2019-2020学年福建省南平市建瓯市芝华中学九年级(上)开学数学试卷

2019-2020学年福建省南平市建瓯市芝华中学九年级（上）开学
数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2018春•宁城县期末）下列各式成立的是( ) A ．2(2)2-=-
B ．2(5)5-=
C ．2x x =
D ．2(6)6-=
2．（2019春•芜湖期末）下列各组数中能作为直角三角形的三边长的是( ) A ．1，2，3
B ．3，4，5
C ．4，5，6
D ．7，8，9
3．（2018春•南安市期末）在平面直角坐标系中，点(1,3)P -关于y 轴对称点的坐标是(
) A ．(1,3)
B ．(1,3)-
C ．(1,3)--
D ．(1,3)-
4．（2007•丰台区一模）在函数1
2
y x =+中，自变量x 的取值范围是( ) A ．2x ≠-
B ．2x >-
C ．0x ≠
D ．2x ≠
5．（2018春•南安市期末）在一次期末考试中，某一小组的5名同学的数学成绩（单位：分）分别是130，100，108，110，120，则这组数据的中位数是( ) A ．100
B ．108
C ．110
D ．120
6．（2018春•南安市期末）下列选项中，平行四边形不一定具有的性质是( ) A ．两组对边分别平行 B ．两组对边分别相等
C ．对角线互相平分
D ．对角线相等
7．（2018春•南安市期末）已知反比例函数3m
y x
-=，当0x >时，y 随x 的增大而增大，则m 的值可能是( ) A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
8．（2019春•曲阜市期末）如图，已知四边形ABCD 为菱形，5AD cm =，6BD cm =，则此菱形的面积为( )
A ．212cm
B ．224cm
C ．248cm
D ．296cm
9．（2019春•临河区期末）如图，矩形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ．若60AOB ∠=︒，
10BD =，则AB 的长为( )
A ．53
B ．5
C ．4
D ．3
10．（2018春•南平期末）在平面直角坐标系xOy 中，已知点(2,0)A -，(,2)B a a -+，则线段AB 长的取值范围是( ) A ．22AB
B ．22AB >
C ．22AB
D ．022AB <
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分．
11．（2010•泉州模拟）一次函数23y x =+的图象不经过第 象限．
12．（2018春•南安市期末）已知函数26y x =-+，当x = 时，函数的值为0． 13．（2019春•昭通期末）甲、乙两人各进行10次射击比赛，平均成绩均为9环，方差分别
是：2
2S =甲
，24S =乙，则射击成绩较稳定的是 （选填“甲”或“乙” )． 14．（2018春•南安市期末）如图，四边形ABCD 是正方形，以AB 为一边在正方形外部作等边三角形ABE ，连结DE ，则BED ∠= ︒．
15．（2010•咸宁）直线1:1l y x =+与直线2:l y mx n =+相交于点(,2)P a ，则关于x 的不等式
1x mx n ++的解集为 ．
16．（2019秋•建瓯市校级月考）如图，在ABCD 中，AE BC ⊥于点E ，AF DC ⊥于点F ，5BC =，4AB =，3AE =，则AF 的长度为 ．
三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（8分）（2019秋•建瓯市校级月考）计算
（1）4545842
+-+
（2）(2332)(2332)
+-
18．（8分）（2018春•南平期末）在平面直角坐标系xOy中，已知一次函数
3
3
4
y x
=+的图
象与x轴交于点A，与y轴交于点B．
（Ⅰ）求A，B两点的坐标；
（Ⅱ）若点(0,2)
C-，判断三角形ABC的形状，并说明理由．
19．（8分）（2019春•白水县期末）自1996年起，我国确定每年3月份最后一周的星期一，为全国中小学生“安全教育日”．
2018年3月26日是第二十三个全国中小学生安全教育日．某中学八年级开展了交通安全为主题的演讲比赛．其中两名参赛选手的各项得分如表：
项目演讲内容演讲技巧仪表形象
甲959085
乙909590
如果规定：演讲内容、演讲技巧、仪表形象按6:3:1计算成绩，那么甲、乙两人的成绩谁更高？
20．（8分）（2018春•南安市期末）已知，AD是ABC
∆的角平分线，//
DE AC交AB于点E，//
DF AB交AC于点F．求证：四边形AEDF是菱形．
21．（8分）（2019秋•建瓯市校级月考）如图所示的一块地，3
=，90
∠=︒，
ADC
CD m
AD m
=，4
=，求这块地的面积．
BC m
13
AB m
=，12
22．（10分）（2018•漳州二模）求证：对角线相等的平行四边形是矩形．（要求：画出图形，写出已知和求证，并给予证明）
23．（10分）（2018春•南安市期末）甲、乙两人参加从A地到B地的长跑比赛，两人在比赛时所跑的路程y（米)与时间x（分钟）之间的函数关系如图所示，请你根据图象，回答下列问题：
（1）（填“甲”或“乙”)先到达终点；甲的速度是米/分钟；
（2）求：甲与乙相遇时，他们离A地多少米？
24．（12分）（2018春•南安市期末）如图，矩形ABCD中，点E、F、G、H分别AB、BC、
===．
CD、DA边上的动点，且AE BF CG DH
（1）求证：四边形EFGH是平行四边形；
（2）在点E、F、G、H运动过程中，判断直线GE是否经过某一定点，如果是，请证明你的结论；如果不是，请说明理由．
25．（14分）（2019春•唐河县期末）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，矩形OABC 的顶点(12,0)
A、(0,9)
C，将矩形OABC的一个角沿直线BD折叠，使得点A落在对角线OB上的点E处，折痕与x轴交于点D．
（1）线段OB的长度为；
（2）求直线BD所对应的函数表达式；
（3）若点Q在线段BD上，在线段BC上是否存在点P，使以D，E，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
2019-2020学年福建省南平市建瓯市芝华中学九年级
（上）开学数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2018春•宁城县期末）下列各式成立的是( )
A 2=-
B ．25-=
C x =
D 6=
【考点】22：算术平方根
【分析】利用算术平方根的定义分别判断后即可确定正确的选项． 解：A 、算术平方根一定是非负的，故错误；
B 、正确的结果为5-，故错误；
C 、当0x <时，错误；
D 、正确．
故选：D ．
【点评】本题考查了算术平方根的知识，属于基础题，比较简单．
2．（2019春•芜湖期末）下列各组数中能作为直角三角形的三边长的是( ) A ．1，2，3
B ．3，4，5
C ．4，5，6
D ．7，8，9
【考点】KS ：勾股定理的逆定理
【分析】由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可． 解：A 、因为222123+≠，故不是勾股数；故此选项错误；
B 、因为222345+=，故是勾股数．故此选项正确；
C 、因为222456+≠，故不是勾股数；故此选项错误；
D 、因为222789+≠，故不是勾股数．故此选项错误；
故选：B ．
【点评】本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．
3．（2018春•南安市期末）在平面直角坐标系中，点(1,3)P -关于y 轴对称点的坐标是(
)
A．(1,3)B．(1,3)
-C．(1,3)
--D．(1,3)
-
【考点】5
P：关于x轴、y轴对称的点的坐标
【专题】558：平移、旋转与对称
【分析】根据“关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数”解答．
解：点(1,3)
P-关于y轴对称点的坐标是(1,3)．
故选：A．
【点评】本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：
（1）关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；
（2）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数．
4．（2007•丰台区一模）在函数
1
2
y
x
=
+
中，自变量x的取值范围是()
A．2
x≠-B．2
x>-C．0
x≠D．2
x≠
【考点】4
E：函数自变量的取值范围
【专题】11：计算题
【分析】根据分式有意义的条件是分母不为0；分析原函数式可得关系式20
x+≠，解可得答案．
解：根据题意可得20
x+≠；
解得2
x≠-．
故选：A．
【点评】本题主要考查函数自变量的取值范围和分式有意义的条件，当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0．
5．（2018春•南安市期末）在一次期末考试中，某一小组的5名同学的数学成绩（单位：分）分别是130，100，108，110，120，则这组数据的中位数是()
A．100B．108C．110D．120
【考点】4
W：中位数
【专题】1：常规题型
【分析】找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数．
解：将这组数据按从小到大的顺序排列为：100，108，110，120，130，
处于中间位置的那个数是110，
由中位数的定义可知，这组数据的中位数是110．
故选：C．
【点评】本题为统计题，考查中位数的意义．中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数．如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会出错．
6．（2018春•南安市期末）下列选项中，平行四边形不一定具有的性质是() A．两组对边分别平行B．两组对边分别相等
C．对角线互相平分D．对角线相等
【考点】5
L：平行四边形的性质
【专题】1：常规题型
【分析】根据平行四边形的定义和性质进行解答即可．
解：A、两组对边分别平行，平行四边形一定具有的性质，故此选项错误；
B、两组对边分别相等，平行四边形一定具有的性质，故此选项错误；
C、对角线互相平分，平行四边形一定具有的性质，故此选项错误；
D、对角线相等，平行四边形不具有的性质，故此选项正确；
故选：D．
【点评】此题主要考查了平行四边形的性质，关键是掌握：
（1）平行四边形的概念：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．
（2）平行四边形的性质：①边：平行四边形的对边相等．②角：平行四边形的对角相等．③对角线：平行四边形的对角线互相平分．
7．（2018春•南安市期末）已知反比例函数
3m
y
x
-
=，当0
x>时，y随x的增大而增大，
则m的值可能是()
A．1B．2C．3D．4【考点】4
G：反比例函数的性质
【专题】532：函数及其图象
【分析】依据反比例函数
3m
y
x
-
=，当0
x>时，y随x的增大而增大，即可得到30
m
-<，
进而得出m的取值．
解：反比例函数
3m
y
x
-
=，当0
x>时，y随x的增大而增大，
30
m
∴-<，
3m ∴>， m ∴可以取4，
故选：D ．
【点评】本题主要考查了反比例函数的性质，解题时注意：当0k <，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y 随x 的增大而增大．
8．（2019春•曲阜市期末）如图，已知四边形ABCD 为菱形，5AD cm =，6BD cm =，则此菱形的面积为( )
A ．212cm
B ．224cm
C ．248cm
D ．296cm
【考点】8L ：菱形的性质 【专题】556：矩形 菱形 正方形
【分析】设AC 交BD 于O ．根据勾股定理求出OA ，再根据菱形的面积公式计算即可； 解：设AC 交BD 于O ．
四边形ABCD 是菱形， AC BD ∴⊥，
5AD cm =，1
32
OD OB BD cm ==
=， 22534OA ∴=-， 28AC OA ∴==，
1
242
ABCD S AC BD ∴=⨯⨯=菱形，
故选：B ．
【点评】本题考查菱形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
9．（2019春•临河区期末）如图，矩形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ．若60AOB ∠=︒，
10BD =，则AB 的长为( )
A ．53
B ．5
C ．4
D ．3
【考点】LB ：矩形的性质 【专题】1：常规题型
【分析】直接利用矩形的性质得出AO BO CO DO ===，进而利用等边三角形的判定与性质得出答案．
解：四边形ABCD 是矩形， AC BD ∴=，AO BO CO DO ===， 60AOB ∠=︒， AOB ∴∆是等边三角形，
1
52
AB BD ∴=
=． 故选：B ．
【点评】此题主要考查了矩形的性质以及等边三角形的判定与性质，正确得出AOB ∆是等边三角形是解题关键．
10．（2018春•南平期末）在平面直角坐标系xOy 中，已知点(2,0)A -，(,2)B a a -+，则线段AB 长的取值范围是( ) A ．22AB
B ．22AB >
C ．22AB
D ．022AB <
【考点】CB ：解一元一次不等式组；6D ：两点间的距离公式；KQ ：勾股定理 【专题】11：计算题
【分析】根据勾股定理求出AB ，根据偶次方的非负性计算即可． 解：由勾股定理得，222(2)(2)28AB a a a ++-++， 20a ， 2288a ∴+，
22AB ∴， 故选：A ．
【点评】本题考查的是勾股定理、直角三角形的性质，如果直角三角形的两条直角边长分别
是a ，b ，斜边长为c ，那么222a b c +=．
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分．
11．（2010•泉州模拟）一次函数23y x =+的图象不经过第 四 象限．
【考点】5F ：一次函数的性质
【分析】一次函数y kx b =+的图象经过第几象限，取决于k 和b ．当0k >，b O >时，图象
过1，2，3象限，据此作答． 解：一次函数23y x =+的20k =>，30b =>，
∴图象过1，2，3象限，
∴一次函数23y x =+的图象不经过第四象限．
【点评】一次函数的图象经过第几象限，取决于x 的系数和常数项．
12．（2018春•南安市期末）已知函数26y x =-+，当x = 3 时，函数的值为0．
【考点】8F ：一次函数图象上点的坐标特征
【专题】1：常规题型
【分析】将0y =代入得到关于x 的方程，从而可求得x 的值．
解：令0y =得：260x -+=，解得：3x =，
故答案为：3．
【点评】本题主要考查的是一次函数图象上点的坐标特征，列出关于x 的方程是解题的关键．
13．（2019春•昭通期末）甲、乙两人各进行10次射击比赛，平均成绩均为9环，方差分别
是：22S =甲
，24S =乙，则射击成绩较稳定的是 甲 （选填“甲”或“乙” )． 【考点】7W ：方差
【专题】1：常规题型
【分析】根据方差的意义可作出判断．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越小，
表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定． 解：因为甲的方差最小，所以射击成绩较稳定的是甲；
故答案为：甲
【点评】本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这
组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
14．（2018春•南安市期末）如图，四边形ABCD 是正方形，以AB 为一边在正方
形外部作等边三角形ABE ，连结DE ，则BED ∠= 45 ︒．
【考点】KK ：等边三角形的性质；LE ：正方形的性质
【专题】1：常规题型
【分析】先依据正方形和等边三角形的性质可得到AD AE =，150ADE ∠=︒，然
后可得到15AEB ∠=︒，最后，由BED AEB AED ∠=∠-∠求解即可． 解：四边形ABCD 是正方形，AEB ∆为等边三角形，
AD AE ∴∠=，90DAB ∠=︒，60BAE AEB ∠=∠=︒，
150DAE ∴∠=︒， 1(180150)152
AED ∴∠=⨯︒-︒=︒， 601545BED AEB AED ∴∠=∠-∠=︒-︒=︒．
故答案为：45︒．
【点评】本题考查了正方形的性质及等边三角形的性质；求得DAE ∆是腰等三角
形并利用其性质做题是解答本题的关键．
15．（2010•咸宁）直线1:1l y x =+与直线2:l y mx n =+相交于点(,2)P a ，则关于x 的不等式
1x mx n ++的解集为 1x ．
【考点】FD ：一次函数与一元一次不等式
【专题】31：数形结合
【分析】首先把(,2)P a 坐标代入直线1y x =+，求出a 的值，从而得到P 点坐标，再根据函
数图象可得答案．
解：将点(,2)P a 坐标代入直线1y x =+，得1a =，
从图中直接看出，当1x 时，1x mx n ++，
故答案为：1x ．
【点评】此题主要考查了一次函数与一元一次不等式，关键是求出两函数图象的交点坐标，
根据函数图象可得答案．
16．（2019秋•建瓯市校级月考）如图，在ABCD 中，AE BC ⊥于点E ，AF DC ⊥于点F ，5BC =，4AB =，3AE =，则AF 的长度为 154
．
【考点】5L ：平行四边形的性质
【专题】64：几何直观；555：多边形与平行四边形
【分析】根据平行四边形的对边相等求出CD AB =，再根据平行四边形的面积列式进行计算即可得解．
解：在ABCD 中，4CD AB ==，
AE BC ⊥，AF DC ⊥， ABCD S BC AE CD AF ∴=⋅=⋅， 即534AF ⨯=，
解得154
AF =． 故答案为：
154． 【点评】本题考查了平行四边形的对边相等的性质，平行四边形的面积的应用，利用面积列出等式是解题的关键．
三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（8分）（2019秋•建瓯市校级月考）计算
（1）4545842（2）(2332)(2332)
【考点】79：二次根式的混合运算
【专题】11：计算题
【分析】（1）先把二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；
（2）利用平方差公式计算．
解：（1）原式45352242=7522=
（2）原式1218=-
6=-．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次
根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
18．（8分）（2018春•南平期末）在平面直角坐标系xOy 中，已知一次函数334
y x =
+的图象与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ．
（Ⅰ）求A ，B 两点的坐标；
（Ⅱ）若点(0,2)C -，判断三角形ABC 的形状，并说明理由．
【考点】8F ：一次函数图象上点的坐标特征
【专题】533：一次函数及其应用
【分析】（Ⅰ）利用待定系数法即可解决问题；
（Ⅱ）求出AB 、BC 的长即可判断；
解：（Ⅰ）对于直线334
y x =+， 令0x =，3y =，令0y =，4x =-，
(4,0)A ∴-，(0,3)B ．
（Ⅱ）如图，
(4,0)
A-，(0,3)
B，(0,2)
C-，
22
345
AB
∴=+=，3(2)5
BC=--=，
BA BC
∴=，
ABC
∴∆是等腰三角形．
【点评】本题考查一次函数图形上的点的坐标特征，等腰三角形的判定等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
19．（8分）（2019春•白水县期末）自1996年起，我国确定每年3月份最后一周的星期一，为全国中小学生“安全教育日”．
2018年3月26日是第二十三个全国中小学生安全教育日．某中学八年级开展了交通安全为主题的演讲比赛．其中两名参赛选手的各项得分如表：
项目演讲内容演讲技巧仪表形象
甲959085
乙909590
如果规定：演讲内容、演讲技巧、仪表形象按6:3:1计算成绩，那么甲、乙两人的成绩谁更高？
【考点】2
W：加权平均数
【专题】1：常规题型；542：统计的应用
【分析】根据加权平均数的定义列式计算可得．
解：甲的得分为956903851
92.5
631
⨯+⨯+⨯
=
++
（分)，乙的得分为
906953901
91.5
631
⨯+⨯+⨯
=
++
（分
)，
92.591.5
>，
∴甲的成绩更高．
【点评】此题考查了加权平均数，熟练掌握加权平均数的求法是解本题的关键．
20．（8分）（2018春•南安市期末）已知，AD是ABC
∆的角平分线，//
DE AC交AB于点E，//
DF AB交AC于点F．求证：四边形AEDF是菱形．
【考点】5
L：菱形的判定
L：平行四边形的性质；9
【专题】14：证明题
【分析】先根据题中已知条件判定四边形AEDF是平行四边形，然后再推出一组邻边相等．证明：//
DF AB，
DE AC，//
∠=∠，
∴四边形AEDF是平行四边形，EDA FAD
∴∠=∠，
AD是ABC
∆的角平分线，EAD FAD
∴∠=∠，
EAD EDA
∴=，
EA ED
∴四边形AEDF为菱形．
【点评】本题考查菱形的判定和平行四边形的性质．运用了菱形的判定方法“一组邻边相等的平行四边形是菱形”．
21．（8分）（2019秋•建瓯市校级月考）如图所示的一块地，3
ADC
∠=︒，
=，90
CD m
AD m
=，4
=，求这块地的面积．
BC m
AB m
=，12
13
【考点】KU：勾股定理的应用
【专题】554：等腰三角形与直角三角形
【分析】连接AC，利用勾股定理和逆定理可以得出三角形ACD和ABC是直角三角形，∆的面积减去ACD
∆的面积就是所求的面积．
ABC
解：连接AC，
=，4
=，
CD m
AD m
90
ADC
∠=︒，3
22222
∴=+=+=，
AC AD CD
3425
又0
AC>，
∴=，
AC m
5
又13
=，
BC m
=，12
AB m
2222
∴+=+=，
AC BC
512169
又2169
AB=，
222
∴+=，
AC BC AB
90ACB ∴∠=︒，
230624ABC ADC ABCD S S S m ∆∆∴=-=-=四边形．
【点评】本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和
一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．
22．（10分）（2018•漳州二模）求证：对角线相等的平行四边形是矩形．（要求：画出图形，
写出已知和求证，并给予证明）
【考点】5L ：平行四边形的性质；LC ：矩形的判定
【专题】55：几何图形
【分析】根据全等三角形的判定与性质，可得ABC ∠与DCB ∠的关系，根据平行四边形的
邻角互补，可得ABC ∠的度数，根据矩形的判定，可得答案．
已知：如图，在ABCD 中，AC BD =．
求证：ABCD 是矩形，
证明：方法一：四边形ABCD 是平行四边形，
AB CD ∴=，//AB CD ，
AC BD =，BC BC =，
ABC DCB ∴∆≅∆．
ABC DCB ∴∠=∠，
//AB CD ，
180ABC DCB ∴∠+∠=︒．
1180902
ABC ∴∠=⨯︒=︒， ABCD ∴是矩形，
方法二：设AC ，BD 交于点O ．
四边形ABCD 是平行四边形，
OA OC ∴=，OB OD =，
AC BD =，
OA OC OB ∴==．
13∴∠=∠，24∠=∠， 112180902
ABC ∴∠=∠+∠=⨯︒=︒， ABCD ∴是矩形．
【点评】本题考查了矩形的判定，利用全等三角形的判定与性质得出ADC BCD ∠=∠是解题
关键．
23．（10分）（2018春•南安市期末）甲、乙两人参加从A 地到B 地的长跑比赛，两人在比
赛时所跑的路程y （米)与时间x （分钟）之间的函数关系如图所示，请你根据图象，回答下列问题：
（1） 乙 （填“甲”或“乙” )先到达终点；甲的速度是 米/分钟；
（2）求：甲与乙相遇时，他们离A 地多少米？
【考点】FH ：一次函数的应用
【专题】1：常规题型
【分析】（1）依据函数图象可得到两人跑完全程所用的时间，从而可知道谁先到达终点，依
据速度=路程÷时间可求得甲的速度；
（2）先求得甲的路程与时间的函数关系式，然后求得1016x << 时，乙的路程与时间的函
数关系式，最后，再求得两个函数图象交点坐标即可．
解：（1）由函数图象可知甲跑完全程需要20分钟，乙跑完全程需要16分钟，所以乙先到达
终点；
甲的速度
5000
250
20
==米/分钟．
故答案为：乙；250．
（2）设甲跑的路程y（米)与时间x（分钟）之间的函数关系式为y kx
=，
根据图象，可得
5000
250
20
y x x ==．
设甲乙相遇后（即1016
x
<<)，乙跑的路程y（米)与时间x（分钟）之间的函数关系式为：y kx b
=+．
根据图象，可得
102000
165000
k b
k b
+=
⎧
⎨
+=
⎩
解得
500
3000
k
b
=
⎧
⎨
=-
⎩
所以，5003000
y x
=-．
由
5003000
250
y x
y x
=-
⎧
⎨
=
⎩
，解得
12
3000
x
y
=
⎧
⎨
=
⎩
．
答：甲与乙相遇时，他们离A地3000米．
【点评】本题主要考查的是一次函数的应用，求得甲、乙两人路程与时间的函数关系式是解题的关键．
24．（12分）（2018春•南安市期末）如图，矩形ABCD中，点E、F、G、H分别AB、BC、CD、DA边上的动点，且AE BF CG DH
===．
（1）求证：四边形EFGH是平行四边形；
（2）在点E、F、G、H运动过程中，判断直线GE是否经过某一定点，如果是，请证明你的结论；如果不是，请说明理由．
【考点】KD：全等三角形的判定与性质；7
L：平行四边形的判定与性质；LB：矩形的性质
【专题】556：矩形菱形正方形
【分析】（1）由正方形的性质得出90
A C
∠=∠=︒，AB BC CD DA
===，由AE BF CG DH
===证出AH CF
=，由SAS证明AEH CGF
∆≅∆，可得HE FG
=，同理可得HG FE
=即可求解；
（2）直线GE经过一个定点，这个定点为矩形的对角线AC、BD的交点．只要证明四边形
=，即点M为AC的中点，又矩形
=，MG ME
AECG是平行四边形，即可推出MA MG
ABCD的对角线互相平分，推出点M为矩形对角线ACBD的交点；
解：（1）证明：四边形ABCD为矩形，
∠=∠=︒，
A C
∴=，90
BC AD
=，
BF DH
=，
∴-=-，即CF AH
BC BF AD DH
又AE CG
=，
HAE FCG
∴∆≅∆，
∴=，
HE FG
同理可证：HG FE
=，
∴四边形EFGH是平行四边形．
（2）直线GE经过一个定点，这个定点为矩形的对角线AC、BD的交点．
理由如下：
如图，连结AC、AG、CE，设AC、EG的交点为M．
=，
//
AE CG，AE CG
∴四边形AECG是平行四边形，
∴=，MG ME
=，
MA MG
即点M为AC的中点，
又矩形ABCD的对角线互相平分
∴点M为矩形对角线ACBD的交点，
∴直线GE总过AC、BD的交点M．
【点评】考查了正方形的性质与判定、全等三角形的判定与性质等知识；本题综合性强，有一定难度，特别是（2）中，需要通过作辅助线构造特殊四边形才能得出结果．25．（14分）（2019春•唐河县期末）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，矩形OABC 的顶点(12,0)
A、(0,9)
C，将矩形OABC的一个角沿直线BD折叠，使得点A落在对角线OB上的点E处，折痕与x轴交于点D．
（1）线段OB 的长度为 15 ；
（2）求直线BD 所对应的函数表达式；
（3）若点Q 在线段BD 上，在线段BC 上是否存在点P ，使以D ，E ，P ，Q 为顶点的四
边形是平行四边形？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．
【考点】FI ：一次函数综合题
【专题】153：代数几何综合题
【分析】（1）根据勾股定理即可解决问题；
（2）设AD x =，则12OD OA AD x ===-，根据轴对称的性质，DE x =，9BE AB ==，
又15OB =，可得1596OE OB BE =-=-=，在Rt OED ∆中，根据222OE DE OD +=，构建方程即可解决问题；
（3）过点E 作//EP BD 交BC 于点P ，过点P 作//PQ DE 交BD 于点Q ，则四边形DEPQ
是平行四边形，再过点E 作EF OD ⊥于点F ，想办法求出最小PE 的解析式即可解决问题；
解：（1）在Rt ABC ∆中，12OA =，9AB =，
222291215OB OA AB ∴=+=+．
故答案为15．
（2）如图，
设AD x =，则12OD OA AD x ===-，
根据轴对称的性质，DE x =，9BE AB ==，
又15OB =，
1596OE OB BE ∴=-=-=，
在Rt OED ∆中，222OE DE OD +=，
即2226(12)x x +=-，解得92x =
， 9151222OD OA AD ∴=-=-=， ∴点15(2
D ，0)， 设直线BD 所对应的函数表达式为：(0)y kx b k =+≠
则1291502
k b k b +=⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得215k b =⎧⎨=-⎩， ∴直线BD 所对应的函数表达式为：215y x =-．
（3）过点E 作//EP BD 交BC 于点P ，过点P 作//PQ DE 交BD 于点Q ，则四边形DEPQ
是平行四边形，再过点E 作EF OD ⊥于点F ，
由1122
OE DE DO EF =，
得9
61821552EF ⨯
==，即点E 的纵坐标为185
， 又点E 在直线3:4OB y x =
上， ∴18354x =，解得245
x =， 24(
5E ∴，18)5， 由于//PE BD ，所以可设直线:2PE y x n =+， 24(
5E ，18)5，在直线EP 上 ∴1824255
n =⨯+，解得6n =-， ∴直线:26EP y x =-，
令9y =，则926x =-，解得152x =
， 15(2P ∴，9)． 【点评】本题考查一次函数综合题、矩形的性质、平行四边形的判定和性质、勾股定理等知
识，解题的关键是熟练掌握待定系数法，学会构建一次函数解决问题，属于中考压轴题．
30．两角和或差的正切公式
九年级（上）重要的数学公式定理
1. 一元二次方程求根公式:一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）的两根为
2. 一元二次方程根与系数的关系
一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）的两根为x 1,x 2，则x 1+x 2= ,x 1·x 2= 一元二次方程x 2+px+q=0（a≠0）的两根为x 1,x 2，则x 1+x 2= ,x 1·x 2=
3. 两点间距离公式:两点A(x 1,y 1),B(x 2，y 2)之间的距离AB=
特别地，若x 1=x 2，则AB= ，若y 1=y 2，则AB= , 若O 为坐标原点，则OA=
4. 中点坐标公式:两点A(x 1,y 1),B(x 2，y 2)的中点C 的坐标为
5. 点到直线的距离公式:点P(x 0,y 0)到直线Ax+BY+C=0的距离为
6. 直线比例系数公式:若两点为A(x 1,y 1),B(x 2，y 2)，则K AB =
7. 两直线平行，则K 1，K 2的关系是 两直线垂直，则K 1，K 2的关系是
8. 二次函数顶点坐标公式:二次函数y=ax 2+bx+c 的顶点坐标为 ,对称轴为 最大（小）值为
9. 二次函数y=ax 2+bx+c 与x 轴两交点距离公式
二次函数y=ax 2+bx+c 与x 轴两交点A(X 1，0),B(x 2,0),则AB= ,对称轴为
10. 平面直角坐标系中三角形面积公式为
11. 弧长公式为
12. 扇形面积公式为① ②
如图，圆锥的侧面积为 圆锥的全面积为为 r R 13. 垂径定理 14. 垂径定理的推论 ① ② ③ 15．圆的两条平行弦 16．圆心角定理 17．圆心角定理的推论 18．圆周角定理 19．圆周角定理推论1 20．圆周角定理推论2 21．圆内接四边形定理 22．切线的判定定理 23．切线的性质定理 24．切线长定理 25．三角形内切圆半径公式 ，∠BOC= 特别地，直角三角形内切圆半径公式 26．正n 变形中心角公式 27．射影定理 28．黄金分割比= 39．特殊角锐角三角函数 sinα cosα tanα 30°
45° 60°。