必修四第一章三角函数复习与小结

年级高一学科数学版本苏教版

课程标题必修四第一章三角函数复习与小结

编稿老师王东一校林卉二校黄楠审核王百玲

一、考点突破

1. 三角函数的概念

三角函数的概念多在选择题或填空题中出现，主要考查三角函数的意义、三角函数值符号的选取和终边相同的角的集合的运用。

2. 同角三角函数的基本关系式及诱导公式

此处主要考查公式在求三角函数值时的应用，考查利用公式进行恒等变形的技能，以及基本运算能力，特别突出算理、算法的考查。

3. 三角函数的图象与性质

三角函数的图象是三角函数概念和性质的直观形象的反映，要熟练掌握三角函数图象的变换和解析式的确定及通过图象的描绘、观察，讨论函数的有关性质。

4. 三角函数的应用

主要考查由解析式作出图象并研究性质，由图象探求三角函数模型的解析式，利用三角函数模型解决最值问题。

三角函数来源于测量学和天文学。在现代科学中，三角函数在物理学、天文学、测量学以及其他各种技术学科中有着广泛的应用。三角函数是进一步学习其他相关知识和高等数学的基础。

本章主要利用数形结合的思想。在研究一些复杂的三角函数时要应用换元法的思想，还要注意化归的思想在三角函数式化简求值中的应用，主化归的思想要包括以下三个方面：化未知为已知；化特殊为一般；等价化归。

二、重难点提示

重点：角的概念的扩展及任意角的概念、弧度制、正弦、余弦和正切函数的图象与性质、“五点法”作图、诱导公式、函数y＝Asin（ωx＋φ）的图象与正弦函数y＝sinx的图象间的关系、同角三角函数的基本关系。

难点：三角函数的概念、弧度制与角度制的互化、三角函数性质的应用、由正弦函数到y＝Asin（ωx＋φ）的图象变换、综合运用三角函数的公式进行求值、化简和证明等。

一、知识脉络图：

二、知识点拨：

1. x y sin =与x y cos =的周期是π。

2. )sin(ϕω+=x y 或)cos(ϕω+=x y （0≠ω）的周期为ω

π

2=T 。

3. 2

tan

x

y =的周期为2π。 4. )sin(ϕω+=x y 的对称轴方程是2

π

π+=k x （Z k ∈），对称中心为

（0,πk ）；

)cos(ϕω+=x y 的对称轴方程是π

k x =（Z k ∈），对称中心为

（0,2

1ππ+k ）；

)tan(ϕω+=x y 的对称中心为（0,2

π

k ）。

5. 当αtan ·

1tan =β时，)(2

Z k k ∈+=+π

πβα；

当1tan tan -=⋅βα时，()2

k k Z π

αβπ-=+∈

6. 函数

x y tan =在R 上为增函数。（×）

[只能在某个单调区间上单调递增。若在整个定义域上，则x y tan =为增函数的说法同样也是错误的。]

7. x y sin =不是周期函数；x y sin =为周期函数（π=T ）；

Y=cos|x|

x y cos =是周期函数（如图）；y=|cosx|x y cos =为周期函数（π=T ）；

随堂练习：函数f （x ）=sinx•（cosx-sinx ）的最小正周期是（ ） A.

4π B. 2

π

C. π

D. 2π 解：∵f （x ）=sinx•（cosx-sinx ）=sinxcosx-sin 2

x =

21（sin2x+cos2x ）-21=22sin （2x+4π）－2

1

∴T=π 故选C ．

知识点一：三角函数的概念

例题1 设角α属于第二象限，|cos

2α|＝－cos 2α，试判断角2

α

属于第几象限？ 思路导航：首先应根据α所属象限确定出2α所属的象限，然后再由－cos 2

α

≥0，

cos 2

α

≤0确定最终答案，要点就是分类讨论。

答案：因为α属于第二象限，所以2kπ＋2

π

＜α＜2kπ＋π（k ∈Z ），

∴kπ＋4π＜2α＜kπ＋2

π

（k ∈Z ）。

当k ＝2n （n ∈Z ）时， 2nπ＋4π＜2

α＜2nπ＋2π

（n ∈Z ）。 ∴

2

α

是第一象限角； 当k ＝2n ＋1（n ∈Z ）时， 2nπ＋π45＜2α＜2nπ＋π2

3

（n ∈Z ）。

∴

2

α

是第三象限角。 又由|cos 2α|＝－cos 2α≥0⇒cos 2

α

≤0。

所以2α应为第二、三象限角或终边落在x 轴的负半轴上。综上所述，2

α

是第三象限的角。

点评：由α所在象限，判断诸如

2α，3

α，4α

等角所在的象限时，一般有两种办法：

一种是利用终边相同的角的集合的几何意义，采用数形结合的办法确定2α，3

α，4α

所属

的象限；另一种办法就是将k 进行分类讨论。一般来说，分母是几就应分几类去讨论。

知识点二：同角三角函数基本关系式及诱导公式

例题2 （1）已知π＜α＜2π，cos （α－7π）＝5

3

-，求sin （3π＋α）与tan （α－

2

7π

）的值； （2）已知2＋sinAcosA ＝5cos 2A ，求tanA 的值；

（3）已知sinα＋cosα＝5

1

，且α∈（0，π），求sin 3α－cos 3α的值。 答案：（1）∵cos （α－7π）＝－cosα＝5

3

-，

∴cosα＝5

3

。

又π＜α＜2π， ∴

23π＜α＜2π，sinα＝－5

4， sin （3π＋α）＝－sinα＝54，tan （α－2

7π）＝

.435

453sin cos )

27cos()

27

sin(==-=--ααπαπα （2）将已知式化为2sin 2A ＋2cos 2A ＋sinA·cosA ＝5cos 2A ，

∵cosA≠0，

∴2tan 2A ＋tanA －3＝0，tanA ＝1或tanA ＝－

2

3。 （3）sinαcosα＝21)cos (sin 2-+αα＝25

12

-，

∵α∈（0，π），

∴sinα＞0，cosα＜0， ∴sinα－cosα＞0，

∴sinα－cosα＝5

7cos sin 21=

-αα， ∴sin 3α－cos 3α＝57×（12512-）＝125

81

。

点评：形如asinα＋bcosα和asin 2α＋bsinαcosα＋ccos 2α的式子分别称为关于sinα、cosα

的一次齐次式和二次齐次式，对它们涉及的三角式的变换常有如上的整体代入方法可供使用。