二次根式知识点典型例题习题

21.1 二次根式

知识点

1.二次根式的相关概念：像这样一些正数的算术平方根的式子，我们就把它称二次根式。因此，一般地，我们把形如 a （a ≥0）的式子叫做二次根式，“ ”

称为二次根号。 二次根式a 的特点：

（1）在形式上含有二次根号 ，表示 a 的算术平方根。 （2）被开方数 a ≥0，即必须是非负数。

（3）a 可以是数，也可以是式。

（4）既可表示开方运算，也可表示运算的结果。

2.二次根式中字母的取值范围的基本依据：(1)被开方数不小于零。

(2)分母中有字母时，要保证分母不为零。

3.二次根式的相关等式：a a =2(a ≥0) ⎩⎨⎧<-≥==)0()0(2

a a a a a a 相关例题

1.二次根式的概念

例题一： 下列各式中144,20,,1,3,152222-++-m b a b a ， 二次根式的个数是（）

考点： 二次根式的概念．

分析： 二次根式的被开方数应为非负数，找到根号内为非负数的根式即可． 解答： 解：3a ，12-b 有可能是负数，-144是负数不能作为二次根式的被开方数，所以二次根式的个数是3个。

点评： 本题考查二次根式的概念，注意利用一个数的平方一定是非负数这个知识点．

变式一:下列各式中①，a ②，z y +③，6a ④，32+a ⑤，962++x x ⑥，12-x 一定是二次根式的有()个。

解：①被开方数a 有可能是负数，不一定是二次根式；

②被开方数y+z 有可能是负数，不一定是二次根式；

③被开方数6a 一定是非负数，所以③一定是二次根式；

④被开方数32+a 一定是正数，所以④一定是二次根式；

⑤被开方数22)3(96+=++x x x 一定是非负数，所以⑤一定是二次根式； ⑥被开方数12-x 有可能是负数，不一定是二次根式； 一定是二次根式的有3个，故选C ．

点评： 用到的知识点为：二次根式的被开方数为非负数；一个数的偶次幂一定是非负数，加上一个正数后一定是

正数．

2.二次根式中字母的取值范围的基本依据

例题二：函数y=31

-x 中自变量x 的取值范围是 _______ ．

考点： 函数自变量的取值范围；分式有意义的条件；二次根式有意义的条件． 分析： 根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于0，分母不等于0，列不等式即可求解． 解答： 解：依题意，得x ﹣3＞0，

解得x ＞3．

点评： 本题考查的是函数自变量取值范围的求法．函数自变量的范围一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数是非负数．

变式二：若式子

x

x 1+有意义，则x 的取值范围是_______ ． 考点： 二次根式有意义的条件；分式有意义的条件．

分析： 根据二次根式及分式有意义的条件解答即可．

解答： 解：根据二次根式的性质可知：x+1≥0，即x ≥﹣1，

又因为分式的分母不能为0，

所以x 的取值范围是x ≥﹣1且x ≠0．

点评：此题主要考查了二次根式的意义和性质： 概念：式子a （a ≥0）叫二次根式；

性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义； 当分母中含字母时，还要考虑分母不等于零．

3.二次根式的相关等式

例题三：对任意实数a ，则下列等式一定成立的是（ ）

A ．a a =

B ．a a -=2

C ． a a ±=2

D ． a a =2 考点： 二次根式的性质与化简． 专题： 计算题．

分析： 根据二次根式的化简、算术平方根等概念分别判断． 解答： 解：A 、a 为负数时，没有意义，故本选项错误；

B 、a 为正数时不成立，故本选项错误；

C 、a a =2，故本选项错误．

D 、故本选项正确． 故选D ．

点评： 本题考查了二次根式的化简与性质，正确理解二次根式有意义的条件、算术平方根的计算等知识点是解答问题的关键．

练习题 1．下列式子，哪些是二次根式，1x x>0）、

2、当x在实数范围内有意义？

3、当x

1

1

x+

在实数范围内有意义？

4、下列式子中，是二次根式的是（）

A．．x 5．下列式子中，不是二次根式的是（）

A．1 x

6．已知一个正方形的面积是5，那么它的边长是（）

A．5 B．1

5

D．以上皆不对

7．形如________的式子叫做二次根式．

8．面积为a的正方形的边长为________．

9．负数________平方根．

10、计算

1．2（x≥0）2．23．2

4．2

课后作业

1．某工厂要制作一批体积为1m3的产品包装盒，其高为0.2m，按设计需要， 底面应做成正方形，试问底面边长应是多少？

2．当x是多少时，

x

+x2在实数范围内有意义？

3．

4.x 有（ ）个．

A ．0

B ．1

C ．2

D ．无数

5.已知a 、b =b+4，求a 、b 的值．

6、计算（1）2 （2）-）2 （3）（122 （4）（-2

(5)

练习题与课后作业答案

练习题1、 x>0）、x ≥0，y ≥0）；不

、1x 1x y +．

2、 解：由3x -1≥0，得：x ≥13， 当x ≥13在实数范围内有意义．

3、 解：依题意，得23010x x +≥⎧⎨+≠⎩

由①得：x ≥-32

由②得：x ≠-1

当x ≥-32且x ≠-111

x +在实数范围内有意义． 4．A 5．D 6．B

7a ≥0） 8 9．没有

10、解：（1）因为x ≥0，所以x+1>0