数字信号处理-答案第八章

y (8) y (7) QR [0.75 y (6)] 0.125 QR [0.75 0.25] 0.125 y (9) y (8) QR [0.75 y (7)] 0.125 QR [0.75 0.125] 0.25 y (10) y (9) QR [0.75 y (8)] 0.25 QR [0.75 ( 0.125)] 0.125

3. A / D变换器的字长为 b, 其输出端接一网络 , 网络的单位 抽样响应为 : h(n) a n a u (n)
n


试求网络输出的 A / D 量化噪声方差 2 f 。
分析： 量化噪声方差为
量化噪声方差
e2 通过线性系统其输出
为
2 f
Biblioteka Baidu
解:
2 f

2 e
h
, 量化后有：
^ ^ ^ y ( n ) x ( n ) y ( n 1) Q R [ a y ( n 2)] ( 3)
根据舍入定义：
^ 1 b Q R [ ay ( n 2)] a y ( n 2) 2 2 ^ ^ x ( n ) 0 时, 若 Q R [ a y ( n 2)] y ( n 2)（4）
y (5) 0.0004882812 5

y ( 4) 0

y (5) 0



未作量化处理 ,当n 时，y ( n ) 0 ， 作截尾量化后， n 2 时 y （n） 0
5
解( d )： 对图p8 （ 2 a）进行舍入量化

y (0) x 0 0.5 （0.1000 ） 2 ，
y ( 4) 0.625
y (5) 0.625

^
y (5) 0.666503906

2 , 3
当n较大时, 未作量化处理时 y ( n )
作截尾处理时 y ( n )

5 8
y (n)
1 y ( n 1) x ( n ) 4

截尾量化后, y (0) x (0) 0.5 ， 未量化时 , y (0) x (0) 0.5
n0

2
2 ( n) e
1 dz H ( z ) H ( z 1 ) 。 c 2j z

2 2 2 f e h (n ) n 0

6
e2 [a n ( a )n ]2
n 0

e2 [a 2 n 2( a 2 ) n a 2 n ]




y ( 4) y (3) QR [0.75 y ( 2)] 0.375 QR [0.75 ( 0.25)] 0.125


y (5) y ( 4) QR [0.75 y (3)] 0.125 QR [0.75 ( 0.375)] 0.125 y (6) y (5) QR [0.75 y ( 4)] 0.125 QR [0.75 ( 0.125)] 0.25 y (7) y (6) QR [0.75 y (5)] 0.25 QR [0.75 0.125] 0.125
此即发生零输入极限环 振荡的条件 , 等效 为a 1，代入极点 Z1,2的表达式中可知， Z1 Z 2 1，即系统极点将出现在 单位 圆上，进入极限环振荡 。将(3)代入 (4)得：
n 0

1 1 ] 2 1 a 1 a2 4 e2 4 2 1 a 4 1 a 4 12 2 2 b 3(1 a 4 ) 2 e2 [
4．设数字滤波器 H ( z )
0.06 0.06 1 2 1 0.6 z 0.25z 1 a1 z 1 a2 z 2

3
(b)系统用定点算法实现。 .网络中的系数和所有变 量都用5 位寄存器表示成原码 , 即 s 为符号位 , 寄存器值 a 2 1 b 2 2 c 2 3 d 2 4 , 其中a, b, c, d 是 1 或 0 。 .乘法的结果作截尾处理 , 即只保留 符号位和前四位.。试计算已量化的 系统对 (a ) 中输入的响应 , 求出未量化系统在 0 n 5 时响应。 问n比较大时如何比较这两 种响应 ? (c)研究P8 2(b)所示系统 , 其输入为 1 n (1) , n 0 x ( n) 2 重作(a ), (b). n0 0, (d )当尾数采用舍入处理时 , 重作(b), (c).

截尾量化后, y (0) x (0) 0.5 未量化, y (0) x (0) 0.5


y (1) 0.125
y (1) 0.125
y ( 2) 0.03125
y ( 2) 0

y (3) 0
y (3) 0.0078125
y ( 4) 0.001953125



8
故从 n 4 进入极限环 , n 4 到n 9 为一个周期 (以后每 6个点为一个周期 )。 n 3 虽然满足 (1)式条件，也就是说 好象已进入极限环，但 是在极限环内 当n 5 时， y ( n 1) y (6) 及 y ( n 2) y (3) ， 这两点都在现在的所谓 极限环内， 但是

y (1) y (0) QR [0.75 y ( 1)] 0.5 QR [0.75 0.5] 0.125 y ( 2) y (1) QR [0.75 y (0)] 0.125 QR [0.75 0.5] 0.25




y (3) y ( 2) QR [0.75 y (1)] 0.25 QR [0.75 0.125] 0.375
解(c) : H ( z) 1 z 1 1 1 z 1 4 X ( z) 1 1 2 1 z 1
Y ( z ) X ( z ) H ( z )
y (n)
1 2(1 1 z 1 ) 4
1 1 n ( ) u ( n ), 当n较大时, y ( n ) 0 2 4
解 : ( a )依题意 :

y ( n ) y ( n 1) 0.75 y ( n 2) x ( n ) 当 x ( n ) 0 时有：



y ( n ) y ( n 1) 0.75 y ( n 2)



y (0) y ( 1) QR [0.75 y ( 2)] 0.5
4
解 : ( b) 由H ( z )

Y ( z) 1 , 可得 : 1 1 X ( z) 1 z 4
y (1) 0.625
y (1) 0.625
y ( 2) 0.65625

y ( 2) 0.625

y (3) 0.625

y (3) 0.6640625
y ( 4) 0.666015625
^ ^ y ( n 1) y (6) 0.25 ^ ^ y ( n 2) y (3) 0.375
^ ^ ^ ^
即并不满足 ( 2)式。因而 n 3 时，并 未进入极限环振荡。
9
解 : (b) 对原二阶系统 ,当 a 0.25时, 有共轭极点
Z1, 2 1 j 4a 1 2a
7
Q R [a y (n 1)] y ( n 1) 时 对二阶系统，当Q R [a y (n 2)] y (n 2)
^ ^ ^
^
^
(1)
^
再利用原差分方程的量 化关系式可得到： y (n 1) y (n 2)
（2）
公式(1)为进入极限环振荡的条件，公式(2)为在极限环内应满足的 关系。由此看出只有在 n = 4 既满足(1)式，且在极限环内满足(2) 式。

y (0) x 0 0.5 （0.1000 ） 2 ， y (1) 0.125 （0.0010 ） 2 y ( 2) 0.0625 （0.0001 ） 2 ，



y (3) 0 ， y ( 4) 0, n 3 时 , y ( n ) 0,


即当 n较大时 , y ( n ) 0.
利用 a1 , a2 变化造成的极点位置灵敏度，设 a1 , a2 分别造成极 点在正常值的 0.2%,0.3% 内变化，试确定所需的最小字长。
分析：
a2 变化时造成的极点位 注意所给数据 0.2 %、0.3 % 分别是 a1 、
置相对变化，而不是绝对变化。例如对 z1 极点则有
' z1 0.2% z1

y (1) 0.625 （0.1010 ） 2 ，

y ( 2) 0.6875 （0.1011 ） 2 ，

y (3) 0.6875 （0.1011 ） 2 ,

从 y ( 2)以后 , y ( n ) 0.6875, 即当 n较大时 , y ( n ) 0.6875 对图 p8 （ 3 b）进行舍入量化
第八章
数字信号处理中有限字长效应
1. 设数字滤波器的系统函数为：
H ( z) 0.017221333z 1 1 1.7235682 z 1 0.74081822 z 2

现用 8 bit 字长的寄存器来存放其系数，试求此时
该滤波器的实际 H ( z ) 表示式。
分析：
把所有正数用 b+1=8bit 寄存器长度表示，其中第一位 存整数位，后七位用来存小数位。
解: 设8bit字长的寄存器存放无符 号正数 , 第一位用来存整数位 , 后七位用来存 小数 (0.017221333 )10 (0.0000010001 10 ) 2 (0.0000010 ) 2 (0.015625 )10 (1.7235682 )10 (1.1011100100 1 ) 2 (1.1011101 ) 2 (1.7265625 )10 (0.74081822 )10 (0.1011110110 1 ) 2 (0.1011111 ) 2 (0.7421875 )10 H ( z) 0.015625 z 1 1 1.7265625 z 1 0.7421875 z 2
'' （ a1 变化的影响） ， z1 0.3% （ a 2 变化的影响） 。
z1
又 z z1 a ，联立即可求得 1 1
a1
a1 ，同样可求 a2 。
取 min[ a , a ] a ，则有字长 b 满足 2b 2 a 1 2
5.一个二阶IIR滤波器, 其差分方程：y (n) y (n 1) ay(n 2) x(n) 现采用 b 3 位的定点制运算, 作舍入处理. (a) 当系数 a 0.75 , 零输入 x(n) 0 , 初始条件为 y (2) 0 ,
解 : (a ) 1 1 1 z 1 4 1 1 X ( z) 2 1 z 1 Y ( z) X ( z) H ( z) 1 1 2(1 z 1 )(1 z 1 ) 4 2 1 1 1 1 3 1 z 6 1 1 z 1 4 2 1 1 y ( n ) [ ( ) n ]u ( n ) , 3 6 4 2 即当 n较大时 , y ( n ) 3 H ( z)

y (1) 0.5 . 求 0 n 10 的 11 点输出 y (n) 值.


(b) 证明当 QR [a y (n 2)] y (n 2) 时发生零输入极限环振荡, 并用等效极点迁移来解 释这个现象。
分析：
b=3 表示小数是 3 位，加整数位后为 b+1 位定点算法只有相乘才有 舍入量化误差。一阶系统零输入极限环振荡发生在