双曲线知识点总结及练习题

一、双曲线的定义

1、第一定义：到两个定点F 1与F 2的距离之差的绝对值等于定长（＜|F 1F 2|）的点的轨迹（21212F F a PF PF <=-（a 为常数））。这两个定点叫双曲线的焦点。 要注意两点：（1）距离之差的绝对值。（2）2a ＜|F 1F 2|。

当|MF 1|－|MF 2|=2a 时，曲线仅表示焦点F 2所对应的一支； 当|MF 1|－|MF 2|=－2a 时，曲线仅表示焦点F 1所对应的一支；

当2a =|F 1F 2|时，轨迹是一直线上以F 1、F 2为端点向外的两条射线；用第二定义证明比较简单 或两边之差小于第三边

当2a ＞|F 1F 2|时，动点轨迹不存在。

2、第二定义：动点到一定点F 的距离与它到一条定直线l （准线2c

a ）的距离之比是常数e (e ＞1)时，这个动

点的轨迹是双曲线。这定点叫做双曲线的焦点，定直线l 叫做双曲线的准线。

二、双曲线的标准方程（2

22a c b -=，其中|1F 2F |=2c ）

焦点在x 轴上：122

22=-b

y a x （a ＞0，b ＞0）

焦点在y 轴上：122

22=-b

x a y （a ＞0，b ＞0）

（1）如果2

x 项的系数是正数，则焦点在x 轴上；如果2

y 项的系数是正数，则焦点在y 轴上。 a 不一定大于b 。判定焦点在哪条坐标轴上，不像椭圆似的比较x2、y2的分母的大小，而是x2、y2的系数的

符号，焦点在系数正的那条轴上

（2）与双曲线122

22=-b

y a x 共焦点的双曲线系方程是1222

2=--+k b y k a x （3）双曲线方程也可设为：

22

1(0)x y mn m n

-=> 三、双曲线的性质

四、双曲线的参数方程：

sec tan x a y b θθ=⋅⎛

=⋅⎝ 椭圆为cos sin x a y b θ

θ=⋅⎛ =⋅⎝

五、 弦长公式

2、通径的定义：过焦点且垂直于实轴的直线与双曲线相交于A 、B 两点，则弦长a

b AB 2

2||=。

3、特别地，焦点弦的弦长的计算是将焦点弦转化为两条焦半径之和后，利用第二定义求解 六、焦半径公式

双曲线122

22=-b

y a x （a ＞0，b ＞0）上有一动点00(,)M x y

左焦半径：r=│ex+a │ 右焦半径：r=│ex-a │

当00(,)M x y 在左支上时10||MF ex a =--,20||MF ex a =-+ 当00(,)M x y 在右支上时10||MF ex a =+,20||MF ex a =- 左支上绝对值加-号，右支上不用变化

双曲线焦点半径公式也可用“长加短减”原则：（与椭圆焦半径不同，椭圆焦半径要带符号计算，而双曲线不带符号） 构成满足

注：焦半径公式是关于0x 的一次函数，具有单调性，当00(,)M x y 在左支端点时1||MF c a =-，

2||MF c a =+，当00(,)M x y 在左支端点时1||MF c a =+，2||MF c a =-

七、等轴双曲线

12

222=-b y a x （a ＞0，b ＞0）当a b =时称双曲线为等轴双曲线 1。 a b =； 2。离心率2=

e ；

3。两渐近线互相垂直，分别为y=x ±； 4。等轴双曲线的方程λ=-2

2

y x ，0λ≠； 八、共轭双曲线

互为共轭双曲线。

与互为共轭双曲线，它们具有共同的渐近线：. 九、点与双曲线的位置关系，直线与双曲线的位置关系

1、点与双曲线

点00(,)P x y 在双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的内部2200221x y a b ⇔-> 代值验证，如22

1x y -=

点00(,)P x y 在双曲线22

221(0,0)x y a b a b

-=>>的外部2200221x y a b ⇔-<

点00(,)P x y 在双曲线22

221(0,0)x y a b a b -=>>上220022-=1x y a b

⇔

2、直线与双曲线 代数法：

设直线:l y kx m =+，双曲线)0,0(122

22>>=-b a b y a x 联立解得

02)(222222222=----b a m a mkx a x k a b

（1）0m =时，b b

k a a

-

<<，直线与双曲线交于两点（左支一个点右支一个点）

； b k a ≥，b

k a

≤-，或k 不存在时，直线与双曲线没有交点；

（2）0m ≠时，

k 存在时，若0222=-k a b ，a

b

k ±

=，直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线相交于一点；相交

若222

0b a k -≠，222222222(2)4()()a mk b a k a m a b ∆=-----222222

4()a b m b a k =+-

0∆>时，22220m b a k +->，直线与双曲线相交于两点； 0∆<时，22220m b a k +-<，直线与双曲线相离，没有交点；

0∆=时2

2

2

2

0m b a k +-=，22

2

2

m b k a +=

直线与双曲线有一个交点；相切 k 不存在，a m a -<<时，直线与双曲线没有交点；

m a m a ><-或直线与双曲线相交于两点；

十、双曲线与渐近线的关系

1、若双曲线方程为22221(0,0)x y a b a b -=>>⇒渐近线方程：22220x y a b -=⇔x a

b

y ±=

2a ＞0，b ＞0）⇒渐近线方程：22220y x a b -= a

y x b

=±

3、若渐近线方程为x a

b

y ±=⇔0=±b y a x ⇒双曲线可设为λ=-22

22

b y a x , 0λ≠。

4、若双曲线与12222=-b y a x 有公共渐近线，则双曲线的方程可设为λ=-22

22b

y a x （0>λ，焦点在x 轴上，

0<λ，焦点在y 轴上）

十一、双曲线与切线方程

1、双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>上一点00(,)P x y 处的切线方程是00221x x y y

a b

-=。

2、过双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>外一点00(,)P x y 所引两条切线的切点弦方程是00221x x y y

a b -=。

3、双曲线22221(0,0)x y a b a b

-=>>与直线0Ax By C ++=相切的条件是22222

A a

B b c -=。

椭圆与双曲线共同点归纳

十二、顶点连线斜率

双曲线一点与两顶点连线的斜率之积为K 时得到不同的曲线。 椭圆参照选修2-1P41，双曲线参照选修2-1P55。

1、A 、B 两点在X 轴上时

2、A 、B 两点在Y 轴上时