小学奥数教师版-6-1-4 还原问题(二)

【考点】多个变量的还原问题 【难度】2 星 【题型】解答 【关键词】可逆思想方法
【解析】甲乙两组的沙袋经历了两次交换．第二次交换后两组沙袋相等，又知沙袋总数为 140 只，所以这时 两组各有沙袋 70 只．解答时可以从 70 开始倒推．列表倒推如下：
解决此类问题的关键是找到从哪里开始倒推．因为甲乙两组的沙袋经历了两次交换后数量相等，所
男生数相同，但是因为是围成了一圈，所以刚刚计算人数会被算成了两次，所以按照逆推的原则，
原来有男生 30 人，被计算 30 2=60 （次），所以 60 18 2=21 （次）分成了 21 组。
方法二：60 名学生围成圈，每个人与相邻的同学牵手，那么有 60 对牵着的手，其中男生与女生牵手
的有18 对，假设男生与男生牵手的有 x 人，那么，参与围圈的男生一共有 2x 18 2 x 9 人，所
【答案】甲 260 元， 乙160 元，丙 300 元
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【巩固】 小巧、小亚、小红共有 90 个玻璃球，小巧给小亚 6 个，小亚给小红 5 个，小红给小巧 8 个，他们的 玻璃球个数正好相等．小巧、小亚、小红原来各有多少个玻璃球？
【考点】多个变量的还原问题 【难度】2 星 【题型】解答 【关键词】可逆思想方法 【解析】由已知条件可知，小巧比原来多了 2 个，小亚比原来多了1 个，小红少了 3 个，三人一样多时，都是
还原问题又叫做逆推运算问题．解这类问题利用加减互为逆运算和乘除互为逆运算的道理，根据题意的 叙述顺序由后向前逆推计算．在计算过程中采用相反的运算，逐步逆推．
二、解还原问题的方法
在解题过程中注意两个相反：一是运算次序与原来相反；二是运算方法与原来相反． 方法：倒推法。 口诀：加减互逆，乘除互逆，要求原数，逆推新数． 关键：从最后结果出发，逐步向前一步一步推理，每一步运算都是原来运算的逆运算，即变加为减，变
请；
调整后，两层摆放书的本数相等，上层书架原来摆放________本书,下层书架原来摆放________本书． 【考点】多个变量的还原问题 【难度】4 星 【题型】填空 【关键词】学而思杯，3 年级，第 8 题，可逆思想方法 【解析】还原法
结果：上层 112 本；下层 112 本 上层 56 本；下层 168 本 上层 140 本；下层 84 本 上层 70 本；下层 154 本 上层 147 本；下层 77 本
【考点】多个变量的还原问题 【难度】4 星 【题型】解答 【关键词】可逆思想方法 【解析】我们从最后一步倒着分析．因为第三次是从甲堆拿出棋子放到乙堆，这样做的结果是两堆棋子都是
32 个 ， 因 此 ， 在 未 进 行 第 三 次 移 动 之 前 ， 乙 堆 只 有 32 2 16 (个 ) 棋 子 ， 而 甲 堆 的 棋 子 数 是 32 16 48 (个)，这样再逆推下去，逆推的过程可以用下表来表示，表中的箭头表示逆推的方向．所 以，甲堆原有 44 个棋子；乙堆原有 20 个棋子．
采用列表法非常清楚．
【答案】甲乙两堆棋子原来各有 44 个和 20 个
【巩固】 有一个两层书架，一共摆放 224 本书，先从上层取出与下层本数同样多的书放入下层，再从下层现 有书中，取出与上层剩下的本数同样多的书放入上层，这算进行了一轮调整．若如此共进行了两轮
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【考点】多个变量的还原问题 【难度】2 星 【题型】填空 【关键词】希望杯，4 年级，1 试 【解析】甲得到 4 本，乙失去 1 本，丙失去 2 本，丁失去 1 本后，四个人书一样多，为 280÷4=70，所以甲原
来有 70-4=66 本书 【答案】 66 本书
【例 5】 一群小神仙玩扔沙袋游戏，他们分为甲、乙两个组，共有 140 只沙袋．如果甲组先给乙组 5 只，乙 组又给甲组 8 只，这时两组沙袋数相等．两个组原来各有沙袋多少只?
【答案】原来第一棵树上有 6 只小鸟，第二棵树上有 16 只小鸟，第三棵树上有 14 只小鸟
【巩固】 三棵树上共有 27 只鸟，从第一棵飞到第二棵 2 只，从第二棵飞到第三棵 3 只，从第三棵飞到第一 棵 4 只，这时，三棵树上的鸟同样多．原来每棵树上各有几只鸟？
【考点】多个变量的还原问题 【难度】3 星 【题型】解答 【关键词】可逆思想方法 【解析】三棵树上的鸟同样多的只数： 27 3 9 （只），第一棵数上鸟的只数： 9 4 2 7 （只），第二棵数
请；
【巩固】 3 个笼子里共养了 78 只鹦鹉，如果从第 1 个笼子里取出 8 只放到第 2 个笼子里，再从第 2 个笼子里 取出 6 只放到第 3 个笼子里，那么 3 个笼子里的鹦鹉一样多．求 3 个笼子里原来各养了多少只鹦鹉?
【考点】多个变量的还原问题 【难度】3 星 【题型】解答 【关键词】可逆思想方法 【解析】3 个笼子里的鹦鹉不管怎样取，78 只的总数始终不变．变化后“3 个笼子里的鹦鹉一样多”，可以求出
【答案】甲班原有树 35 棵，乙班原有树 21 棵
【例 6】 有甲、乙两堆棋子，其中甲堆棋子多于乙堆．现在按如下方法移动棋子：第一次从甲堆中拿出和 乙堆一样多的棋子放到乙堆；第二次从乙堆中拿出和甲堆剩下的同样多的棋子放到甲堆；第三次 又从甲堆中拿出和乙堆同样多的棋子放到乙堆．照此移法，移动三次后，甲、乙两堆棋子数恰好 都是 32 个．问甲、乙两堆棋子原来各有多少个？
请；
6-1-2.还原问题（二）
教学目标
本讲主要学习还原问题．通过本节课的学习，可以使学生掌握倒推法的解题思路以及方法，并会运用 倒推法解决问题．
1. 掌握用倒推法解单个变量的还原问题． 2. 了解用倒推法解多个变量的还原问题． 3. 培养学生“倒推”的思想．
知识点拨
一、还原问题
已知一个数，经过某些运算之后，得到了一个新数，求原来的数是多少的应用问题，它的解法常常是以 新数为基础，按运算顺序倒推回去，解出原数，这种方法叫做逆推法或还原法，这种问题就是还原问题．
90 3 30（个），所以小巧原来有 30 2 28（个），小亚原来有 30 1 29（个），小红原来有 30 3 33 （个）． 【答案】所以小巧原来有 28 个，小亚原来有 29 个，小红原来有 33 个．
【例 8】 三棵树上共有 36 只鸟，有 4 只鸟从第一棵树上飞到第二棵树上，有 8 只鸟从第二棵树上飞到第三 棵树上，有 10 只鸟从第三棵树上飞到第一棵树上，这时，三棵树上的鸟同样多．原来每棵树上各 有几只鸟?
【考点】多个变量的还原问题 【难度】3 星 【题型】解答 【关键词】可逆思想方法 【解析】这道题要采用倒推法，最后三棵树上的鸟同样多，那每棵数上就是 36 3 12（只），第一棵树上的鸟，
先是飞了 4 只到第二棵树上，然后又有 10 只飞了回来，现在和原来比小鸟增加了 6 只，这样比较就 能求出第一棵树上小鸟的只数；第二棵树上的鸟，先是飞来了 4 只，然后又有飞走了 8 只，现在和原 来比少了 4 只，这样比较就能求出第二棵树上小鸟的只数；第三棵树上的鸟，先是飞来了 8 只，然后 又飞走了 10 只，现在和原来比少了 1 只，这样比较就能求出第三棵树上小鸟的只数．列式：现在一 样多的： 36 3 12 （只），第一棵树上的小鸟只数：12 10 4 6 （只）或 12 (10 4) 6 （只）， 第二棵树上的小鸟只数： 12 8 4 16 （只）或 12 (8 4) 16 （只），第三棵树上的小鸟只数： 12 10 8 14（只）或12 (10 8) 14（只）原来第一棵树上有 6 只小鸟，第二棵树上有 16 只小鸟， 第三棵树上有 14 只小鸟．
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请；
以应从两组各有沙袋 70 只开始倒推． 【答案】甲 67 ，乙 73
【巩固】 甲、乙两班各要种若干棵树，如果甲班拿出与乙班同样多的树给乙班，乙班再从现有的树中也拿出 与甲班同样多的树给甲班，这时两班恰好都有 28 棵树，问甲、乙两班原来各有树多少棵？
【答案】上层147 本，下层 77 本
【例 7】 三人有不等的存款，只知如果甲给乙 40 元，乙再给丙 30 元，丙再给甲 20 元，给乙 70 元，这样三 人各有 240 元，三人原来各有存款多少元？
【考点】多个变量的还原问题 【难度】2 星 【题型】解答 【关键词】可逆思想方法 【解析】甲： 240 40 20 260 （元）； 乙： 240 40 30 70 160 （元）；丙： 240 30 20 70 300 ．
以 x 9 30 ， x 21．那么原来牵手的男生和男生放手，分成了 21 个小组． 【答案】 21 个小组
模块二、多个变量的还原问题
【例 4】 甲、乙、丙、丁四个学习小组共有图书 280 本，班主任老师提议让四个组的书一样多，得到拥护， 于是从甲调 14 本给乙，从乙调 15 本给丙，从丙调 17 本给丁，从丁调 18 本给甲。这时四个组的书 一样多。这说明甲组原来有书______ 本。
减为加，变乘为除，变除为乘．列式时还要注意运算顺序，正确使用括号.
例题精讲
模块一、单个变量的还原问题
【例 1】 刚打完篮球，冬冬觉得非常渴，就拿起一大瓶矿泉水狂喝．他第一口就喝了整瓶水的一半，第二
口又喝了剩下的 1 ，第三口则喝了剩下的 1 ，第四口再喝剩下的 1 ，第五口喝了剩下的 1 ．此时
3
4
【答案】 7 斗 8
）斗酒。
【例 3】 有 60 名学生，男生、女生各 30 名，他们手拉手围成一个圆圈．如果让原本牵着手的男生和女生放
开手，可以分成 18 个小组．那么，如果原本牵着手的男生和男生放开手时，分成了_
_个小
组．
【考点】单个变量的还原问题 【难度】4 星 【题型】填空 【关键词】迎春杯，四年级，初赛，3 题 【解析】方法一：男生和女生放手分成18 个组，说明有男生被计算18 次，男生与男生放开手后分成的组数和
上鸟的只数： 9 2 3 10 （只），第三棵数上鸟的只数： 9 3 4 10 （只），第一棵数上有 7 只鸟， 第二棵数上有 10 只鸟，第三棵数上有 10 只鸟．
【答案】第一棵数上有 7 只鸟，第二棵数上有 10 只鸟，第三棵数上有 10 只鸟
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请；
【例 2】 李白提壶去买洒，遇店加一倍，见花喝一斗。三遇店和花，喝光壶中酒。壶中原有（ 【考点】单个变量的还原问题 【难度】4 星 【题型】填空 【关键词】可逆思想方法，走美杯，六年级
【解析】 设李白壶中原有 x 斗酒，则三次经过店和花之后变为 0 2 [2 (2x 1) 1] 1 0 8x 7 0 x7 8 即壶中原有 7 斗酒. 8
5
6
瓶子里还剩 0.5 升矿泉水，那么最开始瓶子里有几升矿泉水？
【考点】单个变量的还原问题 【难度】4 星 【题型】解答
【关键词】可逆思想方法
【解析】最开始瓶子里有矿泉水：
0.5
1
1 2
1
1 3
1
1 4
1
1 5
1
1 6
3
（升）．
【答案】 3 升
6-1-2.还原问题（二）.题库
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【考点】多个变量的还原问题 【难度】2 星 【题型】解答 【关键词】可逆思想方法 【解析】如果后来乙班不给与甲班同样多的树，甲班应有树 28 2 14 （棵），乙班有 28 14 42 （棵），如
果开始不从甲班拿出与乙班同样多的树，乙班原有树 42 2 21 （棵），甲班原有树 14 21 35 （棵）．列表倒推如下:
现在每个笼里的是 78 3 26 （只）．根据“从第 1 个笼子里取出 8 只放到第 2 个笼子里”，可以知道 第 1 个笼子里原来养了 26 8 34 （只）；再根据“从第 2 个笼子里取出 6 只放到第 3 个笼子里”，得 出第 2 个笼子里有： 26 6 8 24 （只），第 3 个笼子里原有 26 6 20 （只）．
【答案】第 1 个笼子里原来养了 34 只，第 2 个笼子里有 24 只，第 3 个笼子里原有 20 只。