【真题】15年福建省泉州一中高三(上)数学期中试卷含答案(文科)

2014-2015学年福建省泉州一中高三（上）期中数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，1．（5分）已知全集I={1，2，3，4，5，6}，集合A={2，3，5，6}，B={1，3}，则（∁I A）∪B为（）A．{3}B．{1，3}C．{3，4}D．{1，3，4}2．（5分）命题“∃x∈R，e x＞x”的否定是（）A．∃x∈R，e x＜x B．∀x∈R，e x＜x C．∀x∈R，e x≤x D．∃x∈R，e x≤x 3．（5分）若点P（x，y）满足线性约束条件，则z=4x+y的最大值为（）A．1 B．2 C．3 D．44．（5分）设m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列为真命题的是（）A．若α⊥β，m⊥α，则m∥βB．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥βC．若m⊥α，n∥m，则n⊥αD．若m∥α，n∥α，则m∥n5．（5分）若函数f（x）=，则f（f（e））=（）（其中e为自然对数的底数）A．1 B．2 C．e D．56．（5分）设向量=（1，x），=（2，1﹣x），则“x=﹣1”是“⊥”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件7．（5分）若命题p：∃α∈R，cos（π﹣α）=cosα；命题q：∀x∈R，x2+1＞0．则下面结论正确的是（）A．p是假命题B．￢q是真命题C．p∧q是假命题D．p∨q是真命题8．（5分）已知直线y=k（x+2）与圆O：x2+y2=2交于A、B两点，若|AB|=2则实数k的值为（）A．±B．±C．±D．±9．（5分）函数y=sin（2x+φ）的图象沿x轴向左平移个单位后，得到一个偶函数的图象，则φ的一个可能的值为（）A． B．C．0 D．10．（5分）定义在R上的函数满足以下三个条件：①对任意的x∈R，都有f（x+4）=f（x）；②对任意的x1，x2∈[0，2]且x1＜x2，都有f（x1）＜f（x2）；③函数f（x+2）的图象关于y轴对称，则下列结论正确的是（）A．f（4.5）＜f（7）＜f（6.5）B．f（7）＜f（4.5）＜f（6.5）C．f（7）＜f（6.5）＜f（4.5）D．f（4.5）＜f（6.5）＜f（7）11．（5分）如图所示点F是抛物线y2=8x的焦点，点A、B分别在抛物线y2=8x 及圆（x﹣2）2+y2=16的实线部分上运动，且AB总是平行于x轴，则△FAB的周长的取值范围是（）A．（6，10）B．（8，12）C．[6，8]D．[8，12]12．（5分）设函数f（x）的定义域为D．如果∀x∈D，∃y∈D，使（C为常数）成立，则称函数f（x）在D上的均值为C，给出下列四个函数①y=x3；②；③y=lnx；④y=2sinx+1，则满足在其定义域上均值为1的函数的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在答题卷相应位置．13．（4分）在等差数列{a n}中，a2+a8=10，则S9的值为．14．（4分）已知向量，的夹角为，=（﹣1，1），||=2，则|+2|=．15．（4分）一个组合体的三视图如图，则其体积为．16．（4分）已知F1，F2是双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左右两个焦点，过点F1作垂直于x轴的直线与双曲线的两条渐近线分别交于A，B两点，△ABF2是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围．三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，把答案填在答题卷相应位置．17．（12分）设函数．（1）写出函数f（x）的最小正周期及单调递减区间；（2）当时，函数f（x）的最大值与最小值的和为，求a的值．18．（12分）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且2cosAcosC+1=2sinAsinC．（Ⅰ）求B的大小；（Ⅱ）若，，求△ABC的面积．19．（12分）设数列{a n}的前n项和为s n，点（n，）（n∈N*）均在函数y=x+1的图象上．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若{b n}为正项等比数列，且b1=1，b1b2b3=8，求{b n}的通项公式和前n项和G n；（3）求{a n•b n}的前n项和T n．20．（12分）如图，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为矩形，PA=AB=，AD=1，点F是PB的中点，点E在边BC上移动．（Ⅰ）当点E为BC的中点时，证明EF∥平面PAC；（Ⅱ）求三棱锥E﹣PAD的体积；（Ⅲ）证明：无论点E在边BC的何处，都有PE⊥AF．21．（12分）如图，椭圆C：焦点在x轴上，左、右顶点分别为A1、A，上顶点为B，抛物线C1、C2分别以A、B为焦点，其顶点均为坐标原点O．C1与C2相交于直线上一点P．（Ⅰ）求椭圆C及抛物线C1、C2的方程；（Ⅱ）若动直线l与直线OP垂直，且与椭圆C交于不同两点M、N，已知点，0），求•的最小值．22．（14分）设函数f（x）=lnx﹣ax（a∈R）（e=2.718 28…是自然对数的底数）．（Ⅰ）当a=1时，求f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）判断f（x）的单调性；（Ⅲ）证明：当x∈（1，+∞）时，•x＜e．2014-2015学年福建省泉州一中高三（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，1．（5分）已知全集I={1，2，3，4，5，6}，集合A={2，3，5，6}，B={1，3}，则（∁I A）∪B为（）A．{3}B．{1，3}C．{3，4}D．{1，3，4}【解答】解：因为全集I={1，2，3，4，5，6}，集合A={2，3，5，6}，所以∁I A={1，4，6}，又B={1，3}，则（∁I A）∪B={1，3，4，6}，故选：D．2．（5分）命题“∃x∈R，e x＞x”的否定是（）A．∃x∈R，e x＜x B．∀x∈R，e x＜x C．∀x∈R，e x≤x D．∃x∈R，e x≤x 【解答】解：由题意，∵原命题“∃x∈R，e x＞x”∴命题“∃x∈R，e x＞x”的否定是：“∀x∈R，e x≤x”故选：C．3．（5分）若点P（x，y）满足线性约束条件，则z=4x+y的最大值为（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：由线性约束条件作可行域如图，联立，解得．∴B（）．由图可知，使z=4x+y取得最大值的最优解为B（）．∴z=4x+y的最大值为．故选：D．4．（5分）设m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列为真命题的是（）A．若α⊥β，m⊥α，则m∥βB．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥βC．若m⊥α，n∥m，则n⊥αD．若m∥α，n∥α，则m∥n【解答】解：对于A：直线m也可以在平面β内．对于B：α与β也可以相交．可以举出墙角的例子．对于C：根据线面垂直的判定和性质可得结论是正确的．对于D：m与n可能平行也可能相交也可能异面．故选：C．5．（5分）若函数f（x）=，则f（f（e））=（）（其中e为自然对数的底数）A．1 B．2 C．e D．5【解答】解：由题意得，f（x）=，则f（e）=lne=1，所以f（f（e））=f（1）=1+1=2，故选：B．6．（5分）设向量=（1，x），=（2，1﹣x），则“x=﹣1”是“⊥”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：若⊥，则•=2+x（1﹣x）=0，即x2﹣x﹣2=0，解得x=﹣1或x=2，则“x=﹣1”是“⊥”的充分不必要条件，故选：A．7．（5分）若命题p：∃α∈R，cos（π﹣α）=cosα；命题q：∀x∈R，x2+1＞0．则下面结论正确的是（）A．p是假命题B．￢q是真命题C．p∧q是假命题D．p∨q是真命题【解答】解：∵α=0时，cos（π﹣0）=cosπ=cos0=1；∴命题p：∃α∈R，cos（π﹣α）=cosα是真命题；∵∀x∈R，x2+1≥1＞0，∴命题q是真命题；∴A中p是假命题是错误的；B中￢q是真命题是错误的；C中p∧q是假命题是错误的；D中p∨q是真命题正确；故选：D．8．（5分）已知直线y=k（x+2）与圆O：x2+y2=2交于A、B两点，若|AB|=2则实数k的值为（）A．±B．±C．±D．±【解答】解：∵直线y=k（x+2）与圆O：x2+y2=2交于A、B两点，|AB|=2，∴圆心O（0，0）到直线y=k（x+2）的距离为=1，∴d==1，解得k=．故选：A．9．（5分）函数y=sin（2x+φ）的图象沿x轴向左平移个单位后，得到一个偶函数的图象，则φ的一个可能的值为（）A． B．C．0 D．【解答】解：令y=f（x）=sin（2x+φ），则f（x+）=sin[2（x+）+φ]=sin（2x++φ），∵f（x+）为偶函数，∴+φ=kπ+，∴φ=kπ+，k∈Z，∴当k=0时，φ=．故φ的一个可能的值为．故选：B．10．（5分）定义在R上的函数满足以下三个条件：①对任意的x∈R，都有f（x+4）=f（x）；②对任意的x1，x2∈[0，2]且x1＜x2，都有f（x1）＜f（x2）；③函数f（x+2）的图象关于y轴对称，则下列结论正确的是（）A．f（4.5）＜f（7）＜f（6.5）B．f（7）＜f（4.5）＜f（6.5）C．f（7）＜f（6.5）＜f（4.5）D．f（4.5）＜f（6.5）＜f（7）【解答】解：由①可得函数的图象关于直线x=4对称；，由②可得函数在[0，2]上是增函数；由③可得函数f（x+2）为偶函数，故f（2﹣x）=f（2+x），故函数f（x）的图象关于直线x=2对称．综上可得，函数f（x）是周期等于4的周期函数，且函数在[0，2]上是增函数，在[2，4]上是减函数．再由f（4.5）=f（0.5），f（7）=f（3）=f（2+1）=f（2﹣1）=f（1），f（6.5）=f（2.5）=f（2+0.5）=f（2﹣0.5）=f（1.5），故有f（4.5）＜f（7）＜f（6.5），故选：A．11．（5分）如图所示点F是抛物线y2=8x的焦点，点A、B分别在抛物线y2=8x 及圆（x﹣2）2+y2=16的实线部分上运动，且AB总是平行于x轴，则△FAB的周长的取值范围是（）A．（6，10）B．（8，12）C．[6，8]D．[8，12]【解答】解：抛物线的准线l：x=﹣2，焦点F（2，0），由抛物线定义可得|AF|=x A+2，圆（x﹣2）2+y2=16的圆心为（2，0），半径为4，∴△FAB的周长=|AF|+|AB|+|BF|=x A+2+（x B﹣x A）+4=6+x B，由抛物线y2=8x及圆（x﹣2）2+y2=16可得交点的横坐标为2，∴x B∈（2，6）∴6+x B∈（8，12）故选：B．12．（5分）设函数f（x）的定义域为D．如果∀x∈D，∃y∈D，使（C为常数）成立，则称函数f（x）在D上的均值为C，给出下列四个函数①y=x3；②；③y=lnx；④y=2sinx+1，则满足在其定义域上均值为1的函数的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：①对于函数y=x3，定义域为R，设x∈R，由，得y3=2﹣x3，所以∈R，所以函数y=x3是定义域上均值为1的函数；②对于，定义域为R，设x∈R，由，得，当x=﹣2时，，不存在实数y的值，使，所以该函数不是定义域上均值为1的函数；③对于函数y=lnx，定义域是（0，+∞），设x∈（0，+∞），由，得lny=2﹣lnx，则y=e2﹣lnx∈R，所以该函数是定义域上均值为1的函数；④对于函数y=2sinx+1，定义域是R，设x∈R，由，得siny=﹣sinx，因为﹣sinx∈[﹣1，1]，所以存在实数y，使得siny=﹣sinx，所以函数y=2sinx+1是定义域上均值为1的函数．所以满足在其定义域上均值为1的函数的个数是3．故选：C．二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在答题卷相应位置．13．（4分）在等差数列{a n}中，a2+a8=10，则S9的值为45．【解答】解：在等差数列{a n}中，∵a2+a8=10，∴S9=（a1+a9）===45．故答案为：45．14．（4分）已知向量，的夹角为，=（﹣1，1），||=2，则|+2|=．【解答】解：；∴=2+8+16=26；∴．故答案为：．15．（4分）一个组合体的三视图如图，则其体积为20π．【解答】解：三视图复原的几何体是下部为底面半径为2高为4的圆柱，上部是底面半径为2高为3的圆锥，所以几何体的体积为：=20π．故答案为：20π．16．（4分）已知F1，F2是双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左右两个焦点，过点F1作垂直于x轴的直线与双曲线的两条渐近线分别交于A，B两点，△ABF2是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围（1，）．【解答】解：根据题意，双曲线的渐近线方程为y=x，将x=﹣c，代入解得，A（﹣c，），B（﹣c，）．易得AB=，F1F2=2c，由题设条件可知△ABF2为等腰三角形，△ABF2是锐角三角形，只要∠AF2B为锐角，即AF1＜F1F2即可；所以有＜2c，即4a2＞c2﹣a2，解出e∈（1，），故答案为：（1，）．三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，把答案填在答题卷相应位置．17．（12分）设函数．（1）写出函数f（x）的最小正周期及单调递减区间；（2）当时，函数f（x）的最大值与最小值的和为，求a的值．【解答】解（1），（2分）∴T=π．（4分）．故函数f（x）的单调递减区间是．（6分）（2）∵，∴．∴．（8分）当时，原函数的最大值与最小值的和=，∴a=0（12分）18．（12分）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且2cosAcosC+1=2sinAsinC．（Ⅰ）求B的大小；（Ⅱ）若，，求△ABC的面积．【解答】解：（Ⅰ）由2cosAcosC+1=2sinAsinC 得：∴2（cosAcosC﹣sinAsinC）=﹣1，∴，∴，又0＜B＜π，∴．（Ⅱ）由余弦定理得：，∴，又，，∴，故，∴．19．（12分）设数列{a n}的前n项和为s n，点（n，）（n∈N*）均在函数y=x+1的图象上．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若{b n}为正项等比数列，且b1=1，b1b2b3=8，求{b n}的通项公式和前n项和G n；（3）求{a n•b n}的前n项和T n．【解答】解：（1）∵数列{a n}的前n项和为S n，点（n，）（n∈N*）均在函数y=x+1的图象上，∴，，当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=（n2+n）﹣[（n﹣1）2+（n﹣1）]=2n，当n=1时，a1=S1=2，∴a n=2n．（2）∵=8，∴b2=2，∵b1=1，∴q==2，∴=2n﹣1，∴G n===2n﹣1．（3）∵a n=2n，，∴a n•b n=2n•2n﹣1=n•2n，T n=1×21+2×22+3×23+…+（n﹣1）×2n﹣1+n×2n，①∴2T n=1×22+2×23+3×24+…+（n﹣1）×2n+n×2n+1，②①﹣②，得﹣T n=21+22+23+24+…+2n﹣1+2n﹣n×2n+1=﹣n×2n+1，=2n+1﹣2﹣n•2n+1，∴T n=（n﹣1）•2n+1+2．20．（12分）如图，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为矩形，PA=AB=，AD=1，点F是PB的中点，点E在边BC上移动．（Ⅰ）当点E为BC的中点时，证明EF∥平面PAC；（Ⅱ）求三棱锥E﹣PAD的体积；（Ⅲ）证明：无论点E在边BC的何处，都有PE⊥AF．【解答】（本小题共12分）（Ⅰ）证明：连结AC，EF∵点E、F分别是边BC、PB的中点∴△PBC中，EF∥PC，…（2分）又EF不包含于平面PAC，PC⊂平面PAC，…（3分）∴当点E是BC的中点时，EF∥平面PAC．…（4分）（Ⅱ）解：∵PA⊥平面ABCD，且AC，AB，BC⊂面ABCD，∴PA⊥AC，PA⊥AB，PA⊥BC，∴Rt△PAD中，PA=，AD=1，∴S=，…（6分）△PAD又四边形ABCD为矩形，∴AD⊥AB，又AD和PA是面PAD上两相交直线，∴AB⊥平面PAD，又AD∥BC，∴AB就是三棱锥E﹣PAD的高．…（7分）===．…（8分）∴V E﹣PAD（Ⅲ）证明：∵PA⊥AB，PA=AB=，点F是PB的中点，∴等腰△PAB中，AF⊥PB，…（9分）又PA⊥BC，AB⊥BC，且PA和AB是平面PAB上两相交直线，∴BC⊥平面PAB，又AF⊂平面PAB，∴AF⊥BC，…（10分）又PB和BC是平面PBC上两相交直线∴AF⊥面PBC，…（11分）又PE⊂平面PBC，∴AF⊥PE，∴无论点E在边BC的何处，都有PE⊥AF成立．…（12分）21．（12分）如图，椭圆C：焦点在x轴上，左、右顶点分别为A1、A，上顶点为B，抛物线C1、C2分别以A、B为焦点，其顶点均为坐标原点O．C1与C2相交于直线上一点P．（Ⅰ）求椭圆C及抛物线C1、C2的方程；（Ⅱ）若动直线l与直线OP垂直，且与椭圆C交于不同两点M、N，已知点，0），求•的最小值．【解答】解：（Ⅰ）由题意知，A（a，0），故抛物线C1的方程可设为y2=4ax，C2的方程为则，得a=4，所以椭圆C：，抛物线C1y2=16x：，抛物线C2：（Ⅱ）由（Ⅰ）知，直线OP的斜率为，所以直线l的斜率为，设直线l方程为由消去y，整理得因为直线l与椭圆C交于不同两点，所以△=128b2﹣20（8b2﹣16）＞0，解得设M（x1，y1），N（x2，y2），则，因为，，所以=因为，所以当时，取得最小值，其最小值等于22．（14分）设函数f（x）=lnx﹣ax（a∈R）（e=2.718 28…是自然对数的底数）．（Ⅰ）当a=1时，求f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）判断f（x）的单调性；（Ⅲ）证明：当x∈（1，+∞）时，•x＜e．【解答】（Ⅰ）解：当a=1时，f（x）=lnx﹣x，f（1）=﹣1，∴切点为（1，﹣1），，f′（1）=0，切线方程为y=﹣1；（Ⅱ）解：，∵x＞0∴当a≤0时，f′（x）≥0，∴f（x）的增区间为（0，+∞），无减区间；当a＞0时，，得，，得x ＞，∴f（x ）的增区间为，减区间为；（Ⅲ）证明：当x∈（1，+∞）时，要证明：•x＜e．即证，即证，即证．即证，∵x＞1即证lnx＜x﹣1，令g（x）=lnx﹣x+1，∵，∴g（x）在（1，+∞）上单调递减，∴g（x）＜g（1）=0，即lnx＜x﹣1，∴当x∈（1，+∞）时，•x＜e．赠送—高中数学知识点【1.3.1】单调性与最大（小）值（1）函数的单调性①定义及判定方法②在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数．③对于复合函数[()]y f g x =，令()u g x =，若()y f u =为增，()u g x =为增，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为减，()u g x =为减，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为增，()u g x =为减，则[()]y f g x =为减；若()y f u =为减，()u g x =为增，则[()]y f g x =为减． （2）打“√”函数()(0)af x x a x=+>的图象与性质 ()f x 分别在(,]a -∞-、[,)a +∞上为增函数，分别在[,0)a -、]a 上为减函数．（3）最大（小）值定义①一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数M 满足：（1）对于任意的xI ∈，都有()f x M ≤； （2）存在0x I ∈，使得0()f x M =．那么，我们称M 是函数()f x 的最大值，记作max ()f x M =．②一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数m 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x m ≥；（2）存在0x I ∈，使得0()f x m =．那么，我们称m 是函数()f x 的最小值，记作max ()f x m =．【1.3.2】奇偶性（4）函数的奇偶性yxo第21页（共21页）①定义及判定方法②若函数()f x 为奇函数，且在0x =处有定义，则(0)0f =．③奇函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相反．④在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数．。