第八章 矩阵位移法(学生)
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09矩阵位移法(学习版)(1)
1
2
3 6
4
y
5
θ x
O
练习：
3 ④ 2 ① 1
8 ⑨ ⑤ 6 ⑦ ② 4 5 ⑧ 7 ⑩ ⑥
13
12 10 11 ③ 9
（2）结点位移编码 矩阵位移法基本未知量的确定： 矩阵位移法基本未知量的确定不是唯一的，它与 单元如何划分，是否考虑轴向变形以及如何编写程序 有关。 结点位移的统一编码 —— 整体码 用矩阵位移法进行结构分析时，基本未知量是结点 位移，这就需要将结构中全部结点位移分量进行统一编 码。
第九章
矩阵位移法
9.1 概述
1. 概述
结构矩阵分析是采用矩阵方法分析结构力学问题的 一种方法。与传统的力法、位移法相对应，结构矩阵分 析中也有矩阵力法和矩阵位移法，或柔度法与刚度法。 矩阵位移法易于实现计算过程程序化而被广泛应用。 矩阵位移法是以结点位移为基本未知量，借助矩阵 进行分析，并用计算机解决各种杆系结构受力、变形等 计算的方法。
e
e
建立单元的杆端力和杆端 位移之间关系的过程称单元分 析，形成的方程称单元刚度方 程。
e
⎡δ 1 ⎤ ⎡ u i ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ δ 2 ⎥ ⎢ vi ⎥ ⎢ e ⎡ δ i ⎤ ⎢δ 3 ⎥ ⎢θ i ⎥ e δ =⎢ ⎥ =⎢ ⎥ =⎢ ⎥ ⎣δ j ⎦ ⎢δ 4 ⎥ ⎢u j ⎥ ⎢δ 5 ⎥ ⎢ v j ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎦ ⎦ ⎢ ⎣θ j ⎥ ⎣δ 6 ⎥
2. 单元分析
y y e i x
α
j x
局部坐标系（单元坐标系）：进行某一单元的单元分析时所 建立的坐标系。 局部坐标系相对于整体坐标系的方位角用α表示。α的方向 以 x 轴向 x 轴逆时针转动为正。即便在一个结构中，各单元的局 部坐标系也不完全相同。
矩阵位移法例题
0
2 1 2
0
0
4 1 3
00 2 00 3
0
0
K③
41
3
0
0
0
00 3 000
5 集成总刚度矩阵
第8章矩阵位移法
4 2 2 2
0 1 8 4 0
K 2 2 4 2 4 1
21
2
4
12
2
0
2 1 4 1 4 1 3 0 2 8
1
2
3
6 形成荷载向量
P 60 190 62.5T
2 结点位移编号矩阵 3 各单元旳定位向量
0 0 0 C 0 0 1
0 0 2 0 0 0
2 3T
U1 0 0 0 0 0 1 U2 0 0 1 0 0 2 U3 0 0 2 0 0 0
-90 250
-250 187.5 -112.5
1
2
3
4
第8章矩阵位移法
4 各单元旳刚度矩阵
单元旳刚度矩阵与解法一相同
2 12i 2 BCx l2 Cy
12i (B l2 )CxC y
2 12i 2
BC Y
2 l
Cx
6i l Cy 6i l Cx
2 12i 2 BCx 2 C y
l 12i (B 2 )CxC y l
12i (B 2 )CxC y
l 2 12i 2 BCy 2 Cx
l
6i l Cy 6i l Cx
(e)
K
6i
4i
l Cy
6i l Cx
2i
2 12i 2 BCx 2 C y
l
12i (B 2 )CxC y
l
6i
第八章矩阵位移法6-PPT精选
F ( F 2 ) 0 3 0k 3 0 N m k 0 N 3 0k 3 k N 0 m N T
8-4 结构的整体分析
12
结构坐标系下单元的固端力列阵
① x1
x2 ②
F F ( 1 ) 1 80 k 9 k m N N 1 80 k 9 k N m T N
8-4 结构的整体分析
6
•
将
F
( E
2
)
作用于3、4结点上。
3
4
，
8-4 结构的整体分析
7
综合结点荷载列阵
（3）将各单元等效结点荷载按“对号入座” 法则集成结构等效结点荷载列阵FE。 当结点上还有结点荷载作用时，将其一 起组合为综合结点荷载列阵，即
FFPFE
8-4 结构的整体分析
8
8-4 结构的整体分析
8-4 结构的整体分析
19
0 1
80
2
0 3
FE
0 40
4 5
26
.7
6
0 7
40
8
26 . 7 9
8-4 结构的整体分析
20
例3 试求图示结构在所示位移编码情况下的综合结
点荷载列阵元素 FP1,FP3,FP4 。
5
单元的等效结点荷载列阵
（2）解除约束：将固端力反号并进行坐标转换， 得到结构坐标系中的单元等效结点荷载列阵
F(e) E
T(e)TF(Fe)
对于单元②， θ(2) 0， T(2) I
F(2) E
(2)
FF
F FE E((3 2 2 2))
8-4 结构的整体分析
12
结构坐标系下单元的固端力列阵
① x1
x2 ②
F F ( 1 ) 1 80 k 9 k m N N 1 80 k 9 k N m T N
8-4 结构的整体分析
6
•
将
F
( E
2
)
作用于3、4结点上。
3
4
，
8-4 结构的整体分析
7
综合结点荷载列阵
（3）将各单元等效结点荷载按“对号入座” 法则集成结构等效结点荷载列阵FE。 当结点上还有结点荷载作用时，将其一 起组合为综合结点荷载列阵，即
FFPFE
8-4 结构的整体分析
8
8-4 结构的整体分析
8-4 结构的整体分析
19
0 1
80
2
0 3
FE
0 40
4 5
26
.7
6
0 7
40
8
26 . 7 9
8-4 结构的整体分析
20
例3 试求图示结构在所示位移编码情况下的综合结
点荷载列阵元素 FP1,FP3,FP4 。
5
单元的等效结点荷载列阵
（2）解除约束：将固端力反号并进行坐标转换， 得到结构坐标系中的单元等效结点荷载列阵
F(e) E
T(e)TF(Fe)
对于单元②， θ(2) 0， T(2) I
F(2) E
(2)
FF
F FE E((3 2 2 2))
矩阵位移法
- 30 0 50 30 0 100
§9.4 连续梁的整体刚度矩阵
4i11 1 i 2i11 按传统的位移法 1 1
2i 0
2
每个结点位 移对{F}的单
2i12
1 i (4i1+4i2)2 2 i
2
1
2
2i22
独贡献
0
1 i 2i23
2 i 4i23
3
1
F1
4i1
2i1
2
0 1
{F}=[K]{} F2 = 2i1 4i1+4i2 2i2 2
十一 正交矩阵
若一方阵A 每一行（列）的各个元素平方之和等于1， 而所有的两个不同行（列）的对应元素乘积之和均 为零，则称该矩阵为正交矩阵，则
A =-csoisnaa
sina cosa
正交矩阵的逆矩阵等于其转置矩阵，即
A -1 = AT
§9.1 概 述
矩阵位移法的理论基础是传统的位移法，只是它的表达形式 采用矩阵代数，而这种数学算法便于编制计算机程序，实现计 算过程的程序化。
-
6E l2
I
0
6EI l2 2EI l
u1
v1
1
0
-
6EI l2
u2
v2
4EI
l
2
上面的式子可以用矩阵符号记为 Fe = k ee 可由单
局部座标系的单元刚度矩阵
元杆端 位移求
这就是局部座标系中的单元刚度方程。
杆端力
(1) (2) (3) (4) (5) (6)
座标转换矩阵
cosa sina 0 0
0 0
- sina cosa 0 0
0 0
第八章矩阵位移法-135页PPT
Fyi Fxj
F4 Fyj
8-1 概述
31
刚架单元
结构坐标系
1 (e) ui (e)
2
v
i
δ (e)
δi (e)
δ
j
3 4
i u j
5
6
8-1 概述
10
3．结构坐标系(整体坐标系)
• 对整个结构建立统一的坐标系 • 在整体分析中，采用统一的坐标来
描述结构的结点和单元位置等。
8-1 概述
11
4．单元坐标系(局部坐标系)
• 针对每一单元的坐标系 x o y
• 以杆轴线的某方向作为 x 轴正向，在轴线
上以箭头作正方向标记，以垂直于杆件轴线 方向为 y 轴，本章采用右手坐标系
u 1v 1 1u 2v 2
2u 3v 3
3u 4v 4
T 4
8-1 概述
20
结点位移
若平面刚架有n个结点
Δ u 1v 11u 2v 22 u nv nn T
第i结点的位移为 Δ i ui vi iT
则n个结点的位移向量为
Δ Δ 1 Δ 2 Δ nT
F x 1F y 1M 1F x 2F y 2M 2F x 3F y 3M 3F x 4F y 4M 4T
8-1 概述
25
刚架的结点力向量
• 第i结点的结点力为 Fi = ( Fxi Fyi Mi )T
• 刚架的结点力向量为 F =(F1 F2 F3 … Fi … Fn )T
第八章-矩阵位移法(一)
矩阵位移法是结构力学中一种重要的分析方法，它利用计算机进行结构力学计算，适用于大型化、复杂化的结构分析问题。该方法节点位移数量，从而确定未知量。相较于力法，矩阵位移法在判定未知量和基本结构形式方面更为简便。此外，矩阵位移法与有限元法（FEM）密切相关，可视为有限单元法在杆系结构中的应用特例。有限元方法已广泛应用于流体力学、温度场、电传导等多个领域，而矩阵位移法在工程设计和分析中也得到了越来越广泛的重视。通过大力推广CAD技术，有限元分析计算在从自行车到航天飞机的设计制造过程中都发挥着不可或缺的作用。
矩阵位移法ppt课件
e
i
u j , Fxj
e
vi , Fyi
0 0 0 0 EA l 0 EA l 0
v j , Fyj
0 0 0 0
ui v i u j v j
e
杆端力向量
单刚矩阵
杆端位移向量
22
坐标变换
上述单刚方程是在单元坐标系下建立的，单元按结点平衡拼装成结构之前， 由于结构中单元的方位一般不全相同，因此，应将杆端位移和杆端力都转换 成统一的、对整体坐标的量，这是同一矢量在不同坐标系中的变换问题，简 称为坐标变换。 坐标变换矩阵 —单元系与结构系的关系： F x yj y 结构系 x 轴沿逆时针转至单元系 y x 轴所转过的角度记为 。 Fxj j Fyi —单元系下的杆端力 Fxj e —结构系下的杆端力 Fyj i Fxi e e Fxi Fxie Fxi cos Fyi sin Fyi 表示为 e e e F F sin F cos yi xi yi x o e e Fxje Fxj cos Fyj sin 矩阵形式 e e Fyje Fxj sin Fyj cos
原始总刚度方程无法直接求解。因为原始总刚度方程表示结构全部结点的平 衡方程，结构的结点分为两大类：有约束的支座结点（如图示结构的1、2结 点）和无约束的内部结点（如图示结构的3结点）；前类结点已知结点位移而 未知结点力（支座反力），后类结点已知结点力而未知结点位移。 M 要求支座反力必须先求后类结点的结点位移，故，原 P 3 始总刚度方程必须考虑边界位移条件修正为结构刚度 I, A I, A 方程后才能求解。 2 根据支座位移边界条件的处理方式不同，矩阵位移法 1 可分为先处理法和后处 理法。
i
u j , Fxj
e
vi , Fyi
0 0 0 0 EA l 0 EA l 0
v j , Fyj
0 0 0 0
ui v i u j v j
e
杆端力向量
单刚矩阵
杆端位移向量
22
坐标变换
上述单刚方程是在单元坐标系下建立的，单元按结点平衡拼装成结构之前， 由于结构中单元的方位一般不全相同，因此，应将杆端位移和杆端力都转换 成统一的、对整体坐标的量，这是同一矢量在不同坐标系中的变换问题，简 称为坐标变换。 坐标变换矩阵 —单元系与结构系的关系： F x yj y 结构系 x 轴沿逆时针转至单元系 y x 轴所转过的角度记为 。 Fxj j Fyi —单元系下的杆端力 Fxj e —结构系下的杆端力 Fyj i Fxi e e Fxi Fxie Fxi cos Fyi sin Fyi 表示为 e e e F F sin F cos yi xi yi x o e e Fxje Fxj cos Fyj sin 矩阵形式 e e Fyje Fxj sin Fyj cos
原始总刚度方程无法直接求解。因为原始总刚度方程表示结构全部结点的平 衡方程，结构的结点分为两大类：有约束的支座结点（如图示结构的1、2结 点）和无约束的内部结点（如图示结构的3结点）；前类结点已知结点位移而 未知结点力（支座反力），后类结点已知结点力而未知结点位移。 M 要求支座反力必须先求后类结点的结点位移，故，原 P 3 始总刚度方程必须考虑边界位移条件修正为结构刚度 I, A I, A 方程后才能求解。 2 根据支座位移边界条件的处理方式不同，矩阵位移法 1 可分为先处理法和后处 理法。
《矩阵位移法》课件
实际工程案例分析
总结词
为了验证矩阵位移法的有效性，可以通过实际工程案例 进行分析。通过与实验结果的对比，可以评估方法的精 度和可靠性。
详细描述
选取具有代表性的实际工程案例，如高层建筑、大跨度 桥梁等，利用矩阵位移法进行计算，并将结果与实验数 据进行对比。通过对比分析，可以评估矩阵位移法的精 度和可靠性，为该方法在实际工程中的应用提供依据。 同时，也可以针对不同工程案例的特点，对矩阵位移法 进行优化和改进，提高其适用性和计算效率。
05
矩阵位移法的优缺点
优点
精确度高
矩阵位移法基于严格的数学推导，能 够精确地计算出结构的位移和内力， 尤其适用于复杂结构的分析。
适用性强
矩阵位移法可以处理多种类型的载荷 ，包括静载、动载以及温度载荷等， 适用范围广泛。
便于计算机化
矩阵位移法的计算过程可以通过计算 机程序实现，便于进行大规模的结构 分析。
多尺度方法
将矩阵位移法应用于多尺度问题 ，考虑不同尺度之间的相互作用 和影响，为复杂系统提供更准确 的模拟结果。
THANKS
感谢观看ts
目录
• 引言 • 矩阵位移法的基本概念 • 矩阵位移法的实施步骤 • 矩阵位移法的应用实例 • 矩阵位移法的优缺点 • 未来展望与研究方向
01
引言
什么是矩阵位移法
矩阵位移法是一种数值分析方法，用 于求解线性方程组和解决各种数值计 算问题。
它通过将原问题转化为矩阵形式，利 用矩阵运算来求解未知数，具有高效 、精确和灵活的特点。
并行计算
利用并行计算技术，将计算任务分解为多个子任务，同时运行在多 个处理器上，加快计算速度。
智能优化
结合人工智能和机器学习技术，自动调整算法参数，实现自适应优 化，提高算法的效率和稳定性。
结构力学第8章 矩阵位移法
单元两端的杆端位移分别在单元坐标系和整体坐标系 下分解，其位移分量就构成上面的杆端位移向量。
与坐标轴的正方向一致者为正;
返回目录
作业1：已知单元的内力图，列出单元坐标下 及整体坐标下的杆端力向量。
3.04
1.24
y 0.43
4.38N)
x
作业2：已知单元的杆端力如图，写出单元坐 标及整体坐标表示的单元杆端力向量，并 作出单元的内力图。
2EI
l
x
2EI EI
l 6EIl x x
l2
EuIj 1
6EIl
x
l 2 uj 1
EA
l
x
EI
EuIj 1
l
平l面梁单元ul j 的1 x单元刚度矩阵
l
y
ui=1
6EI
l2
N ElA i y
6EI
l
12 2EI l3
12EI
Qi
0l 3
y
2EI
0 Ml iy
2EI 6EI
l
l2
vi =1 θi=1
等截面直杆的刚度方程
适用于两端都是刚结点的杆， 基本未知量为杆两端的转角和侧移；
刚度方程：
M AB
4i A
2i B
6i
l
M BA
2i A
4i B
6i
l
QAB
QBA
1 l
(
M
AB
M BA)
QAB
QBA
6i l
A
6i l
B
1 2i l2
4i
❖ 写成矩阵的形式：
❖ 杆端弯矩、剪力、杆端 侧移均以绕杆端顺时针 为正。关键掌握每个系
结构力学课件矩阵位移法整体分析-先处理法
第八章 矩阵位移法 8.4 整体分析
Global analysis
第八章 矩阵位移法 8.5 先处理法
后处理法的计算步骤
1. 结点、单元标码，并选择整体坐标系和局部坐标系； 2. 结点位移分量编码，建立整体坐标系下的结点位移列阵和结
点力列阵； 3. 建立局部坐标系下单元刚度矩阵，坐标变换，建立整体坐标
4(0,0,7) x
O
（2）建立结点位移列阵和结点力列阵
y
FP1 2(1,2,3) FP2 3(4,5,6)
②
①
③
1(0,0,0) O
4(0,0,7)
FP1
0
1
2
F
0 0
,
3 4
FP
2
5
0
6
0
7
x
（3）建立整体坐标系下单元刚度矩阵
k e
ke TT k eT
k (3) 46
k (2) 56
k (3) 56
k (2) 66
k (3) 66
0 1
0
2
0 k (3)
47
3 4
k
(3) 57
5
k
(3) 67
6
k
(3) 77
7
先处理法的计算步骤
1. 结点、单元标码，并选择整体坐标系和局部坐标系； 2. 结点位移分量编码，建立整体坐标系下的结点位移列阵和结
l 6EI
l2
4 0
0
0
4EI
0
l
②单元
y 3(1,0,3)
2(1,0,2)
②
4(1,0,4)
①
③
1(0,0,0)
5(0,0,0) x
Global analysis
第八章 矩阵位移法 8.5 先处理法
后处理法的计算步骤
1. 结点、单元标码，并选择整体坐标系和局部坐标系； 2. 结点位移分量编码，建立整体坐标系下的结点位移列阵和结
点力列阵； 3. 建立局部坐标系下单元刚度矩阵，坐标变换，建立整体坐标
4(0,0,7) x
O
（2）建立结点位移列阵和结点力列阵
y
FP1 2(1,2,3) FP2 3(4,5,6)
②
①
③
1(0,0,0) O
4(0,0,7)
FP1
0
1
2
F
0 0
,
3 4
FP
2
5
0
6
0
7
x
（3）建立整体坐标系下单元刚度矩阵
k e
ke TT k eT
k (3) 46
k (2) 56
k (3) 56
k (2) 66
k (3) 66
0 1
0
2
0 k (3)
47
3 4
k
(3) 57
5
k
(3) 67
6
k
(3) 77
7
先处理法的计算步骤
1. 结点、单元标码，并选择整体坐标系和局部坐标系； 2. 结点位移分量编码，建立整体坐标系下的结点位移列阵和结
l 6EI
l2
4 0
0
0
4EI
0
l
②单元
y 3(1,0,3)
2(1,0,2)
②
4(1,0,4)
①
③
1(0,0,0)
5(0,0,0) x
结构力学——矩阵位移法ppt课件
.
10
第一节 矩阵位移法概述
2、单元划分
将一个在荷载作用下的连续结构剖分成若干个各自独立 的单元，原结构可以看成是由各单元在连接点（称结点） 连接而成的体系——化整为零
为了减少基本未知量的数目，跨 间集中荷载作用点可不作为结点， 但要计算跨间荷载的等效结点荷 载；跨间结点也可不作为结点， 但要推导相应的单元刚度矩阵， 编程序麻烦。
结构力学
.
学习内容
有限单元法的基本概念，结构离散化。 平面杆系结构的单元分析：局部坐标系下的单元刚度矩
阵和整体坐标系下的单元刚度矩阵。 平面杆系结构的整体分析：结构整体刚度矩阵和结构整
体刚度方程。 边界条件的处理，单元内力计算。 利用对称性简化位移法计算。 矩阵位移法的计算步骤和应用举例。
.
2
学习目的和要求
3、局部坐标系中的单元刚度矩阵性质
与单元刚度方程相应的正、反两类问题
力学 模型
解的 性质
正问题 e
F e
将单元视为两端有人为 约束控制的杆件。
控e 制附加约束加以指
定。
e 为任何值时，F e都
有对应的唯一解，且总 是平衡力系。
.
反问题 F e
e
将单元视为两端自由的杆
件， 直F接e 加在自由端作
自由式单元的单元刚度矩阵不要求背记，但要领会其物 理意义，并会有它推出特殊单元的单元刚度矩阵。
.
4
第一节 矩阵位移法概述
矩阵位移法以传统的结构力学作为理论基础; 以矩阵作为数学表达形式; 以电子计算机作为计算手段
三位一体的解决各种杆系结构受力、变形等计算的方法。
采用矩阵进行运算，不仅公式紧凑，而且形式统一，便 于使计算过程规格化和程序化。这些正是适应了电子计 算机进行自动化计算的要求。
第八矩阵位移法二
2
6
k (5)
EI l3
4l 2 2l 2
7
2l2 6
4l
2
7
v6 7 3
24
k (6)
EI l3
12l
12l
12l 8l 2 4l 2
12l v6
4l
2
7
8l 2 3
第12页/共22页
§8-5 先处理法
❖ 先处理法应用例题
⑷由单刚集成总刚，建立结构刚度方程
3
8l2
l2
l
l2
l
第4页/共22页
④
4
5
②
1
2
§8-5 先处理法 ❖ 先处理法的基本原理
➢ 先处理法的基本步骤 ✓ 结构标识 包括：结点编号、单元编号，设定局部坐标系、结构坐标系。 ✓ 列出待求的结点位移向量和已知的结点荷载向量。 ✓ 建立考虑位移约束条件后的单元刚度矩阵。 ✓ 形成结构刚度矩阵，建立结构刚度方程。 ✓ 求解结构刚度方程，得未知结点位移。 ✓ 计算单元杆端力和支座约束力。 ✓ 校核。
第14页/共22页
§8-5 先处理法
❖ 先处理法应用例题
⑶建立结构坐标系下的单元刚度矩阵
5 3
y
1 ①
3 4
②
1 x
2
③2
由刚架单元在结构坐标系下的单刚 （P.10式8-23）划行划列得到。
v1
1.5EI
k(1)
对
u2 0 0.5EA
称
v2 1.5EI
0 1.5EI
2
1.5EI v1
0
u2
v1
1.5EI
对
u2 0 0.875EA 0.375EI
矩阵位移法的计算步骤及示例
=
EA l
⎡0.72855 ⎢⎣0.57006
0.57006⎤ 1 2.47855⎥⎦ 2
（5）解算结构刚度方程
28
解算结构刚度方程，求出结点位移
EA ⎡0.72855 l ⎢⎣0.57006
0.57006⎤ 2.47855⎥⎦
⎩⎨⎧uv11
⎫ ⎬ ⎭
=
⎨⎧FP ⎩0
⎫ ⎬ ⎭
Δ1
=
⎩⎨⎧uv11
k(3)
=
⎢ ⎢ ⎢
l(3) 2EI
⎢⎣ l ( 3 )
4
2EI l(3) 4EI l(3)
⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥⎦
3 4
（3）集成结构刚度矩阵K
12
由各单元刚度矩阵的上方和右侧的单元定位 向量，集成结构刚度矩阵K，此时结构刚度 矩阵K 为4阶方阵。
1
2
3
⎡ 4EI
2 EI
⎢ ⎢ ⎢
l 2
(1)
EI
k (1) l ( 1 )
4EI + 4EI
0 2 EI
K
=
⎢ l(1) ⎢
⎢0
⎢
l(1) l( 2 EI
2
)
k
(2)
4
l EI
(2
+
)
4 EI
l(2)
l(2) l(3)
⎢ ⎢⎣
0
0
2EI k (3)
l(3)
4
0
⎤ ⎥
1
⎥
0 ⎥2 ⎥
2 EI l(3)
⎥ ⎥ ⎥
3
4 EI l(3)
⎥ ⎥⎦
4
13
将各杆所需有关数据计算如下：
第八章矩阵位移法
第八章矩阵位移法主要内容有限单元法的基本概念，结构离散化。
平面杆系结构的单元分析：局部坐标系下的单元刚度矩阵和整体坐标系下的单元刚度矩阵。
平面杆系结构的整体分析：结构整体刚度矩阵和结构整体刚度方程。
支承条件的处理，单元内力计算。
利用对称性简化位移法计算。
矩阵位移法的计算步骤和应用举例。
学习目的和要求矩阵位移法是以计算机为计算工具的现代化结构分析方法。
基于该法的结构分析程序在结构设计中得到了广泛的应用。
因此，以计算机进行结构分析是本章的学习目的。
本章的基本要求：矩阵位移法包含两个基本环节：单元分析和整体分析。
在单元分析中，熟练掌握单元刚度矩阵和单元等效荷载的概念和形成。
熟练掌握已知结点位移后求单元杆端力的计算方法。
在整体分析中，熟练掌握结构整体刚度矩阵中元素的物理意义和集成过程，熟练掌握结构综合结点荷载的集成过程。
掌握单元定位向量的建立，支撑条件的处理。
自由式单元的单元刚度矩阵不要求背记，但要领会其物理意义，并会由它来推出特殊单元的单元刚度矩阵。
§ 8-1 概述杆系结构矩阵分析又叫杆系结构的有限元法, 分为矩阵力法和矩阵位移法, 亦称为柔度法和刚度法。
由于矩阵位移法比矩阵力法更容易实现计算过程程序化, 因而应用很广泛, 故本章只讨论矩阵位移法。
矩阵位移法的内容包括以下两部分：(1) 将整体结构分成为有限个较小的单元( 在杆系结构中常把一个等截面直杆作为一个单元), 即进行结构的离散化。
然后分析单元内力与位移之间的关系式, 建立单元刚度矩阵, 形成单元的刚度方程, 称该过程为单元分析。
(2) 把各单元按结点处的变形协调条件和结点的平衡条件集合成原整体结构, 建立结构刚度矩阵, 形成结构刚度方程, 解方程后求出原结构的结点位移和内力, 称该过程为整体分析。
上述一分一合,先拆后搭的过程中, 是将复杂结构的计算问题转化为简单单元的分析及集合问题。
而由单元刚度矩阵直接形成结构刚度矩阵是直接刚度法的核心内容。
矩阵位移法
原理同源---
(1)以结点位移为基本未知量,
(2)以单元分析为基础(力法计算的 结果单元刚度方程);
(3) 建立平衡方程求出结点位移,
(4) 将结点位移代入单元刚度方 程求得内力
矩 阵 位 移 法
作法有别-(1)矩阵组织数据，矩阵运算;
(2)设计计算机程序（正确）;
(3) 原始数据的准备、输入、计算 结果的输出及正确性判别等 特点： 省力；计算速度快；计算结果精度高 ；使用者要力学概念清楚。
1 0 0 1 0 0 8 2 4 i i 2 42 i i 0 2 4 3
修改后的位移 法方程
(6) 解方程
矩 阵 位 移 法
0 1 3.571 2 i 3 12.286 i
(5)引入支承条件修改原始刚度方程
矩 阵 位 移 法
K FP
4 i 2i 0 1 4 2 i 8 i 2i 4 2 i 0 2 4 42 i 3
主1副0法修改后 原始刚度方程
整 体 刚 度 方 程
单元刚度集成法
矩 阵 位 移 法
单元(1)对号 入座
单元刚度集成法 单元(2)对号入 座并累加
矩 阵 位 移 法 单元(3)对号入座
并累加 整体刚度矩阵
连续梁刚度方程
矩 阵 位 移 法
9.5 等效结点荷载向量
矩 阵 位 移 法 加刚臂
去刚臂
(1)加约束求杆端固端弯矩、刚臂约束力矩
矩 阵 位 移 法
（5）集成等效结点荷载向量 形成过程如下：
矩 阵 位 移 法
第八章矩阵位移法-1
8-1 概述
局部坐标系示例
12
②
8-1 概述
13
5．结点位移整体码
• 按结点编码由小到大的顺序对结点的位移编码 • 不同问题，结点位移个数不同。
等截面连续梁每结点1个转角； 平面桁架每结点2个线位移； 平面刚架每结点3个位移；
8-1 概述
14
结构的离散化示例
8-1 概述
15
结构的离散化示例
后处理
Δi ui vi T
n个结点的位移向量为
Δ Δ1 Δ2 Δn T
或
Δ u1 v1 u2 v2
un vn T
8-1 概述
19
平面刚架FP2 的单元
FP1
平面刚架的结点位移向量：
Δ 1 2 3 4 u1 v1 1 u2
5 6 7 8 9
局部坐标系中:
(e)
(e)
1
(e)
δ
δi
(e)
2
ui
v
i
F1 (e) F xi (e)
(e)
F
F i
(e)
F 2
F
yi
δ j 3 u j
F j F 3 F xj
32
四.坐标系选择
常用的三种坐标系
8-1 概述
坐标系示例
33
②
2
3
②
2
3
8-1 概述
34
y
① x
2②
x
y
v2 2 u3 v3 3
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矩阵位移法
概述 矩阵位移法的基本原理 单元刚度矩阵 直接刚度法 直接刚度法的另一个形式－先处理法 等效结点荷载
1
概述
结构矩阵分析的目的：利用计算机进行结构分析
科技进步
结构分析问题大型化、复杂化
需要
计算机技术发展突飞猛进
可能
力法、位移法：线性代数方程组的求解问题
结构矩阵分析方法＋计算机应用软件
5
矩阵位移法的基本原理
结构的离散化：将结构视为（杆件）单元的集成
结构标识
结点编号 单元编号 坐标系
平面桁架 未知量＝2×结点数－3
平面刚架 未知量＝3×结点数－8
y ⑤4
2
⑩ ⑨
⑥6
1
①3 ② 5
y 2
④
① 1
⑦ 8 ⑧ 10
③7 ④ 9 x 4 ⑤6
② 3
③
5
x
6
1
矩阵位移法的基本原理
矩阵位移法基本方程
16
结构坐标系下的单元刚度矩阵（桁架单元）
结构坐标系中桁架单元刚度矩阵的一般表达式
K e T T k eT
c2
Ke
EA sc l c2
sc
sc c2 s2 sc sc c2 s2 sc
sce
s
2
sc
s2
（8-15）
17
刚架单元的刚度矩阵和刚度方程
F e k eΔe
6个位移
y
ui Fxi
0
0
0
ui e
vi
u
j
v j
Fxi Fxj
e
EA lElA
EA e
ElA
ui u j
l
e
（8-5）
14
结构坐标系下的单元刚度矩阵（桁架单元）
局部坐标
结构坐标
杆端力 F e TF e
Fxei Fxei cos Fyei sin
F
e yi
Fxei
sin
Fyei
cos
一般计入所有杆件的轴向变形 全部杆归为一类结构——两端固定等截面直杆
4
矩阵位移法的基本原理
矩阵位移法主要内容
先离散
将结构离散为构件单元，进行单元分析， 建立每个单元杆端力与杆端位移间转换 关系的单元刚度矩阵
再组装
根据变形连续条件将各单元综合成整体， 根据结点平衡条件进行结构整体分析， 建立结构结点力与结点位移关系式，即 结构总刚度方程，解出位移和内力
y
y Fxi i
e
Fxi Fyi Fyi
j Fxj x Fxj
Fyj
Fyj
x
桁架单元
Fxej Fxej cos Fyej sin
F
e yj
Fxej
sin
F
e yj
cos
（8-10） cos sin 0
0
坐标转换矩阵
T
sin 0
cos 0
0 cos
0
sin
正交性，T－1＝TT
0
0
sin
y
F e k eΔe
Fxei
EA l
(uie
u
e j
)
ui Fxi i vi Fyi
Fyei 0
ui 1
Fxej
EA l
(
u
e j
uie )
Fyej 0
i 端产生水平单位 位移1时的杆端力
i
Fxi
EA l
i
Fxi
EA l
13
e
EA
e EA、l
e EA、l
j u j Fxj x
v j Fyj
v
e i
1
6EI l2 i
12EI l3
j
EA l
6EI l2 j
12EI l3
cos
15
结构坐标系下的单元刚度矩阵（桁架单元）
杆端位移 Δe TΔe
杆端力
F e TF e
单元刚度方程
F e k eΔe
y
y Fxi i
e
Fxi Fyi Fyi
j Fxj x
Fxj Fyj
Fyj
x
结构坐标系下的单元刚度矩阵
K e T T k eT
结构坐标系下的单元刚度方程 F e K e Δe
j
Fxj
EA l
uj 1
j
Fxj
EA l
桁架单元刚度矩阵和刚度方程
y
F e k eΔe
局部坐标系中桁 架单元刚度矩阵
ui Fxi i
e
j u j Fxj x
EA
vi Fyi
v j Fyj
Fxi
F
yi
Fxj
F
yj
e
EA
l
0
EA l
0
0 0 0 0
EA l
0
EA
l
0
0 e
矩阵位移法的后处理法和先处理法
后处理法：结构支座位移边界条件在总刚形成后 引入
先处理法：在形成单元刚度矩阵时就将实际位移 边界条件及位移关系考虑进去，由此形成的总刚 方程就是结构刚度方程
等效结点荷载： 分布荷载、结间 集中荷载均可化 为等效结点荷载
10
矩阵位移法
概述 矩阵位移法的基本原理 单元刚度矩阵 直接刚度法 直接刚度法的另一个形式－先处理法 等效结点荷载
2
矩阵位移法
概述 矩阵位移法的基本原理 单元刚度矩阵 直接刚度法 直接刚度法的另一个形式－先处理法 等效结点荷载
3
矩阵位移法的基本原理
矩阵位移法特点：位移法＋矩阵表达式
结点位移为基本未知量 写出各杆端力与位移的关系式 利用平衡方程求结点位移 算出各杆端内力
采用了矩阵代数数学工具，计算过程统一化，规格 化，便于编程
KΔ F 解结构刚度方程，得未知结点位移 Δ
计算各杆端力和支座约束力
8
矩阵位移法的基本原理 单元划分 F e k e Δe
通常一根杆件一个单元
按等截面直杆划分 有结点集中荷载
9
2
④
4 ⑤6
①
②
③
1
3
5
③ 3
② 2 1①
3
③
②
2 ①
1
4 ⑤ 6⑥ 7
④
⑦
8
5
⑧
9 4
④
5 ⑤ 6
矩阵位移法的基本原理
11
单元刚度矩阵
单元刚度矩阵：单元杆端位移与杆端力的关系矩阵
单刚导出方法：静力法、虚功原理、能量法
结构坐标系与单元局部坐标系（右手法则）
y
x
y
e
j
y
i
逆时针为正
i
e
x
jx
Fx Fy M uv
与坐标一致为正
Fx Fy M 轴力、剪力、弯矩 u v 与坐标一致为正
12
2
桁架单元刚度矩阵和刚度方程
i M xi
i
e
EI
6个杆端力
vi Fyi
j M xj j u j Fxj x
v j Fyj
令某个节点位移为1，其它节点位移为0，求出在此 变形条件下的各节点的力, 则这些力就等于刚度矩阵 的元素
也可用两端固定梁转角位移方程求刚度矩阵的元素
表7-1
18
3
基本单位位移及其杆端力
i EA l uie 1
线弹性范围内
单元刚度方程：单元杆端力与杆端位移的关系
F e k e Δe
ke
单元刚度矩阵6×6
总刚度方程：由单刚组装成，未引入位移边界条件
K 0 Δ0 F 0
K0
总刚度矩阵
结构刚度方程：结构结点力（荷载）与结点位移关系已知结点荷载
7
矩阵位移法的基本原理
大致步骤—后处理法 结构标识 各个单元刚度矩阵 k e 形成总刚度矩阵 K 0 和总刚度方程 K 0 Δ0 F 0 引入边界条件，形成结构刚度矩阵 K 和刚度方程
概述 矩阵位移法的基本原理 单元刚度矩阵 直接刚度法 直接刚度法的另一个形式－先处理法 等效结点荷载
1
概述
结构矩阵分析的目的：利用计算机进行结构分析
科技进步
结构分析问题大型化、复杂化
需要
计算机技术发展突飞猛进
可能
力法、位移法：线性代数方程组的求解问题
结构矩阵分析方法＋计算机应用软件
5
矩阵位移法的基本原理
结构的离散化：将结构视为（杆件）单元的集成
结构标识
结点编号 单元编号 坐标系
平面桁架 未知量＝2×结点数－3
平面刚架 未知量＝3×结点数－8
y ⑤4
2
⑩ ⑨
⑥6
1
①3 ② 5
y 2
④
① 1
⑦ 8 ⑧ 10
③7 ④ 9 x 4 ⑤6
② 3
③
5
x
6
1
矩阵位移法的基本原理
矩阵位移法基本方程
16
结构坐标系下的单元刚度矩阵（桁架单元）
结构坐标系中桁架单元刚度矩阵的一般表达式
K e T T k eT
c2
Ke
EA sc l c2
sc
sc c2 s2 sc sc c2 s2 sc
sce
s
2
sc
s2
（8-15）
17
刚架单元的刚度矩阵和刚度方程
F e k eΔe
6个位移
y
ui Fxi
0
0
0
ui e
vi
u
j
v j
Fxi Fxj
e
EA lElA
EA e
ElA
ui u j
l
e
（8-5）
14
结构坐标系下的单元刚度矩阵（桁架单元）
局部坐标
结构坐标
杆端力 F e TF e
Fxei Fxei cos Fyei sin
F
e yi
Fxei
sin
Fyei
cos
一般计入所有杆件的轴向变形 全部杆归为一类结构——两端固定等截面直杆
4
矩阵位移法的基本原理
矩阵位移法主要内容
先离散
将结构离散为构件单元，进行单元分析， 建立每个单元杆端力与杆端位移间转换 关系的单元刚度矩阵
再组装
根据变形连续条件将各单元综合成整体， 根据结点平衡条件进行结构整体分析， 建立结构结点力与结点位移关系式，即 结构总刚度方程，解出位移和内力
y
y Fxi i
e
Fxi Fyi Fyi
j Fxj x Fxj
Fyj
Fyj
x
桁架单元
Fxej Fxej cos Fyej sin
F
e yj
Fxej
sin
F
e yj
cos
（8-10） cos sin 0
0
坐标转换矩阵
T
sin 0
cos 0
0 cos
0
sin
正交性，T－1＝TT
0
0
sin
y
F e k eΔe
Fxei
EA l
(uie
u
e j
)
ui Fxi i vi Fyi
Fyei 0
ui 1
Fxej
EA l
(
u
e j
uie )
Fyej 0
i 端产生水平单位 位移1时的杆端力
i
Fxi
EA l
i
Fxi
EA l
13
e
EA
e EA、l
e EA、l
j u j Fxj x
v j Fyj
v
e i
1
6EI l2 i
12EI l3
j
EA l
6EI l2 j
12EI l3
cos
15
结构坐标系下的单元刚度矩阵（桁架单元）
杆端位移 Δe TΔe
杆端力
F e TF e
单元刚度方程
F e k eΔe
y
y Fxi i
e
Fxi Fyi Fyi
j Fxj x
Fxj Fyj
Fyj
x
结构坐标系下的单元刚度矩阵
K e T T k eT
结构坐标系下的单元刚度方程 F e K e Δe
j
Fxj
EA l
uj 1
j
Fxj
EA l
桁架单元刚度矩阵和刚度方程
y
F e k eΔe
局部坐标系中桁 架单元刚度矩阵
ui Fxi i
e
j u j Fxj x
EA
vi Fyi
v j Fyj
Fxi
F
yi
Fxj
F
yj
e
EA
l
0
EA l
0
0 0 0 0
EA l
0
EA
l
0
0 e
矩阵位移法的后处理法和先处理法
后处理法：结构支座位移边界条件在总刚形成后 引入
先处理法：在形成单元刚度矩阵时就将实际位移 边界条件及位移关系考虑进去，由此形成的总刚 方程就是结构刚度方程
等效结点荷载： 分布荷载、结间 集中荷载均可化 为等效结点荷载
10
矩阵位移法
概述 矩阵位移法的基本原理 单元刚度矩阵 直接刚度法 直接刚度法的另一个形式－先处理法 等效结点荷载
2
矩阵位移法
概述 矩阵位移法的基本原理 单元刚度矩阵 直接刚度法 直接刚度法的另一个形式－先处理法 等效结点荷载
3
矩阵位移法的基本原理
矩阵位移法特点：位移法＋矩阵表达式
结点位移为基本未知量 写出各杆端力与位移的关系式 利用平衡方程求结点位移 算出各杆端内力
采用了矩阵代数数学工具，计算过程统一化，规格 化，便于编程
KΔ F 解结构刚度方程，得未知结点位移 Δ
计算各杆端力和支座约束力
8
矩阵位移法的基本原理 单元划分 F e k e Δe
通常一根杆件一个单元
按等截面直杆划分 有结点集中荷载
9
2
④
4 ⑤6
①
②
③
1
3
5
③ 3
② 2 1①
3
③
②
2 ①
1
4 ⑤ 6⑥ 7
④
⑦
8
5
⑧
9 4
④
5 ⑤ 6
矩阵位移法的基本原理
11
单元刚度矩阵
单元刚度矩阵：单元杆端位移与杆端力的关系矩阵
单刚导出方法：静力法、虚功原理、能量法
结构坐标系与单元局部坐标系（右手法则）
y
x
y
e
j
y
i
逆时针为正
i
e
x
jx
Fx Fy M uv
与坐标一致为正
Fx Fy M 轴力、剪力、弯矩 u v 与坐标一致为正
12
2
桁架单元刚度矩阵和刚度方程
i M xi
i
e
EI
6个杆端力
vi Fyi
j M xj j u j Fxj x
v j Fyj
令某个节点位移为1，其它节点位移为0，求出在此 变形条件下的各节点的力, 则这些力就等于刚度矩阵 的元素
也可用两端固定梁转角位移方程求刚度矩阵的元素
表7-1
18
3
基本单位位移及其杆端力
i EA l uie 1
线弹性范围内
单元刚度方程：单元杆端力与杆端位移的关系
F e k e Δe
ke
单元刚度矩阵6×6
总刚度方程：由单刚组装成，未引入位移边界条件
K 0 Δ0 F 0
K0
总刚度矩阵
结构刚度方程：结构结点力（荷载）与结点位移关系已知结点荷载
7
矩阵位移法的基本原理
大致步骤—后处理法 结构标识 各个单元刚度矩阵 k e 形成总刚度矩阵 K 0 和总刚度方程 K 0 Δ0 F 0 引入边界条件，形成结构刚度矩阵 K 和刚度方程