异面直线所成的角的求法
异面直线所成角的几种求法资料讲解
异面直线所成角的几种求法仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢2异面直线所成角的几种求法异面直线所成角的大小，是由空间一点分别引它们的平行线所成的锐角（或直角）来定义的。
因此，通常我们要求异面直线所成的角会要求学生通过平移直线，形成角，然后在某个三角形中求出角的方法来得到异面直线所成角的大小。
在这一方法中，平移直线是求异面直线所成角的关键，而如何平移直线要求学生有良好的空间观和作图能力。
一、向量法求异面直线所成的角例1：如图，在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是相邻两侧面BCC 1B 1及CDD 1C 1的中心。
求A 1E 和B 1F 所成的角的大小。
解法一：（作图法）作图关键是平移直线，可平移其中一条直线，也可平移两条直线到某个点上。
作法：连结B 1E ，取B 1E 中点G 及A 1B 1中点H ， 连结GH ，有GH//A 1E 。
过F 作CD 的平行线RS ， 分别交CC 1、DD 1于点R 、S ，连结SH ，连结GS 。
由B 1H//C 1D 1//FS ，B 1H=FS ，可得B 1F//SH 。
在△GHS 中，设正方体边长为a 。
GH=46a （作直线GQ//BC 交BB 1于点Q ， B A CD FEB 1 A 1 D 1C 1G HSRPQ仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢3连QH ，可知△GQH 为直角三角形），HS=26a （连A 1S ，可知△HA 1S 为直角三角形）， GS=426a （作直线GP 交BC 于点P ，连PD ，可知四边形GPDS 为直角梯形）。
∴Cos ∠GHS=61。
所以直线A 1E 与直线B 1F解法二：（向量法）分析：因为给出的立体图形是一个正方体， 所以可以在空间建立直角坐标系，从而可以利用 点的坐标表示出空间中每一个向量，从而可以用 向量的方法来求出两条直线间的夹角。
以B 为原点，BC 为x 轴，BA 为y 轴，BB 1为z 轴，设BC 长度为2。
异面直线所成角的三种经典求法
直 线 所成 角 的通 法 ， 常见 是 “ 一 静 一
动” ：将 另 一 直 线 平移 至 已知 点 ， 通
Ｄ ＋ Ｄ ｃ 。 一 Ｅ ｃ ２ ＋（ ２ 、 ／２） 一 ２
２ Ｄ Ｅ・ ＤＣ ２． ２． ２ 、 ／
过 求 解 三 角形 来 解 决 异 面 直 线所 成
２ 定 理 可得 ｃ 。 ｓ Ｄ 剧 — ＤＥ ％Ｅ Ｆ ＤＦ２
－
方 法 归 纳 ２： 补 形 法 的 实 质 是 将 直 线往 更 多的 “ 地 方” 平移 ， 其 目 的 也 是将 异 面 直线 所成 的 角平 面化．
—
：
方法 四 ： 建 立 空 间 直 角 坐标 系 ，
盟
图１
可 ．不 过 这 里 要 注 意 向 量 夹 角 与 异
± 皇 ： 二 ： ：
２ 。 ４ １・曰
Ａ Ｂ
．
所 以
２
加 ４１ ＝ ．
图２
面 直 线 所 成 的 角 的 取 值 范 围 不 一
样． 雹
Ａ Ｂ ＝ ２ Ｖ ， Ａ Ｄ
１ ＝ ２ ， 求 异 面 直 线
Ａ Ｄ ＝Ｘ ／ — Ｄ Ｄ ］ ＋ — Ａ Ｄ ｚ ＝ 、
Ｄ
，．
－ ２ 、 ／ ，
图４
ＤＥ与ＡＢ 所 成 的 角．
ＡＤｌ ＝
．在 Ｒ ｔ ＡＤ Ｄ￣ Ｂ中 ，
Ｄ Ｅ ＝ 肋 ＝ ２ ．＆ ＡＤ Ｅ Ｆ ￣ ， 由余 弦
， １ ） ， ＝ （ ０ ， ２ 、 ／ ， ０ ） ．
、 ／ 可
＝ Ｖ２ ２ ＋ （ ２ 、 ／ ） ２ ＋ ２ ＝ ４ ．
二
设 异 面 直 线Ｄ Ｅ与ＡＢ所 成 的 角 为 ，
异面直线所成的角求法课件
答案解析
答案一解析
首先，由于AB和CD为异面直线，且AB ⟂ CD，我们可以知道异面直线AB与CD所成的 角为∠BAC。因为∠BAC = 60°，所以异面直线AB与CD所成的角也为60°。
答案二解析
首先，找到与AB和AD₁都平行的平面或线段。在长方体中，这样的平面或线段是A₁D和 A₁B₁。然后，利用平移将异面直线AB和AD₁平移到同一个起点，例如点A。最后，利用 余弦公式计算异面直线AB与AD₁所成角的余弦值。具体计算过程涉及长方体的边长和
常见误区
列举了在求解过程中可能出现 的常见错误和误区，并给出了
正确的解释和纠正方法。
展望
01
02
03
04
进一步研究
鼓励学习者在掌握基本方法的 基础上，深入研究异面直线所 成的角的更多性质和应用。
与其他知识的结合
提倡将异面直线所成的角与其 他几何知识进行结合，形成更
完整的知识体系。
实际应用拓展
强调将所学知识应用于实际问 题解决中，培养解决实际问题
在空间向量中的应用
异面直线所成的角在空间向量中也有着重要的应用。向量 的数量积、向量的模长以及向量的夹角都可以通过异面直 线所成的角来表示。
在解决空间向量的加法、数乘以及向量的模长和夹角等问 题时，常常需要利用异面直线所成的角来建立向量关系， 从而得到向量的具体表示和运算结果。
在物理问题中的应用
成的角的余弦值等于 $frac{overset{longrightarrow}{a} cdot overset{longrightarrow}{b}}{|overset{lon
grightarrow}{a}| cdot
利用向量的夹角公式求异面直线所成的角
要点一
异面直线成角求法
求异面直线所成的角求异面直线所成的角，一般有两种方法，一种是几何法，这是高二数学人教版（A ）版本倡导的传统的方法，其基本解题思路是“异面化共面，认定再计算”，即利用平移法和补形法将两条异面直线转化到同一个三角形中，结合余弦定理来求。
还有一种方法是向量法，即建立空间直角坐标系，利用向量的代数法和几何法求解，这是高二数学人教版（B ）倡导的方法，下面举例说明两种方法的应用。
例：长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB=AA 1=2cm ，AD=1cm ，求异面直线A 1C 1与BD 1所成的角。
解法1：平移法设A 1C 1与B 1D 1交于O ，取B 1B 中点E ，连接OE ，因为OE//D 1B ，所以∠C 1OE 或其补角就是异面直线A 1C 1与BD 1所成的角△C 1OE 中211E B C B E C 2312221BD 21OE 25C A 21OC 22212111221111=+=+==++⋅====()552325222325OEOC 2E C OE OC OE C cos 2221212211=⨯⨯-⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⋅-+=∠所以55a r c c o sOE C 1=∠所以 所以异面直线111BD C A 与所成的角为55arccos图1解法2：补形法在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的面BC 1上补上一个同样大小的长方体，将AC 平移到BE ，则∠D 1BE 或其补角就是异面直线A 1C 1与BD 1所成的角，在△BD 1E 中，BD 1=3，5BE =，5224E D 221=+=()()555325253BE BD 2E D BE BD BE D cos 2221212211-=⨯⨯-+=⋅-+=∠所以异面直线A 1C 1与BD 1所成的角为55arccos图2解法3：利用公式21cos cos cos θθθ⋅=设OA 是平面α的一条斜线，OB 是OA 在α内的射影，OC 是平面α内过O 的任意一条直线，设OA 与OC 、OA 与OB 、OB 与OC 所成的角分别是θ、θ1、θ2，则21cos cos cos θθθ⋅=（注：在上述题设条件中，把平面α内的OC 换成平面α内不经过O 点的任意一条直线，则上述结论同样成立）D 1B 在平面ABCD 内射影是BD ，AC 看作是底面ABCD 内不经过B 点的一条直线，BD 与AC 所成的角为∠AOD ，D 1B 与BD 所成角为∠D 1BD ，设D 1B 与AC 所成角为θ，AOD cos BD D cos cos 1∠⋅∠=θ，55BD BD BD D cos 11==∠。
异面直线所成角的几种求法
D。求异面直线 AE 与 CD 所成的角的大小。
P
解：过 E 作的平行线 EF 交 AD 于 F，
E
由 PA⊥底面 ABCD 可知，直线 AE 在平面
ABCD 内的射影为 AD，
D
直线 AE 与平面 ABCD 所成的角为∠DAE，其大小为 60°，
A
F
射影 AD 与直线 CD 所成的角为∠CDA，其大小为 45°，
所以 cosθ= cosθ1·cosθ2。
A
b B
α O
这一问题中，直线 a 和 b 可以是相交直线，也可以是异面直线。我们不妨把 θ1 叫 做线面角，θ 叫做线线角，θ2 叫做线影角。很明显，线线角是这三个角中最大的一个 角。我们可以利用这个模型来求两条异面直线 a 和 b 所成的角，即引理中的角 θ。从引 理中可以看出，我们需要过 a 的一个平面 α，以及该平面的一条斜线 b 以及 b 在 α 内 的射影。
个向量两两之间的夹角是已知的），空间中任何一个向量都可以用这三个向量的线性组合
表示出来，因而也可以运用向量的数乘来求出空间中任意二个向量间的夹角。
例 2：已知空间四边形 ABCD 中，AB=BC=CD=DA=AC=BD=a，M、N 分别为 BC
和 AD 的中点，设 AM 和 CN 所成的角为 α，求 cosα 的值。
异面直线所成角的几种求法
异面直线所成角的大小，是由空间一点分别引它们的平行线所成的锐角（或直角） 来定义的。因此，通常我们要求异面直线所成的角会要求学生通过平移直线，形成角， 然后在某个三角形中求出角的方法来得到异面直线所成角的大小。在这一方法中，平移 直线是求异面直线所成角的关键，而如何平移直线要求学生有良好的空间观和作图能力。
解：取 AC 上点 G，使 AG：GC=1：2。连结 EG、FG，
异面直线所成角的求解方法
异面直线所成角的求解方法
向量相交所产生的两个平面夹角，可以用叉乘来求解，结果可以用两种方式计算：第一种求解方法：
假定两个向量u和v 是两个不同的平面所给定的向量，它们可以表示为：
u= (u1, u2, u3)
叉乘满足：u X v = (u2v3-u3v2, u3v1 - u1v3, u1v2 - u2v1)
使用叉乘向量的结果，可以计算出 u 与 v 的夹角为：
β =arccos[(u X v) / (|u|*|V|)]
其中，|u| 与|v| 分别为u 向量与v 向量的模。
可以利用两个向量的内积来求夹角。
内积的运算公式为：
总的来说，利用叉乘或内积来计算两条直线所成的角度，可以将求解过程简化，并让求解结果更加准确。
最后要注意的是，当实际求解时，应先把两个向量方向向量化，然后用叉乘或内积公式计算夹角，以便得出精确的解决方案。
SXB186高考数学必修_异面直线所成角的求法
异面直线所成角的求法两条异面直线所成的角是每年高考必考内容，要求牢固掌握两异面直线所成的角的定义、范围、作法及其求解，两异面直线所成的角是刻画两异面直线相对位置的量，定义是通过转化两相交直线所成的角来解决的，这也是立体几何的传统解法，我们学习了空间向量后，还可以用向量的方法解决。
一． 传统求法--------找、作、证、求解求两异面直线所成的角，关键是作出此角，传统上一般最常用的方法是平移法---------将其中一条平移到与另一条直线共面且相交，则此夹角就是两异面直线所成的角，用此该法一般可以从多方法，多角度思考，这样对我们解决异面直线所成的角大有裨益。
例1 设空间四边形ABCD ，E 、F 、G 、H 分别是AC 、BC 、DB 、DA 的中点，若AB ＝122，CD ＝4 2，且四边形EFGH 的面积为12 3，求AB 和CD 所成的角.解 由三角形中位线的性质知，H G∥AB，HE∥CD，∴ ∠EHG就是异面直线AB 和CD 所成的角.∵ EFGH 是平行四边形，HG ＝21 AB ＝62， HE ＝21 ，CD ＝23， ∴ S EFGH ＝HG·HE·sin∠EHG＝126 sin∠EHG, ∴ 12 6sin∠EHG＝123.∴ s in∠E HG ＝22,故∠EHG＝45°. ∴ AB 和CD 所成的角为45°总结与提高：作出的角可能是异面直线所成的角，也可能是它的邻补角，在直观图中无法判定，只有通过解三角形后，根据这个角的余弦的正、负值来判定这个角是锐角（也就是异面直线所成的角）或钝角（异面直线所成的角的邻补角）。
最后作答时，这个角的余弦值必须为正。
二． 利用两个向量的夹角公式（<,cos ），可以求空间两条直线所成的角。
1. 建基向量法在已知图形中选定一个基底, 把所求向量转化为基向量来表示并计算数量积与模。
例2． 如图，三棱柱AOB —A 1O 1B 1中，面OBB 1O 1⊥面AOB ，H G F E D C B A∠O 1OB = 600，∠AOB = 900且 OB = OO 1 = 2，OA = 3，求异面直线A 1B 与AO 1所成角的大小． 分析：由条件可得OA ⊥OB ， OA ⊥O 1O ，再结合 题干可知共点于O 的三条线段OA 、OB 、OO 1的长度已知， 且两两夹角已知，故可选择以{}1,,OO OB OA 为基底来解决 异面直线A 1B 与AO 1所成角的大小，关键是把所求异面直线上的两个方向向量B A 1，1AO 都表示成基向量的形式． 解： ∵ 面OBB 1O 1⊥面AOB ，OA ⊂面AOB ，面OBB 1O 1∩面AOB=OB ，且OA ⊥OB ， ∴ OA⊥面OBB 1O 1 ， ∴ OA ⊥OO 1 ，即∠AOB = 900，∠AOO 1= 900，因此，选择一组基向量{}1,,OO OB OA ，则 OA OO AO -=11， 11OO OA OB B A --=， ∴ 790cos 322342012211=⨯⨯-+=•-+=OA OO OA OO AO ，同理 72221121221=•+•-•-++=OO OA OA OB OB OO OO OA OB B A ，又 12211111OO OA OA OB OA OO OA OO OB OO B A AO •++•--•-•=• 190cos 23390cos 23490cos 3260cos 220000=⨯++⨯--⨯-⨯=设异面直线A 1B 与AO 1所成的角为θ，则71,cos cos 111111=••=><=B A AO BA AOB A AO θ， 所以 71arccos =θ 总结与提高：关键是要找到一组能确定基向量夹角和模的基底。
高中数学：异面直线所成的角求法(汇总大全)
异面直线所成的角一、平移法：常见三种平移方法：直接平移：中位线平移（尤其是图中出现了中点）：补形平移法：“补形法”是立体几何中一种常见的方法，通过补形，可将问题转化为易于研究的几何体来处理，利用“补形法”找两异面直线所成的角也是常用的方法之一。
直角平移法：1．在空间四边形ABCD 中，AD ＝BC ＝2，E ，F 分别为AB 、CD 的中点，EF ＝3，求AD 、BC 所成角的大小．解：设BD 的中点G ，连接FG ，EG 。
在△EFG 中 EF ＝3FG ＝EG ＝1∴∠EGF ＝120° ∴AD 与BC 成60°的角。
2．正∆ABC 的边长为a ，S 为∆ABC 所在平面外的一点，SA ＝SB ＝SC ＝a ，E ，F 分别是SC和AB 的中点．求异面直线SA 和EF 所成角． 正确答案：45°3．S 是正三角形ABC 所在平面外的一点，如图SA ＝SB ＝SC ，且∠ASB ＝∠BSC ＝∠CSA＝2π，M 、N 分别是AB 和SC 的中点．求异面直线SM 与BN 所成的角的余弦值． 证明：连结CM ，设Q 为CM 的中点，连结QN ，则QN ∥SM∴∠QNB 是SM 与BN 所成的角或其补角 连结BQ ，设SC ＝a ，在△BQN 中 BN ＝a 25 NQ ＝21SM ＝42a BQ ＝a 414∴COS ∠QNB ＝5102222=⋅-+NQ BN BQ NQ BN4．如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠BCA ＝90°，M 、N 分别是A 1B 1和A 1C 1的中点，若BC ＝CA ＝CC 1，求BM 与AN 所成的角．解：连接MN ，作NG ∥BM 交BC 于G ，连接AG ， 易证∠GNA 是BM 与AN 所成的角．设：BC ＝CA ＝CC 1＝2，则AG ＝AN ＝5，GN ＝BM ＝6， cos ∠GNA ＝1030562556=⨯⨯-+。
如何求异面直线所成的角
如何求异面直线所成的角立体几何在中学数学中有着重要的地位，求异面直线所成的角是其中重的内容之一，也是高考的热点，求异面直线所成的角常分为三个步骤：作→证→求。
其中“作”是关键，那么如何作两条异面直线所成的角呢本文就如何求异面直线所成的角提出了最常见的几种处理方法。
Ⅰ、用平移法作两条异面直线所成的角一、端点平移法例1、在直三棱柱111C B A ABC -中，090CBA ∠=,点D ,F 分别是11A C ,11A B 的中点，若1AB BC CC ==,求CD 与AF 所成的角的余弦值。
解：取BC 的中点E ，连结EF ，DF ，//DF EC 且DF EC =∴四边形DFEC 为平行四边形//EF DC ∴EFA ∴∠（或它的补角）为CD 与AF 所成的角。
设2AB =,则EF =AF =EA =故2222EF FA EA EFA EF FA +-∠==arccos10EFA ∴∠=二、中点平移法例2、在正四面体ABCD 中, M ,N 分别是BC ,AD 的中点，求AM 与CN 所成的角的余弦值。
解：连结MD ，取MD 的中点O ，连结NO ，1O 、N 分别MD 、AD 为的中点，∴NO 为DAM ∆的中位线， ∴//NO AM ，ONC ∴∠（或它的补角）为AM 与CN 所成的角。
设正四面体ABCD 的棱长为2，则有2NO =，CN =2CO =, 故2222cos 23NO CN CO ONC NO CN +-∠== 2arccos 3ONC ∴∠=三、特殊点平移法例3、如图，在空间四边形ABCD 中，点E 、F 分别是BC 、AD 上的点，已知4AB =，20CD =，7EF =，13AF BE FD EC ==，求异面直线AB 与CD 所成的角。
解：在BD 上取一点G ，使得13BG GD =，连结EG FG 、，在BCD ∆中，13BE BG EC GD ==，故//EG CD ，同理可证：//FG ABFGE ∴∠（或它的补角）为AB 与CD 所成的角。
异面直线所成角求解方法：平面投影与夹角计算
异面直线所成角求解方法：平面投影与夹角计算
在立体几何中，求解异面直线所成的角，可以采用以下步骤：
1.确定两条异面直线，并选择其中一条作为基准。
2.在这条基准直线上选择一个点，作为求解异面直线所成角的起点。
3.分别过这条基准直线上的点和另一条异面直线作平面，这两个平面会相交
于一条直线。
4.计算这条交线与基准直线的夹角，即为异面直线所成的角。
具体来说，假设两条异面直线分别为$l_1$和$l_2$，其中$l_1$为基准直线，点$P$在$l_1$上，过点$P$和$l_2$作平面$\alpha$和$\beta$，两平面相交于直线$m$。
由于$m$与$l_1$的夹角是异面直线$l_1$和$l_2$所成的角，记作$\angle l_1 m l_2$。
为了求解$\angle l_1 m l_2$，可以在平面$\alpha$上过点$P$作直线$n \parallel l_2$，交直线$m$于点$Q$。
由于$\angle l_1 PQ$是两平面$\alpha$和$\beta$的夹角，也是直线$l_1$和直线$m$的夹角，记作$\angle l_1 m l_2'$。
因此，异面直线所成的角$\angle l_1 m l_2 = \angle l_1 m l_2'$。
通过以上步骤，我们可以求解出异面直线所成的角。
异面角的知识点总结
异面角的知识点总结
异面直线所成的角的方法归纳
(1）求异面直线所成角的思路是:通过平移把空间两异面直线转化为同一平面内的相交直线，进而利用平面几何知识（余弦定理、正弦定理、射线定理( cos0 =cos6, cos0,))求解，整个求解过程可概括为:一找二证三求。
(2）求异面直线所成角的步骤:
①选择适当的点，平移异面直线中的一条或两条成为相交直线，这里的点通常选择特殊位置斩点。
②求相交直线所成的角，通常是在相应的三角形中进行计算。
③因为异面直线所成的角0的范围是0°<0≤90°，所以在三角形中求的角为钝角时，应取它的补角作为异面直线所成的角。
3、“补形法”是立体几何中一种常见的方法，通过补形，可将问题转化为易于研究的几何体来处理，利用“补形法”找两异面直线所成的角也是常用的方法之一。
4、利用向量，设而不找，对于规则几何体中求异面直线所成的角也是常用的方法之一。
方法总结:直接平移法、中位线平移、补形平移法、向量法
总之，异面直线所成的角是立体几何中的重要概念，也是我们学习的第一个空间角，它的求法体现了立体几何将空间图形问题化归为平面图形问题的基本思想。
异面角的常见求法
（1）那些棱所在的直线与直线 是异面直线？
（2）求 与 夹角的度数．
（3）那些棱所在的直线与直线 垂直？
解：（1）由异面直线的判定方法可知，
与直线 成异面直线的有直线 ，
（2）由 ，可知 等于异面直线 与 的夹角，
所以异面直线 与 的夹角为 ．
（3）直线 与直线 都垂直。
例3．空间四边形 中， ， 分别是 的中点， ，
∴GM∥BN，且GM＝BN．
∴BNMG为平行四边形，∴MN//BG
∵A的射影为B．
∴AB⊥面BCDE．
∴∠BEA＝∠BAE＝45°，
又∵G为中点，∴BG⊥AE．
即MN⊥AE．
∴MN与AE所成角的大小等于90度．
故填90°．
三、平移(或构造)几何体
有些问题中，整体构造或平移几何体，能简化解题过程.
例3(2005年全国高考天津卷)如图， 平面 ， 且 ，则异面直线PB与AC所成角的正切值等于_____．
在长方体ABCD—A1B1C1D1的面BC1上补上一个同样大小的长方体，将AC平移到BE，则∠D1BE或其补角就是异面直线A1C1与BD1所成的角，在△BD1E中，BD1=3， ，
所以异面直线A1C1与BD1所成的角为
图2
解法3：利用公式
设OA是平面α的一条斜线，OB是OA在α内的射影，OC是平面α内过O的任意一条直线，设OA与OC、OA与OB、OB与OC所成的角分别是 、 1、 2，则 （注：在上述题设条件中，把平面α内的OC换成平面α内不经过O点的任意一条直线，则上述结论同样成立）D1B在平面ABCD内射影是BD，AC看作是底面ABCD内不经过B点的一条直线，BD与AC所成的角为∠AOD，D1B与BD所成角为∠D1BD，设D1B与AC所成角为 ， ， 。
立体几何_异面直线成角求法
构造异面直线所成角的几种方法异面直线所成角的大小，是由空间任意一点分别引它们的平行线所成的锐角（或直角）来定义的．准确选定角的顶点，平移直线构造三角形是解题的重要环节．本文举例归纳几种方法如下，供参考．一、抓异面直线上的已知点过一条异面直线上的已知点，引另一条直线的平行线(或作一直线并证明与另一直线平行)，往往可以作为构造异面直线所成角的试探目标．例1(2005年全国高考福建卷)如图，长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AA 1=AB =2，AD =1，点E 、F 、G 分别是DD 1、AB 、CC 1的中点，则异面直线A 1E 与GF 所成的角是（ ）A ．515arccosB ．4πC ．510arccos D ．2π解：连B 1G ，则A 1E ∥B 1G ，知∠B 1G F 就是异面直线A 1E 与GF 所成的角．在△B 1GF 中，由余弦定理，得 cos B 1GF＝2222221112B GG FB FB G G F+-+-=∙＝0，故∠B 1G F ＝90°，应选(D)．评注：本题是过异面直线FG 上的一点G ，作B 1G ，则A 1E ∥B 1G ，知∠B 1G F 就是所求的角，从而纳入三角形中解决．二、抓异面直线(或空间图形)上的特殊点考察异面直线上的已知点不凑效时，抓住特殊点(特别是中点)构造异面直线所成角是一条有效的途径.例2(2005年全国高考浙江卷)设M 、N 是直角梯形ABCD 两腰的中点，DE ⊥AB 于E (如图)．现将△ADE 沿DE 折起，使二面角A －DE －B 为45°，此时点A 在平面BCDE 内的射影恰为点B ，则M 、N 的连线与AE 所成角的大小等于_________．图1BCE图21A 1B 1C 1D ACDE FG解：取AE 中点G, 连结GM 、BG ∵GM ∥ED ，BN ∥ED ，GM ＝21ED ，BN ＝21ED ．∴ GM ∥BN ，且GM ＝BN ． ∴BNMG 为平行四边形，∴MN//BG ∵A 的射影为B ． ∴AB ⊥面BCDE ． ∴∠BEA ＝∠BAE ＝45°， 又∵G 为中点，∴BG ⊥AE ． 即MN ⊥AE ．∴MN 与AE 所成角的大小等于90度． 故填90°．三、平移(或构造)几何体有些问题中，整体构造或平移几何体，能简化解题过程. 例3(2005年全国高考天津卷)如图，P A ⊥平面A B C，90A C B ∠=︒且P A A C B C a===，则异面直线PB 与AC 所成角的正切值等于_____．解：将此多面体补成正方体'''D B C A D B C P -，P B 与A C 所成的角的大小即此正方体主对角线P B 与棱B D 所成角的大小，在Rt △PDB 中，即ta n P D D B A D B∠==．点评：本题是将三棱柱补成正方体'''D B C A D B C P -，从而将问题简化．异面直线练习一、选择题 1．分别和两条异面直线都相交的两条直线一定是 （ ） （A ）不平行的直线 （B ）不相交的直线（C ）相交直线或平行直线 （D ）既不相交又不平行直线2．已知EF 是异面直线a 、b 的共垂线，直线l ∥EF ，则l 与a 、b 交点的个数为 （ ） （A ）0 （B ）1 （C ）0或1 （D ）0，1或2 3．两条异面直线的距离是 （ ） （A ）和两条异面直线都垂直相交的直线 （B ）和两条异面直线都垂直的直线 （C ）它们的公垂线夹在垂足间的线段的长 （D ）两条直线上任意两点间的距离4．设a, b, c 是空间的三条直线，下面给出三个命题：① 如果a, b 是异面直线，b, c 是异面1D 1B 1C PDBCAPBCAA B C SE F ABC D D 1 C 1B 1 A 1 M N N MFE DCB A J IHG F ED C B A B A C DA F EPC BA 直线，则a, c 是异面直线；② 如果a, b 相交，b, c 也相交，则a, c 相交；③ 如果a, b 共面，b, c 也共面，则a, c 共面．上述命题中，真命题的个数是 （ ） （A ）3个 （B ）2个 （C ）1个 （D ）0个5．异面直线a 、b 成60°，直线c ⊥a ，则直线b 与c 所成的角的范围为 （ ）（A ）[30°，90°] （B ）[60°，90°] （C ）[30°，60°] （D ）[60°，120°] 6．如图:正四面体S －ABC 中，如果E ，F 分别是SC ，AB 的中点，那么异面直线EF 与SA 所成的角等于 （ ） （A ）90°（B ）45°（C ）60°（D ）30° 7．在棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 和N 分别为A 1B 1和的 中点，那么直线AM 与CN 所成角的余弦值是 （ ） （A ）23（B ）1010（C ）53（D ）548．右图是正方体的平面展开图，在这个正方体中，① BM 与ED 平行； ②CN 与BE 是异面直线； ②③CN 与BM 成 60角；④DM 与BN 垂直．以上四个命题中，正确命题的序号是 （ ） （A ）①②③ （B ）②④ （C ）③④ （D ）②③④9．梯形ABCD 中AB//CD ，AB ⊂平面α，CD ⊄平面α，则直线CD 与平面α内的直线的位置关系只能是 （ ） （A ）平行 （B ）平行和异面 （C ）平行和相交 （D ）异面和相交10．在空间四边形ABCD 中，E 、F 分别为AB 、AD 上的点，且AE ：EF ＝AF ：FD＝1 ：4，又H 、G 分别为BC 、CD 的中点，则 （ ） （A ）BD//平面EFGH 且EFGH 是矩形 （B ）EF//平面BCD 且EFGH 是梯形（C ）HG//平面ABD 且EFGH 是菱形 （D ）HE//平面ADC 且EFGH 是平行四边形 二、填空题11．如图，在正三角形ABC 中，D 、E 、F 分别为各边的中点，G ，H ，I ，J 分别为AF ，AD ，BE ，DE 的中点，将△ABC 沿 DE ，EF ，DF 折成三棱锥以后，GH 与IJ 所成角的度数为 ．12．在四面体ABCD 中，若AC 与BD 成60°角，且AC ＝BD ＝a ，则连接AB 、BC 、CD 、DA 的中点的四边形面积为 ．13．在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝3，AA 1＝4，则异面直线AB 1与 A 1D 所成的角的余弦值为 ．14．把边长为a 的正方形ABCD 沿对角线BD 折起，使A 、C 的距离等于a ，如图所示，则异面直线AC 和BD 的距离为 ． 三、解答题15．已知AB 、BC 、CD 为不在同一平面内的三条线段，AB ，BC ，CD 的中点P 、Q 、R 满足PQ ＝2，QRPR ＝3，求AC 与BD 所成的角．16．已知P 为△ABC 所在平面外的一点，PC ⊥AB ，PC ＝AB＝2，E 、F 分别为PA 和BC 的中点．NMD CBA D CB A P QD 1C 1B 1A 1（1）求证：EF 与PC 是异面直线； （2）EF 与PC 所成的角； （3）线段EF 的长．17．如图，AB 和CD 是两异面直线，BD 是它们的公垂线，AB ＝CD ，M 是BD 的中点，N 是AC 的中点．（1）求证：MN ⊥AC ； （2）当AB ＝CD ＝a ，BD ＝b ，AC ＝c 时，求MN 的长．18．（如图）已知P 、Q 是棱长为a 的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的面AA 1D 1D 和A 1B 1C 1D 1的中心． （1）求线段PQ 的长； （2）证明：PQ ∥AA 1B 1B ．§1 异面直线一、复习要点1．本节内容要点为：异面直线的定义和判定，异面直线所成的角，异面直线的距离． 2．异面直线的定义和判定及异面直线所成的角是频考点，也是本节的重点．3．要把“不同在任何一个平面内的两条直线”和“分别在两个平面内的两条直线”的含义区别开，后者不一定是异面直线．4．在进一步复习理解异面直线的同时，要注意把这部分内容和平面联系在一起，即和线面、面面平行与垂直的判定联系在一起，以便开阔思路，使解题方法更具灵活性． 5．对异面直线所成的角，要注意：①深刻理解异面直线所成的角的概念，领悟其所渗透的“空间向平面转化”的思想； ②异面直线所成角的范围为0°＜θ≤90°，故有时平移后需求其补角；③解题时，应首先考虑两条异面直线是否互相垂直，可由三垂线定理及其逆定理或线面垂直来完成； ④应熟练掌握“平移”这个通法，平移的途径有取中点、作平行线、补体（形）等；⑤理科学生应会用反三角函数表示异面直线所成的角．6．高考求异面直线的距离仅限于给出公垂线的情形．例见1999年高考立体几何解答题的第2问．二、例题讲解例1 已知ａ、ｂ、ｃ是两两异面的三条直线，且ａ⊥ｂ，ｄ是ａ、ｂ的公垂线．若ｃ⊥ａ，那么ｃ与ｄ有何位置关系?并说明理由．讲解：构造恰当的几何体是判断空间诸条直线位置关系的最佳思维选择，因为几何体具有直观和易于判断之优点．根据本题的特点，可考虑构造正方体．构造正方体ＡＢＣＤ-Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１，如图7-1所示，因为AB与CC１异面且垂直，BC是它们的公垂线，所以可记ＡＢ、ＣＣ１、ＢＣ分别为ａ、ｂ、ｄ．图7-1因为ｃ与ａ、ｂ均异面，且ｃ⊥ａ，注意到ａ⊥侧面ＡＤＤ１Ａ１，因此侧面ＡＤＤ１Ａ１内的任一直线均与ａ垂直．从图中可以看出，侧面ＡＤＤ１Ａ１内的Ａ１Ｄ１和Ａ１Ｄ均与ａ、ｂ异面，且均与ａ垂直，所以可记Ａ１Ｄ１或Ａ１Ｄ为ｃ．此时由Ａ１Ｄ１∥Ｂ１Ｃ１∥ＢＣ知ｃ∥ｄ；由Ａ１Ｄ与BC异面知ｃ与ｄ为异面直线．综上可知ｃ与ｄ平行或异面．正方体是一个很简单且很重要的几何模型．构造它可直观、简捷地判断线线、线面关系，特别是有关异面直线的问题易于解决．下面一组题目供读者思考练习：（1）无论怎样选择平面，两条异面直线在该平面内的射影都不可能是（）．A．两条平行直线B．两条相交直线C．一条直线和直线外一点D．两个点（2）在空间中，记集合M={与直线l不相交的直线}，集合N={与直线l平行的直线}，则M与N的关系是（）．A．M=NB．M NC．M ND．不确定（3）a、b、c是空间中的三条直线，则下述传递关系中，为真命题的是（）．A．若a∥b,b∥c，则a∥cB．若a⊥b,b⊥c,则a⊥cC．若a与b相交，b与c相交，则a与c相交D．若a与b异面，b与c异面，则a与c异面（4）同时与两条异面直线都相交的两条直线一定不是（）．A．异面直线B．相交直线C．平行直线D．垂直直线（5）如图7-2所示，正方体ABCD-Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１中，EF是异面直线Ａ１Ｄ和AC的公垂线，则直线EF 和BＤ１的关系是（）．图7-2Ａ．异面Ｂ．平行Ｃ．相交且垂直Ｄ．相交且不垂直例2 在正三棱柱ＡＢＣ-Ａ１Ｂ１Ｃ１中，若ＡＢ＝ＢＢ１，则AB１与Ｃ１Ｂ所成的角的大小为（）．Ａ．60°Ｂ．90°Ｃ．105°Ｄ．75°讲解：根据题设作出图形（图7-3）．欲求异面直线AB１与C１Ｂ所成角的大小，需进行异面直线的平移，而平移既可在体内进行，也可通过补形（补面、补体）向体外发展．若考虑体内平移，则常常通过作出中位线达到平移目的，从而有：图7-3解法1．设ＡＢ、Ｂ１Ｂ、Ｂ１Ｃ１的中点依次为Ｐ、Ｈ、Ｆ，连结PH、ＨＦ．显然有ＰＨ∥＝（1／2）ＡＢ１，ＨＦ∥＝（1／2）Ｃ１Ｂ，则∠ＰＨＥ即为所求异面直线所成的角．连结PF，并设BB１＝1，则正三棱柱的底面边长为．易求得ＰＨ＝ＨＦ＝（／2）．取BC的中点E，连结PE、ＥＦ．易知△ＰＥＦ是Ｒｔ△．在Ｒｔ△ＰＥＦ中，求得ＰＦ２＝（3／2）．显然有ＰＨ２＋ＨＦ２＝ＰＦ２．故∠ＰＨＥ＝90°，选Ｂ．若考虑体外平移，则可通过补面或补体来实现平移．从而又有如下两种方法：解法2．如图7-4，延长AB到D，使ＢＤ＝ＡＢ，作ＤＤ１∥＝ＡＡ１，连B１Ｄ１、ＢＤ１．图7-4ＡＢ∥＝Ｂ１Ｄ１，ＡＢ１∥ＢＤ１．则∠Ｃ１ＢＤ１即为所求异面直线所成的角．易求得ＢＣ１＝ＢＤ１＝，Ｃ１Ｄ１＝2·ｓｉｎ60°＝．又∵ＢＣ１２＋ＢＤ１２＝Ｃ１Ｄ１２，∠Ｃ１ＢＤ１＝90°．解法3．可从B１作一射线与BC１平行，由于这样一条射线虽然位置确定，并在侧面BB１Ｃ１Ｃ所在平面上，但却位于已知三棱柱外面，因而无法寻求与已知条件的联系．为了解决这一难点，可在已知三棱柱的下面作一个同样的三棱柱．作直三棱柱Ａ１Ｂ１Ｃ１-Ａ２Ｂ２Ｃ２，使Ｃ１为ＣＣ２之中点（图7-5），连结Ｂ１Ｃ２、ＡＣ２，图7-5∵ＢＢ１∥＝Ｃ１Ｃ２，∴Ｃ１Ｂ∥Ｃ２Ｂ１，则∠ＡＢ１Ｃ２即为所求异面直线所成的角．易求得∠ＡＢ１Ｃ＝90°．究竟选择体内还是体外平移，应“因图而异”，总之以简洁、直观为宜．若能注意到知识间的相互渗透，本题也可通过建立直角坐标系，利用解析法求解，请读者不妨一试．例3 正四面体ABCD的棱长为a,E为CD上一点，且CE／ED＝1／2，求异面直线AE与BC间的距离．讲解：求异面直线间的距离通常有三种方法，一是定义法，二是公式法，三是转化法．这里宜用方法三．异面直线间的距离可转化为平行线面间的距离，进而可以转化为点到面的距离，再用等体积法求解．如图7-6，在面BCD内过点E作EF∥BC交BD于F．连结AF，则BC∥面AEF，所以异面直线BC与AE 间的距离就等于BC到平面AEF的距离，也就等于点B到平面AEF的距离，设其为d，连结BE，设正四面体的高为h.图7-6∵V B-AEF＝ＶＡ-ＢＥＦ，∴（1／3）S△AEF·d=（1／3）S△BEF·h，∴d=（S△BEF·h／S△AEF）.过点A作AO⊥面BCD于O，∵DE／EC＝2／1且EF∥BC，∴O必在EF上．∵h=（／3）a，易求得EF=（2／3）a，S△AEF＝（1／2）EF·AO＝（／9）a２，S△BEF＝（／18）a２，∴d=（／6）a.即异面直线AE与BC间的距离为（／6）a.用等体积法求点到面的距离，首先应构造以该点为顶点，以该平面内某个三角形为底面的三棱锥．其次求体积时，一般需换底面，换底面应本着新的底面上的高容易求出的原则．三、专题训练1．ａ、ｂ是异面直线，过不在ａ、ｂ上的任一点Ｐ，①一定可作一条直线ｌ，使ｌ与ａ、ｂ都相交；②一定可作一条直线ｌ，使ｌ与ａ、ｂ都垂直；③一定可作一条直线ｌ，使ｌ与ａ、ｂ都平行；④一定可作一条直线ｌ，使ｌ与ａ、ｂ都异面．其中正确的个数是（）．Ａ．0Ｂ．1Ｃ．2Ｄ．32．如图7-7，正三棱锥Ｖ-ＡＢＣ中，D、E、F分别是ＶＣ、ＶＡ、ＡＣ的中点，P为VB上任意一点，则直线DE与PF所成的角的大小是（）．图7-7Ａ．π／6Ｂ．π／3Ｃ．π／2Ｄ．随P点的变化而变化3．将锐角B为60°，边长为a的菱形ABCD沿对角线折成二面角θ，若θ∈［60°，120°］，则两条对角线之间的距离的最值为（）．A．d max=（3／2）a,d min=（／4）aB．d max=（3／4）a,d min=（／4）aC．d max=（／4）a,d min=（1／4）aD．d max=（／2）a,d min=（3／4）a4．图7-8是正方体的平面展开图，在这个正方体中，①ＢＭ与ED平行；②CN与BE是异面直线；③CN 与BM成60°角；④DM与BN垂直．图7-8以上四个命题中，正确命题的序号是（）．Ａ．①②③Ｂ．②④Ｃ．③④Ｄ．②③④5．如图7-9，正三棱锥S-ABC的侧棱与底面边长相等．如果E、F分别为SC、AB的中点，那么异面直线EF与SA所成的角等于____________.图7-96．空间四边形ABCD中，ＡＤ＝ＢＣ，Ｍ、Ｎ分别为AB、CD的中点，又MN和AD成30°角，则AD 和BC所成角的度数是____________．7．异面直线ａ、ｂ所成的角为θ（0＜θ＜（π／2）），Ｍ，Ｎ∈ａ，Ｍ１，Ｎ１∈ｂ，ＭＭ１⊥ｂ，ＮＮ１⊥ｂ，若ＭＮ＝ｍ，则Ｍ１Ｎ１＝____________．8．如图7-10，不共面的三条直线ａ、ｂ、ｃ相交于P，Ａ、B∈ａ，Ｃ∈ｂ，Ｄ∈c，且Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ均异于P．证明：直线AD与BC异面．图7-109．如图7-11，拼接一副三角板，使它们有公共边BC，且使两个三角板所在平面互相垂直．若∠CAB ＝90°，ＡＢ＝ＡＣ，∠ＣＢＤ＝90°，∠ＢＤＣ＝60°，求AD与BC所成的角．图7-1110．已知ａ、ｂ是两条异面直线，那么空间是否存在这样的直线ｌ，使ｌ上任意一点P到ａ、ｂ的距离都相等．若存在，给出证明，若不存在，说明理由．惠州市第一中学立体几何（异面直线）测试题一．选择题：1．直线a , b 是异面直线是指① a ∩b =∅, 且a 与b 不平行；② a ⊂面α，b ⊂面β，且平面α∩β=∅；③ a ⊂面α，b ⊂面β，且a ∩b =∅；④ 不存在平面α，能使a ⊂α且b ⊂α成立。
求异面直线所成角的基本方法
求异面直线所成角的基本方法
答案：几何法和向量法求所成角
一、几何法
1.平移法。
将两条直线或其中一条平移（找出平行线）至它们相交，把异面转化为共面，用余弦定理或正弦定理来求（一般是余弦定理）。
一般采用平行四边形或三角形中位线来构造平行线。
2.三余弦定理法。
运用三余弦定理关键是要找出一条直线a所在的平面α和另一条直线b在该平面α内的射影，求出b与α所成角以及a与b的射影b‘所成角，进而求a与b所成角。
3.三棱锥法。
三棱锥（四面体）中两条相对的棱互为异面直线，设有四面体ABCD，其中AD与BC互为异面直线，那么它们所成角θ满足以下关系：
运用该公式也可以求异面直线所成角。
二、向量法
1.向量几何法。
运用向量的加减法规则，把要求的异面直线用向量表示，并运用向量的运算法则（例如分配律、共线向量）来求出cosθ
2.向量代数法。
当容易找到三条两两垂直的直线时，可以以它们的交点为坐标轴原点建立直角坐标系，运用代数方法计算。
如何求异面直线所成的角
在高一阶段，我们常用的方法有以下三种：
（1）直接平移法：通常的思路是：在两条异面直线其中一条上面选一个端点，引另一条的平行线。
（2）中位线平移（尤其是图中出现了线段的中点时）
（3）补形平移法：“补形法”是立体几何中一种常见的方法，通过补形，可将问题转化为易于研究的几何体来处理，利用“补形法”找两异面直线所成的角也是常用的方法之一。
最新异面直线所成的角求法-总结加分析
异面直线所成的角一、平移法：常见三种平移方法：直接平移：中位线平移（尤其是图中出现了中点）：补形平移法：“补形法”是立体几何中一种常见的方法，通过补形，可将问题转化为易于研究的几何体来处理，利用“补形法”找两异面直线所成的角也是常用的方法之一。
直接平移法1．在空间四边形ABCD 中，AD ＝BC ＝2，E ，F 分别为AB 、CD 的中点，EF ＝3，求AD 、BC 所成角的大小．解：设BD 的中点G ，连接FG ，EG 。
在△EFG 中 EF ＝3FG ＝EG ＝1∴∠EGF ＝120° ∴AD 与BC 成60°的角。
2．正∆ABC 的边长为a ，S 为∆ABC 所在平面外的一点，SA ＝SB ＝SC ＝a ，E ，F 分别是SC和AB 的中点．求异面直线SA 和EF 所成角． 答案：45°3．S 是正三角形ABC 所在平面外的一点，如图SA ＝SB ＝SC ，且∠ASB ＝∠BSC ＝∠CSA＝2π，M 、N 分别是AB 和SC 的中点．求异面直线SM 与BN 所成的角的余弦值． 证明：连结CM ，设Q 为CM 的中点，连结QN 则QN ∥SM∴∠QNB 是SM 与BN 所成的角或其补角连结BQ ，设SC ＝a ，在△BQN 中 BN ＝a 25 NQ ＝21SM ＝42a BQ ＝a 414∴COS ∠QNB ＝5102222=⋅-+NQ BN BQ NQ BN4．如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠BCA ＝90°，M 、N 分别是A 1B 1和A 1C 1的中点，若BC ＝CA ＝CC 1，求BM 与AN 所成的角．解：连接MN ，作NG ∥BM 交BC 于G ，连接AG ， 易证∠GNA 就是BM 与AN 所成的角．设：BC ＝CA ＝CC 1＝2，则AG ＝AN ＝5，GN ＝BM ＝6， cos ∠GNA ＝1030562556=⨯⨯-+。
异面直线的夹角-线面角(含答案)
异面直线的夹角-线面角(含答案)空间角1、异面直线所成角的求法一是几何法，二是向量法。
异面直线所成的角的范围：]2,0(π几何法求异面直线所成角的思路是：通过平移把空间两异面直线转化为同一平面内的相交直线，进而利用平面几何知识求解。
基本思路是选择合适的点，平移异面直线中的一条或两条成为相交直线，这里的点通常选择特殊位置的点。
常见三种平移方法：直接平移：中位线平移（尤其是图中出现了中点）：补形平移法：“补形法”是立体几何中一种常见的方法，通过补形，可将问题转化为易于研究的几何体来处理，利用“补形法”找两异面直线所成的角也是常用的方法之一。
例1在正方体ABCD A B C D ''''-中，E 是AB 的中点，（1）求BA /与CC /夹角的度数. （2）求BA /与CB /夹角的度数．(3)求A /E 与CB /夹角的余弦值．例2：长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，若AB=BC=3，AA 1=4，求异面直线B 1D 与BC 1所成角的余弦值。
直接平移：常见的利用其中一个直线a 和另一个直线b 上的一个已知点，构成一个平面，在此平面内做直线a 的平行线。
解法一：如图④，过B 1点作BE ∥BC 1交CB 的延长线于E 点。
则∠DB 1E 就是异面直线DB 1与BC 1所成角，连结DE 交AB 于M ，DE=2DM=35，cos∠DB1E=734解法二：如图⑤，在平面D1DBB1中过B点作BE∥DB1交D1B1的延长线于E，则∠C1BE就是异面直线DB1与BC1所成的角，连结C1E，在△B1C1E中，∠C1B1E=135°，C1E=35，cos∠C1BE=734170课堂思考：1.如图，PA 矩形ABCD，已知PA=AB=8，BC=10，求AD与PC所成角的余切值为。
DC1B1A1CD2.在长方体ABCD- A1B1C1D1中，若棱B B1=BC=1，AB=3，求D B和AC所成角的余弦值.例3 如图所示，长方体A1B1C1D1-ABCD中，∠ABA1=45°,∠A1AD1=60°,求异面直线A1B与AD1所成的角的度数.课堂练习如图空间四边形ABCD中，四条棱AB，BC，CD，DA及对角线AC，BD均相等，E为AD的中点，F为BC中，（1）求直线AB和CE 所成的角的余弦值。
异面直线的夹角,线面角
空间角1、异面直线所成角的求法一是几何法，二是向量法。
异面直线所成的角的范围：2,0(π几何法求异面直线所成角的思路是：通过平移把空间两异面直线转化为同一平面内的相交直线，进而利用平面几何知识求解。
基本思路是选择合适的点，平移异面直线中的一条或两条成为相交直线，这里的点通常选择特殊位置的点。
常见三种平移方法：直接平移：中位线平移（尤其是图中出现了中点）：补形平移法：“补形法”是立体几何中一种常见的方法，通过补形，可将问题转化为易于研究的几何体来处理，利用“补形法”找两异面直线所成的角也是常用的方法之一。
例1在正方体ABCD A B C D ''''-中，E 是AB 的中点，（1）求BA /与CC /夹角的度数.（2）求BA /与CB /夹角的度数．(3)求A /E 与CB /夹角的余弦值．例2：长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，若AB=BC=3，AA 1=4，求异面直线B 1D 与BC 1所成角的余弦值。
课堂思考：1.如图，PA ⊥矩形ABCD ，已知PA=AB=8，BC=10，求AD 与PC 所成角的余切值为。
2.在长方体ABCD- A 1B 1C 1D 1中，若棱B B 1=BC=1，AB=3，求D B 和AC 所成角的余弦值.A BCDDC 1CB M HS C A 例3 如图所示，长方体A 1B 1C 1D 1-ABCD 中，∠ABA 1=45°,∠A 1AD 1=60°,求异面直线A 1B 与AD 1所成的角的度数.课堂练习如图空间四边形ABCD 中，四条棱AB ，BC ，CD ，DA 及对角线AC ，BD 均相等，E 为AD 的中点，F 为BC 中，（1） 求直线AB 和CE 所成的角的余弦值。
（2） 求直线AF 和CE 所成的角的余弦值。
二、线面角1、线面角的范围：θ∈[0，π2]． 2、线面角的求法1）解决该类问题的关键是找出斜线在平面上的射影，然后将直线与平面所成的角转化为直线与直线所成的角．在某一直角三角形内求解．2）线面角的求法还可以不用做出平面角．可求出线上某点到平面的距离d ，利用sin α＝d AB可求.直接法 ：平面的斜线与斜线在平面内的射影所成的角即为直线与平面所成的角。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
异面直线所成的角的求法
法一：平移法
例1：在正方体1111ABCD A B C D -中，求下列各对异面直线所成的角。
（1）1AA 与BC ； （2）1DD 与1A B ； （3）1A B 与AC 。
法二：中位线
例2：在空间四边形ABCD 中，AB ＝CD ，且AB ⊥CD ，点M 、N 分别为BC 、AD 的中点，求直线AB 与MN 所成的角。
变式：在空间四边形ABCD 中，点M 、N 分别为BC 、AD 的中点，AB ＝CD ＝2，且MN ＝
，求直线AB 与CD 所成的角。
习题1．在空间四边形ABCD 中，AD ＝BC ＝2，E ，F 分别为AB 、CD 的中点，EF ＝3，
求AD 、BC 所成角的大小．
2．正∆ABC 的边长为a ，S 为∆ABC 所在平面外的一点，SA ＝SB ＝SC ＝a ，E ，F 分别
是SC 和AB 的中点．求异面直线SA 和EF 所成角．
3．S 是正三角形ABC 所在平面外的一点，如图SA ＝SB ＝SC ，且∠ASB ＝∠BSC ＝
∠CSA ＝
2
π，M 、N 分别是AB 和SC 的中点．求异面直线SM 与BN 所成的角的余弦值．
4．如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠BCA ＝90°，M 、N 分别是A 1B 1和A 1C 1的中点，若BC ＝CA ＝CC 1，求BM 与AN 所成的角．
5．如图1—28的正方体中，E 是A′D′的中点
(1)图中哪些棱所在的直线与直线BA′成异面直线?
(2)求直线BA′和CC′所成的角的大小；
(3)求直线AE 和CC′所成的角的正切值；
(4)求直线AE 和BA′所成的角的余弦值
B M A N
C S B ' (图1－28) A ' A B C '
D ' C D F E
法三：补形法
例3：如图，PA ⊥平面ABC ，∠ACB=90°且PA=AC=BC ，求下列各
对异面直线所成的角的正切值.（1）PB 与AC ；(2)AB 与PC 。
法四：空间向量法
例4：在正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 分别是1,BB CD 的中点，求证：1AE D F ⊥
变式1. 如图，在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是相邻两侧面BCC 1B 1及CDD 1C 1的中心。
求A 1E 和B 1F 所成的角的余弦值。
2.已知空间四边形ABCD 中，AB=BC=CD=DA=AC=BD=a ，M 、N 分别为BC 和AD 的中点，设AM 和CN 所成的角为α，求cosα的值。
B A
C
D F
E B A D C
3. 已知空间四边形ABCD 中，AB=CD=3，E 、F 分别是BC 、AD 上的点，且BE ：EC=AF ：FD=1：2，EF=7，求AB 和CD 所成的角的大小。
法五：证明垂直法
例5：在正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 分别是1,BB CD 的中点，求1AE D F 与所成的角。
变式：在长方体1111ABCD A B C D -中，E 是1BB
的中点，12,AA AB BC ===，求1AE D C 与所成的角。
利用模型求异面直线所成的角
模型：引理：已知平面α的一条斜线a 与平面α所成的角为θ1，平面α内的一条直线b 与斜线
a 所成的角为θ，与它的射影a′所成的角为θ2。
求证：cosθ= cosθ1·cosθ2。
A B C
D E F G
1.如图，MA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是正方形，且MA=AB=a ，试求异面直线MB 与AC 所成的角。
2 已知三棱柱111ABC A B C 的侧棱与底面边长都相等，1A 在底面ABC 上的射影为BC 的中点，则异面直线AB 与1CC 所成的角的余弦值为（ ）
（A ）34 （B ）54 （C ）74
(D) 34
3. 如图，在立体图形P-ABCD 中，底面ABCD 是一个直角梯形，∠BAD=90°，AD//BC ，AB=BC=a ，AD=2a ，且PA ⊥底面ABCD ，PD 与底面成30°角，AE ⊥PD 于D 。
求异面直线AE 与CD 所成的角的余弦值。
P
E
D F A
B
C B C B C A 111D
A B C D M
练习题：
1．在正四面体ABCD 中，点M 、N 分别为BC 、AD 的中点，则直线AB 与MN 所成的角为＿＿＿＿＿＿＿。
2．长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AA 1=AB =2，AD =1，点E 、F 、G 分别是DD 1、AB 、CC 1的中点，则异面直线A 1E 与GF 所成的角为＿＿＿＿＿＿＿
3.直三棱柱111ABC A B C -中，若90BAC ∠=︒，1AB AC AA ==，则异面直线1BA 与1AC 所成的角等于________________.
4. 已知正四棱柱1111ABCD A B C D -中，12AA AB =，E 为1AA 中点，
则异面直线BE 与1CD 所成的角的余弦值为________________.
5.已知正四棱锥S ABCD -的侧棱长与底面边长都相等，E 是SB 的中点，则AE SD ，所成的角的余弦值为________________.
6．如图1，P 是正方形ABCD 所在平面外一点，PD ⊥平面ABCD ，PD AD =，则PA 与BD 所成的角的度数为________________.
7。
设空间四边形ABCD ，E 、F 、G 、H 分别是AC 、BC 、DB 、DA 的中
点，若AB ＝122，CD ＝4 2，且四边形EFGH 的面积为12 3，
则AB 和CD 所成的角为＿＿＿＿＿＿＿.
8.如图⊥PA 平面ABCD,ABCD 为正方形，且PA=AB,M 、N 分别
为PB 、CD 的中点，求 （1）PA 与CD 所成的角；
（2）PD 与BC 所成的角；
（3）PD 与AC 所成的角；
（4）MN 与PA 所成角的余弦值；
（5）MN 与BC 所成角的余弦值；
（6）MN 与BD 所成角的余弦值； H G
F E D C B A。