第7讲 图论与网络分析(一)
运筹学课件：第7章 图论与网络分析-第1,2节
v1
v2 a
v3
v4 c
b v1
a
v2
b
v3
d
d
v4
c
第2节 最小树问题
一、树及其性质 定义1： 无圈的连通图称为树。树一般用T表示。
定理1： 任给树T=（V，E），若P（T）≥2，则 T中至少有两个悬挂点。
证明：设µ=（v1，v2，…，vk）是G中含边数最多的 一条初等链，因P（T）≥2，并且T是连通的， 故链µ中至少有一条边，从而v1与vk是不同的 。
不少数学家都尝试去解析这个事例。而这些解析，最 后发展成为了数学中的图论。
例：中国邮路问题 一个邮递员送信，要走完他所负责的全部街道分送
信件，最后返回邮局。邮递员都会本能地以尽可能少的 行程完成送信任务。
问题：他如何走？
点：路口； 边：两路口之间道路，第i条道路长ei。
问题：求一个圈，过每边至少一次，并使圈长度最短。
由于T是树，由定义知T连通且无圈。只须证明m=n-1。
归纳法： 当n=2时，由于T是树，所以两点间显然有且 仅有一条边，满足m=n-1。
假设 n=k-1时命题成立，即有k-1个顶点时,T有k-2条边。
当n=k时，因为T连通无圈，k个顶点中至少有一个点次 为1。设此点为u，即u为悬挂点，设连接点u的悬挂边 为[v，u]，从T中去掉[v，u]边及点u ，不会影响T的连 通性，得图T’，T’为有k-1个顶点的树，所以T’有k-2条 边，再把（ v，u）、点u加上去，可知当T有k个顶点 时有k-1条边。
4
2
v4
94
v2
3
v3 8
0 9 2 4 7 9 0 3 4 0 其权矩阵为： A 2 3 0 8 5 4 4 8 0 6 7 0 5 6 0
运筹学第07章 图与网络分析
对于图G=(V,E), | V |=n, | E |=m, 有mn阶矩阵M=(mij) mn，其中:
2 当且仅当vi是边e j的两个端点 mij 1 当且仅当vi是边e j的一个端点 0 其他
权矩阵
对于赋权图G=(V,E), 其中边
(vi , v j ) 有权 w i j , 构造矩阵B=(bij) nn其中：
第1节 图的基本概念与模型 │图的矩阵描述
1.4.1 矩阵的相关概念
邻接矩阵
对于图G=（V，E），| V |=n， | E |=m，有nn阶方矩阵A=(aij) nn，其中
1 当且仅档v i与v j之间有关联边 Nhomakorabea aij 0 其它
第1节 图的基本概念与模型 │图的矩阵描述
1.4.1 矩阵的相关概念
C
B A
D
第1节 图的基本概念与模型 │图的基本概念
1.1.2 图论与网络分析
图论与网络分析理论所研究的问题十分广泛，内容极其丰富。正如一位数学家所说：“可以说， 图论为任何一个包含了某种二元关系的系统提供了一种分析和描述的模型。”
第1节 图的基本概念与模型 │图的基本概念
1.1.3 图的定义
图：若用点表示研究的对象，用边表示这些对象之间的联系，则图G可以定义为点和边的集合，记作：
② 9 7 10 6 19 20 ③ 25 ⑥
15 ④ 14 ⑤
①
第1节 图的基本概念与模型 │图的基本概念
1.1.4 图的相关概念
有向图中，以vi为始点的边数称为点vi的出次，用d+(vi)表示；以vi为终点的边数称为点vi 的入次， 用表示d-(vi) ；vi 点的出次和入次之和就是该点的次。 ※ 有向图中，所有顶点的入次之和等于所有顶点的出次之和。
图论在网络分析中的应用
图论在网络分析中的应用网络分析是一门研究网络结构和网络行为的学科，其研究领域广泛，涉及社交网络、互联网、交通网络等各个领域。
作为网络分析的重要工具，图论在网络分析中发挥着重要的作用。
本文将探讨图论在网络分析中的应用，并说明其在不同领域中的具体运用。
一、图论的基本概念图论是数学的一个分支，研究的是图的性质和相关的数学关系。
图由两个基本元素组成：顶点（节点）和边。
顶点表示网络中的实体，边表示实体之间的连接关系。
图可以分为有向图和无向图，有向图的边有方向性，无向图的边没有方向性。
图论中的一些基本概念包括度、路径、连通性等。
二、社交网络分析中的应用社交网络分析是研究社交关系和社会结构的一种方法。
图论在社交网络分析中被广泛应用，可以帮助我们理解和分析人际关系、信息传播等现象。
1. 社交网络中的连通性分析使用图论可以分析社交网络中的连通性，通过计算网络中的最短路径和连通组件，可以了解人际之间的联系紧密程度和信息传播速度。
例如，可以通过分析社交网络中的关键节点（度数较大的节点），来识别最具影响力的人物。
2. 社群检测社群检测是指将社交网络中的节点分为不同的社群或群体。
图论中的聚类算法可以在社交网络中识别出相关性较高的节点群组，从而探索社交网络中不同群体之间的关系和特点。
社群检测的结果可以被应用于推荐系统、广告定向等领域。
三、互联网中的应用互联网是一个巨大的网络，图论在互联网分析中的应用也十分重要。
1. 网页排名算法图论中的PageRank算法是互联网分析中的核心算法之一。
该算法通过分析网页之间的链接关系，计算每个网页的排名。
PageRank算法为搜索引擎提供了重要的排序依据，帮助用户进行信息检索。
2. 信任网络分析在互联网上，人与人之间的信任关系对于交易的完成至关重要。
图论可以用于分析信任网络中的节点、边和其相关的属性。
例如，可以通过分析信任网络中的节点连通性，判断某个节点是否可信。
四、交通网络中的应用图论在交通网络分析中也有广泛的应用。
第6章图与网络分析PPT课件
记 作 D={V ,A}(V 是 点 的 集 合 ， A 是 弧 的 集 合 ) ，
一条方向从vi指向vj的弧，记作(vi,vj)。
网络图：给图中的点和边赋予具体的含义和权数，如距离， 费用，容量等，记作N.
第8页
图的相关概念
若边eij=[vi,vj]∈E，称vi，vj是eij的端点，也称vi，vj是 相邻的。称eij是点vi（及点vj）的关联边。
若两条边有一个公共的端点，则称这两条边相邻。
点与点
相邻
vi
e
vj
vi，vj相邻
e 与vi，vj关联
边与边相邻
vi e1 vk e2
v
j
点与边关联
第9页
图的相关概念
若某条边两个端点相同，称这条边为环。 若两点之间有多于一条的边，称这些边为多重边。
v1
v5 v4
e1 e2
e4
v2
e3 v3
e5
无环、无多重边的 图称为简单图。
无环、但允许有多 重边的图称为多重 图。
注：无特别声明我们今后讨论的图都是简单图
第10页
图的相关概念
图G中以点v为端点的边的数目，称为v在G中
的次(度）， 记为d（v）。
v1
v5 v4
e1 e2
e4
d(v1)=2 d(v2)=3 d(v3)=4 d(v4)=1
v2
e3 v3
e5
次为1 的点为悬挂点，悬挂点的关联边称为悬
第7章 图与网络分析
• 图的基本概念与模型 • 树图和图的最小部分树 • 最短路问题 • 网络最大流问题
第1页
概述
1
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离散数学中的图论和网络流分析
离散数学中的图论和网络流分析离散数学是数学的一个重要分支，主要研究的是离散对象以及离散结构。
其中，图论和网络流分析是离散数学中最为重要的两个方向，被广泛应用于计算机科学、信息科学以及通信工程等领域。
在本文中，我们将会深入探讨这两个方向的原理和应用，并为读者展示其形式和结构。
一、图论图论是离散数学中的一个分支，旨在通过图来研究对象和对象之间的关系。
一般而言，我们称一个图由若干个点和若干个边组成，其中点表示对象，边表示对象之间的关系。
对于一个完整的图，我们可以用以下方式进行表示：G = (V, E)其中，V 表示图中所有点的集合，E 表示图中所有边的集合。
如果两个点之间存在一条边连接它们，我们则称这两个点是相邻的。
对于一个图 G，我们可以用以下方式来定义它的度数：d(v) = |{u | (u, v) ∈ E}|其中，d(v) 表示点 v 在图 G 中的度数，|{u | (u, v) ∈ E}| 则表示与点 v 相邻的点的个数。
图论可以被广泛应用于计算机科学、信息科学以及通信工程等领域。
例如，在计算机科学中，图算法被广泛应用于网络设计、数据库设计、搜索引擎算法等领域。
在通信工程中，图算法被广泛应用于路由优化、网络监控、数据传输等领域。
二、网络流分析网络流分析是一个分支领域，旨在通过图来研究网络流量的分布和优化。
在网络流分析中，我们通常将网络看作是一个图，其中节点表示不同的网络设备（例如路由器或交换机），边表示不同的网络连接，流表示网络数据的流动。
通常来说，我们使用以下方式来表示一个网络流问题：G = (V, E, s, t, c)其中，V 表示网络中所有节点的集合，E 表示网络中所有边的集合，s 表示网络中源节点的位置，t 表示网络中目的节点（或终端节点）的位置，c 表示网络中每个边能承载的最大流量。
网络流分析可以被广泛应用于计算机科学、信息科学以及通信工程等领域。
例如，在计算机科学中，网络流算法被广泛应用于路由优化、网络监控、数据传输等领域。
图论与网络分析1-确定型网络计划
图论与网络分析1-确定型网络计划图论和网络分析在计划和管理中广泛应用。
在项目管理中，确定型网络计划是一种用于规划和控制复杂项目的有效工具。
本文将介绍确定型网络计划的基本概念和常见技术，以及图论和网络分析在此过程中的应用。
确定型网络计划是一种图形化方法，用于描述和控制项目的活动和资源之间的关系。
它可以帮助项目经理和团队成员确定项目中的关键路径、前后置关系以及资源分配等重要因素，从而有效地规划和管理项目进度。
确定型网络计划通常由节点（表示活动）和连接线（表示活动之间的依赖关系）组成，形成一个有向无环图（DAG）。
在确定型网络计划中，节点表示项目中的具体活动，连接线表示活动之间的依赖关系。
每个节点都有一个时间估计，即完成该活动所需的时间。
通过连接线可以确定活动之间的前后置关系，即某些活动必须在其他活动之前完成。
通过指定这些依赖关系，项目经理可以确定项目的关键路径，即完成整个项目所需的最长时间路径。
确定型网络计划中的关键路径是整个项目的关键，因为它决定了项目的最短时间。
如果关键路径中的任何一个活动延迟，整个项目的进度都会延迟。
因此，项目经理需要重点关注关键路径上的活动，确保其按计划进行。
图论和网络分析在确定型网络计划中起到了重要的作用。
图论是研究图及其性质的数学理论，可以提供分析和解决确定型网络计划中的复杂问题的方法。
网络分析是一种基于图论的数学模型，用于分析和优化网络中的活动和资源分配。
通过图论和网络分析，项目经理可以更好地理解和管理复杂项目中的活动和资源之间的关系。
在确定型网络计划中，项目经理可以利用图论和网络分析来计算关键路径、活动和资源的最佳分配，以及项目进度和资源利用率的优化。
通过确定关键路径，项目经理可以安排和分配资源，以确保项目按计划进行。
此外，图论和网络分析还可以帮助项目经理进行风险分析，预测项目完成时间和成本，并及时采取必要的措施。
综上所述，确定型网络计划是一种重要的项目管理工具，而图论和网络分析则是实现该方法的重要工具。
图与网络分析(GraphTheoryandNetworkAnalysis)
e9
e5 {v1 , v3 } e6 {v3 , v5 }
e7 {v3 , v5 } e8 {v5 , v6 }
e9 {v6 , v6 } e10 {v1 , v6 }
e1
e2
v2
e5 e3 e4 v4
e8
e6
v5 e7 v3
图1
2、如果一个图是由点和边所构成的，则称其为无向图，记作
X={1}, w1=0
p1=0
2
6
1
2
3
1
10
p4=1
5
9
3
4
7
5
6
5
2
3
4
6
7
4
8 8
min {c12,c14,c16}=min {0+2,0+1,0+3}=min {2,1,3}=1 X={1,4}, p4=1
（9） T (v6 ) min[ T (v6 ), P(v5 ) l56 ] min[ , 5 2] 7 （10） P(v6 ) 7
反向追踪得v1到v6的最短路为：v1 v2 v5 v6
求从1到8的最短路径
2
6
1
2
3
1
10
5
9
3
4
7
5
6
5
2
3
4
6
7
4
8 8
v2
v5
v2
v4
v3
v4
v3
一个图G 有生成树的充要条件是G 是连通图。
用破圈法求出下图的一个生成树。
v2
e1 v1
e4 e7 e3 v4 e8
运筹学课件：第7章 图论与网络分析-第5,6节
f3t<C3t， 给vt标号 (3, l(vt)), 这里
l(vt ) min l(v3), (C3t f3t ) min 1,1 1,
vt得到标号，标号过程结束。
（v-21，1）(4，3) （v24，1）
(3，3)
(1，1)
(5，3)
（0，∞）vs
(1，1)
(5，1)
(3,0) v（t 3，1）
41
22 ③ 22
④ 76
60
⑥
93
⑤
第6节 最小费用最大流问题
网络D=（V，A，C），每弧（vi，vj）∈A，还给出 （vi，vj）上单位流的费用b(vi，vj)≥0，（简记bij）。 最小费用最大流问题：
求一个最大流f，使流的总费用
b(f)
bij fij
(vi ,v j )A
取最小值。
l(v3) min l(v2 ), f32 min 1,1 1,
（v-21，1）(4，3) （v24，1）
(3，3)
(1，1)
(5，3)
（0，∞）vs
(1，1)
(5，1)
(3,0) v（t 3，1）
(2，1)
（sv，1 4） (2，2)（-v23，1）
（5）检查v3，在弧（v3，vt）上，f3t=1， C3t=2，
vj成为标号而未检查的点
vi
vj (-i , l(vj))
fij>0
l(vj)=min[l(vi),fji]
重复上述步骤，一旦vt被标号，则得到一条vs到vt的增 广链。若所有标号都已检查过，而vt尚未标号，结束， 这时可行流，即最大流。
（二）调整过程 从vt开始，反向追踪，找出增广链µ，并在µ上进行 流量调整。 （1）找增广链 如vt的第一个标号为k（或-k），则弧（vk，vt）∈µ （或弧（vt，vk) ∈µ)。检查vk的第一个标号，若为i （或-i），则(vi,vk) ∈µ(或(vk,vi) ∈µ).再检查vi的第一个 标号,依此下去,直到vs。被找出的弧构成了增广链µ。 （2）流量调整
第七章 图论
若 ( e ) v1 , v2 若 ( e ) v1 ,v2
则称G与G‘同构，记作 G G ，并称f和g为G和G'之 ' 间的同构映射，简称同构。
两个同构的图有同样多的结点和边，并且映 射f保持结点间的邻接关系，映射g保持边之 间的邻接关系。
第七章 图论
完全有向图和完全无向图
注意：完全无向图的任意两个不同结点都邻接，完 全有向图的任意两个不同结点之间都有一对方向相 反的有向边相连接。
一至五阶完全无向图
完全有向图
一至三阶完全有向图
图的同构
从图的定义可以看出，图的最本质的内容是结点和 边的关联关系。两个表面上看起来不同的图，可能 表达相同的结点和边的关联关系。下图的两个图， 不仅结点和边的数目相同，而且结点和边的关联关 系也相同。 为了说明这种现象，我们引进两个图同 构的概念。
(2)如果 V V , E E, ，则称G‘是G的真子图， 记作 G。 G (3)如果 V V , E E, ，则称G'是G的生成子 图。
子图
V 定义： 设图 G V , E, ， V 且 V 。以V‘为结 点集合，以起点和终点均在V’中的边的全体为边集 合的G的子图，称为由V‘导出的G的子图，记为G[V’]。 若V V ，导出子图G[V V ] ，记为 G V 。
第七章 图论
第七章 图论
• • • • • • • • 7.1图的基本概念 7.2子图和图的运算 7.3路径、回路和连通性 7.4图的矩阵表示 7.5欧拉图 7.6特殊图 7.7树 7.8网络
7.1图的基本概念
定义： 设V和E是有限集合，且V 。 (1) 如果 : E {{v1 , v2 } v1 V v2 V } ，则称 G V , E, 为 无向图。 (2) 如果 : E V V ，则称 G V , E, 为有向图。 无论是无向图还是有向图，都统称为图，其中V的元 素称为图G的结点，E的元素称为图G的边，图G的结 点数目称为图的阶。 可以用几何图形表示上面定义的图。用小圆圈 表示结点。在无向图中，若 (e) {v1 , v2 } ，就用 连接结点v1和v2的无向线段表示边e。在有向图 中，若 (e) v1 , v2 ，就用v1指向v2的有向线段 表示边e。
数学建模图论详解—图论与网络规划PPT课件
几何实现图例
在一个图的几何实现中，两条边的交点可能不是
图的顶点。例如图7-4 中，它共有4个顶点，6条
v1
v4
边；而e
e1
3
与e
4 的交点不是这个图的顶点。
v2
e2
e3
e4
e5
v3
e6
v4 v1
v4
e2
e3
e1
v2
e4
e5
v3
e6
v4
平面图
一个图称为平面图，如它有一个平面图形，使得边与边仅在
顶 形点 。相交。图7-5就是一e个4 平v1 面图，因为e1它可以有下v面2 的图
一个图称为简单图，如果
它既没有环也没有多重边。
下图5是简单图。
u 1
本书只限于讨论有限简单图，
即顶点集与边集都是有限集的图。
f1
f5 f2
只有一个顶点的图称为平凡图； 边集是空集的图称为空图。
u3
f3
f4
u2
f6
u4
同构
给定两个图 G (V (G), E(G), G ) 与 H (V (H ), E(H ), H )
称G和H是同构的，记为G H ，
如果存在两个一一对应 ( ,)
:V (G) V (H )
: E(G) E(H )
使的
G (e) uv H ((e)) (u) (v)
同构图例
图G与图H是同构的。
v1 e6
e1 v2
e3
e2
e5
v4
e4
v3
G
u 1
f1
f5 f2
u3
f3
f4
u2
f6
公式（1）是Dijkstra算法的基础。
《图与网络分析》课件
网络的定义与分类
总结词
网络的定义与分类是理解图与网络分析的关键。
详细描述
网络是由节点和边构成的集合，用于描述系统中各个组成部分之间的关系。根据 不同的分类标准，网络可以分为多种类型，如无向网络和有向网络、单层网络和 多层网络等。
图与网络的应用领域
总结词
图与网络的应用领域广泛，包括计算机科学、交通运输、生物信息学等。
从任意一个顶点开始，每次选择一条与已选顶点集合相连的边中权 重最小的边，将其加入最小生成树中。
最短路径算法
Dijkstra算法
01
用于求解图中从一个顶点到其他所有顶点的最短路径。
Bellman-Ford算法
02
用于求解图中所有顶点之间的最短路径。
Floyd-Warshall算法
03
用于求解图中所有顶点之间的最短路径，时间复杂度较低。
网络流算法
01
Ford-Fulkerson算法
用于求解最大网络流问题，通过不断寻找增广路径来增加网络的流量。
02
Dinic算法
基于层次搜索和增广路径的算法，用于求解最大网络流问题。
03
Edmonds-Karp算法
基于广度优先搜索的算法，用于求解最大网络流问题。
03
网络分析与应用
网络中心性分析
节点中心性
社区结构特征
包括社区大小、社区密度、社区连通性等。
社区结构分析的应用
在社交网络中识别用户群体，在组织结构中划分部门和团队等。
网络动态分析
网络动态模型
常见的网络动态模型有随机游走、马尔科夫链和自组 织映射等。
网络动态特征
包括节点的活跃度、网络的演化规律和网络的鲁棒性 等。
网络动态分析的应用
图论与网络分析简介
引言图论与网络分析简介¢图论(Graph Theory)是运筹学的一个分支，是建立和处理离散数学模型的一个重要工具，其起源最早可追溯到1736年欧拉所发表的一篇关于解决著名的“哥尼斯堡七桥问题”的论文，现已广泛应用在物理学、化学、控制论、信息论、科学管理、计算机等各个领域中。
¢网络分析（Network Analysis）作为图论的一个重要内容，已成为对各种系统进行分析、研究和管理的重要工具，包括：最小支撑树问题、最短路问题、最大流问题，以及网络计划评审与优化问题等。
¢哥尼斯堡城有一条河叫普雷格尔河，河中有两个岛屿，河的两岸和岛屿之间有七座桥相互连接，如下图所示。
一个漫步者如何能够走过这七座桥，并且每座桥只能走过一次，最终回到出发地。
尽管试验者很多，但是都没有成功。
A B¢为了寻找答案，1736年欧拉将这个问题抽象成下图所示的一笔画问题。
即能否从某一点开始不重复地一笔画出这个图形，最终回到原点。
¢欧拉在他的论文中证明了这是不可能的，因为这个图形中每一个顶点都与奇数条边相连接，不可能将它一笔画出，这就是古典图论中的第一个著名问题。
¢图论中的图，是反映现实世界中具体事物及其相互关系的一种抽象工具，它比地图、分子结构图、电路图等更抽象。
¢图的定义：简单的说，一个图是由一些点(Vertices)及点间的连线(Edges)所组成的。
点可以作为现实世界中事物的抽象，而点间的连线表示事物间的关系。
例2：有A、B、C、D四支篮球队，进行单循环比赛，比赛情况如表1所示。
试用一个图表示各队之间的胜负关系。
比赛球队获胜球队A——B AA——C AA——D DB——C BB——D DC——D C表1图2图301,,k i i i v v v V∈ 1,k j j e e E ∈ 1(,)t t t j i i e v v -=(1,2,,)t k = ，0112,,,,,,k ki j i j j i v e v e e v μ= 0i v k i v 01ki i i v v v μ=0ki i v v =0ki i v v =1475678v v v v v v μ=图444768754v v v v v v v μ=245768v v v v v μ=3456874v v v v v v μ=图5图622412v v v v μ=12143v v v v μ= 图61(,)t t t j i i a v v -=(1,2,,)t k = 0i v k i v 01ki i i v v v μ= 0i v ki v 0112,,,,,,k ki j i j j i v a v a a v μ=32143v v v v μ=42412v v v v μ=12413v v v v μ=24134v v v v μ= 图6(,)ij i j v v ωω=ij ω,()i j v v1.产销平衡问题¢当总产量等于总销量，即：时，称为产销平衡的运输问题，简称平衡问题。
《图论与网络流》课件
最ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ流最小割定理
总结词
最大流最小割定理是图论中一个重要的定理，它指出在一个有向图中，从源点到汇点的 最大流等于最小割的容量。
详细描述
最大流最小割定理是解决网络流问题的重要理论依据，它提供了一种将最大流问题转化 为最小割问题的思路。通过求解最小割问题，可以找到一个割点集合，使得从源点到汇 点的流量等于该割的容量，从而得到最大流。在实际应用中，最大流最小割定理可以应
感谢您的观看
THANKS
02
图论中的基本问题
欧拉路径与欧拉回路
欧拉路径
一个路径是图中的一条边序列， 使得每条边只经过一次，起点和
终点是同一点。
欧拉回路
一个路径是图中的一条边序列，使 得每条边只经过一次，起点和终点 是同一点，且所有节点均不重复。
总结
欧拉路径和回路是图论中的基本概 念，它们在计算机科学、运筹学、 电子工程等领域有广泛应用。
最小割算法
01
最小割算法是图论中求解最小割问题的算法，旨在将图划分为两个不 相交的子集，使得两个子集之间的边权值之和最小。
02
最小割问题与最大流问题是互补的，一个问题的解可以通过另一个问 题的解得到。
03
最小割算法的实现通常基于最大流算法，通过求解一系列最大流问题 来逼近最小割问题的解。
04
最小割算法的时间复杂度也取决于所选的算法和图的具体结构，一般 在多项式时间内可求解。
最小费用流算法
最小费用流问题考虑了流的代价 ，即每条边的容量和代价，要求 在满足流量限制的前提下，总代 价最小。
最小费用流算法的基本思想是通 过不断优化流的路径和代价来逼 近最小费用流的解。
最小费用流算法是图论中求解最 小费用流问题的算法，旨在找到 从源点到汇点具有最小费用的流 。
图与网络分析-(共34张PPT)
弧上的箭头，所得到的无向图。记之为G(D)。
第九页，共34页。
6、链：设(vi1,ai1,vi2,ai2,…,vik-1,aik-1,vik)是D中的
一个点弧交错序列，如果这个序列在基础图G(D)中
所对应的点边序列是一条链，则称这个点弧交错序列
v(f) fij–fji= 0
–v(f)
i=s is，t
i=t
且使v(f)达到最大。
第二十三页，共34页。
3、增广链 给定可行流f={fij}，使fij=cij的弧称为饱和弧，使
fij<cij的弧称为非饱和弧，把fij=0的弧称为零流弧， fij>0
的弧称为非零流弧。
若是网络中连接发点vs和收点vt的一条链，定义链
22
21
44
(0，Vvs)1
89
62
31
32 63
45
24
47
(44,V1) v4
37 27
(78,V3)
v6
32
v3 (31, V1) 34
第十九页，共34页。
v5 (62,V1)
第三节 最大流问题
如下是一运输网络，弧上的数字表示每条弧上 的容量，问：该网络的最大流量是多少？
4 vs
3
v1
3
1 2
2
v2
v3 3
2
vt
4 v4
第二十页，共34页。
一、基本概念和基本定理
1、网络与流
定义1：给定一个有向图D=(V,A),在V中有一个发点 vs和一收点vt，其余的点为中间点。对于每一条弧 (vi,vj),对应有一个c(vi,vj)0,(cij)称为弧的容量。这 样的有向图称为网络。记为D=(V,A,C)。
7图与网络分析
运筹学 4
第一节 一、概念
图的基本概念和模型
图：点V和边E的集合，用以表示对某种现实事 物的抽象。记作 G=｛V,E｝,
V=｛v1,v2,·,vn｝, · · E=｛e1,e2,·,em｝ · · 点：表示所研究的事物对象
e0
e1 v1 e5 e3 e4
v0
e2 v2 e7
v4
运筹学 5
边：表示事物之间的联系
15．0 12．5 25．0 20．0 21．0 16．0 12．5 6．5
4
5
13．0
9．0
6．5
运筹学 26
某台机器可连续工作4年，也可于每年末卖掉，换一 台新的。已知于各年初购置一台新机器的价格及不同役 龄机器年末的处理价如下表所示，又新机器第一年运行 及维护费用为0.6万元，使用1-3年后机器每年的运行及 维修费用为1.6、3.0、4.0万元。试确定该机器的最优更 新策略，使4年内用于更换、购买及运行维修的总费用为 最省?
两个人），他们同在河的一边，想渡过河去，但是必须 保证在河的任何一边商人的数目要大于等于强盗的数目， 并要满足渡河次数尽量少，应该怎么过这条河？
运筹学 15
应用
分酒问题
两人有一只容积为8升的酒壶盛满了酒，还有
两只容积分别为5升和3升的空壶，问平分酒的最简
单的方法应当怎样？
8
5
3
运筹学 16
10名研究生参加6门课程考试。由于选修内容不同，考试门数也 不一样。每个研究生应参加的考试课程如下表所示（打“√” 表示参加该课程考试）。
示，打“√”的项目是各运动员报名参加比赛的项
目。问：六个项目的比赛顺序应如何安排，才能做 到使每名运动员不连续地参加两项比赛？
研究图论和网络分析
图论和网络分析是计算机科学和数学领域中的重要研究分支，它们研究的是事物之间的关系以及这些关系的特征和性质。
图是由节点和边组成的数据结构，节点代表事物，边代表事物之间的关系。
网络分析则是基于图论的分析方法，利用数学和计算机工具揭示事物之间的连接模式和规律。
图论最早起源于18世纪的欧拉的柯尼斯堡桥问题，随着数学的发展逐渐成为一个独立的领域。
图论的研究对象是图及其性质，包括图的连通性、路径、环、强连通分量等。
图论不仅是数学中的一个重要分支，也在计算机科学和其他应用领域中有着广泛的应用。
例如，图算法在社交网络分析、交通网络优化、电力网络规划等方面发挥着重要作用。
网络分析是基于图论的一个研究方法，它通过计算机科学和数学的工具来研究事物之间的关系及其特征。
网络分析可以用于研究社交网络、信息传播、物流网络、生物网络等。
通过分析网络的拓扑结构、节点的重要性、信息传播的速度等指标，可以揭示复杂网络中的规律和特征。
网络分析在社会学、生物学、计算机科学等领域中具有重要的应用价值。
图论和网络分析在各个领域都有着广泛的应用。
在社交网络分析中，我们可以利用图论和网络分析的方法来研究社交网络中的节点之间的连接模式、社群结构、信息传播的路径等。
这些研究有助于我们理解社交网络中人际关系的形成和演化规律，提供决策支持和社交推荐等服务。
在电力网络规划中，图论和网络分析则可以用于研究电力网络的供应和传输问题。
通过建立电力网络的拓扑结构，并利用网络分析的方法来研究电力传输的路径和网络的稳定性，可以提高电力系统的可靠性和安全性。
在交通网络优化中，图论和网络分析可以帮助我们优化交通网络的布局和交通流量的分配。
通过分析交通网络的拓扑结构、节点的重要性等指标，我们可以找出交通网络中的瓶颈节点和路径，从而提出有效的交通规划方案，减少拥堵和交通事故。
除了以上应用领域，图论和网络分析还可以在搜索引擎优化、生态系统研究、蛋白质相互作用网络分析等方面发挥重要作用。
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(5) (6)
s.t. xij 1, i 1, 2, , n， (每个人做一项工作)
j 1 n
xij 1, j 1, 2, , n, (每项工作有一个人去做) (7)
i 1
xij 0或1, j 1, 2, , n.
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下面列出LINGO软件的求解结果（仅保留非零变量）
从上述求解过程来看，两种软件的计算结果是相同的， 但由于LINGO软件中采用集、数据段和循环函数的编写 方式，因此更便于程序推广到一般形式使用.例如，只需 修改运输问题中产地和销地的个数，以及参数a,b,c的值， 就可以求解任何运输问题.所以，从程序通用性的角度来 看,推荐大家采用LINGO软件来求解运输问题.
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至15]行定义的cI是工厂 到仓库的运费，由16]至18]行定义的cII是仓库到顾 客的运费.我们的目标是求最小运费，因此当两点无 道路时，认为是运费无穷大.为了便于计算，只要取 较大的数值就可以了，这里的取值为100. LINGO软件的计算结果（仅保留非零变量）如 下:
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返 回 导 航
一 运输问题
运输问题(Transportation Problem)是图论与 网络中的一个重要问题，也是一个典型的线性 规划问题. 例7.1 （运输问题）
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3. 运输问题的求解过程 为了便于讨论，以一个运输问题实例的求解过 程来介绍如何用LINDO或LINGO软件求解运输问 题模型. 例7.2(继例7.1) 设 m 3, n 4 即为有3个产地和 4个销地的运输问题，其产量、销量及单位运费如 表7-1所示.试求总运费最少的运输方案，以及总 运费.
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即工厂A向仓库x, y, z分别运输3, 6, 0个单 位，工厂B向仓库x, y, z分别运输0, 3, 5个单位， 仓库x向顾客1运输3个单位，仓库y向顾客2, 3分 别运输5, 4个单位，仓库z向顾客4运输5个单位. 总运费为121个单位.
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7.2
最短路问题和最大流问题
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7.2.1 7.2.2 7.2.3
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本节概述 最短路问题 最大流问题 最小费与最大流问题
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1.转运问题的数学表达式
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min s.t.
c x c 2 x 2 ; jk jk
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按第1章所列的规划问题写出相应的LINGO程序， 程序名：exam0705.lg4. 下面列出LINGO软件计算结果（仅保留非零变 量）:
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即甲游自由泳，乙游蝶泳，丙游仰泳，丁游蛙泳,没有被选拔 上.平均成绩为. 4ˊ13〞2.
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例7.5（继例1.5）用LINGO软件求解例1.5. 解：在第二章的例2.7给出了该问题的LINDO软 件求解方法，这里给出LINGO软件的求解方法，读 者可根据问题的求解过程来考查两种软件求解问题的 方法，以及每种软件各自的特点. 为了便于编写程序，将5名队员的4种泳姿的百米 平均成绩重新列在表7-3中.
图7-1: m 个产地,
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n 个销售地运输问题的图形
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运输问题的数学表达式
c
i 1 j 1
m
n
ij
xij .
第 i 个产地的运出量应小于或等于该地的生产量，即：
x
j 1
n
ij
ai .
例7.1 就是典型的运输问题，图7-1给出了 m 个产地，n 个销地运输问题的图形.关于它的求 解方法有两类，一类是按照图论的方法求解， 另一类是化成线性规划问题.这里介绍第二类方 法，即用LINDO或LINGO软件求解运输问题. 但为便于后面的叙述，先给出图论中有关图的 部分定义.
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7.1
运输问题与转运问题
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7.1.1 7.1.2 7.1.3 运输问题 指派问题 转运问题
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下面写出求解该问题的LINGO程序，并在程序中 用到在第三章介绍的集与数据段，以及相关的循环函 数. 写出相应的LINGO程序，程序为：
在上述程序中，第16]表示运输问题中目标函数 (7.1). 第18] 19]行表示约束条件(7.2), 第21] 22]行 表示约束条件(7.3).
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下面用LINGO程序再求解此问题，程序中仍然 用到集、数据段和循环函数. 写出相应的LINGO程序，程序名 程序中第12] 13]行中的-99意义与LINDO程序 中的意义相同，当某人无法做某项工作时，取一个 数值较大的负值. LINGO软件计算结果如下（只列出非零变量）:
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第7讲:图与网络模型(一)
概述
运输问题与转运问题 最短路问题和最大流问题
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本章内容概述
本章介绍图论与网络(Graph Theory and Network)的 有关优化问题模型。在这里，我们并不打算全面系统介绍 图论与网络的知识，而着重介绍与LINDO、LINGO软件有 关的组合优化模型和相应的求解过程。如果读者打算深入 地了解图论与网络的更全面的知识，请参阅图论或运筹学 中的有关书籍. LINDO软件和LINGO软件可以求解一些著名的组合优 化问题，这包括最短路问题、最大流问题、运输和转运问 题、最优匹配和最优指派问题、最优连线或最小生成树问 题、旅行商问题、关键路线法与计划评审方法等。
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表7-4
工厂到仓库 、仓库到顾客的运费单价
x y z
A 1 2 －
B ３ １ ２
1 5 ９ －
2 ７ ６ ６
3 － ７ ７
4 － － ４
说明：其中--表示两地无道路通行.
解：写出相应的LINGO程序，程序名： exam0706a.lg4.
第 j个销地的运入量应等于该地的需求量，即：
i 1
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m
xi j b j .
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因此，运输问题的数学表达式为:
称具有形如式
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(1) ~ (4)
的线性规划问题为运输问题.
x x
1 ij k 1
x
j 1
2 jk
bk ,
x1 0, x 2 0.
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