数学高二-选修2-2课时作业 1.4.2 数学归纳法(2)

选修2-2 第一章 §4 课时作业6

1．证明不等式1＋12＋13＋ (1)

<2n (n ∈N *)． 证明：(1)当n ＝1时，左边＝1，右边＝2.

左边<右边，不等式成立．

(2)假设当n ＝k (k ≥1且k ∈N *)时，不等式成立，

即1＋12＋13＋ (1)

<2k . 则当n ＝k ＋1时，

1＋12＋13＋…＋1k ＋1k ＋1

<2k ＋

1k ＋1＝2k k ＋1＋1k ＋1 <(k )2＋(k ＋1)2＋1k ＋1＝2(k ＋1)k ＋1

＝2k ＋1. ∴当n ＝k ＋1时，不等式成立．

由(1)(2)可知，原不等式对任意n ∈N *都成立．

2．[2014·吉安检测]已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝a n 1＋a n

(n ∈N *)． (1)计算a 2，a 3，a 4；

(2)猜想a n 的表达式，并用数学归纳法证明．

解：(1)a 1＝1，a 2＝a 11＋a 1＝12

， a 3＝a 21＋a 2＝13

， a 4＝a 31＋a 3＝14

. (2)由(1)的计算猜想：a n ＝1n

. 下面用数学归纳法进行证明

①当n ＝1时，a 1＝1，等式成立．

②假设当n ＝k 时等式成立，即a k ＝1k

，

那么a k ＋1＝a k 1＋a k ＝1k

1＋1k ＝1k ＋1， 即当n ＝k ＋1时等式也成立．

由①②可知，对任意n ∈N *都有a n ＝1n

. 3．证明凸n 边形的对角线的条数f (n )＝12

n (n －3)(n ≥4，n ∈N *)． 解：(1)当n ＝4时，f (4)＝12

×4×(4－3)＝2，凸四边形有两条对角线，命题成立． (2)假设n ＝k (k ≥4且k ∈N *)时命题成立．即凸k 边形的对角线的条数f (k )＝12

k (k －3)(k ≥4)，当n ＝k ＋1时，凸(k ＋1)边形是在k 边形基础上增加了一边，增加了一个顶点，设为A k ＋1，增加的对角线是顶点A k ＋1与不相邻顶点的连线再加上原k 边形一边A 1A k ，共增加了对角线的条数为k －2＋1＝k －1.

∴f (k ＋1)＝12

k (k －3)＋k －1 ＝12

(k 2－k －2) ＝12

(k ＋1)(k －2) ＝12

(k ＋1)[(k ＋1)－3]． 故当n ＝k ＋1时命题成立．

由(1)(2)知，对任意n ≥4，n ∈N *，命题成立．

4．将正整数作如下分组：(1)，(2,3)，(4,5,6)，(7,8,9,10)，(11,12,13,14,15)，(16,17,18,19,20,21)，…，分别计算各组包含的正整数的和如下，试猜测S 1＋S 3＋S 5＋…＋S 2n －1的结果，并用数学归纳法证明．

S 1＝1，

S 2＝2＋3＝5，

S 3＝4＋5＋6＝15，

S 4＝7＋8＋9＋10＝34，

S 5＝11＋12＋13＋14＋15＝65，

S 6＝16＋17＋18＋19＋20＋21＝111，

…

解：分别计算n ＝1,2,3,4时，S 1＋S 3＋S 5＋…＋S 2n －1的值，并将结果改写为统一形式，猜测出一般结果，然后用数学归纳法证明即可．

由题意知，当n ＝1时，S 1＝1＝14；

当n＝2时，S1＋S3＝16＝24；

当n＝3时，S1＋S3＋S5＝81＝34；

当n＝4时，S1＋S3＋S5＋S7＝256＝44.

猜想：S1＋S3＋S5＋…＋S2n－1＝n4.

下面用数学归纳法证明：

(1)当n＝1时，S1＝1＝14，等式成立．

(2)假设当n＝k(k∈N*)时等式成立，即S1＋S3＋S5＋…＋S2k－1＝k4.

那么，当n＝k＋1时，S1＋S3＋S5＋…＋S2k－1＋S2k＋1＝k4＋[(2k2＋k＋1)＋(2k2＋k＋2)＋…＋(2k2＋k＋2k＋1)]＝k4＋(2k＋1)(2k2＋2k＋1)＝k4＋4k3＋6k2＋4k＋1＝(k＋1)4，即当n＝k＋1时等式也成立．

根据(1)和(2)，可知对于任何n∈N*，S1＋S3＋S5＋…＋S2n－1＝n4都成立．