第6章 常微分方程与差分方程

第五章常微分方程与差分方程

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2考试内容

1.常微分方程的基本概念

•常微分方程含有一元未知函数及其导数(或微分)的方程.•微分方程的阶微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数.

0),,,,()(=′n y y y x F L •线性微分方程方程中的未知函数及其个阶导数的次数都是一次,且无交叉乘积项.

.

),,,,()1()(−′=n n y y y x f y L 或一般地,n 阶常微分方程的形式是

, 1)(sin )4(23=−′++′′x y x y y π,

)()()(x f y x q y x p y =+′+′′二阶非线性.

二阶线性.

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•二阶常系数非齐次线性微分方程

)

,()(为常数q p x f y q y p y =+′+′′)( e )1(次多项式为其中n x P x P x f n x n )()()(λ=对应齐次方程,

0=+′+′′y q y p y 通解结构,

∗+=y Y y •简单的非齐次线性微分方程特解的求法

⎪⎩⎪⎨⎧=.

, ;

, ;

, 是特征方程的重根2是特征方程的单特1不是特征方程的根0λλλk 设方程的特解形式为:x

n k x Q x y λe )(=∗而

为同次多项式与其中, )()(x P x Q n n

167.差分与差分方程的概念

•差分 设函数)(x f y =为定义在非负整数集上的函数简记,x y 并把差x x y y −+1称为函数x y 的差分,也称一阶差分,记为,x y Δ即

=Δx y x x y y −+1.

二阶差分 x x x x y y y y Δ−Δ=ΔΔ=Δ+12

)(.212x x x y y y +−=++三阶差分 x x x x x y y y y y −+−=Δ+++123333.

n 阶差分 .)1(0∑=−+−=

Δn k k x n k n k x n y C y ,

12)1(221+=−+=−+x x x y y x x =Δ)(2x =Δ)(2

2x .

2)12(]1)1(2[)12(=+−++=+Δx x x 例

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•差分方程

含有自变量x ,未知函数x y ,以及未知函数的差分,,,2

L x x y y ΔΔ的函数方程称为差分方程.即形如

0),,,,(2=ΔΔΔx n x x y y y x F L ).1(≥n 含有自变量x ,以及两个或两个以上未知函数1+x y , L 的函数方程,称为差分方程.即形如

0),,,,(1=++n x x x y y y x G L ).1(≥n

差分方程中所出现的未知函数下标的最大值与最小值的差称为差分方程的阶.

若一个函数代入差分方程后,方程两边恒等,则称此函数为该差分方程的解.

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8.差分方程的通解与特解

9.一阶常系数线性差分方程

若差分方程的解中含有相互独立的任意常数且个数恰好等于差分方程的阶数,则称该解为差分方程的通解.

不包含任意常数的解,称为特解.

形如 ),2,1,0()(1L ==−+x x f ay y x x

称为一阶常系数线性差分方程.其中)(x f 为已知函数,a 是非零常数.

),2,1,0(01L ==−+x ay y x x 称为一阶常系数齐次线性差分方程.

10.微分方程的简单应用

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考试要求

1.了解微分方程及其阶、解、通解、初始条件和特解等概念.

2.掌握变量可分离的微分方程、齐次微分方程和一阶线性微分方程

的求解方法.

3.会解二阶常系数齐次线性微分方程.

4.了解线性微分方程解的性质及解的结构定理,会解自由项为多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数的二阶常系数非齐次线性微分方程.

5.了解差分与差分方程及其通解与特解等概念.

6.了解一阶常系数线性差分方程的求解方法.

7.会用微分方程求解简单的经济应用问题.

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典型例题分析

例1微分方程n y x q y x p y )()(=+′当1=n 时为( ).

例2 A. 一阶线性齐次微分方程

B. 一阶线性非齐次微分方程

C. 伯努利方程

D. 非线性微分方程

本题应选A .

解二阶微分方程23x y y =′−′′的特解形式是( ).

C Bx Ax y ++=2* A.)

(*B Ax x y += B.)(2*C Bx Ax x y ++= D.)(22*C Bx Ax x y ++= C.特征根为0和1,解本题应选D .

303

2211y y C y C ++A.3

212211)(y C C y C y C +++B.3

212211)1(y C C y C y C −−−+C.3

212211)1(y C C y C y C −−++D.例10解

3231,y y y y −−都是对应齐次方程的解,二者线性无关.本题应选D.

3322311)()(y y y C y y C −−+− C.3322311)()(y y y C y y C +−+− D. 设线性无关函数321,,y y y 都是二阶非齐次线性方程)()()(x f y x Q y x P y =+′+′′的解,21,C C 是任意常数,则该方程的通解为( ).