数学归纳法导学案

主备人：周兴顺审核：包科领导：年级组长：使用时间：

课题：第一章§4数学归纳法（1）

【学习目标】

1.了解数学归纳法的原理，理解数学归纳法的一般步骤。

2.掌握数学归纳法证明问题的方法。

3.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题。

【重点、难点】

重点：数学归纳法。

难点：用数学归纳法证明一些简单的数学命题。

【学法指导】

1根据学习目标，自学课本p16-p18内容，限时独立完成导学案；

2用红笔勾出疑难点，提交小组讨论；

【情境引入】不思不讲

i.阅读章头插图---多米诺骨牌，思考“所有的骨牌都倒下”的条件：（1）第一块骨牌

必须被推倒（2）若某一块骨牌倒下了，紧挨着的下一块骨牌，也要被倒下的这块骨牌被推倒，只要满足上述两个条件，所有骨牌就都倒下了。若少了第一个条件，即使满足了第二个条件，就是摆好的骨牌，不会有一块倒下，即使你推倒中间某一开，引起了后边的骨牌倒下，由于第一块骨牌没有倒下，也不能称为所有骨牌都倒下；如果少了第二个条件，即出现某块骨牌倒下了，但紧挨着的下一块骨牌没有被推倒，后边的骨牌也都不会倒下，也就不是“所有的骨牌都倒下”。满足了这两个条件的所有骨牌都倒下，与骨牌数量有关吗？没有关系，骨牌的数量可以是无穷多。

ii.能用“多米诺骨牌效应”解释等差数列的通项公式a

n =a

1

+(n-1)d吗？

解：设等差数列｛a

n ｝的首项是a

1

，公差是d,(1)由于第一项是a

1

=a

1

+（1-1）d,所以公

式对第一项成立。（2）如果公式对第k项成立，那么根据等差数列的定义，第k+1项是

a

k+1 =a

k

+d=a

1

+(k-1)d+d=a

1

+〔（k+1）-1〕d,即公式对第k+1项也成立。从而公式对所有的

项都成立。即这个等差数列的通项公式a

n =a

1

+(n-1)d。

【自主探究】不看不讲

1、数学归纳法是用来证明某些与正整数有关的数学命题的一种方法。

2、数学归纳法的基本步骤是：

（1）（归纳奠基）验证：n=1时，命题成立。

（2）（归纳递推）在假设当n=k(k≧1)时命题成立的前提下，推出当n=k+1时，命题成立。

根据（1）（2）可断定命题对一切正整数n都成立。

【合作探究】不议不讲

1、(p19习题3)用数学归纳法证明：12+22+ (2)

(1)(21)

6

n n n

++

(n是正整数)(仿课本例1)

点拨：第1步如何写？n=k的假设如何写？待证的目标式是什么？如何从假设出发？证n=k+1时，需从假设出发，对比目标，分析等式两边同增的项，朝目标进行变形。？

证明:(1)当n=1时,左边=12=1,右边=

123

6

⨯⨯=1, 左边=右边.等式成立.

（2）假设当n=k 时等式成立,即12+22+…k 2=(1)(21)

6

k k k ++.则当n=k+1时，由假设

12+22+…+ k 2 +( k+1)2

=

(1)(21)

6

k k k +++( k+1)2

=

32

29136

6

k k k +++=

32

2

236136

6

k k k k ++++=

2

(32)(23)

6

k k k +++=

(1)(2)(23)

6

k k k +++=

[][]

(1)(1)12(1)16

k k k +++++.即当n=k+1时，等式成立.由(1)(2)知对于n ∈N +等式

成立.

反思：在数学归纳法中最困难的一步是证明当n=k+1 时命题也成立，分析n=k+1 命题是什么，并找出与n=k 时命题形式的差别，弄清左端应增加的项，明确等式左端变形目标，掌握代数变形的常用方法：乘法公式、因式分解、配方、添项、拆项、放缩等。

2、已知数列

1

1

1

1

,,,,

2558811

(31)(32)

n n ⨯⨯⨯-+ 猜想Sn 的表达式,并证明. (仿课本例2)

点拨:如何进行猜想？（试值S 1,S 2,S 3,S 4→猜想Sn ）→用数学归纳法证明。 解：（略）

拓展：讨论如何直接求此题的Sn.（裂项相消法）→探索性问题的解决过程(试值→猜想→归纳→证明).

反思：“归纳——猜想——证明”的方法可以解决许多与自然数有关的探索性问题，如根据递推公式求数列的通项公式。

3、比较2n 与 n 2 的大小

解：n=1时21 12即2n n 2 n=2时22=22即2n =n 2 n=3时23 即2n n=4时24=即2

2n = n=5时5225 即22n n n=6时6226 即2

2n n 猜想：当n ≥5时, 2

2n n

下面用数学归纳法证明：（1）当n=5时，由上已知，猜想正确.（2）假设n=k()时，

猜

想

正

确

.即

2k

∴当n=k+1

时,,即n=k+1时，猜想也正确。

由（1）（2）知n 5时, 2

2n

n

反思：“找准起点，奠基要稳”是我们正确运用数学归纳法第一个要注意的问题。起点不一