平面向量七种解法及四心问题及常见题型汇总

向量的解法总结

一、

基底法

例1． 设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD ＝12AB ，BE ＝2

3BC.若DE →＝λ1AB

→＋λ2AC →(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．

例 2． 在平行四边形ABCD 中，AD ＝1，∠BAD＝60°，E 为CD 的中点，若AC →·BE →＝1，则AB 的长为________．

例3.如图，在ABC △中，12021BAC AB AC ∠===，，°，D 是边BC 上一点，

2DC BD =，则AD BC =·

二、

坐标法

例4．在平面上，，

=1，．若||＜，则|

|

的取值范围是（ ） A ． （0，] B ．

（，] C ．

（

，] D ．

（

，]

例5．设△ABC，P 0是边AB 上一定点，满足，且对于边AB 上任一点P ，

恒有

则（ ） A ． ∠ABC=90° B ． ∠BAC=90°

C ． A B=AC

D ． A C=BC 三、 模方法

例6．△ABC 内接于以O 为圆心的圆，且．则∠C= ，

cosA= ． 例7．（2013•浙江）设、

为单位向量，非零向量=x +y ，x 、y ∈R ．若

、

的夹角为30°，则

的最大值等于 ．

A

B

D C

四、数量积法

例8．给定两个长度为1的平面向量OA和OB，它们的夹角为120o. 如图所示，点C在以O为圆心的圆弧AB上变动.

若,

OC xOA yOB

=+其中,x y R

∈,则x y

+

的最大值是________.

例9．在△ABC中，AB=2AC=2，∠BAC=120°，，若

（O是△ABC的外心），则x

1+x

2

的值为．

五、几何法

例10．在△ABC中，若对任意k∈R，有|﹣k|≥||，则△ABC的形状是（）

A．直角三角形B．等腰三角形

C．等腰三角形或直角三角形D．等腰直角三角形

例11．已知，是单位向量，，若向量满足，则的

取值范围为（）

A．B．C．D．

例12．ABC

∆的外接圆的圆心为O，两条边上的高的交点为H，

()

OH m OA OB OC

=++，则实数m=________

六、面积法

例13．已知O是△ABC内一点，，则△AOB与△AOC的面积的比值

为．

七、射影法

例14．已知P为△ABC的外心，且||=4，||=2，则•BC等于．

例15.已知O为△ABC的外心，的最大值为（）A．B．C．D．

“四心”问题

1、重心——三角形的三条中线的交点；

2、垂心——三角形的三条垂线的交点；

3、内心——三角形的三个内角角平分线的交点（三角形内切圆的圆心）；

4、外心——三角形的三条垂直平分线的交点（三角形外接圆的圆心）

根据概念，可知各心的特征条件．比如：重心将中线长度分成2：1；垂线与对应边的向量积为0；角平分线上的任意点到角两边的距离相等；外心到三角形各顶点的距离相等．

与三角形的“四心”有关的一些常见的重要的向量关系式有： ① 设()+∞∈,0λ，则向量)(

AC AC AB AB +

λ必平分∠BAC ，该向量必过△ABC 的内心;

② 设()+∞∈,0λ，则向量)(

AC

AC AB

AB -λ必平分∠BAC 的邻补角

③ 设()+∞∈,0λ，则向量)cos cos (

C

AC AC B

AB AB +λ必垂直于边BC ，该向量必通过

△ABC 的垂心

④ △ABC 中AC AB +一定过BC 的中点，通过△ABC 的重心 ⑤ 点O 是△ABC 的外心 2

2

2

OC OB OA ==⇔ ⑥ 点O 是△ABC 的重心 0=++⇔OC OB OA

⑦ 点O 是△ABC 的垂心 ⇔ OA OC OC OB OB OA ⋅=⋅=⋅

⇔2

22222AB OC CA OB BC OA +=+=+

⑧ 点O 是△ABC 的内心 0=⋅+⋅+⋅⇔OC c OB b OA a (其中a 、b 、c 为△ABC 三

边)

-⋅=-⋅=-⋅⇔|

|(

)|

||

|(

)|

||

|(

CA CA OC BC BC BA BA OB AC AC AB AB OA )|

|CB CB 0=

⑨ 设O 为△ABC 所在平面内任意一点，G 为△ABC 的重心，

则有)(31

OC OB OA OG ++= 并且重心G （X A +X B +X C 3 ，Y A +Y B +Y C 3 ）

例1 已知O 是平面上一 定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足：

，则P 的轨迹一定通过△ABC 的 （ ）

Ａ 外心 Ｂ 内心 C 重心 D 垂心

例2 P 是△ABC 所在平面上一点，若，则P 是△ABC

的（ ）.

A ．外心

B ．内心

C ．重心

D ．垂心 例3 已知P 是△ABC 所在平面内的一动点，且点P 满足

，则动点P 一定过△ABC 的〔 〕.

A 、重心

B 、垂心

C 、外心

D 、内心 四、 外心问题

例4 已知O 是△ABC 内的一点，若

，则O 是△ABC 的〔 〕.

A ．重心 B.垂心 C.外心 D.内心

练习

1：已知O 为三角形ABC 所在平面内一点，且满足

AB OC CA OB BC OA =+=，则点O 是三角形ABC 的（ ）

（A ）外心 （B ）内心 （C ）重心 （D ）垂心

2：设O 是平面上一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三点， 动点P 满足)cos cos (

C

AC AC B

AB AB OA OP +

+=λ，()+∞∈,0λ，则动点P 的轨迹一

定通过△ABC 的（ ）

（A ）外心 （B ）内心 （C ）重心 （D ）垂心

3、已知向量123,,OP OP OP 满足条件1230OP OP OP ++=，123||||||1OP OP OP ===，求证：123PP P △是正三角形．

4、ABC ∆的外接圆的圆心为O ，两条边上的高的交点为H ，

()OH m OA OB OC =++，则实数m = ．