分形理论发展历史及其应用

一、分形理论

分形理论的起源与发展

1967年美籍数学家曼德布罗特在美国权威的《科学》杂志上发表了题为《英国的海岸线有多长?》的著名论文。海岸线作为曲线，其特征是极不规则、极不光滑的，呈现极其蜿蜒复杂的变化。我们不能从形状和结构上区分这部分海岸与那部分海岸有什么本质的不同，这种几乎同样程度的不规则性和复杂性，说明海岸线在形貌上是自相似的，也就是局部形态和整体态的相似。事实上，具有自相似性的形态广泛存在于自然界中，如：连绵的山川、飘浮的云朵、岩石的断裂口、布朗粒子运动的轨迹、树冠、花菜、大脑皮层……曼德布罗特把这些部分与整体以某种方式相似的形体称为分形(fractal)。1975年，他创立了分形几何学。在此基础上，形成了研究分形性质及其应用的科学，称为分形理论。

分形理论的发展大致可分为三个阶段：

第一阶段为1875 年至1925年，在此阶段人们已认识到几类典型的分形集，并且力图对这类集合与经典几何的差别进行描述、分类和刻画。

第二阶段大致为1926年到1975年，人们在分形集的性质研究和维数理论的研究都获得了丰富的成果。

第三阶段为1975年至今，是分形几何在各个领域的应用取得全面发展，并形成独立学科的阶段。曼德尔布罗特于1977年以《分形：形、机遇和维数》为名发表了他的划时代

的专著。

1.3.1 分形的定义

目前对分形并没有严格的数学定义，只能给出描述性的定义。粗略地说，分形是没有特征长度，但具有一定意义下的自相似图形和结构的总称。

英国数学家肯尼斯·法尔科内（Kenneth J.Falconer）在其所著《分形几何的数学基础及应用》一书中认为，对分形的定义即不寻求分形的确切简明的定义，而是寻求分形的特性，按这种观点，称集合F是分形，是指它具有下面典型的性质：a. F具有精细结构b. F是不规则的c. F通常具有自相似形式d. 一般情况下，F在某种方式下定义的分形维数大于它的拓扑维数。

另外，分形是自然形态的几何抽象，如同自然界找不到数学上所说的直线和圆周一样，自然界也不存在“真正的分形”。从背景意义上看，说分形是大自然的几何学是恰当的。

分形理论的研究方向及应用

虽然分形是近30年才发展起来的一门新兴学科，但它已经激起了多个领域科学家的极大兴趣，其应用探索遍及数学、物理、化学、材料科学、生物与医学地质与地理学、地震和天文学、计算机科学乃至经济、社会等学科，甚至艺术领域也有它的应用。

分形理论在石油上的运用

研究地质断层构造

地质断裂构造是一种重要的地质现象，具有不规则性；但断层的分布具有相似性，因此分形理论在构造研究中的应用将有着举足轻重的作用的。

研究低渗储层孔隙结构和预测砂体储层岩性

法国数学家Mandelbrot创立了分形几何理论为研究油气储集层多孔介质复杂的微观孔隙结构提供了新的思路和方法。

研究渗流力学模型

Cruz等人研究了碳酸盐油藏储层的天然裂缝的分形特性，在单孔和双孔渗流的前提下分别求出了扩散方程在拉氏空间的解析解，对其选取的分形参数对产量递减曲线的影响进行分析，得出的预测结果很好的拟合了后期的实际生产数据。

计算油水相渗曲线

分形具有两个最重要的特征：1)规则性；2)不可微分性。由于储层孔隙分布、毛细管渗吸通路的分布具有分形特征，因此分形理论在研究粘滞指进现象、微观残余油分布、多孔介质孔隙结构、分形渗流等诸多方面具有广阔的应用前景。

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