计算方法及实现

浙江工业大学计算方法及实现期末论文

计算方法—牛顿迭代法

摘要

迭代法分为精确迭代和近似迭代，而在17世纪提出的牛顿迭代法即属于近似迭代，

是一种近似求解方程的方法，即牛顿拉夫森迭代法。其基本思路是经讲非线性函数f(x)

线性化，从而将非线性方程f(x)=0近似的转化为线性方程求解。这里我们就来讨论下

牛顿迭代发从演变到修正的过程，以及在学习和生活中的各种应用，充分的了解它的

功能以及优缺点。

关键词：牛顿迭代算法；近似解；改进

Abstract

Iteration iteration is divided into precise and approximate iterative, and raised in the 17th century that are approximate Newton iteration iteration is an approximate method of solving equations, namely Newton Raphson iteration method. The basic idea is that by speaking nonlinear function f (x) linear, nonlinear equation thus f (x) = 0 approximated into linear equations. Here we come to discuss the next Newton iteration made from the process of evolution to fix, as well as learning and life in a variety of applications, a full understanding of its features and advantages and disadvantages.

Keywords : Newton iterative algorithm; approximate solution; improvement;

引言

牛顿拉夫森迭代法是牛顿在17世纪提出的一种在实数域和复数域上近似求解方程

的方法。众所周知，多数方程就不存在求根公式，所以要求精确的根可以说是根本不

可能，那么怎么样才能寻找到合适的方法求出跟就显得很是重要，这时牛顿迭代法就

依据其在方程f(x)=0的単根附近具有平方收敛，而且还可以用来求方程的重根、福根

的优点成为了求解此类方程的重要的方法之一。除此之外，它还具有适用面广，收敛

速度快等优点。

牛顿迭代法方法简单，每次都是简单的重复计算，也比较适合编程人员编程，并

且它还可以用增加迭代的次数来弥补自称位数少的不足。在此基础上它对的初值还可

以自己取，即使中间的结果有偶然误差也不会对最后的结果获得造成影响。

那什么是牛顿迭代算法呢？下面来讲一下有关于牛顿迭代的原理等一些相关知

识。

（一）牛顿迭代法的基本原理

1．牛顿迭代法原理

设已知方程0)(=x f 的近似根0x ,则在0x 附近)(x f 可用一阶泰勒多项式

))((')()(000x x x f x f x p -+=近似代替.因此, 方程0)(=x f 可近似地表示为0)(=x p .

用1x 表示0)(=x p 的根,它与0)(=x f 的根差异不大文献[1].

设0)('0≠x f ,由于1x 满足,0))((')(0100=-+x x x f x f 解得 )(')(0001x f x f x x -= 重复这一过程,得到迭代格式

)

(')(1n n n n x f x f x x -=+ 这就是著名的牛顿迭代公式,它相应的不动点方程为

)

(')()(x f x f x x g -=. 2. 牛顿迭代法的几何解析

牛顿迭代法也称为牛顿切线法，这是由于)(x f 的线性化近似函数)(x l ＝))((')(000x x x f x f -+是曲线y ＝)(x f 过点))(,(00x f x 的切线而得名的，求)(x f 的零点代之以求)(x l 的零点，即切线)(x l 与x 轴交点的横坐标，如右图所示，这就是牛顿切线法的几何解释。实际上，牛顿迭代法也可以从几何意义上推出。利用牛顿迭代公式，由k x 得到1+k x ，从几何图形上看，就是过点))(,(k k x f x 作函数)(x f 的切线k l ，切线k l 与

x 轴的交点就是1+k x ，所以有1)

()('+-=k k k k x x x f x f ，整理后

也能得出牛顿迭代公式：

)(')

(1k k k k x f x f x x -=+。

3．牛顿迭代法的收敛性

计算可得2)]

('[)(")()('x f x f x f x g -=,设*x 是0)(=x f 的单根,有0)(',0)(**≠=x f x f ,则

0)]('[)(")()('2

****=-=x f x f x f x g , 故在*x 附近,有1)('

4．牛顿迭代法的收敛速度

定理(牛顿法收敛定理) 设)(x f 在区间],[b a 上有二阶连续导数,且满足

0)()(

m a b 2<-.则对任意],[0b a x ∈,牛顿迭代格式收敛于0)(=x f 在],[b a 中的唯一实根*x ,并且:

(1) .12,2*02*<-=≤-x x m

M q q M m x x n n (2) .221*--≤

-n n n x x m M x x (3) )('2)(")(lim **2**1x f x f x x x x n

n n =--+∞→,牛顿迭代法为2阶收敛. 5.迭代法的变形——弦截法

1 单点弦截法

为避免牛顿迭代法中导数的计算，文献[2、7、8]可用平均变化率：00)

()(x x x f x f n n --

来近似代替)('n x f ，于是得到如下迭代公式：

)()()()()()()()(000

001x f x f x f x x f x x x x f x f x f x x n n n n n n n n --=---=+

称为单点弦截法。单点弦截法具有明显的几何意义，

它是用联结点A(0x ，0y )与点B(n x ，n y )的直线，代

替曲线求取与横轴交点作为近似值1+n x 的方法，以后

再过(0x ，0y )与(1+n x ，1+n y )两点，作直线求取与横

轴的交点作为2+n x ，等等。其中(0x ，0y )是一个固定

点，称为不动点，另一点则不断更换，故名单点弦截

法。可以证明，单点弦截法具有收敛的阶r ＝1，即具

有线性收敛速度。

2 双点弦截法

若把单点弦截法中的不动点(0x ，0y )改为变动点(1-n x ，1-n y )，则得到下面的双点弦截法的迭代公式：

)()()()()()()()(111

111-----+--=---=n n n n n n n n n n n n n x f x f x f x x f x x x x f x f x f x x