北航有限元分析与应用第三讲 ppt课件
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北航有限元第3讲弹性问题有限元方法2
勇于开始，才能找到成 功的路
构造位移函数： 对u,v分别利用节点条件：
对于一般四边形，逆矩阵的表达式比较复杂。
N—单元形状函数矩阵 qe —单元节点位移矩阵
特例：4节点矩形单元
矩形单元的重心坐标
对于一般的四边形单元，在总体坐标系下构造 位移插值函数，则计算形状函数矩阵、单元刚 度矩阵及等效节点载荷列阵时十分冗繁；而对 于矩形单元，相应的计算要简单的多。
单元集成：系统的总势能 变分处理：系统的平衡方程（组） 应用位移边界条件求出节点位移 由节点位移求出单元的应变、应力
Step 1. 几何离散——采用3节点三角形单元
体力：重力（密度 ）
ห้องสมุดไป่ตู้
整体节点 位移列阵
整体等效节 点力列阵
厚度：t p
表面力
单位体积力
Step 2. 单元分析——构造单元位移函数
矩形单元明显的缺点是不能很好的符合曲线边 界，因此可以采用矩形单元和三角形单元混合 使用。更为一般的方法是通过等参变换将局部 自然坐标系内的规格化矩形单元变换为总体坐 标系内的任意四边形单元（包括高次曲边四边 形单元）。
三维问题的有限元求解过程
• 离散时采用体单元：四面体或六面体 • 求解步骤和平面问题完全一样 • 单元分析的时候将二维扩充到三维
准则1：完备性—包含常应变项和刚体位移项
➢ 如果在势能泛函中所出现的位移函数的最 高阶导数是m阶，则选取的位移函数至少是 m阶完全多项式。
准则2：协调性—相邻单元公共边界保持位移连
续
➢ 如果在势能泛函中所出现的位移函数的最 高阶导数是m阶，则位移函数在单元交界面 上必须具有直至(m-1)阶的连续导数，即Cm1连续性。
Step 3. 单元分析——单元势能
构造位移函数： 对u,v分别利用节点条件：
对于一般四边形，逆矩阵的表达式比较复杂。
N—单元形状函数矩阵 qe —单元节点位移矩阵
特例：4节点矩形单元
矩形单元的重心坐标
对于一般的四边形单元，在总体坐标系下构造 位移插值函数，则计算形状函数矩阵、单元刚 度矩阵及等效节点载荷列阵时十分冗繁；而对 于矩形单元，相应的计算要简单的多。
单元集成：系统的总势能 变分处理：系统的平衡方程（组） 应用位移边界条件求出节点位移 由节点位移求出单元的应变、应力
Step 1. 几何离散——采用3节点三角形单元
体力：重力（密度 ）
ห้องสมุดไป่ตู้
整体节点 位移列阵
整体等效节 点力列阵
厚度：t p
表面力
单位体积力
Step 2. 单元分析——构造单元位移函数
矩形单元明显的缺点是不能很好的符合曲线边 界，因此可以采用矩形单元和三角形单元混合 使用。更为一般的方法是通过等参变换将局部 自然坐标系内的规格化矩形单元变换为总体坐 标系内的任意四边形单元（包括高次曲边四边 形单元）。
三维问题的有限元求解过程
• 离散时采用体单元：四面体或六面体 • 求解步骤和平面问题完全一样 • 单元分析的时候将二维扩充到三维
准则1：完备性—包含常应变项和刚体位移项
➢ 如果在势能泛函中所出现的位移函数的最 高阶导数是m阶，则选取的位移函数至少是 m阶完全多项式。
准则2：协调性—相邻单元公共边界保持位移连
续
➢ 如果在势能泛函中所出现的位移函数的最 高阶导数是m阶，则位移函数在单元交界面 上必须具有直至(m-1)阶的连续导数，即Cm1连续性。
Step 3. 单元分析——单元势能
有限元分析及应用课件
参数设置
设置材料属性、单元类型等参数。
求解过程
刚度矩阵组装
根据每个小单元的刚度，组装成全局的刚度矩阵。
载荷向量构建
根据每个节点的外载荷，构建全局的载荷向量。
求解线性方程组
使用求解器（如雅可比法、高斯消元法等）求解线性方程组，得到节点的位移。
后处理
01
结果输出
将计算结果以图形、表格等形式输 出，便于观察和分析。
有限元分析广泛应用于工程领域，如结构力学、流体动力学、电磁场等领域，用于预测和优化结构的 性能。
有限元分析的基本原理
离散化
将连续的求解域离散化为有限 个小的单元，每个单元具有特
定的形状和属性。
数学建模
根据物理问题的性质，建立每 个单元的数学模型，包括节点 力和位移的关系、能量平衡等。
求解方程
通过建立和求解线性或非线性 方程组，得到每个节点的位移 和应力分布。
PART 05
有限元分析的工程应用实 例
桥梁结构分析
总结词
桥梁结构分析是有限元分析的重要应用之一，通过模拟桥梁在不同载荷下的响应，评估 其安全性和稳定性。
详细描述
桥梁结构分析主要关注桥梁在不同载荷（如车辆、风、地震等）下的应力、应变和位移 分布。通过有限元模型，工程师可以预测桥梁在不同工况下的行为，从而优化设计或进
刚性问题
刚性问题是有限元分析中的一种 特殊问题，主要表现在模型中某 些部分刚度过大，导致分析结果 失真
刚性问题通常出现在大变形或冲 击等动态分析中，由于模型中某 些部分刚度过高，导致变形量被 忽略或被放大。这可能导致分析 结果与实际情况严重不符。
解决方案：为避免刚性问题，可 以采用多种方法进行优化，如采 用更合适的材料模型、调整模型 中的参数设置、采用更精细的网 格等。同时，可以采用多种方法 对分析结果进行验证和校核，以 确保其准确性。
设置材料属性、单元类型等参数。
求解过程
刚度矩阵组装
根据每个小单元的刚度，组装成全局的刚度矩阵。
载荷向量构建
根据每个节点的外载荷，构建全局的载荷向量。
求解线性方程组
使用求解器（如雅可比法、高斯消元法等）求解线性方程组，得到节点的位移。
后处理
01
结果输出
将计算结果以图形、表格等形式输 出，便于观察和分析。
有限元分析广泛应用于工程领域，如结构力学、流体动力学、电磁场等领域，用于预测和优化结构的 性能。
有限元分析的基本原理
离散化
将连续的求解域离散化为有限 个小的单元，每个单元具有特
定的形状和属性。
数学建模
根据物理问题的性质，建立每 个单元的数学模型，包括节点 力和位移的关系、能量平衡等。
求解方程
通过建立和求解线性或非线性 方程组，得到每个节点的位移 和应力分布。
PART 05
有限元分析的工程应用实 例
桥梁结构分析
总结词
桥梁结构分析是有限元分析的重要应用之一，通过模拟桥梁在不同载荷下的响应，评估 其安全性和稳定性。
详细描述
桥梁结构分析主要关注桥梁在不同载荷（如车辆、风、地震等）下的应力、应变和位移 分布。通过有限元模型，工程师可以预测桥梁在不同工况下的行为，从而优化设计或进
刚性问题
刚性问题是有限元分析中的一种 特殊问题，主要表现在模型中某 些部分刚度过大，导致分析结果 失真
刚性问题通常出现在大变形或冲 击等动态分析中，由于模型中某 些部分刚度过高，导致变形量被 忽略或被放大。这可能导致分析 结果与实际情况严重不符。
解决方案：为避免刚性问题，可 以采用多种方法进行优化，如采 用更合适的材料模型、调整模型 中的参数设置、采用更精细的网 格等。同时，可以采用多种方法 对分析结果进行验证和校核，以 确保其准确性。
有限元分析 ppt课件
有限元分析 Finite Element Analysis
课程目标
1) 了解什么是有限单元法、有限单元法的基本 思想。
2) 学习有限单元法的原理，主要结合弹性力学 问题来介绍有限单元法的基本方法，包括单 元分析、整体分析、载荷与约束处理、等参 单元等概念。
3) 初步学会使用商用有限元软件分析简单工程 问题。
4. O.C. Zienkiewicz, R.L. Taylor. The finite element method( 5th ed). Oxford ; Boston : Butterworth-Heinemann, 2000
5. 郭和德编. 有限单元法概论，清华大学， 1998
1 有限单元法简介
自重作用下等截面直杆的材料力学解答
N(x)q(Lx)
d(L x)N(x)d xq(Lx)dx EA EA
u(x)xN(x)d xq(L xx2)
0 EA EA 2
x
du q (Lx) dx EA
x
Ex
q(Lx) A
自重作用下等截面直杆的有限单元法 解答
1）离散化 如图所示，将直杆划分 成n个有限段，有限段之 间通过一个铰接点连接。 称两段之间的连接点为 结点，称每个有限段为 单元。 第 i 个 单 元 的 长 度 为 Li ， 包含第i，i+1个结点。
1.3.1网格划分
对弹性体进行必要的简化，再将弹性体 划分为有限个单元组成的离散体。 单元之间通过单元节点相连接。 由单元、结点、结点连线构成的集合称 为网格。
1.3.1网格划分
通常把三维实体划分成四面体（Tetrahedron） 或六面体（Hexahedron）单元的网格
四面体4结点单元
六面体8结点单元
课程目标
1) 了解什么是有限单元法、有限单元法的基本 思想。
2) 学习有限单元法的原理，主要结合弹性力学 问题来介绍有限单元法的基本方法，包括单 元分析、整体分析、载荷与约束处理、等参 单元等概念。
3) 初步学会使用商用有限元软件分析简单工程 问题。
4. O.C. Zienkiewicz, R.L. Taylor. The finite element method( 5th ed). Oxford ; Boston : Butterworth-Heinemann, 2000
5. 郭和德编. 有限单元法概论，清华大学， 1998
1 有限单元法简介
自重作用下等截面直杆的材料力学解答
N(x)q(Lx)
d(L x)N(x)d xq(Lx)dx EA EA
u(x)xN(x)d xq(L xx2)
0 EA EA 2
x
du q (Lx) dx EA
x
Ex
q(Lx) A
自重作用下等截面直杆的有限单元法 解答
1）离散化 如图所示，将直杆划分 成n个有限段，有限段之 间通过一个铰接点连接。 称两段之间的连接点为 结点，称每个有限段为 单元。 第 i 个 单 元 的 长 度 为 Li ， 包含第i，i+1个结点。
1.3.1网格划分
对弹性体进行必要的简化，再将弹性体 划分为有限个单元组成的离散体。 单元之间通过单元节点相连接。 由单元、结点、结点连线构成的集合称 为网格。
1.3.1网格划分
通常把三维实体划分成四面体（Tetrahedron） 或六面体（Hexahedron）单元的网格
四面体4结点单元
六面体8结点单元
有限元教程课件 第三讲
第§三5-2章三角平形面常问应题变单有元限分单析元法
二、平面问题的常应变单元—三结点三角形单元
两类平面问题：区别仅在于弹性矩阵
平面应力：如膜、薄板等
D
E
1
1
0 0
1 2 0
0
1
2
平面应变：如水坝、挡土墙等
1
D'
E1 1 1 2
1
1 1
0
0
1 2
0
0 21
第§三5-2章三角平形面常问应题变单有元限分单析元法
二、变分原理与里兹法
变分原理的三种表述：
U A( Xu Yv )dxdy S ( Xu Yv )ds
应变能变分等于外力功变分 — 位移变分方程
A( x x y y xy xy )dxdy A( Xu Yv )dxdy S ( Xu Yv )ds
— 虚功方程
(U V ) 0
ui uj
xi xj
yi yj
um xm ym
1
2
1 2A
1
ui uj
yi yj
1 um ym
1
3
1 2A
1
xi xj
ui uj
1 xm um
1 xi yi 2A 1 xj yj
1 xm ym
单元编码 i, j, m 应逆时针转向, 可使A(三角形面积)>0。
如果令：
ai
xj xm
yj ym
x j ym xm y j ;
第§三5-2章三角平形面常问应题变单有元限分单析元法
一、有限元分析的主要步骤(位移元)
根据基本未知量的不同，有限元法中的单元可分为位移元、 应力元和混合元。 以结点位移为基本未知量的单元为位移单元。
北航有限元分析与应用第三讲 ppt课件.ppt
Nj 0
0 Nj
Nm 0
0 Nm
u v
j j
简写为
N e INi
IN j
INm
i j
um
vm
ui
m
e
i j
m
vi
u v
j j
um
vm
[I]是单位矩阵，
[N]称为形函数矩阵，
Ni只与单元节点坐标有关，称为 单元的形状函数
3-2 平面问题的常应变(三角形)单元
坐标轴的平行移动而改变。
3-3 单元刚度矩阵
Fe [B]T[D][B]tdxdyδe
由于[D]中元素是常量，而在线性位移模式下，[B]中的
元素也是常量，且 dxdy A
因此
Fe [B]T[D][B]tA δe
Ke [B]T[D][B]tA
可以进一步得出平面应力问题和平面应变问题中的单元 刚度矩阵。
Fyj*
j
Fxj*
F ym m
y t
xy
F yi
x
F xi
i
F xm
(a)结点力、内部应力
Fym* m
x* y* xy*
F
* xm
(b)虚位移、虚应变
Fyi*
F
* xi
i
3-3 单元刚度矩阵
考虑上图三角形单元的实际受力，节点力和内部应力为：
Fxi
Fyi
F
Fxj Fyj
Fxm
Fym
u v
j j
um
vm
ui
1 2A
b0i ci
0 ci bi
bj 0 cj
0 cj bj
bm 0 cm
《有限元分析及应用》PPT课件
41
2.3 基本变量的指标表达
指标记法的约定：
自由指标：在每项中只有一个下标出现，如
，
i，j为自由指标，它们可以自由变化；在三维ij 问题
中，分别取为1，2，3；在直角坐标系中，可表示
三个坐标轴x, y, z。
哑指标：在每项中有重复下标出现，如：
，j为哑指标。在三维问题中其变化的范ai围j x为j 1,b2i ,3
有限元方法的思路及发展过程
思路：以计算机为工具，分析任意变形体以获得所有 力学信息，并使得该方法能够普及、简单、高效、方 便，一般人员可以使用。 实现办法：
20
技术路线：
21
发展过程： 如何处理
对象的离散化过程
22
常用单元的形状
.点 (质量)
面 (薄壳, 二维实体,
.. 轴..对称实体.).......
3
有限元法是最重要的工程分析技术之一。 它广泛应用于弹塑性力学、断裂力学、流 体力学、热传导等领域。有限元法是60年 代以来发展起来的新的数值计算方法，是 计算机时代的产物。虽然有限元的概念早 在40年代就有人提出，但由于当时计算机 尚未出现，它并未受到人们的重视。
4
随着计算机技术的发展，有限元法在各个 工程领域中不断得到深入应用，现已遍及 宇航工业、核工业、机电、化工、建筑、 海洋等工业，是机械产品动、静、热特性 分析的重要手段。早在70年代初期就有人 给出结论：有限元法在产品结构设计中的 应用，使机电产品设计产生革命性的变化， 理论设计代替了经验类比设计。
由此得到
考虑 X 0
xyl ym zy n Y xl yxm zxn X
考虑
Z 0 xzl yzm zn Z
应力边界条件
有限元法及应用课件
13
载荷
节点: 空间中的坐标位置，具有 一定相应，相互之间存在物理 作用。 单元: 节点间相互作用的媒介， 用一组节点相互作用的数值矩阵 描述（称为刚度或系数矩阵)。
载荷
有限元模型由一些简单形状的单元组成，单 元之间通过节点连接，并承受一定载荷。
14
对于一个具体的工程结构，单元的划分越小， 求解的结果就越精确，同时，其计算工作量也就越 大。 梯子的有限元模型不到100个方程；
34
3）非线性边界 在加工、密封、撞击等问题中，接触和摩擦 的作用不可忽视，接触边界属于高度非线性边界。 平时遇到的一些接触问题，如齿轮传动、冲 压成型、轧制成型、橡胶减振器、紧配合装配等， 当一个结构与另一个结构或外部边界相接触时通 常要考虑非线性边界条件。 实际的非线性可能同时出现上述两种或三种 非线性问题。
10
2.几个基本概念 1）单元（element） 将求解的工程结构看成是 由许多小的、彼此用点联结的 基本构件如杆、梁、板和壳组 成的，这些基本构件称为单元。 在有限元法中，单元用一 组节点间相互作用的数值和矩 阵（刚度系数矩阵）来描述。
11
单元具有以下特征：
每一个单元都有确定的方程来描述在一定载荷 下的响应； 模型中所有单元响应的“和”给出了设计的总 体响应； 单元中未知量的个数是有限的，因此称为“有
限单元”。
12
2）节点（node） 单元与单元之间的联结点，称为节点。在有 限元法中，节点就是空间中的坐标位置，它具有 物理特性，且存在相互物理作用。 3）有限元模型（node） 有限元模型真实系统理想化的数学抽象。由 一些形状简单的单元组成，单元之间通过节点连 接，并承受一定载荷。 每个单元的特性是通过一些线性方程式来描 述的。作为一个整体，所有单元的组合就形成了 整体结构的数学模型。
载荷
节点: 空间中的坐标位置，具有 一定相应，相互之间存在物理 作用。 单元: 节点间相互作用的媒介， 用一组节点相互作用的数值矩阵 描述（称为刚度或系数矩阵)。
载荷
有限元模型由一些简单形状的单元组成，单 元之间通过节点连接，并承受一定载荷。
14
对于一个具体的工程结构，单元的划分越小， 求解的结果就越精确，同时，其计算工作量也就越 大。 梯子的有限元模型不到100个方程；
34
3）非线性边界 在加工、密封、撞击等问题中，接触和摩擦 的作用不可忽视，接触边界属于高度非线性边界。 平时遇到的一些接触问题，如齿轮传动、冲 压成型、轧制成型、橡胶减振器、紧配合装配等， 当一个结构与另一个结构或外部边界相接触时通 常要考虑非线性边界条件。 实际的非线性可能同时出现上述两种或三种 非线性问题。
10
2.几个基本概念 1）单元（element） 将求解的工程结构看成是 由许多小的、彼此用点联结的 基本构件如杆、梁、板和壳组 成的，这些基本构件称为单元。 在有限元法中，单元用一 组节点间相互作用的数值和矩 阵（刚度系数矩阵）来描述。
11
单元具有以下特征：
每一个单元都有确定的方程来描述在一定载荷 下的响应； 模型中所有单元响应的“和”给出了设计的总 体响应； 单元中未知量的个数是有限的，因此称为“有
限单元”。
12
2）节点（node） 单元与单元之间的联结点，称为节点。在有 限元法中，节点就是空间中的坐标位置，它具有 物理特性，且存在相互物理作用。 3）有限元模型（node） 有限元模型真实系统理想化的数学抽象。由 一些形状简单的单元组成，单元之间通过节点连 接，并承受一定载荷。 每个单元的特性是通过一些线性方程式来描 述的。作为一个整体，所有单元的组合就形成了 整体结构的数学模型。
《有限元分析概述》课件
PART 05
有限元分析的未来发展与 挑战
新技术与新方法的探索
人工智能与机器学
习
利用人工智能和机器学习技术， 自动构建有限元模型、优化求解 过程和提高分值算法和 求解技术，提高有限元分析的稳 定性和精度。
多物理场耦合
探索多物理场耦合的有限元分析 方法，以解决复杂工程问题中的 多物理场耦合问题。
边界条件的处理
在有限元分析中，边界条件的处理是重要的环节。边界条件通常通过在边界节点上施加约束或加载来实现，以模拟实际系统 的边界条件。
边界条件的处理方式需要根据具体问题进行分析和设定，以确保求解结果的准确性和可靠性。
求解与后处理
求解是有限元分析的核心步骤，涉及到建立方程组、求解方程组并得到离散化模型的结果。常用的求 解方法包括直接法、迭代法和优化算法等。
优化设计
03
根据计算结果，对结构进行优化设计，提高其性能或降低成本
。
PART 04
有限元分析的优缺点
有限元分析的优缺点
• 有限元分析（FEA）是一种数值 分析方法，用于解决各种工程问 题，如结构分析、热传导、流体 动力学等。它通过将复杂的物理 系统离散化为有限数量的简单单 元（或称为“有限元”）来模拟 系统的行为。这些单元通过节点 相互连接，形成一个离散化的模 型，可以用来预测系统的性能和 行为。
2023-2026
ONE
KEEP VIEW
有限元分析概述
REPORTING
CATALOGUE
目 录
• 有限元分析简介 • 有限元分析的基本原理 • 有限元分析的实现过程 • 有限元分析的优缺点 • 有限元分析的未来发展与挑战
PART 01
有限元分析简介
定义与背景
有限元法PPT课件
和时间。
如何克服局限性
改进模型
通过更精确地描述实际 结构，减少模型简化带
来的误差。
优化网格生成
采用先进的网格生成技 术，提高网格质量，降
低计算误差。
采用高效算法
采用并行计算、稀疏矩 阵技术等高效算法，提
高计算效率。
误差分析和验证
对有限元法的结果进行误 差分析和验证，确保结果
的准确性和可靠性。
05 有限元法的应用实例
有限元法ppt课件
目 录
• 引言 • 有限元法的基本原理 • 有限元法的实现过程 • 有限元法的优势与局限性 • 有限元法的应用实例 • 有限元法的前沿技术与发展趋势 • 结论
01 引言
有限元法的定义
01
有限元法是一种数值分析方法， 通过将复杂的结构或系统离散化 为有限个简单元（或称为元素） 的组合，来模拟和分析其行为。
有限元法在流体动力学分析中能够处理复杂的流体流动和 压力分布。
详细描述
通过将流体域离散化为有限个小的单元，有限元法能够模 拟流体的流动、压力、速度等状态，广泛应用于航空、航 天、船舶等领域。
实例
分析飞机机翼在不同飞行状态下的气动性能，优化机翼设 计。
热传导分析
总结词
有限元法在热传导分析中能够处理复杂的热传递过程。
实例
分析复杂电磁设备的电磁干扰问题，优化设备性能。
06 有限元法的前沿技术与发 展趋势
多物理场耦合的有限元法
总结词
多物理场耦合的有限元法是当前有限元法的重要发展方向， 它能够模拟多个物理场之间的相互作用，为复杂工程问题提 供更精确的解决方案。
详细描述
多物理场耦合的有限元法涉及到流体力学、热力学、电磁学 等多个物理场的耦合，通过建立统一的数学模型，能够更准 确地模拟多物理场之间的相互作用。这种方法在航空航天、 能源、环境等领域具有广泛的应用前景。
如何克服局限性
改进模型
通过更精确地描述实际 结构，减少模型简化带
来的误差。
优化网格生成
采用先进的网格生成技 术，提高网格质量，降
低计算误差。
采用高效算法
采用并行计算、稀疏矩 阵技术等高效算法，提
高计算效率。
误差分析和验证
对有限元法的结果进行误 差分析和验证，确保结果
的准确性和可靠性。
05 有限元法的应用实例
有限元法ppt课件
目 录
• 引言 • 有限元法的基本原理 • 有限元法的实现过程 • 有限元法的优势与局限性 • 有限元法的应用实例 • 有限元法的前沿技术与发展趋势 • 结论
01 引言
有限元法的定义
01
有限元法是一种数值分析方法， 通过将复杂的结构或系统离散化 为有限个简单元（或称为元素） 的组合，来模拟和分析其行为。
有限元法在流体动力学分析中能够处理复杂的流体流动和 压力分布。
详细描述
通过将流体域离散化为有限个小的单元，有限元法能够模 拟流体的流动、压力、速度等状态，广泛应用于航空、航 天、船舶等领域。
实例
分析飞机机翼在不同飞行状态下的气动性能，优化机翼设 计。
热传导分析
总结词
有限元法在热传导分析中能够处理复杂的热传递过程。
实例
分析复杂电磁设备的电磁干扰问题，优化设备性能。
06 有限元法的前沿技术与发 展趋势
多物理场耦合的有限元法
总结词
多物理场耦合的有限元法是当前有限元法的重要发展方向， 它能够模拟多个物理场之间的相互作用，为复杂工程问题提 供更精确的解决方案。
详细描述
多物理场耦合的有限元法涉及到流体力学、热力学、电磁学 等多个物理场的耦合，通过建立统一的数学模型，能够更准 确地模拟多物理场之间的相互作用。这种方法在航空航天、 能源、环境等领域具有广泛的应用前景。
《有限元法及其应用》课件
实例
某型战斗机的机翼设计过程中，通过有限元分析，优化了机翼的结构和材料分布，提高了机翼的抗弯和 抗扭能力，同时减小了机翼的气动阻力，为飞机的高性能提供了保障。
汽车碰撞模拟
01
总结词
利用有限元法模拟汽车碰撞过程，评估汽车的安全性能和 改进设计方案。
02 03
详细描述
汽车碰撞是交通事故中最为严重的一种情况，有限元法能 够模拟汽车碰撞过程，对汽车的结构、材料和吸能设计等 进行评估，为汽车的安全性能提供科学依据。同时，通过 模拟不同碰撞条件下的结果，可以为汽车设计提供改进方 案。
通过离散化的方法，将连续的偏微分 方程转化为离散的代数方程组。
刚度矩阵与载荷向量
刚度矩阵
描述了每个单元的刚度关系，反 映了单元之间的相互作用。
载荷向量
描述了作用在每个节点上的外力 。
位移求解与应力分析
位移求解
通过求解离散化的代数方程组，得到每个节点的位移。
应力分析
根据位移求解的结果，通过计算得到每个单元的应力应变状态。
有限元法的应用领域
结构分析
有限元法在结构分析中应用最为广泛，可 以用于分析各种结构的应力、应变、位移
等。
电磁场分析
有限元法可以用于分析电磁场中的电场强 度、磁场强度、电流密度等，如电磁兼容
性分析、天线设计等。
流体动力学
有限元法可以用于模拟流体在各种复杂环 境下的流动行为，如航空航天、船舶、汽 车等领域的流体动力学问题。
应用领域
广泛应用于科学研究和工 程领域，如化学、生物医 学、电磁学等。
FE-SAFE
概述
FE-SAFE是一款用于结构疲劳分析的有限元软件 ，基于有限元方法进行疲劳寿命预测。
特点
某型战斗机的机翼设计过程中，通过有限元分析，优化了机翼的结构和材料分布，提高了机翼的抗弯和 抗扭能力，同时减小了机翼的气动阻力，为飞机的高性能提供了保障。
汽车碰撞模拟
01
总结词
利用有限元法模拟汽车碰撞过程，评估汽车的安全性能和 改进设计方案。
02 03
详细描述
汽车碰撞是交通事故中最为严重的一种情况，有限元法能 够模拟汽车碰撞过程，对汽车的结构、材料和吸能设计等 进行评估，为汽车的安全性能提供科学依据。同时，通过 模拟不同碰撞条件下的结果，可以为汽车设计提供改进方 案。
通过离散化的方法，将连续的偏微分 方程转化为离散的代数方程组。
刚度矩阵与载荷向量
刚度矩阵
描述了每个单元的刚度关系，反 映了单元之间的相互作用。
载荷向量
描述了作用在每个节点上的外力 。
位移求解与应力分析
位移求解
通过求解离散化的代数方程组，得到每个节点的位移。
应力分析
根据位移求解的结果，通过计算得到每个单元的应力应变状态。
有限元法的应用领域
结构分析
有限元法在结构分析中应用最为广泛，可 以用于分析各种结构的应力、应变、位移
等。
电磁场分析
有限元法可以用于分析电磁场中的电场强 度、磁场强度、电流密度等，如电磁兼容
性分析、天线设计等。
流体动力学
有限元法可以用于模拟流体在各种复杂环 境下的流动行为，如航空航天、船舶、汽 车等领域的流体动力学问题。
应用领域
广泛应用于科学研究和工 程领域，如化学、生物医 学、电磁学等。
FE-SAFE
概述
FE-SAFE是一款用于结构疲劳分析的有限元软件 ，基于有限元方法进行疲劳寿命预测。
特点
北航有限元第3讲 弹性问题有限元方法(1)
Ωe Sp
要求单元的外力功，关键是求出单元上的体积力和面 积力等效作用到节点上的力的大小。
北京航空航天大学
Step 3. 单元集成——应变能
单元等效节点力列阵：
Pe 1 Pe = e P2
北京航空航天大学
构造单元位移函数： u ( x) = a0 + a1 x
利用节点条件： u ( xi ) = a0 + a1 xi = ui
u ( x j ) = a0 + a1 x j = u j
北京航空航天大学
1 ∫Ω σ ijδε ij dV = ∫Ω σ ij ⋅ 2 δ ui, j + δ u j ,i dV = ∫ σ ijδ ui , j dV = ∫ (σ ijδ ui ), j dV − ∫ σ ij , jδ ui dV
Ω Ω Ω
分部积分 高斯定理
= ∫ σ ijδ ui l j dA − ∫ σ ij , jδ ui dV
体积力 分布面力 集中力
外力载荷
北京航空航天大学
3.3 简单杆系问题的有限元求解过程
F
北京航空航天大学
Step 1: 几何离散——自然离散为2个杆单元 Setp 2: 单元特征分析
构造单元位移函数 应变的表达 应力的表达 单元的应变能 单元的外力功
北京航空航天大学
Step 3: 单元集成—系统的总势能 Step 4: 变分处理—线性方程组 Step 5: 处理位移边界条件并求解 Step 6: 计算每个单元的应变及应力
北京航空航天大学
∆ V= – W
弹性势能
弹性势能—弹性体变形后，产生弹性内力， 弹性势能—弹性体变形后，产生弹性内力，这 种力也具有对外作功的能力，称为弹性势能， 种力也具有对外作功的能力，称为弹性势能， 或弹性应变能。 或弹性应变能。
要求单元的外力功，关键是求出单元上的体积力和面 积力等效作用到节点上的力的大小。
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Step 3. 单元集成——应变能
单元等效节点力列阵：
Pe 1 Pe = e P2
北京航空航天大学
构造单元位移函数： u ( x) = a0 + a1 x
利用节点条件： u ( xi ) = a0 + a1 xi = ui
u ( x j ) = a0 + a1 x j = u j
北京航空航天大学
1 ∫Ω σ ijδε ij dV = ∫Ω σ ij ⋅ 2 δ ui, j + δ u j ,i dV = ∫ σ ijδ ui , j dV = ∫ (σ ijδ ui ), j dV − ∫ σ ij , jδ ui dV
Ω Ω Ω
分部积分 高斯定理
= ∫ σ ijδ ui l j dA − ∫ σ ij , jδ ui dV
体积力 分布面力 集中力
外力载荷
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3.3 简单杆系问题的有限元求解过程
F
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Step 1: 几何离散——自然离散为2个杆单元 Setp 2: 单元特征分析
构造单元位移函数 应变的表达 应力的表达 单元的应变能 单元的外力功
北京航空航天大学
Step 3: 单元集成—系统的总势能 Step 4: 变分处理—线性方程组 Step 5: 处理位移边界条件并求解 Step 6: 计算每个单元的应变及应力
北京航空航天大学
∆ V= – W
弹性势能
弹性势能—弹性体变形后，产生弹性内力， 弹性势能—弹性体变形后，产生弹性内力，这 种力也具有对外作功的能力，称为弹性势能， 种力也具有对外作功的能力，称为弹性势能， 或弹性应变能。 或弹性应变能。
有限元分析实例ppt课件
Stress distribution
Reaction
有限元分析典型流程
§3-5 有限元分析法存在的问题及发展方向
• 有限元模型的建立 有限元网格的自动划分与动态划分－自适应网格
• 求解过程的优化 减少计算量，降低分析成本。
• 有限元分析结果的判读和评定 采用等值线图、明暗色彩、动态图形、过程模拟
机进行分析计算的重要工具。
但是当时限于国内大中型计算机很少，大约只有杭州汽轮机厂的 Siemens7738和沈阳鼓风机厂的IBM4310安装有上述程序，所以用户 算题非常不方便，而且费用昂贵。PC机的出现及其性能奇迹般的提高， 为移植和发展PC版本的有限元程序提供了必要的运行平台。可以说国内 FEA软件的发展一直是围绕着PC平台做文章。在国内开发比较成功并拥 有较多用户（100家以上） 的有限元分析系统有大连理工大学工程力学 系的FIFEX95、北京大学力学与科学工程系的SAP84、中国农机科学研 究院的MAS5.0和杭州自动化技术研究院的MFEP4. 等。但正如上面所述， 国外很多著名的有限元分析公司已经从前些年对PC平台不屑一顾转变为 热衷发展，对国内FEA程序开发者来说发展PC版本不再具有优势。
单元类型选择
Element type：
3结点三角形平面应力单元
单元特性定义 Element properties：
材料特性：E, µ 单元厚度：t
网格划分
Mesh 1
Total number of elements:356 Total number of nodes:208
Mesh 2
Total number of elements:192 Total number of nodes:115
Rotor Dynamics（转子动力学分析） ：转子动力学分析主要解决旋转机械
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Ke[B]T[D][B]tA
可以进一步得出平面应力问题和平面应变问题中的单元 刚度矩阵。
3-3 常应变三角形单元的刚度矩阵
• 单元刚度矩阵 K e 可记为分块 矩阵形式
Kii
Ke Kji
• 将应变矩阵[B]的分块阵代入单
Kmi
元刚度矩阵，可得其子块计算式：
Kij Kjj Kmj
Kim
大小、方位和弹性常数，而与单元的位置无关，即不随单元或
坐标轴的平行移动而改变。
3-3 单元刚度矩阵
F e [ B ] T [ D ] [ B ] t d x d y δ e
由于[D]中元素是常量，而在线性位移模式下，[B]中的
元素也是常量，且 dxdy A
因此
Fe[B]T[D][B]tAδ e
3-2 平面问题的常应变(三角形)单元
六个节点位移只能确定六个多项式 三结点三角形单元 的系数，所以平面问题的3节点三角
形单元的位移函数如下，
u v
1 4
2x 5x
36yy
该位移函数，将单元内部任一点的
位移设定为坐标的线性函数，该位
移模式很简单。其中 1 ~ 6 为广义 坐标或待定系数，可据节点i、j、m
Kjm
Kmm
• 对于常应变三角形单K 元rs ， 考虑V平B rTD B sd x d y d zr,s i,j,m 面应力问题弹性矩阵[D]，可得
Krs
1 2A
br
0
0 cr
cr br
D
bs
0
cs
Et
4(1 2
)
A
brbs
1
2
cr cs
bscr
1
2
csbr
0
cs
u12x3(AxB) v4 5x6(AxB)
• 显然，u,v仍为线性函数，即公共边界上 位移连续协调。
• 综上所述，常应变三角形单元的位移函 数满足解的收敛性条件，称此单元为协 调单元
边界不协调产生重迭
3-2 平面问题的常应变(三角形)单元
例题：图示等腰三角形单元，求其形态矩阵[N]。
ai xjymxmyj 0 bi yj yma
令
Ke[B] T [D][B]tdxdy
实际上，单元刚度阵的一般格式可表示为
则
Ke[B]T[D][B]dxdydz
FVe Keδe
建立了单元的节点力与节点位移之间的关系， K e 称为
单元刚度矩阵。它是6*6矩阵，其元素表示该单元的各节点沿坐
标方向发生单位位移时引起的节点力，它决定于该单元的形状、
0 Nj
Nm 0
0 Nm
uvjj
简写为
Ne INi
INj
INmij
ui
m
um
vm
e
i j
m
vi
u v
j j
u
m
v m
[I]是单位矩阵，
[N]称为形函数矩阵，
Ni只与单元节点坐标有关，称为 单元的形状函数
3-2 平面问题的常应变(三角形)单元
σx
εx* εy* γxy* σytdxdy ε *Tσ tdxd τxy
整个弹性体的内力虚功为
U d U ε * T σ t d x d y
3-3 单元刚度矩阵
根据虚功原理，得
* e TF e * Ttd x d y
这就是弹性平面问题的虚功方程，实质是外力与应力之 间的平衡方程。
N j 2 1 A (a j b jx cjy)a 1 2(0 0 a y)a y
N m 2 1 A (a m b m x c m y ) a 1 2(a 2 a x a y ) 1 a x a y
x [N]a
0
y a
0 1xy aa
0
0
x a
0
y a
0 1axay
3-2 平面问题的常应变(三角形)单元
虚应变可以由节点虚位移求出：
ε *T(Bδ *e)Tδ *eT[B]T
代入虚功方程
*e TF e *e T [ B ] T td x d y
Fe[B]Tσ tdxdy
3-3 单元刚度矩阵
接上式，将应力用节点位移表示出 σDBδe
有
F e [ B ] T [ D ] [ B ] t d x d y δ e
3-2 平面问题的常应变(三角形)单元
• (3)位移函数在单元内部必须连续位移。 因为线性函数，内部连续
• (4)位移函数必须保证相邻单元在公共边 界处的位移协调（即在公共边界上位移 值相同）。如右图
• 设公共边界直线方程为y=Ax+B，代入 位移函数可得：边界上位移为
y=Ax+B
边界不协调产生裂缝
• 4、应力、应变矩阵
• 将位移函数代入平面问题几何方程，得应变矩阵：
ui
xxyyuyuvyxvx0xy
0
yN 0i
x
0 Ni
Nj 0
0 Nj
Nm 0
vi
N0muvjj
um
vm
ui
21Abc0ii
0 ci bi
bj 0 cj
0 cj bj
bm 0 cm
0vi
bcm muuvm jj [Bi]
(1) 位移函数必须含单元常量应变。前已说明
(2) 单元必须能反映单元的刚体位移（即单元应变为0时的位移）。前面位
移函数改写为（注意：2,6,35为0 ）
u 1
5
3
2
y2x3
5
2
y
(3)
则u单元刚1 体位5 2移v为3 y 4
v
4
5
2
3
x
5 3
2
记为
x6y3
5
2
x
u v
1 4
00 yx
显然，位移函数包含 了单元的刚体位移 （平动和转动）
21Aabciii
aj bj cj
abmm
vvij
cm vm
其中
1 xi yi 2A 1 xj yj
1 xm ym
ai xi ym xmyj
bi yj ym
i,j,m轮换
ci xm xj
为2A第1行各个元素的 代数余子式，
u 2 1 A [ ( a i b ix c iy ) u i ( a j b jx c jy ) u j ( a m b m x c m y ) u m ]
该单元上的应力和应变为常值。由此可见，在相邻单元的边界 处，应变及应力不连续，有突变。
3-3 单元刚度矩阵
讨论单元内部的应力与单元的节点力的关系，导出用节 点位移表示节点力的表达式。
由应力推算节点力，需要利用平衡方程。第一章中已经 用虚功方程表示出平衡方程，即外力在虚位移上所作的虚功等 于应力在虚应变上作的虚应变功。
δ * T F ε * T σ d x d y d z ( 1 - 1 7 )
Fy j
j
F xj
Fyj*
j
Fxj*
F ym m
y t
ห้องสมุดไป่ตู้
xy
F yi
x
F xi
i
F xm
(a)结点力、内部应力
Fym* m
x* y* xy*
F
* xm
(b)虚位移、虚应变
Fyi*
F
* xi
i
3-3 单元刚度矩阵
2、形函数的特点及性质 1)形函数Ni为x、y坐标的函数，与位移函数有相同的阶次。 2)形函数Ni在i节点处的值等于1，而在其他节点上的值为0。 即
Ni(xi,yi)1 Ni(xj,yj)0 Ni(xm,ym)0 类 似 Nj(xi,yi)0 Nj(xj,yj)1 Nj(xm,ym)0
Nm(xi,yi)0 Nm(xj,yj)0 Nm(xm,ym)1
dy
* xy
dx
3-3 单元刚度矩阵
微小矩形的内力虚功为
d U ( σ x t d y ) ( ε x * d x ) ( σ y t d x ) ( ε y * d y ) ( τ x y t d x ) ( γ x y * d y ) (ε x*σ x ε y*σ y γ x* y τ xy )tdxdy
3-3 单元刚度矩阵
计算内力虚功时，从弹性体中截取微小矩形，边长为dx 和dy，厚度为t，图示微小矩形的实际应力和虚设变形。
(a)实际应力
xtdy
dy
dx
(b)虚设应变
ytdx
xtdy
dy
dx
ytdx
y*dy
txytdx
txytdy dy
dx
txytdx
* xy
txytdy
dy
dx
x*dx
dy dx
3-2 平面问题的常应变(三角形)单元
1、位移函数
如果弹性体的位移分量是坐标的已知函数，则可用几何方程 求应变分量，再从物理方程求应力分量。但对一个连续体， 内部各点的位移变化情况很难用一个简单函数来描绘。
有限单元法的基本原理是分块近似，即将弹性体划分成 若干细小网格，在每一个单元范围内，内部各点的位移变化 情况可近似地用简单函数来描绘。对每个单元，可以假定一 个简单函数，用它近似表示该单元的位移。这个函数称为位 移函数，或称为位移模式、位移模型、位移场。
对于平面问题，单元位移函数可以用多项式表示， u a 1 a 2 x a 3 y a 4 x 2 a 5 x y a 6 y 2 ...
v b 1 b 2 x b 3 y b 4 x 2 b 5 x y b 6 y 2 ...
多项式中包含的项数越多，就越接近实际的位移分布，越精 确。但选取多少项数，要受单元型式的限制。