数学期望

概率论与数理统计

数学期望在经济中的应用

班级：电子信息工程2班

小组成员：李建辉201208102069

刘廷201208102068

姚立志201208102045

刘卫超201208102057

李艳东201208102064

贾辉201208102081

指导教师：边学军

时间：2013~2014第二学期

数学期望在经济中的应用

[摘要]

文章通过实例介绍了数学期望在减少工作量、选择最优存储量、选择最佳进货量、总利润最大问题等方面的应用，说明了数学期望在经济决策中的重要作用．[关键词] 数学期望经济决策应用

概率论是从数量上研究随机现象统计规律性的学科，而随机变量的分布函数能够全面地反映随机变量的统计规律性．但在诸多的经济管理或决策工作中，一方面由于求出随机变量的分布函数并非易事，而且对于某些实际问题来说，并不需要对随机变量进行全面的描写，只需知道能够反映随机变量的某些重要的数字特征即可．数学期望是反映随机变量总体取值的平均水平的一个重要的数字特征，它在经济决策工作中有着广泛的应用，为决策者做出最优决策提供重要的理论依据。

一、数学期望的概念

定义1（1）设离散型随机变量X的概率分布为P{X=xk}=pk，k=1,2,…，若级数绝对收敛，则称级数为离散型随机变量X的数学期望(或均值),记为EX,即。若级数发散,则称随机变量X的数学期望不存在；（2）设连续型机变量X的概率密度函数为f(x)，若积分绝对收敛，则称其为连续型随机变量X的数学期望或均值,记为E(X),

定义2设Y为随机变量X的函数:Y=g(X)(g是连续函数)，（1)X是离散型随机变量，分布律为P{X=xk}=pk，k=1,2,…,若级数绝对收敛，则有（2)X是连续型随机变量，概率密度函数为f(x)，若积分绝对收敛，则有

二、数学期望的应用

1.期望值问题

例1一商场共有16层楼,设有10位顾客在一层进入电梯,每位乘客在楼上任何一层出电梯是等可能的，且各乘客是否出电梯相互独立,求直到电梯中的乘客出空为止电梯需停次数X的期望值。

解:引入计数随机变量

则有X=X2+X3+…＋X16。

由题意，每一个人在任何一层出电梯的概率为1/15,若10个人同时不在第i 层出电梯，那么电梯在该层就不停，而此时的概率为

因此，进而

2.减少工作量

例２某商场对员工(N人)进行体检，其中普查某种疾病需要逐个验血，一般来说，若血样呈阳性，则有此种疾病;呈阴性则无此疾病．逐个验血需要N次，

若N很大，验血的工作量也很大．为了能减少验血的工作量，有人提出想法:把k(k＞1)个人的血样混合后再检验，若呈阴性，则k个人都无此疾病，这时k个人只需作一次检验；若呈阳性，则对k个人再分别检验，这时为弄清谁有此种疾病共需检验k+1次．若该商场员工中患此疾病的概率为p，且各人得此病相互独立，那么此种方法能否减少验血次数？若能减少，那么能减少多少工作量？

解:令X表示该商场每人需要验血的次数，那么X是只取２个值的随机变量，其分布律为

则每人平均验血次数为

而新的验血方法比逐个验血方法平均能减少验血次数为1－EX＝只要EX＜1,就能减少验血的工作量。例如,当p=0.1，k=2时,这时1-EX=0.92-0.5=0.31(次），若商场有员工10000人，则可减少3100次，即减少31%的工作量。

3.选择最优存储量

例3春节期间一商场某种食品的进价为65元/千克,零售价为70元/千克，若卖不出去,则削价20%处理,如供应短缺,有关部门每千克罚款10元。已知顾客对该食品的需求量X服从[20000，80000]上的均匀分布,求该商场在春节期间对该食品的最优存储策略。

解:设存储量为y，则20000≤y≤80000，存储量为y时所得利润为

需求量X服从均匀分布，其密度函数为

则期望利润为

令可得y=57500，即当存储量为57500千克时，期望利润最大，且最大期望利润为81250元。

4.选择最佳进货量

例4设某种商品每周的需求量X是服从区间[10，30]上均匀分布的随机变量，而经销的商场进货数量为区间[10，30]中的某一整数．商场每销售一单位商品可获利500元；若供大于求则削价处理，每处理一单位商品亏损100元；若供不应求，则可从外部调剂，此时每一单位商品仅获利300元．为使商场所获利润期望值不少于9280元，试确定最少进货量。

解:设进货量为a，利润为Y，则利润函数为

X的概率密度函数为

根据随机变量函数的数学期望，有

令-7.5a2+350a+5250≥9280,

即解得在此范围内a取最小的整数21。

以上两个问题属于随机存储模型，由于需求量是随机变量，在知道其概率分布的前提下，构造利润函数（它是随机变量的函数）也是随机变量，根据期望利润最大，确定最佳定货量或最佳存储量．这类问题为随机存储决策提供依据。

5.总利润最大

例 5 设某商场正在与一出版社联系订购下一年的挂历问题，已知的有关条

件如下：零售价80元/本，挂历的进价50/本．若当年的12月31日以后挂历尚未售出，该商场不得不降价到20元/本全部销售出去．根据该商场以往10年的销售情况，可知需求概率如下:在当年12月31日以前只能售出150本、160本、170本和180本的概率分别为0.1、0.4、0.3、0.2．根据以上条件，该商场应订购多少本挂历，可使期望利润最大？

解:显然，订购的数量应在150本至180本之间．该商场的订购方案有150本、160本、170本和180本，且各种订购方案的获利都是随机变量，记X1,X2,X3,X4分别表示这四种订购方案所获得的利润。根据购进、售出的数量可得如下利润表(单位:百元）:

各订购方案的期望利润分别为

根据期望利润最大的原则，应选择期望利润最大的订购方案，即订购160本或170本．

这种决策是建立在风险中性的基础上的，风险中性的决策者认为：1单位期望利润等于1单位确定利润。在销售市场上，机会与风险并存，不愿冒风险也不可能博取高额利润。因此，对于风险型决策往往持风险中性态度，以期望利润最大原则进行决策．由于需求的不确定性，各种订购方案的利润都是随机变量，随机变量的期望值反映了它的平均水平，即期望利润；随机变量的方差反映了它取值的不确定性，因此反映了经销的风险．在期望利润相等（或很近似）的情况下，应选择利润方差（风险）最小的方案。由于订购160本和170本的期望利润相等，又是期望利润最大的方案，我们应从中选择获利方差较小的方案。由于EX22=2250，EX32=2262.2，

则DX2=3.24＜DX3=15.84,

所以，订购160本挂历是最优方案．

这类问题是根据期望利润最大的原则进行决策，是建立在风险中性的基础之上，也是风险型决策的前提．如果有两个以上的方案都能够使得期望收益达到最大，那么就应该比较收益的方差（风险）,风险较小者较优．所以，在风险决策问题中，应综合考虑收益的期望和方差，将超额收益（超过无风险收益的部分）作为承担风险的补偿，选择最优的方案才是最合理的。

参考文献:

茆诗松等:概率论与数理统计[M].北京:中国统计出版社，2000

杨金英新编概率论与数理统计内蒙古大学出版社2010