专题：构造法求数列通项
(完整版)用构造法求数列的通项公式汇总
用构造法求数列的通项公式上海外国语大学嘉定外国语实验学校 徐红洁在高中数学教材中，有很多已知等差数列的首项、公比或公差(或者通过计算可以求出数列的首项,公比),来求数列的通项公式。
但实际上有些数列并不是等差、等比数列,给出数列的首项和递推公式,要求出数列的通项公式。
而这些题目往往可以用构造法，根据递推公式构造出一个新数列，从而间接地求出原数列的通项公式。
对于不同的递推公式，我们当然可以采用不同的方法构造不同的类型的新数列。
下面给出几种我们常见的构造新数列的方法：一．利用倒数关系构造数列。
例如：中，若求a n }{n a 数列),(411,211N n a a a nn ∈+==++4,n n nn b b a b ==+1,1则设即＝４，n n b b -+1｝是等差数列。
n b {∴可以通过等差数列的通项公式求出,然再求后数列{ a n }的通项。
n b 练习：1)数列{ a n }中，a n ≠0，且满足求a n),(,311,2111N n a a a nn ∈+==+2)数列{ a n }中，求a n 通项公式。
,22,111+==+n nn a a a a 3)数列{ a n }中,求a n .),,2(02,0,1111N n n a a a a a a n n n n n ∈≥=-⋅+≠=--且二．构造形如的数列。
2n n a b =例：正数数列{ a n }中，若n n n a N n a a a 求),(4,52211∈-==+ 解：设4,4,112-=--==++n n n n n n b b b b a b 即则),71(,429429429)4()1(25254}{2211N n n n a na n nb a b b n n n n ∈≤≤-=∴-=-=-⋅-+=∴==-即，是等差数列，公差是数列练习：已知正数数列{ a n }中，,),2(2,211N n n a a a n n ∈≥==-求数列{ a n }的通项公式。
构造法求数列通项公式典型例题解析
构造法求数列通项公式典型例题解析构造法是一种求解数列通项公式的有效方法，也是数学中最具有挑战性的问题之一。
在广泛的数学研究和应用中，构造法往往可以解决复杂的问题，为我们提供求解给定数列的通项公式的有效方法。
本文将从构造法的基本定义和思想出发，通过一系列典型例题，详细解析构造法求解数列通项公式的基本原理和方法，以期更深入地理解构造法求数列通项公式的实际应用。
首先，构造法是什么？构造法是一种求解数列通项公式的策略，它以建立数列通项公式为目标，通过构造一个符合一定规律的数列来解决问题。
根据构造法的思想，我们可以确定以下步骤：首先，确定数列的个数和元素的值；其次，当确定了数列的个数和元素的值后，还需要确定数列的规律；最后，根据上述步骤，数列的规律和期望求解结果，最终确定数列通项公式。
构造法求解数列通项公式的典型例题，将从比较简单的例题开始介绍：例题1：已知数列{an}的通项公式为：an=3n-2，求数列{an}的前5项。
解：数列{an}的前5项为a1=3×1-2=1，a2=3×2-2=4，a3=3×3-2=7，a4=3×4-2=10，a5=3×5-2=13。
例题2：已知数列{bn}的前4项为：b1=2，b2=10，b3=26，b4=50，求数列{bn}的通项公式。
解：根据数列{bn}的前4项值，构造出以下数列：2，8，16，24，…，由此可得出bn=2n×4，即数列{bn}的通项公式为bn=2n×4。
例题3：已知数列{cn}的前3项为：c1=3，c2=12，c3=27，求数列{cn}的通项公式。
解：根据数列{cn}的前3项值，构造出以下数列：9，9，18，27，…，故数列{cn}的通项公式为cn=3n2-2n，即cn=3n2-2n。
以上就是构造法求解数列通项公式的三个典型例题及其解析，可以看出，构造法是一种有效的求解数列通项公式的方法。
(完整版)数列通项公式常用求法及构造法
数列通项公式的常用求法构造法求数列通项公式一、构造等差数列求数列通项公式运用乘、除、去分母、添项、去项、取对数、待定系数等方法，将递推公式变形成为(1)()f n f n +-=A （其中A 为常数）形式，根据等差数列的定义知)(n f 是等差数列，根据等差数列的通项公式，先求出)(n f 的通项公式，再根据)(n f 与n a ，从而求出n a 的通项公式。
例1 在数列{}n a 中，1a =12，133n n n a a a +=+（n N +∈），求数列{}n a 通项公式.解析：由313n n a n a a ++=得，a n+1 a n =3 a n+1-3 a n =0，两边同除以a n+1 a n 得，=-+n n a a 11131，设b n =n a 1，则b n+1- b n =31，根据等差数列的定义知， 数列｛b n ｝是首项b 1=2，公差d=31的等差数列，根据等差数列的通项公式得b n =2＋31（n-1）=31n ＋35∴数列通项公式为a n =53+n例2 在数列｛a n ｝中，S n 是其前n 项和，且S n ≠0，a 1=1，a n =1222-n n S S (n ≥2)，求S n 与a n 。
解析：当n ≥2时，a n =S n -S n-1 代入a n =1222-n n S S 得，S n -S n-1=1222-n n S S ，变形整理得S n -S n-1= S n S n-1两边除以S n S n-1得，n S 1-11-n S =2，∴｛n S 1｝是首相为1，公差为2的等差数列∴n S 1=1+2（n-1）=2n-1, ∴ S n =121-n (n ≥2),n=1也适合，∴S n =121-n (n ≥1) 当n ≥2时，a n =S n -S n-1=121-n -321-n =-38422+-n n ，n=1不满足此式， ∴a n ={21138422≥=+--n n n n二、构造等比数列求数列通项公式运用乘、除、去分母、添项、去项、取对数、待定系数等方法，将递推公式变形成为f （n+1）=Af （n ）（其中A 为非零常数）形式，根据等比数列的定义知)(n f 是等比数列，根据等比数列的通项公式，先求出)(n f 的通项公式，再根据)(n f 与n a ，从而求出n a 的通项公式。
专题04 构造法求数列通项的八种技巧(一)(解析版)
专题04构造法求数列通项的八种技巧(一)【必备知识点】◆构造一:待定系数之1n n a Aa B +=+型构造等比数列求关于1n n a Aa B +=+(其中,A B 均为常数,(1)0AB A -≠)类型的通项公式时,先把原递推公式转化为()1n n a M A a M ++=+,再利用待定系数法求出M 的值,再用换元法转化为等比数列求解.其实对于这类式子,我们只需要记住在等式两侧加上一个常数M ,构造成等比数列.常数M 的值并不需要背诵,我们可以通过待定系数法推导出来.【经典例题1】已知{}n a 满足13a =,121n n a a +=+求数列{}n a 的通项公式.【解析】根据原式,设()12n n a m a m ++=+,整理得12n n a a m +=+,题干中121n n a a +=+,根据对应项系数相等得1m =.()1121n n a a +∴+=+,令11n n b a +=+,111314b a =+=+=,所以{}1n a +是4为首项,2为公比的等比数列.即1142n n a -+=⋅,121n n a +=-.【经典例题2】已知数列{}n a 中,11a =,123n n a a +=+,求数列{}n a 的通项公式.【解析】设()12n n a t a t ++=+,整理得12n n a a t +=+,题干中123n n a a +=+,根据对应项系数相等,解得3t =,故()1323.n n a a ++=+令3n n b a =+,则1134b a =+=,且11323n n n n b a b a +++==+.所以{}n b 是4为首项,2为公比的等比数列.所以11422n n n b -+=⨯=,即12 3.n n a +=-【经典例题3】已知数列{}n a 中,11a =,134n n a a +=+,求数列{}n a 的通项公式.【解析】设13()n n a t a t ++=+,即132n n a a t +=+,题干中134n n a a +=+,根据对应项系数相等,解得2t =,故()1232.n n a a ++=+令2n n b a =+,则1123b a =+=,且11232n n n n b a b a +++==+.所以{}n b 是3为首项,3为公比的等比数列.所以1333n n n b -=⨯=,即3 2.n n a =-【练习1】数列{}n a 中,1321,2n n a a a +=-=,设其前n 项和为n S ,则6()S =A.874B.634C.15D.27【答案】A 【解析】1321,2n n a a a +=-= ,可得2221a =-,解得232a =,同理可得:154a =变形为()111121,14n n a a a +-=--=.∴数列{}1n a -为等比数列,首项为14,公比为2.()6136121187412, 2 1.6.4214n n n n a a S ---∴-=⨯=+∴=+=-故选:A .【练习2】已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,若323n n S a n =-,则2018()a =A.201821- B.201826- C.20181722⎛⎫- ⎪⎝⎭D.201811033⎛⎫-⎪⎝⎭【答案】A 【解析】数列{}n a 的前n 项和为n S ,()1111323,23,3n n S a n a S a =-∴==-解得13a =-,()()111123, (1), 2 , 233, 33n n n n S a n n S a n --=-=-+ (2),(1) (2),-得122133n n n a a a -=--,11123,2, 1n n n n a a a a --+∴=--∴=-+112a +=- ,{}1n a ∴+是以2-为首项,以2-为公比的等比数列,1(2),(2)1, n n n n a a ∴+=-∴=--201820182018(2)121a ∴=--=-.故选:A .【练习3】在数列{}n a 中,112,21n n a a a +==+,则5a =_______.【答案】47【解析】数列{}n a 中,112,21n n a a a +==+,变形为:()1121n n a a ++=+,113a +=,∴数列{}1n a +为等比数列,首项为3,公比为2,1132n n a -∴+=⨯,即1321n n a -=⨯-则4532147a =⨯-=.故答案为:47.【练习4】已知数列{}n a 满足113,21n n a a a +==+,则数列{}n a 的通项公式n a =______.【答案】21n n a =-【解析】()(){}*1121,121,1n n n n n a a n a a a ++=+∈∴+=+∴+N 是以112a +=为首项,2为公比的等比数列.12nn a ∴+=,故21nn a =-.【练习5】已知数列{}n a 的首项12a =,且()*11122n n a a n +=+∈N ,则数列11n a ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭的前10项的和为______.【答案】1023【解析】数列{}n a 的首项12a =,且111(*)22n n a a n N +=+∈,则:()()11112n n a a +-=-,整理得:11112n n a a +-=-(常数),所以：数列{}1n a -是以11211a -=-=为首项,12为公比的等比数列,所以:1111*2n n a -⎛⎫-= ⎪⎝⎭,当1n =时,符合通项.故：1121n n a -=-,所以:01212222n n S -=++++ 21n =-所以：101021102411023S =-=-=.【练习6】已知数列{}n a 中,111,32n n a a a +==+,则n a =_______.【答案】1231n n a -=⨯-【解析】因为132n n a a +=+,所以()1131n n a a ++=+,因为112a +=,所以数列{}1n a +是以2为首项,以3为公比的等比数列,所以1123n n a -+=⨯,故答案为:1231n n a -=⨯-.◆构造二:待定系数之1n n a Aa Bn C +=++型构造等比数列求关于1(1,0,0)n n a Aa Bn C A C B +=++≠≠≠类型的通项公式时,与上面讲述的构造一的方法很相似,只不过等式中多了一项Bn ,在构造时我们也保持跟题干一样的结构,加一项pn 再构造等比数列就可以,即令()1(1)n n a p n q A a pn q ++++=++,然后与已知递推式各项的系数对应相等,解,p q ,从而得到{}n a pn q ++是公比为A 的等比数列.【经典例题1】设数列{}n a 满足14a =,1321(2)n n a a n n -=+-,求数列{}n a 的通项公式.【解析】将递推公式转化为[]13(1)n n a pn q a p n q -++=+-+,化简后得()13223n n a a pn q p -=++-,与原递推式比较,对应项的系数相等,得22231p q p =⎧⎨-=-⎩,解得11p q =⎧⎨=⎩,令1n n b a n =++,则13n n b b -=,又16b =,故16323n n n b -=⋅=⋅,1n n b a n =++,得231n n a n =⋅--.【经典例题2】已知:11a =,2n 时,11212n n a a n -=+-,求{}n a 的通项公式.【解析】设[]1111111(1),.22222n n n n a pn q a p n q a a pn p q --++=+-+=---与题干原式比较,对应项系数相等得12211122p p q ⎧-=⎪⎪⎨⎪--=-⎪⎩,解得46p q =-⎧⎨=⎩,首项146 3.a -+=所以{}46na n -+是3为首项,12为公比的等比数列.所以114632n n a n -⎛⎫-+=⋅ ⎪⎝⎭,即134 6.2n n a n -=+-【练习1】已知数列{}n a 是首项为11152,233n n a a a n +==++.(1)求{}n a 通项公式;(2)求数列{}n a 的前n 项和n S .【解析】因为(113(1)233n n a n a n +-++=-+2),且1321a -+=,所以数列{}32n a n -+是以1为首项,13为公比的等比数列,则3n a n -1123n -+=,即11323n n a n -=+-.【练习2】已知数列{}n a 和{}{},n n b a 的前n 项和n S ,对于任意的*,,n n n a S ∈N 是二次方程223x n x -+0n b =的两根.(1)求{}n a 和{}n b 通项公式;(2){}n a 的前n 项和n S .【解析】因为,n n a S 是一元二次方程223x n x -0n b +=的两个根,所以23n n n n na S n a Sb ⎧+=⎨=⎩,由n a 23n S n +=得2113(1)n n a S n +++=+,两式相减得1163n n n n a a S S n ++-+-=+,所以1n a +=11(63)22n a n ++,令1(1)n a A n B ++++=()12n a An B ++,则1111222n n a a An B +=--A -,比较以上两式的系数,得1321322A B A ⎧-=⎪⎪⎨⎪--=⎪⎩,解得69A B =-⎧⎨=⎩.所以1n a +-()16(1)9692n n a n ++=-+.又113a S +=,132a =,所以数列{}69n a n -+是以92为首项、12为公比的等比数列.所以69n a n -+=12919,69,3222n n n n n a n S n a -⎛⎫=++=-= ⎪⎝⎭293692n n n --+,所以9692n n b n ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭293692n n n ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭【练习3】设数列{}n a 是首项为11a =,满足2123(1,2,)n n a a n n n +=-+= .问是否存在,λμ,使得数列{}2nan n λμ++成等比数列?若存在,求出,λμ的值,若不存在,说明理由;【解析】依题意,令21(1)(n a n n λμ++++()21)2n a n n γλμγ++=+++所以12n na a +=22n n n λμλγλμ++-+--,即123,0λμλγλμ=-⎧⎪-=⎨⎪--=⎩解得110λμγ=-⎧⎪=⎨⎪=⎩.所以数列{}2n a n n -+是以2为公比、1111a -+=为首项等比数列.所以na 21212,2n n n n n a n n ---+==+-,即存在λ=1,1μ-=,使得数列{}2n a n n -+成等比数列.◆构造三:待定系数之1n n n a pa q +=+型构造数列求关于1nn n a pa q +=+(其中,p q 均为常数,(1)0pq p -≠)类型的通项公式时,共有3种方法.方法一:先用待定系数法把原递推公式转化为()11n n n n a q p a q λλ+++=+,根据对应项系数相等求出λ的值,再利用换元法转化为等比数列求解.方法二:先在递推公式两边同除以1n q+,得111n n n n a a p q q q q ++=⋅+,引入辅助数列{}n b (其中n b nna q=),得11n n p b b q q+=⋅+,再利用待定系数法解决；方法二:也可以在原递推公式两边同除以1n p +,得111nnn n n a a q p p p p ++⎛⎫=+⋅ ⎪⎝⎭,引入辅助数列{}n b (其中n n n a b p =),得11n n b b p +-=⋅.nq p ⎛⎫⎪⎝⎭,再利用叠加法(逐差相加法)求解.【经典例题1】已知数列{}n a 中111511,632n n n a a a ++⎛⎫==+ ⎪⎝⎭,求{}n a 的通项公式.【解析】解法一:构造数列11111232n n n n a a λλ++⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+⎢⎥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎣⎦+⎥,化简成题干结构得11111332n n n a a λ++⎛⎫=- ⎪⎝⎭,对应项系数相等得3λ=-,设123nn n b a ⎛⎫= ⎪⎝⎭-,11112233b a ⎛⎫==- ⎪⎝⎭-,所以数列{}n b 是以23-为首项,13为公比的等比数列,12133n n b -⎛⎫=- ⎪⎝⎭,所以3223n nn a =-.解法二:将111132n n n a a ++⎛⎫=+ ⎪⎝⎭两边分别除112n +⎛⎫⎪⎝⎭,也就是乘12n +,为方便计算,我们等式两边同乘12n +,得()11222 1.3n nn n a a ++⋅=⋅+令2n n n b a =⋅,则1213n n b b +=+,这又回到了构造一的方法,根据待定系数法,得()12333n n b b +-=-,所以数列{}3n b -是首项为15432363b -=⨯-=-,公比为23的等比数列.所以142333n n b -⎛⎫-=-⋅ ⎪⎝⎭即2323nn b ⎛⎫=-⋅ ⎪⎝⎭.所以32223n n n nn b a ==-.解法三:将111132n n n a a ++⎛⎫=+ ⎪⎝⎭两边分别除113n +⎛⎫⎪⎝⎭,也就是乘13n +,得1113332n n nn n a a +++⎛⎫=+⋅ ⎪⎝⎭令3n n n b a =⋅,则1132n n n b b ++⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,所以111233,22...nn n n n n b b b b ----⎛⎫⎛⎫-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，22132b b ⎛⎫-=⋅ ⎪⎝⎭将以上各式叠加,得211333222n nn b b -⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+++ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,又113b a =55331622=⨯==+,所以1213112333313222212n n n n b +-⎡⎤⎛⎫⋅-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎣⎦=+++++= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭- 13222n +⎛⎫=⋅- ⎪⎝⎭,即132 2.2n n b +⎛⎫=⋅- ⎪⎝⎭所以32323n n n n n b a ==-.【经典例题2】已知数列{}n a 满足111243,1n n n a a a -+=+⋅=-,求数列{}n a 的通项公式.【解析】解法一:设()11323n n n n a a λλ-++⋅=+⋅,待定系数法得4λ=-,则数列{}143n n a --⋅是首项为111435a --⋅=-,公比为2的等比数列,所以114352n n n a ---⋅=-⋅,即114352n n n a --=⋅-⋅.解法二:(两边同除以1n q +)两边同时除以13n +得:112243333n n n n a a ++=⋅+,下面解法略.解法三:(两边同除以1n p+)两边同时除以12n +得:1113222n n n n n a a -++⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,下面解法略.【练习1】已知数列{}n a 满足()*1111,32,nn n n nna a a a n ba ++==+∈=N .设t ∈Z ,若对于*n ∀∈N ,都有n b t >恒成立,则t 的最大值为()A.3B.4C.7D.9【答案】A 【解析】解法一：因为132n n n a a +=+,所以13122n n n n a a +=+,所以11312222n n n n a a ++=⋅+,所以11311222n n n na a ++⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭,因为11a =,所以1112a +32=,所以数列12n n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是以32为首相以32为公比的等比数列,所以3122nn na ⎛⎫+= ⎪⎝⎭,所以n a 32n n =-,故选A.解法二:令()11232n n n n a A a A +++⋅=+⋅,因为132nn n a a +=+,对比系数得:1A =,所以数列{}2nna+是以3为首项,3为公比的等比数列,所以23n n n a +=,所以32n n n a =-,所以111332322332312nn n n n n nnn na b a +++⎛⎫⋅- ⎪-⎝⎭====+-⎛⎫- ⎪⎝⎭1312n⎛⎫- ⎪⎝⎭,因为*n ∀∈N ,所以312n⎛⎫- ⎪⎝⎭ 12.所以102312n<⎛⎫- ⎪⎝⎭,所以35n b <,对于*n ∀∈N ,都有n b t >恒成立,所以3t ,所以t 的最大值为3,故选A.【练习2】已知数列{}n a 满足()*112,22n n n a a a n +==++∈N .(1)判断数列{}2n n a -是否为等差数列,并说明理由;(2)记n S 为数列{}n a 的前n 项和,求n S .【解析】(1)数列{}n a 满足112,2nn n a a a +==+()*2n +∈N ,所以()()1122n n n n a a ++---=2.120a -=,所以数列{}2nn a -为等差数列,首项为0，公差为2.(2)由(1)可得:202(1)nn a n -=+-,可得:22(1)nn a n =+-,所以()221221n n S -=+⨯-12(01)222n n n n n ++-=-+-【过关检测】一、单选题1．已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，若1222,10n n a a S +=-=，则{}n a 的通项公式为（）A ．34n n a =-B ．22nn a =+C ．2n a n n=+D ．231n a n =-【答案】B 【解析】令1n =可得2122a a =-，又21210S a a =+=，解得14a =，又12242(2)n n n a a a +-=-=-，则122a -=，1222n n a a +-=-，即{}2n a -是以2为首项，2为公比的等比数列，则1222n n a --=⋅，22n n a =+.故选：B.2．已知数列{}n a 中，11a =，121n n a a +=+，则数列{}n a 的通项公式为（）A ．n a n =B ．1n a n =+C ．2nn a =D ．21nn a =-【答案】D 【解析】121n n a a +=+ ，112(1),n n a a +∴+=+又11a =，112a +=，所以数列{}1n a +是首项为2，公比为2的等比数列，所以1122n n a -+=⨯，2 1.n n a ∴=-故选：D.3．已知数列{}n a 满足13a =，158n n a a +=-，则2022a 的值为（）A ．202152-B ．202152+C ．202252+D ．202252-【答案】B 【解析】因为158n n a a +=-，所以125(2)n n a a +-=-，又121a -=，所以{2}n a -是等比数列，公比为5，首项是1，所以125n n a --=，152n n a -=+，所以2021202252a =+．故选：B ．4．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若221n n S a n =-+，则10S =（）A ．11223-B ．10219-C ．103223⨯-D ．93219⨯-【答案】C 【解析】当1n =时，111221S a a ==-+，解得11a =.当2n ≥时，11223n n S a n --=-+，所()11221223n n n n n a S S a n a n --=-=-+--+，即122n n a a -=+，所以()1222n n a a -+=+，即1222n n a a -+=+，所以数列{}2n a +是首项为3，公比为2的等比数列，则1232n n a -+=⨯，从而3223nn S n =⨯--，故10103223S =⨯-.故选：C5．在数列{}n a 中，11a =，且121n n a a +=+，则{}n a 的通项为（）A ．21nn a =-B ．2n n a =C ．21n n a =+D ．12n n a +=【答案】A 【解析】解：∵121n n a a +=+，∴()1121n n a a ++=+，由11a =，得112a +=，∴数列{}1n a +是以2为首项，2为公比的等比数列，∴11222n n n a -+=⋅=，即21nn a =-．故选：A6．数列{}n a 中，121n n a a +=+，11a =，则100a =（）A ．10021+B ．1012C ．10021-D ．1002【答案】C 【解析】数列{}n a 中，121n n a a +=+，故()1121n n a a ++=+，故10n a +≠，所以1121n n a a ++=+，因为11a =，所以1120a +=≠，所以{}1n a +是首项为2，公比为2的等比数列，所以12nn a +=，即21n n a =-，故10010021a =-，故选：C.7．数列{}n a 满足111122n n n a a ++⎛⎫=- ⎪⎝⎭，且112a =，若13n a <，则n 的最小值为（）A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】B 【解析】因为111122n n n a a ++⎛⎫=- ⎪⎝⎭，等式两边同时乘以12n +可得11221n n n n a a ++=-，所以，11221n n n n a a ++-=且121a =，所以，数列{}2n n a 是等差数列，且首项和公差都为1，则211nn a n n =+-=，所以，2n nn a =，因为111111212222n n n n n n n n n n na a ++++++---=-==.当1n =时，1212a a ==；当2n ≥时，1n n a a +<，即数列{}n a 从第二项开始单调递减，因为33183a =>，41143a =<，故当3n ≤时，13n a >；当4n ≥时，13n a <.所以，13n a <，则n 的最小值为4.故选：B.8．已知数列{}n a 中，11a =，134n n a a -=+（n *∈N 且2n ≥），则数列{}n a 通项公式n a 为（）A ．13n -B ．132n +-C ．32n -D ．3n【答案】C 【解析】由已知得27a =，1232n n a a -+=+进而确定数列{2}n a +的通项公式，即可求n a .由11a =，134n n a a -=+知：27a =且1232n n a a -+=+(2n ≥)，而123a +=，229a +=，∴{2}n a +是首项、公比都为3的等比数列，即32nn a =-，故选：C9．数列{}n a 满足()1432n n a a n -=+≥且10a =，则此数列第5项是（）A ．15B ．255C ．16D ．63【答案】B 【解析】∵()1432n n a a n -=+≥，∴()()11412n n a a n -+=+≥，∴{}1n a +是以1为首项，4为公比的等比数列，则114n n a -+=．∴141n n a -=-，∴4541255a =-=．故选：B ．10．在数列{}n a 中，已知11a =，121n n a a +=+，则n a =（）A ．12n -B ．21n -C ．nD ．21n -【答案】B 【解析】由121n n a a +=+，得()112221n n n a a a ++=+=+，故数列{}1n a +为等比数列，首项为112a +=，公比为2，所以12nn a +=，21n n a =-，故选：B.11．在数列{}n a 中，13a =，()1222,N n n a a n n n -+=-+≥∈，若980n a >，则n 的最小值是（）A ．8B ．9C ．10D ．11【答案】C 【解析】因为()1222,N n n a a n n n -+=-+≥∈，所以()()1212,N n n a n a n n n -+-=--≥∈⎡⎤⎣⎦.因为13a =，所以112a -=，所以数列{}n a n -是首项和公比都是2的等比数列，则2n n a n -=，即2nn a n =+,因为11210n n n a a ---=+>，所以数列{}n a 是递增数列,因为9521980a =<，101034980a =>，所以满足980n a >的n 的最小值是10,故选：C12．设数列{an }中，a 1＝2，an ＋1＝2an ＋3，则通项an 可能是（）A ．5－3n B ．3·2n －1－1C ．5－3n 2D ．5·2n －1－3【答案】D 【解析】设()12n n a x a x ++=+，则12n n a a x +=+，因为an ＋1＝2an ＋3，所以3x =，所以{}3n a +是以13a +为首项，2为公比的等比数列，1352n n a -+=⨯，所以1523n n a ⋅=-－故选：D13．在数列{}n a 中，若12a =，1132n n n a a ++=+，则n a =（）A ．2nn ⋅B ．5122n-C ．1232n n +⋅-D ．11432n n -+⋅-【答案】C 【解析】令22n n n a b =+，则11111322232222222n n n n n n n n n n n a a b a a b ++++++++===++，又11232a b =+=，所以{}n b 是以3为首项，32为公比的等比数列，所以132322n n n n a b -⎛⎫=+=⨯ ⎪⎝⎭，得1232n n n a +=⋅-．故选：C ．14．已知在数列{}n a 中，156a =，111132n n n a a ++⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则n a =（）A ．3223n n-B ．2332n n-C ．1223n n-D ．2132n n-【答案】A 【解析】解:因为156a =，111132n n n a a ++⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以1122213n n n n a a ++⋅=⋅+，整理得()11223233n n n n a a ++⋅-=⋅-，所以数列{}23nn a -是以14233a -=-为首项，23为公比的等比数列．所以1422333n n n a -⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，解得3223n n na =-．故选：A15．数列{}n a 满足*123,n n a a n N +=+∈，若20171a a ≥，则1a 的取值范围为（）A ．(,3]-∞-B ．{3}-C ．(3,)-+∞D ．[3,)-+∞【答案】D 【解析】由123n n a a +=+可得()1323n n a a ++=+，所以()11332n n a a -+=+⨯所以()11323n n a a -=+⨯-，所以()2016201711323a a a =+⨯-≥所以()201611323a a +⨯≥+，所以130a +≥，所以13a ≥-故选：D 二、填空题16．设数列{}n a 满足11a =，且()1342n n a a n -=+≥，则数列{}n a 的通项公式为n a =___________.【答案】32n -##23n -+【解析】解：因为()1342n n a a n -=+≥，()1232n n a a -∴+=+，1232n n a a -+∴=+，11a = ，则123a +=，∴数列{}2n a +是以3为首项，3为公比的等比数列.12333n n n a -∴+=⋅=，所以32nn a =-，故答案为：32n -17．已知数列{}n a 中，11a =，121n n a a +=+，则{}n a 通项n a =______；【答案】21n -【解析】因为121n n a a +=+，所以11112(1),21++++=+∴=+n n n n a a a a ，所以{}+1n a 是一个以1+1=2a 为首项，以2为公比的等比数列，所以1+1=222,21-⨯=∴=-n n n n n a a .故答案为：21n -18．数列{an }满足a 1＝1，an ＋1＝2an ＋1.(n ∈N *).数列{an }的通项公式为______．【答案】()*21n n a n N -=∈．【解析】∵*121n n a a n N +=+∈（），∴1121n n a a ++=+（），又112a +=∴{}1n a +是以2为首项，2为公比的等比数列．∴12nn a +=．即*21nn a n N =-∈（）．故答案为：()*21n n a n N =∈-．19．数列{}n a 满足143n n a a -=+，且10a =，则6a =_________.【答案】1023【解析】由题意知：111444(1)n n n a a a --+=+=+，又111a +=，故{}1n a +是1为首项，4为公比的等比数列，故()5611141024a a +=+⨯=，故6a =1023.故答案为：1023.20．已知数列{}n a 满足1122n n a a +=+，且{}n a 前8项和为761，则1a =______．【答案】52##2.5【解析】解：数列{}n a 满足1122n n a a +=+，整理得1112()22n n a a ++=+，若112a =-，则12n a =-，显然不符合题意，所以12n a ≠-，则121212n n a a +++=（常数）；所以数列12n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是以112a +为首项，2为公比的等比数列；所以1111222n n a a -⎛⎫+=+⋅ ⎪⎝⎭，整理得1111222n n a a -⎛⎫=+⋅- ⎪⎝⎭；由于前8项和为761，所以187811111121((12...2)842554761222122S a a a -⎛⎫⎛⎫=+⋅+++-⨯=+⨯-=+-= ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，解得152a =．故答案为：52．三、解答题21．已知数列{}n a 满足111,32n n a a a +==+.(1)证明{}1n a +为等比数列，并求{}n a 的通项公式；(2)记数列11n a ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前n 项和为n S ，证明34n S <.【答案】(1)证明见解析，1231n n a -=⋅-(2)见解析【解析】(1)证明：因为132n n a a +=+，所以()1131n n a a ++=+，又112a +=，所以数列{}1n a +是以2为首项，3为公比的等比数列，则1123n n a -+=⋅，所以1231n n a -=⋅-；(2)证明：由（1）得111123n n a -=+⋅，因为11111123113123n n n n a a +-+⋅==+⋅，11112a =+，所以数列11n a ⎧⎫⎨+⎩⎭是以12为首项，13为公比的等比数列，则1113123114313n n nS ⎛⎫⨯- ⎪⎛⎫⎝⎭==- ⎪⎝⎭-，因为1113n -<，所以34n S <.22．已知数列{}n a 满足113,22+==-n n a a a .(1)求{}n a 的通项公式；(2)求{}n a 的前n 项和n S .【答案】(1)122n n a -=+；(2)221nn S n =+-.【解析】(1)122n n a a +=- ，()1222n n a a +∴-=-即1222n n a a +-∴=-∴数列{}2n a -是以首相为1，公比为2的等比数列，122n n a -∴-=122n n a -∴=+(2)由（1）知122n n a -=+()()()()()()123012101212222222222222112212221n nn n n n S a a a a n nn --∴=++++=++++++++=+++++⨯-=+-=+- 23．已知数列{}n a 的首项11a =，且1121n na a +=+．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若数列{}n b 满足n n a b n ⋅=，求数列{}n b 的前n 项和n S ．【答案】(1)121n n a =-(2)()()111222n n n n S n ++=-+-【解析】(1)∵1121n n a a +=+，等式两边同时加1整理得111121n n a a +⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭又∵11a =，∴1112a +=∴11n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是首项为2，公比为2的等比数列．∴112n na +=，∴121n na =-(2)∵n n a b n ⋅=，∴2n n nnb n n a ==⋅-.记{}2⋅nn 的前n 项和为nT 则()1231122232122n nn T n n -=⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+-⋅+⋅所以()23412122232122n n n T n n +=⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+-⋅+⋅相减得12341222222n n n T n +-=++++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+-⋅整理得()1122n n T n +=-+.所以()()111222n n n n S n ++=-+-24．在数列{}n a 中，15a =，且()*121n n a a n N +=-∈.(1)证明：{}1n a -为等比数列，并求{}n a 的通项公式；(2)令(1)nn n b a =-⋅，求数列{}n b 的前n 项和n S .【答案】(1)证明见解析，121n n a +=+(2)()*2*421,2,,327,21,.3nn n n k k S n k k +⎧-=∈⎪⎪=⎨+⎪-=-∈⎪⎩N N 【解析】(1)解：因为121n n a a +=-，所以()1121n n a a +-=-，又114a -=，所以1121n n a a +-=-，所以{}1n a -是以4为首项，2为公比的等比数列.故1142n n a --=⨯，即121n n a +=+.(2)解：由（1）得()1(1)21n n n b +=-⋅+，则()1*1*21,2,21,21,n n n n k k N b n k k N ++⎧+=∈⎪=⎨-+=-∈⎪⎩，①当*2,n k k =∈N 时，()()()()()23412121212121n n n S +=--++-+++--++ ()2345124422222222221;3n n n n+=-+-++-+=+++=- ②当*21,n k k =-∈N 时，()()21211427212133n n n n n n S S b ++++++=-=--+=-，综上所述，()*2*421,2,327,21,3n n n n k k N S n k k N +⎧-=∈⎪⎪=⎨+⎪-=-∈⎪⎩25．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，12a =，且122n n a a +=+．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)令()212n n n b a +=+，记数列{}n b 的前n 项和为n T ，求证：3n T <．【答案】(1)122n n a +=-(2)证明见解析【解析】(1)解：因为12a =，122n n a a +=+，所以()1222n n a a ++=+，所以{}2n a +是以4为首项，2为公比的等比数列，所以112422n n n a -++=⨯=，所以122n n a +=-；(2)解：由（1）可知()()121211222n n n n n n n b a ++++===+，所以12323412222n n n T +=++++ ①，所以23411234122222n n n T ++=++++ ②；①-②得212311111111111133221112222222212n n n n n n n n n T -+++⎛⎫- ⎪+++⎝⎭=++++-=+-=-- 所以3332n nn T +=-<；。
专题 构造法求数列通项的八种技巧
专题 构造法求数列通项的八种技巧【必备知识点】◆构造一:待定系数之1n n a Aa B +=+型构造等比数列求关于1n n a Aa B +=+(其中,A B 均为常数,(1)0AB A -≠)类型的通项公式时,先把原递推公式转化为()1n n a M A a M ++=+,再利用待定系数法求出M 的值,再用换元法转化为等比数列求解.其实对于这类式子,我们只需要记住在等式两侧加上一个常数M ,构造成等比数列.常数M 的值并不需要背诵,我们可以通过待定系数法推导出来.◆构造二:待定系数之1n n a Aa Bn C +=++型构造等比数列求关于1(1,0,0)n n a Aa Bn C A C B +=++≠≠≠类型的通项公式时,与上面讲述的构造一的方法很相似,只不过等式中多了一项Bn ,在构造时我们也保持跟题干一样的结构,加一项pn 再构造等比数列就可以,即令()1(1)n n a p n q A a pn q ++++=++,然后与已知递推式各项的系数对应相等,解,p q ,从而得到{}n a pn q ++是公比为A 的等比数列.◆构造三:待定系数之1n n n a pa q +=+型构造数列求关于1nn n a pa q +=+(其中,p q 均为常数,(1)0pq p -≠)类型的通项公式时,共有3种方法.方法一:先用待定系数法把原递推公式转化为()11n n n n a q p a q λλ+++=+,根据对应项系数相等求出λ的值,再利用换元法转化为等比数列求解. 方法二:先在递推公式两边同除以1n q+,得111n n n n a a p q q q q ++=⋅+,引入辅助数列{}n b (其中n b nna q=),得11n n p b b q q+=⋅+,再利用待定系数法解决； 方法二:也可以在原递推公式两边同除以1n p +,得111nn n n n a a q p p p p ++⎛⎫=+⋅ ⎪⎝⎭,引入辅助数列{}n b (其中n n na b p =),得11n n b b p +-=⋅.nq p ⎛⎫⎪⎝⎭,再利用叠加法(逐差相加法)求解. ◆构造四:同型构造法所谓同型构造法,就是将找因式中的因子和数列项数相同或者相近的部分通过同除或同乘化归成结构相同的形式,形成新的数列,如常数列,等差数列或等比数列.下面让我们来看看有哪些模型结构吧. 模型一:111(1)1n n n n n n a a n a n a n +++−=−−−−→⋅+=⋅+左右同乘,构造n n b n a =⋅,则1n n b b +=,{}n b 为常数数列.模型二:11111n n n n n a a n a a n n n +++−−−−−⋅→+==+左右同除,构造n n a b n=,则1n n b b +=,{}n b 为常数数列. 模型三:()()21112(1)(2)(1)n n n n n n a a n a a n n n n n ++++−−−−+=⋅=+−→++−左右同除,构造(1)n n a b n n =+,则1n n b b +=,{}n b 为常数数列.模型四:()111(1)221n n n n n n n a a na n a n +++−−−−−→=+=+左右同除,构造n n ab n=,则12n n b b +=,{}n b 为等比数列. 模型五:11111222212n n n n n n n n n n n n n a S S S S S n n S S S nn n ++++++++=⋅=⋅=⇒-⇒−−−−−→+⋅=左右同除,构造nn S b n=,则12n n b b +=,{}n b 为等比数列. 模型六:1111111n n n n n a a n a a n n n n ++++=⋅=+++−−−+−−→左右同除,构造n n a b n=,则11n n b b +=+,{}n b 为等差数列.模型七:12111122122n n n n n n n n a a a a +++++−=+=−−−→+−左右同除,构造2nnna b =,则11n n b b +=+,{}n b 为等差数列. 模型八:1111111n n a an n n n n n a a a a a a ++++-−−=-=−−−→左右同除,构造1n nb a=,则11n n b b +-=,{}n b 为等差数列. 看了这么多模型,是不是觉得很多,很难记住呢,其实向大家展示这么多,只是想向大家展示,当看到这类式子,尽量将1n +和1n a +,n 和n a 等因子和数列项数相同的部分划归成结构相同的形式,构造成新数列.◆构造五:取倒数构造等差类型一:数列{}n a 满足:1n n n ba a ka b+=+,则有111n n n n b ka ka ba ab ++==+. 所以1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以11a 为首项,kb 为公差的等差数列,即111(1)n k n a a b =+-.(当分母出现加减时,我们很难将它进行化简运算,所以往往取倒数再运算才能找到突破点). 类型二:数列{}n a 满足:1112n n n n na a a a a -+-=-,则有11111211111n n n n n n n n n a a a a a a a a a -+-+--=⇔-=-. 所以1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列.类型三:若数列{}n a 的前n 项和为n S ,且满足10n n n a kS S -+=,则有110n n n n S S kS S ---+=,两边同除以1n n S S -得:111n n k S S --=,故1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以11a 为首项,k 为公差的等差数列,即111(1)n n k S a =+-,再用1n n n a S S -=-,求{}n a .◆构造六:取对数构造法型如1k n n a ca +=,1n k n a ca -=或者1(),n n kb b b ac a -++=为常数.针对出现这种数列,为方便计算,两边通常取以c 或首项为底的对数,就能找到突破口.什么情况取c 为底,什么情况取首项为底呢?我们来看两道例题.◆构造七:二阶整体构造等比简单的二阶整体等比:关于11n n n a Aa Ba +-=+的模型,可通过构造二阶等比数列求解,大部分题型可转化为()11(1)n n n n a a A a a +--=--,利用{}1n n a a +-成等比数列,以及叠加法求出n a .还有一小部分题型可转化为()11(1)n n n n a a A a a +-=+++,利用{}1+n n a a +成等比数列求出n a .此方法可以解决大多数的11n n n a Aa Ba +-=+,1A B +=模型的试题.当然针对个别试题,单纯构造{}1n n a a +-成等比数列可能解决不了问题.我们需要学习更完整的方法来解决这种类型题.这就需要运用数列的特征方程理念来解决.当然我们不需要详细学习数列的特征方程,用高中的待定系数法也可以解决,接下来我们通过两道例题,来详细解释说明下这种方法.秒杀求法:21(,0)n n n a pa qa p q ++=+≠类通项公式暴力秒杀求法21(,0)n n n a pa qa p q ++=+≠对应的特征方程为:2x px q =+,设其两根为12,x x当12x x ≠时, 2212n n n a Ax Bx --=+，当12x x =时, 21()n n a An B x -=+其中A ,B 的值的求法,用12,a a 的值代入上面的通项公式中,建立方程组解之即可◆构造八：数列不动点构造求数列(较难,能力强的同学可以学习)针对1n n n ax bx cx d++=+这类题型,考题中并不多见,难度比较大,这类题型有特定的解题方法.我们需要学习“数列不动点”的知识点.接下来我们来学习下什么是“数列不动点”,它有什么性质.当然看不懂也没关系,可以通过例题,熟记掌握解题步骤就可以.对于函数()f x ,若存在实数0x ,使得()00f x x =,则称0x x =是函数()f x 的不动点. 在几何上，曲线()y f x =与曲线y x =的交点的横坐标即为函数()f x 的不动点.一般地,数列{}n x 的递推式可以由公式()1n n x f x +=给出,因此可以定义递推数列的不动点:对于递推数列{}n x ,若其递推式为()1n n x f x +=,且存在实数0x ,使得()00f x x =,则称0x 是数列{}n x 的不动点。
构造法求数列通项公式专题讲座ppt课件
令 1 1 ( 1 ), 则 3 , 3
an1
2 an
22
1 3 1 ( 1 3), 又 1 3 5
an1
2 an
a1
2
1 an
3
是首项为 5
2
1 公比为 2 的等比数列
1 3 5 ( 1 )n1, 1 3 5 ( 1 )n1
an an
3
22 1 5 (1)n1
1 2
,
1 an
是首项为
1 2
公差3的等差数列。
1 an
1 (n 1) 3 3n 5
2
2
6n 2
5
,
a
n
2 6n 5
例6数列 an
中，a1
2, an1
2an 1 3an
，求 an
解： an1
2an 1 3an
1 ,
an1
1 3an 2an
3 11
2 2 an
构造法的定义
• 所谓构造法就是在解决某些数学问题中 通过对条件和结论的充分剖析，有时会 联想出一些适当的辅助模型，以促成命 题的转换，产生新的解题方法。下面就 构造法求数列的通项公式的分类和解题 方法分别进行论述。
类型1形如 an1 pa nq p 1, p 0,q 0 的递推式
• 基本思路：可用待定系数法,设an1 pan
•bn p(an An2 Bn C) ;
• (2)本题也可由 an 3an1 2n 1 • , an1 3an2 2(n 1) 1
• （ n 3 ）两式相减得
an an 1 3(an 1 an 2 ) 2
• 转化为 bn2 pbn1 qbn 求之.
练习1 数列 an 前 n 项和为 Sn
2025版高考数学全程一轮复习第六章数列专题培优课构造法求数列的通项公式课件
3×5n，则数列{an}的通项an＝( )
A．－3×2n－1
B．3×2n－1
C．5nபைடு நூலகம்3×2n－1
D．5n－3×2n－1
答案：D
解析：在递推
公
式
an＋
1
＝2an
＋
3×5n
的
两
边
同时除以
5n
＋1
，
得
an+1 5n+1
＝25
×
an 5n
+
3 5
①，令bn＝5ann，则①式变为bn＋1＝25bn＋35，即bn＋1－1＝25(bn－1)，所以数列{bn－1}
则a2 023＝(
)
A．－42 023＋2
B．－42 023－2
C．－42 022＋2
D．－42 022－2
答案：C 解析：由an＋1＝4an－6，得an＋1－2＝4(an－2)，而a1－2＝－1，因此数列{an－2} 是首项为－1，公比为4的等比数列，则an－2＝－1×4n－1，即an＝－4n－1＋2，所 以a2 023＝－42 022＋2.故选C.
题型二 形如an＋1＝pan＋qan－1(a≥2，n∈N*) 例4 已知数列{an}满足a1＝1，a2＝2，且an＋1＝2an＋3an－1(n≥2， n∈N*)，求数列{an}的通项公式．
题后师说
形如an＋1＝pan＋qan－1求an的一般步骤
巩固训练2
已知数列{an}满足：a1＝a2＝2，an＝3an－1＋4an－2(n≥3)，则a9＋a10 ＝( )
2(n≥3)，则S10＝( )
A．4105−1
B．4115−1
C．410－1 D．411－1
答案：A 解析：因为an＝3an－1＋4an－2(n≥3)，所以an＋an－1＝4(an－1＋an－2)，又a1＋a2＝ 3≠0，所以aann−+1+aann−−12＝4(n≥3)，所以{an＋an＋1}是等比数列，公比为4，首项为3， 则数列{a2n－1＋a2n}也是等比数列，公比为42＝16，首项为3.所以S10＝3×11−−11665 ＝ 4105−1.故选A.
专题06 构造法求数列通项的八种技巧(三)(解析版)
专题06构造法求数列通项的八种技巧(三)【必备知识点】◆构造六:取对数构造法型如1k n n a ca +=,1n k n a ca -=或者1(),n n k b b b a c a -++=为常数.针对出现这种数列,为方便计算,两边通常取以c 或首项为底的对数,就能找到突破口.什么情况取c 为底,什么情况取首项为底呢?我们来看两道例题.【经典例题1】数列{}n a 中,12a =,21n n a a +=,求数列{}n a 的通项公式.【解析】取以12a =为底的对数(不能取c 为底,因为1c =,不能作为对数的底数),得到1222loglogn n a a +=,122log 2log n n aa+=,设2log n an b =,则有12n n b b +=,所以{}n b 是以112log 1ab ==为首项,2为公比的等比数列,所以12n n b -=,所以12log =2n an -,122n n a -=.【经典例题2】数列{}n a 中,11a =,212n n a a +=,求数列{}n a 的通项公式.【解析】取以2为底的对数(这里知道为什么不能取11a =为底数的对数了吧),得到12222loglogn n a a +=,12222log log 2log n n a a +=+,122log 12log n n a a +=+设2log n an b =,则有1=12n n b b ++,这又回归到构造二的情况,接下来的步骤大家应该都记得吧,由于这道题较为简单,所以直接可看出1+1=2(1)n n b b ++,所以{}1n b +是以111b +=为首项,2为公比的等比数列,所以112n n b -+=,所以1=21n n b --,12log =21n a n --,1212n n a --=.【经典例题3】已知12a =,点()1,n n a a +在函数()22f x x x =+的图像上,其中*n N ∈,求数列{}n a 的通项公式.【解析】将()1,n n a a +代入函数得212n n n a a a +=+,()2211211n n n n a a a a ++=++=+,即()2111n n a a ++=+两边同时取以3为底的对数,得()()21111113333loglog log 2log n nn n a a a a ++++++=⇒=(为什么此题取以3为底的对数呢,大家思考下,新构造的数列首项为113log a +,113a +=,所以应当取以3为底,这样计算会简单很多,当然如果你计算能力较强,也可以取其他数作为底数).所以(){}13log na +是以1为首项,2为公比的等比数列,即()113log 12na n +-=⨯,1213n n a -+=,1231n n a -=-.【经典例题4】在数列{}n a 中,11a =,当2n 时,有2142n n n a a a +=++,求数列{}n a 的通项公式.【解析】由2142n n n a a a +=++,得21244n n n a a a ++=++,即()2122n n a a ++=+,两边同取以3为底的对数,得()212233loglog n n a a +++=,即()12233log 2log nn a a +++=,所以数列(){}23log na +是以1为首项,2为公比的等比数列,()213log 2nan +-=,1223n n a -+=,即1232n n a -=-.◆构造七:二阶整体构造等比简单的二阶整体等比:关于11n n n a Aa Ba +-=+的模型,可通过构造二阶等比数列求解,大部分题型可转化为()11(1)n n n n a a A a a +--=--,利用{}1n n a a +-成等比数列,以及叠加法求出n a .还有一小部分题型可转化为()11(1)n n n n a a A a a +-=+++,利用{}1+n n a a +成等比数列求出n a .【经典例题1】已知数列{}n a 满足()*12211,3,32n n n a a a a a n ++===-∈N ,求数列{}n a 的通项公式.【解析】由()1111322n n n n n n n a a a a a a a +-+-=-⇒-=-,故{}1n n a a +-是以212a a -=为首项,2为公比的等比数列,即()112122n n n n a a a a -+-=-=,接下来就是叠加法啦,1121...22n n n a a a a --⎫-=⎪⎬⎪-=⎭全部相加得:122nn a a -=-,所以21nn a =-.【经典例题2】已知数列{}n a 中,11a =,22a =,212133n n n a a a ++=+,求数列{}n a 的通项公式。
构造法求数列通项公式
精心整理构造法求数列通项公式求数列通项公式是高考考察的重点和热点，本文将通过构造等比数列或等差数列求数列通项公式作以简单介绍，供同学们学习时参考。
一、构造等差数列求数列通项公式运用乘、除、去分母、添项、去项、取对数、待定系数等方法，将递推公式变形成为(1)()f n f n +-=A （其中A 为常数）形式，根据等差数列的定义知)(n f 是等差数列，根据等差数列的通项公式，先求出)(n f 的通项公式，再根据)(n f 与n a ，从而求出n a 的通项公式。
例1 在数列{}n a 中，1a =12解析：由a n+1=33+n n a a 得，a n+1a n 设b n =n a 1，则b n+1-b n =31数列｛b n ｝是首相b 1=2，公差根据等差数列的通项公式得b n =∴数列通项公式为a n =53+n评析：na 1的例2n 项和，且S n ≠0，a 1=1，a n =1222-n n S S (n ≥2)，求S n 与a n 。
解析：当a n =1222-n n S S 得，S n -S n-1=1222-n n S S ，变形整理得S n -S n-1=S n S n-1两边除以S n S n-1得，nS 1-11-n S =2，∴｛nS 1｝是首相为1，公差为2的等差数列∴nS 1=1+2（n-1）=2n-1,∴S n =121-n (n ≥2),n=1也适合，∴S n =121-n (n ≥1)当n ≥2时，a n =S n -S n-1=121-n -321-n =-38422+-n n ，n=1不满足此式，∴a n ={21138422≥=+--n n n n评析：本例将所给条件变形成A n f n f =-+)()1(，先求出)(n f 的通项公式，再求出原数列的通项公式，条件变形是难点。
二、构造等比数列求数列通项公式运用乘、除、去分母、添项、去项、取对数、待定系数等方法，将递推公式变形成为f （n+1）=Af （n ）（其中A为非零常数）形式，根据等比数列的定义知)(n f 是等比数列，根据等比数列的通项公式，先求出)(n f 的通项公式，再根据)(n f 与n a ，从而求出n a 的通项公式。
(完整版)高中数学构造法求数列通
构造法求数列通项例题分析型如a n+1=pa n +f(n) (p 为常数且p ≠0， p ≠1)的数列(1)f(n)= q (q 为常数) 一般地，递推关系式a n+1=pa n +q (p 、q 为常数，且p ≠0，p ≠1)等价与)1(11pqa p p q a n n --=--+，则{p q a n --1}为等比数列，从而可求n a ．例1、已知数列{}n a 满足112a =，132n n a a --=（2n ≥），求通项n a ． 解：由132n n a a --=，得111(1)2n n a a --=--，又11210a -=≠， 所以数列{1}n a -是首项为12，公比为12-的等比数列， ∴11111(1)()1()22n n n a a -=---=+-．练习：已知数列}{n a 的递推关系为121+=+n n a a ，且11=a ，求通项n a ． 答案：12-=n n a ．(2) f(n)为等比数列，如f(n)= q n (q 为常数) ，两边同除以q n ，得111+=++nnn n q a p q a q， 令nnna b q =，则可转化为b n+1=pb n +q 的形式求解． 例1、已知数列{a n }中，a 1=65，1111()32n n n a a ++=+，求通项n a ． 解：由条件，得2 n+1a n+1=32(2 na n )+1，令b n =2 n a n ， 则b n+1=32b n +1，b n+1-3=32（b n -3） 易得 b n =3)32(341+--n ，即2 n a n =3)32(341+--n ， ∴ a n =nn 2332+-． 练习、已知数列{}n a 满足1232n n n a a +=+⨯，12a =，求通项n a ． 答案：31()222nn a n =-．(3) f(n)为等差数列，如1n n a Aa Bn C +=++型递推式，可构造等比数列．（选学，注重记忆方法）例1、已知数列{}n a 满足11=a ，11212n n a a n -=+-（2n ≥），求．解：令n n b a An B =++，则n n a b An B =--， ∴11(1)n n a b A n B --=---，代入已知条件，得11[(1)]212n n b An B b A n B n ---=---+-，即11111(2)(1)2222n n b b A n A B -=++++-，令202A +=，1022A B+-=，解得A =－4，B=6， 所以112n n b b -=，且46n n b a n =-+，∴{}n b 是以3为首项、以12为公比的等比数列，故132n n b -=，故13462nn a n -=+-． 点拨：通过引入一些尚待确定的系数，经过变形与比较，把问题转化成基本数列（等差或等比数列）求解．练习：在数列{}a n 中，132a =，1263n n a a n --=-，求通项a n ． 答案：a n n n-+=69912·()．解：由1263n n a a n --=-，得111(63)22n n a a n -=+-，令11[(1)]2n n a An B a A n B -++=+-+，比较系数可得：A =－6，B=9，令n n b a An B =++，则有112n n b b -=，又1192b a A B ==++，∴{}n b 是首项为92，公比为12的等比数列，所以b n n =-92121()，故a n n n -+=69912·()．(4) f(n)为非等差数列，非等比数列 法一、构造等差数列法例1、在数列{}n a 中，1112(2)2()n n n n a a a n λλλ+*+==++-∈N ，，其中0λ>，求数列{}n a 的通项公式．解：由条件可得111221n nn nn n a a λλλλ+++⎛⎫⎛⎫-=-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， ∴数列2nn n a λλ⎧⎫⎪⎪⎛⎫-⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭是首项为0，公差为1的等差数列，故21n n n a n λλ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，∴(1)2n n n a n λ=-+．练习：在数列{a n }中，a na n a n n n n n 1132212==+++++，()()()，求通项a n 。
高考数学-构造法求数列通项7例
高考数学-构造法求数列通项公式7题例1 数列{a n }的前n 项和记为S n ,已知a 1=1,a n+1=nn 2+S n (n=1,2,3……)，求a n .例2 已知数列{a n }的前n 项和为S n ,且满足a n +2S n S n-1=0(n ≥2);a 1=21,求通项a n .例3 已知函数f(x)=42-x (x ≤-2).(1)求f -1(x),(2)若a 1=1,a n =-f -1(a n-1),求数列{a n }的通项公式.例4 已知函数f(x)=(x +2)2(x>0),设正项数列{a n }的首项a 1=2,前n 项和S n 满足S n =f(S n-1)(n ≥2且n ∈N *),求通项a n .例5 已知数列{a n }中,a 1=1,且a n+1=3a n -1(n ∈N *),求a n .例6 已知正项数列{a n }的前项和S n 满足S n =21(a n +n a 1)，求通项a n .例7 已知数列{a n }中，a 1=2,a n =2211+--n n a a (n ≥2)，求通项a n .构造法求数列通项公式7题答案例1 解析：∵a n+1=S n+1-S n ,a n+1=nn 2+S n∴(n+2)S n=n(S n+1-S n )，整理得nS n+1=2(n+1)S n ,即11++n S n =2·nS n，故数列{nS n}是以11S =a 1=1为首项，2为公比的等比数列，即nS n=2n-1,S n =n ·2n-1，当n ≥2时，a n =S n -S n-1=n ·2n-1-(n-1)2n-2=(n+1)2n-2,当n=1时也适合，故a n =(n+1)·2n-2n ∈N *.例2 解析:当n ≥2时, a n =S n -S n-1=-2 S n S n-1,两边同除以S n S n-1得nS 1-11-n S =2,又11S =11a =2, ∴数列{nS 1}是以2为首项,2为公差的等差数列,则nS 1=2+2(n-1)=2n, S n =n 21,由a 1=21, n ≥2时,a n =S n -S n-1=n 21-)1(21-n =- )1(21-n n ,二式不能合并.例3 解析:(1)f -1(x)=-42+x (x ≥0),(2)由a n=-f-1(a n-1),∴a n =421+-n a ,两边平方得an 2-a n-12=4,∴数列{a n 2}是以a 12=1为首项,公差为4的等差数列,∴a n 2=1+(n-1)4=4n-3,又a n >0,∴a n =34-n .例4解析:∵a n >0,∴S n >0,由S n =f(S n-1)=(1-n S +2)2两边开方得nS =1-n S +2,∴数列{n S }是以1S =1a =2为首项,公差d=2的等差数列,即nS =2+(n-1)2=2n,则S n =2n 2,当n ≥2时,a n =S n -S n-1=4n-2,当n=1时,a 1=2也适合上式,故a n =4n-2(n ∈N *). 例5 解析:设a n+1+x=3(a n +x),则a n+1=3a n +2x,又a n+1=3a n -1,则2x=-1,即x=-21,故而a n+1-21=3(a n-21),则数列{a n-21}是以首项a 1-21=21,公比为3的等比数列,∴a n-21=21·3n-1,即a n=21·3n-1+21.例 6 解析：由S 1=a 1=21(a 1+11a )得a 1=1，又a n =S n -S n-1(n ≥2)∴S n =21(a n +na 1)=21(S n -S n-1+11--n n S S )可得S n +S n-1=11--n n S S ，即S n 2-S n-12=1,∴数列{S n 2}是首项为S 12=a 12=1,公差为1的等差数列.∴S n 2=1+(n-1)·1=n ，又S n >0，∴S n =n ,当n ≥2时，a n=S n-Sn-1=n -1-n ,当n=1时，a 1=1也适合，故通项a n=n -1-n .例7 解析：由题意知a n ≠0，在a n =2211+--n n a a 两边同时取倒数得，n a 1=1122--+n n a a =11-n a +21,即n a 1-11-n a =21,∴数列{na 1}是首项为11a ，公差为21的等差数列，∴n a 1=21+(n-1)21=2n , 则a n=n2.。
专题十五构造法求数列(解析版)
专题十五构造法求数列(解析版)专题十五构造法求数列（解析版）数列是数学中常见的概念，它是由一系列数字按照一定规律排列而成。
在解析数列的过程中，构造法是一种常用的方法，可以通过逐步构造出数列的规律，从而求解出数列的通项公式。
本文将介绍专题十五中构造法解析数列的具体步骤和应用。
一、构造法的基本概念构造法是一种通过逐步构造数列的规律来解析数列的方法，它可以帮助我们找到数列的通项公式或递推关系。
构造法的基本思路是从已知的数列出发，利用数列的特点逐步推导出新增项的规律，最终得到数列的通项公式。
二、构造法的具体步骤在使用构造法解析数列时，一般可以通过以下步骤进行求解：1.观察数列的规律首先，我们需要观察题目中给出的已知数列，从中寻找出数列的规律。
注意观察数列的项数、数值的变化方式、数列中可能存在的特殊性质等。
通过观察，我们可以初步猜测数列的通项公式或递推关系。
2.构造新增项在观察数列规律的基础上，我们可以通过构造新增项来进一步验证数列的通项公式。
构造新增项的方法可以多种多样，比如可以逐项相加、相减、相乘、相除等。
通过计算新增项的数值，可以判断我们的猜测是否正确。
3.推导出通项公式如果我们的猜测正确，那么通过构造新增项可以找到数列的递推关系或通项公式。
在推导过程中，可以利用数列的特殊性质、数学运算规律等，来进一步简化通项公式的表达形式。
推导出通项公式后，可以通过验证数列的前几项来进一步证明其正确性。
4.应用通项公式一旦得到数列的通项公式，我们可以利用该公式来求解数列的任意项。
通过代入特定的项数，就可以计算出数列中对应的数值。
此外，通过通项公式，我们还可以计算数列的和、平均值等相关性质。
三、构造法的应用示例为了更好地理解构造法的应用，下面以一个具体的示例进行讲解。
例：已知数列的前四项分别是1、4、9、16，求该数列的通项公式。
解：首先，观察已知的前四项，我们可以发现它们都是某个数的平方，即1=1²，4=2²，9=3²，16=4²。
用构造法求数列通项公式
‘
一 ，一１ ａ １
） 构造成等 比数列再求通项公式 ． ， 解 ： 口 一２ 将 ａ ＋５化 为 ａ ＋￡ （ ） 展开 ＝２ ａ ＋ ，
．
．
２． ）
。 ．
． ６・２ 一 ５ ａ一 一 ．
于 ６６ 丢 … 一一【 ≥） 是 。 ＋ ＋ ＋ ２ ＿ ２ 一＋ （ ．
—
一厂 ） ， 后 （ 型 然
用 累乘法求解 ．
解。ｎ ＇ 丢ａ 号… 一 ：ａ — ． ，一 ，， ．Ｔ ’Ｉ ． ． ＝ ３ 亳
以上竹 个式子左右两边分别相乘得“ 一÷． 一１ ， １ ｆ
１
２ ２ １ … ， ｎ一 — ２ ｎ １ － １ × — ， ｎ 一 １ （－ ） ，
是高考重点考查 的内容之一 ． 下面介 绍几种 常见 的用构 造法求 数列通项公式 的类 型．
— １ （ 型 — ｎ＋ 一口 一厂 ）
｛ 的通项公式． ａ） 分 析 ： ｎ 一 把 ａ 转 化为
％， 求
【 １ 已知数列 ｛ 中 ， ，ｎｌ ｎ １ 例 】 ｎ ｝ 口 ：Ｏ ａ＋ ＝ｎ ＋２ － ，
求数列 ｛ 的通项公式． ａ） 分 析 ： ｎ ＝口 ＋２ － １ 把 ｎ 转化 为 ａ Ｊａ ＝厂 ） ＝ （ ， ＝ 然后用 累加法求通项公式 ．
解 ：’ １ ２ －１ ．ａ一 口 — ２ — １ 吼 一 ２ ‘口＋ 一口 － ｎ ， ．２ １ ×１ ， ． 。
Ｚ ＨＯＮＧＸ Ｊ Ａ ＵＥ Ｃ ＮＫＡ ＵＥ Ｉ ＯＸ Ａ Ｏ
用 构 造 法 求 数 列 通 项 公 式
广西 南 宁市 邕宁 高级 中￣ （ ３ ２ ０ 何海 力 ５００ ）
数 列 历 年 来 是 高 考命 题 的热 点 ， 数 列 通 项 公 式 史 求
构造法求数列通项
在数列求通项的有关问题中，经常遇到即非等差数列，又非等比数列的求通项问题，特别是给出的数列相邻两项是线性关系的题型，在老教材中，可以通过不完全归纳法进行归纳、猜想，然后借助于数学归纳法予以证明，但新教材中，由于删除了数学归纳法（理科生才作要求），因而我们遇到这类问题，就要避免用数学归纳法。
这里我向大家介绍一种解题方法——构造法求通项公式。
下面仅介绍构造法的四种类型
1、构造等差数列或等比数列（直接构造法）
由于等差数列与等比数列的通项公式我们比较熟悉，对于一些递推数列问题，若能构造等差数列或等比数列，无疑是一种行之有效的构造方法.
常见的形如：（待定系数法）m ka a n n +=+1(k 、m 为常数)
2、构造差式与和式（累加法）
解题的基本思路就是构造出某个数列的相邻两项之差，然后采用迭加的方法就可求得这一数列的通项公式.
构造出的差式形如：a n+1-a n = 含n 的表达式 （注意系数是相同的）
例1 数列中，，且，（n ∈N*），求通项公式a n .
解：∵
∴
（n ∈N*）
3、构造商式与积式（累乘法）
构造数列相邻两项的商式，然后连乘也是求数列通项公式的一种简单方法.
构造出的商式是形如：a n+1／a n = 含n 的表达式
4、构造对数式或倒数式
有些数列若通过取对数，取倒数代数变形方法，可由复杂变为简单，使问题得以解决. 例2 设正项数列满足，（n ≥2）.求数列的通项公式.
解： 两边取对数得：，，设，则
是以2为公比的等比数列，.
，，，
∴
例3 已知数列中，，n≥2时，求通项公式.
解：∵，两边取倒数得.
可化为等差数列关系式.
∴。
巧妙运用构造法，快速求解数列的通项公式
之间的联系，明确其中的规律，利用f（97）=97的结论来求得第二个问题的答案.例3.在（1+x）2+（1+x）3+…+（1+x）n+1的展开式中，含x2项的系数是a n，则a8=_____；若对任意的n∈N*，λ·2n-a n≥0恒成立，则实数λ的最小值是_____．分析：根据题目条件中展开式的特征，可知a8表示的是当n=8时展开式中x2的系数，根据二项式定理和二项展开式的通项公式可求得a8的值.对于第二个空，需通过分离参数，将不等式恒成立问题转化为数列问题，根据第一个问题的结论构造出数列{b n}，通过作差，判断出数列的单调性，进而求得数列{b n}的最大项，从而求得最小的实数λ．解：由题意可得a8=C22+C23+…+C29=C310=120；而a n=C22+C23+…+C2n+1=C3n+2=(n+2)(n+1)n6，由λ·2n-a n≥0恒成立可得λ≥a n2n=n(n+1)(n+2)6·2n恒成立，设b n=n(n+1)(n+2)6·2n，则b n+1-b n=(n+1)(n+2)(3-n)3·2n+1，当n=1，2时，b n+1－b n>0，即b n+1>b n；当n=3时，b4-b3=0，即b4=b3；当n≥4时，b n+1-b n<0，即b n+1<b n；所以b n的最大项为b4=b3=3×4×56·23=54，则实数λ的最小值是54；故所填答案为：120；54．解答“递进式”双空题，需找出第一、二个问题、结论之间的联系，在第一问题的基础上进行推理、运算，运用从特殊到一般的思想，建立两个问题、两个空之间的联系，逐步进行推理、运算，从而求得问题的答案.总之，解答双空题，要仔细审题，把握两个空之间的逻辑关系.若是并列关系，可以将其看作两个常规填空题进行求解；若是递进关系，需将第一个问题的结论作为第二个问题的求解依据进行思考.（作者单位：福建省永春第一中学）求数列的通项公式问题比较常见，通常要求根据已知递推式求数列的通项公式.由于递推式的形式多变，所以求数列的通项公式的方法多种多样.对于一些结构较为复杂的递推式，采用构造法来求解比较有效.运用构造法，可将复杂的问题转化为简单的、易于计算的问题，这样能有效地降低解题的难度，提升解题的效率.下面主要谈一谈如何用构造法由下列几类递推式求数列的通项公式.一、形如a n+1=ca n+d的递推式若遇到形如a n+1=ca n+d(c≠0，a1=a)的递推式，往往需采用构造法来求数列的通项公式.首先要将递推式变形为a n+1+X=c(a n+X)的形式，再求出X，便可构造出等比数列{a n+X}，最后根据等比数列的通项公式进行求解即可.例1.已知数列{a n}满足a1=1，a n+1=3a n+1,求{a n}的通项公式.解：∵a n+1=3a n+1，∵a n+1+12=3a n+32=3(a n+12).∵a1+12=32，考点透视39∴数列{a n+12}是首项为32，公比为3的等比数列，∴a n+12=3n2，∴数列{a n}的通项公式为a n=3n-12.对于形如a n+1=ca n+d(c≠0，a1=a)的递推式，有时很难直接将其变形为a n+1+X=c（a n+X），此时需引入待定系数X，然后将其与原递推式中的各项进行对比，从而建立关于X的方程，解方程即可求得X的值，便可构造出辅助数列.二、形如a n+1=pa n+q n的递推式对于形如a n+1=pa n+q n(p、q为实常数，且n≠0、1)的递推式，也需采用构造法来求数列的通项公式.首先要将递推式变形为a n+1+X·q n+1=p（a n+X·q n）的形式，然后求出X，从而构造出等比数列{a n+X·q n}，再根据等比数列的通项公式来求出数列{a n}的通项公式.例2.已知数列{a n}满足a1=5，a2=5，a n+1=a n+6a n-1（n≥2）.求数列{a n}的通项公式.解：∵a n+1=a n+6a n-1（n≥2），∴a n+1+2a n=a n+6a n-1+2a n=3(a n+2a n-1)（n≥2）.∵a1=5，a2=5，∴2a1+a2=15，∴a n+2a n-1≠0，∴a n+1+2a nan+2a n-1=3（n≥2）.∴数列{a n+1+2a n}是以15为首项，3为公比的等比数列.可得a n+1+2a n=15×3n-1=5×3n，∵a n+1-3n+1=-2（a n-3n），∵a1=5，∴a1-3=2，∴a n-3n≠0，∵数列{a n-3n}是以2为首项，-2为公比的等比数列.∵a n-3n=2×（-2）n-1，即a n=-（-2）2+3n（n∈N*）.本题中的递推式较为复杂，递推式中a n+1、a n-1的系数都不是1，需先将递推式配成a n+1+2a n=3（a n+2a n-1）,这样便构造出等比数列{a n+1+2a n}，再根据等比数列的通项公式进行求解.例3.数列{a n}满足：a1=1，a n＋1=2a n+2n，则数列{a n}的通项公式为_____．解：∵a1=1，a n＋1=2a n+2n，∴a n+12n+1=a n2n+12，∴数列{}a n2n是首项为a12=12，公差为d=12的等差数列，∴a n2n=12+(n-1)×12=12n，即a n=n·2n－1.对于形如a n+1=pa n+q n的递推式，还可以在递推式的左右同时除以q n，将递推式转化为形如a n+1=ca n+d(c≠0，a1=a)形式，再通过构造出辅助数列，求得数列的通项公式.三、形如a n+1=a b n的递推式形如a n+1=a b n(b≠0，且为常数)的递推式中含有指数幂，较为复杂，需作降幂处理，可在递推式的左右两边同时取对数，将递推式变形为lg a n+1=lg a b n的形式，再通过变形得到lg a n+1=lg a2n=2lg a，从而构造出等比数列{lg a n}，最后根据等比数列的通项公式或累乘法求得数列{a n}的通项公式.例4.在数列{a n}中，已知a1=9，且a n+1=a2n，求数列{a n}的通项公式.解：∵a n+1=a2n，∴lg a n+1=lg a2n=2lg a n，∵{lg a n}是首项为lg9，公比为2的等比数列.∵lg a n=lg9·2n-1=lg32n，∴a n=32n.仔细观察递推式a n+1=a2n，可发现其中含有指数式，该递推式形如a n+1=a b n，需采用构造法求解.在递推式的两边取对数可得lg an+1=lg a2n=2lg a n，这样就构造出等比数列{lg a n}.可见，运用构造法求数列的通项公式，需根据递推式的结构特征进行合理的变形，以构造出辅助数列，通过求辅助数列的通项公式来求得数列的通项公式.有时通过猜想、试探、类比等方式也可以构造出辅助数列，然后对其进行验证，就能达到解题的目的.（作者单位：甘肃省平凉市灵台县第一中学）考点透视40。
用构造法求数列的通项公式几种常见方法
用构造法求数列的通项公式在高中数学教材中，有很多已知等差数列的首项、公比或公差(或者通过计算可以求出数列的首项,公比),来求数列的通项公式。
但实际上有些数列并不是等差、等比数列,给出数列的首项和递推公式,要求出数列的通项公式。
而这些题目往往可以用构造法，根据递推公式构造出一个新数列，从而间接地求出原数列的通项公式。
对于不同的递推公式，我们当然可以采用不同的方法构造不同的类型的新数列。
下面给出几种我们常见的构造新数列的方法：一． 利用倒数关系构造数列。
例如：}{n a 数列中，若),(411,211N n a a a nn ∈+==+求a nn n nn b b a b ==+1,1则设+4,即n n b b -+1＝４，nb {∴｝是等差数列。
可以通过等差数列的通项公式求出n b ,然再求后数列{ a n }的通项。
练习：1)数列{ a n }中，a n ≠0，且满足),(,311,2111N n a a a nn ∈+==+求a n2)数列{ a n }中，,22,111+==+n nn a a a a 求a n 通项公式。
3)数列{ a n }中,),,2(02,0,1111N n n a a a a a a n n n n n ∈≥=-⋅+≠=--且求a n .二． 构造形如2n n a b =的数列。
例：正数数列{ a n }中，若n n n a N n a a a 求),(4,52211∈-==+解：设4,4,112-=--==++n n n n n n b b b b a b 即则),71(,429429429)4()1(25254}{2211N n n n a na n nb a b b n n n n ∈≤≤-=∴-=-=-⋅-+=∴==-即，是等差数列，公差是数列练习：已知正数数列{ a n }中，),2(2,211N n n a a a n n ∈≥==-,求数列{ a n }的通项公式。