第三讲 线性规划(二)

i 1
定理：若检验数全小于等于零，且某一个非基变量 的检验数为0，则线性规划问题有无穷多最优解。 （无穷多最优解情况） 证明：设通过迭代已得最优解 X 0
按前述规则将非基变量 xm k 换入基变量中， 得到新基可行解 ，可知 仍为最优解。于是 X X 与 X 0连线上所有的点都是最优解。 X 命题成立。
B=(P3，P4 ，P5 ）=
1 0 0
0
0
1 0
0 1
x3, x4 , x5是基变量，x1,
x2,是非基变量。
用非基变量表示的方程： x3 = 8- x1 - 2x2 x4 = 16- 4x1 (I) x5 = 12 - 4x2 S = 0+ 2x1 +3x2 称(I) 为消去系统，
令非基变量 （ x1 , x2）T=（0，0） T 得基础可行解： x(1)=(0,0,8,16,12) T S1=0 经济含义：不生产产品甲乙，利润为零。 分析：S = 0+ 2x1 + 3x2 （分别增加单位产品甲、乙，目标函数 分别增加2、3，即利润分别增加2百元、 3百元。） 增加单位产品对目标函数的贡献， 这就是检验数的概念。
x1 = 2-x3+（1/2)x5 x4 = 8+ 4x3 -2 x5 x2 =3-(1/4) x5 S = 13-2x3+（1/4）x5
令新的非基变量（ x3，x5 ）=（0，0）T 得到新的基础可行解： x(3)=(2,3,0, 16 , 0) T S3=13 经济含义：生产甲产品2个，乙产品3个， 获得利润1300元。
增加单位产品甲（x2）比乙对目标函数 的贡献大（检验数最大），把非基变量 x2换成基变量，称x2为换入基变量，而 把基变量x5换成非基变量，称x5为换出 基变量。 （在选择出基变量时，一定保证消去系 统为正消去系统）（最小比值原则）
事实上，当x1 =0，有 x3 = 8- 2x2≥0 x4 = 16≥0 x5 = 12 - 4 x2 ≥0
分析： S = 13-2x3+（1/4）x5 x5系数仍为正数，确定x5为换入变量。 在保证常数项非负的情况下， x5换入， x3=0 。有 x1 = 2+（1/2）x5≥0 x4 = 8 -2x5 ≥0 (Ⅵ ) x2= 3-（1/4）x5 ≥0
min{- ,4,12 }= 4
确定x4为换出变量。有 x1 -（1/2）x5 =2-x3 2x5= 8 +4 x3 -x4 x2 +（1/4）x5 = 3
(1)
线性规划为求最大化的标准型： 定理：若非基变量检验数严格小于零，则线 性规划问题有唯一最优解。
定理：若检验数全小于等于零，且某一个非基变量 的检验数为0，则线性规划问题有无穷多最优解。
定理：若某一个非基变量的检验数大于0，其系数列向
量Pm+k≤0,则原问题无最优解。（无界解的情况）
定理：若存在检验数大于零，但所对应的换入变量Xm+k
的系数向量Pm+k≤0,则原问题无最优解。（无界解的情况）
证明： X ( 0 ) (b , b , b ,0, ,0) 1 2 m
为一基可行解，有一个变量Xm+k对应
m k＞0, ai ,m k 0

构造一个新的解
即： x1 =4-（1/4）x4 x5=4 +2 x3 -（1/2）x4 （Ⅶ） x2 =2-（1/2）x3 +（1/8）x4 S = 14-（3/2）x3-（1/8）x4 得到新的消去系统 目标函数中的非基变量的系数无正数， S4 = 14 是最优值， x(4)=(4,2, 0, 0，4) T是最 优解。 该企业分别生产甲产品4个，乙产品2个可 获得利润1400元。
i 1
n
m
z z0
j m 1

j
x j , z0 C B B b

j 0 时,达到最优。
单纯形表格(非矩阵形式)：
cj→ CB c1 c2 … cm XB x1 x2 … xm b b1 b2 … bm c1 … x1 1 0 0 0 0
m
… … … … … …
cm xm 0 0 0 1
b2
……………
am1 am2 …. amn c1 x1
bn 0
c2
CT= …… cn X=
x2
0= …… xn
0
….. 0
并且
r(A)=m<n.
1.最优解判别定理：
不妨假设 A=（B , N）（B为一个基）
XB 相应地有 X= X N
由（1-17）（1-18）
C= (CB , CN)
x2
50
40 30 max S = 2x1 +3x2 s.t. x1+2x2 +x3 =8 4x1 +x4 = 16 4x2 +x5 = 12 x1 , x2 , x3 , x4 ,x5 ≥ 0
X1 （0，0）， X2 （0，3） X3 （2，3）， X4 （4，2）
4x20 2 = 12
4x1 = 16
cm+1 xm+1 a1,m+1 a2,m+1 … am,m+1
…
… … … … …
cn xn a1,n a2,n … am,n cn -∑ c i ai,n θi θ1 θ2
…
θn
c -Z j-zj-∑ c i bi
0 cm+1 -∑ c i ai,m+1…
j c j ci aij , j m 1,, n
X3 Q3 Q2 X4
x1+2x2 = 8
X2 Q4
10
X1 O
Q1
x1
二、已知初始可行基求最优解
线性规划标准型的矩阵形式(3)：
MAX S =
CX
(1-17)
s.t.
AX=b
X>=0
(1-18)
(1-19)
a11 a12 …. a1n
b1
A=
a21 a22 …. a2n
……………………………
b =


基本解：令非基变量=0，则由Ax=b可求出一个解，这个解x称 为基本解。


基本可行解：满足非负条件的基本解称为基本可行解。
可行基:对应于基本可行解的基. 最优解：使目标函数达到最优值的可行解称为最优解。
复习：线性规划的基本性质
若线性规划有最 优解，则最优解必在可 行域的顶点上达到。
X
可行域内部的点 • 可行解? 是 • 最优解? 不
复习：线性规划的基本性质
定理2.1：线性规划的可行域：
D {x | Ax b, x ( x1 ,, xi ,, xn ) 0}
是凸集（凸多面体）。 引理2.1：线性规划的可行解 x ( x1 ,, xn ) 为基本可行解的 充分必要条件是x的正分量所对应的系数列向量是线性无关的， 即每个正分量都是一个基变量。
则对任意的 x >= 0 有
定理（最优解判别准则）
对于可行基B ,若
C -CB B-1A ≤ 0
则对应于基B的基础可行解x就是基础最 优解，此时的可行基就是最优基。 σ=C - CB B-1A为检验数。 基变量的检验数： CB- CB B-1B = 0
C - CB B-1A =（0， CN - CB B-1N ）
一、消去法
例1：一个企业需要同一两种原材料生产甲 乙两种产品，它们的单位产品所需要的原材 料的数量及所耗费的加工时间如下表。又已 知生产甲产品的单位利润为2（百元），生 产乙产品的单位利润为3（百元），那么， 该企业应如何安排生产计划，才能使获得的 利润达到最大？
ú Æ ² · /× Ê Ô ´ ­ ² Ô Ä Á Ï 1£ ¨¶ Ö £ © ­ ² Ô Ä Á Ï 2£ ¨¶ Ö £ © Ó ¹ ¼ ¤Ê ±¼ ä ¨ £ Ð ¡ Ê ±£ ©
(1) x b a ＞0 i i i, m k (1) x mk (1) x 0, j m 1, , n, j m k j
X
(1)
，分量为
(1) a 0 , x 0. i 因 i ,m k
z z0 mk ,
为可行解。 X , z .
约束条件的增广矩阵为： 1 （A b)= 4 0 2 1 0 0 0 1 4 0 0 0 8
0 16 1 12
显然 r(A) = r(A b) = 3 < 5,该问题 有无穷多组解。
A=（P1，P2，P3，P4 ，P5 ） = 1 4 0 2 0 4 1 0 0 0 1 0 0 0 1
X=（x1, x2, x3, x4 , x5)T
令非基变量XN = 0
则
X = (XB , XN) T =（ B-1b , 0）T为基础解，其 目标函数值为 S = CB B-1b 只要XB = B-1b >= 0, X=（ B-1b , 0) T >=0 X为基础可行解, B就是可行基。
另外，若满足 CN- CB B-1N ≤ 0
或 CB B-1N - CN ≥0 S = CX ≤ CB B-1b 即对应可行基B的可行解x为最优解。
（Ⅱ）
min(8/2,12/4)=3, 确定x5为换出基变量。
确定了换入变量x2 ，换出变量x5 以后， 得到新的消去系统：
x3 = 2- x1+（1/2） x5 x4 = 16-4 x1 x2= 3 - （1/4）x5
S= 9＋2 x1 -（3/4）x5 令新的非基变量（ x1，x5 ）=（0，0）T 得到新的基础可行解： x(2)=(0,3,2, 16 , 0) T S2= 9 经济含义：生产乙产品3个，获得利润9 百元。
XB Z= (CB , CN) X = CB XB+CN XN N XB = B X + N X = b AX=（ B , N） B N X N
因为B为一个基, |B|≠0 有 XB = B-1b- B-1N XN Z=CB XB+CN XN = CB B-1b + (CN- CB B-1N )XN
单纯形表（矩阵形式）： T（B）= B-1b -CB B-1b B-1A C-CB B-1A
=
B-1b
-CB B-1b
I
B-1N
0 CN - CB B-1N
注意： A=（B，N）
检验数σ=C - CB B-1A= （0， CN - CB B-1N ）
非基变量检验数σ= CN - CB B-1N
j c j ci aij , j m 1,, n
这个方案比前方案，但是否是最优？ 分析：S= 9＋2 x1 -（3/4）x5 非基变量x1系数仍为正数，确定x1为换 入变量。在保证常数项非负的情况下， x1 换入， x5=0 。有 x3 = 2-x1≥0 x4 = 16 -4x1 ≥0 (Ⅵ) x2= 3 ≥0
min{2,4,- }=2
确定x3为换出变量。得到新的消去系统：
第三讲
线性规划（二）
教学要求：
掌握线性规划单纯形法基本原理 会在不同条件下运用单纯形法求解线性规划问题
了解线性规划在经济和管理中的基本应用方法
复习：线性规划的解

可行解:满足所有约束条件的解x=（x1，x2，….，xn），称为线 性规划问题的可行解。所有可行解的集合称为可行域。
B ( P1 ,, Pm ) 基：设A是约束方程组的m×n阶系数矩阵，秩为m， 是A中阶非奇异子矩阵（即 B 0 ），则称是线性规划问题的 一个基矩阵，简称基。B中的列向量称为基向量，与基向量对 应的变量x称为基变量，其它变量称为非基行解x对应于可行域的顶点 定理2.3：若线性规划有最优解，则最优解必在可行域的顶点上 达到。
第三节
线性规划-单纯形方法
单纯形方法基本思路：
1.从可行域中某个基础可行解（一个顶点）开 始（称为初始基础可行解）。
2.如可能，从可行域中求出具有更优目标函数值 的另一个基础可行解（另一个顶点），以改进 初始解。 3.继续寻找更优的基础可行解，进一步改 进目标函数值。当某一个基础可行解不能 再改善时，该解就是最优解。
× ¼ 1 4 0
Ò 2 0 4
¿ û É À Ó Ã Ä × µ Ê ´ Ô Ü Á × ¿ 8 16 12
解：数学模型
max S = 2x1 + 3x2 s.t. x1+2x2 ≤ 8 4x1 ≤16 4x2 ≤12 x1,x2≥0
解：引进松弛变量x3,x4 ,x5 >= 0 数学模型标准形式： max S = 2x1 +3x2 s.t. x1+2x2 +x3 =8 4x1 +x4 = 16 4x2 +x5 = 12 x1 , x2 , x3 , x4 ,x5 ≥ 0