第7讲 图论与网络分析(一)
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优化 建 模 优化建模 优 化 建模
7.1
运输问题与转运问题
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7.1.1 7.1.2 7.1.3 运输问题 指派问题 转运问题
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1.转运问题的数学表达式
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min s.t.
c x c 2 x 2 ; jk jk
ij
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1. 指派问题的数学表达式 设变量为 xij ,当第 i 个人作第 j 项工作时，xij 1 , 否则 xij 0 . 因此，相应的线性规划问题为
min cij xij；
例7.1 就是典型的运输问题，图7-1给出了 m 个产地，n 个销地运输问题的图形.关于它的求 解方法有两类，一类是按照图论的方法求解， 另一类是化成线性规划问题.这里介绍第二类方 法，即用LINDO或LINGO软件求解运输问题. 但为便于后面的叙述，先给出图论中有关图的 部分定义.
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一 运输问题
运输问题(Transportation Problem)是图论与 网络中的一个重要问题，也是一个典型的线性 规划问题. 例7.1 （运输问题）
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i=1 j 1 l 1 ij 1 1 ij ij j 1 k 1
m
l
l
n
(9) (10) (11) (12)
x
j 1 m i 1 l
ai ,
n 2 jk
i 1, 2, m, (运出量应不大于生产量) , j 1, 2, , l , (运入量应等于运出量) k 1, 2, n, (运入量应等于需求量)
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第7讲:图与网络模型(一)
概述
运输问题与转运问题 最短路问题和最大流问题
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本章内容概述
本章介绍图论与网络(Graph Theory and Network)的 有关优化问题模型。在这里，我们并不打算全面系统介绍 图论与网络的知识，而着重介绍与LINDO、LINGO软件有 关的组合优化模型和相应的求解过程。如果读者打算深入 地了解图论与网络的更全面的知识，请参阅图论或运筹学 中的有关书籍. LINDO软件和LINGO软件可以求解一些著名的组合优 化问题，这包括最短路问题、最大流问题、运输和转运问 题、最优匹配和最优指派问题、最优连线或最小生成树问 题、旅行商问题、关键路线法与计划评审方法等。
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§7.1.2 指派问题
例7.3（指派问题）设有n个人, 计划作n项工作, 其 中 c 表示第i个人做第j项工作的收益, 现求一种指派方 式，使得每个人完成一项工作，使总收益最大. 例7.3就是指派问题(Assignment Problem).指派 问题也是图论中的重要问题，有相应的求解方法，如 匈牙利算法.从问题的形式来看，指派问题是运输问 题的特例，也可以看成0-1规划问题.
图7-1: m 个产地,
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n 个销售地运输问题的图形
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运输问题的数学表达式
c
i 1 j 1
m
n
ij
xij .
第 i 个产地的运出量应小于或等于该地的生产量，即：
x
j 1
n
ij
ai .
(8)
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2. 指派问题的求解过程 分别用LINDO软件和LINGO软件求解指派问 题，并对两种软件的求解方法与各自的优缺点进 行比较.
例7.4（继例7.3） 考虑例7.3中 n 6 的情况,即 6个人做6项工作的最优指派问题，其收益矩阵如 表7-2所示.
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下面写出求解该问题的LINGO程序，并在程序中 用到在第三章介绍的集与数据段，以及相关的循环函 数. 写出相应的LINGO程序，程序为：
在上述程序中，第16]表示运输问题中目标函数 (7.1). 第18] 19]行表示约束条件(7.2), 第21] 22]行 表示约束条件(7.3).
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按第1章所列的规划问题写出相应的LINGO程序， 程序名：exam0705.lg4. 下面列出LINGO软件计算结果（仅保留非零变 量）:
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即甲游自由泳，乙游蝶泳，丙游仰泳，丁游蛙泳,没有被选拔 上.平均成绩为. 4ˊ13〞2.
i 1 j 1 n m n
(5) (6)
s.t. xij 1, i 1, 2, , n， (每个人做一项工作)
j 1 n
xij 1, j 1, 2, , n, (每项工作有一个人去做) (7)
i 1
xij 0或1, j 1, 2, , n.
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在上述程序中，由14]至15]行定义的cI是工厂 到仓库的运费，由16]至18]行定义的cII是仓库到顾 客的运费.我们的目标是求最小运费，因此当两点无 道路时，认为是运费无穷大.为了便于计算，只要取 较大的数值就可以了，这里的取值为100. LINGO软件的计算结果（仅保留非零变量）如 下:
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§7.1.3 转运问题
所谓转运问题(Transshipment Problem)实质上 是运输问题的一种，其区别就在于不是将工厂生产 出的产品直接送的顾客手中，而是要经过某些中间 环节，如仓库、配送中心等.图7-2表示的是3水平分 配（即有一个中间环节）的转运问题.
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7.2
最短路问题和最大流问题
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7.2.1 7.2.2 7.2.3
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本节概述 最短路问题 最大流问题 最小费与最大流问题
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第 j个销地的运入量应等于该地的需求量，即：
i 1
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m
xi j b j .
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因此，运输问题的数学表达式为:
称具有形如式
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(1) ~ (4)
的线性规划问题为运输问题.
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即工厂A向仓库x, y, z分别运输3, 6, 0个单 位，工厂B向仓库x, y, z分别运输0, 3, 5个单位， 仓库x向顾客1运输3个单位，仓库y向顾客2, 3分 别运输5, 4个单位，仓库z向顾客4运输5个单位. 总运费为121个单位.
x x
1 ij k 1
x
j 1
2 jk
bk ,
x1 0, x 2 0.
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1.转运问题的求解方法
以一个例子为例，给出求解转运问题的两种 求解方法. 例7.6（转运问题）设有两个工厂A, B, 产量分别 为9, 8个单位. 四个顾客1, 2, 3, 4, 需求量分别为3, 5, 4, 5. 和三个仓库x, y, z. 其中工厂到仓库、仓库到顾 客的运费单价分别由表7-4所示.试求总运费最少的 运输方案，以及总运费.
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表7-4
工厂到仓库 、仓库到顾客的运费单价
x y z
A 1 2 －
B ３ １ ２
1 5 ９ －
2 ７ ６ ６
3 － ７ ７
4 － － ４
说明：其中--表示两地无道路通行.
解：写出相应的LINGO程序，程序名： exam0706a.lg4.
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从上述两个例子，可以看出LINGO软件在处 理问题方面要大优于LINDO软件，而且便于推 广，只是在编程方面，LINGO程序的编写稍复杂 一些.在后面的问题求解中，绝大多数的求解方法 是采用LINGO软件计算. 对于指派问题，也可以考虑人数不工作数不 相等的情况，和考虑支付最小的情况.第一章的例 1.5“混合泳接力队员选拔问题”就是属于这一类 情 况.
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3. 运输问题的求解过程 为了便于讨论，以一个运输问题实例的求解过 程来介绍如何用LINDO或LINGO软件求解运输问 题模型. 例7.2(继例7.1) 设 m 3, n 4 即为有3个产地和 4个销地的运输问题，其产量、销量及单位运费如 表7-1所示.试求总运费最少的运输方案，以及总 运费.
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下面列出LINGO软件的求解结果（仅保留非零变量）
从上述求解过程来看，两种软件的计算结果是相同的， 但由于LINGO软件中采用集、数据段和循环函数的编写 方式，因此更便于程序推广到一般形式使用.例如，只需 修改运输问题中产地和销地的个数，以及参数a,b,c的值， 就可以求解任何运输问题.所以，从程序通用性的角度来 看,推荐大家采用LINGO软件来求解运输问题.
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下面用LINGO程序再求解此问题，程序中仍然 用到集、数据段和循环函数. 写出相应的LINGO程序，程序名 程序中第12] 13]行中的-99意义与LINDO程序 中的意义相同，当某人无法做某项工作时，取一个 数值较大的负值. LINGO软件计算结果如下（只列出非零变量）:
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例7.5（继例1.5）用LINGO软件求解例1.5. 解：在第二章的例2.7给出了该问题的LINDO软 件求解方法，这里给出LINGO软件的求解方法，读 者可根据问题的求解过程来考查两种软件求解问题的 方法，以及每种软件各自的特点. 为了便于编写程序，将5名队员的4种泳姿的百米 平均成绩重新列在表7-3中.
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运输问题与转运问题
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7.1.1 7.1.2 7.1.3 运输问题 指派问题 转运问题
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1.转运问题的数学表达式
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1. 指派问题的数学表达式 设变量为 xij ,当第 i 个人作第 j 项工作时，xij 1 , 否则 xij 0 . 因此，相应的线性规划问题为
min cij xij；
例7.1 就是典型的运输问题，图7-1给出了 m 个产地，n 个销地运输问题的图形.关于它的求 解方法有两类，一类是按照图论的方法求解， 另一类是化成线性规划问题.这里介绍第二类方 法，即用LINDO或LINGO软件求解运输问题. 但为便于后面的叙述，先给出图论中有关图的 部分定义.
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一 运输问题
运输问题(Transportation Problem)是图论与 网络中的一个重要问题，也是一个典型的线性 规划问题. 例7.1 （运输问题）
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i=1 j 1 l 1 ij 1 1 ij ij j 1 k 1
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(9) (10) (11) (12)
x
j 1 m i 1 l
ai ,
n 2 jk
i 1, 2, m, (运出量应不大于生产量) , j 1, 2, , l , (运入量应等于运出量) k 1, 2, n, (运入量应等于需求量)
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第7讲:图与网络模型(一)
概述
运输问题与转运问题 最短路问题和最大流问题
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本章内容概述
本章介绍图论与网络(Graph Theory and Network)的 有关优化问题模型。在这里，我们并不打算全面系统介绍 图论与网络的知识，而着重介绍与LINDO、LINGO软件有 关的组合优化模型和相应的求解过程。如果读者打算深入 地了解图论与网络的更全面的知识，请参阅图论或运筹学 中的有关书籍. LINDO软件和LINGO软件可以求解一些著名的组合优 化问题，这包括最短路问题、最大流问题、运输和转运问 题、最优匹配和最优指派问题、最优连线或最小生成树问 题、旅行商问题、关键路线法与计划评审方法等。
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§7.1.2 指派问题
例7.3（指派问题）设有n个人, 计划作n项工作, 其 中 c 表示第i个人做第j项工作的收益, 现求一种指派方 式，使得每个人完成一项工作，使总收益最大. 例7.3就是指派问题(Assignment Problem).指派 问题也是图论中的重要问题，有相应的求解方法，如 匈牙利算法.从问题的形式来看，指派问题是运输问 题的特例，也可以看成0-1规划问题.
图7-1: m 个产地,
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运输问题的数学表达式
c
i 1 j 1
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xij .
第 i 个产地的运出量应小于或等于该地的生产量，即：
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2. 指派问题的求解过程 分别用LINDO软件和LINGO软件求解指派问 题，并对两种软件的求解方法与各自的优缺点进 行比较.
例7.4（继例7.3） 考虑例7.3中 n 6 的情况,即 6个人做6项工作的最优指派问题，其收益矩阵如 表7-2所示.
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下面写出求解该问题的LINGO程序，并在程序中 用到在第三章介绍的集与数据段，以及相关的循环函 数. 写出相应的LINGO程序，程序为：
在上述程序中，第16]表示运输问题中目标函数 (7.1). 第18] 19]行表示约束条件(7.2), 第21] 22]行 表示约束条件(7.3).
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按第1章所列的规划问题写出相应的LINGO程序， 程序名：exam0705.lg4. 下面列出LINGO软件计算结果（仅保留非零变 量）:
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即甲游自由泳，乙游蝶泳，丙游仰泳，丁游蛙泳,没有被选拔 上.平均成绩为. 4ˊ13〞2.
i 1 j 1 n m n
(5) (6)
s.t. xij 1, i 1, 2, , n， (每个人做一项工作)
j 1 n
xij 1, j 1, 2, , n, (每项工作有一个人去做) (7)
i 1
xij 0或1, j 1, 2, , n.
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在上述程序中，由14]至15]行定义的cI是工厂 到仓库的运费，由16]至18]行定义的cII是仓库到顾 客的运费.我们的目标是求最小运费，因此当两点无 道路时，认为是运费无穷大.为了便于计算，只要取 较大的数值就可以了，这里的取值为100. LINGO软件的计算结果（仅保留非零变量）如 下:
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所谓转运问题(Transshipment Problem)实质上 是运输问题的一种，其区别就在于不是将工厂生产 出的产品直接送的顾客手中，而是要经过某些中间 环节，如仓库、配送中心等.图7-2表示的是3水平分 配（即有一个中间环节）的转运问题.
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最短路问题和最大流问题
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即工厂A向仓库x, y, z分别运输3, 6, 0个单 位，工厂B向仓库x, y, z分别运输0, 3, 5个单位， 仓库x向顾客1运输3个单位，仓库y向顾客2, 3分 别运输5, 4个单位，仓库z向顾客4运输5个单位. 总运费为121个单位.
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工厂到仓库 、仓库到顾客的运费单价
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A 1 2 －
B ３ １ ２
1 5 ９ －
2 ７ ６ ６
3 － ７ ７
4 － － ４
说明：其中--表示两地无道路通行.
解：写出相应的LINGO程序，程序名： exam0706a.lg4.
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下面列出LINGO软件的求解结果（仅保留非零变量）
从上述求解过程来看，两种软件的计算结果是相同的， 但由于LINGO软件中采用集、数据段和循环函数的编写 方式，因此更便于程序推广到一般形式使用.例如，只需 修改运输问题中产地和销地的个数，以及参数a,b,c的值， 就可以求解任何运输问题.所以，从程序通用性的角度来 看,推荐大家采用LINGO软件来求解运输问题.
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例7.5（继例1.5）用LINGO软件求解例1.5. 解：在第二章的例2.7给出了该问题的LINDO软 件求解方法，这里给出LINGO软件的求解方法，读 者可根据问题的求解过程来考查两种软件求解问题的 方法，以及每种软件各自的特点. 为了便于编写程序，将5名队员的4种泳姿的百米 平均成绩重新列在表7-3中.