第03章习题解答

这样，应用卷积定理得到：
( x, y ) F 1 Ao ( , )rect Uo 2 BX F 1 Ao ( , )rect 2 BX rect 2 BY 1 1 comb rect F 4 BX BY 2 BY 2 BX comb 2 BX x comb 2 BY y comb 2 BY
证明：为了便于从频率域分析，分别设： 物的空间频谱：
Ao ( , ) F{U o ( x, y )}
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像的空间频谱：
Ai ( , ) F{U i ( x, y )} ( , ) F{U o ( x, y )} Ao Ai( , ) F{U i( x, y )}
习题 3 参考解答
3.1 设在一线性系统上加一个正弦输入： g ( x, y ) cos[2π( x y )] ，在什么充分条件下，输 出是一个空间频率与输入相同的实数值正弦函数？用系统适当的特征表示出输出的振幅 和相位。 解：系统的输入是
1 1 g ( x, y ) cos[2π( x y )] ei2 π ( x y ) e i2 π ( x y ) 2 2


i2 π ( )
d d e i2 π ( x y ) d d
h( x, y; , )d d ei2 π[ ( x ) ( y )]d d

h( x, y; , ) ( x, y )d d h( x, y; x, y )
g ( x, y) A( , ) cos[2 π( x y) ( , )]
3.2 证明零阶贝塞尔函数 J 0 (2π 0 r ) 是任何具有圆对称脉冲响应的线性不变系统的本征函数。
对应的本征值是什么？ 证明：把 J 0 (2π 0 r ) 作为输入函数，施加到一个用脉冲响应 h(r ) 和传递函数 H ( ) 所表征的系 系统上。输出可以写成：
表示为 rect 2 BX 。
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既然成像的频谱相同，从空间域来看，所成的像场分布也是相同的，即
U i( x, y ) U i ( x, y ) ( , ) 的逆傅里叶变换式，就可得到所需的等效物场，即 因此，只要求出 Ao ( x, y ) F 1{ Ao ( , )} Uo
g ( r ) Leabharlann Baidu ( 0 ) * h( r )
因此，输出频谱等于
G( )
( 0 ) ( 0 ) H ( ) H ( 0 ) 2π0 2 π0
对上式作傅里叶逆变换，可得：
g (r ) H ( 0 )J 0 (2π0 r )
于是可以看出， J 0 (2π0 r ) 是一个本征函数，相应的本征值等于传递函数在 0 的值。

等式右端得到：
H ( , )e

i2 π ( x y ) i2 π ( x y )
e
d d H ( , )ei2 π[ ( x x ) ( y )]d d h( x x, y y )

由此可知，系统应该是空间不变的线性系统，其空间不变的脉冲响应满足：
从抽样定理来理解上式，Ao ( , )rect 它所对应 rect 是一个限带的频谱函数， 2 BX 2 BY
的空间域的函数可以通过抽样，用一个点源的方形阵列来表示，若抽样的矩形格点的间隔， 在 x 方向是
1 1 ( x, y ) ，在 y 方向是 ，就得到等效物场 U o 2 BX 2 BY
Ao ( , ) H ( , )rect 2 BX rect 2 BY Ai ( , )
在频域中我们构造一个连续的、二维周期性分布的频谱函数，预期作为等效物的谱，办
法 是 把 Ao ( , )rect 2 BX rect 安 置 在 平 面 上 成 矩 形 格 点 分 布 的 每 一 个 B 2 Y

若写成线性系统叠加积分的形式，则有：
G ( , ) g ( x, y )h( x, y; , )dxdy

其中 h( x, y; , ) e i2 π ( x y ) ，它表示输出平面 点上对输入平面位于 ( x, y ) 点处 函数输入 的响应，称为系统的脉冲响应。显然
comb(2 BX x)comb(2 BY y ) 1 4 BX BY
n m
x 2B




n
,y
X
m 2 BY
这样，可以得到：
1
h( x, y; x, y ) h( x x, y y )
H ( , ) 正是系统的传递函数，它是脉冲响应的傅里叶变换，
H ( , ) F{h( x x, y y )}
对于这样的空间不变的线性系统，若输入一个正弦函数，会得到一个空间频率相同的正弦输 出，其振幅和相移分别由系统传递函数的模和幅角表示，即
因为要求输出是一个空间频率与输入相同的实数值正弦函数，可用 g ( x, y) 表示它， g ( x, y) A( , ) cos[2 ( x y) ( , )] 1 1 A( , )e i ( , ) ei2 π ( x y) A( , )ei ( , ) e i2 π ( x y) 2 2 式中： A( , ) 和 ( , ) 均为实函数，分别表示正弦输出频率有关的振幅和相移。令： H ( , ) A( , )e i ( , ) 则有： g ( x, y)
3.3 傅里叶系统算符可以看成是函数到其他变换式的变换，因此它满足本章所提出的关于系
统的定义。试问：
(a) 这个系统是线性的吗？ (b) 你是否具体给出一个表征这个系统的传递函数？如果能够，它是什么？如果不能，
为什么不能？ 答： (a) 我们把系统广义地定义为一个变换， 由于傅里叶变换算符可以看成是函数到其变换式 的变换，因而可把它看作系统。即可以用系统的算符表示傅里叶变换：
h( x, y; , )e

i 2 π ( )
d d H ( , )ei2 π ( x y)
式中， h 为系统的脉冲响应。等两端同乘以 e i2 π ( x y ) 并对 , 取积分，等式左端得到：
h( x, y; , )e
5
F 1 Ao ( , )rect 2 BX

rect 2 BY
U o ( x, y ) * 4 BX BY sinc(2 BX x )sinc(2 BY y )
4 BX BY U o ( , )sinc[2 BX ( x )]sinc[2 BY ( y )]d d
体上的场分布可写成：
( x, y ) Uo n m ,y U o ( , )sinc(n 2 BX )sinc(m 2 BY )d d x 2 BX 2 BY n m

份 (n m 0) 通过，所以成像的谱并不发生变化，即
( , ) H ( , )rect Ao 2 BX rect 2 BY Ai( , ) Ai ( , )
的作用，为简单起见，系统传递函数在图中 下图用一维形式表示出系统在频域分别对 Ao 和 Ao
输出是像场分布 U i ( x, y ) 。可以假定成像系统是一个线性的空间不变换低通滤波器，其传 递函数在频域上的区间 | | Bx ，| | By 之外恒等于零。证明，存在一个由点源的方形阵
( x, y ) ，它与真实物体 U o 产生完全一样的像 U i ，并且等效物 列所构成的“等效”物体 U o
1 1 H ( , )ei2 π ( x y) H * ( , )e i2 π ( x y) 。用算符 L{} 表示系统的作用，即： 2 2
L{g ( x, y )} g ( x, y) ，则系统输入、输出的正频分量应满足下列关系： L{ei2 π ( x y ) } H ( , )ei2 π ( x y) 即：
对所有的输入函数 g ( x, y ) 和 h( x, y ) 以及所有复数常数 , ，系统满足上述迭加性质，因而是 线性的。
(b) 设系统的输入为 g ( x, y ) ，输出为 G ( , ) 。由傅里叶变换定义
G ( , ) g ( x, y )e i2 π ( x y ) dxdy
(2 BX n, 2 BY m) 点周围， 选择矩形格点在 , 方向上的间隔分别为 2 BX 和 2 BY ， 以避免频谱混叠。
于是：
( , ) Ao ( , )rect Ao rect * ( 2 BX n, 2 BY m) 2 BX 2 BY n m 1 comb Ao ( , )rect rect * comb 2 BX 2 BY 4 BX BY 2 BX 2 BY ( , ) 的中央一个周期成 对于同一个成像系统，由于传递函数的通频带有限，只能允许 Ao
L{g ( x, y )} F{g ( x, y )}
2
由傅里叶变换的线性定理可得：
F { g ( x, y ) h( x, y )} F{g ( x, y )} F{h( x, y )}
即：
L{ g ( x, y ) h( x, y )} L{g ( x, y )} L{h( x, y )}
h( x, y; , ) h( x; y )
即脉冲响应 h 并不依赖于距离之差 x 和 y ，系统是“空间变”的。仅仅对于空间不变的 线性系统，其在频域的作用才可以用系统的传递函数表示。而对于“空间变”系统，则不能 给出表征系统作用的传统函数。
3.4 某一成像系统的输入是复数值的物场分布 U o ( x, y ) ，其空间频率含量是无限的，而系统的
等效物体的空间频谱：
等效物体的像的空间频谱：
由于成像系统是一个线性的空间不变低通滤波器，传递函数在 | | BX ,| | BY 之外恒为 零，故可将其记为：
H ( , ) rect 2 BX rect 2 BY
利用系统的传递函数，表示物像之间在频域中的关系为