作业-电磁场与电磁波-新

电压为10 000V，介质的相对介电常数为εr= 5，空气击穿
场为3×106V/m ，介质击穿场强为20×106V/m， 问空气 和电介质是否会被击穿：
解：1、设单位长度的电荷为ρl，由电通量密度法向分 量在两种媒质的分界面上连续的条件及高斯定理，得
v E1
l 2
ev
v E2
l 2 0
ev
b v
bv
∴ 当ρ=8mm时，E2max ≈ 3.94×106V/m>3×106V/m，空 气会被击穿。
空气被击穿后，所有电压加到电介质中，此时
v E1
2U 0
0
ln
b a
2
ev
U
ln
b a
ev
∴ 当ρ=5mm时，E1max ≈ 4.26×106V/m< 20×106V/m，介 质不会被击穿。
∴ 最终空气会被击穿，介质不会被击穿。
P18 1-1 矢径 r xex yey zez 与各坐标轴正向夹角为 , , 。请用坐标 (x, y, z) 来表示 , ,
并证明：cos 2 cos 2 cos 2 1
解：由于 cos
x
x2 y2 z2
cos
y
x2 y2 z2
cos
z
x2 y2 z2
所以 cos2 cos2 cos2
1
r sin
A
1、当r<a时：
0
1 r2
r
(r2Er )
3E0 0
a
2、当r>a时：
0
1 r2
r
(r2Er )
0
第三次 补充作业：同轴电容器内导体半径为a，外导体内半径为
b，在a<r<b’部分填充介电常数为ε的电介质，求：
（1）单位长度的电容； （2）若a=5mm、b=10mm、b’=8mm，内外导体间所加
解：由于
x
evx
y
evy
z
evz
(2x y 3)ex (4 y x 2)ey (6z 6)ez
所以 (0,0,0) 3ex 2ey 6ez
(1,1,1) 6ex 3ey
P19 1-11 应用散度定理计算下述积分：
I
xz2ex ( x 2 y z 3 )ey (2xy y 2 z)ez
因而，单位长度的漏电电阻为：R U0 1 ln b 1 ln c
I 2 1 a 2 2 b
第四章
2
R D
2
R
D
参考程序如下，运行结果略
#include <stdio.h> #include <math.h> void main() {float a=0,b=0,c=0,d=0; //a,b,c,d代表旧电位 float a1=0,b1=0,c1=0,d1=0; //a1,b1,c1,d1代表新电位 int i=0; do{ a=a1;b=b1;c=c1;d=d1; a1=0.25*(b+c+100); b1=0.25*(a+d+100); c1=0.25*(a+d); d1=0.25*(b+c); printf(“i=%d,\ta=%f,\tb=%f, \tc=%f,\td=%f\n”,i,a,b,c,d); i++; } while((fabs(a-a1)>0.000001)&&( fabs(b-b1)>0.000001)) }
dS
其中S是
S
z 0 和 z (a 2 x 2 y 2 )1 2 所围成的半球区域的外表面。
解：设
A
xz 2 ex
(x2
y
z 3 )ey
(2xy
y 2 z)ez
则由散度定理：
A
dS
AdV
S
可得：
v
I AdV (z2 x2 y2 )dV r2dV
2
v E
a2 2r 0
ev
2-5 已知半径为a的球内、外电场分别为
v E
E0 E0
( (
a r r a
)2 evr )evr ,
,
ra ra
求电荷分布
解：由高斯定理的微分形式
v
E 0
得
0
v E
用球坐标中的散度公式
v A
1 r2
(r 2 Ar ) r
1
r sin
(sin A )
第三章
3-2 球形电容器内、外极板的半径分别为a、b，其间媒 质的电导率为σ，当外加电压为U0时，计算功率损耗并
求电阻。
解：设内、外极板之间的总电流为I，由对称性可得
极板间的电流密度为
v J
I
4 r 2
evr
极板间的电场强度为
v E
I
4
r2
evr
则
U0
b a
Edr
I
4
1 a
1 b
从而
I 4 U0
Q a E1d b E2d U
l
1
2 U
ln b 1
ln
b
a 0 b
C0
wk.baidu.com
l
U
2 0
0
ln
b a
ln
b b
2、Ev1
0
ln
U0 b
a
ln
b b
ev
v E2
0
ln
U b
a
ln
b b
ev
∴ 当ρ=5mm时，E1max≈1.26×106V/m< 20×106V/m，介 质不会被击穿。
解：
v
v E1
q1
4 0
R1 R13
v
v E2
q2
4 0
R2 R23
x q1(4, 0, 0)
8
4 0
4evx 4evz
128 2
evx evz
16 20
4
4 0
4evy 128
4evz 2
evy evz
32 20
vv v E E1 E2
2evx evy evz
32 20
解：设每单位长度从内导体流向外导体的电流为I，
v 则电流密度为： J
I
2 r
evr
则各区域的电场为：
v E1 v E2
I
2 1r
I
2 2r
evr evr
内、外导体间的电压为
(a r b) (b r c)
c
b Idr c Idr
I bI c
U0
Edr
a
a 21r
ln
ln
b 2 2r 21 a 2 2 b
1 a
1 b
v J
U0
1 a
1 b
r2
evr
续：单位体积内功率损耗为
p
J2
U0
1 a
1 b
r
2
2
总功率损耗为
P
b a
p4
r 2dr
4
U
2 0
1 a
1 b
2
b a
dr r2
4
U
2 0
1 a
1 b
由
P
U
2 0
R
得
R
1
4
1 a
1 b
3-6 内、外导体半径分别为a、c的同轴线，其间填充两种漏掉媒 质 电，阻电。导率分别为σ1(a<r<b)和σ2(b<r<c) ，求单位长度的漏电
4 314
evx
3 314
evy
17 314
evz
所求方向导数
yz 2,
xz 10,
xy 5
x M
(5,1,2)
y
M
M
z M
M
cos
cos
cos
l 0
123
l M x
y
z
314
P19 1-7 已知 x 2 2 y 2 3z 2 xy 3x 2 y 6z
求在点（0，0，0）和点（1，1，1）处的梯度。
第二次
2-3 一个半径为a的均匀带电圆柱（无限长）的电荷密
度为ρ，求圆柱体内、外的电场强度。
解：因为电荷分布是轴对称的，取圆柱坐标系，作半
径为r的高斯柱面，利用高斯定理
vv
Ñ S D dS Q
得
1、当r<a时： 0E 2 rl r 2l
v E
r 2 0
ev
2、当r>a时： 0E2 rl a2l
2
a r4 sin drd d
2
d
2 sin d
a r 4dr 2 a5
0 00
0
0
0
5
第一次
第二章 静电场
z (0, 0, 4) v
1、两点电荷q1=8C，位于x轴上x=4 处， q1=-4C位于y轴上y=4处，求z
v R1
R2
轴上点（0，0，4）处电场强度。
0
q2(0, 4, 0) y
x2 y2 z2 2 1
x2 y2 z2
P19 1-6 求函数 xyz 在点（5，1，2）处沿着点
（5，1，2）到点（9，4，19）的方向的方向导数。
解：指定方向
l
的方向矢量为：
l
(9
5)ex
(4
1)ey
(19
2)ez
4ex
3ey
17ez
其单位矢量
v
v l0
l v l
cosevx cos evy cos evz