分形理论发展历史及其应用
科技与艺术历史
博物学家与插画大师的结合
科学史家乔治· 萨顿曾将真、善、美所对应的 科学、宗教与艺术比喻为一个三棱塔的三个
面，他说：“当人们站在塔的不同侧面的底
部时，他们之间相距很远，但当他们爬到塔 的高处时，他们之间的距离就近多了。” 正如博物学家达尔文（1809-1882）和德国 动物学家、哲学家恩斯特· · 海克尔（18391919），早期的自然科学家往往又是非常细 致的画家和插图大师，和科学艺术巨匠达•芬
奇一样，他们把对自然界的热爱和对宇宙万
生物学家，博物学家，进化论创始人 查尔斯· 罗伯特· 达尔文
物的虔诚与细致的观察融于笔记和书籍中， 成为后人不可多得的宝贵精神财富。
鹦鹉螺所蕴涵的奇妙数学
分形几何学与分形艺术图案
分形艺术图案体现了数学和“大自然美学”之间的联系。
分形艺术图案与大自然的许多植物有着惊人的相似之处。 通过计算机编程产生的这些令人目不暇接的精美分枝、螺
第1讲：科学与艺术的同源性
简洁性、对称性与大自然美学
德国动物学家和哲学家恩斯特· 海因里希· 菲利普· 奥古斯特· 海克尔 （1834－1919）认为生物学在许多方面与艺术类似。自然界中的对称， 比如单细胞生物中的放射虫对他的艺术天赋有很大的启发。海克尔擅长版 画和插图，尤其著名的是他画的浮游生物和海母的画，这些图画生动地体 现了生物世界的美。在其1896年发表的巨著《自然的艺术形式》中含有 数百幅非常细腻的植物、花卉和放射虫的骨骼的插图。他的插图生动地体 现出了大自然赋予生物的绝妙的对称结构学派把美的本质归于形式方面，并为美的现象寻找它的数学基础，
这种美学观对后世的影响深远。柏拉图在形式美方面采用和发展了毕达哥拉斯学
派的思想，他把形式美的本质看作秩序、比例、和谐。他说：“我说的形式美， 指的不是多数人所了解的关于动物和绘画的美，而是直线和园以及用尺、规和矩 所形成的平面形和立体形……我说，这些形状的美不像别的事物是相对的，而是按
几何里的艺术家——分形几何
几何里的艺术家——分形几何【摘要】分形几何是一门独特的数学领域，它以非整数维度的几何形状为研究对象。
本文将深入探讨分形几何的历史、基本概念和数学原理，以及在自然界中的展现和艺术中的运用。
分形几何不仅仅是一种数学理论，它还具有广泛的应用价值，在自然界的各个领域中都有着重要作用。
分形几何的未来发展也备受关注，展示着一种新颖的数学思维和艺术创意。
几何里的艺术家——分形几何，展现着独特的美学魅力，引领着无限的想象力和创造力，让我们一起探索分形几何的奥秘与魅力。
【关键词】分形几何、艺术家、几何、应用、历史、基本概念、数学原理、自然界、展现、艺术、运用、未来发展、魅力1. 引言1.1 什么是分形几何分形几何是一种研究自然和人造现象中形态结构的几何学领域，它研究的是那些不规则、复杂、自相似的图形或结构。
分形几何的研究对象不同于传统几何学中的简单几何图形，而是更接近自然界和人类创造的复杂形态。
分形几何通过数学建模和图形分析，试图揭示自然现象中隐藏的规律和结构。
在分形几何中，“分形”一词来源于拉丁文中的“fractus”，意为“破碎的”或“不规则的”。
分形几何的主要特点是自相似性和尺度不变性，即无论放大还是缩小，图形的结构都保持不变。
这种自相似性使得分形几何能够描述复杂的、非线性的系统，例如云彩、海岸线、树木等自然现象，以及数字信号处理、人工智能等人造结构。
通过分形几何的研究，人们可以更好地理解自然界中丰富多样的形态结构，探索规律和规律背后的美学。
分形几何的应用领域也越来越广泛，涵盖了物理学、生物学、经济学、艺术等多个领域。
在当今数字化时代，分形几何不仅是一门独具魅力的数学学科，更是连接自然、艺术和科学的桥梁。
1.2 分形几何的应用价值分形几何的应用价值非常广泛，涉及到许多领域，包括科学、工程、医学和艺术等。
在科学领域，分形几何被广泛应用于天文学、气象学、地质学和生物学等领域。
在天文学中，分形几何被用来研究星系和星云的形态，帮助科学家更好地理解宇宙的结构和演化过程。
分形原理及其应用
分形原理及其应用
分形是一种几何图形，它具有自相似的特性，即整体的形状和局部的形状都具
有相似性。
分形原理最早由法国数学家Mandelbrot提出，他认为自然界中的许多
现象都可以用分形来描述。
分形原理不仅在数学领域有着广泛的应用，还在生物学、物理学、经济学等领域都有着重要的意义。
在数学领域，分形可以用来描述自然界中的许多复杂现象，比如云彩的形状、
树叶的脉络、河流的分布等。
利用分形原理，我们可以更好地理解这些现象背后的规律。
而在生物学领域，分形原理也有着广泛的应用。
比如，我们可以利用分形原理来研究植物的生长规律，动物的群体分布等。
在物理学领域，分形可以用来描述许多复杂的物理现象，比如分形几何可以用来描述分形维度，分形维度可以用来描述物体的复杂程度。
除了在基础科学领域有着广泛的应用之外，分形原理还在工程技术领域有着重
要的意义。
比如，在图像处理领域，我们可以利用分形原理来进行图像的压缩和识别。
在信号处理领域，分形原理也可以用来进行信号的分析和处理。
在金融领域，分形原理可以用来描述股票价格的波动规律，从而帮助投资者进行风险管理。
总的来说，分形原理是一种非常有用的数学工具，它不仅可以用来描述自然界
中的复杂现象，还可以在工程技术领域有着广泛的应用。
随着科学技术的不断发展，相信分形原理会有更多的应用场景被发现，为人类的发展带来更多的帮助和便利。
希望本文的介绍能够让读者对分形原理有更深入的了解，并且能够在实际应用
中发挥更大的作用。
分形原理的应用领域还在不断扩大，希望大家能够关注并且深入研究，为人类的发展做出更大的贡献。
研究生自然辩证法试题及答案
05-06（上）《自然辩证法概论》试题A （硕士研究生)一、辨析题：（先判断是非，再简述理由。
21分,每小题7分）1、自然辩证法是一门交叉的自然科学。
答：错.因为：自然辩证法的性质是一门自然科学、社会科学和思维科学相交叉的哲学学科。
2、工业革命进程的加速，加剧了人与自然的对立。
答：正确。
因为：工业革命的发展进程，随科学技术的迅猛发展和广泛运用，人对自然的控制与支配能力急剧增强,人与自然的关系发生了重大转变,人的自我意识极度膨胀，自视为自然的主人和统治者，逐渐漠视自身对自然环境和自然资源的依赖性,对自然一味地强取豪夺，从而激化了人与自然的矛盾，加剧了人对自然的对立。
3、用系统思想来看，技术进步和技术发展表现为技术的结构和技术的功能之间的矛盾。
答：正确。
因为:技术进步和技术发展是由技术内外的矛盾相互作用的结果.从技术体系内在动因来看，劳动过程中各种要素及其它们之间的矛盾是技术进步和技术发展的内在原因.它们以技术规范和技术实践的矛盾表现出来。
技术是功能的基础，结构决定功能,技术改变、创造结构，从而开发功能.二、简述题：(简述问题要点,并对要点进行阐释。
30分,每小题15分。
)1、简述自组织理论的基本思想及其世界观方法论意义。
答：自组织理论是由耗散结构、协同论、分形理论、超循环理论、突变论和混沌理论所构成的“复杂理论"体系.它从各个不同角度阐明了自组织是自然界物质系统自行有序化、组织化和系统化的过程.一个远离平衡态的开放系统通过其与外部环境进行物质能量和信息的交换,能够形成有序的结构，或从低序向高序的方向演化。
开放性、远离平衡态、非线性相互作用和涨落，是自然系统演化的自组织机制。
自然界的演化，既不是单调地走向有序和进化，也不是单调地走向无序和退化.有序与无序的不断转化,进化与退化的不断交替，使自然界处于永恒的物质循环之中其方法论意义在于:（1）耗散结构理论解决了达尔文进化论和热力学第二定律在自然界演化方向上的矛盾。
成都科技馆展品介绍及原理
成都科技馆展品介绍及原理用明显的数学模型加工出的分形工艺品为西尔平斯衬垫。
取一个三角形并把它分割成四个较小的三角形，拿掉中心部分的第四个三角形，便留下一个白三角形。
每一个新三角形也重复上述做法，便能获得尺度不断缩小具有同样形式的结构，边长总是教上一步边长缩小一倍。
当客体的部分和整体完全相似，就可以说客体是线性自相似的。
大家都以为数学是很古老的科学，有着悠久的历史。
其实，数学也像其他科目一样，是在不断更新和发展的。
其中，分形数学就是一个典型的例子。
分形数学到目前为止约有三十多年历史，1973年，曼德勃罗在法兰西学院讲课时，首次提出了分维和分形几何的设想。
分形一词，是曼德勃罗创造出来的，其原意具有不规则、支离破碎等意义，分形几何学是一门以非规则几何形态为研究对象的几何学。
由于不规则现象在自然界是普遍存在的，因此分形几何又称为描述大自然的几何学。
分形几何建立以后，很快就引起了许多学科的关注，这是由于它不仅在理论上，而且在实用上都具有重要价值。
它第一次引起公众注意的是《科学美国人》1985年上关于曼德勃罗集的一篇文章，自那以后，分形在表现形式和分形几何的理解等方面得到许多进展。
也许，现在恰好到了规定和表述什么是分形，怎么应用分形的时候了。
上世纪80年代初开始的“分形热”经久不息。
分形作为一种新的概念和方法，正在许多领域开展应用探索。
美国物理学大师约翰·惠勒说过：今后谁不熟悉分形，谁就不能被称为科学上的文化人。
由此可见分形的重要性。
中国著名学者周海中教授认为：分形几何不仅展示了数学之美，也揭示了世界的本质，还改变了人们理解自然奥秘的方式；可以说分形几何是真正描述大自然的几何学，对它的研究也极大地拓展了人类的认知疆域。
分形几何学作为当今世界十分风靡和活跃的新理论、新学科，它的出现，使人们重新审视这个世界：世界是非线性的，分形无处不在。
分形几何学不仅让人们感悟到科学与艺术的融合，数学与艺术审美的统一，而且还有其深刻的科学方法论意义。
基于位序规模法则的我国城市用地规模分布变化研究(2000年～2012年)
基于位序规模法则的我国城市用地规模分布变化研究(2000年～2012年)周晓艳;韩丽媛;叶信岳;姚丽;王柏源【摘要】我国已进入快速城市化时期,城市用地迅速增长,研究我国城市用地规模分布变化规律有助于在城市化进程中合理配置城市用地,促进城市体系协调发展.选择2000年～2012年我国地级及以上城市的建成区面积数据,利用位序-规模法则结合分形理论,研究我国城市用地规模分布的变化趋势并分析不同区域城市用地规模分布变化的差异性.研究结果表明:(1)以建成区面积衡量城市规模,我国城市规模分布符合位序-规模法则;(2)城市规模的位序-规模对数曲线呈平行向前推进趋势,城市用地规模总量增加,但城市用地规模分布Zipf指数呈上升趋势,城市用地规模分布的均衡度下降;(3)按建成区面积分类,超大、大城市的城市用地增长速度快于中小城市;(4)不同区域城市用地规模分布变化特征反映出差异性:4大区域中东部地区城市用地规模Zipf指数始终最接近理想值1,表明东部地区高中低位次城市用地发展较为协调,东北地区以及西部地区城市用地规模分布趋向于集中,高位次城市用地扩张明显快于中低位次城市,中部地区城市用地规模分布较为分散,但近几年高位次城市用地规模扩张趋势明显增加.【期刊名称】《华中师范大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2015(049)001【总页数】7页(P132-138)【关键词】土地利用;城市用地规模;位序-规模法则;帕累托公式;分形【作者】周晓艳;韩丽媛;叶信岳;姚丽;王柏源【作者单位】武汉大学资源与环境科学学院,武汉430079;武汉大学资源与环境科学学院,武汉430079;美国肯特州立大学地理系,俄亥俄州美国44240;中国土地勘测规划院地政研究中心,北京100035;中国土地勘测规划院地政研究中心,北京100035【正文语种】中文【中图分类】F292所谓城市规模分布是指某区域(国家、地区)内城市规模的层次分布，即城市从大到小的序列与其规模的关系.城市规模分布是否合理关系到城市功能、规模效应和经济效益等的发挥，城市规模分布研究是城市体系规划以及城市规划工作的重要基础，科学的分析区域城市规模分布的演变特征及其发展趋势对准确预测城市规模，合理确定城市体系结构具有重要作用.我国城市化进入加速发展期，城市建设日新月异，城市用地规模迅速增长成为我国城市化过程中的重要特征，城市用地的空间扩张与土地资源短缺的矛盾日益尖锐.未来，随着我国城市化进程的进一步提速，城市用地需求及土地供给间的缺口将继续扩大，实现城市用地合理配置是我国城市化进程中亟需解决的重大问题.研究我国城市用地规模分布的现状特征及变化规律有助于在城市化进程中合理配置土地资源，调控大中小城市用地扩张，缓解城市化进程中用地紧张的局面，为制定城市用地规模发展政策提供参考.位序-规模法则是描述城市规模分布的一个重要方法.作为一个经验定律，其揭示了经济空间结构中普遍的规律性.在城市规模的研究中，多数学者运用位序-规模法则进行城市人口规模分布的研究[1-5]，只有少部分国内外学者把位序-规模法则运用在城市用地的研究上，用以刻画城市土地利用的变化规律[6-9].近些年，我国东、中、西及东北地区在经济发展、城镇化发展等多方面表现出了明显差异性，而已有的相关研究中，关于我国不同区域城市用地规模分布变化的差异性研究较为少见.本文拟以城市建成区面积表征城市用地规模，运用位序-规模法则及分形理论，利用2000年～2012年地级及以上城市建成区面积的统计数据，研究我国城市用地规模分布的变化特征及趋势，并分析不同区域城市用地规模分布变化的差异.1.1 研究方法自20世纪20年代起，描述城市规模分布规律的理论与模型陆续被提出，其中最主要的有2种：首位城市法则和位序-规模法则.一般来说，人口少、面积小、城镇化历史较短的国家首位分布较为明显；人口多、面积大、城市发展历史悠久的国家位序-规模分布比较突出.我国幅员辽阔，人口众多，具有悠久的城市发展历史，应用位序-规模法则描述我国城市规模分布的特征具有合理性.位序-规模法则最早由德国经济学家Auerbach(1913)提出.随后一些学者对这一理论进行了完善与修订.G.K.Zipf(1949)对发达国家的城市体系进行了研究，认为在发达国家城市的位序和人口规模之间呈现出理想的直角双曲线关系，后来形成了著名的Zipf法则[10].其后不少学者对位序-规模法则进行了发展与实证研究[11-13].随着复杂性科学的发展和应用，分形理论引入到城市体系研究中，特别在城市规模分布研究中得到全新的应用[14-16].1.1.1 位序-规模法则对于一个城市的规模和该城市在国家所有城市按规模排序中的位序的关系所存在的规律，就叫做位序-规模律.对于位序-规模法则,卡特罗公式是位序-规模法则最常见的表达式之一：为直观起见，通常对卡特罗公式进行自然对数变换：式中，Ri为按规模从大到小排序后城市i的位序；Si为位序为Ri的城市规模；S0为首位城市规模的理论值；参数q通常被称为Zipf指数.对于位序-规模法则，地理学中还经常用帕累托公式来表示：对应的自然对数形式：式中，N为大于某规模的城市数量；D为城市规模分布的维数；A为系数；Li为位序为i的城市规模.1.1.2 分形理论位序-规模法则能够对城市规模分布的规律进行较好的描述，但在解释城市规模分布模型参数的地理意义时存在困难.在城市体系等方面的研究中，往往将位序-规模法则和分形理论相结合，借助分形理论更深入理解城市规模分布的特点.研究表明，由于城市体系的等级结构存在无标度性，具有分形特征，对此已有相应的说明和推导过程[17].城市规模分布的分维值(D)和公式(1)中的q存在如下关系[18]：分维值及Zipf指数的地理意义：q和D的大小均可反映城市体系的均衡程度.当q越大，D越小时，说明区域内城市规模分布比较集中，居于高位次的大城市很突出，居于中低位次的中小规模城市不够发达.城市之间规模差异较大.当 q越小，D越大时，说明区域内城市规模分布比较分散，高位次城市规模不很突出，中小城市相对来说比较发达；城市规模分布差异不大.当q和D同时接近于1时，说明区域内首位城市规模与最小城市的规模之比接近本区域的城市总数.城市规模分布接近于Zipf的理想状态，各个规模等级城市数量比例比较合理.lnA被称为结构容量[17].对城市体系而言，结构容量越大，说明城市体系越复杂，总体规模越大；相反结构容量越小，说明城市体系越简单，总体规模越小.1.2 数据来源研究数据来自《中国城市统计年鉴》，采用2000年～2012年的数据.研究对象为地级及以上城市(不包括市辖县)，城市用地规模以市辖区的建成区面积表示.由于部分统计数据缺失，研究中未包括西藏自治区、香港、澳门和台湾地区的数据.研究包括我国地级及以上城市2000年～2012年期间13个年份的3 429个建成区面积数据.随着我国经济社会的加速发展，城市用地规模不断扩大，城市用地规模分布变化随之呈现出相应特征.分析这些特点，探析我国城市用地规模分布变化的规律性，对于全面认识我国城市用地规模分布，优化城市体系结构，充分发挥城市功能具有重要意义.2.1 2000年～2012年我国城市用地规模分布符合位序-规模法则以城市位序为横坐标，以城市建成区面积为纵坐标，将我国2000年～2012年的地级及以上城市数据按照公式(1)进行回归.以城市建成区面积为横坐标，大于对应横坐标建成区面积的城市数目为纵坐标，将数据按照公式(3)进行回归，并将数据进行对数线性化使其转变为公式(4)的形式，表1列出了相关回归结果.结果显示，各年份模型拟合的判定系数都在0.9以上，说明模型拟合优度较好，位序-规模法则能够较好的描述我国城市用地规模的分布.2000年～2012年，判定系数呈波动上升的趋势，表明我国城市用地规模分布越来越符合位序-规模分布.2.2 2000年～2012年我国城市用地规模总量持续增加从表1可以发现，2000年～2012年我国城市体系的结构容量lnA虽有波动，但总体呈上升趋势.结构容量从2000年的9.331增加至2012年的9.738，表明我国城市用地规模总体扩大的趋势明显，城市体系越来越复杂.图1显示出我国城市用地规模分布的位序-规模对数曲线随着时间呈平行向前推进趋势，也说明我国城市用地总规模在持续增长.但曲线随着X轴(城市位序)的变化，位序规模对数曲线向前推进的间距有所差异，表明不同位次的城市用地规模增长速度有所差别.2.3 2000年～2012年我国城市用地规模分布的均衡度下降在对1990年～2000年我国城市用地规模分布演进的已有研究中，虽然选择的研究样本不尽相同，但普遍认为该阶段我国城市用地规模分布呈现Zipf指数下降，均衡度上升的特征趋势[7-8].即1990年～2000年间，全国城市用地规模分布的均衡程度有明显增强的趋势.但是根据本文研究发现，2000年～2012年我国城市用地规模分布的Zipf指数从2000年的 0.74增加至2012年的0.822，Zipf指数总体呈上升趋势，城市用地规模分布的均衡度下降.进一步从城市用地规模分布的Zipf指数的变化发现，在2005年后这一上升趋势有所放缓.我国城市用地规模分布演进在2000年前后呈现不同阶段性特征，一个可能的重要原因是国家城市发展方针政策的调整.改革开放后，国家实施控制大城市规模的政策.1990年国家城市发展政策为“严格控制大城市规模、合理发展中等城市和小城市”.20世纪90年代末，约束大城市规模的城市发展政策开始逐渐弱化.2001年，“十五”规划中对城市发展方针调整为：“有重点地发展小城镇，积极发展中小城市，完善区域性中心城市功能，发挥大城市的辐射带动作用”.对大城市的发展从“控制”改为“完善”和“发挥”.国家对大城市的限制政策放松，给大城市规模迅速增长提供了机遇.2.4 2000年～2012年我国不同类型的城市用地规模的变化趋势根据目前我国城市建成区面积的统计数据，将我国地级及以上城市分为4类.第1类，超大城市：城市建成区面积≥500 km2；第2类，大城市：城市建成区面积在200～500 km2(不包括500 km2)之间；第3类，中等城市：城市建成区面积在50～200 km2(不包括200 km2)之间，第4类，小城市：城市建成区面积<50 km2.以2000年、2006年、2012年为时间点研究不同类别城市用地规模的演化情况.图2表明，超大城市和大城市建成区面积增长速度较快，占全部城市用地面积的比重逐步增加.中等城市建成区面积占全部城市用地面积的比重最大，但增长速度减缓，占全部城市用地面积的比重呈逐年下降的趋势.小城市建成区面积增长速度也比较慢，占全部城市用地面积的比重逐步减少.采用传统的4大经济区域的划分，分别研究不同区域城市用地规模分布变化的特征.根据位序-规模法则，对4大区域的双对数形式的位序规模散点图进行拟合，整体拟合度在0.889以上，拟合度较好(表2).表明4大区域城市规模分布均基本符合位序-规模法则.但是由于不同区域地理区位条件、经济发展水平和人口资源环境条件各异，且受到区域发展政策的影响，不同区域城市规模分布演变特征也反映出一定的差异性.3.1 2000年～2012年我国东部地区城市用地规模分布变化特征从表2可以看出，2000年～2012年，以建成区面积衡量城市规模，东部地区城市体系的结构容量lnA由7.884上升到8.561，城市体系总体规模不断扩大.Zipf指数由2000年的0.836到2012年的0.889，呈现上升的趋势，说明东部地区城市用地规模整体趋向集中分布，高位次城市用地扩张较快.从图3进一步可以看出，该区域在高位次城市用地规模扩张的同时，中低位次城市用地规模也不断增长，且近几年高位次城市用地规模增长趋势所放缓.东部地区城市用地规模分布的对数曲线呈整体近似平行向上推移的特点，说明从城市用地规模的扩展来看，东部地区大中小城市整体发育良好，逐步趋向形成一个较稳定成熟的体系.3.2 2000年～2012年我国东北地区城市用地规模分布变化特征从表2可以看出，2000年～2012年以建成区面积衡量城市规模，东北地区城市体系的结构容量lnA由7.571下降到7.32， Zipf指数由0.745上升到0.88.结构容量lnA下降及Zipf指数上升表明该地区城市之间的用地规模差距拉大，高位次大城市绝对发育[17] ，中低位次城市发育不足.该结论可以进一步从图4发现，该地区位序-规模双对数曲线随着时间向上推进，左上部分曲线向上推进的幅度明显大于中间部分和右下部分.该曲线形态说明东北地区高位次城市用地规模增加速度很快，中低位次城市用地规模增长极为缓慢.3.3 2000年～2012年我国中部地区城市用地规模分布变化特征从表2可以看出，2000年～2012年以建成区面积衡量城市用地规模，我国中部地区的lnA由8.943上升到9.825，城市总体用地规模扩大.Zipf指数由2000年的0.614上升到2012年的0.644.从图5来看，2000年～2012年，中部地区中低位次的城市用地规模保持着相对稳定的增长速度，而高位次城市在2004年以前发展几乎停滞.2004年后，中部地区高位次城市用地规模增长明显加速并超过了中低位次城市.2004年后中部地区大城市的加速发展和用地扩张，与“中部崛起战略”政策的实施相契合.自2004年提出中部崛起以来，在政策和市场的合力作用下，资源、资金和人口开始流向中部地区.基础设施较完善、综合实力较强的省级以上中心城市是引入资源、人口和资金最先受益的集中点.作为资源、人口和资金的主要空间载体，高位次城市用地面积迅速扩大.3.4 2000年～2012年我国西部地区城市用地规模分布变化特征从表2可以看出，2000年～2012年以建成区面积衡量城市规模，我国西部地区lnA由7.206上升到7.924，城市体系整体发育一般.Zipf指数由0.835上升到0.869，说明西部地区城市用地规模整体趋向集中分布，高位次城市用地扩张较快.从图6来看，我国西部地区高位次城市用地规模增长速度快于中低位次城市用地规模.总体来看，近十年西部地区的城市化进程中，城市用地规模增长集中的力量大于分散的力量，大城市用地规模增长较快，中小城市用地规模增长一般.3.5 我国不同区域城市用地规模分布变化的差异性我国不同区域城市用地规模分布及变化存在一致性也有差异.各个区域结构容量lnA的普遍增加趋势反映出各区域城市体系总体规模增加，城市体系不断发育；Zipf指数的普遍上升反映出城市用地规模分布均衡度下降，中高位次城市用地增长速度快于低位次城市的趋势.但是不同区域的城市用地规模分布演进特征也反映出一定差异性.从Zipf指数的绝对值来看，东部地区城市用地规模分布的Zipf指数始终最接近理想值1，说明在四大区域中东部地区的城市用地规模分布较均衡，各个规模等级城市数量比例比较合理，大中小城市用地发展比较协调.中部地区城市用地规模分布的Zipf指数始终远小于理想值1，说明中部地区的城市用地规模较为分散.从不同区域位序-规模曲线的随着时间平行移动幅度来看，2000年～2012年城市用地扩张幅度具有明显的区域差异性.东部地区的位序-规模曲线移动幅度最大，中部与西部地区次之，东北地区曲线间隔距离最小，表明近十年东部地区城市用地面积扩张幅度最大，中部地区与西部地区城市用地扩张幅度次之，东北地区城市用地扩张幅度最小.从位序-规模曲线在中低位次城市的平行移动幅度来看，东北地区位序-规模曲线在中低位次城市移动幅度最小，表明近十年东北地区中小城市用地规模增长最为缓慢，中小城市用地规模增长基本停滞.本文利用位序-规模法则和分形理论，对2000年～2012年我国城市用地规模的演进特征及区域差异进行了研究，得出以下结论及展望.(1)以城市建成区表示城市用地规模，我国城市用地规模分布符合位序-规模规律；城市用地规模持续增加，但城市用地规模分布的均衡度减弱，中高位次城市用地增长速度快于低位次城市；超大城市和大城市占城市用地面积的比重逐步增加，中等城市和小城市占城市用地面积的比重逐步减少.(2)由于历史基础、地理区位条件、经济发展水平和人口资源环境条件各异且受到区域发展政策的影响.我国四大经济区域城市用地规模分布演变特征也反映出一定的差异性.东部地区城市用地规模增长最快，其Zipf指数始终最接近理想值1，表明从城市用地规模角度来看，该地区的城市体系趋向协调与成熟.我国东北以及西部地区城市用地规模分布趋向于集中，高位次城市用地增长发展明显快于中低位次城市，尤其是东北地区低位次城市用地规模增长基本停滞.我国中部地区城市用地规模分布较为分散，中等城市用地规模增长相对稳定，但近几年高位次城市用地规模扩张趋势明显增加.(3)虽然目前还没有一般意义上最佳城市用地规模，但是研究普遍认为城市规模分布的集中度不能太大，城市用地在特大城市、大城市中过度集中，城市体系资源耗费较大，环境压力沉重；城市规模分布的集中度也不能太小，太小意味着城市体系内各城市用地规模差别较小，从而城市体系的经济效益较差，用地浪费.所以在制定城市体系发展政策时，要在充分把握不同区域城市用地规模分布的现状特征及其演变规律的基础上进行合理的差别化政策性调控.【相关文献】[1] 毛广雄，曹蕾，丁金宏，等. 基于传统和五普口径的江苏省城市规模分布时空演变研究[J].经济地理， 2009， 29 (11):1833-1838．[2] 程开明，庄燕杰. 城市体系位序-规模特征的空间计量分析——以中部地区地级以上城市为例[J].地理科学， 2012， 32(08):905-912．[3] 余吉祥，周光霞，段玉彬. 中国城市规模分布的演进趋势研究——基于全国人口普查数据[J].人口与经济， 2013 (02):44-52．[4] 张锦宗，朱瑜馨，曹秀婷. 1990-2004中国城市体系演变研究[J].城市发展研究， 2008，15(04):84-90．[5] 苏飞，张平宇. 辽中南城市群城市规模分布演变特征[J].地理科学， 2010， 30(03):343-349．[6] Schweitzer F， Steinbrink J. 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分形理论及其在林业中的应用与研究进展
（ 京林 业 太 学 ， 京 ２０ ３了分 形 的基 本 概 念 及 其 发 展 史 ， 述 和 分 析 了分 形 理 论 在 土 壤 综
性 质 、 惫 学 、 火 初 期 蔓 延 、 本 动 态 过 程 分 析 、 材 科 学 及 工 艺 、 层 结 构 特 生 群 树 术 冠
式 下 的 自相 似性 、 维 数 不 必 为 整 数 的 几 何 伴 或 演 化 着 的形 态 。 与 此 相 应 ， 们 把 那 种 形 其 我
状 规 则 、 数 一 定 为 整 数 的 几何 体 或 形 态 称 为 整 形 。 形 ： 任 意 复 杂 和 粗 糙 的 形 体 或 形 维 分 是 态 ， 是 “ 糙 同 时 又 自相 似 性 ” 形 体 或 形 态 ． 分 形 几 何 是介 于 几 何 混 沌 和 欧 氏 几何 之 而 粗 的 即 间 的 第 ３种 可 能 类 型 的 图形 。分 形 理 论 具 有 较 多 的特 征 具 有 精 细结 构 ， 在 着 任 意 小 如 存
分 形 理 论 的 发 展 ， 研 究 树 木 及 其 有 关 的性 质 提 供 了一 种 新 的 工 具 ， 为 促 进 林 业 的 为 并
发 展 注 入 新 的 活 力
１ 分 形 理 论 及 其 发 展 历 史
１ １ 分 形 理 论 ．
所谓 分形 （ｒｃａ） 指某 种具 有不 规则 、 离破 碎 的 ， ｆ ￣］是 ａ 支 同时其 部分 又与整 体有某 种 方
几 何 、 曼 几 何 、 分 几 何 等 研 究 的都 是 规 则 形 状 。而 自然 界 中的 许 多 事 物 不 仅 不具 有 规 黎 微 则 的 形 状 和 结 构 ， 且 其 外 表 和 内部 还 具 有 极 其 复 杂 的 、 互 嵌 套 的形 状 与 结 构 ， 木 就 而 相 树 是 其 中 的 一个 典 型 的例 子 。
复杂性视角下的社会历史发展——对历史合力论的反思
DO NG HUA UNIVERSIT 硕士学位论文 MASTER DISSERTATION 论文题目： 复杂性视角下的社会历史发展 ——对历史合力论的反思 马克思主义哲学 陆叶娉 张 怡 2014.11 学科专业 作者姓名 指导教师 完成日期 ： ： ： ：东华大学硕士学位论文Dissertation of Master Degree of Donghua University复杂性视角下的社会历史发展——对历史合力论的反思FROM THE PERSPE C TIVE OF C OMPLEXITY OF SO C IAL AND HISTORI C ALDEVELOPMENT—FO C US ON THE HISTORI C AL FOR C E THEORY学科专业作者姓名指导教师答辩日期：：：：马克思主义哲学陆叶娉张怡2015.1东华大学学位论文原创性声明本人郑重声明：我恪守学术道德，崇尚严谨学风。
所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立进行研究工作所取得的成果。
除文中已明确注明和引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或集体己经发表或撰写过的作品及成果的内容。
论文为本人亲自撰写，我对所写的内容负责，并完全意识到本声明的法律结果由本人承担。
学位论文作者签名：日期：年月日东华大学学位论文版权使用授权书学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同意学校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅或借阅。
本人授权东华大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。
保密□，在年解密后适用本版权书本学位论文属于：不保密□学位论文作者签名：指导教师签名：日期：年月日日期：年月日复杂性视角下的社会历史发展——对历史合力论的反思摘要1890 年，恩格斯就社会历史发展过程提出了历史合力论学说。
历史合力论的平行四边形法则，则是对人们的意志和力量如何创造历史的一种概括。
江苏省泰州中学高中数学选修课课件：数学史选讲-分形概述 (共55张PPT)
理 工 作 等 。 现从三 方面对 2008年 的工 作情况 如下: 一 、 一 年 来 所做的 工作
江苏省泰州中学数学选修课
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图3 谢尔宾斯基三角形 江苏省泰州中学数学选修课
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分形
将分形看作具有如下性质的集合:
1.F具有精细结构，即在任意小的比例尺度内包含 整体。
2.F是不规则的，以致于不能用传统的几何语言来 描述。
康托尔集F的自相似维数
由于康托尔集F中点的数目为∞，而长度为 0，因此F的维数既不是0，也不是1，而是 一个介于0与1之间的分数。
科赫曲线F的自相似维数为
dim F
ln 2 ln 3
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谢尔宾斯基地毯
波兰著名数学家谢尔宾斯基在1915-1916 年期间构造了几个典型的例子， 这些怪物 常称作“谢氏地毯”、“谢氏三角”、“谢 氏海绵” 。如今，讲分形都要提到。它们 不但有趣，而且有助于形象地理解分形。
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Koch曲线的生成过程 —第4步
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Koch曲线与雪花曲线
—连接在一起的三段Koch曲线构成一个雪花曲线
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分形几何及其应用
分形几何及其应用作者：朱志宝等来源：《价值工程》2012年第35期摘要：自然界中存在着很多结构复杂的图形，这些图形都是欧式几何学无法解释的，因此人们引出了分形的概念；用分形几何学的方法，比较简单地解决了对这些复杂的图形的认识；随着分形几何学的不断发展和完善，分形几何已经成功的应用到各种学科领域，并且取得了大量研究成果。
本文主要介绍了分形的定义以及阐述了分形在自然界、材料学、图像压缩技术、分形生长、岩土工程领域和石油工业等科学和技术方面的应用。
Abstract： There are a lot of complex graphics in nature which can't be explained by European geometry， so people introduced the concept of fractal. By using the fractal geometric method，these complex graphics can be easily to know. With the continuous development and perfect of fractal geometry， fractal geometry has been successfully applied to various disciplines， and lots of research results were presented.In this article， the definition of fractal introduced was described and the application of fractal in nature， materials science， image compression technology， fractal growth，geotechnical engineering fields and the application in the oil industry were elaborated.关键词：欧式几何；分形几何；自相似性；分形维数Key words： European geometry；fractal geometry；self-similarity；fractal dimension中图分类号：G623.5 文献标识码：A 文章编号：1006-4311（2012）35-0005-030 引言在我们的日常生活中一提到图形人们便会很自然的想到正方形、三角形、圆形等其它一些常见的图形，并且我们可以运用已有的工具去测量它们长度，进而可以得到我们所需要的面积、体积等数据。
数学的发展历史思维导图
埃及象形文字
印度河谷在称重和测量中使用挂轮比值
毕达哥拉斯定理
，这一系统仍用于现在的时间和角度计算
莱因德纸草书
毕达哥拉斯
欧几里得
婆罗门数字
亚历山大的海伦
印度
斐波纳契数列
开普勒宇宙模型
伽利略
布莱斯
帕斯卡三角
艾萨克
莱昂哈德
巴贝奇计算机
海王星
理查德
阿尔伯特
伯特兰
阿兰
分形
用计算机进行新的证明，如回答下列问题：要想对任意地图着色而相邻区域颜色不重
几种颜色？问题很简单，但只有计算机考虑到所有可能的方案之后才能解
费马大定理。
创新企业发展的分形理论研究
分形 自相 似 文献 标 识 码 ：Ａ 文 章 编 号 ： １０—９ ３（ ０ ０ ０ ｌ１ １０ ０ ７３ ７ ２ １ ） ｌ・２ ・２
从 ｌ 世纪开始， ６ 人们把世界看做一个没有生命的大机器。 可微 分形现象是这种不规则图形的一部分与整体相似的现
几 百 年 来 ，人 们 创 造 了从 蒸 汽 机 到 宇 宙 飞船 等 各 种 复 杂 的 机 象 ， 自然 界 和 社 会 活 动 中广 泛 存 在 。分 形 学 ， 一 门 以 非 规 在 是 器 ，人们也用控制机器的思维去控 制世 界。这种思想也越来 则 几 何 形 态 为研 究对 象 的 几何 学 。
３ 文化 遗 产 的利 用
适应现代生活、 保护传统风貌 、 延续历史文化、 开发文物 资
源 、 荣 旅 游 产 业 是 现 在 多 数 旧 城 改 造 的 方 针 。 现 代 化 的 理 繁 将
台儿 庄 古 城 面 积 ２ 方 公里 ， 括 １ 个 功 能 分 区 、 景 念 、 准 和 手 段 融 入 到 历 史 街 区保 护 与 复 兴 过程 中 去 ， 平 包 １ ８大 标 为其 注 区和 ２ ９个 景 点 ， 照 “ 战 故 地 、 河 古 城 、 北 水 乡 、 尚 生 入 新 的 内涵 和 活 力 ， 筹 保护 历 史 文化 资源 ， 塑 历 史 街 区优 按 大运 江 时 统 重 活” 的定 位 ， 循 “ 古 、 遵 存 复古 、 古 ” 创 的理 念 ， 保存 下 来 的 大 战 美 空 间秩 序 。 将
山脉、 叶的边 界等是不规则 的； 树 尽管处处连续 ， 但并非处处 似 ， 分形在任一尺度下都表现 出相 同结构。 常由迭代 函数系 通
・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・， ・ ・ ・ ・ ・ １ ｏ
简述中国数学的发展史
简述中国数学的发展史中国数学发展史：历史与传统一直保鲜中国数学的发展史可以追溯到两千多年前，是基于当时基于当时用数学领域发展出的算法和工具而演变而成。
中国数学 but 研究的深远性及其贡献享誉全球，令它在古代文明的巅峰时期占据重要地位。
本文将重点讨论近代中国数学发展史。
一、古代中国数学的起源古代中国数学的发展可以追溯到夏朝以前，一步步演变而来，从简单计数工具到绘制有规律图形。
其中有很多方面的研究，如分形计算、比例、极坐标、等值线、相似概念等，可以追溯到秦朝以前。
《九章算术》是古代中国数学的伟大成就，记载了中国古代研究数学的基础知识，并以此为基础发展出很多数学领域的算法和工具。
二、唐宋数学的复兴唐宋时期，中国的数学研究逐渐受到重视，诸如《郑玄算经》、《裴达森算经》、《支学算经》等著作相继推出，大大推动了中国数学的发展。
值得一提的是，巫马可以将数学技术应用到天文、地理和医学等领域，把它们作为辅助手段，让中国古代数学技术的发展取得了质的飞跃。
三、明清数学的蓬勃发展明清时期，中国数学技术受到国内外的瞩目，得到大幅提升。
榜样最高的是范仲淹，《流沙池记》、《定经》以及集大成的《算学启蒙》让中国数学技术具有世界性的影响力，被公认为是专业数学著作，有很高的学术地位。
另外，著名数学家周辩和穆蔚在回归分析、拉格朗日法及新型椭圆函数领域也做出了重要贡献。
四、近代中国数学的发展近代，中国的哲学数学发展遭受中国历史的沉重打击，不得不向西方学习数学知识，从而推动了中国储存数学知识的转变。
现在，数学大多由实验研究提供的数据进行计算，而不是像以前那样，通过计算机技术来求解问题。
20世纪，中国出现了一些著名的数学家，他们在微积分、线性代数和实分析等领域做出了卓越的贡献。
五、结论提及中国数学发展史，我们不得不从古代，从夏朝开始说起，历时上千年，中国数学系统地学习了很多西方数学知识，把它应用到了日常生活中。
中国数学的传承有着悠久的历史，它的传统一直保留良好，并给后人留下了无尽的财富和影响力。
分形几何概述
分形几何的应用
图像，数据压缩方面的研究。 如：对某一个静态场景的分形压缩。
自然景物的模拟 如：雪花，海岸线，分形山，分形树叶
分形生长模型
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对某一个静态场景的分形压缩
原图
分形压缩得到的图形
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分形山
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分形树叶
整理课件
分形树叶(续1)
整理课件
整理课件
Koch曲线的生成过程 —第0步、第1步
整理课件
Koch曲线的生成过程 —第2步、第3步
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Koch曲线与雪花曲线
—连接在一起的三段Koch曲线构成一个雪花曲线
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Koch曲线的一些基本性质
Koch曲线具有与Cantor集，Sierpinski垫 片类似的性质.
长度等于无穷.
一般地，E的“分形维数”（以某种方式 定义）大于它的拓扑维数。
在大多数令人感兴趣的情形下，E以非常 简单的方式定义，可能由迭代产生。
整理课件
分形几何的研究方法 ——维数和测度
我们仅讨论维数 传统意义下的维数：
点是0维的，线是1维的，平面是2维的， 立方体是三维的，… 用这个维数去刻画分形集合时的困难：
空紧子集所组成的集合。 H(X)上的度量h如下定义：
d ( x , B ) m d ( x , y ) |y i B n ,x X , B H ( X ).
d(x,B )0 x B
d ( A , B ) m d ( x , B ) | a x A , x A , B H ( X ).
是“不规则的或者断裂的”拉丁语“fractus”派 生
出来.
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分形几何的历史(续)
发展期：二十世纪八十年代至今. 1. Hutchinson, 1981, 分形与自相似. 给出了自相似集合的数学理论基础. 2. Mandelbrot, 1982, 《自然界的分形几何》. 3. Barnsley, 1988, 《Fractal everywhere》. 4. Falconer, 1990, 《分形几何——数学基础 及其应用》.
断裂力学裂纹扩展
断裂力学裂纹扩展做裂纹扩展仿真确实比较难，目前一般都是以弹性断裂力学为基础，二维裂纹扩展容易一些，三维裂纹比较复杂，如果仅是要获得扩展寿命，裂纹长度，可以自己编程做，我是这样做的。
如果要想获得不同裂纹前沿的应力应变场和K，模拟结构裂纹随载荷的动态真实变化，可能要借助软件：（1) Beasy，边界元软件，将三维问题解化为二维问题，比较方便。
（2) Fatigue软件，也还可以，但对复杂结构很难胜任。
（3) FE-fatigue 也不错（4) FRANC3D。
至于计算，常用的方法有：（1）Prescribed Method特点：裂纹只能沿单元边界扩展。
（2）Analytical Geometry Method特点：将几何和载荷、约束分解为简单的解析形式。
（3）Known Solution Method特点：查表求已知解。
两个重要软件：NASGRO and AFGROW（4）Meshfree method美国西北大学做的最好。
优点是不需重新划分网格。
（5）Adaptive BEM/FEM自适应网格边界元/有限元，用的较广。
（6）Lattice method格子方法（7）Atomic method一般使用分子动力学方法。
（8）Constitutive method在本构方程里引入破坏准则，无需预先引入裂纹。
如本人上篇帖子。
（9）Cohesive element使用cohesive element。
断裂学科研究的新趋向第十届国际断裂大会（ICF10）的情况介绍四年一届的国际断裂大会(Int. Conference of Frature, ICF-10)于2001年12月3日～12月6日在美国夏威夷召开。
与会的有来自44个国家的代表约610人。
中国参加会议的代表并有论文在论文集上发表的计34人（含中国香港10人），其中部分代表因故未能到会。
此次会议的举办是成功的，现将会议的简要情况与参加会议的体会及有关建议分别作简单汇报于下。
第4讲-1 分形几何与分形插值
500 km
N
♂
图
1.3 河流水系的分形特征
其实，自相似的例子在我们的身边到处可见。例如 一棵大树与它自身上的树枝及树枝上的枝杈，在形状 上没什么大的区别，所以我们说，大树与树枝这种关 系在几何形状上称之为自相似关系；我们再拿来一片 树叶，仔细观察一下叶脉，它们也具备这种性质。动
物也不例外，一头牛身体中的一个细胞中的基因记 录着这头牛的全部生长信息；还有高山的表面，您 无论怎样放大其局部，它都如此粗糙不平等等。 分形几何的创始人Benoit B. Mandelbrot 说过: “云团不是球体, 山峰不是锥形, 海岸线不是圆弧, 树 皮也并不光滑, 闪电也不是直线传播[2]。” 这就说 明了在自然界中大量的物体都不能用传统的几何形 态来精确地进行描述。 而在这些 “不规则” 的形 体中, 大量的具有分形的特征。 分形是适合于描述大自然的几何。研究表明星云 的分布、海岸线的形状、山形的起伏、地震、河网 水系、材料组织生长、湍流、酶和蛋白质的结构、 人体血管系统、肺膜结构、脑电图、城市噪音、股 市的涨落等等，大至宇宙星云分布，小到准晶态的
图1.4 欧氏空间中单位形体码尺与度量次数之间关系 r：码尺，N (r)：度量次数，l(r)：单位形体体积 (a) 一维形体；(b) 二维形体；(c) 三维形体
所以，我们可以得到，对于d维欧氏空间中的形体， 码尺长度r与度量次数N (r)之间关系为
1.3 维数与分形维数
在欧氏空间中，人们习惯把空间看成三维的， 平面或球面看成二维，而把直线或曲线看成一维。 也可以稍加推广，认为点是零维的。还可以引入 高维空间，但通常人们习惯于整数的维数。 分形的另一个特征是分数维数，即维数可以是 分数的。这类维数是在研究自然界中复杂现象时 需要引入的一个重要概念。 为了弄清楚分形维数的计算方法，我们首回顾 在欧氏空间中，度量不同维数的单位形体时，尺 码与度量次的关系(见图1.4)。
分形几何超级介绍
分数维
现在我们从测量的角度引入了维数概念， 将维数从整数扩大到分数。即： 如果某图形是由把原图缩小为1/λ的相似的 ｋ个图形所组成，有：ｋ= λ^D D即维数 D = logｋ/logλ 其中：（ λ 为线度的放大倍数 ｋ为“体积”的放大倍数）
Sierpinski垫圈的分数维
• 如右下角的垫圈 ，它是由原图缩小1/2的相 似的3个图形组成。 • 故其维数为D=log3/log2
分维数的多种定义
• 分数维可用于定量描述分形集的复杂性。 • 分维数已有多种定义。 • 豪斯道夫维数是基于豪斯道夫测度而建立起来的 一种分形维数，它是分形几何的维数理论的基础； • 盒维数或称盒计数维数是一个具有广泛应用的维 数，计算一个分形的盒维数是相对简单的。 • 其他分维数有：柯尔莫哥诺夫熵、熵维数、容量 维数、对数维数和信息维数等。
•
自相似性
一个系统的自相似性是指某种结构或过程的特 征从不同的空间尺度或时间尺度来看都是相似 的，或者某系统或结构的局域性质或局域结构 与整体类似。另外，在整体与整体之间或部分 与部分之间，也会存在自相似性。一般情况下 自相似性有比较复杂的表现形式，而不是局域 放大一定倍数以后简单地和整体完全重合。
分形几何
数理基础试验班 李道坚 范宇航
分形几何的起源
分形几何的概念是美籍法国数学家曼德布罗特 （B.B.Mandelbrot）1975年首先提出的，但最早的工作可 追朔到1875年，德国数学家维尔斯特拉斯构造了处处连续 但处处不可微的函数，集合论创始人康托构造了有许多奇 异性质的三分康托集。1890年，意大利数学家皮亚诺构造 了填充空间的曲线。1904年，瑞典数学家科赫设计出类似 雪花和岛屿边缘的一类曲线。1915年，波兰数学家谢尔宾 斯基设计了象地毯和海绵一样的几何图形。这些都是为解 决分析与拓朴学中的问题而提出的反例，但它们正是分形 几何思想的源泉。1975年，他创立了分形几何学。在此 基础上，形成了研究分形性质及其应用的科学，称为分形 理论。
断裂力学裂纹扩展
断裂力学裂纹扩展做裂纹扩展仿真确实比较难，目前一般都是以弹性断裂力学为基础，二维裂纹扩展容易一些，三维裂纹比较复杂，如果仅是要获得扩展寿命，裂纹长度，可以自己编程做，我是这样做的。
如果要想获得不同裂纹前沿的应力应变场和K，模拟结构裂纹随载荷的动态真实变化，可能要借助软件：（1) Beasy，边界元软件，将三维问题解化为二维问题，比较方便。
（2) Fatigue软件，也还可以，但对复杂结构很难胜任。
（3) FE-fatigue 也不错（4) FRANC3D。
至于计算，常用的方法有：（1）Prescribed Method特点：裂纹只能沿单元边界扩展。
（2）Analytical Geometry Method特点：将几何和载荷、约束分解为简单的解析形式。
（3）Known Solution Method特点：查表求已知解。
两个重要软件：NASGRO and AFGROW（4）Meshfree method美国西北大学做的最好。
优点是不需重新划分网格。
（5）Adaptive BEM/FEM自适应网格边界元/有限元，用的较广。
（6）Lattice method格子方法（7）Atomic method一般使用分子动力学方法。
（8）Constitutive method在本构方程里引入破坏准则，无需预先引入裂纹。
如本人上篇帖子。
（9）Cohesive element使用cohesive element。
断裂学科研究的新趋向第十届国际断裂大会（ICF10）的情况介绍四年一届的国际断裂大会(Int. Conference of Frature, ICF-10)于2001年12月3日～12月6日在美国夏威夷召开。
与会的有来自44个国家的代表约610人。
中国参加会议的代表并有论文在论文集上发表的计34人（含中国香港10人），其中部分代表因故未能到会。
此次会议的举办是成功的，现将会议的简要情况与参加会议的体会及有关建议分别作简单汇报于下。
几何问题的历史发展与现状
几何问题的历史发展与现状几何，作为数学的一个重要分支，一直以来都在人类对世界的认知和探索中扮演着关键的角色。
从古老文明时期的简单图形测量，到现代数学中复杂的几何理论，几何问题的发展历程丰富多彩，且与人类社会的进步紧密相连。
在远古时代，人们就已经开始对几何图形有了初步的认识和应用。
例如，在建筑、农业和天文观测中，需要对土地的面积、建筑物的形状和天体的位置进行测量和计算。
古埃及人通过测量尼罗河泛滥后的土地，积累了关于三角形和矩形面积计算的经验。
他们能够精确地计算出金字塔的体积和角度，展示了早期几何知识在实际应用中的力量。
古希腊时期是几何发展的一个重要里程碑。
欧几里得的《几何原本》被誉为几何学科的经典之作。
这部著作系统地整理了当时已知的几何知识，通过公理化的方法，从少数几个基本定义、公理和公设出发，推导出了大量的几何定理。
这种严谨的逻辑体系对后来的数学发展产生了深远的影响。
古希腊人对几何的研究不仅仅停留在实用层面，他们还追求纯粹的理性思考和美的形式。
比如，他们对圆、椭圆和圆锥曲线的研究，为后来天文学和物理学的发展奠定了基础。
随着时间的推移，中世纪的欧洲在几何方面的发展相对缓慢。
但在阿拉伯世界，几何知识得到了一定的传承和发展。
阿拉伯数学家们在继承古希腊几何成果的基础上，对三角学和代数与几何的结合做出了重要贡献。
到了文艺复兴时期，欧洲的科学和数学迎来了新的繁荣。
艺术家们如达芬奇，将几何原理应用于绘画和雕塑中，追求比例和透视的完美。
同时，科学家们也开始用几何方法来研究物理现象。
例如，伽利略通过几何图形来描述物体的运动轨迹，为经典力学的发展开辟了道路。
在近代，笛卡尔引入了坐标系，将几何图形与代数方程联系起来，创立了解析几何。
这一创举使得几何问题可以通过代数方法进行求解，极大地拓展了几何的研究领域和方法。
此后，微积分的出现又为几何的研究提供了强大的工具，使得人们能够研究曲线和曲面的性质，如曲率和挠率等。
19 世纪，非欧几何的诞生是几何发展的一次重大突破。
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一、分形理论
分形理论的起源与发展
1967年美籍数学家曼德布罗特在美国权威的《科学》杂志上发表了题为《英国的海岸线有多长?》的著名论文。
海岸线作为曲线，其特征是极不规则、极不光滑的，呈现极其蜿蜒复杂的变化。
我们不能从形状和结构上区分这部分海岸与那部分海岸有什么本质的不同，这种几乎同样程度的不规则性和复杂性，说明海岸线在形貌上是自相似的，也就是局部形态和整体态的相似。
事实上，具有自相似性的形态广泛存在于自然界中，如：连绵的山川、飘浮的云朵、岩石的断裂口、布朗粒子运动的轨迹、树冠、花菜、大脑皮层……曼德布罗特把这些部分与整体以某种方式相似的形体称为分形(fractal)。
1975年，他创立了分形几何学。
在此基础上，形成了研究分形性质及其应用的科学，称为分形理论。
分形理论的发展大致可分为三个阶段：
第一阶段为1875 年至1925年，在此阶段人们已认识到几类典型的分形集，并且力图对这类集合与经典几何的差别进行描述、分类和刻画。
第二阶段大致为1926年到1975年，人们在分形集的性质研究和维数理论的研究都获得了丰富的成果。
第三阶段为1975年至今，是分形几何在各个领域的应用取得全面发展，并形成独立学科的阶段。
曼德尔布罗特于1977年以《分形：形、机遇和维数》为名发表了他的划时代
的专著。
1.3.1 分形的定义
目前对分形并没有严格的数学定义，只能给出描述性的定义。
粗略地说，分形是没有特征长度，但具有一定意义下的自相似图形和结构的总称。
英国数学家肯尼斯·法尔科内（Kenneth J.Falconer）在其所著《分形几何的数学基础及应用》一书中认为，对分形的定义即不寻求分形的确切简明的定义，而是寻求分形的特性，按这种观点，称集合F是分形，是指它具有下面典型的性质：a. F具有精细结构b. F是不规则的c. F通常具有自相似形式d. 一般情况下，F在某种方式下定义的分形维数大于它的拓扑维数。
另外，分形是自然形态的几何抽象，如同自然界找不到数学上所说的直线和圆周一样，自然界也不存在“真正的分形”。
从背景意义上看，说分形是大自然的几何学是恰当的。
分形理论的研究方向及应用
虽然分形是近30年才发展起来的一门新兴学科，但它已经激起了多个领域科学家的极大兴趣，其应用探索遍及数学、物理、化学、材料科学、生物与医学地质与地理学、地震和天文学、计算机科学乃至经济、社会等学科，甚至艺术领域也有它的应用。
分形理论在石油上的运用
研究地质断层构造
地质断裂构造是一种重要的地质现象，具有不规则性；但断层的分布具有相似性，因此分形理论在构造研究中的应用将有着举足轻重的作用的。
研究低渗储层孔隙结构和预测砂体储层岩性
法国数学家Mandelbrot创立了分形几何理论为研究油气储集层多孔介质复杂的微观孔隙结构提供了新的思路和方法。
研究渗流力学模型
Cruz等人研究了碳酸盐油藏储层的天然裂缝的分形特性，在单孔和双孔渗流的前提下分别求出了扩散方程在拉氏空间的解析解，对其选取的分形参数对产量递减曲线的影响进行分析，得出的预测结果很好的拟合了后期的实际生产数据。
计算油水相渗曲线
分形具有两个最重要的特征：1)规则性；2)不可微分性。
由于储层孔隙分布、毛细管渗吸通路的分布具有分形特征，因此分形理论在研究粘滞指进现象、微观残余油分布、多孔介质孔隙结构、分形渗流等诸多方面具有广阔的应用前景。
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