第二章4(非正弦)

2 2 2 == I 0 + I1 + I 2 + L
+ i
u
U == U 0 2 + U12 + U 2 2 + L
_
i = I 0 + ∑ I nm sin( nωt + ϕ ni )
n =1 ∞
三、平均功率
设 u = U 0 + ∑ U nm sin( nωt + ϕ nu )
n =1 ∞ 1T 1T P = ∫ p dt = ∫ ui dt = P0 + ∑ Pn T0 T0 n =1 ∞
2
2
其中: 其中:
2T an = ∫ f ( t ) cos nωtdt T0
ϕ n = arctan
an bn
2T bn = ∫ f ( t ) sin nωtdt T0
1T a0 = ∫ f ( t )dt T0
二、谐波分量
f (t ) = f (t + T ) = A 0 + A1m sin(ωt + ϕ 1 ) + A 2m sin( 2ωt + ϕ 2 ) + L
∞
(ω = 2π / T)
= A 0 + A1m sin(ωt + ϕ 1 ) + A 2m sin( 2ωt + ϕ 2 ) + L
= A 0 + ∑ A nm sin( nωt + ϕ n )
n =1
= a0 + ∑ (an cos nωt + bn sin nωt )
n =1
∞
A nm = an + bn
n =1 基波 n≥2 高次谐波
f = f1
f = 3 f1 工程计算中，只取 工程计算中，只取3~5个谐波 个谐波 f = 5 f1
归纳： 归纳： • 非正弦周期函数
直流分量 + ∑ 谐波分量
• 谐波分量的幅值和初相位决定了波形的特征
非正弦周期量的平均值、 非正弦周期量的平均值、有效值和平均功率
iR = i1 － i2 = 3 + 2 sin ωt + 2 sin 3ωt A IR = UR =
32 + ( 2 / 2 )2 + ( 2 / 2 )2 13 V = 13 A
i1
uR i 2
§2.7.5
阶跃电压电流激励下的电路问题
一、 阶跃激励的形成
u( t ) = Uε ( t - t0 )
= U 0 I 0 + ∑ U n I n cos ϕ n
n =1
∞
(ϕ n = ϕ nu − ϕ ni )
例1：某非正弦交流电路的电压、电流为 ：某非正弦交流电路的电压、
u = 120 + 100 2 sin ωt + 30 2 sin ( 3ωt + 30° ) V i = 13.9 + 10 2 sin (ωt + 30° ) +
一、平均值 二、有效值
1T 2 I= ∫ i dt == T0
∞ 1 ∞ 1T 2 2 2 ∫ [I 0 + ∑ I nm sin( nωt + ϕ n ) ] dt == I 0 + ∑ I nm 2 n =1 T0 n =1
Leabharlann Baidu
I av
1T = ∫ i ( t )dt T0
U av
1T = ∫ u( t )dt T0
§2.7.4
非正弦周期电压电流激励下的电路
U R ， IR R、L、C电路 、
恒定 纯电阻电路R
f (t ) = f (t + T )
X(t)
响应
R、L、C电路 、 Y(t)
?
问题 • 自控和计算机使用的脉冲信号 • 电子电路中（非线性元件）产生的响应（整流） 电子电路中（非线性元件）产生的响应（整流） 方法
u u U t 0
t0 > 0
t = t0
+ − U
+ u −
U
0 t0 = 0
t
二、阶跃激励的描述
1, 当t ≥ 0 单位阶跃函数 ε ( t ) = 0, 当t < 0
三、分析方法 分解 傅里叶积分 非周期信号 拉普拉斯变换
u( t ) = Uε ( t )
连续的谐波分量 转换 复数域
f (t ) = f (t + T )
分解
X ( t ) = f1 ( t ) + f 2 ( t ) + L + f n ( t ) + L
Y (t ) = Y1 ( t ) +Y2 ( t ) + … + Yn (t ) +…
利用叠加原理得： 利用叠加原理得：
傅里叶级数及谐波 一、傅氏级数
f (t ) = f (t + T )
试求： 试求：1、电压、电流的有效值 U、I 电压、 2、谐波的功率 P 解： 1、电压有效值 U == U 0 2 + U12 + U 2 2 + L = 1202 + 1002 + 302 = 25300 = 159.06 V 电流有效值I == I 0 2 + I12 + I 2 2 + L = 13.92 + 102 + 3 = 2、谐波的功率 P = U 0 I 0 + ∑ U n I n cos ϕ n
n =1 ∞
6 sin ( 3ωt - 30° ) V
296.21 = 17.21 A = P0+ P1+ P2
= 120×13.9 + 100×10 cos (-30°) + 30× 3 cos 60° = 1668 + 866.02 + 25.95 = 2559.96 W
例2：电路图中，电流 i1 = 3 + 5 sin ωt A， i2 = 3 sin ωt － 2 sin 3ωt A， ：电路图中， ， ， 的有效值为( 则 1Ω 电阻两端电压 uR 的有效值为 )