第十一讲 非线性微分方程定性 与稳定性理论(1)

t → +∞
{
}
定义3: 定义3: 若 ∃ε 0 > 0 对 ∀δ > 0 ，∃ x 0尽管 x0 ≤ δ ， 但由初始条件 x (t0 ) = x0 确定的解 x (t ) ,总存在某 个时刻 t1 > t0 使得
x (t1 ) ≥ ε 0
则称（3）式的零解 x = 0是不稳定的。 是不稳定的。 则称（
(a)
A > 0, B > 0
t
0
ε
y′ > 0
(b )
A < 0, B < 0
二、相平面
本节主要讨论二阶线性方程
dx dt = ax + by dy = cx + dy dt
的奇点及其分类
a b ≠0 c d
一般二阶微分方程组的相关概念和性质
dx = X (t; x , y ) dt dy = Y (t; x , y ) dt
0
则称（3）式的零解 x = 0 是稳定的。 是稳定的。 则称（ 若（3）式的零解稳定,且 ∃δ0 >0 使得当 x0 ≤ δ 0时, 式的零解稳定, 由 x (t0 ) = x0 确定的解 x ( t )有 则称零解 x = 0 是渐近稳定的. 是渐近稳定的.
t → +∞
lim x ( t ) = 0
x = y − ϕ (t ) ɺ ɺ ɺ ⇒ x = y − ϕ (t ) = g (t ; y ) − g (t ;ϕ (t )) =g (t ; x + ϕ (t )) − g (t ;ϕ (t )) ≡: f (t ; x )
ɺ x = f (t ; x )
f (t ;0) = 0
得到
(3)
例题 1
ɶ ɶ g (t ; y ) − g (t ; y ) ≤ L y − y
L 称为利普希茨常数，范数定义为 称为利普希茨常数，范数定义为
n
y =
∑y
i =1
2
i
Liapunov意义下某个特解稳定性的定义 Liapunov意义下某个特解稳定性的定义 一个事实： 一个事实：任意一个微分方程的某个特解都 对应另一个微分方程的零解。 对应另一个微分方程的零解。 事实上, 事实上,设 y = ϕ (t ) 为（1）式的特解，令 式的特解，
或其向量形式 其中
ɺ y = g (t ; y )
(1)
T
T
y = [ y1
g = [ g1
y2 ⋯ yn ]
g2 ⋯ gn ]
注:
对 n 阶方程
z ( n ) = g (t ; z , z ',⋯ , z ( n −1) )
可取变换
(2)
y1 = z , y2 = z ′,⋯ , yn = z ( n −1)
ɺ y = Ay − By
2
A x= y− B
A y = B
ɺ = − Ax − B x 2 x
x=0
由上述事实,只需定义（ 由上述事实,只需定义（3）式零解的稳定 性
定义1: 定义1:如果对 ∀ε > 0, ∃δ (ε , t0 ) > 0 使得对任意的 x 0 1:如果对 满足 x ≤δ
0
时,（3）式的由初值 x ( t 0 ) = x 0 确定的解 x ( t ) 均 有 x (t ) < ε , t ≥ t
dt
驻 定 方 程 组
自 治 方 程 或
dx = X (x, y) dt dy = Y (x, y) dt
(5 )
解：对非自治方程（4）式来说，结论是否定的， 对非自治方程（ 式来说，结论是否定的， 但对自治方程（ 式来说，结论是肯定的。 但对自治方程（5）式来说，结论是肯定的。 两个概念 常点: 常点:（5）式右端函数 X ( x, y ), Y ( x, y )不同时为 零的点。 零的点。 奇点(平衡点) 奇点(平衡点)：（5）式右端函数 X ( x, y ), Y ( x, y ) 同时为零的点。 同时为零的点。
°
A A 3 y0 > , y ց, lim y = t →+∞ B B
°
A < 0, B < 0 情形
A 1 A 1 y0 > , y ր, lim y = +∞ t0 = ln(1 − ) t →t 0 B A By0
°
A 2 0<y0 < , y ց, lim y = 0 t →+∞ B
t
x = x (t ) y = y (t )
轨道
0
y
x
⋅ P( x , y ) 0 0
问题：积分曲线是不相交的，两条轨道相交吗？ 问题：积分曲线是不相交的，两条轨道相交吗？ 非 dx 自 d t = X (t; x , y ) 治 (4 ) 方 程 d y = Y (t; x , y )
微分方程解的稳定性严格定义: 微分方程解的稳定性严格定义: 考虑微分方程组
ɺ y1 = g 1 ( t ; y1 , y 2 , ⋯ , y n ) ɺ y 2 = g 2 ( t ; y1 , y 2 , ⋯ , y n ) ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ y n = g n ( t ; y1 , y 2 , ⋯ , y n ) ɺ
以上两方程Cauchy问题解存在唯一， 以上两方程Cauchy问题解存在唯一，而 问题解存在唯一 该两方程的解曲线即为（ 式的轨线。 该两方程的解曲线即为（5）式的轨线。
⋅⋅
⋅⋅
P ⋅
⋅⋅
⋅⋅
常点附近的轨道结构：与一族平行线同胚 常点附近的轨道结构：
dy = Ay dt
dy = Ay − By 2 dt
Logistic方程 Logistic方程
Logistic方程 Logistic方程
dy = Ay − By 2 , y(0) = y0 dt
两个常数解(平衡解): 两个常数解(平衡解):
A y1 ( t ) = 0, y 2 ( t ) = B
定义2: 定义2:
若（3）式的零解 x = 0 渐近稳定， 渐近稳定，
当且仅当 x0 ∈ D0 时,由初始条件 x (t0 ) = x0 确 定的解 x ( t ) 均有
t → +∞
lim x ( t ) = 0
则称 D0 为零解 x = 0的稳定域或吸引域。 的稳定域或吸引域。 若它的吸引域为全空间, 若它的吸引域为全空间,即 δ0 = +∞ ,则称零 是全局渐近稳定的. 解 x = 0 是全局渐近稳定的. 注: D0 = x0 | lim x (t ; t 0 , x0 ) = 0
图示(以平面为例) 图示(以平面为例)
ε δ o
ε δ o
δ
ε0
(a)稳定 (a)稳定 图
(b)渐近稳定 (b)渐近稳定 (3)式零解的稳定性态 (3)式零解的稳定性态
(c)不稳定 (c)不稳定
积分曲线图: 积分曲线图:
y
y′ < 0
y′ > 0
y
y′ > 0 y′ < 0
t
A B
0
A B
y′ < 0
°
3 y0 < 0, y ր, lim y = 0
t →+∞
°
积分曲线图: 积分曲线图:
y
y′ < 0
y
A B
y′ > 0
A B
y′ > 0
y′ < 0
0
y′ < 0
t
0
y′ > 0
t

(a)
A > 0, B > 0
(b )
A < 0, B < 0
结论: 结论:
A • 对情形(a), 初值取在 附近的解当 t →+∞ 时, 对情形(a), B A
19世纪末20世纪初 19世纪末 世纪初 世纪末20 Poincare(法国 Poincare(法国) 法国) 创立微分方程定性理论
Liapunov(俄国 Liapunov(俄国) 创立微分方程稳定性理论 俄国) 引例 Logistic方程(虫口模型) Logistic方程 虫口模型) 方程( Multhus模型 Multhus模型
第十一讲 非线性微分方程定性 与稳定性理论(1) 与稳定性理论(1)
宁波大学 陶祥兴等 编
高 等 教 育 电 子 音 像 出 版 社
本节内容提要
一、基本概念 二、相平面 三、按线性近似决定微分方程的稳 定性
一、基本概念
1.自然界绝大部分现象是非线性现象， 1.自然界绝大部分现象是非线性现象，非线 自然界绝大部分现象是非线性现象 性现象是一种非常复杂的现象。 性现象是一种非常复杂的现象。 2.绝大部分微分方程不能用初等积分法来解。 2.绝大部分微分方程不能用初等积分法来解。 绝大部分微分方程不能用初等积分法来解 3.线性问题是非线性问题的基础 3.线性问题是非线性问题的基础,在一定条件 线性问题是非线性问题的基础, 下，非线性问题在局部可以转化为线性问题 来讨论。 来讨论。非线性问题的大范围分析仍然是一 个难题。 个难题。
化为（1）式的特殊形式 化为（
ɺ y1 = y 2 y = y ɺ2 3 ⋯ ⋯ ⋯ y ɺ n −1 = y n y n = g (t ; y1 , y 2 ,⋯ , y n ) ɺ
问题: 问题:（1）式的解存在唯一吗？解能延拓吗？解 式的解存在唯一吗？解能延拓吗？ 对初值、参数有连续依赖性和可微性吗？ 对初值、参数有连续依赖性和可微性吗？ 当向量值函数 g ( t ; y )满足下面的Lipschitz 满足下面的Lipschitz 条件时，上述问题的回答是肯定的。 条件时，上述问题的回答是肯定的。这一点从 前面的基本定理可以推得。 前面的基本定理可以推得。
A 是稳定的; 逐渐靠近 B ，这时我们称 是稳定的; B
而初值取在 0 附近的解当 t →+∞ 时,逐渐远 是不稳定的。 离 0 ,这时我们称 0 是不稳定的。 • 对情形(b)，情况刚好相反。 对情形(b) 情况刚好相反。 (b)，
解的稳定性的理论意义和实际意义 1.解特别是平衡解和周期解的稳定性对大范围 1.解特别是平衡解和周期解的稳定性对大范围 轨道结构分析具有重要意义。 轨道结构分析具有重要意义。 2.实际的设计方案是按照某个特解设计的， 2.实际的设计方案是按照某个特解设计的，由 实际的设计方案是按照某个特解设计的 于初值的计算和测量都不可避免地出现误差， 于初值的计算和测量都不可避免地出现误差， 为使我们的设计不受初值误差的干扰， 为使我们的设计不受初值误差的干扰，该特 解必须是稳定的，否则， 解必须是稳定的，否则，该设计方案没任何实 际意义。即所谓的“差之毫厘，谬以千里” 际意义。即所谓的“差之毫厘，谬以千里”。
容易得到满足初值条件的特解为
y= A A − At B + − Be y0
讨论: 讨论: A > 0, B > 0 情形
1 A 1 y0 < 0, y ց, lim y = −∞ t0 = ln(1 − ) t →t0 A By0
°
A A 2 0<y0 < , y ր, lim y = t →+∞ B B
(4 )
积分曲线： 积分曲线：（4）式的一个解 x = x ( t ) , y = ( t )， 三位空间决定的曲线成为（ 在 t , x, y 三位空间决定的曲线成为（4）式的 一条积分曲线。 一条积分曲线。
基本事实:不同的积分曲线是不相交的，否则， 基本事实:不同的积分曲线是不相交的，否则， 与解的存在唯一性矛盾。 与解的存在唯一性矛盾。
t
x = x (t ) y = y (t )
积分曲线
y
x
⋅ P( x0 , y0 )
相曲线(或称轨道) 相曲线(或称轨道) :将 t 视为参数,仅在 x , y 二 视为参数, 维空间描述（ 维空间描述（4）式的解 x = x(t ), y = y(t ) 所得的 曲线称为相曲线或轨道. 曲线称为相曲线或轨道. 积分曲线
在常点处
dy Y ( x, y ) = = f1 ( x, y ), X ( x, y ) ≠ 0 dx X ( x, y )
dx X ( x, y ) = = f 2 ( x, y ), Y ( x, y ) ≠ 0 dy Y ( x, y )
f1( x, y), f2 ( x, y) 与 X (x, y),Y(x, y) 有同样的连续 性和可微性。 性和可微性。
问题：该方程的其它解与这两个平衡解有何关 问题： 具体地说， 系？具体地说，初值在两个平衡解附近的解的 长期行为怎样？这就是解的稳定性问题。 长期行为怎样？这就是解的稳定性问题。
现在假设
A y ≠ 0, , B
那么
dy = dt ⇒ 1 + B dy = Adt y ( A − By ) y A − By ⇒ ln y − ln A − By = At + c