解析几何易错题整理
分析错因_走出误区——高考解析几何解答题易错题归类剖析
ʏ江苏省无锡市第六高级中学 陈 敏ʏ江苏省无锡市青山高级中学 张启兆解析几何是高中数学的重要内容,但有些同学由于对某些知识点理解不透彻,或考虑不周等原因,导致在解题过程中出现这样和那样的错误,下面对高考解析几何解答题的易错题型进行归类剖析,希望对同学们的复习备考能有所帮助㊂一、忽略直线斜率不存在的情形例1 已知F (2,0)为椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的焦点,且点P 2,55在椭圆上㊂(1)求椭圆的方程㊂(2)已知直线l 与椭圆交于M ,N 两点,且坐标原点O 到直线l 的距离为306,试问:øM O N 的大小是否为定值若是,求出该定值;若不是,请说明理由㊂错解:(1)由椭圆的定义得2a =(2-2)2+552+(2+2)2+552=25,解得a =5㊂因为c =2,所以b =1㊂故椭圆的方程为x 25+y 2=1㊂(2)设点M (x 1,y 1),N (x 2,y 2)㊂设直线l 的方程为y =k x +m ,由点到直线的距离公式得|m |k 2+1=306,则m 2=56(k 2+1)㊂联立y =k x +m ,x 2+5y 2=5,消去y 整理得(5k 2+1)x 2+10k m x +5m 2-5=0,Δ=100k 2m 2-20(m 2-1)(5k 2+1)=20(5k 2+1-m 2)>0,即m 2<5k 2+1㊂由韦达定理得x 1+x 2=-10k m5k 2+1,x 1x 2=5(m 2-1)5k 2+1,所以O M ң㊃O N ң=x 1x 2+y 1y 2=x 1x 2+(k x 1+m )(k x 2+m )=(k 2+1)㊃x 1x 2+k m(x 1+x 2)+m2=5(k 2+1)(m 2-1)-10k 2m25k 2+1+m2=6m 2-5(k 2+1)5k 2+1=0,所以O M ңʅO N ң,即øM O N =π2㊂剖析:第(1)问的解答正确,第(2)问的解答中忽略直线斜率不存在的情形㊂正解:(2)当直线l 的斜率存在时,同错解㊂当直线l 的斜率不存在时,则直线l 的方程为x =ʃ306,结合对称性不妨设直线l 的方程为x =306,联立x =306,x25+y 2=1,解得x =306,y =306,或x =306,y =-306,即得点M306,306,N 306,-306,此时O M ң㊃O N ң=0,故øM O N =π2㊂综上所述,øM O N =π2㊂易错提醒:本题的易错点有两个:一是忽略对直线斜率不存在的情形的讨论;二是øM O N =π2不是显性的,比较隐晦,识别出来有困难,但我们可以从特殊情况,即直线l 的斜率不存在入手,求出对应的定值,再利用82 解题篇 易错题归类剖析 高考数学 2023年4月Copyright ©博看网. All Rights Reserved.向量的数量积证明这个值与变量无关㊂二㊁盲目应用判别式例2 若圆(x -a )2+y 2=4与抛物线y 2=6x 没有公共点,求a 的取值范围㊂错解:由于圆(x -a )2+y 2=4与抛物线y 2=6x 没有公共点,所以联立方程组(x -a )2+y 2=4,y2=6x ,消去y 得方程x 2-(2a -6)x +a 2-4=0无解,所以Δ=(2a -6)2-4a 2-4<0,解得a >136,故a 的取值范围为136,+ɕ ㊂剖析:这属于知识性错误,产生错误的原因是没有理解判别式Δ只适用于直线与二次曲线的位置关系的判断,而不适用于两个二次曲线之间的位置关系的判断㊂正解:由于圆的半径为2,当圆与抛物线外切时,a =-2,于是当a <-2时,圆与抛物线没有公共点㊂当圆与抛物线内切时,联立(x -a )2+y 2=4,y 2=6x ,消去y 整理得x 2-(2a -6)x +a 2-4=0㊂①Δ=(2a -6)2-4a 2-4=0,解得a =136,代入方程①得3x 2+5x +2512=0,解得x =-56,是负根,显然圆与抛物线不能内切,所以当x ȡ0时,问题等价于圆心(a ,0)到抛物线的距离d 的最小值大于2,求a 的取值范围㊂设P (x ,y )为抛物线上一点,则d 2=(x -a )2+y 2=(x -a )2+6x =[x -(a -3)]2+6a -9㊂设f (x )=[x -(a -3)]2+6a -9(x ȡ0),当a -3>0,即a >3时,f (a -3)最小,所以d m i n =6a -9>2,解得a >136,又a >3,所以a >3;当a -3ɤ0,即a ɤ3时,f (0)最小,所以d m i n =a >2,此时2<a ɤ3㊂综上可得,a >2㊂故a 的取值范围为a <-2或a >2㊂易错提醒:二次曲线与二次曲线的交点问题不能完全类比直线与二次曲线位置关系的探讨,仅用判别式法是不够的,这是因为二次曲线是有范围限制的,并且一般情况下具有对称性,要结合起来一起讨论㊂由于我们研究的是曲线与曲线之间的位置关系,图形未必能把细微处的走向描述清楚,必须与代数运算结合起来,即以数助形,数形结合㊂三㊁求取值范围时,未考虑直线与圆锥曲线的公共点的个数例3 已知双曲线C :x 2a2-y 2b2=1与椭圆x 24+y23=1的离心率互为倒数,且双曲线的右焦点到C 的一条渐近线的距离为3㊂(1)求双曲线C 的方程;(2)直线y =2x +m 与双曲线C 交于A ,B 两点,点M 在双曲线C 上,且O M ң=2O Aң+λO B ң,求λ的取值范围㊂错解:(1)因为椭圆x 24+y 23=1的离心率为12,所以a 2+b 2a =2,即a 2=b 23㊂因为双曲线的右焦点到C 的一条渐近线的距离为3,所以b =3,所以a =1,故双曲线C 的方程为x 2-y 23=1㊂(2)设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),M (x 0,y 0),联立方程y =2x +m ,3x 2-y 2=3,消去y 整理得x 2+4m x +m 2+3=0,则x 1+x 2=-4m ,x 1x 2=m 2+3㊂因为O M ң=2O A ң+λO B ң,所以x 0=2x 1+λx 2,y 0=2y 1+λy 2㊂因为点M 在双曲线C 上,所以2x 1+λx 22-2y 1+λy 223=1,即4㊃x 21-y 213+λ2x 22-y 223+4λx 1x 2-43㊃λy 1y 2=1,所以4λx 1x 2-43λy 1y 2+λ2+3=4λx 1x 2-43λ(2x 1+m )(2x 2+m )+λ2+3=0,即λ2-4λ+3+8m 2λ=0,显然λʂ0,于是8m 2=-λ2-4λ+3λȡ0 (*),所以λ(λ2-92解题篇 易错题归类剖析 高考数学 2023年4月Copyright ©博看网. All Rights Reserved.4λ+3)ɤ0,λʂ0,解得λ<0,或1<λ<3㊂综上所述,λ的取值范围为-ɕ,0 ɣ1,3㊂剖析:第(1)问的解答正确,第(2)问的解答中未考虑直线与圆锥曲线的公共点的个数对m 的限制,故最后求λ的取值范围时出现错误㊂正解:(2)前面同错解㊂考虑Δ=16m 2-4(m 2+3)>0⇒m 2>1,将(*)式改为8m 2=-λ2-4λ+3λ>8㊂当λ>0时,得λ2+4λ+3<0,解得-3<λ<-1,与λ>0矛盾;当λ<0时,得λ2+4λ+3>0,解得λ>-1,或λ<-3,所以λ<-3,或-1<λ<0㊂综上所述,λ的取值范围为-ɕ,-3 ɣ-1,0㊂易错提醒:审题不仔细,马虎大意,忽视条件 直线与双曲线有两个交点 隐含着判别式Δ=16m 2-4m 2+3>0㊂四、恒成立意义不明导致定点问题错误例4 如图1,M 是圆A :x +32+y 2=16上的动点,点B 3,0,线段M B 的垂直平分线交半径A M 于点P ㊂图1(1)求点P 的轨迹E 的方程㊂(2)N 为轨迹E 与y 轴负半轴的交点,不过点N 且不垂直于坐标轴的直线l 交轨迹E 于S ,T 两点,直线N S ,N T 分别与x 轴交于C ,D 两点㊂若C ,D 的横坐标之积是2,试问:直线l 是否过定点?如果是,求出定点坐标;如果不是,请说明理由㊂易错分析:本题易错点有三个:一是在用参数表示直线S N 的方程时计算错误;二是不会利用 同构 的方法直接写出点D 的横坐标;三是在得到直线系S T 的方程后,对直线恒过定点的意义不明,找错方程的常数解㊂正解:(1)由题意可知|A P |+|P M |=|A M |=4,所以|P A |+|P B |=4>23=|A B |,所以点P 的轨迹是以A ,B 为焦点,长轴为4的椭圆㊂所以2a =4,c =3,所以b =a 2-c 2=1,所以椭圆的方程为x 24+y 2=1,即点P 的轨迹E 的方程为x 24+y 2=1㊂(2)由题意可知点N (0,-1),设直线S T 的方程为y =k x +m (m ʂ-1),设S (x 1,y 1),T (x 2,y 2),联立y =k x +m ,x 2+4y 2=4,消去y 整理得(1+4k 2)x 2+8k m x +4m 2-4=0,所以x 1+x 2=-8k m 1+4k 2,x 1x 2=4m 2-41+4k2,由Δ>0,得4k 2-m 2+1>0㊂所以直线S N 的方程为y +1=y 1+1x 1(x -0),令y =0,得x C =x 1y 1+1㊂同理x D =x 2y 2+1㊂因为x C x D =x 1y 1+1ˑx 2y 2+1=2,所以x 1x 2=2(y 1+y 2+y 1y 2+1)=2[k x 1+m +k x 2+m +(k x 1+m )(k x 2+m )+1]=2[k (x 1+x 2)(m +1)+k 2x 1x 2+(m +1)2],所以4m 2-41+4k 2=2k ˑ-8k m1+4k2(m +1)+ k 2ˑ4m 2-41+4k2+(m +1)2㊂因为m ʂ-1,所以m +1ʂ0,则4(m -1)=-16k 2m +8k 2(m -1)+2(1+4k 2)㊃(m +1),解得m =3,所以直线S T 的方程为y =k x +3㊂所以直线S T 过定点(0,3)㊂规律与方法:(1)若确定动直线l 过定点问题,可设动直线方程(斜率存在)为y =k x +t ,由题设条件将t 用k 表示为t =m k ,得到y =k (x +m ),即可说明动直线过定点(-m ,0)㊂(2)若确定动曲线C 过定点问题,可引入参变量建立曲线C 的方程,再根据其对参变量恒成立,令其系数等于零,得出对应的定点㊂(3)先通过特定位置猜测结论后进行一般性证明㊂对于客观题,通过特殊值法探求定点能取得事半功倍的效果㊂(责任编辑 王福华)3 解题篇 易错题归类剖析 高考数学 2023年4月Copyright ©博看网. All Rights Reserved.。
解析几何易错题(教师版)
解析几何易错题练习例1 求过点（2，1）且与两坐标所围成的三角形面积为4的直线方程。
错解：设所求直线方程为1=+bya x 。
∵（2，1）在直线上，∴112=+ba ， ①又4ab 21＝，即ab = 8 ， ② 由①、②得a = 4，b = 2。
故所求直线方程为x + 2 y = 4 。
剖析：本题的“陷阱”是直线与两坐标轴所围成的三角形面积的表示。
上述解法中，由于对截距概念模糊不清，误将直线在x 轴和y 轴上的截距作距离使用而掉入“陷阱”。
事实上，直线与两坐标轴所围成的三角形面积为21b a ，而不是21ab 。
故所求直线方程应为：x + 2 y = 4，或（2+1）x - 2（2-1）y – 4 = 0，或（2- 1）x - 2（2+1）y +4 = 0。
例2 已知三角形的三个顶点为A （6，3），B （9，3），C （3，6），求∠A 。
错解：∵ k AB = 0 ，k AC =6336-- = -1，∴ tan ∠A=AB AC AC k k k k ⋅+-1AB =)1(01)1(0-⋅+--=1.又0＜∠A ＜1800，∴ ∠A=450。
剖析：本题的“陷阱”是公式的选取，上述解法中把“到角”与“夹角”的概念混为一谈，错误地选用了夹角公式。
事实上，所求角应是直线AB 到AC （注意：AC 到AB ）的角。
因此，∴ tan ∠A=ABAC ABAC k k k k ⋅+-1= - 1，∠A=1350。
例3 求过点A （-4，2）且与x 轴的交点到（1，0）的距离是5的直线方程。
错解：设直线斜率为k ，其方程为y – 2 = k （x + 4），则与x 轴的交点为（-4-k2，0）， ∴5124=---k ，解得k = -51。
故所求直线的方程为x + 5y – 6 = 0 。
剖析：题中仅考虑了斜率存在的情况，忽视了斜率不存在的情况，即经过A 且垂直于x 轴的直线，落入“陷阱”。
解析几何易做易错题
高考解析几何易做易错题选一、选择题： 1. 若双曲线22221x y ab-=-的离心率为54，则两条渐近线的方程为A916X Y ±= B0169X Y ±= C 034X Y ±= D43X Y ±=解 答：C易错原因：审题不认真，混淆双曲线标准方程中的a 和题目中方程的a 的意义。
2. 椭圆的短轴长为2，长轴是短轴的2倍，则椭圆的中心到其准线的距离是解 答：D 易错原因：短轴长误认为是b3．过定点（1，2）作两直线与圆2222150x y kx y k ++++-=相切，则k 的取值范围是A k>2B -3<k<2C k<-3或k>2D 以上皆不对 解 答：D易错原因：忽略题中方程必须是圆的方程，有些学生不考虑2240D E F +->4．设双曲线22221(0)x y a b ab-=>>的半焦距为C ，直线L 过(,0),(0,)a b 两点，已知原点到直线L 4，则双曲线的离心率为A 2B 23解 答：D 易错原因：忽略条件0a b >>对离心率范围的限制。
5．已知二面角βα--l 的平面角为θ，PA α⊥，PB β⊥，A ，B 为垂足，且PA=4，PB=5，设A 、B 到二面角的棱l 的距离为别为y x ,，当θ变化时，点),(y x 的轨迹是下列图形中的A B C D解 答： D易错原因：只注意寻找,x y 的关系式，而未考虑实际问题中,x y 的范围。
6．若曲线y =(2)y k x =-+3有两个不同的公共点，则实数 k 的取值范围是 A 01k≤≤ B 304k ≤≤C 314k-<≤D 10k -<≤解 答：C易错原因：将曲线y =转化为224x y -=时不考虑纵坐标的范围；另外没有看清过点(2,-3)且与渐近线y x =平行的直线与双曲线的位置关系。
7． P(-2,-2)、Q(0,-1)取一点R(2,m)使︱PR ︱＋︱RQ ︱最小，则m=（ ）A 21 B 0 C –1 D -34正确答案：D 错因：学生不能应用数形结合的思想方法，借助对称来解题。
解析几何易错题3
二填空题：1．若直线(1)y k x =-与抛物线243y x x =++的两个交点都在第二象，则k 的取值范围是______________.解 答： (-3, 0)易错原因：找不到确当的解答方法。
本题最好用数形结合法。
2．双曲线191622=-y x 上的点P 到点(5,0)的距离为8.5，则点P 到点(0,5-)的距离_______。
错解 设双曲线的两个焦点分别为)0,5(1-F ,)0,5(2F ,由双曲线定义知8||||||21=-PF PF所以5.16||1=PF 或5.0||1=PF剖析 由题意知，双曲线左支上的点到左焦点的最短距离为1,所以5.0||1=PF 不合题意，事实上，在求解此类问题时，应灵活运用双曲线定义，分析出点P 的存在情况，然后再求解。
如本题中，因左顶点到右焦点的距离为9>8.5，故点P 只能在右支上，所求5.16||1=PF3．直线xCosx+y —1=0的倾斜角θ的取值范围为__________。
正确答案：θ∈[0，4π]∪[43π，π] 错误原因：由斜率范围求倾角范围在三角知识上出现错误；或忽视直线倾角的定义范围而得出其它错误答案。
4．已知直线l 1：x+y —2=0 l 2：7x —y+4=0 则l 1与l 2夹角的平分线方程为______。
正确答案：6x+2y —3=0错语原因：忽视两直线夹角的概念多求了夹角的邻补角的平分线方程。
5．过点(3，—3)且与圆(x —1)2+y 2=4相切的直线方程是：___________。
正确答案：5x+12y+21=0或x=3错误原因：遗漏了斜率不存在的情形造成漏解。
6．已知双曲线的右准线为x=4，右焦点F(10，0)离心率e=2，则双曲线方程为______。
正确答案：14816)2(22=--y x 错误原因：误认为双曲线中心在原点，因此求出双曲线的标准方程而出现错误。
7．过点(0，2)与抛物线y 2=8x 只有一个共点的直线有______条。
高考复习易做易错题精选解析几何
高考复习易做易错题精选解析几何1.（如中）若直线 y =k （x -1）与抛物线y = x 2，4x ・3的两个交点都在第二象，则k 的取值范围是 ________________ . 解 答：（-3, 0）易错原因：找不到确当的解答方法。
本题最好用数形结合法。
答：C易错原因：审题不认真，混淆双曲线标准方程中的 a 和题目中方程的a 的意义。
3.（如中）椭圆的短轴长为2，长轴是短轴的2倍，则椭圆的中心到其准线的距离是A 8.5B 4.5C 铁35 5 3解 答：D易错原因：短轴长误认为是 b 范围是A k>2B -3<k<2C k<-3 或 k>2D 以上皆不对 解 答：D 易错原因：忽略题中方程必须是圆的方程，有些学生不考虑D 2E 2 -4F 02 25.（如中）设双曲线 笃-每=1（a b 0）的半焦距为C ,直线L 过（a,0）,（0, b ）两点，已a b、2解 答：D易错原因：忽略条件 a b 0对离心率范围的限制。
6. （如中）已知二面角〉-| - -的平面角为二，PA — ： • , PB_ 1 , A , B 为垂足，且PA=4 , PB=5，设A 、B 到二面角的棱I 的距离为别为x, y ，当二变化时，点（X,y ）的轨迹是下 列图形中的2. （如中）若双曲线2十j 的离心率为55，则两条渐近线的方程为4^_Y = o9 16^_Y =o16 9A_r = oD 3=0D 4-4.（如中）过定点（1, 2）作两直线与圆 2 2 2x y kx 2y k -15 = 0相切，则k 的取值知原点到直线 L 的距离为则双曲线的离心率为27. (如中)已知点 P 是抛物线y =2x 上的动点，点P 在y 轴上的射影为 M ,点A 的 8 (如中)若曲线 Y-4与直线y =k(x-2)+3有两个不同的公共点，则实数k 的取值范围是33A 0 冬 k 乞 1B 0 空 kC 一1 ：： kD —1 ：： k 岂 044解 答：C易错原因：将曲线 y = • x 2 -4转化为x 2 -y 2 =4时不考虑纵坐标的范围；另外没有看 清过点(2,-3)且与渐近线y = x 平行的直线与双曲线的位置关系。
高考数学易错题训练：解析几何
过 B，D 两点 （1）若正方形中心 M 为（2，2）时，求点 N(b,c)的轨迹方程。 （2）求证方程 f ( x) x 的两实根 x1 ， x 2 满足 | x1 x 2 | 2 24．直线 l 经过 P（2,3）,且在 x,y 轴上的截距相等,试求该直线方程. 25．自点 A(-3，3)发出的光线 L 射到 x 轴上，被 x 轴反射，其反射 光线所在直线与圆 x2+y2-4x-4y+7＝0 相切，求光线 L 所在的直线方程. 26．如图所示，已知 P(4， 0)是圆 x2+y2=36 内的一点， A、 B 是圆上两动点，且满足∠ APB=90°，求矩形 APBQ 的顶点 Q 的轨迹方程.
三、解答题 15．设点 P(x,y)在椭圆 4 x y 4 上，求 x y 的最大、最小值.
2 2
16．已知双曲线的右准线为 x 4 ，右焦点 F (10, 0) ,离心率 e 2 ,求双曲线方程.
17．设椭圆的中心是坐标原点，长轴 x 在轴上，离心率 e 个椭圆上的最远距离是 7 ，求这个椭圆的方程. 18．已知曲线 C： y 围. 19．已知双曲线 C
F1 PF2 90 ，则 F1 PF2 的面积是（
A.1 B.
5 2
C.2
D. 5
7． 直 线 y kx 1 ， 当 k 变 化 时 ， 直 线 被 椭 圆 （ ）
x2 y2 1截 得 的 最 大 弦 长 是 4
A.4
B.2
C.
4 3 3
D.不能确定
8．已知对称轴为坐标轴的双曲线的渐近线方程为 y
3 3 ，已知点 P (0, ) 到这 2 2
20 x 2 与 直线 L： y x m 仅有一个公共点，求 m 的范 2
解析几何易错题
解析几何易错题1．经过点A(1,2)，并且在2个坐标轴上的截距的绝对值相等的直线方程有_____条2．已知两点A(-3,4),B(3,2),过点P(2,-1)的直线l 与线段AB 有公共点，求直线l 的斜率k 以及倾斜角α 的取值范围。
3．求过点(5,10)，且到原点的距离为5的直线方程。
4．判断下列命题是否正确(1)y -y 1x -x 1=k 表示过点(x 1,y 1)且斜率为k 的直线方程 (2)直线y=kx+b 与y 轴交于点P(0,b)，其中截距b=|OP|(3)在x 轴和y 轴上的截距分别为a 与b 的直线方程是x a +y b =1(4)方程(x 2-x 1) (y-y 1) =(y 2-y 1) (x-x 1)表示过两点P 1(x 1,y 1) 与P 2(x 1,y 1)的直线5．已知直线l 经过点P(3,1)，且被两平行直线l 1:x+y+1=0和 l 2:x+y+6=0截得的线段之长为5，求直线l 的方程。
6．a=3是直线ax+2y+3a=0和直线3x+(a-1)y=a-7平行的_____条件。
7．a 1a 2b 1b 2=-1是两条直线a 1x+b 1y+c 1=0和 a 2x+b 2y+c 1=0垂直的_____条件 8．定义在 R 上的函数 f (x ) = 13 x 3 + 12 ax 2 + 2bx + c ，在(0,1) 内有一个极大值点，在(1,2)内有一个极小值点，则 b －2a －1的范围是______ 9．在坐标平面内，由不等式组 ⎩⎨⎧ y ≥| x －2 | y ≤－| x | + a所确定的平面区域的面积为 52 ，则a = 。
10．已知直线l 过点(-2,0)，当直线l 与圆x 2+y 2=2x 有两个交点时，其斜率k 的取值范围是______11．若曲线y=1+4-x 2 (-2≤x≤2)与直线y=k(x-2)+4有两个交点，求实数k 的取值范围。
高考解析几何复习易做易错题选
高考解析几何复习易做易错题选直线注意倾斜角范围、设直线方程时注意斜率是否存在、注意截距的概念以及直线的方向向量概念；注意二元二次方程表示圆的充要条件、善于利用切割线定理、垂径定理等平面中圆的有关定理解题；注意将圆上动点到定点、定直线的距离转化为圆心到它们的距离；判断二元一次不等式表示的平面区域常采用“选点法”：线定界、点定域；注意：①最优解唯一时，一定是可行域的某一个顶点；②有无数个最优解时落在区域某边上；利用平移法求目标函数的最值，并不是线性目标函数所在的直线与原点距离最大（小）时所经过的可行域上的点为取得最大（小）值的点，应注意应用在y x 、轴上的截距大小判断；记住焦点三角形面积公式：P 在椭圆上时22tan 21θ∆b S PF F =、P 在双曲线上时22cot 21θ∆b S PF F =（其中θ=∠21PF F ，||||4||||2122221cos PF PF c PF PF -+=θ，θcos ||||2121PF PF PF PF =∙）熟练利用圆锥曲线的第一、第二定义解题； 注意双曲线的渐近线方程：焦点在x轴上时为x y ab ±=，焦点在y 轴上时为x y ba ±=； 注意椭圆离心率体现扁平程度（e →0，椭圆→圆）、双曲线离心率越大越开阔；记住抛物线的一些性质：①过焦点的弦长公式（焦点在x 正半轴上时p x x ++21，焦点在x 负半轴上时p x x ++||21，；焦点在y 正半轴上时p y y ++21，焦点在y 负半轴上时p y y ++||21，当焦点在x轴上时也可用θ2sin 2p ，焦点在y 轴上时用θ2cos 2p（θ为倾斜角）；②通径长为p 2；③以过焦点的弦长为直径的圆与准线相切、以此弦端点在准线上射影间线段为直径的圆与此弦相切、当焦点在x 轴上时，以焦半径为直径的圆与y 轴相切、以抛物线上一点为圆心的圆与准线相切时一定过焦点，反之也成立；记住焦半径公式（注意曲线上的点到焦点的距离与到相应准线距离的转化）：①椭圆焦点在x 轴上时为0ex a ±、焦点在y 轴上时为0ey a ±；②双曲线焦点在x 轴上时为a x e ±||0；③抛物线焦点在x 轴上时为21||px +，抛物线焦点在y 轴上时为21||py +；注意利用数形结合思想以及极限的观点解决一些问题； 注意对焦点位置的分类讨论； 注意利用向量方法（向量的坐标运算、几何意义）解决解析几何问题； 注意垂直、平行、中点等条件以向量形式给出；在涉及直线与圆锥曲线的位置关系：若仅涉及弦的中点或弦所在直线的斜率时，可用“点差法”得到同前面的的系数为曲线、的系数的系数22(200212121212121y x k k x y OP AB y y y y y y y =∙=∙=∙-+-；若涉及弦长时（弦长公式为2122112112122122124)(1||14)(1||122y y y y y y x x x x k x x k kk-++=-+=-++=-+，一般联立方程组，利用韦达定理、根的判别式解题（注意得到的一元二次方程的二次项系数为0时，若曲线为抛物线时直线与其对称轴平行；是双曲线方程时，直线与其渐近线平行），另外设立直线方程时注意讨论直线斜率是否存在。
易错题(解析几何)
高三数学易错题练习卷（解析几何）一． 填空题1. 圆221x y +=与直线2y kx =+没有．．公共点的充要条件是2. 经过圆2220x x y ++=的圆心C ，且与直线0x y +=垂直的直线方程是3. 圆1122=+y x 的过点)7,2(-的切线方程为4. 过点P(4,2)作圆422=+y x 的两条切线,切点分别为A 、B,O 为坐标原点，则OAB ∆的外接圆方程为5. 若椭圆221(,0)x y m n m n+=>的离心率为12，一个焦点恰好是抛物线28y x =的焦点，则椭圆的标准方程为6. 在平面直角坐标系中，椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的焦 距为2c ，以O 为圆心，a 为半径的圆做圆M ，若过点P ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0,2c a ，所作圆M 的两切线互相垂直，则该椭圆的离心率为7. 抛物线()2:20C y px p =>的焦点为F ，M 是抛物线C上的点，若三角形OFM 的外接圆与抛物线C 的准线相切，且该圆的面积为36π，则p 的值为8. 已知双曲线22221y x a b-=(0,0)a b >>的左、右焦点分别为P F F 又点,,21是双曲线上一点，且ab PF PF PF PF 4,2121=⋅⊥,则双曲线的离心率是9. 若双曲线22221y x a b-=(0,0)a b >>的渐近线与方程的圆相切，则此双曲线的离心率为10. 已知M 是抛物线x y=2上一点，N 是圆1)3(22=+-y x 上的动点，则MN 的最小值是11. 已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左，右焦点分别为12,F F ，过1F 的直线分别交双曲线的两条渐近线于,P Q 两点.若P 恰为线段1F Q 的中点，且12QF QF ⊥，则此双曲线的离心率是12.已知抛物线上一点M （1，m ）到其焦点的距离为5，双曲线的左顶点为A ，若双曲线的一条渐近线与直线AM 垂直，则实数a 等于二．解答题13. 设和分别是椭圆的左、右焦点，（1）若P 是该椭圆上的一个动点，求21PF PF ⋅的最大值和最小值；（2）是否存在过点A （5，0）的直线l 与椭圆交于不同的两点C 、D ，使得|F 2C|=|F 2D|？若存在，求直线l 的方程；若不存在，请说明理由.14. 已知抛物线2:2(0)C x py p =>，设直线:210AB x y --=切抛物线于点A ，交y 轴于点B ，且D 为AB 中点。
解析几何错题集锦
解析几何错题集锦1.经过椭圆x2/2+y2=1的一个焦点作倾斜角为45°的直线L，交椭圆于A、B两点。
设O为坐标原点，则·OB等于2.在平面直角坐标系中,椭圆x2/a2+y2/b2=1(a>b>0)的焦距为2,以O为圆心,a为半径作圆,过点(a2/c,0)作圆的两切线互相垂直,则离心率e等于3.双曲线8kx2-ky2=8的一个焦点为(0,3),则实数k的值为4.若椭圆x2/m+y2/n=1(m>n>0)和双曲线x2/a2-y2/b2=1(a>0,b>0)有共同的焦点F1、F2，P是椭圆和双曲线的一个交点，则｜PF1｜·｜PF2｜等于5.已知F是双曲线x2/4-y2/12=1的左焦点，A（1，4），P是双曲线右支上的动点，则｜PF｜+|PA|的最小值为6.设双曲线x2/a2-y2/b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，以线段F1F2为边作正三角形MF1F2，若边MF2的中点在双曲线上，则双曲线的离心率为7.过双曲线x2/a2-y2/b2=1(a>0,b>0)的左焦点且垂直于x轴的直线与双曲线相交于M、N两点，以MN为直径的圆恰好过双曲线的右顶点，则双曲线的离心率为8．双曲线x2/9-y2/16=1的左、右焦点分别为F1、F2.给定四条直线：①5x-3y=0;②x-y-4=0;③5x-3y-52=0;④4x-3y+15=0.如果上述直线上存在点P，使|PF2|＝|PF1|+6，则满足这样条件的直线对应的序号是9.过抛物线y2=4x的焦点作直线L交抛物线于A、B两点，若线段AB中点的横坐标为3，则|AB|等于10.线段AB是抛物线y2=x的一条焦点弦，且|AB|＝4，则线段AB的中点C到直线x+1/2=0的距离为11.已知过点P（4，0）的直线与抛物线y2=4x相交于A（x1,y1）,B(x2,y2)两点，则y12+y22 的最小值为12.抛物线y=-x2上的点到直线4x+3y-8=0距离的最小值是13.已知F为抛物线y2=4x的焦点，过F的直线与抛物线交于A、B两点，且满足AF=3FB，则弦AB的中点到准线的距离为14.过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F倾斜角为θ的直线，交抛物线于A、B两点.设△AOB的面积为S（O为原点），若S的最小值为8，求此时的抛物线方程.15.已知抛物线C的顶点在原点，焦点为F（0，1），且过点A（2，t）.（1）求t的值；（2）若点P，Q是抛物线C上的两个动点，且直线AP与AQ的斜率互为相反数，试问直线PQ的斜率是否为定值，若是，求出这个值；若不是，请说明理由.16.方程x+|y-1|=0表示的曲线是17.a、b为任意实数，若点（a,b）在曲线f(x,y)=0上，则点（b,a）也在曲线f(x,y)=0上，那么曲线f(x,y)=0的几何特征是A.关于x轴对称B.关于y轴对称C.关于原点对称D.关于直线y=x对称18.方程x2/|x|+y2/|y|=1表示的图形是A.一条直线B.两条平行线段C.一个正方形D.一个正方形（除去四个顶点）19．若曲线y2－xy－2x－k=0通过点（a,-a）(a∈R)，则实数k的取值范围是20．与圆x2+y2=1 及圆(x-4)2+y2=4都外切的圆的圆心在( )A.一个椭圆上B.双曲线一支上C.一条抛物线上D.一个圆上21．已知圆A:(x+2)2+y2=1与定直线l:x=1且动圆P和圆A外切并与直线l相切，则动圆的圆心P的轨迹方程为22．设双曲线x2/a2-y2/b2=1(0<a<b)的半焦距为c，直线l过（a,0）和(0,b)两点，已知原点到直线l的距离为√3/4 c,则双曲线的离心率为( )A.2B.√3C.√2D.2√3/328，过点P（4，2）作圆O：x2+y2=1的切线，切点为A、B。
解析几何(教师版)高考数学一轮复习易错点分类汇总
解析几何易错导图易错详讲易错点1直线平行与重合区别【例1】已知直线210x ay +-=与直线(2)20a x ay --+=平行，则a 的值是（）A ．23-B ．23-或0C ．0或32D ．32【答案】D【解析】由题设可得1()2(2)a a a ⨯-=⨯-，∴32a =或0a =，当0a =时两直线重合，故应舍去，故选：D.【易错总结】本题考查直线的一般方程与平行关系，在求出参数后还应代入两直线方程进行验证.(1)若111:l y k x b =+，222:l y k x b =+①121212||,l l k k b b ⇔=≠;②12121l l k k ⊥⇔=-.(2)若1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=,且A1、A2、B1、B2都不为零,①11112222||A B C l l A B C ⇔=≠；②2112210A A l B B l +⇔=⊥；【举一反三】1．若直线260ax y +-=与2(1)10x a y a +-+-=平行，则a =（）A ．1-或0B ．0或1C ．1或2D ．1-或2【答案】D【解析】因为两直线平行，所以226111a a a -=≠--，即220a a --=且2340a a +-≠，解得1a =-或2a =，故选：D2．（2020·江西省奉新县第一中学）已知直线1:210l ax y +-=，直线2:820l x ay a ++-=，若12//l l ，则实数a 的值为（）A ．4±B ．－4C ．4D ．2±【答案】B【解析】因为12//l l ，所以280,4a a a ⨯-⨯=∴=±.当4a =时，两直线重合，所以4a =舍去.当4a =-时，符合题意.所以4a =-.故选：B3．（2020·首都师范大学附属中学）已知直线1l ：(4)10kx k y +-+=与2l ：2230kx y -+=平行，则k 的值是（）A ．1或0B ．5C ．0或5D ．1或5【答案】C【解析】 直线1l ：(4)10kx k y +-+=与2l ：2230kx y -+=平行，()224k k k ∴-=-，整理得()50k k -=，解得0k =或5.当0k =时，直线11:4l y =-，23:2l y =，两直线平行；当5k =时，直线1:510l x y -+=，23:502l x y -+=，两直线平行.因此，0k =或5.故选:C.易错点2斜率与倾斜角勿忘范围【例2】（2020·邯郸市永年区第一中学）设某直线的斜率为k ，且3k ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭，则该直线的倾斜角α的取值范围是()A ．5,36ππ⎛⎫⎪⎝⎭B ．2,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭C ．50,,36πππ⎡⎫⎛⎫⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭ D ．20,,63πππ⎡⎫⎛⎫⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭【答案】D【解析】直线l 的斜率为k ，倾斜角为α，若k 33），tan α＜33所以20,,63ππαπ⎡⎫⎛⎫∈⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭ .【举一反三】1．（2020·天津和平·耀华中学）已知点(1,1)A -、(1,2)B 、(0,1)C -，过点C 的直线l 与线段AB 有公共点，则直线l 斜率k 的取值范围是（）A ．[2,3]-B ．[2,0)(0,3]-⋃C ．(,2][3,)-∞-⋃+∞D ．以上都不对【答案】C【解析】如图所示：∵过点C 的直线l 与线段AB 有公共点，∴直线l 的斜率k ≥k BC 或AC k k ≤，∴直线l 的斜率3k ≥BC k k ≥或2k ≤-，∴直线l 斜率k 的取值范围：(,2][3,)-∞-⋃+∞，故选：C ．2（2020·湖北省天门中学）直线cos 20x α+=的倾斜角范围是（）A ．,62ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭5,26ππ⎛⎤⋃ ⎥⎝⎦B ．50,,66πππ⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭C ．50,6π⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．5,66⎡⎤⎢⎥⎣⎦ππ【答案】B【解析】由题意，设直线的倾斜角为θ直线cos 20x α+=的斜率为33[]33k =-，即tan 33θ-≤≤，又由[0,)θπ∈，所以50,,66πθππ⎡⎤⎡⎫∈⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭，故选B.3．（2020·天津市武清区天和城实验中）直线cos 0x y b α++=（a 、b R ∈）的倾斜角范围是（）A ．[]0,πB ．3,,4224ππππ⎡⎤⎛⎫⋃ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭C ．3,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．30,,44πππ⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭【答案】D【解析】由题意，直线方程可化为：cos y x b α=--∴直线的斜率为cos α-∴cos [1,1]α∈-设直线cos 0x y b α++=的倾斜角为βtan [1,1]β∴∈-][3044πβππ⎡⎫∴∈⋃⎪⎢⎣⎭，，故选：D易错点3圆锥曲线的定义【例3】（1）（2020·全国高二单元测试）到两定点()()12,,,0330F F -的距离之差的绝对值等于6的点M 的轨迹为（）A ．椭圆B ．两条射线C ．双曲线D ．线段（2）（2020·浙江温州中学）双曲线221412x y -=的左右焦点分别为1F ，2F ，点在P 双曲线上，若15PF =，则2PF =（）A ．1B ．9C ．1或9D ．7【答案】（1）B （2）B【解析】（1）1∵到两定点F 1（﹣3，0）、F 2（3，0）的距离之差的绝对值等于6，而|F 1F 2|＝6，∴满足条件的点的轨迹为两条射线．故选B ．（2）双曲线221412x y -=的2,4a b c ====，点在P 双曲线的右支上，可得16PF a c ≥+=，点在P 双曲线的左支上，可得12PF c a ≥-=，由15PF =可得P 在双曲线的左支上，可得2124PF PF a -==，即有2549PF =+=.故选：B.【举一反三】1．（2019·海口市第四中学）设1(4,0)F -，()24,0F 为定点，动点M 满足1210MF MF +=，则动点M 的轨迹是（）A ．椭圆B ．直线C ．双曲线D ．线段【答案】A【解析】根据椭圆的定义知，M 到两定点1F ，2F 的距离之和为10＞12F F ＝8，动点M 的轨迹是以1F ，2F 为焦点的椭圆．故选：A ．2．（2020·南京师范大学附属实验学校）（多选）已知方程221mx ny +=(),m n R ∈，则（）A ．当0mn >时，方程表示椭圆B ．当0mn <时，方程表示双曲线C ．当0m =，n ＞0时，方程表示两条直线D ．方程表示的曲线不可能为抛物线【答案】BCD【解析】A ：取1m n ==，此时表示圆，故A 错误；B ：当0mn <时，方程表示焦点在x 轴或y 轴上的双曲线，故B 正确；C ：当0m =，y n=±，方程表示两条直线，故C 正确；D.方程表示的曲线不含有一次项，故不可能为抛物线，故D 正确；故选：B C D.易错点4直线与曲线相交【例4-1】（2018·广东湛江·高二期末（理））已知直线2y kx =+与椭圆2219x y m+=总有公共点，则m 的取值范围是（）A ．4m ≥B ．09m <<C ．49m ≤<D ．4m ≥且9m ≠【答案】D【解析】因为直线2y kx =+恒过(0,2)点，为使直线1y kx =+与椭圆2219x y m +=恒有公共点，只需点(0,2)在椭圆2219x y m +=上或椭圆内，所以220219m+≤，即4m ≥.又9m ≠，所以4m ≥且9m ≠.故选：D.【例4-2】（2019·广东佛山）过点()2,1-引直线与抛物线2y x =只有一个公共点，这样的直线共有（）条．A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】（1）当过点(2)1-，的直线斜率不存在时，显然2x =与抛物线2y x =有且只有一个交点，（2）当直线过点(2)1-，且斜率存在，且与抛物线相切时，直线与抛物线只有一个交点，设直线方程为()12y k x +=-，代入到抛物线方程2y x =，消y 得：2210x kx k -++=，则()24210k k ∆=-+=，解得：4k =±(2)1-，的切线有2条，综上可得：过点(2)1-，与抛物线2y x =有且只有一个交点的直线l 共有3条.故选：C.【举一反三】1．（2020·金华市曙光学校）无论k 为何值，直线2y kx =+和曲线22194x y +=交点情况满足（）A ．没有公共点B ．一个公共点C ．两个公共点D ．有公共点【答案】D【解析】因为2y kx =+过定点()0,2，且椭圆22194x y +=的上顶点也为()0,2，所以当直线的斜率为0时，此时直线与椭圆相切，仅有一个公共点，当直线的斜率不为零时，此时直线与椭圆有两个交点，所以无法确定直线与椭圆的公共点是一个还是两个，故选：D.2．（2020·江西南昌二中高三其他模拟（文））已知双曲线22:1x C y m -=的离心率为2，过点(2,0)P 的直线l 与双曲线C 交于不同的两点A 、B ，且AOB ∠为钝角（其中O 为坐标原点），则直线l 斜率的取值范围是（）A ．22(,0)(0,22-B ．5(5-，0)(0⋃，55C ．22(,,)22-∞-+∞ D ．(,,)55-∞-+∞ 【答案】A【解析】由题意双曲线22:1x C y m -=的离心率为2，62=，解得2m =，双曲线22:12x C y -=，设直线:2l x ty =+，与双曲线C 联立得：22(2)420t y ty -++=，设点1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，则12222y y t =-，12224y y t t =--+221212122282()42t x x t y y t y y t --=+++=-，又因为AOB ∠为钝角，则0OA OB ⋅<，所以12120y y x x +<，即222228022t t t --+<--得出220t ->，即22t >，所以直线l 的斜率22112k t =<，又且,,A O B 三点不可能共线，则必有0k ≠，即直线l 斜率的取值范围是(,0)(0,22- ，故选：A ．3．（2019·海口市第四中学）过点()3,2M 作直线l 与抛物线28y x =只有一个交点，这样的直线共有（）A ．0条B ．1条C ．2条D ．3条【答案】B【解析】经验证点()3,2M 在抛物线开口内部，结合函数图像，可知过点()3,2M 与抛物线只有一个交点的直线只有一条，即过M 平行与x 轴的直线，即2y =.故选：B.避错强化1．（2020·湖北宜昌）若直线1:260l ax y ++=与直线()22:(1)10l x a y a +-+-=平行，则a 的值为（）A ．2a =-或1a =B ．2a =C ．2a =或1a =-D ．1a =-【答案】D【解析】由1l 与2l 平行得：()()()21202161a a a a ⎧--=⎪⎨-≠-⎪⎩，解得：1a =-故选：D 2．（2020·上海杨浦·复旦附中）“1m =”是“直线1:60l x my ++=和直线2:20l x my -+=垂直”的（）.A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由直线1:60l x my ++=和直线2:20l x my -+=垂直，可得：11()0m m ⨯+-=，即21m =，解的1m =±，所以1m =是直线1:60l x my ++=和直线2:20l x my -+=垂直的充分不必要条件.故选：A.3．（2020·安徽六安一中）已知两条直线1l ：()1210a x y -++=，2l ：10x ay ++=平行，则1l 与2l 的距离为（）A．B ．2C．4D．2【答案】C【解析】因为12l l //，所以()1210a a --⨯=，所以2a =或1a =-，当2a =时，12,l l 均为210x y ++=，此时两直线重合不符合条件，当1a =-时，1:2210l x y -++=即11:02l x y --=，2:10l x y -+=，此时符合，所以12,l l324=，故选：C.4．（2020·重庆北碚·西南大学附中高三月考）设m R ∈，则“1m =-”是“直线()1:130l mx m y +--=与直线()()2:1212=0l m x m y -++-垂直”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】若直线()1:130l mx m y +--=与直线()()2:1212=0l m x m y -++-垂直，则()()()11210m m m m -+-+=，解得1m =±，所以由1m =-能推出直线()1:130l mx m y +--=与直线()()2:1212=0l m x m y -++-垂直；反之不能推出；因此“1m =-”是“直线()1:130l mx m y +--=与直线()()2:1212=0l m x m y -++-垂直”的充分不必要条件.故选：A.5．（2019·巢湖市第四中学）直线1l ：60x ay ++=和直线2l ：()2320a x ay a -++=.若12//l l ，则a 的值为（）A ．0或5B ．0C ．5D ．非上述答案【答案】A【解析】当0a =时，1l ：60x +=，2l ：0x =，满足12//l l ；当0a ≠且20a -≠时，16232a a a a=≠-，解得5a =，综上，0a =或5.故选：A.6．（2020·上海徐汇·位育中学高三月考）若直线:2l y kx =+与曲线22:6(0)C x y x -=>交于不同的两点，则k 的取值范围是（）A ．,33⎛⎫-⎪⎝⎭B ．3⎛⎫⎪⎝⎭C ．3⎛⎫-⎪⎝⎭D ．,13⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭【答案】D【解析】因为22:6(0)C x y x -=>表示双曲线226x y -=的右支，由2226y kx x y =+⎧⎨-=⎩消去y 得()2226x kx -+=，整理得()2214100k x kx ---=，设直线:2l y kx =+与曲线22:6(0)C x y x -=>的两交点为()11,x y ，()22,x y ，其中1>0x ，20x >，则1221221001401x x k k x x k ⎧=->⎪⎪-⎨⎪+=>⎪-⎩，解得1k <-，又()22164010k k ∆=+->，解得33k -<<，综上，13k -<<-.故选：D.7．（2020·河北衡水中学高三一模（理））已知1F ，2F 为椭圆C ：221(0)x y m m+=>的两个焦点，若C 上存在点M 满足12MF MF ⊥，则实数m 取值范围是（）A ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．[)2,+∞C ．[)10,2,2⎛⎤+∞ ⎥⎝⎦D ．(]1,11,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】C 【解析】当焦点在x 轴上时，2a m =，21b =，1m >，当M 为上下顶点时，12F MF ∠最大，因为120MF MF ⋅= 坐标，122F MF π∠≥，14F MO π∠≥，所以1tan tan 14c F MO b π∠=≥=，即11≥，解得2m ≥；当焦点在y 轴上时，21a =，2b m =，01m <<，当M 为左右顶点时，12F MF ∠最大，因为120MF MF ⋅= ，122F MF π∠≥，14F MO π∠≥，所以1tan tan 14c F MO b π∠=≥=1≥，解得102m <≤，故选：C.8．（2020·涡阳县育萃高级中学）已知两条直线1:10l ax y ++=与2:10l x ay ++=互相平行，则a =______．【答案】1-【解析】因为直线1:10l ax y ++=与2:10l x ay ++=互相平行，所以110a a ⋅-⋅=，解得1a =±当1a =时直线1:10l ax y ++=与2:10l x ay ++=重合，应舍去当1a =-时满足题意故答案为：1-9．（2020·辽源市第五中学校）已知直线1:20l x ay ++=和2:(2)360l a x y a -++=，若12l l //，则a =___________．【答案】3【解析】∵12l l //，有(2)3a a -=，∴(1)(3)0a a +-=，解得1a =-或3a =，当1a =-时，1:20l x y -+=，2:3(2)0l x y --+=，即1l 、2l 为同一条直线；当3a =时，1:320l x y ++=，2:3180l x y ++=，即12l l //；∴3a =，故答案为：311．（2020·上海浦东新·华师大二附中）直线xcos y ＋2＝0的倾斜角的范围是________．【答案】50,[,)66πππ⎡⎤⋃⎢⎥⎣⎦【解析】由题知k ＝－33cos θ，故k ∈33,33⎡-⎢⎣⎦，结合正切函数的图象，当k ∈30,3⎡⎢⎣⎦时，直线倾斜角α∈0,6π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，当k ∈3,03⎡⎫-⎪⎢⎪⎣⎭时，直线倾斜角α∈5,6ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭，故直线的倾斜角的范围是0,6π⎡⎤⎢⎥⎣⎦∪5,6ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭.12．（2020·江西南昌二中）若过点(01)-，的直线l 与抛物线22y x =有且只有一个交点，则这样的直线l 共有_____条.【答案】3【解析】（1）当过点(01)-，的直线斜率不存在时，显然0x =与抛物线22y x =有且只有一个交点，（2）①当过点(01)-，且直线抛物线22y x =的对称轴平行，即斜率为0时，显然1y =-与抛物线22y x =有且只有一个交点，②当直线过点(01)-，且斜率存在，且与抛物线相切时，直线与抛物线只有一个交点，设直线方程为1y kx =-，代入到抛物线方程22y x =，消y 得：222(1)10k x k x -++=，由已知有0k ≠，则224(1)40k k ∆=+-=，解得：12k =-，即直线线方程为112y x =--，综上可得：过点(01)-，的直线l 与抛物线22y x =有且只有一个交点的直线l 共有3条故答案为：3。
解析几何易错题集
解析几何一、选择题：1. （如中）若双曲线22221x y a b -=-的离心率为54，则两条渐近线的方程为 A 0916X Y ±= B 0169X Y ±= C 034X Y ±= D 043X Y ±= 解 答：C易错原因：审题不认真，混淆双曲线标准方程中的a 和题目中方程的a 的意义。
2. （如中）椭圆的短轴长为2，长轴是短轴的2倍，则椭圆的中心到其准线的距离是A 855B 455C 833D 433 解 答：D易错原因：短轴长误认为是b3．（如中）过定点（1，2）作两直线与圆2222150x y kx y k ++++-=相切，则k 的取值范围是A k>2B -3<k<2C k<-3或k>2D 以上皆不对解 答：D易错原因：忽略题中方程必须是圆的方程，有些学生不考虑2240D E F +-> 4．（如中）设双曲线22221(0)x y a b a b-=>>的半焦距为C ，直线L 过(,0),(0,)a b 两点，已知原点到直线L 的距离为3C ，则双曲线的离心率为 A 2 B 2或23 C 2 D 233解 答：D易错原因：忽略条件0a b >>对离心率范围的限制。
5．（如中）已知二面角βα--l 的平面角为θ，PA α⊥，PB β⊥，A ，B 为垂足，且PA=4，PB=5，设A 、B 到二面角的棱l 的距离为别为y x ,，当θ变化时，点),(y x 的轨迹是下列图形中的A B C D解 答： D易错原因：只注意寻找,x y 的关系式，而未考虑实际问题中,x y 的范围。
6．（如中）若曲线24y x =-(2)y k x =-+3有两个不同的公共点，则实数 k 的取值范围是A 01k ≤≤B 304k ≤≤C 314k -<≤D 10k -<≤解 答：C易错原因：将曲线y =224x y -=时不考虑纵坐标的范围；另外没有看清过点(2,-3)且与渐近线y x =平行的直线与双曲线的位置关系。
历年高考真题解析几何单元易错题练习及答案解析
历年高考真题解析几何单元易错题练习及答案解析（2010年山东）求过点（2，1）且与两坐标所围成的三角形面积为4的直线方程。
错解：设所求直线方程为1=+by a x 。
∵（2，1）在直线上，∴112=+ba ， ①又4ab 21＝，即ab = 8 ②由①、②得a = 4，b = 2。
故所求直线方程为x + 2 y = 4 。
剖析：本题的“陷阱”是直线与两坐标轴所围成的三角形面积的表示。
上述解法中，由于对截距概念模糊不清，误将直线在x 轴和y 轴上的截距作距离使用而掉入“陷阱”。
事实上，直线与两坐标轴所围成的三角形面积为21b a ，而不是21ab 。
故所求直线方程应为：x + 2 y = 4，或（2+1）x - 2（2-1）y – 4 = 0，或（2- 1）x - 2（2+1）y +4 = 0。
（2011年湖南）已知三角形的三个顶点为A （6，3），B （9，3），C （3，6），求∠A 。
错解：∵ k AB = 0 ，k AC = 6336-- = -1，∴ tan ∠A=AB AC AC k k k k ⋅+-1AB =)1(01)1(0-⋅+--=1. 又0＜∠A ＜1800，∴ ∠A=450。
剖析：本题的“陷阱”是公式的选取，上述解法中把“到角”与“夹角”的概念混为一谈，错误地选用了夹角公式。
事实上，所求角应是直线AB 到AC （注意：AC 到AB ）的角。
因此，∴ tan ∠A=ABAC AB AC k k k k ⋅+-1= - 1，∠A=1350。
（2009年河北） 求过点A （-4，2）且与x 轴的交点到（1，0）的距离是5的直线方程。
错解：设直线斜率为k ，其方程为y – 2 = k （x + 4），则与x 轴的交点为（-4-k 2，0）， ∴5124=---k，解得k = -51。
故所求直线的方程为x + 5y – 6 = 0 。
剖析：题中仅考虑了斜率存在的情况，忽视了斜率不存在的情况，即经过A 且垂直于x 轴的直线，落入“陷阱”。
解析几何易错题
解析几何易错题解几(直线)1. 直线3x-2y+k=0在两坐标轴上截距之和为2，则实数k的值是————（-24）2. 过点P（4，3）作直线L，直线L与X、Y的正半轴分别交于A、B两点，O为原点，当|OA|+|OB|最小时，求直线L的方程。
(|OA|+|OB|有最小值 7+4，L：x-2y+6-4=0(变式：将|OA|+|OB|改为|OA|.|OB|,用均值不等式))3. 已知直线x-ky-k=0,kx-y-2=0(k>1),求这两条直线与y轴围成的三角形的面积的最小值。
（用均值不等式，与2题的变式类似。
当k=+1时，三角形面积最小值为（3+2）/2）4. 两条直线mx+y-n=0,x+my+1=0互相平行的条件是（）DA）m=1 B)m=±1 C) D) 或5. 过（cos,sin）且平行于直线xcos+ysin-a=0(a∈R)的直线方程是——（xcos+ysin-1=0）6. 已知⊿ABC的三个顶点A（-1，0），B（2，-6），C（7，4），又直线L∥AC，且将⊿ABC分为三角形和四边形两部分面积之比为1：8，求直线L的方程。
（2x-4y-13=0）7. 与直线4x-3y+5=0平行的直线L，与坐标轴围成的三角形的面积为6，求直线L 的方程。
（4x-3y±12=0）8. 若三条直线(m-4)x-2y+3=0,3x+2y+1=0,mx-y+6=0能围成三角形，求实数m的取值范围。
（三线两两相交，且不共点。
M≠-4,1,5,-3/2）9. 直线L过P（1，2），且被两条平行直线4x+3y+1=0,4x+3y+6=0截得的线段长为，求直线L的方程。
（观察所求直线被截知两平行线间距离为1，7x-y-5=0,x+7y-15=0）10. 过M（-4，3），且与原点的距离为5的直线方程是————（4x-3y+25=0）11. 若点P（a,2a-1）到直线y=2x的距离与P到直线y=3x的距离之比为1：，则a 的值是——（-3或1）12. 直线L在两坐标轴上的截距相等，且P（4，3）到直线L的距离为3，求直线L 的方程。
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解析几何易错题整理一、选择题：1. 若双曲线22221x y a b -=-的离心率为54，则两条渐近线的方程为A0916X Y ±= B 0169X Y ±= C 034X Y ±= D 043X Y ±= 解 答：C易错原因：审题不认真，混淆双曲线标准方程中的a 和题目中方程的a 的意义。
2. 椭圆的短轴长为2，长轴是短轴的2倍，则椭圆的中心到其准线的距离是AB C D 解 答：D 易错原因：短轴长误认为是b3．过定点（1，2）作两直线与圆2222150x y kx y k ++++-=相切，则k 的取值范围是A k>2B -3<k<2C k<-3或k>2D 以上皆不对 解 答：D易错原因：忽略题中方程必须是圆的方程，有些学生不考虑2240D E F +->4．设双曲线22221(0)x y a b a b-=>>的半焦距为C ，直线L 过(,0),(0,)a b 两点，已知原点到直线L的距离为4，则双曲线的离心率为A 2B 2或3C D解 答：D 易错原因：忽略条件0a b >>对离心率范围的限制。
5．已知二面角βα--l 的平面角为θ，PA α⊥，PB β⊥，A ，B 为垂足，且PA=4，PB=5，设A 、B 到二面角的棱l 的距离为别为y x ,，当θ变化时，点),(y x 的轨迹是下列图形中的A B C D解 答： D易错原因：只注意寻找,x y 的关系式，而未考虑实际问题中,x y 的范围。
6．若曲线y =(2)y k x =-+3有两个不同的公共点，则实数 k 的取值范围是A 01k ≤≤B 304k ≤≤C 314k -<≤ D 10k -<≤ 解 答：C易错原因：将曲线y =转化为224x y -=时不考虑纵坐标的范围；另外没有看清过点(2,-3)且与渐近线y x =平行的直线与双曲线的位置关系。
7． P(-2,-2)、Q(0,-1)取一点R(2,m)使︱PR ︱＋︱RQ ︱最小，则m=（ ）A21 B 0 C –1 D -34正确答案：D 错因：学生不能应用数形结合的思想方法，借助对称来解题。
8．能够使得圆x 2+y 2-2x+4y+1=0上恰好有两个点到直线2x+y+c=0距离等于1的一个值为（ ）A 2 B5 C 3 D 35正确答案： C 错因：学生不能借助圆心到直线的距离来处理本题。
9． P 1(x 1,y 1)是直线L ：f(x,y)=0上的点，P 2(x 2 ,y 2)是直线L 外一点，则方程f(x,y)+f(x 1,y 1)+f(x2,y 2)=0所表示的直线（ ）A 相交但不垂直B 垂直C 平行D 重合 正确答案： C 错因：学生对该直线的解析式看不懂。
10．已知圆()3-x 2+y 2=4 和 直线y=mx 的交点分别为P 、Q 两点，O 为坐标原点， 则︱O P ︱·︱OQ ︱=( )A 1+m 2B215m+ C 5 D 10 正确答案： C 错因：学生不能结合初中学过的切割线定︱O P ︱·︱OQ ︱等于切线长的平方来解题。
11．在圆x 2+y 2=5x 内过点（25，23）有n 条弦的长度成等差数列，最短弦长为数列首项a 1,最长弦长为a n ，若公差d ∈⎥⎦⎤⎝⎛31,61，那么n 的取值集合为（ ） A {}654、、B {}9876、、、C {}543、、D {}6543、、、 正确答案：A 错因：学生对圆内过点的弦何时最长、最短不清楚，不能借助d 的范围来求n.12．平面上的动点P 到定点F(1,0)的距离比P 到y 轴的距离大1,则动点P 的轨迹方程为（ ） A y 2=2x B y 2=2x 和 ⎩⎨⎧≤=00x y C y 2=4x D y 2=4x 和⎩⎨⎧≤=0x y正确答案：D 错因：学生只注意了抛物线的第二定义而疏忽了射线。
13．设双曲线22a x －22b y ＝1与22by －22a x ＝1（a ＞0,b ＞0）的离心率分别为e 1、e 2，则当a 、 b变化时，e 21+e 22最小值是（ ）A 4B 42C 2D 2正确答案：A 错因：学生不能把e 21+e 22用a 、 b 的代数式表示，从而用基本不等式求最小值。
14．双曲线92x －42y ＝1中，被点P(2,1)平分的弦所在直线方程是（ ）A 8x-9y=7B 8x+9y=25C 4x-9y=16D 不存在正确答案：D 错因：学生用“点差法”求出直线方程没有用“△”验证直线的存在性。
15．已知α是三角形的一个内角，且sin α+cos α=51则方程x 2sin α－y 2cos α=1表示（ ） A 焦点在x 轴上的双曲线 B 焦点在y 轴上的双曲线 C 焦点在x 轴上的椭圆 D 焦点在y 轴上的椭圆 正确答案：D 错因：学生不能由sin α+cos α=51判断角α为钝角。
16．过抛物线的焦点F 作互相垂直的两条直线，分别交准线于P 、Q 两点，又过P 、Q 分别作抛物线对称轴OF 的平行线交抛物线于M ﹑N 两点,则M ﹑N ﹑F 三点A 共圆B 共线C 在另一条抛物线上D 分布无规律 正确答案：B 错因：学生不能结合图形灵活应用圆锥曲线的第二定义分析问题。
17．曲线xy=1的参数方程是( )A x=t 21 B x=Sin α C x=cos α D x=tan α y=t21- y=csc α y=See α y=cot α正确答案：选D错误原因：忽视了所选参数的范围，因而导致错误选项。
18．已知实数x ，y 满足3x 2+2y 2=6x ，则x 2+y 2的最大值是( ) A 、29B 、4C 、5D 、2 正确答案：B错误原因：忽视了条件中x 的取值范围而导致出错。
19．双曲线x 2n －y 2=1(n>1)的焦点为F 1、F 2，，P 在双曲线上 ，且满足：｜PF 1|+|PF 2|=2n+2 ，则ΔPF 1F 2的面积是A 、1B 、2C 、4D 、12正确答案： A错因：不注意定义的应用。
20．过点(0,1)作直线，使它与抛物线x y 42=仅有一个公共点，这样的直线有（ ） A.1条 B.2条 C. 3条 D. 0条 正确答案：C错解：设直线的方程为1+=kx y ，联立⎩⎨⎧+==142kx y x y ，得()x kx 412=+，即：01)42(22=+-+x k x k ，再由Δ＝0,得k=1,得答案A.剖析：本题的解法有两个问题，一是将斜率不存在的情况考虑漏掉了，另外又将斜率k=0的情形丢掉了，故本题应有三解，即直线有三条。
21．已知动点P （x ,y ）满足 ，则P 点的轨迹是 （ ） A 、直线 B 、抛物线 C 、双曲线 D 、椭圆 正确答案：A错因：利用圆锥曲线的定义解题，忽视了（1，2）点就在直线3x+4y-11=0上。
22．在直角坐标系中，方程()()02312=--+-+y x x y x 所表示的曲线为（ ） A ．一条直线和一个圆 B ．一条线段和一个圆 C ．一条直线和半个圆 D ．一条线段和半个圆 正确答案：D错因：忽视定义取值。
23．设坐标原点为O ，抛物线22y x =与过焦点的直线交于A 、B 两点，则OA OB ⋅=（ ）A ．34 B ．34- C ．3 D ．-3 正确答案：B 。
错因：向量数量积应用，运算易错。
24．直线134=+yx 与椭圆191622=+y x 相交于A 、B 两点，椭圆上的点P 使PAB ∆的面积等于１２，这样的点P 共有（ ）个A ．１B ．２C ．３D ．４ 正确答案：D错因：不会估算。
25．过点（1，2）总可作两条直线与圆2222150x y kx y k ++++-=相切，则实数k 的取值范围是（ ）A 2k >B 32k -<<C 3k <-或2k >D 都不对 正确答案：D |1143|)2()1(522-+=-+-y x y x26．已知实数x ，y 满足250x y ++=ABC． D．正确答案：A27．若直线y x b =+与曲线224(0)x y y +=≥有公共点，则b 的取值范围是 A ． [2,2]- B ． [0,2] C．[2, D ．[2,-正确答案：D28．设ｆ(x )= x 2+ax+b ，且1≤f (－1)≤2，2≤f (1)≤4，则点(a ，b )在aOb 平面上的区域的面积是 A ．12 B ．1 C ．2 D ．92正确答案：B29．当x 、y 满足约束条件0,,20x y x x y k ≥⎧⎪≤⎨⎪++≤⎩（k 为常数）时，能使3z x y =+的最大值为12的k 的值为A ．－9B ．9C ．－12D ．12 正确答案：A30．已知关于t 的方程20t tx y ++=有两个绝对值都不大于1的实数根，则点(,)P x y 在坐标平面内所对应的区域的图形大致是正确答案：A31．能够使得圆222410x y x y +-++=上恰有两个点到直线20x y c ++=距离等于1的c 的一个值为（ ）A ．2C ．3 D． 正确答案：C32．抛物线y=4x 2的准线方程为（ ）A 、x=－1B 、y=－1C 、x=161-D 、y=161- 答案：D点评：误选B ，错因把方程当成标准方程。
33．对于抛物线C ：y 2=4x ，称满足y 02<4x 0的点M(x 0，y 0)在抛物线内部，若点M(x 0，y 0)在抛物ABCD线内部，则直线l ：y 0y=2(x+x 0)与曲线C （ ）A 、恰有一个公共点B 、恰有两个公共点C 、可能有一个公共点也可能有2个公共点D 、无公共点 答案：D点评：条件运用不当，易误选C 。
34．直线l 过点，那么直线l 倾斜角α的取值范围是（ ）。
A. [0,π)B. [0,4π] (2π, π) C. [4π,π] D. [0,4π] (2π, π)正解：B),1(),1,2(2m B A 02>m∴ 点A 与射线y x (1=≥0)上的点连线的倾斜角，选B 。
误解：选D ，对正切函数定义域掌握不清，故2π=x 时，正切函数视为有意义。
35．设F1和F2为双曲线1422=-y x 的两个焦点，点在双曲线上且满足 9021=∠PF F ，则21PF F ∆的面积是（ ）。
A. 1B.25 C. 2 D.5正解：A1422=-y x 5,2==C a 4||||||21=-∴PF PF 16||||||2||222121=+-⇒PF PF PF PF ①又9021=∠PF F ∴22221)52(||||=+PF PF ②联立①②解得2||||21=∴PF PF ∴121=∆PF F S误解：未将4||||||21=-∴PF PF 两边平方，再与②联立，直接求出||||21PF PF 。