高等数学第六章 多元函数微积分.

讲解注意:
第七节多元函数的极值及其求法
1、内容分布图示
★问题的提出★多元函数的极值和最值★二元函数极值的定义例1-3
★多元函数取得极值的条件★例4
★求极值和最值的一般方法★例5 ★例6
★例7 ★例8 ★例9 ★条件极值拉格郎日乘数法★例10 ★例11 ★例12 ★例13 ★内容小结★课堂练习
★习题6-7 ★返回
y z求证为可微的函数设ϕϕ
讲解注意:
例6. , , (, y x u u xy z =+=求设
ϕ, 22x z x z ∂∂∂∂, 2x z ∂∂y
∂
讲解注意:
例7. , , , (, , (2
222y z y z y x e f z f xy ∂∂∂∂-=求有连续的二阶偏导数设ηξ其中
讲解注意:
利用一阶全微分形式的不变性求函数z y x x
u ++=.
导数
讲解注意:
第六节隐函数的求导公式
1、内容分布图示
★隐函数求导(1★例1★例2★隐函数求导(2
★例3★例4★例5★例6★例7
★例8
★内容小结★课堂练习
★习题6-6★返回
2、讲解注意:
3、重点难点:
4、例题选讲:
例10=+-y x e e xy所确定的隐函数求由方程.
讲解注意:
例5求二元函数4( , (2y x y x y x f z --==在直线6=+y x x轴和y轴所围成的闭区域D上的最大值与最小值.
,
讲解注意:
例6. 16:33 , (22322上的在区域求函数≤+-+=y x D x y x y x f最小值
讲解注意:
例7求122+++=
y x y
x z的最大值和最小值.
例7.
2lim
4
2430
y x x xy y x +
+→→求
讲解注意:
例8证明不存在.
2
630
0lim
y x y
x y x +→→
讲解注意:
例9.
1(lim 10
0y
x y x xy +→→+
证明极限不存在
讲解注意:
例10讨论⎪⎩
⎪⎨⎧=≠+= 0, 0( , (, 0 0, 0( , (, , (233y x y x y x y x f在处的连续0, 0(性.
在坐标面上的投影.
⎪⎩
⎪⎨⎧==++2
11
222z z y x
讲解注意:
例7, (342222面上的投影.求它在面所围成和设一个立体由上半球面xOy y x z y x z +=--=锥
讲解注意:
例8.
0, 1, 1( 1, 0, 2(, 1, 1, 1(321程的平面方
及求经过点--M M M
讲解注意:
=dx π=dy全微分. , , , , (时的
讲解注意:
例7试证函数⎪⎩⎪⎨
⎧=≠+=
0, 0( , (,
0
0, 0( , (, sin ,
(22y x y x y x xy y x f在0, 0(续且偏导数存在0, 0(不连续f在0, 0(可微.
但偏导数在而, ,连
讲解注意:
例8计算2.02 1.04(的近似值.
讲解注意:
例11讨论⎪⎩
⎪⎨⎧=+≠++=0, 00, , (22222
2y x y x y x xy y x f在(0,0的连续性.
讲解注意:
例12. lim
1
0y
x y
e x y x ++→→求
讲解注意:
第三节偏导数
1、内容分布图示
★偏导数的定义
★例1 ★例2 ★例3 ★例4
★有关偏导数的几点说明★偏导数的几何意义
2、讲解注意:
3、重点难点:
4、例题选讲:
例1处有极小值.在函数0, 0(4322y x z +=
讲解注意:
例2处有极大值.在函数0, 0(22y x z +-=
讲解注意:
例3处无极值.在函数0, 0(xy z =
讲解注意:
例4. 933 , (2233-++-=x y x y x y x f的极值求函数
讲解注意:
例8?
, , , 23,
10420, 4216, , 2121212
12122112211取何值时可
试问价格的价格和为商品其中总成本函数为
其需求的需求量为商品的需求量为商品设P P x x P P Q Q C P P Q P P Q x Q x Q +=-+=+-=函数分别为
使利润最大
讲解注意:
例9. 0, 1, 0(, 0, 0, 1(21两点的平面方程轴且过求平行于M M z
讲解注意:
例10.
, 5, 4, 3个平面的方程设平面在坐标轴上的截距分别为=-==c b a求这
讲解注意:
第二节多元函数的基本概念
1、内容分布图示
★区域★区域★聚点★二元函数的定义★二元函数的图形
★例1 ★例2
★多元函数的极限★例3 ★例4 ★例5 ★例6 ★例7 ★例8 ★例9
讲解注意:
例3设t uv z sin +=而t e u =t v cos =求全导数
dt dz . , , ,
讲解注意:
例4. . sin , , , (2y u
x u y x z z y x f u ∂∂∂∂===和
求
设2
22z y x e ++
讲解注意:
例5. 02
3, , (2222
=+∂∂-∂∂+=y y z xy x z x xy x
它到求点, ,
讲解注意:
例3建立球心在点, , (0000z y x M半径为R的球面方程.
,
讲解注意:
例4方程组表示怎样的曲线⎩⎨⎧=+=+6321
22z x y x ?
讲解注意:
例5方程组
表示怎样的曲线⎪⎩⎪⎨⎧=+---=4
2
(222222a y a x y x a z ?
讲解注意:
例6求曲线
1利用全微分形式不变性解本节的例设v e z u sin =而xy u =y x v +=求和.
, , , x z' y z '
讲解注意:
例11已知02=+--z xy e z e求x z
∂∂和y z ∂∂.
,
讲解注意:
. 1xy
y
x arctan
z -+=求函数例12的全微分
讲解注意:
例132
22的偏
★偏增量与全增量★全微分的定义★可微的必要条件★可微的充分条件
★例1 ★例2 ★例3 ★例4 ★例5 ★例6 ★例7 ★多元函数连续、可导、可微的关系
★全微分在近似计算中的应用★例8 ★绝对误差与相对误差★例9
★内容小结★课堂练习
★习题6-4 ★返回
2、讲解注意:
3、重点难点:
4、例题选讲:
例1.
22的全微分计算函数y y x z +=
讲解注意:
例12.
, , , . 5 (2, 12218, 212211并求出最大利润使该企业的总利润最大定两个市场上该产品的销售量及其统一价格如果该企业在两个市场上实行统一价格是生产这种产品的总成本函数和两个市场的需假设某企业在两个市场上销售同一种产品++=-=-=Q Q C Q P Q P求函数是试确
★多元函数的连续性★例10 ★例11 ★闭区域上连续函数的性质★例12 ★内容小结★课堂练习
★习题6-2 ★返回
2、讲解注意:
3、重点难点:
4、例题选讲:
例1求的定义域. 2
22
3arcsin( , (y y x y x f ---=
讲解注意:
例2.
, (, , (2
222y x f x y x y x y x f求已知函数+
★偏导数的经济意义★高阶偏导数
★例5 ★例6 ★例7 ★例8 ★混合偏导数相等的条件★例9 ★内容小结★课堂练习
★习题6-3 ★返回
2、讲解注意:
3、重点难点:
4、例题选讲:
例1求223y xy x z ++=在点2, 1(处的偏导数.
讲解注意:
例2设y x z = 1, 0(≠>x x求证
z y
z
-=
-+
讲解注意:
例3求证0. 1
sin
(lim 2
2220
0=++→→y x y x y x
讲解注意:
例4求极限.
sin(lim
2220
0y
x y x y x +→→
讲解注意:
例5.
(lim 220
0xy
y x y x +→→求
讲解注意:
例6. lim 22y
x y
x y x ++∞
→∞→求
讲解注意:
22x z ∂∂x y z ∂∂∂2y x z ∂∂∂222y z
∂∂及3
3x z ∂∂.设, , , ,
讲解注意:
例6验证函数22ln , (y x y x u +=满足拉普拉斯方程
.
02
222=
∂∂+∂∂y x
讲解注意:
例7.
, 012222
22222++=
=∂∂+∂∂+∂∂=z y x r z u y u x u u其中满足方程证明函数
例9.
, . 23才能使用料最省当长的有盖长方体水箱某厂要用铁板做成一个体积为m、宽、高各取怎样的尺寸时问
讲解注意:
例10.
0, 0, 0, 0(1/1/1/1/>>>>=++=a z y x a z y x xyz u下的极值在附加条件
求函数
1(
讲解注意:
例11. 2a而体积为最大的长方体的体积求表面积为
x x z x 2ln 1=∂∂+∂∂. ,讲解注意:
例3设2
2arcsin y x x z +=x z ∂∂y z ∂∂.
求, ,
讲解注意:
例4. , , sin(2z
u y u x u e y x u z ∂∂∂∂∂∂-+=的偏导数
求三元函数
讲解注意:
例513323+--=xy xy y x z求
★全微分形式的不变性★例10 ★例11 ★例12 ★例13
★内容小结★课堂练习
★习题6-5 ★返回
2、讲解注意:
3、重点难点:
4、例题选讲:
例1设v e z u sin =而xy u =y x v +=求
x z ∂∂和
y z
∂∂. , , ,
讲解注意:
例2. 3(2422的偏导数求y x y x z ++=
★椭球面★抛物面★双曲面
★内容小结★课堂练习★习题6-1 ★返回
2、讲解注意:
3、重点难点:
4、例题选讲:
例1求证以1, 3, 4(1M、2, 1, 7(2M、3, 2, 5(3M三角形是一个等腰三角形.三点为顶点的
讲解注意:
例2设P在x轴上3, , 0(1P的距离为到点
1, 1, 0(2 P的距离的两倍P的坐标.
第六章多元函数微积分
第一节空间解析几何简介
1、内容分布图示
★空间直角坐标系★坐标面与卦限★点与坐标的对应关系
★空间两点间的距离关系★例1 ★例2
★曲面及其方程★例3 ★柱面★圆锥面
★空间曲线的一般方程★例4 ★例5
★螺旋线★空间曲线在坐标面上的投影★空间立体投影例★例6 ★例7 ★平面的一般方程★例8 ★例9 ★平面的截距式方程★例10 ★空间直线的一般方程
讲解注意:
例8设by e u ax cos =求二阶偏导数. ,
讲解注意:
例9.
0, 0( 0, 0(, 0, 0( , (, 0 0, 0( , (, , (2
222yx xy f f y x y x y x y x xy
y x f及试求设⎪⎩⎪⎨⎧
=≠+-=
讲解注意:
第四节全微分及其应用
1、内容分布图示
, 0
=x dx
dy dx dy y的导数
讲解注Baidu Nhomakorabea:
例2验证方程0122=-+y x在点1, 0(的某邻域内能唯一确定一个导数在0=x的值.
0=x时1=y的隐函数(x f y =有连续导数、,当求这函数的一阶和二阶
讲解注意:
例3.
, ( (333y
z
x z y x f z a a xyz z ∂∂∂∂==-和
讲解注意:
例9? . 0.00420.1100. 422
g T l s T cm l T l T
l
g g ±=±==π的绝对误差和相对误差各为多少的误差而引起与由于测定、
分别为与振动周期得单摆摆长的公式是利用单摆摆动测定重力加速度现测
问
讲解注意:
第五节多元复合函数的求导法则
1、内容分布图示
★链式法则★例1 ★例2 ★例3 ★例4 ★例5 ★例6 ★例7 ★例8 ★例9
讲解注意:
例7.
, 0, , , 0
, , ( , (, sin , , (2dx du
z
f z e x y x z z x y z y x f u y求且
具有一阶连续的偏导数其中确定由方程设≠∂∂====ϕϕϕ,
讲解注意:
例8设, (xyz z y x f z ++=求x z ∂∂y x ∂∂z y ∂∂. , , ,
讲解注意:
例2. cos 1
22y y
x u -=
求函数的偏导数和全微分
讲解注意:
例3求函数yz e y
x u ++=2
sin
的全微分.
讲解注意:
例4.
z
y x u =求函数的偏导数和全微分
讲解注意:
例5计算函数xy e z =在点1, 2(处的全微分.
讲解注意:
例6求函数2cos y x y z -=当4π=x π=y π
的偏导数
所确定的隐函数是常数求由方程
讲解注意:
例4. , , 02y
z x z e z e z xy ∂∂∂∂=+--求
已知
讲解注意:
例5. , , (ln y
z
x z y x f z z
x ∂∂∂∂==的偏导数
所确定的隐函数求由方程
讲解注意:
例6设042
22=-++z z y x求22x
z
∂∂.
,
例8设, (xyz z y x f w ++=f有二阶连续偏导数x w ∂∂和z
x w ∂∂∂2.求, ,
讲解注意:
9例. ;
, , (2
2222
2
∂∂+∂∂∂∂+∂∂=y u x u y
u x
u y x f u为极坐标系中的形式:
把下列表达式转换的所有二阶偏导数连续设
1(
2( ( (
讲解注意:
例10.