实践证明利用上述三个计算式求解闭环系统的传递函数不仅无需对复杂的方块图进行逐步化简,省去繁琐的化简过程,而且简单、快捷,学生容易掌握,不易出错。

参考文献
[1]陈康宁.机械工程控制基础[M].西安交通大学出版社,1999.
[2]陆宁.化简方块图的新公式[J].东华大学学报(自然科学版),2001,2(27):35～37.。