数学高二-选修2-2课时作业 1.4.2 数学归纳法(2)
2018-2019学年高中数学 第1章 4数学归纳法课时作业 北师大版选修2-2
【成才之路】2015-2016学年高中数学 第1章 4数学归纳法课时作业 北师大版选修2-2一、选择题1．用数学归纳法证明等式1＋2＋3＋…＋(n ＋3)＝(n ∈N ＋)时，验 n ＋3 n ＋42证n ＝1时，左边应取的项是( )A ．1B ．1＋2C ．1＋2＋3D ．1＋2＋3＋4[答案] D2．如果1×2×3＋2×3×4＋3×4×5＋…＋n (n ＋1)·(n ＋2)＝n (n ＋1)(n ＋a )(n ＋b )对14一切正整数n 都成立，则a ，b 的值应该等于( )A ．a ＝1，b ＝3B ．a ＝－1，b ＝1C ．a ＝1，b ＝2D ．a ＝2，b ＝3[答案] D[解析] 当n ＝1时，上式可化为ab ＋a ＋b ＝11；①当n ＝2时，上式可化为ab ＋2(a ＋b )＝16. ②由①②可得a ＋b ＝5，ab ＝6，验证可知只有选项D 适合．3．(2014·揭阳一中高二期中)用数学归纳法证明“n 3＋(n ＋1)3＋(n ＋2)3(n ∈N *)能被9整除”，要利用归纳假设证n ＝k ＋1时的情况，只需展开( )A ．(k ＋3)3B ．(k ＋2)3C ．(k ＋1)3D ．(k ＋1)3＋(k ＋2)3[答案] A[解析] 因为从n ＝k 到n ＝k ＋1的过渡，增加了(k ＋3)3，减少了k 3，故利用归纳假设，只需将(k ＋3)3展开，证明余下的项9k 2＋27k ＋27能被9整除．4．某个命题与正整数n 有关，若n ＝k (k ∈N *)时该命题成立，那么可推知n ＝k ＋1时该命题也成立，现已知当n ＝5时该命题不成立，那么可推得( )A ．当n ＝6时该命题不成立B ．当n ＝6时该命题成立C ．当n ＝4时该命题不成立D ．当n ＝4时该命题成立[答案] C[解析] 若原命题正确，则其逆否命题正确，所以若n ＝k (k ∈N *)时该命题成立，那么可推得n ＝k ＋1时该命题也成立，可推得若n ＝k ＋1时命题不成立可推得n ＝k (k ∈N *)时命题不成立，所以答案为C ．5．(2014·合肥一六八中高二期中)观察下列各式：已知a ＋b ＝1，a 2＋b 2＝3，a 3＋b 3＝4，a 4＋b 4＝7，a 5＋b 5＝11，…，则归纳猜测a 7＋b 7＝( )A ．26B ．27C ．28D ．29[答案] D[解析] 观察发现，1＋3＝4,3＋4＝7,4＋7＝11,7＋11＝18,11＋18＝29，∴a 7＋b 7＝29.二、填空题6．(2014·吉林长春一模，13)用数学归纳法证明等式1＋2＋3＋…＋(2n ＋1)＝(n ＋1)(2n ＋1)时，当n ＝1时左边表达式是________；从k →k ＋1需增添的项是________．[答案] 1＋2＋3；4k ＋5(或(2k ＋2)＋(2k ＋3))[解析] 因为用数学归纳法证明等式1＋2＋3＋…＋(2n ＋1)＝(n ＋1)(2n ＋1)时，当n ＝1时，2n ＋1＝3，所以左边表达式是1＋2＋3；从k →k ＋1需增添的项的是4k ＋5或(2k ＋2)＋(2k ＋3)．7．使|n 2－5n ＋5|＝1不成立的最小的正整数是________．[答案] 5[解析] 从n ＝1,2,3,4,5，…，取值逐个验证即可．8．凸k 边形有f (k )条对角线，则凸k ＋1边形的对角线条数f (k ＋1)＝f (k )＋____________.[答案] k －1[解析] 设原凸k 边形的顶点为A 1，A 2，…，A k ，增加一个顶点A k ＋1，增加A k ＋1与A 2、A 3，…，A k －1共k －2条再加上A 1与A k 的一条连线共k －1条．三、解答题9．数列{a n }满足S n ＝2n －a n (n ∈N *)．(1)计算a 1，a 2，a 3，并猜想a n 的通项公式；(2)用数学归纳法证明(1)中的猜想．[解析] (1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝2－a 1，∴a 1＝1；当n ＝2时，a 1＋a 2＝S 2＝2×2－a 2，∴a 2＝；32当n ＝3时，a 1＋a 2＋a 3＝S 3＝2×3－a 3，∴a 3＝.74由此猜想a n ＝(n ∈N *)2n －12n －1(2)证明：①当n ＝1时，a 1＝1结论成立，②假设n ＝k (k ≥1，且k ∈N *)时结论成立，即a k ＝，2k －12k －1当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝S k ＋1－S k ＝2(k ＋1)－a k ＋1－2k ＋a k ＝2＋a k －a k ＋1，∴2a k ＋1＝2＋a k∴a k ＋1＝＝，∴当n ＝k ＋1时结论成立，2＋ak 22k ＋1－12k 于是对于一切的自然数n ∈N *，a n ＝成立．2n －12n －110．求证：＋＋…＋>(n ≥2，n ∈N ＋)．1n ＋11n ＋213n 56[证明] (1)当n ＝2时，左边＝＋＋＋＝>，不等式成立．13141516576056(2)假设当n ＝k (k ≥2，k ∈N ＋)时不等式成立，即＋＋…＋>，1k ＋11k ＋213k 56则当n ＝k ＋1时，＋＋…＋＋＋＋1 k ＋1 ＋11 k ＋1 ＋213k 13k ＋113k ＋213k ＋3＝＋(1k ＋1＋1k ＋2＋1k ＋3＋…＋13k )(13k ＋1＋13k ＋2＋13k ＋3－1k ＋1)>＋56(13k ＋1＋13k ＋2＋13k ＋3－1k ＋1)>＋56(3×13k ＋3－1k ＋1)＝.56所以当n ＝k ＋1时不等式也成立．由(1)(2)可知原不等式对一切n (n ≥2，n ∈N ＋)都成立.一、选择题1．(2014·秦安县西川中学高二期中)用数学归纳法证明1＋a ＋a 2＋…＋a n ＋1＝(n ∈N *，a ≠1)，在验证n ＝1时，左边所得的项为( )1－an ＋21－a A ．1 B ．1＋a ＋a 2C ．1＋a D ．1＋a ＋a 2＋a 3[答案] B[解析] 因为当n ＝1时，a n ＋1＝a 2，所以此时式子左边＝1＋a ＋a 2.故应选B.2．(2014·衡水一模，6)利用数学归纳法证明不等式1＋＋＋…＋<f (n )121312n －1(n ≥2，n ∈N ＋)的过程，由n ＝k 到n ＝k ＋1时，左边增加了( )A ．1项B ．k 项C ．2k －1项D ．2k 项[答案] D[解析] 1＋＋＋…＋－(1＋＋＋…＋)＝＋＋…＋121312k ＋1－1121312k －112k 12k ＋1，共增加了2k 项．12k ＋1－13．设f (x )是定义在正整数集上的函数，且f (x )满足：“当f (k )≥k 2成立时，总可推出f (k ＋1)≥(k ＋1)2成立”．那么，下列命题总成立的是( )A ．若f (1)＜1成立，则f (10)＜100成立B ．若f (2)＜4成立，则f (1)≥1成立C ．若f (3)≥9成立，则当k ≥1时，均有f (k )≥k 2成立D ．若f (4)≥25成立，则当k ≥4时，均有f (k )≥k 2成立[答案] D[解析] 对于A ，因为“原命题成立，否命题不一定成立”，所以若f (1)＜1成立，则f (10)＜100不一定成立；对于B ，因为“原命题成立，则逆否命题一定成立”，所以只能得出：若f (2)＜4成立，则f (1)＜1成立，不能得出：若f (2)＜4成立，则f (1)≥1成立；对于C ，当k ＝1或2时，不一定有f (k )≥k 2成立；对于D ，因为f (4)≥25≥16，所以对于任意的k ≥4，均有f (k )≥k 2成立．故选D.4．(2014·湖北重点中学高二期中联考)用数学归纳法证明(n ＋1)(n ＋2)…(n ＋n )＝2n ·1·3…(2n －1)(n ∈N *)时，从“n ＝k 到n ＝k ＋1”左边需增乘的代数式为( )A ．2k ＋1B ．2(2k ＋1)C ．D ．2k ＋1k ＋12k ＋3k ＋1[答案] B[解析] n ＝k 时，等式为(k ＋1)(k ＋2)…(k ＋k )＝2k ·1·3·…·(2k －1)，n ＝k ＋1时，等式左边为(k ＋1＋1)(k ＋1＋2)…(k ＋1＋k ＋1)＝(k ＋2)(k ＋3)…(2k )·(2k ＋1)·(2k ＋2)，右边为2k ＋1·1·3·…·(2k －1)(2k ＋1)．左边需增乘2(2k ＋1)，故选B.二、填空题5．设f (n )＝1＋＋＋…＋(n ∈N ＋)，那么f (n ＋1)－f (n )＝________.121312n －1[答案] ＋12n 12n ＋1[解析] ∵f (n ＋1)＝1＋＋＋…＋＋＋，∴f (n ＋1)－f (n )＝＋121312n －112n 12n ＋112n .12n ＋16．若不等式＋＋＋…＋＞对n ∈N *都成立，则正整数m 的最大值为1n ＋11n ＋21n ＋312n m24____________．[答案] 11[解析] 设f (n )＝＋＋…＋，1n ＋11n ＋212n ∴f (n ＋1)＝＋＋…＋1n ＋21n ＋312 n ＋1 ＝＋＋…＋＋＋－1n ＋11n ＋212n 12n ＋112n ＋21n ＋1＝f (n )＋(－)12n ＋112n ＋2＝f (n )＋＞f (n )，12n ＋1 2n ＋2 ∴f (n ＋1)＞f (n )＞…＞f (1)＝＝，∴m ＝11.121224三、解答题7．用数学归纳法证明：1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋.12131412n －112n 1n ＋11n ＋212n [证明] ①当n ＝1时，左边＝1－＝＝＝右边，121211＋1∴当n ＝1时，等式成立．②假设n ＝k 时等式成立，即1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋.12131412k －112k 1k ＋11k ＋212k 则当n ＝k ＋1时，左边＝1－＋－＋…＋－＋－12131412k －112k 12k ＋112k ＋2＝(＋＋…＋)＋－1k ＋11k ＋212k 12k ＋112k ＋2＝(＋…＋＋)＋(－)1k ＋212k 12k ＋11k ＋112k ＋2＝＋…＋＋＋＝右边．1k ＋212k 12k ＋112k ＋2∴n ＝k ＋1时等式成立．由①②知等式对任意n ∈N ＋都成立．[点评] 在利用归纳假设论证n ＝k ＋1等式成立时，注意分析n ＝k 与n ＝k ＋1的两个等式的差别．n ＝k ＋1时，等式左边增加两项，右边增加一项，而且右式的首项由变1k ＋1到.因此在证明中，右式中的应与－合并，才能得到所证式．因此，在论证1k ＋21k ＋112k ＋2之前，把n ＝k ＋1时等式的左右两边的结构先作一下分析是有效的．8．已知函数f (x )＝(x ≥0)．设数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝f (a n )，数列{b n }满足x ＋3x ＋1b n ＝|a n －|，用数学归纳法证明：b n ≤.3 3－1 n2n －1[证明] 当x ≥0时，f (x )＝1＋>1.2x ＋1因为a 1＝1，所以a n ≥1(n ∈N ＋)．下面用数学归纳法证明不等式b n ≤.3－1 n2n －1(1)当n ＝1时，b 1＝－1，不等式成立．3(2)假设当n ＝k (k ≥1)时，不等式成立．即b k ≤，3－1 k 2k －1那么b k ＋1＝|a k ＋1－|＝≤b k ≤.3 3－1 |ak －3|1＋ak3－123－1 k ＋12k所以，当n ＝k ＋1时，不等式也成立．根据(1)和(2)，可知不等式对任意n ∈N ＋都成立．。
最新人教版高中数学选修2-2第二章《数学归纳法》知识梳理
2.3 数学归纳法1．了解数学归纳法的原理．2．能用数学归纳法证明一些简单的数学命题．1．数学归纳法证明一个与正整数n 有关的命题，可按下列步骤进行：第一步，归纳奠基：证明当n 取______________时命题成立．第二步，归纳递推：假设____________时命题成立，证明当________时命题也成立． 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n 0开始的所有正整数n 都成立．上述证明方法叫做数学归纳法．数学归纳法的第一步中n 的初始值怎样确定？ 【做一做1】 用数学归纳法证明1＋a ＋a 2＋…＋a n ＋1＝1－a n ＋21－a(a ≠1)，在验证n ＝1时，等式左边为( )A ．1B ．1＋aC ．1＋a ＋a 2D ．1＋a ＋a 2＋a 3【做一做2】 设S k ＝1k ＋1＋1k ＋2＋1k ＋3＋…＋12k ，则S k ＋1为( )A ．S k ＋12k ＋2B ．S k ＋12k ＋1＋12k ＋2C ．S k ＋12k ＋1－12k ＋2D ．S k ＋12k ＋2－12k ＋1【做一做3】 在应用数学归纳法证明凸n 边形的对角线有12n (n －3)条时，第一步验证n等于__________．2．数学归纳法的框图表示答案：1．第一个值n 0(n 0∈N *) n ＝k (k ≥n 0，k ∈N *) n ＝k ＋1 思考讨论提示：数学归纳法的第一步中n 的初始值应根据命题的具体情况而确定，不一定是n 0＝1，如证明n 边形的内角和为(n －2)·180°时，其初始值n 0＝3.【做一做1】 C 因为左边式子中a 的最高指数是n ＋1，所以当n ＝1时，a 的最高指数为2，根据左边式子的规律可得，当n ＝1时，左边＝1＋a ＋a 2.【做一做2】 C 因式子右边各分数的分母是连续正整数，则由S k ＝1k ＋1＋1k ＋2＋…＋12k ，①得S k ＋1＝1k ＋2＋1k ＋3＋…＋12k ＋12k ＋1＋12(k ＋1).②由②－①，得S k ＋1－S k ＝12k ＋1＋12(k ＋1)－1k ＋1＝12k ＋1－12(k ＋1).故S k ＋1＝S k ＋12k ＋1－12(k ＋1)，故选C. 【做一做3】 3 ∵三角形是边数最少的凸多边形， ∴需验证的第一个n 值为3. 2．n ＝n 0 n ＝k ＋1 正整数1．如何理解数学归纳法？ 剖析：数学归纳法是专门证明与正整数集有关的命题的一种方法，它是一种完全归纳法，是对不完全归纳法的完善．证明分两步，其中第一步是命题成立的基础，称为“归纳奠基”；第二步解决的是延续性问题，又称“归纳递推”．运用数学归纳法证明有关命题应注意以下几点：(1)两个步骤缺一不可．(2)在第一步中，n 的初始值不一定从1取起，也不一定只取一个数(有时需取n ＝n 0，n 0＋1等)，证明应视具体情况而定．(3)第二步中，证明n ＝k ＋1时，必须使用假设，否则就会打破数学归纳法步骤间的严密逻辑关系，造成推理无效．(4)证明n ＝k ＋1成立时，要明确求证的目标形式，一般要凑出假设里给出的形式，以便使用假设，然后再去凑出当n ＝k ＋1时的结论，这样就能有效减少论证的盲目性．数学归纳法的理论根据是皮亚诺的归纳公理：任何一个正整数集A ，若①1∈A ；②由k ∈A 可推出k ＋1∈A ，则A 含有所有的正整数．2．运用数学归纳法要注意哪些？剖析：正确运用数学归纳法应注意以下几点： (1)验证是基础．数学归纳法的原理表明：第一个步骤是要找一个数n 0，这个n 0就是我们要证明的命题对象的最小自然数，这个自然数并不一定都是“1”，因此“找准起点，奠基要稳”是我们正确运用数学归纳法第一个要注意的问题．(2)递推是关键．数学归纳法的实质在于递推，所以从“k ”到“k ＋1”的过程，必须把归纳假设“n ＝k ”作为条件来导出“n ＝k ＋1”时的命题，在推导过程中，要把归纳假设用上一次或几次．(3)正确寻求递推关系．我们已经知道数学归纳法的第二步递推是至关重要的，那么如何寻求递推关系呢？ ①在第一步验证时，不妨多计算几项，并争取正确写出来，这样对发现递推关系是有帮助的．②探求数列通项公式要善于观察式子或命题的变化规律，观察n 处在哪个位置．③在书写f (k ＋1)时，一定要把包含f (k )的式子写出来，尤其是f (k )中的最后一项．除此之外，多了哪些项，少了哪些项都要分析清楚．题型一 用数学归纳法证明等式 【例题1】 用数学归纳法证明：⎝⎛⎭⎫1－14⎝⎛⎭⎫1－19⎝⎛⎭⎫1－116…⎝⎛⎭⎫1－1n 2＝n ＋12n(n ≥2，n ∈N *)． 分析：第一步先验证等式成立的第一个值n 0；第二步在n ＝k 时等式成立的基础上，等式左边加上n ＝k ＋1时新增的项，整理出等式右边的项．反思：在应用数学归纳法证题时应注意以下几点：①验证是基础：找准起点，奠基要稳，有些问题中验证的初始值不一定为1.②递推是关键：正确分析由n ＝k 到n ＝k ＋1时式子项数的变化是应用数学归纳法成功证明问题的保障．③利用假设是核心：在第(2)步证明中一定要利用归纳假设，这是数学归纳法证明的核心环节，否则这样的证明方法就不是数学归纳法．题型二 用数学归纳法证明不等式【例题2】 已知函数f (x )＝13x 3－x ，数列{a n }满足条件：a 1≥1，a n ＋1≥f ′(a n ＋1)，(1)证明：a n ≥2n －1(n ∈N *)． (2)试比较11＋a 1＋11＋a 2＋…＋11＋a n与1的大小，并说明理由． 分析：(1)求f ′(x )→得到式子a n ＋1≥(a n ＋1)2－1→利用数学归纳法证明a n ≥2n －1(n ∈N *)(2)由a n ≥2n －1得1＋a n ≥2n →11＋a n ≤12n →利用放缩法证明不等式成立 反思：利用数学归纳法证明与n 有关的不等式是数学归纳法的主要应用之一，应用过程中注意：①证明不等式时，从n ＝k 到n ＝k ＋1的推导过程中要应用归纳假设，有时需要对目标式进行适当的放缩来实现．②与n 有关的不等式的证明有时并不一定非用数学归纳法不可，还经常用到不等式证明中的比较法、分析法、配方法、放缩法等．题型三 用数学归纳法证明几何问题【例题3】 有n 个圆，其中每两个圆相交于两点，并且每三个圆都不相交于同一点，求证：这n 个圆把平面分成f (n )＝n 2－n ＋2部分．分析：解答本题的关键是在第二步中如何正确地应用假设．反思：用数学归纳法证明几何问题的关键是“找项”，即几何元素从k 个变成(k ＋1)个时，所证的几何量将增加多少，这需用到几何知识或借助于几何图形来分析，在实在分析不出来的情况下，将n ＝k ＋1和n ＝k 分别代入所证的式子，然后作差，即可求出增加量，然后只需稍加说明即可，这也是用数学归纳法证明几何命题的一大技巧．题型四 易错辨析【例题4】 用数学归纳法证明：1＋4＋7＋…＋(3n －2)＝12n (3n －1)．错解：证明：(1)当n ＝1时，左边＝1，右边＝1，左边＝右边，等式成立． (2)假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时等式成立，即1＋4＋7＋…＋(3k －2)＝12k (3k －1)，则当n ＝k ＋1时，需证1＋4＋7＋…＋(3k －2)＋[3(k ＋1)－2]＝12(k ＋1)(3k ＋2)(*)．由于等式左边是一个以1为首项，公差为3，项数为k ＋1的等差数列的前n 项和，其和为12(k ＋1)(1＋3k ＋1)＝12(k ＋1)(3k ＋2)，所以(*)式成立，即n ＝k ＋1时等式成立．根据(1)和(2)，可知等式对一切n ∈N *都成立．错因分析：判断用数学归纳法证明数学问题是否正确，关键要看两个步骤是否齐全，特别是第二步假设是否被应用，如果没有用到假设，那就是不正确的．错解在证明当n ＝k ＋1等式成立时，没有用到假设“当n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时等式成立”，故不符合数学归纳法证题的要求．答案：【例题1】 证明：(1)当n ＝2时，左边＝1－14＝34，右边＝2＋12×2＝34，∴左边＝右边．(2)假设n ＝k (k ≥2，k ∈N *)时结论成立，即⎝⎛⎭⎫1－14⎝⎛⎭⎫1－19…⎝⎛⎭⎫1－1k 2＝k ＋12k . 那么n ＝k ＋1时，利用归纳假设有：⎝⎛⎭⎫1－14⎝⎛⎭⎫1－19…⎝⎛⎭⎫1－1k 2⎣⎡⎦⎤1－1(k ＋1)2＝k ＋12k ⎣⎡⎦⎤1－1(k ＋1)2＝k ＋12k ·k (k ＋2)(k ＋1)2 ＝k ＋22(k ＋1)＝(k ＋1)＋12(k ＋1).∴即n ＝k ＋1时等式也成立．综合(1)(2)知，对任意n ≥2，n ∈N *等式恒成立． 【例题2】 (1)证明：∵f ′(x )＝x 2－1， ∴a n ＋1≥(a n ＋1)2－1＝a 2n ＋2a n .①当n ＝1时，a 1≥1＝21－1，命题成立；②假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时命题成立，即a k ≥2k －1； 那么当n ＝k ＋1时，a k ＋1≥a 2k ＋2a k ＝a k (a k ＋2)≥(2k －1)(2k－1＋2)＝22k －1≥2k ＋1－1.即当n ＝k ＋1时，命题成立， 综上所述，命题成立． (2)解：11＋a 1＋11＋a 2＋…＋11＋a n＜1. ∵a n ≥2n －1，∴1＋a n ≥2n .∴11＋a n ≤12n . ∴11＋a 1＋11＋a 2＋…＋11＋a n≤12＋122＋…＋12n ＝1－12n ＜1. 【例题3】 证明：(1)当n ＝1时，分为两部分，f (1)＝2，命题成立； (2)假设n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时，被分成f (k )＝k 2－k ＋2部分；那么当n ＝k ＋1时，依题意，第k ＋1个圆与前k 个圆产生2k 个交点，第k ＋1个圆被截为2k 段弧，每段弧把所经过的区域分为两部分，∴平面上增加了2k 个区域．∴f (k ＋1)＝f (k )＋2k ＝k 2－k ＋2＋2k ＝(k ＋1)2－(k ＋1)＋2，即n ＝k ＋1时命题成立， 由(1)(2)知命题成立．【例题4】 正解：证明：(1)当n ＝1时，左边＝1，右边＝1，左边＝右边，等式成立．(2)假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时等式成立，即1＋4＋7＋…＋(3k －2)＝12k (3k －1)，则当n ＝k ＋1时，1＋4＋7＋…＋(3k －2)＋[3(k ＋1)－2]＝12k (3k －1)＋(3k ＋1)＝12(3k 2＋5k ＋2)＝12(k ＋1)(3k ＋2)＝12(k ＋1)[3(k ＋1)－1]， 即当n ＝k ＋1时等式成立．根据(1)和(2)，可知等式对一切n ∈N *都成立．1用数学归纳法证明3n≥n 3(n ≥3，n ∈N )，第一步应验证( ) A ．n ＝1 B ．n ＝2 C ．n ＝3 D ．n ＝42已知f (n )＝11112n n n ++++＋ (21)，则( ) A ．f (n )共有n 项，当n ＝2时，f (2)＝1123+B ．f (n )共有n ＋1项，当n ＝2时，f (2)＝111234++C ．f (n )共有n 2－n 项，当n ＝2时，f (2)＝1123+D ．f (n )共有n 2－n ＋1项，当n ＝2时，f (2)＝111234++3已知n 为正偶数，用数学归纳法证明1111234-+-＋…＋11n -＝1112242n n n ⎛⎫++⋅⋅⋅+ ⎪++⎝⎭时，若已假设n ＝k (k ≥2为偶数)时命题为真，则还需要用归纳假设再证( )A ．n ＝k ＋1时等式成立B ．n ＝k ＋2时等式成立C ．n ＝2k ＋2时等式成立D ．n ＝2(k ＋2)时等式成立4设平面内有n 条直线，其中任何两条直线不平行，任何三条直线不共点．若k 条直线将平面分成f (k )个部分，k ＋1条直线将平面分成f (k ＋1)个部分，则f (k ＋1)＝f (k )＋__________.5用数学归纳法证明2222111111234n n+++⋅⋅⋅+<-(n ≥2，n ∈N *)．答案：1．C 由题知，n 的最小值为3，所以第一步验证n ＝3是否成立，选C. 2．D 由题意知f (n )最后一项的分母为n 2， 故f (2)＝2111232++，排除选项A ，选项C. 又f (n )＝211101()n n n n n ++++++-…， 所以f (n )的项数为n 2－n ＋1项．故选D.3．B 因为假设n ＝k (k ≥2为偶数)，故下一个偶数为k ＋2，故选B.4．k ＋1 第k ＋1条直线与原来的k 条直线相交，有k 个交点，这k 个交点把第k ＋1条直线分成k ＋1部分(线段或射线)，这k ＋1部分把它们所在的平面区域一分为二，故平面增加了k ＋1部分．5．分析：证明：(1)当n ＝2时，左边＝21124=，右边＝11122-=. 因为1142<，所以不等式成立． (2)假设n ＝k (k ≥2，k ∈N *)时，不等式成立， 即2222111111234k k++++<-…， 则当n ＝k ＋1时，22222211111111234(1)(1)k k k k +++++<-+++… ＝22222(1)1(1)111(1)(1)(1)k k k k k k k k k k k k +-+++-=-<-+++ ＝111k -+. 所以当n ＝k ＋1时，不等式也成立．综上所述，对任意n ≥2的正整数，不等式都成立．。
北师大版数学高二课时作业 1.4 数学归纳法
1.4 数学归纳法1．在用数学归纳法证明“2n >n 2对从n 0开始的所有正整数都成立”时，第一步验证的n 0＝( ) A ．1 B ．3 C ．5D ．72．用数学归纳法证明“当n 为正奇数时，x n ＋y n 能被x ＋y 整除”的第二步是( ) A ．假设n ＝2k ＋1时正确，再推n ＝2k ＋3正确 B ．假设n ＝2k －1时正确，再推n ＝2k ＋1正确 C ．假设n ＝k 时正确，再推n ＝k ＋1正确D ．假设n ≤k (k ≥1)，再推n ＝k ＋2时正确(以上k ∈N ＋)3．凸n 边形有f (n )条对角线，则凸n ＋1边形的对角线条数f (n ＋1)为( ) A ．f (n )＋n ＋1 B ．f (n )＋n C ．f (n )＋n －1D ．f (n )＋n －24．用数学归纳法证明不等式1n ＋1＋1n ＋2＋…＋1n ＋n >1324的过程中，由n ＝k 到n ＝k ＋1时，不等式左边的变化情况为( ) A ．增加12(k ＋1)B ．增加12k ＋1＋12(k ＋1)C ．增加12k ＋1＋12(k ＋1)，减少1k ＋1D ．增加12(k ＋1)，减少1k ＋15．用数学归纳法证明1＋2＋22＋…＋2n －1＝2n －1(n ∈N ＋)的过程如下： ①当n ＝1时，左边＝1，右边＝21－1＝1，等式成立． ②假设当n ＝k 时，等式成立，即 1＋2＋22＋…＋2k －1＝2k －1， 则当n ＝k ＋1时，1＋2＋22＋…＋2k －1＋2k ＝1－2k ＋11－2＝2k ＋1－1， 所以，当n ＝k ＋1时等式成立．由此可知，对任何n ∈N ＋，等式都成立． 上述证明的错误是________．6．用数学归纳法证明121×3＋223×5＋…＋n 2(2n －1)(2n ＋1)＝n (n ＋1)2(2n ＋1)，推证当n ＝k ＋1时等式也成立时，只需证明等式____________________________________成立即可．7．数列{a n }满足a n >0(n ∈N ＋)，S n 为数列{a n }的前n 项和，并且满足S n ＝12⎝⎛⎭⎫a n ＋1a n ，求S 1，S 2，S 3的值，猜想S n 的表达式，并用数学归纳法证明．8．用数学归纳法证明1＋n 2≤1＋12＋13＋…＋12n ≤12＋n (n ∈N ＋)．参考答案1．【答案】C【解析】n 的取值与2n ，n 2的取值如下表：由于2n 2n >n 2. 2．【答案】B【解析】因为n 为正奇数，据数学归纳法证题步骤，第二步应先假设第k 个正奇数也成立，本题即假设n ＝2k －1正确，再推第(k ＋1)个正奇数即n ＝2k ＋1正确． 3．【答案】C【解析】凸n 边形有f (n )条对角线，每增加1条边，增加的那个顶点对应n －2条对角线，它的相邻的两个顶点连成1条对角线，故凸n ＋1边形的对角线条数f (n ＋1)比f (n )多n －1条． 4．【答案】C【解析】当n ＝k 时，不等式的左边＝1k ＋1＋1k ＋2＋…＋1k ＋k ，当n ＝k ＋1时，不等式的左边＝1k ＋2＋1k ＋3＋…＋1(k ＋1)＋(k ＋1)，又1k ＋2＋1k ＋3＋…＋1(k ＋1)＋(k ＋1)－⎝⎛⎭⎫1k ＋1＋1k ＋2＋…＋1k ＋k ＝12k ＋1＋12(k ＋1)－1k ＋1，所以由n ＝k 到n ＝k ＋1时，不等式的左边增加12k ＋1＋12(k ＋1)，减少1k ＋1.5．【答案】没有用上归纳假设进行递推 【解析】当n ＝k ＋1时正确的解法是1＋2＋22＋…＋2k －1＋2k ＝2k －1＋2k ＝2k ＋1－1， 即一定用上第二步中的假设．6．【答案】k (k ＋1)2(2k ＋1)＋(k ＋1)2(2k ＋1)(2k ＋3)＝(k ＋1)(k ＋2)2(2k ＋3)【解析】当n ＝k ＋1时，121×3＋223×5＋…＋k 2(2k －1)(2k ＋1)＋(k ＋1)2(2k ＋1)(2k ＋3)＝k (k ＋1)2(2k ＋1)＋(k ＋1)2(2k ＋1)(2k ＋3)，故只需证明k (k ＋1)2(2k ＋1)＋(k ＋1)2(2k ＋1)(2k ＋3)＝(k ＋1)(k ＋2)2(2k ＋3)即可．7．解：由a n >0，得S n >0，由a 1＝S 1＝12⎝⎛⎭⎫a 1＋1a 1，整理得a 21＝1， 取正根得a 1＝1，所以S 1＝1.由S 2＝12⎝⎛⎭⎫a 2＋1a 2及a 2＝S 2－S 1＝S 2－1，得S 2＝12⎝⎛⎭⎫S 2－1＋1S 2－1，整理得S 22＝2，取正根得S 2＝ 2. 同理可求得S 3＝ 3. 由此猜想S n ＝n . 用数学归纳法证明如下：(1)当n ＝1时，上面已求出S 1＝1，结论成立． (2)假设当n ＝k (k ∈N ＋)时，结论成立，即S k ＝k . 那么，当n ＝k ＋1时，S k ＋1＝12⎝⎛⎭⎫a k ＋1＋1a k ＋1＝12⎝⎛⎭⎫S k ＋1－S k ＋1S k ＋1－S k ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫S k ＋1－k ＋1S k ＋1－k .整理得S 2k ＋1＝k ＋1，取正根得S k ＋1＝k ＋1. 即当n ＝k ＋1时，结论也成立．由(1)(2)可知，对任意n ∈N ＋，S n ＝n 都成立． 8．解：(1)当n ＝1时，左式＝1＋12，右式＝12＋1，且32≤1＋12≤32，命题成立． (2)假设当n ＝k (n ∈N ＋)时， 命题成立，即1＋k 2≤1＋12＋13＋…＋12k ≤12＋k ，则当n ＝k ＋1时，1＋12＋13＋…＋12k ＋12k ＋1＋12k ＋2＋…＋12k ＋2k >1＋k 2＋2k ·12k ＋1＝1＋k ＋12. 又1＋12＋13＋…＋12k ＋1＋12k ＋2＋…＋12k ＋2k <12＋k ＋2k ·12k＝12＋(k ＋1)， 即当n ＝k ＋1时，命题成立．由(1)和(2)可知，命题对所有的n ∈N ＋都成立．。
高中数学选修2-2课时作业2：习题课 数学归纳法
习题课 数学归纳法一、基础过关1．用数学归纳法证明1＋12＋13＋…＋12n －1<n (n ∈N *，n >1)时，第一步应验证不等式( ) A ．1＋12<2 B ．1＋12＋13<2 C ．1＋12＋13<3 D ．1＋12＋13＋14<3 [答案] B[解析] ∵n >1且n ∈N *，∴n 取的第一个值n 0＝2.∴第一步应验证：1＋12＋13<2，选B. 2．用数学归纳法证明“2n >n 2＋1对于n ≥n 0的自然数n 都成立”时，第一步证明中的起始值n 0应取( )A ．2B ．3C ．5D ．6[答案] C[解析] 当n 取1、2、3、4时2n >n 2＋1不成立，当n ＝5时，25＝32>52＋1＝26，第一个能使2n >n 2＋1的n 值为5，故选C.3．已知f (n )＝1＋12＋13＋…＋1n (n ∈N *)，证明不等式f (2n )>n 2时，f (2k ＋1)比f (2k )多的项数是( ) A ．2k －1项 B ．2k ＋1项C ．2k 项D ．以上都不对[答案] C[解析] 观察f (n )的表达式可知，右端分母是连续的正整数，f (2k )＝1＋12＋…＋12k ， 而f (2k ＋1)＝1＋12＋…＋12k ＋12k ＋1＋12k ＋2＋…＋12k ＋2k. 因此f (2k ＋1)比f (2k )多了2k 项．4．用数学归纳法证明不等式1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n >1124(n ∈N *)的过程中，由n ＝k 递推到n ＝k ＋1时，下列说法正确的是( )A ．增加了一项12(k ＋1)B ．增加了两项12k ＋1和12(k ＋1)C ．增加了B 中的两项，但又减少了一项1k ＋1D ．增加了A 中的一项，但又减少了一项1k ＋1[答案] C[解析] 当n ＝k 时，不等式左边为1k ＋1＋1k ＋2＋…＋12k ， 当n ＝k ＋1时，不等式左边为1k ＋2＋1k ＋3＋…＋12k ＋12k ＋1＋12k ＋2，故选C. 5．用数学归纳法证明“n 3＋(n ＋1)3＋(n ＋2)3(n ∈N *)能被9整除”，要利用归纳假设证n ＝k ＋1时的情况，只需展开( )A ．(k ＋3)3B ．(k ＋2)3C ．(k ＋1)3D ．(k ＋1)3＋(k ＋2)3[答案] A[解析] 假设当n ＝k 时，原式能被9整除，即k 3＋(k ＋1)3＋(k ＋2)3能被9整除．当n ＝k ＋1时，(k ＋1)3＋(k ＋2)3＋(k ＋3)3为了能用上面的归纳假设，只需将(k ＋3)3展开，让其出现k 3即可．6．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝1，S n ＝n 2a n (n ∈N *)．依次计算出S 1，S 2，S 3，S 4后，可猜想S n 的表达式为________________．[答案] S n ＝2n n ＋1[解析] S 1＝1，S 2＝43，S 3＝32＝64，S 4＝85， 猜想S n ＝2n n ＋1. 7．已知正数数列{a n }(n ∈N *)中，前n 项和为S n ，且2S n ＝a n ＋1a n，用数学归纳法证明：a n ＝n －n －1.证明 (1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝12(a 1＋1a 1)， ∴a 21＝1(a n >0)，∴a 1＝1，又1－0＝1，∴n ＝1时，结论成立．(2)假设n ＝k (k ∈N *)时，结论成立，即a k ＝k －k －1.当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝S k ＋1－S k＝12(a k ＋1＋1a k ＋1)－12(a k ＋1a k ) ＝12(a k ＋1＋1a k ＋1)－12(k －k －1＋1k －k －1) ＝12(a k ＋1＋1a k ＋1)－k . ∴a 2k ＋1＋2ka k ＋1－1＝0，解得a k ＋1＝k ＋1－k (a n >0)， ∴n ＝k ＋1时，结论成立．由(1)(2)可知，对n ∈N *都有a n ＝n －n －1.二、能力提升8．对于不等式n 2＋n ≤n ＋1 (n ∈N *)，某学生的证明过程如下：①当n ＝1时，12＋1≤1＋1，不等式成立．②假设n ＝k (n ∈N *)时，不等式成立，即k 2＋k ≤k ＋1，则n ＝k ＋1时，(k ＋1)2＋(k ＋1)＝k 2＋3k ＋2<k 2＋3k ＋2＋(k ＋2)＝(k ＋2)2＝(k ＋1)＋1，所以当n ＝k ＋1时，不等式成立，上述证法( )A ．过程全部正确B ．n ＝1验证不正确C ．归纳假设不正确D ．从n ＝k 到n ＝k ＋1的推理不正确[答案] D[解析] 从n ＝k 到n ＝k ＋1的推理中没有使用归纳假设，不符合数学归纳法的证题要求．9．用数学归纳法证明1＋12＋13＋…＋12n －1<n (n ∈N *，n >1)时，在第二步证明从n ＝k 到n ＝k ＋1不等式成立时，左边增加的项数为________．[答案] 2k[解析] 项数为2k ＋1－2k ＝2k .10．证明：62n －1＋1能被7整除(n ∈N *)．证明 (1)当n ＝1时，62－1＋1＝7能被7整除．(2)假设当n ＝k (k ∈N *)时，62k －1＋1能被7整除．那么当n ＝k ＋1时，62(k ＋1)－1＋1＝62k －1＋2＋1＝36×(62k －1＋1)－35.∵62k －1＋1能被7整除，35也能被7整除，∴当n ＝k ＋1时，62(k ＋1)－1＋1能被7整除．由(1)，(2)知命题成立．11．求证：1n ＋1＋1n ＋2＋…＋13n >56(n ≥2，n ∈N *)． 证明 (1)当n ＝2时，左边＝13＋14＋15＋16>56， 不等式成立．(2)假设当n ＝k (k ≥2，k ∈N *)时命题成立，即1k ＋1＋1k ＋2＋…＋13k >56. 则当n ＝k ＋1时，1(k ＋1)＋1＋1(k ＋1)＋2＋…＋13k ＋13k ＋1＋13k ＋2＋13(k ＋1)＝1k ＋1＋1k ＋2＋…＋13k ＋(13k ＋1＋13k ＋2＋13k ＋3－1k ＋1)>56＋(13k ＋1＋13k ＋2＋13k ＋3－1k ＋1)>56＋(3×13k ＋3－1k ＋1)＝56， 所以当n ＝k ＋1时不等式也成立．由(1)和(2)可知，原不等式对一切n ≥2，n ∈N *均成立．12．已知数列{a n }中，a 1＝－23，其前n 项和S n 满足a n ＝S n ＋1S n＋2(n ≥2)，计算S 1，S 2，S 3，S 4，猜想S n 的表达式，并用数学归纳法加以证明．解 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝S n ＋1S n＋2. ∴S n ＝－1S n －1＋2(n ≥2)． 则有：S 1＝a 1＝－23， S 2＝－1S 1＋2＝－34， S 3＝－1S 2＋2＝－45， S 4＝－1S 3＋2＝－56， 由此猜想：S n ＝－n ＋1n ＋2(n ∈N *)． 用数学归纳法证明：(1)当n ＝1时，S 1＝－23＝a 1，猜想成立． (2)假设n ＝k (k ∈N *)猜想成立，即S k ＝－k ＋1k ＋2成立， 那么n ＝k ＋1时，S k ＋1＝－1S k ＋2＝－1－k ＋1k ＋2＋2 ＝－k ＋2k ＋3＝－(k ＋1)＋1(k ＋1)＋2. 即n ＝k ＋1时猜想成立．由(1)(2)可知，对任意正整数n ，猜想结论均成立．三、探究与拓展13．已知递增等差数列{a n }满足：a 1＝1，且a 1，a 2，a 4成等比数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若不等式(1－12a 1)·(1－12a 2)·…·(1－12a n )≤m 2a n ＋1对任意n ∈N *恒成立，试猜想出实数m 的最小值，并证明．解 (1)设数列{a n }公差为d (d >0)，由题意可知a 1·a 4＝a 22，即1(1＋3d )＝(1＋d )2，解得d ＝1或d ＝0(舍去)．所以a n ＝1＋(n －1)·1＝n .(2)不等式等价于12·34·56·…·2n －12n≤m 2n ＋1， 当n ＝1时，m ≥32； 当n ＝2时，m ≥358； 而32>358，所以猜想，m 的最小值为32. 下面证不等式12·34·56·…·2n －12n ≤322n ＋1对任意n ∈N *恒成立． 下面用数学归纳法证明：证明 (1)当n ＝1时，12≤323＝12，命题成立． (2)假设当n ＝k 时，不等式12·34·56·…·2k －12k≤322k ＋1成立， 当n ＝k ＋1时，12·34·56·…·2k －12k ·2k ＋12k ＋2≤322k ＋1·2k ＋12k ＋2，只要证322k ＋1·2k ＋12k ＋2≤322k ＋3， 只要证2k ＋12k ＋2≤12k ＋3， 只要证2k ＋12k ＋3≤2k ＋2， 只要证4k 2＋8k ＋3≤4k 2＋8k ＋4， 只要证3≤4，显然成立． 所以，对任意n ∈N *，不等式12·34·56·…·2n －12n ≤322n ＋1恒成立．。
北师大版高中数学选修2-2课件1.4归纳法
1 解： 由a ，a 可得 0 n 1 1 2 a n 1 2 1 1 a3 a 2 1 3 2 0 2 22
3 a4 2 4 23
……
1
4 a5 3 5 24
1
n
( , , )
（1）当 n1时，左
k 1 k时， ak （2）假设 n 成立。 k
n ( 1 ) 1 n ∴
练习
等比数列中
n a ( 1 q ) 1 S n 1 q
这些与正整数 n 有关的命题，是否对于任何一 个正整数 n 都成立呢？怎样证明呢？
我们来学习一种特殊的证明方法----数学归纳法， 它主要用于研究与正整数 n 有关的数学问题。其基本 步骤为： （1）验证 n1 时，命题成立； （2）在假设时命题成立的前提下， n k ( k 1 ) 推出 n 时，命题成立。 k 1 根据（1）（2）可以断定命题对于一切正整数n 都成立。 那么，数学归纳法为什么能够保证命题对所有的 正整数都成立呢？ 多米诺骨牌演示
使得多米诺游戏可以连续运行的条件： （1）第一张骨牌必须能倒下； （1）是游戏基础 （2）假若第 k 张能倒下，必能 压倒其后的第k+1 张牌。 （2）是游戏继续的条件 数学归纳法 第一步 第二步
体现了
两 步 缺 一 不 可
递推思想 递推的基础 递推的依据，是关键
例1 证明：首项为 a 1 ，公差为 d 的等差数列 { a n }
当n 时， a k 1 k1
a 0 右，等式成立； 1
1 1 2ak 2 k 1 k k (k 1) 1 k 1 k 1
n 1 所以通项公式 an 对于任意正整数 n 都成立。 n
高中高中数学北师大版选修2-2练习课件1.4.2 数学归纳法(2)精选ppt课件
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再见
选修2-2 章 推理与证§明4 数学归纳法
课时作业6 数学归纳法(2)
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1．能用数学归纳法证明一些简单的命题， 体会数学归纳法在等式、不等式、数列、整除以 及几何等方面的用途．
2．体会由有限个特殊事例进行归纳、猜想， 从而得出一般性结论，然后加以证明是科学研究 的重要思想方法．
1 课堂对点训练 2 课后提升训练
知识点二
归纳——猜想——证明
2.[2014·湖南常an)，n∈N*.
(1)写出 a2，a3，a4 的值，并猜想数列{an}的通项公式； (2)用数学归纳法证明你的结论．
解：(1)∵a1＝1，∴a2＝f(a1)＝f(1)＝1＋a a；a3＝f(a2)＝ 2＋a a；a4＝f(a3)＝3＋a a.
课堂对点训练
知识点一
用数学归纳法证明整除问题
1.利用数学归纳法证明：x2n－y2n(n∈N*)能 被x＋y整除．
证明：(1)当n＝1时，x2－y2＝(x＋y)(x－y)， 能被x＋y整除，所以命题成立．
(2)假设当n＝k(k∈N*)时命题成立，即x2k－ y2k能被x＋y整除，
那么，当n＝k＋1时， x2k＋2－y2k＋2＝x2·x2k－y2·y2k－x2·y2k＋ x2·y2k＝x2(x2k－y2k)＋y2k(x2－y2)， 因为x2k－y2k与x2－y2都能被x＋y整除，所以 x2k＋2－y2k＋2能被x＋y整除， 即当n＝k＋1时命题也成立． 根据(1)和(2)，可知命题对任意n∈N*都成 立．
猜想 an＝n－a1＋a(n∈N*)．
(2)证明：(ⅰ)易知，n＝1 时，猜想正确． (ⅱ)假设 n＝k 时猜想正确， 即 ak＝k－1a＋a，
高中数学新人教版选修2-2课时作业：第二章 推理与证明2.3数学归纳法习题课
习题课 数学归纳法明目标、知重点1．进一步掌握数学归纳法的实质与步骤，掌握用数学归纳法证明等式、不等式、整除问题、几何问题等数学命题．2．掌握证明n ＝k ＋1成立的常见变形技巧：提公因式、添项、拆项、合并项、配方等．1．归纳法归纳法是一种由特殊到一般的推理方法，分完全归纳法和不完全归纳法两种，而不完全归纳法得出的结论不具有可靠性，必须用数学归纳法进行严格证明． 2．数学归纳法(1)应用范围：作为一种证明方法，用于证明一些与正整数n 有关的数学命题； (2)基本要求：它的证明过程必须是两步，最后还有结论，缺一不可； (3)注意点：在第二步递推归纳时，从n ＝k 到n ＝k ＋1必须用上归纳假设．题型一 用数学归纳法证明不等式思考 用数学归纳法证明不等式的关键是什么？答 用数学归纳法证明不等式，首先要清楚由n ＝k 到n ＝k ＋1时不等式两边项的变化；其次推证中可以利用放缩、比较、配凑分析等方法，利用归纳假设证明n ＝k ＋1时的结论． 例1 已知数列{b n }的通项公式为b n ＝2n ，求证：对任意的n ∈N *，不等式b 1＋1b 1·b 2＋1b 2·…·b n ＋1b n>n ＋1都成立． 证明 由b n ＝2n ，得b n ＋1b n ＝2n ＋12n， 所以b 1＋1b 1·b 2＋1b 2·…·b n ＋1b n ＝32·54·76·…·2n ＋12n. 下面用数学归纳法证明不等式b 1＋1b 1·b 2＋1b 2·…·b n ＋1b n ＝32·54·76·…·2n ＋12n>n ＋1成立． (1)当n ＝1时，左边＝32，右边＝2，因为32>2，所以不等式成立．(2)假设当n ＝k (k ≥1且k ∈N *)时不等式成立， 即b 1＋1b 1·b 2＋1b 2·…·b k ＋1b k ＝32·54·76·…·2k ＋12k>k ＋1成立．则当n ＝k ＋1时，左边＝b 1＋1b 1·b 2＋1b 2·…·b k ＋1b k ·b k ＋1＋1b k ＋1＝32·54·76·…·2k ＋12k ·2k ＋32k ＋2>k ＋1·2k ＋32k ＋2＝(2k ＋3)24(k ＋1)＝4k 2＋12k ＋94(k ＋1)>4k 2＋12k ＋84(k ＋1)＝4(k 2＋3k ＋2)4(k ＋1)＝4(k ＋1)(k ＋2)4(k ＋1)＝k ＋2＝(k ＋1)＋1. 所以当n ＝k ＋1时， 不等式也成立． 由(1)、(2)可得不等式b 1＋1b 1·b 2＋1b 2·…·b n ＋1b n ＝32·54·76·…·2n ＋12n>n ＋1对任意的n ∈N *都成立．反思与感悟 用数学归纳法证明不等式时要注意两凑：一凑归纳假设；二凑证明目标．在凑证明目标时，比较法、综合法、分析法都可选用．跟踪训练1 用数学归纳法证明122＋132＋142＋…＋1n 2<1－1n (n ≥2，n ∈N *)．证明 当n ＝2时，左式＝122＝14，右式＝1－12＝12，因为14<12，所以不等式成立．假设n ＝k (k ≥2，k ∈N *)时，不等式成立， 即122＋132＋142＋…＋1k 2<1－1k ， 则当n ＝k ＋1时，122＋132＋142＋…＋1k 2＋1(k ＋1)2<1－1k ＋1(k ＋1)2 ＝1－(k ＋1)2－k k (k ＋1)2＝1－k 2＋k ＋1k (k ＋1)2<1－k (k ＋1)k (k ＋1)2 ＝1－1k ＋1， 所以当n ＝k ＋1时，不等式也成立．综上所述，对任意n ≥2的正整数，不等式都成立． 题型二 利用数学归纳法证明整除问题 例2 求证：an ＋1＋(a ＋1)2n －1能被a 2＋a ＋1整除，n ∈N *.证明 (1)当n ＝1时，a1＋1＋(a ＋1)2×1－1＝a 2＋a ＋1，命题显然成立．(2)假设当n ＝k (k ∈N *)时，a k ＋1＋(a ＋1)2k －1能被a 2＋a ＋1整除，则当n ＝k ＋1时，a k ＋2＋(a ＋1)2k ＋1＝a ·a k ＋1＋(a ＋1)2·(a ＋1)2k －1＝aa k ＋1＋(a ＋1)2k －1]＋(a ＋1)2(a ＋1)2k －1－a (a ＋1)2k －1＝aak ＋1＋(a ＋1)2k －1]＋(a 2＋a ＋1)(a ＋1)2k －1.由归纳假设，上式中的两项均能被a 2＋a ＋1整除， 故n ＝k ＋1时命题成立．由(1)(2)知，对任意n ∈N *， 命题成立．反思与感悟 证明整除性问题的关键是“凑项”，先采用增项、减项、拆项和因式分解等手段，凑成n ＝k 时的情形，再利用归纳假设使问题获证． 跟踪训练2 证明x2n －1＋y2n －1(n ∈N *)能被x ＋y 整除．证明 (1)当n ＝1时，x2n －1＋y 2n －1＝x ＋y ，能被x ＋y 整除．(2)假设当n ＝k (k ∈N *)时，命题成立， 即x2k －1＋y2k －1能被x ＋y 整除．那么当n ＝k ＋1时，x 2(k ＋1)－1＋y 2(k ＋1)－1＝x2k ＋1＋y2k ＋1＝x2k －1＋2＋y2k －1＋2＝x 2·x 2k －1＋y 2·y2k －1＋x 2·y2k －1－x 2·y2k －1＝x 2(x 2k －1＋y 2k －1)＋y2k －1(y 2－x 2)．∵x2k －1＋y2k －1能被x ＋y 整除，y 2－x 2＝(y ＋x )(y －x )也能被x ＋y 整除，∴当n ＝k ＋1时，x2(k ＋1)－1＋y2(k ＋1)－1能被x ＋y 整除．由(1)，(2)可知原命题成立． 题型三 利用数学归纳法证明几何问题思考 用数学归纳法证明几何问题的关键是什么？答 用数学归纳法证明几何问题的关键是“找项”，即几何元素从k 个变成k ＋1个时，所证的几何量将增加多少，还需用到几何知识或借助于几何图形来分析，实在分析不出来的情况下，将n ＝k ＋1和n ＝k 分别代入所证的式子，然后作差，即可求出增加量，然后只需稍加说明即可，这也是用数学归纳法证明几何命题的一大技巧．例3 平面内有n (n ∈N *，n ≥2)条直线，其中任何两条不平行，任何三条不过同一点，证明：交点的个数f (n )＝n (n －1)2.证明 (1)当n ＝2时，两条直线的交点只有一个， 又f (2)＝12×2×(2－1)＝1，∴当n ＝2时，命题成立． (2)假设n ＝k (k >2)时，命题成立， 即平面内满足题设的任何k 条直线交点个数f (k )＝12k (k －1)，那么，当n ＝k ＋1时，任取一条直线l ，除l 以外其他k 条直线交点个数为f (k )＝12k (k －1)，l 与其他k 条直线交点个数为k ，从而k ＋1条直线共有f (k )＋k 个交点， 即f (k ＋1)＝f (k )＋k ＝12k (k －1)＋k＝12k (k －1＋2) ＝12k (k ＋1)＝12(k ＋1)(k ＋1)－1]， ∴当n ＝k ＋1时，命题成立．由(1)(2)可知，对任意n ∈N *(n ≥2)命题都成立．反思与感悟 用数学归纳法证明几何问题时，一要注意数形结合，二要注意有必要的文字说明．跟踪训练3 有n 个圆，其中每两个圆相交于两点，并且每三个圆都不相交于同一点，求证：这n 个圆把平面分成f (n )＝n 2－n ＋2部分． 证明 (1)n ＝1时，分为2块，f (1)＝2，命题成立； (2)假设n ＝k (k ∈N *)时， 被分成f (k )＝k 2－k ＋2部分； 那么当n ＝k ＋1时，依题意，第k ＋1个圆与前k 个圆产生2k 个交点，第k ＋1个圆被截为2k 段弧，每段弧把所经过的区域分为两部分，所以平面上净增加了2k 个区域． ∴f (k ＋1)＝f (k )＋2k ＝k 2－k ＋2＋2k ＝(k ＋1)2－(k ＋1)＋2，即n ＝k ＋1时命题成立，由(1)(2)知命题成立． 呈重点、现规律]1．数学归纳法证明与正整数有关的命题，包括等式、不等式、数列问题、整除问题、几何问题等．2．证明问题的初始值n 0不一定，可根据题目要求和问题实际确定n 0.3．从n ＝k 到n ＝k ＋1要搞清“项”的变化，不论是几何元素，还是式子；一定要用到归纳假设.一、基础过关1．用数学归纳法证明等式1＋2＋3＋…＋(n ＋3)＝(n ＋3)(n ＋4)2 (n ∈N *)，验证n ＝1时，左边应取的项是( ) A ．1 B ．1＋2 C ．1＋2＋3 D ．1＋2＋3＋4答案 D解析 等式左边的数是从1加到n ＋3.当n ＝1时，n ＋3＝4，故此时左边的数为从1加到4.2．用数学归纳法证明“2n>n 2＋1对于n ≥n 0的自然数n 都成立”时，第一步证明中的起始值n 0应取( )A ．2B ．3C ．5D ．6答案 C解析 当n 取1、2、3、4时2n>n 2＋1不成立，当n ＝5时，25＝32>52＋1＝26，第一个能使2n >n 2＋1的n 值为5，故选C.3．已知f (n )＝1＋12＋13＋…＋1n (n ∈N *)，证明不等式f (2n )>n 2时，f (2k ＋1)比f (2k)多的项数是( ) A ．2k －1项 B ．2k ＋1项C ．2k项 D ．以上都不对答案 C解析 观察f (n )的表达式可知，右端分母是连续的正整数，f (2k )＝1＋12＋…＋12k ，而f (2k ＋1)＝1＋12＋…＋12k ＋12k ＋1＋12k ＋2＋…＋12k ＋2k .因此f (2k ＋1)比f (2k)多了2k项．4．用数学归纳法证明不等式1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n >1124(n ∈N *)的过程中，由n ＝k 递推到n ＝k＋1时，下列说法正确的是( ) A ．增加了一项12(k ＋1)B ．增加了两项12k ＋1和12(k ＋1)C ．增加了B 中的两项，但又减少了一项1k ＋1D ．增加了A 中的一项，但又减少了一项1k ＋1答案 C解析 当n ＝k 时，不等式左边为1k ＋1＋1k ＋2＋ (12)， 当n ＝k ＋1时，不等式左边为1k ＋2＋1k ＋3＋…＋12k ＋12k ＋1＋12k ＋2，故选C. 5．用数学归纳法证明“n 3＋(n ＋1)3＋(n ＋2)3(n ∈N *)能被9整除”，要利用归纳假设证n ＝k ＋1时的情况，只需展开( ) A ．(k ＋3)3B ．(k ＋2)3C ．(k ＋1)3D ．(k ＋1)3＋(k ＋2)3答案 A解析 假设当n ＝k 时，原式能被9整除， 即k 3＋(k ＋1)3＋(k ＋2)3能被9整除．当n ＝k ＋1时，(k ＋1)3＋(k ＋2)3＋(k ＋3)3为了能用上面的归纳假设，只需将(k ＋3)3展开，让其出现k 3即可．6．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝1，S n ＝n 2a n (n ∈N *)．依次计算出S 1，S 2，S 3，S 4后，可猜想S n 的表达式为________________． 答案 S n ＝2nn ＋1解析 S 1＝1，S 2＝43，S 3＝32＝64，S 4＝85，猜想S n ＝2n n ＋1. 7．已知正数数列{a n }(n ∈N *)中，前n 项和为S n ，且2S n ＝a n ＋1a n，用数学归纳法证明：a n ＝n－n －1.证明 (1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝12(a 1＋1a 1)，∴a 21＝1(a n >0)，∴a1＝1，又1－0＝1，∴n＝1时，结论成立．(2)假设n＝k(k∈N*)时，结论成立，即a k＝k－k－1. 当n＝k＋1时，a k＋1＝S k＋1－S k＝12(a k＋1＋1a k＋1)－12(a k＋1a k)＝12(a k＋1＋1a k＋1)－12(k－k－1＋1k－k－1)＝12(a k＋1＋1a k＋1)－k.∴a2k＋1＋2ka k＋1－1＝0，解得a k＋1＝k＋1－k(a n>0)，∴n＝k＋1时，结论成立．由(1)(2)可知，对n∈N*都有a n＝n－n－1.二、能力提升8．对于不等式n2＋n≤n＋1 (n∈N*)，某学生的证明过程如下：①当n＝1时，12＋1≤1＋1，不等式成立．②假设n＝k (n∈N*)时，不等式成立，即k2＋k≤k＋1，则n＝k＋1时，(k＋1)2＋(k＋1)＝k2＋3k＋2<k2＋3k＋2＋(k＋2)＝(k＋2)2＝(k＋1)＋1，所以当n＝k＋1时，不等式成立，上述证法( )A．过程全部正确B．n＝1验证不正确C．归纳假设不正确D．从n＝k到n＝k＋1的推理不正确答案 D解析从n＝k到n＝k＋1的推理中没有使用归纳假设，不符合数学归纳法的证题要求．9．用数学归纳法证明122＋132＋…＋1(n＋1)2>12－1n＋2.假设n＝k时，不等式成立．则当n＝k＋1时，应推证的目标不等式是__________________________．答案122＋132＋…＋1k2＋1(k＋1)2＋1(k＋2)2>12－1k＋3解析观察不等式中的分母变化知，122＋132＋…＋1k2＋1(k＋1)2＋1(k＋2)2>12－1k＋3.10．证明：62n－1＋1能被7整除(n∈N*)．证明(1)当n＝1时，62－1＋1＝7能被7整除．(2)假设当n＝k(k∈N*)时，62k－1＋1能被7整除．那么当n＝k＋1时，62(k＋1)－1＋1＝62k－1＋2＋1＝36×(62k －1＋1)－35.∵62k －1＋1能被7整除，35也能被7整除，∴当n ＝k ＋1时，62(k ＋1)－1＋1能被7整除．由(1)，(2)知命题成立． 11．求证：1n ＋1＋1n ＋2＋…＋13n >56(n ≥2，n ∈N *)． 证明 (1)当n ＝2时，左边＝13＋14＋15＋16>56，不等式成立．(2)假设当n ＝k (k ≥2，k ∈N *)时命题成立， 即1k ＋1＋1k ＋2＋…＋13k >56. 则当n ＝k ＋1时，1(k ＋1)＋1＋1(k ＋1)＋2＋…＋13k ＋13k ＋1＋13k ＋2＋13(k ＋1)＝1k ＋1＋1k ＋2＋…＋13k ＋(13k ＋1＋13k ＋2＋13k ＋3－1k ＋1)>56＋(13k ＋1＋13k ＋2＋13k ＋3－1k ＋1)>56＋(3×13k ＋3－1k ＋1)＝56， 所以当n ＝k ＋1时不等式也成立．由(1)和(2)可知，原不等式对一切n ≥2，n ∈N *均成立．12．已知数列{a n }中，a 1＝－23，其前n 项和S n 满足a n ＝S n ＋1S n ＋2(n ≥2)，计算S 1，S 2，S 3，S 4，猜想S n 的表达式，并用数学归纳法加以证明． 解 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝S n ＋1S n＋2.∴S n ＝－1S n －1＋2(n ≥2)．则有：S 1＝a 1＝－23，S 2＝－1S 1＋2＝－34，S 3＝－1S 2＋2＝－45， S 4＝－1S 3＋2＝－56， 由此猜想：S n ＝－n ＋1n ＋2(n ∈N *)． 用数学归纳法证明：(1)当n ＝1时，S 1＝－23＝a 1，猜想成立．(2)假设n ＝k (k ∈N *)猜想成立， 即S k ＝－k ＋1k ＋2成立， 那么n ＝k ＋1时，S k ＋1＝－1S k ＋2＝－1－k ＋1k ＋2＋2＝－k ＋2k ＋3＝－(k ＋1)＋1(k ＋1)＋2. 即n ＝k ＋1时猜想成立．由(1)(2)可知，对任意正整数n ，猜想结论均成立． 三、探究与拓展13．已知递增等差数列{a n }满足：a 1＝1，且a 1，a 2，a 4成等比数列． (1)求数列{a n }的通项公式a n ；(2)若不等式(1－12a 1)·(1－12a 2)·…·(1－12a n )≤m 2a n ＋1对任意n ∈N *，试猜想出实数m 的最小值，并证明．解 (1)设数列{a n }公差为d (d >0)，由题意可知a 1·a 4＝a 22，即1(1＋3d )＝(1＋d )2， 解得d ＝1或d ＝0(舍去)．所以a n ＝1＋(n －1)·1＝n . (2)不等式等价于12·34·56·…·2n －12n ≤m2n ＋1，当n ＝1时，m ≥32；当n ＝2时，m ≥358； 而32>358，所以猜想，m 的最小值为32. 下面证不等式12·34·56·…·2n －12n ≤322n ＋1对任意n ∈N *恒成立．下面用数学归纳法证明：证明 (1)当n ＝1时，12≤323＝12，命题成立．(2)假设当n ＝k 时，不等式，12·34·56·…·2k －12k ≤322k ＋1成立，当n ＝k ＋1时，12·34·56·…·2k －12k ·2k ＋12k ＋2≤322k ＋1·2k ＋12k ＋2，只要证322k ＋1·2k ＋12k ＋2≤ 322k ＋3， 只要证2k ＋12k ＋2≤12k ＋3，只要证2k ＋12k ＋3≤2k ＋2， 只要证4k 2＋8k ＋3≤4k 2＋8k ＋4，只要证3≤4，显然成立．所以，对任意n ∈N *，不等式12·34·56·…·2n －12n ≤322n ＋1恒成立．小课堂：如何培养中学生的自主学习能力？自主学习是与传统的接受学习相对应的一种现代化学习方式。
高中数学北师大版选修2-2+1.4数学归纳法+作业+Word版含解析
C．命题对小于 n0 的正整数成立与否不能确定，对大于或等于
n0 的正整数都成立
D ．以上说法都错 7．用数学归纳法证明“ n3＋5n 能被 6 整除”的过程中，当 n＝ k＋ 1 时，对式子 (k＋ 1)3
＋5( k＋1)应变形为 __________． 8．用数学归纳法证明“当 n 为正偶数时， xn－ yn 能被 x＋ y 整除”，第一步应验证 n＝
不成立．
3.答案： A 解析 ： 当 n＝ k 时， k3＋ (k＋1)3＋ (k＋ 2)3 能被 9 整除，
当 n＝ k＋ 1 时， (k＋ 1)3＋ (k＋ 2)3＋ (k＋ 3)3＝ k3＋ (k＋ 1)3＋ (k＋ 2)3 ＋(k＋ 3) 3－ k3，只需展
开( k＋3) 3 即可．
111
4.答案： D 解析 ： 当 n＝ 2 时，分母从 1 依次到 4，则中间式为 1＋
B． f( n) ＋n
C． f(n)＋ n－ 1
D． f( n) ＋n－ 2
6．若命题 A(n)(n∈N ＋) ，当 n＝k(k∈ N ＋)时，命题成立， 则有 n＝ k＋ 1 时， 命题成立． 现
知命题对 n＝ n0(n0∈N ＋)时，命题成立，则有 ( )．
A ．命题对所有正整数都成立
B．命题对小于 n0 的整数不成立，对大于或等于 n0 的正整数都成立
自我小测
1
1.设 f(n)＝
n1 1
A．
2n 1
1
1
1
＋…＋ (n∈ N ＋)，那么 f (n＋ 1)－ f(n)等于 (
n 2 n3
2n
1
B．
2n 2
1
1
C．
2n 1 2n 2
高二数学选修2-2(B版)_同步练习：数学归纳法2
数学归纳法一、选择题1．用数学归纳法证明1＋q ＋q 2＋…＋q n ＋1＝q n ＋2－qq －1(n ∈N *，q ≠1)，在验证n＝1等式成立时，等式左边的式子是( )A ．1B ．1＋qC ．1＋q ＋q 2D ．1＋q ＋q 2＋q 3[答案] C[解析] 左边＝1＋q ＋q 1＋1＝1＋q ＋q 2.故选C.2．用数学归纳法证明(n ＋1)(n ＋2)(n ＋3)…(n ＋n )＝2n ·1·3·…·(2n －1)(n ∈N *)，从n ＝k 到n ＝k ＋1，左边的式子之比是( )A.12k ＋1B ．122k ＋1C.2k ＋1k ＋1D ．2k ＋3k ＋1[答案] B [解析] k ＋1k ＋2k ＋3…k ＋k k ＋1＋1k ＋1＋2…k ＋1＋k ＋1＝k ＋1k ＋2k ＋3…2k k ＋2k ＋3…2k 2k ＋12k ＋2＝122k ＋1.故选B.3．用数学归纳法证明1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n >1314(n ≥2，n ∈N *)的过程中，由n ＝k 递推到n ＝k ＋1时不等式左边( )A ．增加了一项12k ＋1B ．增加了两项12k ＋1＋12k ＋2C ．增加了B 中两项但减少了一项1k ＋1D ．以上各种情况均不对 [答案] C[解析] n ＝k 时，左边＝1k ＋1＋1k ＋2＋…＋12k ，n ＝k ＋1时，左边＝1k ＋2＋1k ＋3＋…＋12k ＋12k ＋1＋12k ＋2∴增加了12k ＋1＋12k ＋2，减少了一项1k ＋1. 故选C.4．用数学归纳法证明1＋a ＋a 2＋…＋a n ＋1＝1－an ＋21－a(n ∈N *，a ≠1)，在验证n＝1时，左边所得的项为( )A ．1B ．1＋a ＋a 2C ．1＋aD ．1＋a ＋a 2＋a 3[答案] B[解析] 因为当n ＝1时，a n ＋1＝a 2，所以此时式子左边＝1＋a ＋a 2.故应选B.5．某个与正整数n 有关的命题，如果当n ＝k (k ∈N *)时该命题成立，则可推得n ＝k ＋1时该命题也成立，现已知n ＝5时命题不成立，那么可推得( )A ．当n ＝4时该命题不成立B ．当n ＝6时该命题不成立C ．当n ＝4时该命题成立D ．当n ＝6时该命题成立 [答案] A[解析] 由命题及其逆否命题的等价性知选A. 6．等式12＋22＋32＋…＋n 2＝12(5n 2－7n ＋4)( ) A ．n 为任何正整数都成立 B ．仅当n ＝1,2,3时成立C ．当n ＝4时成立，n ＝5时不成立D ．仅当n ＝4时不成立 [答案] B[解析] 经验证，n ＝1,2,3时成立，n ＝4,5，…不成立．故选B.7．用数学归纳法证明某命题时，左式为12＋cosα＋cos3α＋…＋cos(2n－1)α(α≠kπ，k∈Z，n∈N*)，在验证n＝1时，左边所得的代数式为()A.1 2B.12＋cosαC.12＋cosα＋cos3αD.12＋cosα＋cos3α＋cos5α[答案] B[解析]令n＝1，左式＝12＋cosα.故选B.8．用数学归纳法证明“n3＋(n＋1)3＋(n＋2)3(n∈N*)能被9整除”，要利用归纳假设证n＝k＋1时的情况，只需展开()A．(k＋3)3B．(k＋2)3C．(k＋1)3D．(k＋1)3＋(k＋2)3[答案] A[解析]因为从n＝k到n＝k＋1的过渡，增加了(k＋1)3，减少了k3，故利用归纳假设，只需将(k＋3)3展开，证明余下的项9k2＋27k＋27能被9整除．二、填空题9．用数学归纳法证明“1＋2＋22＋…＋2n－1＝2n－1(n∈N＋)”的过程中，第二步n＝k时等式成立，则当n＝k＋1时应得到________．[答案]1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k＝2k＋1－110．用数学归纳法证明当n∈N＋时，1＋2＋22＋23＋…＋25n－1是31的倍数时，当n＝1时原式为__________，从k→k＋1时需增添的项是________．[答案]1＋2＋22＋23＋2425k＋25k＋1＋25k＋2＋25k＋3＋25k＋411．使不等式2n＞n2＋1对任意n≥k的自然数都成立的最小k值为________．[答案] 5[解析]25＝32,52＋1＝26，对n≥5的所有自然数n,2n＞n2＋1都成立，自己用数学归纳法证明之．三、解答题12．用数学归纳法证明：(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2n·1·3·5·…·(2n－1)(n∈N*)．[证明](1)当n＝1时，等式左边＝2，右边＝2×1＝2，∴等式成立．(2)假设n＝k (k∈N*)时等式成立．即(k＋1)(k＋2)…(k＋k)＝2k·1·3·5·…·(2k－1)成立．那么当n＝k＋1时，(k＋2)(k＋3)…(k＋k)(2k＋1)(2k＋2)＝2(k＋1)·(k＋2)·(k＋3)·…·(k＋k)·(2k＋1)＝2k＋1·1·3·5·…·(2k－1)[2·(k＋1)－1]即n＝k＋1时等式成立．由(1)、(2)可知，对任何n∈N*等式均成立.一、选择题1．用数学归纳法证明“(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2n×1×3…(2n－1)(n∈N＋)”，则“从k到k＋1”左端需乘的代数式为()A．2k＋1 B．2(2k＋1)C.2k＋1k＋1D．2k＋3k＋1[答案] B[解析]n＝k时左式＝(k＋1)(k＋2)(k＋3)n＝k＋1时左式＝(k＋2)(k＋3)…(2k＋1)(2k＋2)故“从k到k＋1”左端需乘2k＋12k＋2k＋1＝2(2k＋1)．故选B.2．已知数列{a n}，a1＝1，a2＝2，a n＋1＝2a n＋a n－1(k∈N*)，用数学归纳法证明a4n能被4整除时，假设a4k能被4整除，应证()A．a4k＋1能被4整除B．a4k＋2能被4整除C．a4k＋3能被4整除D．a4k＋4能被4整除[答案] D[解析]在数列{a4n}中，相邻两项下标差为4，所以a4k后一项为a4k＋4.故选D.3．凸n边形有f(n)条对角线，则凸n＋1边形的对角线的条数f(n＋1)为() A．f(n)＋n＋1 B．f(n)＋nC．f(n)＋n－1 D．f(n)＋n－2[答案] C[解析]由凸n边形变为凸n＋1边形后，应加一项，这个顶点与不相邻的(n －2)个顶点连成(n－2)条对角线，同时，原来的凸n边形的那条边也变为对角线，故有f(n＋1)＝f(n)＋(n－2)＋1.故选C.4．用数学归纳法证明(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2n·1·3…(2n－1)(n∈N*)时，从“n ＝k到n＝k＋1”左边需增乘的代数式为()A．2k＋1 B．2(2k＋1)C.2k＋1k＋1D．2k＋3k＋1[答案] B[解析]n＝k时，等式为(k＋1)(k＋2)…(k＋k)＝2k·1·3·…·(2k－1)，n＝k＋1时，等式左边为(k＋1＋1)(k＋1＋2)…(k＋1＋k＋1)＝(k＋2)(k＋3)…(2k)·(2k＋1)·(2k＋2)，右边为2k＋1·1·3·…·(2k－1)(2k＋1)．左边需增乘2(2k＋1)，故选B.二、填空题5．用数学归纳法证明关于n的恒等式时，当n＝k时，表达式为1×4＋2×7＋…＋k(3k＋1)＝k(k＋1)2，则当n＝k＋1时，待证表达式应为________．[答案]1×4＋2×7＋…＋k(3k＋1)＋(k＋1)(3k＋4)＝(k＋1)(k＋2)26．用数学归纳法证明：1＋2＋22＋…＋2n－1＝2n－1(n∈N*)的过程如下：①当n＝1时，左边＝20＝1，右边＝21－1＝1，不等式成立；②假设n＝k时，等式成立，即1＋2＋22＋…＋2k－1＝2k－1.则当n＝k＋1时，1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k＝1－2k＋11－2＝2k＋1－1，所以n＝k＋1时等式成立．由此可知对任意正整数n，等式都成立．以上证明错在何处？____________. [答案] 没有用上归纳假设[解析] 由数学归纳法证明步骤易知其错误所在．7．设S 1＝12，S 2＝12＋22＋12，…，S n ＝12＋22＋32＋…＋n 2＋…＋22＋12.用数学归纳法证明S n ＝n 2n ＋12时，第二步从k 到k ＋1应添加的项为________．[答案]k ＋2·2k ＋12[解析] S k ＋1－S k ＝k ＋12k ＋1＋12－k 2k ＋12＝k ＋2·2k ＋12.三、解答题8．在数列{a n }中，a 1＝a 2＝1，当n ∈N *时，满足a n ＋2＝a n ＋1＋a n ，且设b n ＝a 4n ，求证：{b n }的各项均为3的倍数．[证明] (1)∵a 1＝a 2＝1， 故a 3＝a 1＋a 2＝2，a 4＝a 3＋a 2＝3.∴b 1＝a 4＝3，当n ＝1时，b 1能被3整除． (2)假设n ＝k 时，即b k ＝a 4k 是3的倍数． 则n ＝k ＋1时，b k ＋1＝a 4(k ＋1)＝a (4k ＋4)＝a 4k ＋3＋a 4k ＋2 ＝a 4k ＋2＋a 4k ＋1＋a 4k ＋1＋a 4k ＝3a 4k ＋1＋2a 4k .由归纳假设，a 4k 是3的倍数，故可知b k ＋1是3的倍数． ∴n ＝k ＋1时命题正确．综合(1)、(2)可知，对于任意正整数n ，数列{b n }的各项都是3的倍数． 9．数列{a n }满足S n ＝2n －a n (n ∈N *)． (1)计算a 1、a 2、a 3，并猜想a n 的通项公式； (2)用数学归纳法证明(1)中的猜想．[证明] (1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝2－a 1，∴a 1＝1； 当n ＝2时，a 1＋a 2＝S 2＝2×2－a 2，∴a 2＝32；当n ＝3时，a 1＋a 2＋a 3＝S 3＝2×3－a 3，∴a 3＝74. 由此猜想a n ＝2n －12n －1(n ∈N *)(2)证明：①当n ＝1时，a 1＝1结论成立， ②假设n ＝k (k ≥1，且k ∈N *)时结论成立， 即a k ＝2k －12k －1，当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝S k ＋1－S k ＝2(k ＋1)－a k ＋1－2k ＋a k ＝2＋a k －a k ＋1，∴2a k ＋1＝2＋a k ∴a k ＋1＝2＋a k 2＝2k ＋1－12k ＝2k ＋1－12k ＋1－1，∴当n ＝k ＋1时结论成立，于是对于一切的自然数n ∈N *，a n ＝2n －12n －1成立．。
高中数学新人教版选修2-2课时作业：第二章 推理与证明2.3数学归纳法 Word版含解析
【创新设计】2016-2017学年高中数学第二章推理与证明 2.3 数学归纳法课时作业新人教版选修2-2明目标、知重点1．了解数学归纳法的原理.2.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题．1．数学归纳法证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：①(归纳奠基)证明当n取第一个值n0(n0∈N*)时命题成立；②(归纳递推)假设当n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立，证明当n＝k＋1时命题也成立．2．应用数学归纳法时特别注意：(1)用数学归纳法证明的对象是与正整数n有关的命题．(2)在用数学归纳法证明中，两个基本步骤缺一不可．(3)步骤②的证明必须以“假设当n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立”为条件．情境导学]多米诺骨牌游戏是一种用木制、骨制或塑料制成的长方形骨牌，玩时将骨牌按一定间距排列成行，保证任意两相邻的两块骨牌，若前一块骨牌倒下，则一定导致后一块骨牌倒下．只要推倒第一块骨牌，就必然导致第二块骨牌倒下；而第二块骨牌倒下，就必然导致第三块骨牌倒下…，最后不论有多少块骨牌都能全部倒下．请同学们思考所有的骨牌都一一倒下蕴涵怎样的原理？探究点一数学归纳法的原理思考1 多米诺骨牌游戏给你什么启示？你认为一个骨牌链能够被成功推倒，靠的是什么？答(1)第一张牌被推倒；(2)任意相邻两块骨牌，前一块倒下一定导致后一块倒下．结论：多米诺骨牌会全部倒下．所有的骨牌都倒下，条件(2)给出了一个递推关系，条件(1)给出了骨牌倒下的基础．思考2 对于数列{a n}，已知a1＝1，a n＋1＝a n1＋a n，试写出a1，a2，a3，a4，并由此作出猜想．请问这个结论正确吗？怎样证明？答 a 1＝1，a 2＝12，a 3＝13，a 4＝14，猜想a n ＝1n(n ∈N *)．以下为证明过程：(1)当n ＝1时，a 1＝1＝11，所以结论成立．(2)假设当n ＝k (k ∈N *)时，结论成立，即a k ＝1k，则当n ＝k ＋1时a k ＋1＝a k1＋a k(已知)＝1k1＋1k(代入假设) ＝1kk ＋1k(变形)＝1k ＋1(目标) 即当n ＝k ＋1时，结论也成立．由(1)(2)可得，对任意的正整数n 都有a n ＝1n成立．思考3 你能否总结出上述证明方法的一般模式？答 一般地，证明一个与正整数n 有关的命题P (n )，可按下列步骤进行： (1)(归纳奠基)证明当n 取第一个值n 0(n 0∈N *)时命题成立；(2)(归纳递推)假设当n ＝k (k ≥n 0，k ∈N *)时命题成立，证明当n ＝k ＋1时命题也成立． 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n 0开始的所有正整数n 都成立． 上述证明方法叫做数学归纳法．思考4 用数学归纳法证明1＋3＋5＋…＋(2n －1)＝n 2，如采用下面的证法，对吗？若不对请改正．证明：(1)n ＝1时，左边＝1，右边＝12＝1，等式成立． (2)假设n ＝k 时等式成立，即1＋3＋5＋…＋(2k －1)＝k 2，则当n ＝k ＋1时，1＋3＋5＋…＋(2k ＋1)＝(k ＋1)×[1＋(2k ＋1)]2＝(k ＋1)2等式也成立．由(1)和(2)可知对任何n ∈N *等式都成立．答 证明方法不是数学归纳法，因为第二步证明时，未用到归纳假设．从形式上看这种证法，用的是数学归纳法，实质上不是，因为证明n ＝k ＋1正确时，未用到归纳假设，而用的是等差数列求和公式．探究点二 用数学归纳法证明等式 例1 用数学归纳法证明 12＋22＋…＋n 2＝n (n ＋1)(2n ＋1)6(n ∈N *)．证明 (1)当n ＝1时，左边＝12＝1， 右边＝1×(1＋1)×(2×1＋1)6＝1，等式成立．(2)假设当n ＝k (k ∈N *)时等式成立，即 12＋22＋…＋k 2＝k (k ＋1)(2k ＋1)6，那么，12＋22＋…＋k 2＋(k ＋1)2＝k (k ＋1)(2k ＋1)6＋(k ＋1)2＝k (k ＋1)(2k ＋1)＋6(k ＋1)26＝(k ＋1)(2k 2＋7k ＋6)6＝(k ＋1)(k ＋2)(2k ＋3)6＝(k ＋1)[(k ＋1)＋1][2(k ＋1)＋1]6，即当n ＝k ＋1时等式也成立．根据(1)和(2)，可知等式对任何n ∈N *都成立．反思与感悟 (1)用数学归纳法证明与正整数有关的一些等式命题，关键在于“先看项”，弄清等式两边的构成规律，等式的两边各有多少项，项的多少与n 的取值是否有关．由n ＝k 到n ＝k ＋1时，等式的两边会增加多少项，增加怎样的项．跟踪训练1 求证：1－12＋13－14＋…＋12n －1－12n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n (n ∈N *)．证明 当n ＝1时，左边＝1－12＝12，右边＝12，所以等式成立． 假设n ＝k (k ∈N *)时，1－12＋13－14＋…＋12k －1－12k ＝1k ＋1＋1k ＋2＋…＋12k成立． 那么当n ＝k ＋1时，1－12＋13－14＋…＋12k －1－12k ＋12(k ＋1)－1－12(k ＋1)＝1k ＋1＋1k ＋2＋…＋12k ＋12k ＋1－12(k ＋1) ＝1k ＋2＋1k ＋3＋…＋12k ＋12k ＋1＋1k ＋1－12(k ＋1)] ＝1(k ＋1)＋1＋1(k ＋1)＋2＋…＋1(k ＋1)＋k ＋12(k ＋1)，所以n ＝k ＋1时，等式也成立．综上所述，对于任何n ∈N *，等式都成立． 探究点三 用数学归纳法证明数列问题例2 已知数列11×4，14×7，17×10，…，1(3n －2)(3n ＋1)，…，计算S 1，S 2，S 3，S 4，根据计算结果，猜想S n 的表达式，并用数学归纳法进行证明． 解 S 1＝11×4＝14；S 2＝14＋14×7＝27； S 3＝27＋17×10＝310； S 4＝310＋110×13＝413. 可以看出，上面表示四个结果的分数中，分子与项数n 一致，分母可用项数n 表示为3n ＋1. 于是可以猜想S n ＝n3n ＋1.下面我们用数学归纳法证明这个猜想． (1)当n ＝1时，左边＝S 1＝14，右边＝n 3n ＋1＝13×1＋1＝14，猜想成立．(2)假设当n ＝k (k ∈N *)时猜想成立，即11×4＋14×7＋17×10＋…＋1(3k －2)(3k ＋1)＝k 3k ＋1， 那么，11×4＋14×7＋17×10＋…＋1(3k －2)(3k ＋1)＋1[3(k ＋1)－2][3(k ＋1)＋1] ＝k 3k ＋1＋1(3k ＋1)(3k ＋4)＝3k 2＋4k ＋1(3k ＋1)(3k ＋4) ＝(3k ＋1)(k ＋1)(3k ＋1)(3k ＋4)＝k ＋13(k ＋1)＋1，所以，当n ＝k ＋1时猜想也成立．根据(1)和(2)，可知猜想对任何n ∈N *都成立．反思与感悟 归纳法分为不完全归纳法和完全归纳法，数学归纳法是“完全归纳”的一种科学方法，对于无穷尽的事例，常用不完全归纳法去发现规律，得出结论，并设法给予证明，这就是“归纳——猜想——证明”的基本思想．跟踪训练2 数列{a n }满足S n ＝2n －a n (S n 为数列{a n }的前n 项和)，先计算数列的前4项，再猜想a n ，并证明． 解 由a 1＝2－a 1， 得a 1＝1；由a 1＋a 2＝2×2－a 2， 得a 2＝32；由a 1＋a 2＋a 3＝2×3－a 3， 得a 3＝74；由a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝2×4－a 4， 得a 4＝158.猜想a n ＝2n－12n －1.下面证明猜想正确：(1)当n ＝1时，由上面的计算可知猜想成立． (2)假设当n ＝k 时猜想成立， 则有a k ＝2k －12k －1，当n ＝k ＋1时，S k ＋a k ＋1＝2(k ＋1)－a k ＋1，∴a k ＋1＝122(k ＋1)－S k ]＝k ＋1－12(2k －2k－12k －1)＝2k ＋1－12(k ＋1)－1， 所以，当n ＝k ＋1时，等式也成立．由(1)和(2)可知，a n ＝2n－12n －1对任意正整数n 都成立．1．若命题A (n )(n ∈N *)在n ＝k (k ∈N *)时命题成立，则有n ＝k ＋1时命题成立．现知命题对n ＝n 0(n 0∈N *)时命题成立，则有( ) A ．命题对所有正整数都成立B ．命题对小于n 0的正整数不成立，对大于或等于n 0的正整数都成立C ．命题对小于n 0的正整数成立与否不能确定，对大于或等于n 0的正整数都成立D ．以上说法都不正确 答案 C解析 由已知得n ＝n 0(n 0∈N *)时命题成立，则有n ＝n 0＋1时命题成立；在n ＝n 0＋1时命题成立的前提下，又可推得n ＝(n 0＋1)＋1时命题也成立，依此类推，可知选C. 2．用数学归纳法证明“1＋a ＋a 2＋…＋a 2n ＋1＝1－a 2n ＋21－a(a ≠1)”．在验证n ＝1时，左端计算所得项为( ) A ．1＋a B ．1＋a ＋a 2C ．1＋a ＋a 2＋a 3D ．1＋a ＋a 2＋a 3＋a 4答案 C解析 将n ＝1代入a2n ＋1得a 3，故选C.3．用数学归纳法证明1＋2＋22＋…＋2n －1＝2n －1(n ∈N *)的过程如下：(1)当n ＝1时，左边＝1，右边＝21－1＝1，等式成立． (2)假设当n ＝k (k ∈N *)时等式成立，即1＋2＋22＋…＋2k －1＝2k－1，则当n ＝k ＋1时，1＋2＋22＋…＋2k －1＋2k＝1－2k ＋11－2＝2k ＋1－1.所以当n ＝k ＋1时等式也成立．由此可知对于任何n ∈N *，等式都成立．上述证明的错误是________． 答案 未用归纳假设解析 本题在由n ＝k 成立， 证n ＝k ＋1成立时， 应用了等比数列的求和公式， 而未用上假设条件， 这与数学归纳法的要求不符．4．用数学归纳法证明1＋n 2≤1＋12＋13＋…＋12n ≤12＋n (n ∈N *)证明 (1)当n ＝1时，左式＝1＋12，右式＝12＋1，所以32≤1＋12≤32，命题成立．(2)假设当n ＝k (k ∈N *)时，命题成立，即1＋k 2≤1＋12＋13＋…＋12k ≤12＋k ，则当n ＝k ＋1时，1＋12＋13＋…＋12k ＋12k ＋1＋12k ＋2＋…＋12k ＋2k >1＋k 2＋2k ·12k ＋1＝1＋k ＋12. 又1＋12＋13＋…＋12k ＋12k ＋1＋12k ＋2＋…＋12k ＋2k <12＋k ＋2k ·12k ＝12＋(k ＋1)，即当n ＝k ＋1时，命题成立．由(1)和(2)可知，命题对所有的n ∈N *都成立． 呈重点、现规律]在应用数学归纳法证题时应注意以下几点：(1)验证是基础：找准起点，奠基要稳，有些问题中验证的初始值不一定为1；(2)递推是关键：正确分析由n ＝k 到n ＝k ＋1时式子项数的变化是应用数学归纳法成功证明问题的保障；(3)利用假设是核心：在第二步证明中一定要利用归纳假设，这是数学归纳法证明的核心环节，否则这样的证明就不是数学归纳法证明.一、基础过关1．某个命题与正整数有关，如果当n ＝k (k ∈N *)时，该命题成立，那么可推得n ＝k ＋1时，该命题也成立．现在已知当n ＝5时，该命题成立，那么可推导出( )A ．当n ＝6时命题不成立B ．当n ＝6时命题成立C ．当n ＝4时命题不成立D ．当n ＝4时命题成立 答案 B2．一个与正整数n 有关的命题，当n ＝2时命题成立，且由n ＝k 时命题成立可以推得n ＝k ＋2时命题也成立，则( ) A ．该命题对于n >2的自然数n 都成立 B ．该命题对于所有的正偶数都成立 C ．该命题何时成立与k 取值无关 D ．以上答案都不对 答案 B解析 由n ＝k 时命题成立可以推出n ＝k ＋2时命题也成立．且n ＝2，故对所有的正偶数都成立．3．在应用数学归纳法证明凸n 边形的对角线为12n (n －3)条时，第一步验证n 等于( )A ．1B ．2C ．3D ．0 答案 C解析 因为是证凸n 边形，所以应先验证三角形，故选C.4．若f (n )＝1＋12＋13＋…＋12n ＋1(n ∈N *)，则n ＝1时f (n )是( )A ．1 B.13C ．1＋12＋13D ．以上答案均不正确答案 C5．已知f (n )＝1n ＋1n ＋1＋1n ＋2＋…＋1n 2，则( )A ．f (n )中共有n 项，当n ＝2时，f (2)＝12＋13B ．f (n )中共有n ＋1项，当n ＝2时，f (2)＝12＋13＋14C ．f (n )中共有n 2－n 项，当n ＝2时，f (2)＝12＋13D ．f (n )中共有n 2－n ＋1项，当n ＝2时，f (2)＝12＋13＋14答案 D解析 观察分母的首项为n ，最后一项为n 2，公差为1， ∴项数为n 2－n ＋1.6．在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n3a n ＋1(n ∈N *)，依次计算a 2，a 3，a 4，归纳推测出a n 的通项表达式为( ) A.24n －3 B.26n －5 C.24n ＋3D.22n－1答案 B解析 a 1＝2，a 2＝27，a 3＝213，a 4＝219，…，可推测a n ＝26n －5，故选B.7．用数学归纳法证明(1－13)(1－14)(1－15)…(1－1n ＋2)＝2n ＋2(n ∈N *)．证明 (1)当n ＝1时，左边＝1－13＝23，右边＝21＋2＝23，等式成立．(2)假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时等式成立，即 (1－13)(1－14)(1－15)…(1－1k ＋2)＝2k ＋2，当n ＝k ＋1时，(1－13)(1－14)(1－15)…(1－1k ＋2)·(1－1k ＋3)＝2k ＋2(1－1k ＋3)＝2(k ＋2)(k ＋2)(k ＋3)＝2k ＋3＝2(k ＋1)＋2， 所以当n ＝k ＋1时等式也成立．由(1)(2)可知，对于任意n ∈N *等式都成立． 二、能力提升8．用数学归纳法证明等式(n ＋1)(n ＋2)…(n ＋n )＝2n·1·3·…·(2n －1)(n ∈N *)，从k 到k ＋1左端需要增乘的代数式为( ) A ．2k ＋1 B ．2(2k ＋1) C.2k ＋1k ＋1D.2k ＋3k ＋1答案 B解析 n ＝k ＋1时，左端为(k ＋2)(k ＋3)…(k ＋1)＋(k －1)]·(k ＋1)＋k ]·(2k ＋2)＝(k ＋1)(k ＋2)…(k ＋k )·(2k ＋1)·2，∴应增乘2(2k ＋1)．9．已知f (n )＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋13n －1(n ∈N *)，则f (k ＋1)＝________. 答案 f (k )＋13k ＋13k ＋1＋13k ＋2－1k ＋110．证明：假设当n ＝k (k ∈N *)时等式成立，即2＋4＋…＋2k ＝k 2＋k ，那么2＋4＋…＋2k ＋2(k ＋1)＝k 2＋k ＋2(k ＋1)＝(k ＋1)2＋(k ＋1)，即当n ＝k ＋1时等式也成立．因此对于任何n ∈N *等式都成立．以上用数学归纳法证明“2＋4＋…＋2n ＝n 2＋n (n ∈N *)”的过程中的错误为________． 答案 缺少步骤归纳奠基11．用数学归纳法证明12－22＋32－42＋…＋(－1)n －1·n 2＝(－1)n －1·n (n ＋1)2.证明 (1)当n ＝1时，左边＝1， 右边＝(－1)1－1×1×22＝1，结论成立．(2)假设当n ＝k 时，结论成立． 即12－22＋32－42＋…＋(－1)k －1k 2＝(－1)k －1·k (k ＋1)2，那么当n ＝k ＋1时， 12－22＋32－42＋…＋(－1)k －1k 2＋(－1)k (k ＋1)2＝(－1)k －1·k (k ＋1)2＋(－1)k(k ＋1)2＝(－1)k·(k ＋1)－k ＋2k ＋22＝(－1)k·(k ＋1)(k ＋2)2.即n ＝k ＋1时结论也成立．由(1)(2)可知，对一切正整数n 都有此结论成立．12．已知数列{a n }的第一项a 1＝5且S n －1＝a n (n ≥2，n ∈N *)，S n 为数列{a n }的前n 项和． (1)求a 2，a 3，a 4，并由此猜想a n 的表达式； (2)用数学归纳法证明{a n }的通项公式． (1)解 a 2＝S 1＝a 1＝5，a 3＝S 2＝a 1＋a 2＝10，a 4＝S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝5＋5＋10＝20，猜想a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧5 (n ＝1)5×2n －2， (n ≥2，n ∈N *).(2)证明 ①当n ＝2时，a 2＝5×22－2＝5，公式成立．林老师网络编辑整理林老师网络编辑整理 ②假设n ＝k (k ≥2，k ∈N *)时成立， 即a k ＝5×2k －2，当n ＝k ＋1时，由已知条件和假设有 a k ＋1＝S k ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a k ＝5＋5＋10＋…＋5×2k －2. ＝5＋5(1－2k －1)1－2＝5×2k －1. 故n ＝k ＋1时公式也成立．由①②可知，对n ≥2，n ∈N *，有a n ＝5×2n －2. 所以数列{a n }的通项公式为 a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 5 (n ＝1)5×2n －2 (n ≥2，n ∈N *).三、探究与拓展13．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝1－na n (n ∈N *)．(1)计算a 1，a 2，a 3，a 4；(2)猜想a n 的表达式，并用数学归纳法证明你的结论．解 (1)计算得a 1＝12；a 2＝16；a 3＝112；a 4＝120. (2)猜想：a n ＝1n (n ＋1). 下面用数学归纳法证明①当n ＝1时，猜想显然成立．②假设n ＝k (k ∈N *)时，猜想成立，即a k ＝1k (k ＋1). 那么，当n ＝k ＋1时S k ＋1＝1－(k ＋1)a k ＋1， 即S k ＋a k ＋1＝1－(k ＋1)a k ＋1. 又S k ＝1－ka k ＝k k ＋1， 所以kk ＋1＋a k ＋1＝1－(k ＋1)a k ＋1，从而a k ＋1＝1(k ＋1)(k ＋2)＝1(k ＋1)[(k ＋1)＋1]. 即n ＝k ＋1时，猜想也成立． 故由①和②，可知猜想成立．。
人教A版选修2-2 数学归纳法的应用 课时作业
人教A版选修2-2 数学归纳法的应用课时作业知识点一用数学归纳法证明整除问题1.用数学归纳法证明“当n为正奇数时，x n＋y n能被x＋y整除”，下列关于步骤(2)的说法正确的个数是( )①假设当n＝k(k∈N*)时命题成立，证明当n＝k＋1时命题也成立；②假设当n＝k(k是正奇数)时命题成立，证明当n＝k＋2时命题也成立；③假设当n＝2k－1(k∈N*)时命题成立，证明当n＝2k时命题也成立；④假设当n＝2k－1(k∈N*)时命题成立，证明当n＝2k＋1时命题也成立．A．1 B．2 C．3 D．4答案 B解析因为n为正奇数，所以步骤(2)应为：假设当n＝k(k是正奇数)时命题成立，证明当n＝k＋2时命题也成立；也可为：假设当n＝2k－1(k∈N*)时命题成立，证明当n＝2k ＋1时命题也成立．故②④正确，选B.2．下列代数式(其中k∈N*)能被9整除的是( )A．6＋6·7k B．2＋7k－1C．2(2＋7k＋1) D．3(2＋7k)答案 D解析(1)当k＝1时，显然只有3(2＋7k)能被9整除．(2)假设当k＝n(n∈N*)时，3(2＋7n)能被9整除．那么当k＝n＋1时，3(2＋7n＋1)＝21(2＋7n)－36.这就是说，当k＝n＋1时，3(2＋7n＋1)也能被9整除．根据(1)和(2)，可知对任何k∈N*,3(2＋7k)均能被9整除．3．用数学归纳法证明“n∈N*,34n＋2＋52n＋1一定能被14整除”时，当n＝k＋1时，对于34(k＋1)＋2＋52(k＋1)＋1应变形为________．答案81×(34k＋2＋52k＋1)－56×52k＋1解析上一步是假设n＝k时，34k＋2＋52k＋1能被14整除，所以当n＝k＋1时，34(k ＋1)＋2＋52(k＋1)＋1＝81×(34k＋2＋52k＋1)－56×52k＋1也能被14整除.知识点二归纳—猜想—证明4.设f(n)＝5n＋2×3n－1＋1(n∈N*)，若f(n)能被m(m∈N*)整除，则m的最大值为( )A．2 B．4 C．8 D．16答案 C解析f(1)＝8，f(2)＝32＝8×4，f(3)＝144＝8×18.猜想m的最大值为8.证明：①当n＝1时，由f(1)＝8知命题成立．②假设当n ＝k (k ∈N *)时命题成立，即f (k )＝5k ＋2×3k －1＋1能被8整除．那么当n ＝k ＋1时，f (k ＋1)＝5k ＋1＋2×3(k ＋1)－1＋1＝5×5k ＋6×3k －1＋1＝(5k ＋2×3k －1＋1)＋4(5k ＋3k －1)＝f (k )＋4(5k ＋3k －1)．这里，5k,3k －1都是奇数，二者的和为偶数，从而4(5k ＋3k －1)能被8整除，又f (k )能被8整除，故f (k ＋1)能被8整除．即当n ＝k ＋1时命题也成立．根据①和②，可知命题对任何n ∈N *都成立．5．设n 为正整数，f (n )＝1＋12＋13＋…＋1n ，计算得f (2)＝32，f (4)＞2，f (8)＞52，f (16)＞3，f (32)＞72，观察上述结果，可推测出一般结论( ) A ．f (2n )＞2n ＋12 B ．f (n 2)≥n ＋22C ．f (2n )≥n ＋22 D ．以上都不对 答案 C解析 f (2)＝32，f (4)＝f (22)＞42，f (8)＝f (23)＞52，f (16)＝f (24)＞62，f (32)＝f (25)＞72，所以f (2n )≥n ＋22.故选C.6．设函数y ＝f (x )，对任意实数x ，y 都有f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )＋2xy .(1)求f (0)的值；(2)若f (1)＝1，求f (2)，f (3)，f (4)的值；(4)在(2)的条件下，猜想f (n )(n ∈N *)的表达式并用数学归纳法证明．解 (1)令x ＝y ＝0，得f (0＋0)＝f (0)＋f (0)＋2×0×0，得f (0)＝0.(2)由f (1)＝1，得f (2)＝f (1＋1)＝f (1)＋f (1)＋2×1×1＝4；f (3)＝f (2＋1)＝f (2)＋f (1)＋2×2×1＝9；f (4)＝f (3＋1)＝f (3)＋f (1)＋2×3×1＝16.(3)由(2)可猜想f (n )＝n 2(n ∈N *)．用数学归纳法证明如下：①当n ＝1时，f (1)＝1＝12显然成立．②假设当n ＝k (k ∈N *)时，猜想成立，即f (k )＝k 2，则当n ＝k ＋1时，f (k ＋1)＝f (k )＋f (1)＋2k ＝k 2＋1＋2k ＝(k ＋1)2，故当n ＝k ＋1时，猜想也成立．由①②可得，对一切n ∈N *都有f (n )＝n 2成立．1．用数学归纳法证明42n ＋1＋3n ＋2能被13整除，其中n ∈N *.解 (1)当n ＝1时，42×1＋1＋31＋2＝91能被13整除．(2)假设当n ＝k (k ∈N *)时，42k ＋1＋3k ＋2能被13整除，则当n ＝k ＋1时，42(k ＋1)＋1＋3k ＋3＝42k ＋1·42＋3k ＋2·3－42k ＋1·3＋42k ＋1·3＝42k ＋1·13＋3·(42k ＋1＋3k ＋2)．∴42k ＋1·13能被13整除，42k ＋1＋3k ＋2能被13整除，∴当n ＝k ＋1时命题也成立．由(1)(2)知，当n ∈N *时，42n ＋1＋3n ＋2能被13整除．2．平面内有n (n ∈N *)个圆，其中每两个圆都相交于两点，且每三个圆都不相交于同一点，求证：这n 个圆把平面分成n 2－n ＋2部分．证明 (1)当n ＝1时，n 2－n ＋2＝2，即一个圆把平面分成两部分，故结论成立．(2)假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时命题成立，即k 个圆把平面分成k 2－k ＋2部分． 则当n ＝k ＋1时，这k ＋1个圆中的k 个圆把平面分成k 2－k ＋2个部分，第k ＋1个圆被前k 个圆分成2k 条弧，这2k 条弧中的每一条把它所在的平面部分都分成两部分，这样共增加2k 个部分，故k ＋1个圆把平面分成k 2－k ＋2＋2k ＝(k ＋1)2－(k ＋1)＋2部分，即n ＝k ＋1时命题也成立．综上所述，对一切n ∈N *，命题都成立．3．证明凸n 边形的对角线的条数f (n )＝12n (n －3)(n ≥4，n ∈N *)． 证明 (1)当n ＝4时，f (4)＝12×4×(4－3)＝2，凸四边形有两条对角线，命题成立． (2)假设n ＝k (k ≥4且k ∈N *)时命题成立．即凸k 边形的对角线的条数f (k )＝12k (k －3)(k ≥4)，当n ＝k ＋1时，凸(k ＋1)边形是在k 边形基础上增加了一边，增加了一个顶点，设为A k ＋1，增加的对角线是顶点A k ＋1与不相邻顶点的连线再加上原k 边形一边A 1A k ，共增加了对角线的条数为k －2＋1＝k －1.∴f (k ＋1)＝12k (k －3)＋k －1 ＝12(k 2－k －2) ＝12(k ＋1)(k －2) ＝12(k ＋1)[(k ＋1)－3]，故当n ＝k ＋1时命题成立．由(1)(2)知，对任意n ≥4，n ∈N *，命题成立．4．已知f (x )＝bx ＋1ax ＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫x ≠－1a ，a ＞0，且f (1)＝log 162，f (－2)＝1. (1)求函数f (x )的表达式；(2)已知数列{x n }的项满足x n ＝(1－f (1))(1－f (2))…(1－f (n ))，试求x 1，x 2，x 3，x 4；(3)猜想{x n }的通项公式，并用数学归纳法证明．解 (1)把f (1)＝log 162＝14，f (－2)＝1， 代入函数表达式得⎩⎪⎨⎪⎧ b ＋1a ＋12＝14，－2b ＋11－2a 2＝1，即⎩⎨⎧ 4b ＋4＝a 2＋2a ＋1，－2b ＋1＝4a 2－4a ＋1，解得⎩⎨⎧ a ＝1，b ＝0⎝ ⎛⎭⎪⎫舍去a ＝－13， ∴f (x )＝1x ＋12(x ≠－1)． (2)x 1＝1－f (1)＝1－14＝34， x 2＝34(1－f (2))＝34×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－19＝23，x 3＝23(1－f (3))＝23×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－116＝58， x 4＝58×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－125＝35. (3)由(2)知，x 1＝34，x 2＝23＝46， x 3＝58，x 4＝35＝610，…， 由此可以猜想x n ＝n ＋22n ＋1. 证明：①当n ＝1时，∵x 1＝34，而1＋221＋1＝3 4，∴猜想成立．②假设当n＝k(k∈N*)时，x n＝n＋22n＋1成立，即x k＝k＋22k＋1，则n＝k＋1时，x k＋1＝(1－f(1))(1－f(2))…(1－f(k))(1－f(k＋1)) ＝x k·(1－f(k＋1))＝k＋22k＋1·⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1k＋1＋12＝k＋22k＋1·k＋1k＋3k＋22＝12·k＋3k＋2＝k＋1＋22[k＋1＋1].∴当n＝k＋1时，猜想也成立，根据①②可知，对一切n∈N*，猜想x n＝n＋22n＋1都成立．5．将正整数作如下分组：(1)，(2,3)，(4,5,6)，(7,8,9,10)，(11,12,13,14,15)，(16,17,18,19,20,21)，…，分别计算各组包含的正整数的和如下，试猜测S1＋S3＋S5＋…＋S2n－1的结果，并用数学归纳法证明．S1＝1，S2＝2＋3＝5，S3＝4＋5＋6＝15，S4＝7＋8＋9＋10＝34，S5＝11＋12＋13＋14＋15＝65，S6＝16＋17＋18＋19＋20＋21＝111，…解分别计算n＝1,2,3,4时，S1＋S3＋S5＋…＋S2n－1的值，并将结果改写为统一形式，猜测出一般结果，然后用数学归纳法证明即可．由题意知，当n＝1时，S1＝1＝14；当n＝2时，S1＋S3＝16＝24；当n＝3时，S1＋S3＋S5＝81＝34；当n＝4时，S1＋S3＋S5＋S7＝256＝44.猜想：S1＋S3＋S5＋…＋S2n－1＝n4.下面用数学归纳法证明：(1)当n＝1时，S1＝1＝14，等式成立．(2)假设当n＝k(k∈N*)时等式成立，即S1＋S3＋S5＋…＋S2k－1＝k4.那么，当n＝k＋1时，S1＋S3＋S5＋…＋S2k－1＋S2k＋1＝k4＋[(2k2＋k＋1)＋(2k2＋k ＋2)＋…＋(2k2＋k＋2k＋1)]＝k4＋(2k＋1)(2k2＋2k＋1)＝k4＋4k3＋6k2＋4k＋1＝(k＋1)4，即当n＝k＋1时等式也成立．根据(1)和(2)，可知对于任何n∈N*，S1＋S3＋S5＋…＋S2n－1＝n4都成立．。
【金版优课】高二数学北师大版选修2-2课时作业：1.4.1 数学归纳法(1) Word版含解析
选修2-2 第一章 §4 课时作业5一、选择题1．用数学归纳法证明1＋12＋13＋…＋12n <k ＋1(n ∈N *)，由n ＝k (k ∈N *)不等式成立，推证n ＝k ＋1时，左边应增加的项数是( )A ．2kB ．2k －1C ．2k ＋1D ．2k －1解析：当n ＝k 时，左边有2k 项，当n ＝k ＋1时，左边有2k ＋1项，故增加的项数为2k ＋1－2k ＝2k .答案：A2．我们运用数学归纳法证明某一个关于自然数n 的命题时，在由“n ＝k 时论断成立⇒n ＝k ＋1时论断也成立”的过程中( )A ．必须运用假设B ．n 可以部分地运用假设C ．可不用假设D ．应视情况灵活处理，A 、B 、C 均可解析：由“n ＝k 时论断成立⇒n ＝k ＋1时论断也成立”的过程中必须运用假设． 答案：A3．设f (n )＝11＋12＋…＋12n (n ∈N *)，那么f (n ＋1)－f (n )等于( )A ．12n ＋1B ．12n ＋2C ．12n ＋1＋12n ＋2D ．12n ＋1－12n ＋2解析：f (n ＋1)－f (n )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫11＋12＋…＋12n ＋1n ＋1＋n ＋1n ＋1＋n ＋1－⎝⎛⎭⎫11＋12＋…＋12n ＝12n ＋1＋12n ＋2. 答案：C4．某同学回答用数学归纳法证明n 2＋n <n ＋1(n ∈N *)的过程如下：证明：(1)当n ＝1时，显然命题是正确的；(2)假设n ＝k 时有k (k ＋1)<k ＋1，那么当n ＝k ＋1时，(k ＋1)2＋(k ＋1)＝k 2＋3k ＋2<k 2＋4k ＋4＝(k ＋1)＋1，所以当n ＝k ＋1时命题是正确的，由(1)、(2)可知对于n ∈N *命题都是正确的．以上证法是错误的，错误在于( )A ．当n ＝1时，验证过程不具体B ．归纳假设的写法不正确C ．从k 到k ＋1的推理不严密D ．从k 到k ＋1的推理过程没有使用归纳假设解析：n ＝1时证明正确，但从n ＝k 到n ＝k ＋1的推理中没有使用归纳假设，而是通过不等式的放缩直接证明，不符合数学归纳法证题的要求．应选D.答案：D 二、填空题5．若存在常数a ，b ，使等式1·22＋2·32＋…＋n (n ＋1)2＝n (n ＋1)(n ＋2)12(an ＋b )对n ∈N *都成立，则a 、b 的值分别为________、________.解析：因为存在常数a 、b ，使等式对所有的正整数都成立，所以当n ＝1,2时等式都成立，所以得a ＋b ＝8,2a ＋b ＝11，解得a ＝3，b ＝5.答案：3 56．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝1，S n ＝n 2a n (n ∈N *)．依次计算出S 1，S 2，S 3，S 4后，可猜想S n 的表达式为__________．解析：S 1＝1，S 2＝43，S 3＝32＝64，S 4＝85，猜想S n ＝2nn ＋1.答案：S n ＝2n n ＋17．[2013·吉林长春一模]用数学归纳法证明等式1＋2＋3＋…＋(2n ＋1)＝(n ＋1)(2n ＋1)时，当n ＝1时左边表达式是________；从k →k ＋1需增添的项是________．解析：因为用数学归纳法证明等式1＋2＋3＋…＋(2n ＋1)＝(n ＋1)(2n ＋1)时，当n ＝1时2n ＋1＝3，所以左边表达式是1＋2＋3；从k →k ＋1需增添的项是4k ＋5或(2k ＋2)＋(2k ＋3)．答案：1＋2＋3；4k ＋5(或(2k ＋2)＋(2k ＋3)) 三、解答题8．用数学归纳法证明：121×3＋223×5＋…＋n 2(2n －1)(2n ＋1)＝n (n ＋1)2(2n ＋1).解：(1)当n ＝1时121×3＝1×22×3成立．(2)假设当n ＝k 时等式成立即有121×3＋223×5＋…＋k 2(2k －1)(2k ＋1)＝k (k ＋1)2(2k ＋1)，则121×3＋223×5＋…＋k 2(2k －1)(2k ＋1)＋(k ＋1)2(2k ＋1)(2k ＋3)＝k (k ＋1)2(2k ＋1)＋(k ＋1)2(2k ＋1)(2k ＋3)＝(k ＋1)(k ＋2)2(2k ＋3)，即当n ＝k ＋1时等式也成立．由(1)(2)可得对于任意的n ∈N *等式都成立． 9．已知S n ＝1＋12＋13＋…＋1n (n >1，n ∈N *)，求证：S 2n >1＋n2(n ≥2，n ∈N *)．证明：(1)当n ＝2时，S 2n ＝1＋12＋13＋14＝2512>1＋22，即当n ＝2时命题成立．(2)设当n ＝k (k ≥2)时命题成立，即 S 2k ＝1＋12＋13＋…＋12k >1＋k2，当n ＝k ＋1时，S 2k ＋1＝1＋12＋13＋…＋12k ＋12k ＋1＋…＋12k ＋1>1＋k 2＋12k ＋1＋12k ＋2＋…＋12k ＋1 >1＋k2＋2k 2k ＋2k ＝1＋k 2＋12＝1＋k ＋12， 故当n ＝k ＋1时，命题也成立．由(1)(2)可知，当n ∈N *，n ≥2时，不等式S 2n >1＋n2都成立．。
2019-2020学年人教A版选修2-2 数学归纳法 课时作业
2019-2020学年人教A 版选修2-2 数学归纳法 课时作业1.用数学归纳法证明“”,则当时,应当在时对应的等式的两边加上 A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】因为当时,6331232k k k +++++=,当时,=,故选A ．2.设()()*111122f n n n n n =++⋅⋅⋅+∈++N ，那么()()1f n f n +-= A ．121n + B ．122n +C ．112122n n +++D ．112122n n -++ 【答案】D【解析】()()()11111112321122f n f n n n n n n n ⎛⎫+-=+++-+++⎪+++++⎝⎭11111212212122n n n n n =+-=-+++++．故选D ． 3.当是正整数时，用数学归纳法证明从到等号左边需要增加的代数式为 A ． B ． C ．D ．【答案】D 【解析】当时，.则当时，，作差可得从到，等号左边需增加的代数式为，故选D ．二、填空题：请将答案填在题中横线上．4.用数学归纳法证明：()22311111n n c c c c cc c++-+++++=≠-，当1n =时，左边为__________．【答案】21c c ++【解析】等式的左边是以1为首项，c 为公比的等比数列的前2n +项的和，观察当1n =时，等式左边等于21c c ++,故答案为21c c ++. 5.对于不等式<n+1(n ∈N *),某同学用数学归纳法证明的主要过程如下:（1）当n =1时,<1+1 ,不等式成立;（2）假设当n =k (k ∈N *)时,不等式成立,有<k+1,即k 2+k <(k+1)2,则当n =k+1时,=<==(k+1)+1,所以当n =k+1时,不等式也成立.则下列说法中正确的有__________.(填出所有正确说法的序号) ①证明过程全部正确;②n =1的验证不正确;③n =k 的归纳假设不正确;④从n =k 到n =k+1的推理不正确. 【答案】④【解析】n =1的验证及n =k 的归纳假设都正确,但从n =k 到n =k+1的推理中没有使用归纳假设,而是通过对不等式的放缩直接证明,不符合数学归纳法的证题要求.故填④.6.用数学归纳法证明不等式()*1111223212nnn n ++++>≥∈-N ，的过程中，由“”到“”时，左边增加了__________项 【答案】【解析】当时，左边，当时，左边， 观察可知，增加的项数是，故答案是.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 7.求证:++…+=1-(其中n ∈N *). 【解析】(1)当n =1时,左边=,右边=1-,左边=右边,等式成立.(2)假设当n=k(k∈N*)时等式成立,即++…+=1-.那么当n=k+1时,++…++=1-+=1-,即当n=k+1时等式也成立.根据(1)和(2),可知等式对任何n∈N*都成立.8.证明：.【解析】设.(ⅰ)当n=1时，，，.(ⅱ)假设当n=k时，.则当n=k+1时，.要证：,只需证：.由于,所以.于是对于一切的自然数，都有11．求证：n3＋(n＋1)3＋(n＋2)3(n∈N*)能被9整除.【解析】(1)当n＝1时，13＋(1＋1)3＋(1＋2)3＝36，能被9整除，命题成立.(2)假设n＝k时，命题成立，即k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3能被9整除.当n＝k＋1时，(k＋1)3＋(k＋2)3＋(k＋3)3＝(k＋1)3＋(k＋2)3＋k3＋3k2·3＋3k·32＋33＝k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3＋9(k2＋3k＋3).由归纳假设，上式中k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3能被9整除，又9(k2＋3k＋3)也能被9整除，故n＝k＋1时命题也成立.由(1)(2)可知，对任意n∈N*命题成立.12．试比较2n＋2与n2的大小(n∈N*),并用数学归纳法证明你的结论.【解析】当n＝1、n＝2、n＝3时都有2n＋2＞n2成立,所以归纳猜想2n＋2＞n2成立.下面用数学归纳法证明：①当n ＝1时,左边＝21＋2＝4；右边＝1,左边＞右边,所以原不等式成立；当n ＝2时,左边＝22＋2＝6,右边＝22＝4,所以左边＞右边； 当n ＝3时,左边＝23＋2＝10,右边＝32＝9,所以左边＞右边. ②假设n ＝k 时(k ≥3且k ∈N *)时,不等式成立,即2k ＋2＞k 2.那么n ＝k ＋1时，2k +1＋2＝2·2k ＋2＝2(2k ＋2)－2＞2·k 2－2，又因为2k 2－2－(k ＋1)2＝k 2－2k －3＝(k －3)(k ＋1)≥0, 即2k +1＋2＞(k ＋1)2成立.根据①和②可知,2n ＋2＞n 2对于任何n ∈N *都成立.13.在数列中，，其中.（1）计算的值；（2）猜想数列的通项公式，并用数学归纳法加以证明.【解析】（1）由题意，1211213a a a ==+，232113221513a a a ===++，343115221715a a a ===++. （2）由1234,,,a a a a 猜想1.21n a n =-以下用数学归纳法证明：对任何的*n ∈N ,1.21n a n =-证明：①当1n =时，由已知，得左边11a =，右边11.211=⨯-所以1n =时成等式.②假设当()*n k k =∈N 时，121k a k =-成立， 则1n k =+时，()111121121212112121k k k a k a a k k k +-====+++-⨯+-， 所以，当1n k =+时，等式也成立. 根据①和②，可知对于任何*n ∈N ，121n a n =-成立.。
最新人教版高中数学选修2-2课时同步作业(全册 共21课时 共87页)
最新人教版高中数学选修2-2课时同步作业
（全册共21课时共87页）
目录
课时作业1变化率问题导数的概念
课时作业2导数的几何意义
课时作业3几个常用函数的导数
课时作业4基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(二)
课时作业5函数的单调性与导数
课时作业6函数的极值与导数
课时作业7函数的最大(小)值与导数
课时作业8生活中的优化问题举例
课时作业9曲边梯形的面积汽车行驶的路程
课时作业10定积分的概念
课时作业11微积分基本定理
课时作业12定积分在几何中的应用
课时作业13合情推理
课时作业14演绎推理
课时作业15综合法和分析法
课时作业16反证法
课时作业17数学归纳法
课时作业18数系的扩充和复数的概念
课时作业19复数的几何意义
课时作业20复数代数形式的加、减运算及其几何意义
课时作业21复数代数形式的乘除运算。
北师大版高中数学选修2-2数学归纳法习题课件
项和的公式推导中,应注意由n=k到n=k+1时中间的过渡项是什么.
证明:(1)当 n=1 时,a1=4,b1=1-4=-3,b1=21×-21×+11=-3,等式成立.
(2)假设 n=k(k≥1,k∈N+)时等式成立,即 bk=21���-���2+���1��� ,则当 n=k+1 时,
(n+1)·(n+2)·…·(n+n)=2n×1×3×…×(2n-1)(n∈N+). 证明:(1)当n=1时,左边=1+1=2,右边=21×1=2,等式成立.
(2)假设当n=k(k≥1,k∈N+)时,等式成立,即
(k+1)(k+2)·…·(k+k)=2k×1×3×…×(2k-1).
则当n=k+1时,(k+1+1)(k+1+2)·…·(k+1+k)(k+1+k+1)
(2)用数学归纳法证明有关问题的关键在第二步,即n=k+1时为什 么成立?n=k+1时成立是利用假设n=k时成立,根据有关的定理、定 义、公式、性质等数学结论推证出n=k+1时成立,而不是直接代入, 否则n=k+1时也成假设了,命题并没有得到证明.
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思维辨析
变式训练 2 利用数学归纳法证明对一切大于 1 的正整数 n,不等
北师版数学高二选修2-2课件 1.4 数学归纳法
(2)用数学归纳法证明当 n∈N＋时，1－12＋13－14＋…＋2n1－1－21n＝n＋1 1 ＋n＋1 2＋…＋21n.
证明
反思与感悟
数学归纳法证题的三个关键点 (1)验证是基础：找准起点,奠基要稳，有些问题中验证的初始值不一定是1. (2)递推是关键：数学归纳法的实质在于递推，所以从“k”到“k＋1”的 过程中，要正确分析式子项数的变化.关键是弄清等式两边的构成规律，弄 清由n＝k到n＝k＋1时，等式的两边会增加多少项、增加怎样的项. (3)利用假设是核心：在第二步证明当n＝k＋1成立时，一定要利用归纳假 设，即必须把归纳假设“当n＝k时命题成立”作为条件来导出“n＝k＋ 1”，在书写f(k＋1)时，一定要把包含f(k)的式子写出来，尤其是f(k)中的最 后一项，这是数学归纳法的核心，不用归纳假设的证明就不是数学归纳法.
(1)写出a2，a3，a4的值，并猜想{an}的通项公式；
解 因为a1＝1，an＋1＝f(an)， a
所以 a2＝f(a1)＝f(1)＝a＋a 1，a3＝f(a2)＝f(a＋a 1)＝aa＋·aa＋＋a11＝a＋a 2， a
a4＝f(a3)＝f(a＋a 2)＝aa＋·aa＋＋a22＝a＋a 3，猜想 an＝a＋an－1(n∈N＋).
跟踪训练1 用数学归纳法证明：1＋3＋5＋…＋(2n－3)＋(2n－1)＋(2n－3) ＋…＋5＋3＋1＝2n2－2n＋1.
证明
类型二 利用数学归纳法证明不等式 例 2 求证：n＋1 1＋n＋1 2＋…＋31n>56(n≥2，n∈N＋).
证明
引申探究 把本例改为求证：n＋1 1＋n＋1 2＋n＋1 3＋…＋n＋1 n>2114(n∈N＋).
解答
(2)猜想数列{an}的通项公式，并证明.
2019-2020学年人教A版选修2-2 数学归纳法 课时作业
2019-2020学年人教A版选修2-2 数学归纳法课时作业1.用数学归纳法证明3n≥n3(n≥3,n∈N*),第一步应验证 ()A.当n=1时,不等式成立B.当n=2时,不等式成立C.当n=3时,不等式成立D.当n=4时,不等式成立解析:由题意知n的最小值为3,所以第一步应验证当n=3时,不等式成立,故选C.答案:C2.已知f(nA.f(n)共有n项,当n=2时,f(2B.f(n)共有(n+1)项,当n=2时,f(2C.f(n)共有(n2-n)项,当n=2时,f(2D.f(n)共有(n2-n+1)项,当n=2时,f(2解析:由题意知f(n)的最后一项的分母为n2,故f(2A,选项C.又f(n所以f(n)的项数为n2-n+1.故选D.答案:D3.已知n为正偶数,用数学归纳法证n=k(k≥2,且为偶数)时,命题为真,则还需要用归纳假设再证()A.当n=k+1时,等式成立B.当n=k+2时,等式成立C.当n=2k+2时,等式成立D.当n=2(k+2)时,等式成立解析:因为假设n=k(k≥2,且为偶数),所以下一个偶数为k+2,故选B.答案:B4.用数学归纳法证明不等n∈N*)成立,其初始值至少应取()A.7B.8C.9D.10解析:左边=n的最小值是8.答案:B5.用数学归纳法证n=k+1时,等式左边应在n=k的基础上加上()ABCD解析:当n=k时,左边=n=k+1时,左边=答案:C6.用数学归纳法证明“当n为正奇数时,x n+y n能被x+y整除”,当第二步假设n=2k-1(k∈N*)命题为真时,进而需证n=时,命题为真.解析:因为n为正奇数,所以奇数2k-1之后的奇数是2k+1.答案:2k+17.在用数学归纳法证明“34n+2+52n+1(n∈N*)能被14整除”的过程中,当n=k+1时,式子34(k+1)+2+52(k+1)+1应变形为.答案:(34k+2+52k+1)34+52k+1(52-34)8.用数学归纳法证明n≥2,n∈N*).分析:验证当n=2时不等式成立→假设当n=k时不等式成立→证明当n=k+1时不等式成立→结论证明(1)当n=2时,左=因.(2)假设当n=k(k≥2,k∈N*)时,不等式成立,则当n=k+1时,==所以当n=k+1时,不等式也成立.由(1)(2)知,对任意n≥2的正整数,不等式都成立.9.用数学归纳法证明1×4+2×7+3×10+…+n(3n+1)=n(n+1)2(其中n∈N*).证明(1)当n=1时,左边=1×4=4,右边=1×22=4,左边=右边,等式成立.(2)假设当n=k(k∈N*)时等式成立,即1×4+2×7+3×10+…+k(3k+1)=k(k+1)2,则当n=k+1时,1×4+2×7+3×10+…+k(3k+1)+(k+1)·[3(k+1)+1]=k(k+1)2+(k+1)[3(k+1)+1]=(k+1)(k2+4k+4)=(k +1)[(k+1)+1]2,即当n=k+1时等式也成立.根据(1)和(2),可知等式对任何n∈N*都成立.能力提升1.某同学解答“用数学归纳法证n∈N*)”的过程如下:证明:①当n=1时,显然命题是正确的;②假设当n=k(k≥1,k∈N*)时,n=k+1时k+1)+1,所以当n=k+1时命题是正确的.由①②可知对于n∈N*,命题都是正确的.以上证法是错误的,错误的原因在于()A.从n=k到n=k+1的推理过程中没有使用归纳假设B.假设的写法不正确C.从n=k到n=k+1的推理不严密D.当n=1时,验证过程不具体答案:A2.用数学归纳法证明“凸n(n≥3,n∈N*)边形的内角和公式”时,由n=k到n=k+1内角和增加了()AC解析:如图,由n=k到n=k+1时,凸n边形的内角和增加的是∠1+∠2+∠3=π,故选B.答案:B3.用数学归纳法证明(n+1)(n+2)·…·(n+n)=2n·1·3·…·(2n-1),从n=k到n=k+1,左边需要增乘的代数式为()A.2k+1B.2(2k+1)C解析:当n=k时,等式左边为(k+1)(k+2)·…·(k+k),而当n=k+1时,等式左边为(k+1+1)(k+1+2)·…·(k+1+k+1)=(k+2)·(k+3)·…·(k+k+2),前边少了一项(k+1),后边多了两项(k+k+1)(k+k+2),故增乘的代数式2k+1).答案:B4.★某个与正整数有关的命题:若当n=k(k∈N*)时,命题成立,则可以推出当n=k+1时,该命题也成立.现已知当n=5时,命题不成立,则可以推得()A.当n=4时,命题不成立B.当n=6时,命题不成立C.当n=4时,命题成立D.当n=6时,命题成立解析:“若n=k时,命题成立,则n=k+1时,该命题也成立”的等价命题是“若n=k+1时,命题不成立,则n=k时,命题也不成立.”故选A.答案:A5.★用数学归纳法证明“n3+5n能被6整除”的过程中,当n=k+1时,式子(k+1)3+5(k+1)应变形为.解析:采取凑配法,凑出归纳假设k3+5k来,(k+1)3+5(k+1)=k3+3k2+3k+1+5k+5=(k3+5k)+3k(k+1)+6.答案:(k3+5k)+3k(k+1)+66.设实数c>0,整数p>1,n∈N*.(1)用数学归纳法证明:当x>-1,且x≠0时,(1+x)p>1+px;(2)数列{a n}满足a a n+a n>a n+证明(1)①当p=2时,(1+x)2=1+2x+x2>1+2x,原不等式成立.②假设当p=k(k≥2,k∈N*)时,不等式(1+x)k>1+kx成立.则当p=k+1时,(1+x)k+1=(1+x)(1+x)k>(1+x)(1+kx)=1+(k+1)x+kx2>1+(k+1)x.所以当p=k+1时,原不等式也成立.综合①②可得,当x>-1,x≠0时,对一切整数p>1,不等式(1+x)p>1+px均成立.(2)先用数学归纳法证明a n①当n=1时,由题设a a n.②假设当n=k(k≥1,k∈N*)时,不等式a k.由a n+a a n>0,n∈N*.则当n=k+1=由a k-1<.由(1)中的结论+p·a k+所以当n=k+1时,不等式a n.综合①②可得,对一切正整数n,不等式a n.因此a n+.再即a n+1<a n.综上所述,a n>a n+n∈N*.7.已知集合X={1,2,3},Y n={1,2,3,…,n}(n∈N*),设S n={(a,b)|a整除b或b整除a,a∈X,b∈Y n}.令f(n)表示集合S n所含元素的个数.(1)写出f(6)的值;(2)当n≥6时,写出f(n)的表达式,并用数学归纳法证明.解:(1)f(6)=13.(2)当n≥6时,f(n t∈N*).下面用数学归纳法证明:①当n=6时,f(6)=6+;②假设当n=k(k≥6)时结论成立,那么n=k+1时,S k+1在S k的基础上新增加的元素在(1,k+1),(2,k+1),(3,k+1)中产生,分以下情形讨论:1)若k+1=6t,则k=6(t-1)+5,此时有f(k+1)=f(k)+3=k+=(k+1)+;2)若k+1=6t+1,则k=6t,此时有f (k+1)=f(k)+1=k+=(k+1)+;3)若k+1=6t+2,则k=6t+1,此时有f(k+1)=f(k)+2=k+=(k+1)+;4)若k+1=6t+3,则k=6t+2,此时有f(k+1)=f(k)+2=k+=(k+1)+;5)若k+1=6t+4,则k=6t+3,此时有f(k+1)=f(k)+2=k+=(k+1)+;6)若k+1=6t+5,则k=6t+4,此时有f(k+1)=f(k)+1=k+=(k+1)+.综上所述,结论对满足n≥6的自然数n均成立.。
【人教版】数学选修2-2《数学归纳法》课后练习(含答案)
数学归纳法课后练习主讲教师：纪荣强 北京四中数学教师题一：用数学归纳法证明：凸n 边形的对角线的条数为f (n )＝12n (n －3)(n ≥3)． 题二：求证：6)12)(1(21222++=+++n n n n ．题三：用数学归纳法证明不等式：1＋12＋13＋…＋1n ＜2n (n ∈N*)．题四：设数列{a n }满足a n ＋1＝a 2n －na n ＋1，n ＝1,2，3，…(1)当a 1＝2时，求a 2，a 3，a 4，并由此猜想出a n 的一个通项公式；(2)当a 1≥3时，证明对所有的n ≥1，有a n ≥n ＋2．题五：在数列}{n a 中，33,2111+==+n n n a a a a ，求数列}{n a 的通项公式．题六：数列{a n } 满足 S n ＝2n －a n (n ∈N *)．(1)计算 a 1，a 2，a 3，a 4并由此猜想通项 a n 的表达式；(2)用数学归纳法证明(1)中的猜想．题七：设数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋1a n(n ＝1,2，…)． (1)证明：a n ＞2n ＋1对一切正整数n 都成立；(2)令b n ＝a n n(n ＝1,2，…)，判断b n 与b n ＋1的大小，并说明理由． 题八：数列}{n a 中，)1(2,25211-==+n n n a a a a )(*∈N n ， 用数学归纳法证明：)(2*∈>N n a n ．题九：设数列a 1，a 2，…，a n ，…中的每一项都不为0．证明：{a n }为等差数列的充分必要条件是：对任何n ∈N *，都有1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n a n ＋1 ＝ n a 1a n ＋1．题十：是否存在常数a 、b 、c ，使等式2222(1)1223(1)()12n n n n an bn c +⋅+⋅+++=++对一切正整数n 都成立？ 证明你的结论．数学归纳法课后练习参考答案题一： 见详解．详解：证明：(1)∵三角形没有对角线，∴n ＝3时，f (3)＝0，命题成立．(2)假设n ＝k (k ≥3)时，命题成立，即f (k )＝12k (k －3)，则当n ＝k ＋1时，凸k 边形由原来的k 个顶点变为k ＋1个顶点，对角线条数增加k －1条．∴f (k ＋1)＝f (k )＋k －1＝12k (k －3)＋k －1＝12(k ＋1)． ∴当n ＝k ＋1时命题成立，由 (1)，(2)可知对任何n ∈N 且n ≥3，命题恒成立．题二： 见详解．详解：(1)当n =1时，左端=1 ，右端=16)12)(11(1=++⋅，左端=右端，等式成立； (2)假设n =k 时，等式成立，即6)12)(1(21222++=+++k k k k ，则 6]1)1(2][1)1)[(1()1(6)12)(1()1(2122222+++++=++++=+++++k k k k k k k k k 所以，当n =k +1时，等式仍然成立．由(1)(2)可知，对于n ∀∈*N 等式依然成立．题三： 见详解．详解：证明：①当n ＝1时，左边＝1，右边＝2．左边＜右边，所以不等式成立，②假设n ＝k (k ∈N *)时，不等式成立，即1＋12＋13＋ (1)＜2k ． 那么当n ＝k ＋1时，1＋ 12＋13＋…＋ 1k ＋1k ＋1 ＜2k ＋1k ＋1＝ 2k k ＋1＋1k ＋1＜k ＋(k ＋1)＋1k ＋1＝2(k ＋1)k ＋1＝2k ＋1． 这就是说，当n ＝k ＋1时，不等式成立．由①②可知，原不等式对任意n ∈N *都成立．题四： （1）a 2＝3，a 3＝4，a 4＝5，a n ＝n ＋1(n ≥1)；（2）见详解．详解：(1)由a 1＝2，得a 2＝a 12－a 1＋1＝3，由a 2＝3，得a 3＝a 22－2a 2＋1＝4，由a 3＝4，得a 4＝a 32－3a 3＋1＝5，由此猜想a n 的一个通项公式：a n ＝n ＋1(n ≥1)．(2)证明：用数学归纳法证明：①当n ＝1时，a 1≥3＝1＋2，不等式成立．②假设当n ＝k 时不等式成立，即a k ≥k ＋2，那么，a k ＋1＝a k (a k －k )＋1≥(k ＋2)(k ＋2－k )＋1≥k ＋3，也就是说，当n ＝k ＋1时，a k ＋1≥(k ＋1)＋2．根据①和②，对于所有n ≥1，都有a n ≥n ＋2． 题五： 53+=n a n ． 详解：,73,632121===a a ,93,8323==a a 猜想53+=n a n ．下面用数学归纳法证明：（1）当n =1时，215131=+=a ，猜想成立． （2）假设当n =k 时猜想成立，则13333533(1)535k k k a k a a k k +⋅+===+++++． 当n =k +1时猜想也成立．综合（1）（2），对n ∈*N 猜想都成立．题六： (1)a 1＝1，a 2＝32， a 3＝74，a 4＝158，猜想 a n ＝2n －12n －1(n ∈N *)；（2）见详解． 详解：(1)a 1＝1，a 2＝32， a 3＝74，a 4＝158，由此猜想 a n ＝2n －12n －1(n ∈N *)． (2)证明：当n ＝1时，a 1＝1, 结论成立．假设 n ＝k (k ∈N *)时，结论成立，即a k ＝2k －12k －1， 那么 n ＝k ＋1(k ∈N *)时，a k ＋1＝S k ＋1－S k ＝2(k ＋1)－a k ＋1－2k ＋a k ＝2＋a k －a k ＋1．∴a k ＋1＝2＋a k 2＝2＋2k －12k －12＝2k ＋1－12k，这表明 n ＝k ＋1 时，结论成立． 根据(1)和(2)，可知猜想对任何n ∈N * 都成立．∴a n ＝2n －12n －1(n ∈N *)．题七： （1）见详解；（2）b n ＋1＜b n ．详解：(1)证明：当n ＝1时，a 1＝2＞2×1＋1，不等式成立．假设当n ＝k (k ∈N *)时，a k ＞2k ＋1成立．那么当n ＝k ＋1时，a k ＋12＝a k 2＋1a k 2＋2＞2k ＋3＋1a k 2＞2(k ＋1)＋1． ∴当n ＝k ＋1时，a k ＋1＞2(k ＋1)＋1成立．综上， a n ＞2n ＋1对一切正整数n 都成立．(2)∵b n ＋1b n ＝a n ＋1n ＋1a n n＝()1＋1a n 2· n n ＋1＜⎝⎛⎭⎫1＋12n ＋1· n n ＋1＝2(n ＋1)n (2n ＋1)n ＋1 ＝2n (n ＋1)2n ＋1＝()n ＋122－14n ＋12＜1． 故b n ＋1＜b n ．题八： 见详解． 详解：(1) 当n = 1时，2251>=a ，不等式成立． (2)假设当n = k 时等式成立，即)(2*∈>N k a k ， 则2)1(2221--=-+k k k a a a 0)1(2)2(2>--=k k a a ，21>∴+k a ． ∴当n = k +1时， 不等式也成立．综合（1）（2），不等式对所有正整数都成立．题九： 见详解．详解：证明：先证必要性．设数列{a n }的公差为d ．若d ＝0，则所述等式显然成立．若d ≠0，则1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n a n ＋1＝1d ⎝⎛⎭⎫a 2－a 1a 1a 2＋a 3－a 2a 2a 3＋…＋a n ＋1－a n a n a n ＋1 ＝1d ⎝⎛⎭⎫()1a 1－1a 2＋()1a 2－1a 3＋…＋⎝⎛⎭⎫1a n －1a n ＋1 ＝1d ⎝⎛⎭⎫1a 1－1a n ＋1＝1d · a n ＋1－a 1a 1a n ＋1 ＝ n a 1a n ＋1． 再证充分性．(数学归纳法)设所述的等式对一切n ∈N *都成立．首先，在等式1a 1a 2＋1a 2a 3＝2a 1a 3① 两端同乘a 1a 2a 3，即得a 1＋a 3＝2a 2，所以a 1，a 2，a 3成等差数列，记公差为d ，则a 2＝a 1＋d ．假设a k ＝a 1＋(k －1)d ，当n ＝k ＋1时，观察如下两个等式1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a k －1a k ＝k －1a 1a k，② 1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a k －1a k ＋1a k a k ＋1＝k a 1a k ＋1，③ 将②代入③，得k －1a 1a k ＋1a k a k ＋1＝k a 1a k ＋1，在该式两端同乘a 1a k a k ＋1，得(k －1)a k ＋1＋a 1＝ka k ． 将a k ＝a 1＋(k －1)d 代入其中，整理后，得a k ＋1＝a 1＋kd ．由数学归纳法原理知，对一切n ∈N *，都有a n ＝a 1＋(n －1)d ．所以{a n }是公差为d 的等差数列．题十： 存在a =3，b =11，c =10．详解：把n =1, 2 , 3代入得方程组2442449370a b c a b c a b c ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩，解得31110a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩， 猜想：等式2222(1)1223(1)(31110)12n n n n n n +⋅+⋅+++=++对一切n N *∈都成立，下面用数学归纳法证明： (1) 当n =1时，由上面的探求可知等式成立． (2) 假设n =k 时等式成立，即2222(1)1223(1)(31110)12k k k k k k +⋅+⋅+++=++则222222(1)1223(1)(1)(2)(31110)(1)(2)12k k k k k k k k k k +⋅+⋅++++++=+++++2(1)(35)(2)(1)(2)12k k k k k k +=+++++(1)(2)[(35)12(2)]12k k k k k ++=+++2(1)(2)[3(1)11(1)10]12k k k k ++=++++． 所以当n = k +1时，等式也成立． 综合（1）（2），对n N *∈等式都成立．。
北师大版数学高二-1.4 数学归纳法课时作业 北师大版选修2-2
【步步高 学案导学设计】 高中数学 1.4 数学归纳法课时作业 北师大版选修2-2课时目标 1.了解数学归纳法的原理.2.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题．1．数学归纳法是用来证明______________________的数学命题的一种方法． 2．数学归纳法的基本步骤：(1)________________________________；(2)在假设当n ＝k (k ≥1)时命题成立的前提下，推出____________________． 根据(1)(2)可以断定命题对______________都成立．一、选择题1．用数学归纳法证明1＋a ＋a 2＋…＋an ＋1＝1－a n ＋21－a(a ≠1，n ∈N ＋)，在验证n ＝1时，等号左边的项是( )A ．1B ．1＋aC ．1＋a ＋a 2D ．1＋a ＋a 2＋a 32．用数学归纳法证明“2n >n 2＋1对于n ≥n 0的自然数n 都成立”时，第一步证明中的起始值n 0应取( )A ．2B ．3C ．5D ．63．已知f (n )＝1＋12＋13＋…＋1n (n ∈N ＋)，证明不等式f (2n )>n 2时，f (2k ＋1)比f (2k)多的项数是( )A ．2k －1项B ．2k ＋1项C ．2k项 D ．以上都不对4．用数学归纳法证明(n ＋1)(n ＋2)·…·(n ＋n )＝2n·1·3·…·(2n ＋1)(n ∈N ＋)，从“k 到k ＋1”左端需增乘的代数式为( )A ．2k ＋1B ．2(2k ＋1) C.2k ＋1k ＋1 D.2k ＋3k ＋1 5．用数学归纳法证明“当n 为正奇数时，x n＋y n能被x ＋y 整除”时，第一步验证n ＝1时，命题成立，第二步归纳假设应写成( )A ．假设n ＝2k ＋1(n ∈N ＋)时命题正确，再推证n ＝2k ＋3时命题正确B ．假设n ＝2k －1(k ∈N ＋)时命题正确，再推证n ＝2k ＋1时命题正确C ．假设n ＝k (k ∈N ＋)时命题正确，再推证n ＝k ＋2时命题正确D ．假设n ≤k (k ∈N ＋)时命题正确，再推证n ＝k ＋2时命题正确6．用数学归纳法证明不等式“1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n >1324 (n >2)”时的过程中，由n ＝k到n ＝k ＋1时，不等式的左边( )A ．增加了一项12k ＋1B ．增加了两项12k ＋1，12k ＋1C ．增加了两项12k ＋1，12k ＋1，又减少了一项1k ＋1D ．增加了一项12k ＋1，又减少了一项1k ＋1二、填空题7．用数学归纳法证明：1＋2＋3＋…＋n 2＝n 4＋n 22时，则n ＝k ＋1时的左端应在n ＝k 时的左端加上____________________________．8．用数学归纳法证明：1＋2＋22＋…＋2n －1＝2n－1 (n ∈N ＋)的过程如下：(1)当n ＝1时，左边＝1，右边＝21－1＝1，等式成立．(2)假设当n ＝k 时等式成立，即1＋2＋22＋…＋2k －1＝2k－1，则当n ＝k ＋1时，1＋2＋22＋…＋2k －1＋2k ＝1－2k ＋11－2＝2k ＋1－1.所以当n ＝k ＋1时等式也成立．由此可知对于任何n∈N ＋，等式都成立．上述证明的错误是________________________．9．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝1，S n ＝n 2a n (n ∈N ＋)．依次计算出S 1，S 2，S 3，S 4后，可猜想S n 的表达式为________________．三、解答题10．试比较2n ＋2与n 2的大小(n ∈N ＋)，并用数学归纳法证明你的结论．11．在数列{a n }中，a 1＝12，a n ＋1＝a n2a n ＋1(n ＝1,2,3，…)(1)求a 2，a 3；(2)猜想数列{a n }的通项公式，并用数学归纳法证明你的结论．能力提升12．已知f (n )＝(2n ＋7)·3n＋9，存在正整数m ，使得对任意n ∈N ＋都能使m 整除f (n )，则最大的m 的值为多少？并证明之．13．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知对任意的n ∈N ＋，点(n ，S n )均在函数y ＝b x＋r (b >0且b ≠1，b ，r 均为常数)的图像上．(1)求r 的值；(2)当b ＝2时，记b n ＝2(log 2a n ＋1)(n ∈N ＋)，证明：对任意的n ∈N ＋，不等式b 1＋1b 1·b 2＋1b 2·…·b n ＋1b n>n ＋1成立．1．数学归纳法在证明与正整数n 有关的等式、不等式、整除问题及数列问题中有广泛的应用．2．在证明n ＝k ＋1时的命题中，怎样变形使之出现n ＝k 时的命题的形式是解决问题的关键，要找清n ＝k ＋1时式子结构或几何量的改变．答 案知识梳理1．某些与正整数n 有关2．(1)验证：n ＝1时，命题成立 (2)当n ＝k ＋1时，命题成立 一切正整数n 作业设计1．C [当n ＝1时，a n ＋1＝a 2.∴等号左边的项是1＋a ＋a 2.]2．C [当n 取1、2、3、4时2n >n 2＋1不成立，当n ＝5时，25＝32>52＋1＝26，第一个能使2n >n 2＋1的n 值为5.]3．C [观察f (n )的表达式可知，右端分母是连续的正整数，f (2k)＝1＋12＋…＋12k ，而f (2k ＋1)＝1＋12＋…＋12k ＋12k ＋1＋12k ＋2＋…＋12k ＋2k .因此f (2k ＋1)比f (2k)多了2k项．]4．B [当n ＝k 时左端为(k ＋1)(k ＋2)·…·(k ＋k )，当n ＝k ＋1时，左端为(k ＋2)(k ＋3)…(k ＋1＋k －1)·(k ＋1＋k )(k ＋1＋k ＋1)，即(k ＋2)(k ＋3)…(k ＋k )·(2k ＋1)(2k ＋2)．观察比较它们的变化知增乘了2k ＋12k ＋2k ＋1＝2(2k ＋1)．]5．B [因n 为正奇数，所以否定C 、D 项；当k ＝1时，2k －1＝1,2k ＋1＝3，故选B.]6．C [当n ＝k 时，左边＝1k ＋1＋1k ＋2＋…＋12k .当n ＝k ＋1时，左边＝1k ＋2＋1k ＋3＋…＋12k ＋1＝1k ＋1＋1k ＋2＋…＋12k＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12k ＋1＋12k ＋2－1k ＋1.]7．(k 2＋1)＋(k 2＋2)＋…＋(k ＋1)28．没有用到归纳假设，不是数学归纳法9．S n ＝2nn ＋1解析 S 1＝1，S 2＝43，S 3＝32＝64，S 4＝85，猜想S n ＝2nn ＋1.10．证明 当n ＝1时，21＋2＝4>n 2＝1， 当n ＝2时，22＋2＝6>n 2＝4，当n ＝3时，23＋2＝10>n 2＝9，当n ＝4时，24＋2＝18>n 2＝16， 由此可以猜想， 2n ＋2>n 2(n ∈N ＋)成立． 下面用数学归纳法证明：①当n ＝1时，左边＝21＋2＝4，右边＝1， 所以左边>右边，所以原不等式成立．当n ＝2时，左边＝22＋2＝6，右边＝22＝4，所以左边>右边；当n ＝3时，左边＝23＋2＝10，右边＝32＝9， 所以左边>右边．②假设n ＝k 时(k ≥3且k ∈N ＋)时，不等式成立，即2k ＋2>k 2，那么n ＝k ＋1时， 2k ＋1＋2＝2·2k ＋2＝2(2k ＋2)－2>2k 2－2. 要证当n ＝k ＋1时结论成立，只需证2k 2－2≥(k ＋1)2，即证k 2－2k －3≥0， 即证(k ＋1)(k －3)≥0. 又∵k ＋1>0，k －3≥0， ∴(k ＋1)(k －3)≥0.所以当n ＝k ＋1时，结论成立．由①②可知，n ∈N ＋，2n ＋2>n 2.11．解 (1)a 2＝a 12a 1＋1＝122×12＋1＝14，a 3＝a 22a 2＋1＝142×14＋1＝16.(2)猜想a n ＝12n ，下面用数学归纳法证明此结论正确．证明：①当n ＝1时，结论显然成立．②假设当n ＝k (k ∈N ＋)时，结论成立，即a k ＝12k，那么a k ＋1＝a k 2a k ＋1＝12k 2×12k ＋1＝12k ＋2＝12k ＋1.也就是说，当n ＝k ＋1时结论成立．根据①②可知，结论对任意正整数n 都成立，即a n ＝12n.12．解 ∵f (1)＝36，f (2)＝108＝3×36，f (3)＝360＝10×36， ∴f (1)，f (2)，f (3)能被36整除，猜想f (n )能被36整除．证明：n ＝1,2时，由上得证，假设n ＝k (k ∈N ＋，k ≥2)时，f (k )＝(2k ＋7)·3k＋9能被36整除，则n ＝k ＋1时，f (k ＋1)－f (k )＝(2k ＋9)·3k ＋1－(2k ＋7)·3k＝(6k ＋27)·3k －(2k ＋7)·3k＝(4k ＋20)·3k ＝36(k ＋5)·3k －2(k ≥2)． ∴f (k ＋1)能被36整除．因此，对任意n ∈N ＋，f (n )都能被36整除． 又∵f (1)不能被大于36的数整除， ∴所求最大的m 值等于36.13．(1)解 由题意：S n ＝b n＋r ，当n ≥2时，S n －1＝b n －1＋r .所以a n ＝S n －S n －1＝b n －1(b －1)， 由于b >0且b ≠1，所以n ≥2时，{a n }是以b 为公比的等比数列． 又a 1＝b ＋r ，a 2＝b (b －1)， a 2a 1＝b ，即b b －1b ＋r＝b ，解得r ＝－1. (2)证明 当b ＝2时，由(1)知a n ＝2n －1， 因此b n ＝2n (n ∈N ＋)，所证不等式为2＋12·4＋14·…·2n ＋12n>n ＋1.①当n ＝1时，左式＝32，右式＝ 2.左式>右式，所以结论成立，②假设n ＝k (k ∈N ＋)时结论成立， 即2＋12·4＋14·…·2k ＋12k>k ＋1，则当n ＝k ＋1时， 2＋12·4＋14·…2k ＋12k ·2k ＋32k ＋1>k ＋1·2k ＋32k ＋1＝2k ＋32k ＋1. 要证当n ＝k ＋1时结论成立，只需证2k ＋32k ＋1≥k ＋2，即证2k ＋32≥k ＋1k ＋2，由基本不等式2k ＋32＝k ＋1＋k ＋22≥k ＋1k ＋2成立，故2k ＋32k ＋1≥k ＋2成立， 所以当n ＝k ＋1时，结论成立．由①②可知，n ∈N ＋时，不等式b 1＋1b 1·b 2＋1b 2·…·b n ＋1b n>n ＋1成立．。
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选修2-2 第一章 §4 课时作业6
1．证明不等式1＋12＋13＋ (1)
<2n (n ∈N *)． 证明：(1)当n ＝1时，左边＝1，右边＝2.
左边<右边，不等式成立．
(2)假设当n ＝k (k ≥1且k ∈N *)时，不等式成立，
即1＋12＋13＋ (1)
<2k . 则当n ＝k ＋1时，
1＋12＋13＋…＋1k ＋1k ＋1
<2k ＋
1k ＋1＝2k k ＋1＋1k ＋1 <(k )2＋(k ＋1)2＋1k ＋1＝2(k ＋1)k ＋1
＝2k ＋1. ∴当n ＝k ＋1时，不等式成立．
由(1)(2)可知，原不等式对任意n ∈N *都成立．
2．[2014·吉安检测]已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝a n 1＋a n
(n ∈N *)． (1)计算a 2，a 3，a 4；
(2)猜想a n 的表达式，并用数学归纳法证明．
解：(1)a 1＝1，a 2＝a 11＋a 1＝12
， a 3＝a 21＋a 2＝13
， a 4＝a 31＋a 3＝14
. (2)由(1)的计算猜想：a n ＝1n
. 下面用数学归纳法进行证明
①当n ＝1时，a 1＝1，等式成立．
②假设当n ＝k 时等式成立，即a k ＝1k
，
那么a k ＋1＝a k 1＋a k ＝1k
1＋1k ＝1k ＋1， 即当n ＝k ＋1时等式也成立．
由①②可知，对任意n ∈N *都有a n ＝1n
. 3．证明凸n 边形的对角线的条数f (n )＝12
n (n －3)(n ≥4，n ∈N *)． 解：(1)当n ＝4时，f (4)＝12
×4×(4－3)＝2，凸四边形有两条对角线，命题成立． (2)假设n ＝k (k ≥4且k ∈N *)时命题成立．即凸k 边形的对角线的条数f (k )＝12
k (k －3)(k ≥4)，当n ＝k ＋1时，凸(k ＋1)边形是在k 边形基础上增加了一边，增加了一个顶点，设为A k ＋1，增加的对角线是顶点A k ＋1与不相邻顶点的连线再加上原k 边形一边A 1A k ，共增加了对角线的条数为k －2＋1＝k －1.
∴f (k ＋1)＝12
k (k －3)＋k －1 ＝12
(k 2－k －2) ＝12
(k ＋1)(k －2) ＝12
(k ＋1)[(k ＋1)－3]． 故当n ＝k ＋1时命题成立．
由(1)(2)知，对任意n ≥4，n ∈N *，命题成立．
4．将正整数作如下分组：(1)，(2,3)，(4,5,6)，(7,8,9,10)，(11,12,13,14,15)，(16,17,18,19,20,21)，…，分别计算各组包含的正整数的和如下，试猜测S 1＋S 3＋S 5＋…＋S 2n －1的结果，并用数学归纳法证明．
S 1＝1，
S 2＝2＋3＝5，
S 3＝4＋5＋6＝15，
S 4＝7＋8＋9＋10＝34，
S 5＝11＋12＋13＋14＋15＝65，
S 6＝16＋17＋18＋19＋20＋21＝111，
…
解：分别计算n ＝1,2,3,4时，S 1＋S 3＋S 5＋…＋S 2n －1的值，并将结果改写为统一形式，猜测出一般结果，然后用数学归纳法证明即可．
由题意知，当n ＝1时，S 1＝1＝14；
当n＝2时，S1＋S3＝16＝24；
当n＝3时，S1＋S3＋S5＝81＝34；
当n＝4时，S1＋S3＋S5＋S7＝256＝44.
猜想：S1＋S3＋S5＋…＋S2n－1＝n4.
下面用数学归纳法证明：
(1)当n＝1时，S1＝1＝14，等式成立．
(2)假设当n＝k(k∈N*)时等式成立，即S1＋S3＋S5＋…＋S2k－1＝k4.
那么，当n＝k＋1时，S1＋S3＋S5＋…＋S2k－1＋S2k＋1＝k4＋[(2k2＋k＋1)＋(2k2＋k＋2)＋…＋(2k2＋k＋2k＋1)]＝k4＋(2k＋1)(2k2＋2k＋1)＝k4＋4k3＋6k2＋4k＋1＝(k＋1)4，即当n＝k＋1时等式也成立．
根据(1)和(2)，可知对于任何n∈N*，S1＋S3＋S5＋…＋S2n－1＝n4都成立．。