专题10 数列与不等式的综合问题

第二章 数列与不等式

专题10 数列与不等式的综合问题

【压轴综述】

纵观近几年的高考命题，考查常以数列的相关项以及关系式，或数列的前n 项和与第n 项的关系入手，结合数列的递推关系式与等差数列或等比数列的定义展开，求解数列的通项、前n 项和，有时与参数的求解、数列不等式的证明等加以综合．数列与不等式的结合,一般有两类题:一是利用基本不等式求解数列中的最值;二是与数列中的求和问题相联系,证明不等式或求解参数的取值范围,此类问题通常是抓住数列通项公式的特征,多采用先求和后利用放缩法或数列的单调性证明不等式,求解参数的取值范围. 本专题通过例题说明此类问题解答规律与方法.

①函数方法：即构造函数，通过函数的单调性、极值等得出关于正实数的不等式，通过对关于正实数的不等式特殊赋值得出数列中的不等式；

②放缩方法：数列中不等式可以通过对中间过程或者最后的结果放缩得到； ③比较方法：作差或者作商比较．

【压轴典例】

例1.（2013·全国高考真题（理））设△A n B n C n 的三边长分别为a n ,b n ,c n ，△A n B n C n 的面积为S n ，n=1,2,3,… 若b 1＞c 1，b 1＋c 1＝2a 1，a n ＋1＝a n ，b n ＋1＝2n n c a +，c n ＋1＝2

n n

b a +，则( ) A ．{S n }为递减数列 B ．{S n }为递增数列

C ．{S 2n －1}为递增数列，{S 2n }为递减数列

D ．{S 2n －1}为递减数列，{S 2n }为递增数列

例2. （2018·江苏高考真题）已知集合*

{|21,}A x x n n N ==-∈，*

{|2,}n

B x x n N ==∈．将A

B 的

所有元素从小到大依次排列构成一个数列{}n a ．记n S 为数列{}n a 的前n 项和，则使得112n n S a +>成立的n 的最小值为________．

例3. （2018·浙江高考模拟）设数列的前项和分别为，其中

，使

成立的最大正整数__________,

__________．

例4.（2019·江西师大附中高考模拟（文））数列{}n a 中的项按顺序可以排成如图的形式，第一行1项，排

1a ；第二行2项，从左到右分别排2a ，3a ；第三行3项，……依此类推，设数列{}n a 的前n 项和为n S ，则

满足2019n S >的最小正整数n 的值为（ ）

A ．20

B ．21

C ．26

D ．27

例5.（2019·内蒙古高考模拟（理））数列()

1

1n a n n =+的前n 项和为n S ，若1S ，

m S ，n S 成等比数列()1m >，则正整数n 值为______.

例6.（2016·天津高考真题（理））已知{}是各项均为正数的等差数列，公差为d ，对任意的，是

和的等比中项.

（Ⅰ）设

求证：数列{}是等差数列；

（Ⅱ）设求证：

例7.（2016·四川高考真题（理））已知数列{}的首项为1，为数列{}的前n 项和，，

其中q>0，.

（Ⅰ）若

成等差数列，求数列{a n }的通项公式；

（Ⅱ）设双曲线的离心率为，且，证明：.

例8.（2016·浙江高考真题（理））设数列满足，．

（Ⅰ）证明：，；

（Ⅱ）若

，

，证明：

，．

【压轴训练】

1.（2019·安徽高考模拟（理））设

是等差数列，下列结论一定正确的是（ ）

A ．若，则

B ．若，则

C ．若

，则

D ．若

，则

2．（2018·浙江高考模拟）已知等差数列的前项和是，公差不等于零，若

成等比数列，则

A ．

B ．

C ．

D ．

3．（2019·山东高考模拟（文））已知正项等比数列{}n a 满足5432a a a +=，若存在两项m a ，n a

，使得

1a =，则

91

m n

+的最小值为__________． 4．（2019·湖南师大附中高考模拟（理））已知等比数列{a n }的前n 项积为T n ，若124a =-，489

a =-，则当T n 取最大值时，n 的值为_____.

5．（2019·安徽高考模拟（理））已知数列

的各项均为正数，记为的前项和，若

，

，则使不等式

成立的的最小值是________.

6．（2019·甘肃天水一中高考模拟（文））已知数列{}n a 满足11a =，0n a >

1=，那么32n a <成立的n 的最大值为______

7．（2019·河北高考模拟（理））已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()2

119*2

n n n n

S S n N +-+=∈，若

24a <-，则n S 取最小值时n =__________.

8．（2019·河南高考模拟（理））记首项为11(0)a a >，公差为d 的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若

121

2

a d =-，且1n n n S a S λ+≤+，则实数λ的取值范围为__________． 9．（2019·四川重庆南开中学高考模拟（理））在正项递增等比数列{}n a 中，51a =，记12...n n S a a a =+++，12111

...n n

T a a a =

+++，则使得n n S T ≤成立的最大正整数n 为__________． 10．（2017·吉林高考模拟（理））已知数列{}n a 满足()

113

,31.2

n n a a a n N *+==-∈ （1）若数列{}n b 满足1

2

n n b a =-

，求证：{}n b 是等比数列；