湖南师大附中2019届高三上学期月考试卷(一)数学(理)
湖南师大附中2019届高三上学期月考(四)数学(理)试题(含解析)
4．五进制是以 5 为底的进位制，主因乃人类的一只手有五只手指. 中国古代的五行学说也是采 用的五进制， 0 代表土， 1 代表水， 2 代表火， 3 代表木， 4 代表金， 依此类推， 5 又属土， 6 属水， ……， 减去 5 即得. 如图， 这是一个把 k 进制数 a(共有 N 位)化为十进制数 b 的程序框图， 执行该程序框图， 若输入的 k，a，n 分别为 5，1 203，4，则输出的 b＝( ) A．178 B．386 C．890 D．14 303
3 ， 3 D. 2
若存在实数 k，使得函 数 f(x)的值域为[－1，1]，则
D.[2，3]
12．设 A，B 是抛物线 y＝x2 上的两点，O 是坐标原点，若 OA⊥OB，则以下结论恒成立的结论 个数为( ) ①|OA|·|OB|≥2；②直线 AB 过定点(1，0)；③O 到直线 AB 的距离不大于 1 A． 0 B．1 C．2 D． 3
7．气象意义上从春季进入夏季的标志为：“连续 5 天的日平均温度均不低于 22 ℃” ．现有甲、 乙、丙三地连续 5 天的日平均温度的记录数据(记录数据都是正整数)： ①甲地：5 个数据的中位数为 24，众数为 22； ②乙地：5 个数据的中位数为 27，总体均值为 24； ③丙地：5 个数据中有一个数据是 32，总体均值为 26，总体方差为 10.8. 则肯定进入夏季的地区有( ) A．①②③ B．①③ C．②③ D．①
湖南师大附中 2019 届高三月考试卷(四)
数
时量：120 分钟
学(理科)
满分：150 分
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的． 1．已知集合 A＝{x∈R|x2－x－2＜0}，B＝{x∈Z|x＝2t＋1，t∈A}，则 A∩B＝( ) A．{－1，0，1} 2．已知复数 z＝ B．{－1，0} C．{0，1} D．{0}
湖南师大附中2019届高考模拟卷(一)文科数学(PDF版)
湖南师大附中2019届高考模拟卷(一)数学(文科)第I 卷一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1．若集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧-==x x y x M 2lg|，{}1|<=x x N ，则=N M （）A ．()10，B ．(]20，C ．[)21，D ．()∞+，02．如果复数i ai +-12)(R a ∈为纯虚数，则=a （）A ．2-B ．0C ．1D ．23．如图是民航部门统计的某年春运期间12个城市售出的往返机票的平均价格以及相比上年同期变化幅度的数据统计图表,根据图表,下面叙述不正确的是（）A ．深圳的变化幅度最小，北京的平均价格最高B ．深圳和厦门的平均价格同去年相比有所下降C ．平均价格从高到低居于前三位的城市为北京、深圳、广州D ．平均价格的涨幅众高到低居于前三位的城市为天津、西安、厦门4．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和,若33=a ，216=S ，则数列{}n a 的公差为（）A ．1B ．1-C ．2D ．2-5．已知2.12=a ，8.021-⎪⎭⎫ ⎝⎛=b ，2ln =c ，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．ba c <<B ．a cb <<C ．c a b <<D ．a b c <<6．在长方体1111D C B A ABCD -中，1=AB ，2=AD ，31=AA ，则异面直线11B A 与1AC 所成角的余弦值为（）A ．1438B ．1414C ．1313D ．317．运行如图所示的程序框图，设输出数据构成的集合为A ，从集合A 中任取一个元素a ,则函数a x y =，[)+∞∈,0x 是增函数的概率为（）A ．53B ．54C ．43D ．738．已知函数x x x x f 2sin 2cos sin 2)(-=，给出下列四个结论：①函数)(x f 的最小正周期是π；②函数)(x f 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡85,8ππ上是减函数；③函数)(x f 的图象关于点⎪⎭⎫ ⎝⎛-0,8π对称；④函数)(x f 的图象可由函数x y 2sin 2=的图象向右平移8π个单位，再向下平移1个单位得到.其中正确结论的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．49．a 实常数,下列图象中可以作为函数a x x x f +=2)(的图象的有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个10．某企业生产甲、乙两种产品,销售利润分别为2千元/件、1千元/件.甲、乙两种产品都需要在A 、B两种设备上加工,生产一件甲产品需用A 设备2小时,B 设备6小时；生产一件乙产品需用A 设备3小时,B 设备1小时.A 、B 两种设备每月可使用时间数分别为480小时、960小时,若生产的产品都能及时售出，则该企业每月利润的最大值为（）A ．320千元B ．360千元C ．400千元D ．440千元11．在ABC ∆中，已知3=AB ，32=AC ，点D 为BC 的三等分点（靠近C ），则BC AD ⋅的取值范围为（）A ．()53，B ．()355，C ．()95，D ．()75，12．已知不等式x m x 21-<-在[]20，上恒成立，且函数mx e x f x -=)(在()∞+，3上单调递增，则实数m 的取值范围为（）A ．()()∞+∞-，，52B ．()(]352e ，， ∞-C ．()(]252e ，， ∞-D ．()(]351e ，， ∞-第Ⅱ卷二、填空题:本大题共4个小题，每小题5分，满分20分.请把答案填在答题卷对应题号后的横线上.13．若角α的顶点在坐标原点，始边为x 轴的正半轴，其终边经过点)4,3(0--P ，则=αtan ．14．如图某几何体的三视图是直角边长为1的三个等腰直角三角形,则该几何体的外接球的表面积为．15．设双曲线C ：12222=-by a x )0,0(>>b a 的左焦点为1F ，过左焦点1F 作x 轴的垂线交双曲线C 于M 、N 两点，其中M 位于第二象限，),0(b B ，若BMN ∠是锐角，则双曲线的离心率的取值范围是．16．定义在()+∞,0上的函数)(x f 满足：①当[)3,1∈x 时，21)(--=x x f ；②)(3)3(x f x f =．设关于x 的函数a x f x F -=)()(的零点从小到大依次为1x ，2x ，…，n x ，…．若()3,1∈a ，则=+++n x x x 221 ．三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤,第17～21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答.17.(本小题满分12分)等比数列{}n a 的各项均为正数，且13221=+a a ，62239a a a =.（1）求数列{}n a 的通项公式；(2)设n n a a a b 32313log log log +++= ,求数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n b 1的前n 项和.18.(本小题满分12分)在多面体ABDE C -中，△ABC 为等边三角形，四边形ABDE 为菱形，平面ABC ⊥平面ABDE ，2=AB ，3π=∠DBA .（1）求证：CD AB ⊥；(2)求点B 到平面CDE 的距离.19.(本小题满分12分)2020年开始,国家逐步推行全新的高考制度.新高考不再分文理科,采用33+模式,其中语文、数学、外语三科为必考科目,满分各150分,另外考生还要依据想考取的高校及专业的要求,结合自己的兴趣爱好等因素,在思想政治、历史、地理、物理、化学、生物6门科目中自选3门参加考试(6选3),每科目满分100分.为了应对新高考,某高中从高一年级1000名学生(其中男生550人，女生450人)中,采用分层抽样的方法从中抽取n 名学生进行调查.(1)已知抽取的n 名学生中含女生45人,求n 的值及抽取到的男生人数；(2)学校计划在高一上学期开设选修中的“物理”和“地理”两个科目,为了了解学生对这两个科目的选课情况,对在(1)的条件下抽取到的n 名学生进行问卷调查(假定每名学生在这两个科目中必须选择一个科目且只能选择一个科目),下表是根据调查结果得到的22⨯列联表.请将列联表补充完整,并判断是否有99%的把握认为选择科目与性别有关?说明你的理由；(3)在抽取的选择“地理”的学生中按分层抽样再抽取6名,再从这6名学生中抽取2人了解学生对“地理”的选课意向情况,求2人中至少有1名男生的概率。
湖南师大附中2019届高三上学期月考试卷(一) 数学(文)
湖南师大附中2019届高三月考试卷(一)数 学(文科)本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）。
★祝考试顺利★ 注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
3、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
4、主观题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
6、保持卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
7、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．函数f (x )＝16－x －x 2的定义域是(A)A.()－3，2B.()－∞，－3∪()2，＋∞C.[]－3，2D.(]－∞，－3∪[)2，＋∞【解析】解不等式6－x －x 2>0得(x －2)(x ＋3)<0x ∈()－3，2.选A.2．已知复数z ＝21－i，给出下列四个结论：①|z |＝2；②z 2＝2i ；③z 的共轭复数z －＝－1＋i ；④z 的虚部为i.其中正确结论的个数是(B)A ．0B ．1C ．2D ．3【解析】由已知z ＝1＋i ，则|z |＝2，z 2＝2i ，z －＝1－i ，z 的虚部为1.所以仅结论②正确，选B.3．已知命题p ：若a >||b ，则a 2>b 2；命题q ：若x 2＝4，则x ＝2.下列说法正确的是(A) A ．“p ∨q ”为真命题 B ．“p ∧q ”为真命题 C ．“綈p ”为真命题 D ．“綈q ”为假命题【解析】由条件可知命题p 为真命题，q 为假命题，所以“p ∨q ”为真命题，故选择A.4．如图，已知AB →＝a ，AC →＝b ，BC →＝4BD →，CA →＝3CE →，则DE →＝(D) A.34b －13a, B.512a －34b ， C.34a －13b, D.512b －34a ， 【解析】DE →＝DC →＋CE →＝34BC →＋13CA →＝34(AC →－AB ）→－13AC →＝512b －34a .选D.5．如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则得到的这个新三角形的形状为(A) A ．锐角三角形 B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．由增加的长度决定【解析】设增加同样的长度为x ，原三边长为a 、b 、c ，且c 2＝a 2＋b 2，a ＋b >c .新的三角形的三边长为a ＋x 、b ＋x 、c ＋x ，知c ＋x 为最大边，其对应角最大．而(a ＋x )2＋(b ＋x )2－(c ＋x )2＝x 2＋2(a ＋b －c )x >0，由余弦定理知新的三角形的最大角的余弦为正，则为锐角，那么它为锐角三角形．故选A.6．与直线2x －y ＋4＝0的平行的抛物线y ＝x 2的切线方程是(D) A ．2x －y ＋3＝0 B ．2x －y －3＝0 C ．2x －y ＋1＝0 D ．2x －y －1＝0【解析】设P (x 0，y 0)为切点，则切点的斜率为y ′|x ＝x 0＝2x 0＝2，∴x 0＝1.由此得到切点(1，1)．故切线方程为y －1＝2(x －1)，即2x －y －1＝0，故选D.7．右边茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩(成绩为整数)，其中一个数字被污损，则乙的平均成绩不低于甲的平均成绩的概率为(D)A.25B.110C.910D.15【解析】记其中被污损的数字为x .依题意得甲的5次综合测评的平均成绩为90，乙的5次综合测评的平均成绩为15(442＋x )，令15(442＋x )≥90，由此解得x ≥8，即x 的可能取值为8和9，由此乙的平均成绩不低于甲的平均成绩的概率为210＝15，故选D.8．将函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象向右平移π2个单位，所得图象对应的函数(A)A ．在区间⎣⎡⎦⎤π12，7π12上单调递增B ．在区间⎣⎡⎦⎤π12，7π12上单调递减C ．在区间⎣⎡⎦⎤－π6，π3上单调递增D ．在区间⎣⎡⎦⎤－π6，π3上单调递减【解析】将函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象向右平移π2个单位，所得函数变为y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －2π3，令2k π－π2≤2x －2π3≤2k π＋π2(k ∈Z )，解得k π＋π12≤x ≤k π＋7π12(k ∈Z )，令k ＝0，π12≤x ≤7π12.故函数在区间⎣⎡⎦⎤π12，7π12上单调递增，故选A.9．设f (x )＝⎩⎨⎧2e x －1，x <2，log 3（x 2－1），x ≥2，则不等式f (x )>2的解集为(C) A ．(1，2)∪(3，＋∞) B ．(10，＋∞)C ．(1，2)∪(10，＋∞)D ．(1，2)【解析】令2e x －1>2()x <2，解得1<x <2.令log 3()x 2－1>2()x ≥2，解得x 为()10，＋∞，不等式f (x )>2的解集为(1，2)∪(10，＋∞)，故选C.10.执行如图所示的程序框图，若输入a ，b ，c 分别为1，2，0.3，则输出的结果为(D)A ．1.125B ．1.25C ．1.3125D ．1.375【解析】模拟程序的运行，可得a ＝1，b ＝2，c ＝0.3执行循环体，m ＝32，不满足条件f (m )＝0，满足条件f (a )f (m )＜0，b ＝1.5，不满足条件|a －b |＜c ，m ＝1.25，不满足条件f (m )＝0，不满足条件f (a )f (m )＜0，a ＝1.25，满足条件|a －b |＜c ，退出循环，输出a ＋b2的值为1.375.故选D.11．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知(a 8－1)3＋2 018(a 8－1)＝1，(a 2 011－1)3＋2 018(a 2011－1)＝－1，则下列结论正确的是(A)A ．S 2 018＝2 018，a 2 011<a 8B ．S 2 018＝2 018，a 2 011>a 8C ．S 2 018＝－2 018，a 2 011≤a 8D ．S 2 018＝－2 018，a 2 011≥a 8【解析】设f (x )＝x 3＋2 018x ，则由f (－x )＝－f (x )知函数f (x )是奇函数．由f ′(x )＝3x 2＋2 018>0知函数f (x )＝x 3＋2 018x 在R 上单调递增．因为(a 8－1)3＋2 018(a 8－1)＝1，(a 2 011－1)3＋2 018(a 2 011－1)＝－1，所以f (a 8－1)＝1，f (a 2 011－1)＝－1，得a 8－1＝－(a 2 011－1)，即a 8＋a 2 011＝2，且a 2 011<a 8，所以在等差数列{a n }中，S 2 018＝2 018·a 1＋a 2 0182＝2 018·a 8＋a 2 0112＝2018.故选A.12．设函数f ′(x )是奇函数f (x )(x ∈R )的导函数，f (－1)＝0，当x >0时，xf ′(x )－f (x )＜0，则使得f (x )<0成立的x 的取值范围是A ．(－∞，－1)∪(0，1)B ．(－1，0)∪(1，＋∞)C ．(－∞，－1)∪(－1，0)D ．(0，1)∪(1，＋∞)【解析】设g (x )＝f （x ）x (x ≠0)，则g ′(x )＝x ·f ′（x ）－f （x ）x 2.当x >0时，xf ′(x )－f (x )<0，∴g ′(x )<0，∴g (x )在(0，＋∞)上为减函数， 且g (1)＝f (1)＝－f (－1)＝0.∵f (x )为奇函数，∴g (x )为偶函数，∴g (x )的图象的示意图如右图所示． 当x >0时，由f (x )<0，得g (x )<0，由图知x >1， 当x <0时，由f (x )<0，得g (x )>0，由图知－1<x <0，∴使得f (x )<0成立的x 的取值范围是(－1，0)∪(1，＋∞)．故答案选B.选择题答题卡本卷包括必考题和选考题两部分．第13～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22～23题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题：本题共4小题，每小题5分．13．已知α为锐角，a ＝⎝⎛⎭⎫34，sin α，b ⎝⎛⎭⎫cos α，13，且a ∥b ，则α为__15°或75°__． 【解析】因为a ∥b ，34×13－cos α×sin α＝0sin 2α＝12，故α为15°或75°.14．在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，两定点A 、B 满足|OA →|＝|OB →|＝OA →·OB →＝2，由点集{P |OP →＝λOA →＋μOB →，|λ|＋|μ|≤1，λ、μ∈R }所表示的区域的面积是．【解析】由|OA →|＝|OB →|＝OA →·OB →＝2知，〈OA →，OB →〉＝π3.设OA →＝(2，0)，OB →＝(1，3)，OP →＝(x ，y )，则⎩⎨⎧x ＝2λ＋μ，y ＝3μ，解得⎩⎨⎧μ＝y 3，λ＝12⎝⎛⎭⎫x －y 3.由|λ|＋|μ|≤1，得|3x －y |＋|2y |≤2 3.作出可行域，如右图阴影部分所示．则所求面积S ＝2×12×4×3＝4 3.15．在平面直角坐标系xOy 中，以点A (1，0)为圆心且与直线mx －y －2m －1＝0(m ∈R )相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为__(x －1)2＋y 2＝2__．【解析】直线mx －y －2m －1＝0恒过定点P (2，－1)，当AP 与直线mx －y －2m －1＝0垂直，即点P (2，－1)为切点时，圆的半径最大，∴半径最大的圆的半径r ＝（1－2）2＋（0＋1）2＝ 2.故所求圆的标准方程为(x －1)2＋y 2＝2.16．在平面几何里，已知直角△SAB 的两边SA ，SB 互相垂直，且SA ＝a ，SB ＝b 则AB边上的高h ＝aba 2＋b 2；拓展到空间，如图，三棱锥S －ABC 的三条侧棱SB 、SB 、SC 两两相互垂直，且SA ＝a ，SB ＝b ，SC ＝c ，则点S 到面ABC 的距离h ′＝__abca 2b 2＋b 2c 2＋c 2a2__．【解析】把结论类比到空间：三棱锥S －ABC 的三条侧棱SA ，SB ，SC 两两相互垂直，SH ⊥平面ABC ，且SA ＝a ，SB ＝b ，SC ＝c ，则点S 到平面ABC 的距离h ′＝abca 2b 2＋b 2c 2＋c 2a2.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．(本小题满分12分)在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知a ＋b ＝mc (m >0)．(1)当m ＝3时，若B ＝π6，求sin (A －C )的值；(2)当m ＝2时，若c ＝2，求△ABC 面积最大值．【解析】(1)∵a ＋b ＝3c ，∴sin A ＋sin B ＝3sin C ，∴sin A ＋12＝3sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π6＝3⎝⎛⎭⎫32sin A ＋12cos A ，4分化简得12sin A ＋32cos A ＝12，∴sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π3＝12，∴A ＋π3＝5π6，即A ＝π2，∴C ＝π3，∴sin (A －C )＝sin π6＝12.6分(2)∵c ＝2，∴a ＋b ＝22，∴b ＝22－a ，∴S △ABC ＝12ab sin C ≤12ab ，8分∴S △ABC ≤12ab ＝12a (22－a )＝－12a 2＋2a ，10分∴当a ＝2时，－12a 2＋2a 取最大值1，此时a ＝b ＝2，c ＝2满足C ＝π2，∴△ABC 面积最大值为1.12分18.(本题满分12分)如图，四棱锥P －ABCD 中，AP ⊥平面PCD ，AD ∥BC ，AB ＝BC ＝12AD ，E 、F 分别为线段AD 、PC 的中点．(1)求证：AP ∥平面BEF ；(2)设∠PDA ＝30°，∠BAD ＝60°，求直线BF 与平面P AC 所成的角的大小．【解析】(1)证明：设AC ∩BE ＝O ，连接OF 、EC .∵E 为AD 的中点，AB ＝BC ＝12AD ，AD ∥BC ，∴AE ∥BC ，AE ＝AB ＝BC ， ∴四边形ABCE 为菱形.2分 ∴O 为AC 的中点.3分又F 为PC 的中点，在△P AC 中，可得AP ∥OF .4分 又OF 平面BEF ，AP 平面BEF .5分 ∴AP ∥平面BEF .6分(2)由题意知ED ∥BC ，ED ＝BC .∴四边形BCDE 为平行四边形，∴BE ∥CD . 又AP ⊥平面PCD ，∴AP ⊥CD ，∴AP ⊥BE . ∵四边形ABCE 为菱形，∴BE ⊥AC .又AP ∩AC ＝A ，AP 、AC 平面P AC ，∴BE ⊥平面P AC . ∴直线BF 与平面P AC 所成的角为∠BFO .8分不妨设AP ＝2，∵∠PDA ＝30°，∴AE ＝12AD ＝2，又∵四边形ABCE 为菱形，∠BAD ＝60°，∴OB ＝1，∵Rt △BOF 中，OF ＝12AP ＝1，OB ＝1，∴∠BFO ＝45°.11分故直线BF 与平面P AC 所成的角的大小为45°.12分 19．(本小题满分12分)已知数列{a n }中，S n 为其前n 项和，且a 1≠a 2，当n ∈N ＋时，恒有S n ＝pna n (p 为常数)． (1)求常数p 的值；(2)当a 2＝2时，求数列{a n }的通项公式；(3)在(2)的条件下，设b n ＝4（a n ＋2）a n ＋1，数列{b n }的前n 项和为T n ，求证：T n <74.【解析】(1)当n ＝1时，a 1＝S 1，∴a 1＝pa 1p ＝1或a 1＝0，当p ＝1时，S n ＝na n 则有S 2＝2a 2a 1＋a 2＝2a 2a 1＝a 2与已知矛盾， ∴p ≠1，只有a 1＝0.2分当n ＝2时，由S 2＝2pa 2a 1＋a 2＝2pa 2，∵a 1＝0又a 1≠a 2，∴a 2≠0，∴p ＝12.4分(2)∵a 2＝2，S n ＝12na n ，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n2a n －n －12a n －1，6分(n －2)a n ＝(n －1)a n －1a nn －1＝a n －1n －2，∴a n n －1＝a 21a n ＝2n －2.8分 当n ＝1时，a 1＝2×1－2＝0也适合，∴a n ＝2n －2.9分(3)b n ＝4（a n ＋2）a n ＋1＝1n 2<1（n －1）n ＝1n －1－1n .10分当n ＝1，2时，显然成立，当n ≥3时有∴T n <1＋14＋⎝⎛⎭⎫12－13＋…＋⎝⎛⎭⎫1n －1－1n ＝74－1n <74.12分 20．(本题满分12分)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，设点F 1、F 2与椭圆短轴的一个端点构成斜边长为4的直角三角形．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)设A 、B 、P 为椭圆C 上三点，满足OP →＝35OA →＋45OB →，记线段AB 中点Q 的轨迹为E ，若直线l ：y ＝x ＋1与轨迹E 交于M 、N 两点，求|MN |.【解析】(1)由已知得2c ＝4，b ＝2，故c ＝2，a ＝2 2.∴椭圆C 的标准方程为x 28＋y 24＝1.4分(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，∵OP →＝35OA →＋45OB →，∴OP →＝⎝⎛⎭⎫35x 1＋45x 2，35y 1＋45y 2， ∴点P 坐标为⎝⎛⎭⎫35x 1＋45x 2，35y 1＋45y 2.5分 ∵点P 在椭圆C 上，∴18⎝⎛⎭⎫35x 1＋45x 22＋14⎝⎛⎭⎫35y 1＋45y 22＝1， ∴925⎝⎛⎭⎫x 218＋y 214＋1625⎝⎛⎭⎫x 228＋y 224＋2425⎝⎛⎭⎫x 1x 28＋y 1y 24＝1， 即925＋1625＋2425⎝⎛⎭⎫x 1x 28＋y 1y 24＝1，即x 1x 28＋y 1y 24＝0.6分 令线段AB 的中点坐标为Q (x ，y )，则⎩⎨⎧x ＝x 1＋x 22，y ＝y 1＋y 22.7分∵A 、B 在椭圆C 上，∴⎩⎨⎧x 218＋y 214＝1，x 228＋y 224＝1，8分x 21＋x 228＋y 21＋y 224＝2， ∴（x 1＋x 2）2－2x 1x 28＋（y 1＋y 2）2－2y 1y 24＝2.∵x 1x 28＋y 1y 24＝0，∴（2x ）28＋（2y ）24＝2，即Q 点的轨迹E 的方程为x 24＋y 22＝1.9分联立⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 22＝1，y ＝x ＋1，得3x 2＋4x －2＝0.设M (x 3，y 3)、N (x 4，y 4)，则x 3＋x 4＝－43，x 3·x 4＝－23.10分故|MN |＝1＋k 2|x 3－x 4|＝1＋k 2（x 3＋x 4）2－4x 3x 4＝453.12分 第(2)问也可以用椭圆的参数方程解决，且可参考上述解答酌情给分． 21．(本题满分12分)已知函数f (x )＝e x ＋e －x ，g (x )＝2x ＋ax 3，a 为实常数． (1)求g (x )的单调区间；(2)当a ＝－1时，证明：x 0∈(0，1)，使得y ＝f (x )和y ＝g (x )的图象在x ＝x 0处的切线互相平行．【解析】(1)g ′(x )＝3ax 2＋2，1分当a ≥0时，g ′(x )>0故g (x )的单调增区间为(－∞，＋∞).3分当a <0时，令g ′(x )≥0得－－23a ≤x ≤－23a，g (x )的单调增区间为⎣⎡⎦⎤－－23a ，－23a ，g (x )的单调减区间为⎣⎡⎦⎤－∞，－－23a ，⎣⎡⎦⎤－23a ，＋∞.5分(2)当a ＝－1时，f ′(x )＝e x －e －x ，g ′(x )＝2－3x 2，x 0∈(0，1)，使得y ＝f (x )和y ＝g (x )的图象在x ＝x 0处的切线互相平行． 即x 0∈(0，1)使得f ′(x 0)＝g ′(x 0)，且f (x 0)≠g (x 0)，6分令h (x )＝f ′(x )－g ′(x )＝e x －e －x －2＋3x 2，h (0)＝－2<0，h (1)＝e －1e－2＋3>0，∴x 0∈(0，1)使得f ′(x 0)＝g ′(x 0).7分∵当x ∈⎝⎛⎭⎫0，63时g ′(x )>0，当x ∈(63，1)时g ′(x )<0，∴所以g (x )在区间(0，1)的最大值为g ⎝⎛⎭⎫63，g ⎝⎛⎭⎫63＝469<2.9分而f (x )＝e x ＋e －x ≥2e x e －x ＝2，10分∴x ∈(0，1)时f (x )>g (x )恒成立，∴f (x 0)≠g (x 0)． 从而当a ＝－1时x 0∈(0，1)，使得y ＝f (x )和y ＝g (x )的图象在x ＝x 0处的切线互相平行．12分请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题号．22．(本小题满分10分)选修4－4：极坐标与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线M 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3cos α＋sin αy ＝23sin αcos α－2sin 2α＋2(α为参数)，若以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴位极轴建立极坐标系，曲线N 的极坐标方程ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝22t (t 为参数)．(1)求曲线M 和N 的直角坐标方程；(2)若曲线N 和曲线M 有公共点，求t 的取值范围．【解析】(1)由x ＝3cos α＋sin α＝2sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3得x ∈[－2，2]，又∵x 2＝(3cos α＋sin α)2＝2cos 2α＋23sin αcos α＋1， 所以曲线M 的普通方程为y ＝x 2－1，x ∈[－2，2]．由ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝22t 得22ρsin θ＋22ρcos θ＝22t ，即ρsin θ＋ρcos θ＝t ，所以曲线N 的直角坐标方程为x ＋y ＝t .4分(2)若曲线M 、N 有公共点，则当曲线N 过点(2，3)时满足要求，此时t ＝5，并且向左下方平行移动直到相切之前总有公共点，相切时仍然只有一个公共点，联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝t y ＝x 2－1得x 2＋x －t －1＝0，Δ＝1＋4(1＋t )＝0t ＝－54. 综上所述，t 的取值范围是⎣⎡⎦⎤－54，5.10分 23．(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲 已知函数f (x )＝||3x ＋2.(1)解不等式f (x )<4－||x －1；(2)已知m ＋n ＝1(m ，n >0)，若||x －a －f (x )≤1m ＋1n(a >0)恒成立，求实数a 的取值范围．【解析】(1)不等式f (x )<4－||x －1即为||3x ＋2<4－||x －1.当x <－23时，即－3x －2－x ＋1<4－54<x <－23；当－23≤x ≤1时，即3x ＋2－x ＋1<4－23≤x <12；当x >1时，即3x ＋2＋x －1<4无解．综上所述，原不等式的解集为⎝⎛⎭⎫－54，12.5分 (2)1m ＋1n ＝⎝⎛⎭⎫1m ＋1n (m ＋n )＝1＋1＋m n ＋nm≥4， 令g (x )＝||x －a －f (x )＝||x －a －||3x ＋2＝⎩⎨⎧2x ＋2＋a ，x <－23，－4x －2＋a ，－23≤x ≤a ，－2x －2－a ，x >a ，所以当x ＝－23时，g (x )max ＝23＋a ，要使不等式恒成立，只需g (x )max ＝23＋a ≤40<a ≤103.10分。
配速法
配 速 法带电粒子垂直磁场方向进入磁场与重力场、电场的叠加场，如果粒子所受重力、电场力没有能够平衡，则带电粒子由于受力不平衡而作曲线运动（非圆周运动）时，就不能用简单的圆周运动知识来解决，而需要用到配速法：即将粒子的初速度分解为两个分速度，使一个分速度所对应的洛伦兹力与电场力（或重力或电场力与重力的合力）平衡，而另一个分速度所对应的洛伦兹力使之作匀速圆周运动，则粒子所作的实际运动即为匀速直线运动与匀速圆周运动的合成 。
下面就平常训练中的两例谈谈配速法在复合场问题中的妙用例题1.如图所示，在直角坐标系xOy 的第三象限内存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B 。
一质量为m 、电荷量为q 的带电液滴从x 轴上的A 点在重力作用下由静止进入第三象限，液滴最后垂直y 轴从C 点穿出，重力加速度为g ，则OC 长度为（ ）A ．2222m gB q B ．222m gB qC ．222mg B qD ．222mg B q变式1：一质量为m 、电荷量为+q 的带电粒子，以初速度v 0从左端中央沿虚线射入正交的场强为E 的匀强电场和磁感应强度为B 的匀强磁场区域中，若0v EB>，当粒子从右端某点C 离开时速率为C v ，侧移量为s ，粒子重力不计，则下列说法中正确的是 （ ） A ．v C 202qEsv m+B ．粒子有可能从虚线下方离开该区域C ．粒子到达C 点时所受洛伦兹力一定大于电场力D ．粒子在该区域中的加速度大小恒为a =0qv B qE m-变式2：质量为m 、带电量为+q 的小球，在离地面高为h 处从静止开始下落，为使小球始终不会与地面相碰，可设想在它开始下落时就加一个足够强的水平匀强磁场，忽略小球下落时空气阻力的影响，求磁场磁感应强度的最小取值B min 。
B+-CA vy例题2.（湖南师大附中2019届三模）如图所示，一带电量为q -的小球，质量为m ，以初速度0v 从水平地面竖直向上射入水平方向的匀强磁场中,磁感应强度0mgB qv =，方向垂直纸面向外。
湖南省长沙市湖南师范大学附属中学2024-2025学年高三上学期月考(一)数学试题及答案
大联考湖南师大附中2025届高三月考试卷（一）数学命题人：高三数学备课组 审题人：高三数学备课组时量：120分钟 满分：150分一､选选选：本选共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，1. 已知{}()260,{lg 10}Axx x B x x =+−≤=−<∣∣，则A B = （ ）A. {}32xx −≤≤∣ B. {32}x x −≤<∣ C. {12}x x <≤∣D. {12}x x <<∣2. 若复数z 满足()1i 3i z +=−+（i 是虚数单位），则z 等于（ ）A.B.54C.D.3. 已知平面向量()()5,0,2,1ab ==−，则向量a b +在向量b上投影向量为（ ）A. ()6,3−B. ()4,2−C. ()2,1−D. ()5,04. 记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若396714,63a a a a +==，则7S =（ ） A. 21B. 19C. 12D. 425. 某校高二年级下学期期末考试数学试卷满分为150分，90分以上（含90分）为及格．阅卷结果显示，全年级1200名学生的数学成绩近似服从正态分布，试卷的难度系数（难度系数=平均分/满分）为0.49，标准差为22，则该次数学考试及格的人数约为（ ）附：若()2,X Nµσ∼，记()()p k P k X k µσµσ=−≤≤+，则()()0.750.547,10.683p p ≈≈．A 136人 B. 272人C. 328人D. 820人6. 已知()π5,0,,cos ,tan tan 426αβαβαβ∈−=⋅=，则αβ+=（ ） A.π6 B.π4C.π3D.2π37. 已知12,F F 是双曲线22221(0)x y a b a b−=>>的左､右焦点，以2F 为圆心，a 为半径的圆与双曲线的一条的.渐近线交于,A B 两点，若123AB F F >，则双曲线的离心率的取值范围是（ ）A.B.C. (D. (8. 已知函数()220log 0x a x f x x x ⋅≤= > ，，，，若关于x 的方程()()0f f x =有且仅有两个实数根，则实数a 的取值范围是（ ） A. ()0,1B. ()(),00,1−∞∪C. [)1,+∞D. ()()0,11,+∞二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分9. 如图，在正方体111ABCD A B C D −中，E F M N ，，，分别为棱111AA A D AB DC ，，，的中点，点P 是面1B C 的中心，则下列结论正确的是（ ）A. E F M P ，，，四点共面B. 平面PEF 被正方体截得的截面是等腰梯形C. //EF 平面PMND. 平面MEF ⊥平面PMN10. 已知函数()5π24f x x=+，则（ ）A. ()f x 的一个对称中心为3π,08B. ()f x 的图象向右平移3π8个单位长度后得到的是奇函数的图象 C. ()f x 在区间5π7π,88上单调递增 D. 若()y f x =在区间()0,m 上与1y =有且只有6个交点，则5π13π,24m∈11. 已知定义在R 上的偶函数()f x 和奇函数()g x 满足()()21f x g x ++−=，则（ ）A. ()f x 的图象关于点()2,1对称B. ()f x 是以8为周期的周期函数C. ()20240g =D.20241(42)2025k f k =−=∑ 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 6(31)x y +−的展开式中2x y 的系数为______．13. 已知函数()f x 是定义域为R 的奇函数，当0x >时，()()2f x f x ′−>，且()10f =，则不等式()0f x >的解集为__________.14. 已知点C 为扇形AOB 弧AB 上任意一点，且60AOB ∠=，若(),R OC OA OB λµλµ=+∈，则λµ+的取值范围是__________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15. ABC V 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知22cos a b c B +=． （1）求角C ；（2）若角C 的平分线CD 交AB于点,D AD DB =，求CD 的长．16. 已知1ex =为函数()ln af x x x =的极值点． （1）求a 的值； （2）设函数()ex kxg x =，若对()120,,x x ∀∈+∞∃∈R ，使得()()120f x g x −≥，求k 的取值范围． 17. 已知四棱锥P ABCD −中，平面PAB ⊥底面,ABCD AD∥,,,2,BC AB BC PA PB AB AB BC AD E ⊥==为AB 的中点，F 为棱PC 上异于,P C 的点．的（1）证明：BD EF ⊥；（2）试确定点F 的位置，使EF 与平面PCD18. 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线21:2(0)C ypx p =>的焦点到准线的距离等于椭圆222:161C x y +=的短轴长，点P 在抛物线1C 上，圆222:(2)E x y r −+=（其中01r <<）.（1）若1,2r Q =为圆E 上的动点，求线段PQ 长度的最小值； （2）设()1,D t 是抛物线1C 上位于第一象限的一点，过D 作圆E 的两条切线，分别交抛物线1C 于点,M N .证明：直线MN 经过定点.19. 龙泉游泳馆为给顾客更好的体验，推出了A 和B 两个套餐服务，顾客可选择A 和B 两个套餐之一，并在App 平台上推出了优惠券活动，下表是该游泳馆在App 平台10天销售优惠券情况． 日期t 12345678910销售量千张 1.9 1.98 2.2 2.36 2.43 2.59 2.68 2.76 2.7 04经计算可得：10101021111 2.2,118.73,38510i i i i i i i y y t y t ======∑∑∑ （1）因为优惠券购买火爆，App 平台在第10天时系统出现异常，导致当天顾客购买优惠券数量大幅减少，已知销售量y 和日期t 呈线性关系，现剔除第10天数据，求y 关于t 的经验回归方程结果中的数值用分数表示；（2）若购买优惠券的顾客选择A 套餐的概率为14，选择B 套餐的概率为34，并且A 套餐可以用一张优惠券，B 套餐可以用两张优惠券，记App 平台累计销售优惠券为n 张的概率为n P ，求n P ； （3）记（2）中所得概率n P 的值构成数列{}()N n P n ∗∈.①求n P 的最值；②数列收敛的定义：已知数列{}n a ，若对于任意给定的正数ε，总存在正整数0N ，使得当0n N >时，n a a ε−<，（a 是一个确定的实数），则称数列{}n a 收敛于a .根据数列收敛的定义证明数列{}n P 收敛．..参考公式： ()()()1122211ˆˆ,n ni ii ii i n n i i i i x x y y x y nx yay bx x xx nx====−−−==−−−∑∑∑∑.大联考湖南师大附中2025届高三月考试卷（一）数学命题人：高三数学备课组 审题人：高三数学备课组时量：120分钟 满分：150分一､选选选：本选共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，1. 已知{}()260,{lg 10}Axx x B x x =+−≤=−<∣∣，则A B = （ ）A. {}32xx −≤≤∣ B. {32}x x −≤<∣ C. {12}x x <≤∣ D. {12}x x <<∣【答案】D 【解析】【分析】通过解一元二次不等式和对数函数的定义域，求出集合,A B ，再求交集． 【详解】集合{}()32,{lg 10}{12}A x x B x x x x =−≤≤=−<=<<∣∣∣，则{12}A B xx ∩=<<∣， 故选：D ．2. 若复数z 满足()1i 3i z +=−+（i 是虚数单位），则z 等于（ ）A.B.54C.D.【答案】C 【解析】【分析】由复数的除法运算计算可得12i z =−+，再由模长公式即可得出结果. 【详解】依题意()1i 3i z +=−+可得()()()()3i 1i 3i 24i12i 1i 1i 1i 2z −+−−+−+====−+++−，所以z =. 故选：C3. 已知平面向量()()5,0,2,1a b ==−，则向量a b +在向量b上的投影向量为（ ）A. ()6,3−B. ()4,2−C. ()2,1−D. ()5,0【答案】A 【解析】【分析】根据投影向量的计算公式即可求解.【详解】()()7,1,15,a b a b b b +=−+⋅==所以向量a b +在向量b 上的投影向量为()()236,3||a b b b bb +⋅==− .故选：A4. 记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若396714,63a a a a +==，则7S =（ ） A. 21 B. 19C. 12D. 42【答案】A 【解析】【分析】根据等差数列的性质，即可求解公差和首项，进而由求和公式求解.【详解】{}n a 是等差数列，396214a a a ∴+==，即67a =，所以67769,a a a a == 故公差76162,53d a a a a d =−=∴=−=−，()767732212S ×∴=×−+×=， 故选：A5. 某校高二年级下学期期末考试数学试卷满分为150分，90分以上（含90分）为及格．阅卷结果显示，全年级1200名学生的数学成绩近似服从正态分布，试卷的难度系数（难度系数=平均分/满分）为0.49，标准差为22，则该次数学考试及格的人数约为（ ）附：若()2,X Nµσ∼，记()()p k P k X k µσµσ=−≤≤+，则()()0.750.547,10.683p p ≈≈．A. 136人B. 272人C. 328人D. 820人【答案】B 【解析】【分析】首先求出平均数，即可得到学生的数学成绩2~(73.5,22)X N ，再根据所给条件求出(5790)P X ≤≤，即可求出(90)P X ≥，即可估计人数．【详解】由题得0.4915073.5,22µσ=×==，()()(),0.750.547p k P k X k p µσµσ=−≤≤+≈ ，()5790P X ∴≤≤ ()0.750.547p ≈，()()900.510.5470.2265P X ≥×−，∴该校及格人数为0.22651200272×≈（人），故选：B ． 6. 已知()π5,0,,cos ,tan tan 426αβαβαβ∈−=⋅=，则αβ+=（ ） A.π6 B.π4C.π3D.2π3【答案】D 【解析】【分析】利用两角差的余弦定理和同角三角函数的基本关系建立等式求解，再由两角和的余弦公式求解即可．【详解】由已知可得5cos cos sin sin 6sin sin 4cos cos αβαβαβαβ⋅+⋅=⋅ =⋅ ， 解得1cos cos 62sin sin 3αβαβ⋅=⋅=，，()1cos cos cos sin sin 2αβαβαβ∴+=⋅−⋅=−，π,0,2αβ∈，()0,παβ∴+∈， 2π,3αβ∴+=，故选：D ．7. 已知12,F F 是双曲线22221(0)x y a b a b−=>>的左､右焦点，以2F 为圆心，a 为半径的圆与双曲线的一条渐近线交于,A B 两点，若123AB F F >，则双曲线的离心率的取值范围是（ ）A.B.C. (D. (【答案】B 【解析】【分析】根据双曲线以及圆的方程可求得弦长AB =，再根据不等式123AB F F >整理可得2259c a <，即可求得双曲线的离心率的取值范围.【详解】设以()2,0F c 为圆心，a 为半径的圆与双曲线的一条渐近线0bx ay −=交于,A B 两点， 则2F 到渐近线0bx ay −=的距离d b，所以AB =， 因为123AB F F >，所以32c ×>，可得2222299a b c a b −>=+， 即22224555a b c a >=−，可得2259c a <，所以2295c a <，所以e <，又1e >，所以双曲线的离心率的取值范围是 .故选：B8. 已知函数()220log 0x a x f x x x ⋅≤= > ，，，，若关于x 的方程()()0f f x =有且仅有两个实数根，则实数a 的取值范围是（ ） A. ()0,1 B. ()(),00,1−∞∪C. [)1,+∞D. ()()0,11,+∞【答案】C 【解析】【分析】利用换元法设()u f x =，则方程等价为()0f u =，根据指数函数和对数函数图象和性质求出1u =，利用数形结合进行求解即可． 【详解】令()u f x =，则()0f u =．�当0a =时，若()0,0u f u ≤=；若0u >，由()2log 0f u u==，得1u =． 所以由()()0ff x =可得()0f x ≤或()1f x =．如图所示，满足()0f x ≤的x 有无数个，方程()1f x =只有一个解，不满足题意；�当0a ≠时，若0≤u ，则()20uf u a =⋅≠；若0u >，由()2log 0f u u==，得1u =． 所以由()()0ff x =可得()1f x =，当0x >时，由()2log 1f x x==，可得2x =， 因为关于x 的方程()()0f f x =有且仅有两个实数根，则方程()1f x =在(,0∞−]上有且仅有一个实数根，若0a >且()(]0,20,xx f x a a ≤=⋅∈，故1a ≥； 若0a <且()0,20xx f x a ≤=⋅<，不满足题意．综上所述，实数a 的取值范围是[)1,+∞， 故选：C ．二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分9. 如图，在正方体111ABCD A B C D −中，E F M N ，，，分别为棱111AA A D AB DC ，，，的中点，点P 是面1B C 的中心，则下列结论正确的是（ ）A. E F M P ，，，四点共面B. 平面PEF 被正方体截得的截面是等腰梯形C. //EF 平面PMND. 平面MEF ⊥平面PMN【答案】BD 【解析】【分析】可得过,,E F M 三点的平面为一个正六边形，判断A ；分别连接,E F 和1,B C ，截面1C BEF 是等腰梯形，判断B ；分别取11,BB CC 的中点,G Q ，易证EF 显然不平行平面QGMN ，可判断C ；EM ⊥平面PMN ，可判断D.【详解】对于A ：如图经过,,E F M 三点的平面为一个正六边形EFMHQK ，点P 在平面外，,,,E F M P ∴四点不共面，∴选项A 错误；对于B ：分别连接,E F 和1,B C ，则平面PEF 即平面1C BEF ，截面1C BEF 是等腰梯形，∴选项B 正确；对于C ：分别取11,BB CC 的中点,G Q ，则平面PMN 即为平面QGMN ， 由正六边形EFMHQK ，可知HQ EF ，所以MQ 不平行于EF ，又,EF MQ ⊂平面EFMHQK ，所以EF MQ W = ，所以EF I 平面QGMN W =， 所以EF 不平行于平面PMN ，故选项C 错误；对于D ：因为,AEM BMG 是等腰三角形，45AME BMG ∴∠=∠=°， 90EMG ∴∠=°，EMMG ∴⊥，,M N 是,AB CD 的中点，易证MN AD ∥，由正方体可得AD ⊥平面11ABB A ，MN ∴⊥平面11ABB A ，又ME ⊂平面11ABB A ，EM MN ∴⊥，,MG MN ⊂ 平面PMN ，EM ∴⊥平面GMN ，EM ⊂ 平面MEF ，∴平面MEF ⊥平面,PMN 故选项D 正确．���BD ．10. 已知函数()5π24f x x=+，则（ ）A. ()f x 的一个对称中心为3π,08B. ()f x 的图象向右平移3π8个单位长度后得到的是奇函数的图象 C. ()f x 在区间5π7π,88上单调递增 D. 若()y f x =在区间()0,m 上与1y =有且只有6个交点，则5π13π,24m∈【答案】BD 【解析】【分析】代入即可验证A ，根据平移可得函数图象，即可由正弦型函数的奇偶性求解B ，利用整体法即可判断C ，由5πcos 24x+求解所以根，即可求解D.【详解】对于A ，由35π3π2π0848f =+×=≠，故A 错误；对于B ，()f x 的图象向右平移3π8个单位长度后得： 3π3π5ππ228842y f x x x x=−−++，为奇函数，故B 正确； 对于C ，当5π7π,88x∈时，则5π5π2,3π42x +∈ ，由余弦函数单调性知，()f x 在区间5π7π,88 上单调递减，故C 错误；对于D ，由()1f x =，得5πcos 24x+ππ4x k =+或ππ,2k k +∈Z ， ()y f x =在区间()0,m 上与1y =有且只有6个交点，其横坐标从小到大依次为：ππ5π3π9π5π,,,,,424242， 而第7个交点的横坐标为13π4， 5π13π24m ∴<≤，故D 正确. 故选：BD11. 已知定义在R 上的偶函数()f x 和奇函数()g x 满足()()21f x g x ++−=，则（ ）A. ()f x 的图象关于点()2,1对称B. ()f x 是以8为周期的周期函数C. ()20240g =D.20241(42)2025k f k =−=∑ 【答案】ABC 【解析】【分析】根据函数奇偶性以及所满足的表达式构造方程组可得()()222f x f x ++−=，即可判断A 正确；利用对称中心表达式进行化简计算可得B 正确，可判断()g x 也是以8为周期的周期函数，即C 正确；根据周期性以及()()42f x f x ++=计算可得20241(42)2024k f k =−=∑，可得D 错误. 【详解】由题意()()()(),f x f x g x g x −=−=−，且()()()00,21g f x g x =++−=， 即()()21f x g x +−=①， 用x −替换()()21f x g x ++−=中的x ，得()()21f x g x −+=②， 由①+②得()()222f x f x ++−=， 所以()f x 的图象关于点(2,1)对称，且()21f =，故A 正确；由()()222f x f x ++−=，可得()()()()()42,422f x f x f x f x f x ++−=+=−−=−， 所以()()()()82422f x f x f x f x +=−+=−−= ， 所以()f x 是以8为周期的周期函数，故B 正确； 由①知()()21g x f x =+−，则()()()()882121g x f x f x g x +=++−=+−=，故()()8g x g x +=，因此()g x 也是以8为周期的周期函数， 所以()()202400g g ==，C 正确；又因为()()42f x f x ++−=，所以()()42f x f x ++=， 令2x =，则有()()262f f +=，令10x =，则有()()10142,f f +=…， 令8090x =，则有()()809080942f f +=， 所以1012(2)(6)(10)(14)(8090)(8094)2222024f f f f f f ++++++=+++=个所以20241(42)(2)(6)(10)(14)(8090)(8094)2024k f k f f f f f f =−=++++++=∑ ，故D 错误.故选：ABC【点睛】方法点睛：求解函数奇偶性、对称性、周期性等函数性质综合问题时，经常利用其中两个性质推得第三个性质特征，再进行相关计算.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 6(31)x y +−的展开式中2x y 的系数为______． 【答案】180− 【解析】【分析】根据题意，由条件可得展开式中2x y 的系数为213643C C (1)⋅−，化简即可得到结果． 【详解】在6(31)x y +−的展开式中， 由()2213264C C 3(1)180x y x y ⋅⋅−=−，得2x y 的系数为180−. 故答案为：180−．13. 已知函数()f x 是定义域为R 的奇函数，当0x >时，()()2f x f x ′−>，且()10f =，则不等式()0f x >的解集为__________.【答案】()()1,01,−∪+∞ 【解析】【分析】根据函数奇偶性并求导可得()()f x f x ′′−=，因此可得()()2f x f x ′>，可构造函数()()2xf x h x =e并求得其单调性即可得()f x 在()1,+∞上大于零，在()0,1上小于零，即可得出结论. 【详解】因为()f x 为奇函数，定义域为R ，所以()()f x f x −=−，两边同时求导可得()()f x f x ′′−−=−，即()()f x f x ′′−=且()00f =，又因为当0x >时，()()2f x f x ′−>，所以()()2f x f x ′>. 构造函数()()2xf x h x =e，则()()()22x f x f x h x ′−′=e ， 所以当0x >时，()()0,h x h x ′>在()0,∞+上单调递增，又因为()10f =，所以()()10,h h x =在()1,+∞上大于零，在()0,1上小于零， 又因为2e 0x >，所以()f x 在()1,+∞上大于零，在()0,1上小于零， 因为()f x 为奇函数，所以()f x 在(),1∞−−上小于零，在()1,0−上大于零， 综上所述，()0f x >的解集为()()1,01,−∪+∞. 故答案为：()()1,01,−∪+∞14. 已知点C 为扇形AOB 的弧AB 上任意一点，且60AOB ∠=，若(),R OC OA OB λµλµ=+∈，则λµ+的取值范围是__________.【答案】【解析】【分析】建系设点的坐标，再结合向量关系表示λµ+，最后应用三角恒等变换及三角函数值域求范围即可. 【详解】方法一：设圆O 的半径为1，由已知可设OB 为x 轴的正半轴，O 为坐标原点，过O 点作x 轴垂线为y 轴建立直角坐标系，其中()()1,1,0,cos ,sin 2A B C θθ ，其中π,0,3BOC θθ ∠=∈ ， 由(),R OC OA OB λµλµ=+∈，即()()1cos ,sin 1,02θθλµ =+，整理得1cos sin 2λµθθ+=，解得cos λµθ=，则ππcos cos ,0,33λµθθθθθ+=++=+∈，ππ2ππ,,sin 3333θθ+∈+∈所以λµ +∈ . 方法二：设k λµ+=，如图，当C 位于点A 或点B 时，,,A B C 三点共线，所以1k λµ=+=； 当点C 运动到AB的中点时，k λµ=+，所以λµ +∈故答案为：四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15. ABC V 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知22cos a b c B +=． （1）求角C ；（2）若角C 的平分线CD 交AB于点,D AD DB =，求CD 的长．【答案】（1）2π3C = （2）3CD = 【解析】【分析】（1）利用正弦定理及两角和的正弦定理整理得到()2cos 1sin 0C B +=，再利用三角形的内角及正弦函数的性质即可求解；（2）利用正弦定理得出3b a =，再由余弦定理求出4a =，12b =，再根据三角形的面积建立等式求解． 【小问1详解】 由22cos a b c B +=，根据正弦定理可得2sin sin 2sin cos A B C B +=，则()2sin sin 2sin cos B C B C B ++=，所以2sin cos 2cos sin sin 2sin cos B C B C B C B ++=，整理得()2cos 1sin 0C B +=， 因为,B C 均为三角形内角，所以(),0,π,sin 0B C B ∈≠， 因此1cos 2C =−，所以2π3C =． 【小问2详解】因为CD 是角C的平分线，AD DB=所以在ACD 和BCD △中，由正弦定理可得，,ππsin sin sin sin 33AD CD BD CDA B ==， 因此sin 3sin BADA BD==，即sin 3sin B A =，所以3b a =， 又由余弦定理可得2222cos c a b ab C =+−，即222293a a a =++， 解得4a =，所以12b =．又ABCACD BCD S S S =+△△△，即111sin sin sin 222ab ACB b CD ACD a CD BCD ∠∠∠=⋅⋅+⋅⋅， 即4816CD =，所以3CD =． 16. 已知1ex =为函数()ln af x x x =的极值点． （1）求a 的值； （2）设函数()ex kxg x =，若对()120,,x x ∀∈+∞∃∈R ，使得()()120f x g x −≥，求k 的取值范围． 【答案】（1）1a = （2）(]()10,−∞−+∞ , 【解析】【分析】（1）直接根据极值点求出a 的值；（2）先由（1）求出()f x 的最小值，由题意可得是求()g x 的最小值，小于等于()f x 的最小值，对()g x 求导，判断由最小值时的k 的范围，再求出最小值与()f x 最小值的关系式，进而求出k 的范围． 【小问1详解】()()111ln ln 1a a f x ax x x x a x xα−−==′+⋅+，由1111ln 10e e e a f a −=+=′，得1a =， 当1a =时，()ln 1f x x =′+，函数()f x 在10,e上单调递减，在1,e∞ +上单调递增， 所以1ex =为函数()ln af x x x =的极小值点， 所以1a =． 【小问2详解】由（1）知min 11()e ef x f ==−． 函数()g x 的导函数()()1e xg x k x −=−′ �若0k >，对()1210,,x x k ∞∀∈+∃=−，使得()()12111e 1e k g x g f x k=−=−<−<−≤，即()()120f x g x −≥，符合题意． �若()0,0kg x =，取11ex =，对2x ∀∈R ，有()()120f x g x −<，不符合题意．�若0k <，当1x <时，()()0,g x g x ′<在(),1∞−上单调递减；当1x >时，()()0,g x g x ′>在(1,+∞)上单调递增，所以()min ()1ekg x g ==， 若对()120,,x x ∞∀∈+∃∈R ，使得()()120f x g x −≥，只需min min ()()g x f x ≤， 即1e ek ≤−，解得1k ≤−． 综上所述，k 的取值范围为(](),10,∞∞−−∪+．17. 已知四棱锥P ABCD −中，平面PAB ⊥底面,ABCD AD ∥,,,2,BC AB BC PA PB AB AB BC AD E ⊥==为AB 的中点，F 为棱PC 上异于,P C 的点．（1）证明：BD EF ⊥；（2）试确定点F 的位置，使EF 与平面PCD【答案】（1）证明见解析 （2）F 位于棱PC 靠近P 的三等分点 【解析】【分析】（1）连接,,PE EC EC 交BD 于点G ，利用面面垂直的性质定理和三角形全等，即可得证； （2）取DC 的中点H ，以E 为坐标原点，分别以,,EB EH EP 所在直线为,,x y z 轴建立，利用线面角公式代入即可求解．小问1详解】如图，连接,,PE EC EC 交BD 于点G ．因为E 为AB 的中点，PA PB =，所以PE AB ⊥．因为平面PAB ⊥平面ABCD ，平面PAB ∩平面,ABCD AB PE =⊂平面PAB ， 所以PE ⊥平面ABCD ，因为BD ⊂平面ABCD ，所以PE BD ⊥．因为ABD BCE ≅ ，所以CEB BDA ∠∠=，所以90CEB ABD ∠∠+= ， 所以BD EC ⊥，因为,,PE EC E PE EC ∩=⊂平面PEC ， 所以BD ⊥平面PEC ．因为EF ⊂平面PEC ，所以BD EF ⊥． 【小问2详解】如图，取DC 的中点H ，以E 为坐标原点，分别以,,EB EH EP 所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，【设2AB =，则2,1,BC AD PA PB ====则()()()()0,0,1,1,2,0,1,1,0,0,0,0P C D E −，设(),,,(01)F x y z PF PC λλ=<<， 所以()(),,11,2,1x y z λ−=−，所以,2,1x y z λλλ===−，即(),2,1F λλλ−．则()()()2,1,0,1,2,1,,2,1DC PC EF λλλ==−=−，设平面PCD 的法向量为(),,m a b c =，则00DC m PC m ⋅=⋅=，，即2020a b a b c += +−= ，，取()1,2,3m =−− ， 设EF 与平面PCD 所成的角为θ，由cos θ=sin θ=．所以sin cos ,m EF m EF m EF θ⋅===整理得2620λλ−=，因为01λ<<，所以13λ=，即13PF PC = ，故当F 位于棱PC 靠近P 的三等分点时，EF 与平面PCD18. 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线21:2(0)C ypx p =>的焦点到准线的距离等于椭圆222:161C x y +=的短轴长，点P 在抛物线1C 上，圆222:(2)E x y r −+=（其中01r <<）.（1）若1,2r Q =为圆E 上的动点，求线段PQ 长度的最小值；（2）设()1,D t 是抛物线1C 上位于第一象限的一点，过D 作圆E 的两条切线，分别交抛物线1C 于点,M N .证明：直线MN 经过定点.【答案】（1（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据椭圆的短轴可得抛物线方程2y x =，进而根据两点斜率公式，结合三角形的三边关系，即可由二次函数的性质求解，（2）根据两点坐标可得直线,MN DM 的直线方程，由直线与圆相切可得,a b 是方程()()()2222124240r x r x r −+−+−=的两个解，即可利用韦达定理代入化简求解定点. 【小问1详解】 由题意得椭圆的方程：221116y x +=，所以短半轴14b = 所以112242p b ==×=，所以抛物线1C 的方程是2y x =. 设点()2,P t t ，则111222PQ PE ≥−=−=≥， 所以当232ι=时，线段PQ . 【小问2详解】()1,D t 是抛物线1C 上位于第一象限的点，21t ∴=，且()0,1,1t D >∴设()()22,,,M a a N b b ，则： 直线()222:b a MN y a x a b a −−=−−，即()21y a x a a b −=−+，即()0x a b y ab −++=. 直线()21:111a DM y x a −−=−−，即()10x a y a −++=. 由直线DMr =，即()()()2222124240r a r a r −+−+−=..同理，由直线DN 与圆相切得()()()2222124240r b r b r −+−+−=. 所以,a b 是方程()()()2222124240r x r x r −+−+−=的两个解， 22224224,11r r a b ab r r −−∴+==−− 代入方程()0x a b y ab −++=得()()222440x y r x y +++−−−=， 220,440,x y x y ++= ∴ ++= 解得0,1.x y = =− ∴直线MN 恒过定点()0,1−.【点睛】圆锥曲线中定点问题的两种解法（1）引进参数法：先引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点.（2）特殊到一般法：先根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关.技巧：若直线方程为()00y y k x x −=−,则直线过定点()00,x y ;若直线方程为y kx b =+ (b 为定值),则直线过定点()0,.b 19. 龙泉游泳馆为给顾客更好的体验，推出了A 和B 两个套餐服务，顾客可选择A 和B 两个套餐之一，并在App 平台上推出了优惠券活动，下表是该游泳馆在App 平台10天销售优惠券情况． 日期t 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 销售量千张 1.9 1.98 2.2 2.36 2.43 259 2.68 2.76 2.7 0.4经计算可得：10101021111 2.2,118.73,38510i i i i i i i y y t y t ======∑∑∑. （1）因为优惠券购买火爆，App 平台在第10天时系统出现异常，导致当天顾客购买优惠券数量大幅减少，已知销售量y 和日期t 呈线性关系，现剔除第10天数据，求y 关于t 的经验回归方程结果中的数值用分数表示；..（2）若购买优惠券的顾客选择A 套餐的概率为14，选择B 套餐的概率为34，并且A 套餐可以用一张优惠券，B 套餐可以用两张优惠券，记App 平台累计销售优惠券为n 张的概率为n P ，求n P ；（3）记（2）中所得概率n P 的值构成数列{}()Nn P n ∗∈. ①求n P 的最值；②数列收敛的定义：已知数列{}n a ，若对于任意给定的正数ε，总存在正整数0N ，使得当0n N >时，n a a ε−<，（a 是一个确定的实数），则称数列{}n a 收敛于a .根据数列收敛的定义证明数列{}n P 收敛．参考公式： ()()()1122211ˆˆ,n ni ii i i i n n ii i i x x y y x y nx y ay bx x x x nx ====−−−==−−−∑∑∑∑. 【答案】（1）673220710001200y t + （2）433774n n P =+⋅−（3）①最大值为1316，最小值为14；②证明见解析 【解析】 【分析】（1）计算出新数据的相关数值，代入公式求出 ,ab 的值，进而得到y 关于t 的回归方程； （2）由题意可知1213,(3)44n n n P P P n −−=+≥，其中12113,416P P ==，构造等比数列，再利用等比数列的通项公式求解；（3）①分n 为偶数和n 为奇数两种情况讨论，结合指数函数的单调性求解；②利用数列收敛的定义，准确推理、运算，即可得证． 【小问1详解】 解：剔除第10天的数据，可得2.2100.4 2.49y ×−==新， 12345678959t ++++++++=新， 则9922111119.73100.4114,73,38510285i i i i t y t = =−×==−= ∑∑新新，所以912922119114,7395 2.4673ˆ2859560009i i i i t y t y b t t == − −×× ==−× − ∑∑新新新新新， 可得6732207ˆ 2.4560001200a =−×=，所以6732207ˆ60001200y t +. 【小问2详解】 解：由题意知1213,(3)44n n n P P P n −−=+≥，其中12111313,444416P P ==×+=， 所以11233,(3)44n n n n P P P P n −−−+=+≥，又由2131331141644P P ++×， 所以134n n P P − +是首项为1的常数列，所以131,(2)4n n P P n −+=≥ 所以1434(),(2)747n n P P n −−=−−≥，又因为1414974728P −=−=−， 所以数列47n P − 是首项为928−，公比为34−的等比数列， 故1493()7284n n P −−=−−，所以1934433()()2847774n n n P −=−−+=+−. 【小问3详解】 解：①当n 为偶数时，19344334()()28477747n n n P −=−−+=+⋅>单调递减， 最大值为21316P =； 当n 为奇数时，19344334()()28477747n n n P −=−−+=−⋅<单调递增，最小值为114P =， 综上可得，数列{}n P 的最大值为1316，最小值为14. ②证明：对任意0ε>总存在正整数0347[log ()]13N ε=+，其中 []x 表示取整函数， 当 347[log ()]13n ε>+时，347log ()34333333()()()7747474n n n P εε−=⋅−=⋅<⋅=， 所以数列{}n P 收敛.【点睛】知识方法点拨：与新定义有关的问题的求解策略：1、通过给出一个新的定义，或约定一种新的运算，或给出几个新模型来创设新问题的情景，要求在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实心信息的迁移，达到灵活解题的目的；2、遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、运算、验证，使得问题得以解决.方法点拨：与数列有关的问题的求解策略：3、若新定义与数列有关，可得利用数列的递推关系式，结合数列的相关知识进行求解，多通过构造的分法转化为等差、等比数列问题求解，求解过程灵活运用数列的性质，准确应用相关的数列知识.。
湖南师大附中2019届高三上学期第一次月考数学(文)答案(PDF版)
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湖南师大附中2019届高三上学期月考试卷(三)数学(理)含解析
湖南师大附中2019届高三月考试卷(三)数 学(理科)时量：120分钟 满分：150一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知复数z ＝21＋i＋2i ，则下列结论中正确的是( ) A ．z 的虚部为i B ．|z |＝2 C ．z 2为纯虚数 D ．z ＝－1＋i2．设x ∈R ，若“|x －a |<1(a ∈R )”是“x 2＋x －2>0”的充分不必要条件，则a 的取值范围是( )A ．(－∞，－3]∪[2，＋∞)B ．(－∞，－3)∪(2，＋∞)C ．(－3，2)D ．[－3，2]3．已知集合A ＝{5}，B ＝{1，2}，C ＝{1，3，4}，从这三个集合中各取一个元素构成空间直角坐标系上的坐标，则确定的不同点的个数为( )A ．6B ．32C ．33D ．344．设l 、m 、n 表示不同的直线，α、β、γ表示不同的平面，给出下列4个命题：( ) ①若m ∥l ，且m ⊥α，则l ⊥α； ②若m ∥l ，且m ∥α，则l ∥α；③若α∩β＝l ，β∩γ＝m ，γ∩α＝n ，则l ∥m ∥n ； ④若α∩β＝m ，β∩γ＝l ，α∩γ＝n ，且n ∥β，则m ∥l . 其中正确命题的个数是 A ．1 B ．2 C ．3 D ．45．若实数x ，y 满足不等式组⎩⎨⎧x ＋3y －3≥0，2x －y －3≤0，x －my ＋1≥0，且x ＋y 的最大值为9，则实数m ＝( )A ．－2B ．－1C ．1D ．26．某企业节能降耗技术改造后，在生产某产品过程中的产量x (吨)与相应的生产能耗y (吨)的几组对应数据如表所示：若根据表中数据得出y 关于x 的线性回归方程为y ^＝0.7x ^＋a ，若生产7吨产品，预计相应的生产能耗为( )吨．( )A ．5.25B ．5.15C ．5.5D ．9.5 7．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S n n >S n ＋1n ＋1，且a 6a 7<0，则( )A. 当n ＝6时，S n 取最大值B. 当n ＝7时，S n 取最大值C. 当n ＝6时，S n 取最小值D. 当n ＝7时，S n 取最小值8．庄子说：“一尺之锤，日取其半，万世不竭．”这句话描述的是一个数列问题，现用程序框图描述，如图所示，若输入某个正整数n 后，输出的S ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1516，6364，则输入的n 的值为( )A ．7B ．6C ．5D ．49．设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，O 为坐标原点，若椭圆C 上存在两个关于x 轴对称的点A ，B ，使得|AB |＝b ，且△AOB 的重心为椭圆C 的一个焦点，则椭圆C 的离心率为( )A.22 B.33 C.12 D.1310．将函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图像向左平移n (n >0)个单位，再将图像上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图像对应的函数为偶函数，则n 的最小值为( )A.π6 B.π12 C.5π6 D.π2411．如图所示，点G 是△ABC 内一点，若S △AGB ＝7，S △BGC ＝5，S △AGC ＝6，且AG →＝xAB →＋yAC →，则x ＋y ＝( )A.1118 B.23 C.1318D ．1 12．设x 1，x 2分别是函数f(x)＝x －a －x 和g(x)＝x log a x －1的零点(其中a>1)，则x 1＋4x 2的取值范围是( )A ．[4，＋∞)B ．(4，＋∞)C ．[5，＋∞)D ．(5，＋∞) 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．计算：tan 12°－3（4cos 212°－2）sin 12°＝__ __．14．设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S n ＝2a n －n(n∈N *)，则数列{a n }的通项公式是__ _．15．某一部件由三个电子元件按如图所示方式连接而成，元件1或元件2正常工作，则部件正常工作．设三个电子元件的使用寿命(单位：小时)均服从正态分布N (1 000，σ2)，若每个元件使用寿命超过1 200小时的概率为13，且各个元件能否正常工作相互独立，那么该部件的使用寿命超过800小时的概率为_ _．16．已知函数f ()x ＝x 2＋m 与函数g ()x ＝－ln 1x －3x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2的图像上至少存在一对关于x 轴对称的点，则实数m 的取值范围是__ __．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．(一)必考题：共60分． 17．(本小题满分12分)在△ABC 中，设角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，c 2，n ＝(cos C ，1)，且m ·n＝b .(Ⅰ)求角A 的大小；(Ⅱ)若a ＝2，求△ABC 的面积S 的最大值．某职称晋级评定机构对某次参加专业技术考试的100人的成绩进行了统计，绘制了频率分布直方图(如图所示)，规定80分(满分100分)及以上者晋级成功，否则晋级失败．(Ⅰ)求图中a的值；(Ⅱ)根据已知条件完成下面2×2列联表，并判断能否有85%的把握认为“晋级成功”与性别有关？(Ⅲ)将频率视为概率，从本次考试的所有人员中，随机抽取4人进行约谈，记这4人中晋级失败的人数为X，求X的分布列与数学期望E(X)．参考公式：K2＝n（ad－bc）2（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d），其中n＝a＋b＋c＋d.如图，在四棱锥P－ABCD中，侧面PAD⊥底面ABCD，侧棱PA＝PD＝2，底面ABCD是直角梯形．其中BC∥AD，AB⊥AD，AD＝2AB＝2BC＝2.(Ⅰ)求证：平面PCD⊥平面PAB；(Ⅱ)线段PD上是否存在点Q，使得二面角Q－AC－D的平面角的正切值为23，如存在，试确定这个点的位置；如不存在，试说明理由．如图，抛物线C的顶点在坐标原点，焦点F在x轴正半轴上，点M为圆O：x2＋y2＝12与抛物线C的一个交点，且|MF|＝3.(Ⅰ)求抛物线C的标准方程；(Ⅱ)设斜率为22的直线l与抛物线C相交于A，B两点，若|AB|＝86，证明：直线l与圆O相切．已知函数f(x)＝a ln(x＋1)＋(x－1)2. (Ⅰ)求函数f(x)的单调区间；(Ⅱ)试证对任意的n∈N*，有1＋322＋532＋…＋2n－1n2<2nn＋1.(二)选考题：共10分．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．(本小题满分10分)在极坐标系中，已知曲线C的极坐标方程为ρ＝25cos2θ－m.(Ⅰ)若曲线C为双曲线，求m的取值范围；(Ⅱ)以极点为原点，极轴为x轴正半轴建立直角坐标系．当m＝1时，过点P(2，0)作直线l交曲线C于A，B两点，若|PA|·|PB|＝48，且向量PA→与PB→方向相同，求直线l的倾斜角．23．(本小题满分10分)已知x 0∈R使不等式|x－1|－|x－2|≥t成立．(Ⅰ)求满足条件的实数t的集合T；(Ⅱ)若m＞1，n＞1，对t∈T，不等式log 3m·log3n≥t恒成立，求mn的最小值．湖南师大附中2019届高三月考试卷(三)数学(理科)试题解析时量：120分钟满分：150一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知复数z＝21＋i＋2i，则下列结论中正确的是(C)A．z的虚部为i B．|z|＝2 C．z2为纯虚数 D．z＝－1＋i【解析】由已知，z＝2（1－i）（1＋i）（1－i）＋2i＝1＋i，则z的虚部为1，|z|＝2，z2＝2i为纯虚数，z＝1－i，故选C.2．设x∈R，若“|x－a|<1(a∈R)”是“x2＋x－2>0”的充分不必要条件，则a的取值范围是(A)A．(－∞，－3]∪[2，＋∞) B．(－∞，－3)∪(2，＋∞)C．(－3，2) D．[－3，2]【解析】由|x－a|<1(a∈R)，解得：a－1<x<a＋1.由x2＋x－2>0，解得x>1或x<－2.又“|x－a|<1(a∈R)”是“x2＋x－2>0”的充分不必要条件，∴1≤a－1或a＋1≤－2，即a≥2，或a≤－3.故选A.3．已知集合A＝{5}，B＝{1，2}，C＝{1，3，4}，从这三个集合中各取一个元素构成空间直角坐标系上的坐标，则确定的不同点的个数为(C)A．6 B．32 C．33 D．34【解析】不考虑限定条件确定的不同点的个数为C12C13A33＝36，但集合B、C中有相同元素1，由5，1，1三个数确定的不同点的个数只有三个，故所求的个数为36－3＝33个，故选C. 4．设l、m、n表示不同的直线，α、β、γ表示不同的平面，给出下列4个命题：(B)①若m∥l，且m⊥α，则l⊥α；②若m∥l，且m∥α，则l∥α；③若α∩β＝l，β∩γ＝m，γ∩α＝n，则l∥m∥n；④若α∩β＝m，β∩γ＝l，α∩γ＝n，且n∥β，则m∥l.其中正确命题的个数是 A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【解析】易知命题①正确；在命题②的条件下，直线l 可能在平面α内，故命题为假；在命题③的条件下，三条直线可以相交于一点，故命题为假；在命题④中，由α∩γ＝n 知，n α且n γ，由n α及n ∥β，α∩β＝m ，得n ∥m ，同理n ∥l ，故m ∥l ，命题④正确．故选B.5．若实数x ，y 满足不等式组⎩⎨⎧x ＋3y －3≥0，2x －y －3≤0，x －my ＋1≥0，且x ＋y 的最大值为9，则实数m ＝(C)A ．－2B ．－1C ．1D ．2【解析】令z ＝x ＋y ，则y ＝－x ＋z ，z 表示斜率为－1的直线在y 轴上的截距． 当z 最大值为9时，y ＝－x ＋z 过点A ，因此x －my ＋1＝0过点A ，所以m ＝1.故选C.6．某企业节能降耗技术改造后，在生产某产品过程中的产量x (吨)与相应的生产能耗y (吨)的几组对应数据如表所示：若根据表中数据得出y 关于x 的线性回归方程为y ^＝0.7x ^＋a ，若生产7吨产品，预计相应的生产能耗为( )吨．(A)A ．5.25B ．5.15C ．5.5D ．9.5【解析】由表中数据，计算得x ＝14×(3＋4＋5＋6)＝4.5，y ＝14×(2.5＋3＋4＋4.5)＝3.5，且线性回归方程y ^＝0.7x ^＋a 过样本中心点(x ，y )，即3.5＝0.7×4.5＋a ，解得a ＝0.35， ∴y 关于x 的线性回归方程是y ^＝0.7x ^＋0.35，当x ＝7时，估计生产7吨产品的生产能耗为y ＝0.7×7＋0.35＝5.25(吨)．故选A. 7．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S n n >S n ＋1n ＋1，且a 6a 7<0，则(A)A. 当n ＝6时，S n 取最大值B. 当n ＝7时，S n 取最大值C. 当n ＝6时，S n 取最小值D. 当n ＝7时，S n 取最小值 【解析】因为S n n >S n ＋1n ＋1，则a 1＋a n 2>a 1＋a n ＋12，即a n >a n ＋1，所以数列{a n }单调递减．因为a 6a 7<0，则a 6＞0，a 7＜0，从而数列{a n }的前6项都为正数，从第7项起，以后各项都为负数，所以当n ＝6时，S n 取最大值，选A.8．庄子说：“一尺之锤，日取其半，万世不竭．”这句话描述的是一个数列问题，现用程序框图描述，如图所示，若输入某个正整数n 后，输出的S ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1516，6364，则输入的n 的值为(C)A ．7B ．6C ．5D ．4【解析】框图首先给累加变量S 赋值0，给循环变量k 赋值1， 输入n 的值后，执行循环体，S ＝12，k ＝1＋1＝2；判断2＞n 不成立，执行循环体，S ＝34，k ＝2＋1＝3；判断3＞n 不成立，执行循环体，S ＝78，k ＝3＋1＝4；判断4＞n 不成立，执行循环体，S ＝1516，k ＝4＋1＝5.判断5＞n 不成立，执行循环体，S ＝3132，k ＝5＋1＝6. 判断6＞n 不成立，执行循环体，S ＝6364，k ＝6＋1＝7.…由于输出的S ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1516，6364，可得：当S ＝3132，k ＝6时，应该满足条件6＞n ，即：5≤n ＜6，可得输入的正整数n 的值为5.故选C.9．设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，O 为坐标原点，若椭圆C 上存在两个关于x 轴对称的点A ，B ，使得|AB |＝b ，且△AOB 的重心为椭圆C 的一个焦点，则椭圆C 的离心率为(B)A.22 B.33 C.12 D.13【解析】不妨设点A (x 0，y 0)(x 0＞0，y 0＞0)，因为点A ，B 关于x 轴对称，则点B (x 0，－y 0)，因为|AB |＝b ，则y 0＝b 2.因为△AOB 的重心为椭圆C 的一个焦点，则2x 03＝c ，即x 0＝3c 2.因为点A 在椭圆C 上，则x 20a 2＋y 20b 2＝1，所以9c 24a 2＋14＝1，即e 2＝13，即e ＝33，选B.10．将函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图像向左平移n (n >0)个单位，再将图像上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图像对应的函数为偶函数，则n 的最小值为(B)A.π6 B.π12 C.5π6 D.π24【解析】由f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3向左平移n (n >0)个单位后得到函数y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2（x ＋n ）＋π3的图像，再将图像上各点的横坐标伸长到原来的2倍后得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2n ＋π3的图像，因其为偶函数，故x ＝0时，2n ＋π3＝π2＋k π，k ∈Zn ＝π12＋k π2，k ∈Z .故选B.11．如图所示，点G 是△ABC 内一点，若S △AGB ＝7，S △BGC ＝5，S △AGC ＝6，且AG →＝xAB →＋yAC →，则x ＋y ＝(C)A.1118 B.23 C.1318D ．1 【解析】在GA 上取一点E ，使得GE →＝57GA →，在GB 上取一点F ，使得GF →＝67GB →，连接CE ，EF ，FC .∴S △EGF ＝67×57×S △AGB ＝307，S △CGE ＝57×S △AGC ＝307，S △CGF ＝67×S △BGC ＝307，∴G 为△CEF 的重心，∴GE →＋GF →＋GC →＝0，∴57GA →＋67GB →＋GC →＝0，∴5GA→＋6GB →＋7GC →＝0，∴18GA →＋6AB →＋7AC →＝0.∴AG →＝618AB →＋718AC →，∴x ＋y ＝1318，选C .12．设x 1，x 2分别是函数f(x)＝x －a －x 和g(x)＝x log a x －1的零点(其中a>1)，则x 1＋4x 2的取值范围是(D )A ．[4，＋∞)B ．(4，＋∞)C ．[5，＋∞)D ．(5，＋∞) 【解析】由f(x)＝x －a －x ＝0得a x ＝1x ；由g(x)＝x log a x －1＝0得log a x ＝1x；因为函数y ＝a x 与y ＝log a x 互为反函数，图像关于直线y ＝x 对称，由⎩⎨⎧y ＝x ，y ＝1x，得⎩⎨⎧x ＝1，y ＝1，不妨设x 1<x2,由图得x 1＋x 2>2，且x 2>1,所以x 1＋4x 2＝x 1＋x 2＋3x 2>5，故答案选D .二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．计算：tan 12°－3（4cos 212°－2）sin 12°＝__－4__．【解析】原式＝sin 12°－3cos 12°2sin 12°cos 12°cos 24°＝2sin （12°－60°）12sin 48°＝－4.14．设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S n ＝2a n －n(n∈N *)，则数列{a n }的通项公式是__a n＝2n －1__．【解析】当n ＝1时，S 1＝2a 1－1，则a 1＝1.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2a n －n －2a n －1＋(n －1)，即a n ＝2a n －1＋1，即a n ＋1＝2(a n －1＋1)． 则数列{a n ＋1}是首项为2，公比为2的等比数列，所以a n ＋1＝2n ，即a n ＝2n －1.15．某一部件由三个电子元件按如图所示方式连接而成，元件1或元件2正常工作，则部件正常工作．设三个电子元件的使用寿命(单位：小时)均服从正态分布N (1 000，σ2)，若每个元件使用寿命超过1 200小时的概率为13，且各个元件能否正常工作相互独立，那么该部件的使用寿命超过800小时的概率为__1627__． 【解析】∵三个电子元件的使用寿命(单位：小时)均服从正态分布N (1 000，σ2)，∴概率密度分布图像关于x ＝1 000(小时)对称，∵每个元件使用寿命超过1 200小时的概率为13，∴每个元件的使用寿命不超过800小时的概率为13，∴每个元件的使用寿命超过800小时的概率为23，根据此部件的结构，元件1，2中至少有一个正常工作，元件3必须正常工作， 又∵各个元件能否正常工作相互独立，设三个元件能正常工作的事件分别记作A ，B ，C ，该部件能正常工作的事件记作M ， 则M ＝(A －·B －)·C ，P (M )＝P ((A －·B －))·P (C )＝(1－P (A －·B －))·P (C )＝(1－P (A －)P (B －))·P (C )＝⎝⎛⎭⎪⎫1－13×13×23＝1627，故答案为1627.16．已知函数f ()x ＝x 2＋m 与函数g ()x ＝－ln 1x －3x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2的图像上至少存在一对关于x 轴对称的点，则实数m 的取值范围是__[]2－ln 2，2__．【解析】原问题等价于h ()x ＝f ()x ＋g ()x ＝x 2＋ln x －3x ＋m 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2有零点，而h ′()x ＝2x ＋1x －3＝1x()2x －1()x －1，知h ()x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1单调递减，在(]1，2单调递增，又h ()1＝m －2，h ()2＝ln 2－2＋m ，h ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－ln 2－54＋m ，由ln 2>12可判断h ()2>h ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，因而h ()x 的值域为[]m －2，ln 2－2＋m ，又h ()x 有零点有m －2≤0≤ln 2－2＋m 得m ∈[]2－ln 2，2.三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．(一)必考题：共60分． 17．(本小题满分12分)在△ABC 中，设角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，c 2，n ＝(cos C ，1)，且m ·n＝b .(Ⅰ)求角A 的大小；(Ⅱ)若a ＝2，求△ABC 的面积S 的最大值．【解析】(Ⅰ)由m ＝⎝⎛⎭⎪⎫a ，c 2，n ＝(cos C ，1)，且m ·n ＝b 可得2a cos C ＋c ＝2b ，(1分) 由正弦定理，得2sin A cos C ＋sin C ＝2sin B ．(2分)又sin B ＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C ，则sin C ＝2cos A sin C ．(4分) 因为sin C ≠0，则cos A ＝12.又0<A <π，所以A ＝π3.(6分)(Ⅱ)因为a ＝2，A ＝π3，由余弦定理，得b 2＋c 2－2bc cos π3＝4，即b 2＋c 2－bc ＝4.(8分) 因为b 2＋c 2≥2bc ，则b 2＋c 2－bc ≥2bc －bc ＝bc . 所以bc ≤4，当且仅当b ＝c 时等号成立．(10分)所以S ＝12bc sin A ≤12×4×32＝3，故△ABC 的面积S 的最大值为 3.(12分)18．(本小题满分12分)某职称晋级评定机构对某次参加专业技术考试的100人的成绩进行了统计，绘制了频率分布直方图(如图所示)，规定80分(满分100分)及以上者晋级成功，否则晋级失败．(Ⅰ)求图中a 的值；(Ⅱ)根据已知条件完成下面2×2列联表，并判断能否有85%的把握认为“晋级成功”与性别有关？(Ⅲ)将频率视为概率，从本次考试的所有人员中，随机抽取4人进行约谈，记这4人中晋级失败的人数为X，求X的分布列与数学期望E(X)．参考公式：K2＝n（ad－bc）2（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d），其中n＝a＋b＋c＋d.【解析】(Ⅰ)由频率分布直方图各小长方形面积总和为1，可知(2a＋0.020＋0.030＋0.040)×10＝1，解得a＝0.005.(2分)(Ⅱ)由频率分布直方图知，晋级成功的频率为0.20＋0.05＝0.25，所以晋级成功的人数为100×0.25＝25(人)，填表如下：(3分)假设“晋级成功”与性别无关，根据上表数据代入公式可得K2＝100×（16×41－34×9）225×75×50×50≈2.613>2.072，(5分)所以有超过85%的把握认为“晋级成功”与性别有关．(6分)(Ⅲ)由频率分布直方图知晋级失败的频率为1－0.25＝0.75，将频率视为概率，则从本次考试的所有人员中，随机抽取1人进行约谈，这人晋级失败的概率为0.75，所以X 可视为服从二项分布，即X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，34，P (X ＝k )＝C k4⎝ ⎛⎭⎪⎫34k ⎝ ⎛⎭⎪⎫144－k(k ＝0，1，2，3，4)，(8分)故P (X ＝0)＝C 04⎝ ⎛⎭⎪⎫340⎝ ⎛⎭⎪⎫144＝1256，P (X ＝1)＝C 14⎝ ⎛⎭⎪⎫341⎝ ⎛⎭⎪⎫143＝364，P (X ＝2)＝C 24⎝ ⎛⎭⎪⎫342⎝ ⎛⎭⎪⎫142＝27128，P (X ＝3)＝C 34⎝ ⎛⎭⎪⎫343⎝ ⎛⎭⎪⎫141＝2764，P (X ＝4)＝C 44⎝ ⎛⎭⎪⎫344⎝ ⎛⎭⎪⎫140＝81256，所以X 的分布列为(11分)数学期望为E (X )＝4×34＝3.(12分)⎝ ⎛⎭⎪⎫或E （X ）＝1256×0＋364×1＋27128×2＋2764×3＋81256×4＝3. 19．(本小题满分12分)如图，在四棱锥P －ABCD 中，侧面PAD ⊥底面ABCD ，侧棱PA ＝PD ＝2，底面ABCD 是直角梯形．其中BC ∥AD ，AB ⊥AD ，AD ＝2AB ＝2BC ＝2.(Ⅰ)求证：平面PCD ⊥平面PAB ；(Ⅱ)线段PD 上是否存在点Q ，使得二面角Q －AC －D 的平面角的正切值为23，如存在，试确定这个点的位置；如不存在，试说明理由．【解析】(Ⅰ)∵PA＝PD＝2，又AD＝2，∴PD⊥PA.(1分)又底面ABCD是直角梯形，AB⊥AD，侧面PAD⊥底面ABCD，∴AB⊥平面PAD，∴AB⊥PD.(3分)∵AB∩PA＝A，∴PD⊥平面PAB.(5分)∴平面PCD⊥平面PAB.(6分)(Ⅱ)解法一：取AD中点O，连接PO，则PO⊥AD，又侧面PAD⊥底面ABCD，∴PO⊥底面ABCD.假设存在点Q，过Q作QN∥PO交AD于点N，过点N作NM⊥AC交AC于点M，连接QM.∵PO⊥底面ABCD，∴QN⊥底面ABCD，∴∠QMN就是二面角Q－AC－D的平面角．(8分)从而QNMN＝23，设QN＝a，则MN＝32a.在△POD中，有PO＝1，QN∥PO，∴DNDO＝QNPO，即DN＝a.(9分)在△ACD中，有AD＝2，AC＝2，∠CAD＝π4，由正弦定理得∠ACD＝π2，∴MN∥CD，从而有DNDA＝CD－MNCD即DN2DO＝CD－MNCD＝2－32a2.(10分)∴a＝2－3a，解得a＝12.(11分)又∵PO＝1，∴存在符合要求的Q点且Q点为PD的中点．(12分)解法二：取AD 中点O ，连接PO ，则PO ⊥AD ， 又侧面PAD ⊥底面ABCD ，∴PO ⊥底面ABCD . ∵BC ∥AD ，AO ＝BC ＝1，AB ⊥AD ，∴CO ⊥AD .以O 为坐标原点，OC 为x 轴，OD 为y 轴，OP 为z 轴建立空间直角坐标系．(7分) 则A (0，－1，0)，C (1，0，0)，D (0，1，0)，P (0，0，1)， ∴AC →＝(1，1，0)，PD →＝(0，1，－1)．假设存在点Q (x ，y ，z )，可设PQ →＝λPD →，则(x ，y ，z －1)＝λ(0，1，－1)，从而Q (0，λ，1－λ)，∴AQ →＝(0，1＋λ，1－λ)，设平面QAC 的法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)，由⎩⎪⎨⎪⎧n 1·AQ →＝0，n 1·AC →＝0，得⎩⎨⎧（λ＋1）y 1＋（1－λ）z 1＝0，x 1＋y 1＝0，取y 1＝1，得n 1＝⎝⎛⎭⎪⎫－1，1，λ＋1λ－1.(9分)取平面ACD 法向量为n 2＝(0，0，1)，从而cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2||n 1·||n 2＝λ＋1λ－11×1＋1＋⎝⎛⎭⎪⎫λ＋1λ－12，(10分)设二面角Q －AC －D 的平面角为θ，∵tan θ＝23且θ∈[0，π]，从而cos θ＝311，(11分)∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ＋1λ－11×1＋1＋⎝⎛⎭⎪⎫λ＋1λ－12＝311，解得λ＝12，或λ＝2(舍去)，∴存在符合要求的Q 点且Q 点为PD 的中点．(12分)20．(本小题满分12分)如图，抛物线C 的顶点在坐标原点，焦点F 在x 轴正半轴上，点M 为圆O ：x 2＋y 2＝12与抛物线C 的一个交点，且|MF |＝3.(Ⅰ)求抛物线C 的标准方程；(Ⅱ)设斜率为22的直线l 与抛物线C 相交于A ，B 两点，若|AB |＝86，证明：直线l 与圆O 相切．【解析】(Ⅰ)设抛物线C 的方程为y 2＝2px (p ＞0)， 联立x 2＋y 2＝12，得x 2＋2px ＝12，即(x ＋p )2＝p 2＋12. 因为x ＞0，则x ＝p 2＋12－p .设点M (x 0，y 0)，则x 0＝p 2＋12－p .(3分)因为|MF |＝3，则x 0＋p2＝3，即p 2＋12－p2＝3，所以p 2＋12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2＋32，化简得p 2－4p ＋4＝0，即(p －2)2＝0，则p ＝2， 所以抛物线C 的标准方程是y 2＝4x .(6分)(Ⅱ)设直线l 的方程为x ＝2y ＋m ，联立y 2＝4x ，得y 2－42y －4m ＝0. 设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝42，y 1y 2＝－4m .(8分) 所以|AB |＝|y 1－y 2|·1＋（2）2＝（y 1＋y 2）2－4y 1y 2·3＝32＋16m ·3＝2＋m ·4 3.(9分)因为|AB |＝86，则2＋m ＝22，即2＋m ＝8，所以m ＝6，此时Δ＝(42)2＋16m >0. 所以直线l 的方程是x ＝2y ＋6，即x －2y －6＝0.(11分) 因为圆O 的半径r ＝23，圆心O 到直线l 的距离d ＝|－6|1＋（2）2＝23＝r ，所以直线l与圆O 相切．(12分)21．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝a ln(x ＋1)＋(x －1)2. (Ⅰ)求函数f (x )的单调区间；(Ⅱ)试证对任意的n ∈N *，有1＋322＋532＋…＋2n －1n 2<2n n ＋1.【解析】(Ⅰ)函数f (x )的定义域为(－1，＋∞)，f ′(x )＝a x ＋1＋2(x －1)＝2x 2＋（a －2）x ＋1.(1分)(1)若a －2≥0，即a ≥2，则f ′(x )≥0对x ∈(－1，＋∞)恒成立，故f (x )在区间(－1，＋∞)上单调递增；(2分)(2)若a －2<0，即a <2，则方程2x 2－(2－a )＝0的两根为x ＝±2－a2； ①当－2－a2≤－1，即a ≤0时，f ′(x )≥0的解为x ≥2－a 2， 故函数的单调递增区间为⎝⎛⎭⎪⎫2－a2，＋∞，单调递减区间为⎝⎛⎭⎪⎫－1，2－a 2；(4分) ②当－2－a2>－1，即0<a <2时，f ′(x )≥0的解为x ≥2－a2或－1<x <－2－a2， 故函数的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－2－a 2，⎝⎛⎭⎪⎫2－a2，＋∞，单调递减区间为⎝⎛⎭⎪⎫－2－a2，2－a 2 .(5分) (Ⅱ)当a ＝2时，f (x )＝2ln(x ＋1)＋(x －1)2，由(Ⅰ)知，f (x )在区间(0，1)上递增，即对任意x ∈(0，1)，有f (x )>f (0)＝1，即2ln(x ＋1)＋(x －1)2>1，整理得2x －x 2<2ln(x ＋1)．(7分)令x ＝1k (k ＝1，2，…，n )，则2k －1k 2<2ln 1＋k k，累加得，1＋322＋532＋…＋2n －1n 2<2⎝⎛⎭⎪⎫ln 2＋ln 32＋ln 43＋…＋ln n ＋1n ＝2ln(n ＋1)．(9分) 下面证明：对任意的n ∈N *，有ln(n ＋1)<nn ＋1.记函数g (t )＝2t ln t －t 2＋1(t >1)，则g ′(t )＝2(ln t －t ＋1)，[g ′(t )]′＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1t －1，当t >1时，[g ′(t )]′<0，故函数g ′(t )在区间(1，＋∞)上递减，因此g ′(t )<g ′(1)＝0，故函数g (t )在(1，＋∞)上也单调递减. 所以g (t )<g (1)＝0，即对t >1，有2t ln t <t 2－1, (11分)令t ＝n ＋1(n ∈N *)，则2n ＋1·ln n ＋1<(n ＋1)2－1，故ln(n ＋1)<nn ＋1. 综上所述，对任意的n ∈N *，有1＋322＋532＋…＋2n －1n 2<2n n ＋1.(12分)(二)选考题：共10分．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．(本小题满分10分)在极坐标系中，已知曲线C 的极坐标方程为ρ＝25cos 2θ－m. (Ⅰ)若曲线C 为双曲线，求m 的取值范围；(Ⅱ)以极点为原点，极轴为x 轴正半轴建立直角坐标系．当m ＝1时，过点P (2，0)作直线l 交曲线C 于A ，B 两点，若|PA |·|PB |＝48，且向量PA →与PB →方向相同，求直线l 的倾斜角．【解析】(Ⅰ)由ρ＝25cos 2θ－m ，得ρ2(5cos 2θ－m )＝4，即5ρ2cos 2θ－m ρ2＝4. (1分)将x ＝ρcos θ，x 2＋y 2＝ρ2代入，得5x 2－m (x 2＋y 2)＝4，即(5－m )x 2－my 2＝4.(3分) 因为曲线C 为双曲线，则(5－m )(－m )＜0，即(m －5)m ＜0，得0＜m ＜5. 所以m 的取值范围是(0，5)．(5分)(Ⅱ)因为m ＝1，则曲线C 的直角坐标方程为4x 2－y 2＝4.(6分)设直线l 的倾斜角为α，则l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2＋t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)．(7分)代入C 的方程，得4(2＋t cos α)2－(t sin α)2＝4，即(4cos 2α－sin 2α)t 2＋16t cos α＋12＝0，即(5cos 2α－1)t 2＋16t cos α＋12＝0，(*)(8分)当5cos 2α－1≠0时，Δ＝(16cos α)2－48(5cos 2α－1)＝16cos 2α＋48>0. 设方程(*)的两实根为t 1，t 2，因为PA →与PB →方向相同，则t 1t 2＝|PA |·|PB |＝48. 所以125cos 2α－1＝48，解得cos 2α＝14，即cos α＝±12. 因为α∈[0，π)，则α＝π3或2π3，所以直线l 的倾斜角为π3或2π3.(10分) 23．(本小题满分10分) 已知x 0∈R 使不等式|x －1|－|x －2|≥t 成立．(Ⅰ)求满足条件的实数t 的集合T ； (Ⅱ)若m ＞1，n ＞1，对t ∈T ，不等式log 3m ·log 3n ≥t 恒成立，求mn 的最小值．【解析】(Ⅰ)∵x 0∈R 使不等式|x －1|－|x －2|≥t 成立，∴|x －1|－|x －2|的最大值大于或等于t ，(2分)∵|x －1|－|x －2|≤|x －1－(x －2)|＝1，当且仅当1≤x ≤2时取等号， 故|x －1|－|x －2|的最大值为1，∴t ≤1，故T ＝{}t |t ≤1.(5分) (Ⅱ)∵m ＞1，n ＞1，对t ∈T ，不等式log 3m ·log 3n ≥t 恒成立，∴log3m·log3n≥1.(6分)又log3m＋log3n＝log3(mn)≥2log3m·log3n≥2＝log39，(9分)∴mn的最小值为9.(10分)。
湖南师范大学附属中学2019届高三上学期月考(四)数学(文)试卷(有答案)
湖南师大附中2019届高三月考试卷(四)数 学(文科)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共8页。
时量120分钟。
满分150分。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集U ＝R ，集合M ＝{} |x 2x <1，集合N ＝{} |x log 2x >1，则下列结论中成立的是(C) A ．M ∩N ＝M B ．M ∪N ＝N C ．M ∩()∁U N ＝M D.()∁U M ∩N ＝【解析】由2x <1＝20，得x <0，由log 2x >1＝log 22，∴x >2，∴M ∩()∁U N ＝{}x |x <0∩{}x |x ≤2＝M ，故答案为C.2．已知三条不重合的直线m 、n 、l ，两个不重合的平面α、β，下列四个命题中正确的是(A) A ．若l ⊥α，m ⊥β，且l ∥m ，则α∥β B ．若m ∥n ，n α，则m ∥αC ．若m α，n α，m ∥β，n ∥β，则α∥βD ．若α⊥β，α∩β＝m ，n β，则n ⊥α【解析】∵m 与α的位置关系不确定，∴m ∥α不一定成立，B 不成立；由于m 与n 几何位置关系不确定，∴α∥β的条件不具备，C 不成立；D 也不成立，∴选A.3．已知P (1，3)在双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1()a >0，b >0的渐近线上，则该双曲线的离心率为(A)A.10 B ．2 C. 5 D. 3【解析】根据点P (1，3)在双曲线的渐近线上，所以双曲线的一条渐近线方程为y ＝3x ，所以有ba＝3，即b ＝3a ，根据双曲线中a ，b ，c 的关系，可以得c ＝10a ，所以有e ＝10，故选A.4．已知f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，||φ<π2，x ∈R )在一个周期内的图象如图所示，则y ＝f (x )的解析式是(B)A ．f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6B ．f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3C ．f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6D ．f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3【解析】由函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，||φ<π2，x ∈R )在一个周期内的图象可得：A ＝1，14T ＝14·2πω＝π12＋π6，解得ω＝2，再把点⎝⎛⎭⎫π12，1代入函数的解析式可得：1＝sin ⎝⎛⎭⎫2×π12＋φ，即sin ⎝⎛⎭⎫π6＋φ＝1.再由||φ<π2可得：φ＝π3，所以函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3.故应选B.5．公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”，利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”．如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出n 的值为(参考数据：sin 15°＝0.258 8，sin 7.5°＝0.130 5)(C)A ．12B ．16C ．24D ．48【解析】由程序框图可列表如下：n 6 12 24 S332336－32因为36－32≈3.106>3.10，所以输出n 的值为24，故选C.6．已知数列{}a n 的前n 项和为S n ，通项公式a n ＝log 2n ＋1n ＋2(n ∈N *)，则满足不等式S n <－6的n 的最小值是(D)A ．62B ．63C ．126D ．127【解析】因为S n ＝log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫23×34×…×n ＋1n ＋2＝log 2⎝⎛⎭⎫2n ＋2<－6，所以2n ＋2<2－6，n >126，故应选D.7．设A 、B 、C 为圆O 上三点，且AB ＝3，AC ＝5，则AO →·BC →＝(D) A ．－8 B ．－1 C ．1 D ．8【解析】取BC 的中点D ，连接AD ，OD ，因为O 为三角形ABC 外接圆的圆心，则AD →＝12(AB→＋AC →)，OD →·BC →＝0.所以AO →·BC →＝(AD →＋DO →)·BC →＝AD →·BC →＝12(AB →＋AC →)·(AC →－AB →)＝12(|AC →|2－|AB →|2)＝8，选D.8．已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x )＝f (x ＋2)，数列{}a n 的前n 项和为S n ，且S n ＝2a n ＋2，则f (a n )＝(A)A ．0B ．0或1C ．－1或0D ．1或－1【解析】∵f (x )＝f (x ＋2)，所以f (x )函数周期为2，∵数列{}a n 满足S n ＝2a n ＋2，∴a 1＝－2，S n－1＝2a n －1＋2，∴a n ＝2a n －2a n －1，即a n ＝2a n －1，∴{a n }以－2为首项，2为公比的等比数列，∴a n＝－2n ，∴f (a n )＝f (－2n )＝f ()0＝0，故选A.9．设定义域为R 的函数f (x )＝⎩⎨⎧||lg ||x －2，x ≠2，0，x ＝2，若b <0，则关于x 的方程[f (x )]2＋bf (x )＝0的不同实数根共有(C)A ．4个B ．5个C ．7个D ．8个【解析】由[f (x )]2＋bf (x )＝0，得f (x )＝0或f (x )＝－b .所以方程[f (x )]2＋bf (x )＝0的根的个数转化为函数y ＝f (x )与函数y ＝0，y ＝－b (b <0)的图象的交点个数．因为函数f (x )的图象大致如图所示，数形结合可知，f (x )＝0有3个实数根，f (x )＝－b (b <0)有4个实数根，所以[f (x )]2＋bf (x )＝0共有7个不同的实数根，故答案选C.10．一个圆锥被过顶点的平面截去了较少的一部分几何体，余下的几何体的三视图如下，则余下部分的几何体的体积为(D)A.8π3＋15B.16π3＋ 3C.8π3＋233D.16π9＋233【解析】由已知中的三视图，圆锥母线为l ＝（5）2＋⎝⎛⎭⎫2322＝22，圆锥的高h ＝（5）2－12＝2，圆锥底面半径为r ＝l 2－h 2＝2，截去的底面弧的圆心角为120°，故底面剩余部分为S ＝23πr 2＋12r 2sin 120°＝83π＋3，故几何体的体积为：V ＝13Sh ＝13×⎝⎛⎭⎫83π＋3×2＝169π＋233，故选D. 11．本周星期日下午1点至6点学校图书馆照常开放，甲、乙两人计划前去自习，其中甲连续自习2小时，乙连续自习3小时．假设这两人各自随机到达图书馆，则下午5点钟时甲、乙两人都在图书馆自习的概率是(B)A.19B.16C.13D.12【解析】据题意，甲、乙应分别在下午4点、3点之前到达图书馆，设甲、乙到达图书馆的时间分别为x ，y ，则⎩⎨⎧1≤x ≤4，1≤y ≤3，所对应的矩形区域的面积为6.若下午5钟点时甲、乙两人都在自习，则⎩⎨⎧3≤x ≤4，2≤y ≤3，所对应的正方形区域的面积为1，所以P ＝16，选B.12．设函数d (x )与函数y ＝log 2x 关于直线y ＝x 对称．已知f (x )＝⎩⎨⎧d （x ）－a ，x <1，4（x 2－3ax ＋2a 2），x ≥1，若函数f (x )恰有2个不同的零点，则实数a 的取值范围是(A)A.⎣⎡⎭⎫12，1∪[2，＋∞)B.⎣⎡⎭⎫14，1∪⎣⎡⎭⎫32，＋∞C.⎣⎡⎭⎫14，＋∞D.⎝⎛⎦⎤－∞，32 【解析】因为函数d (x )与函数y ＝log 2x 关于直线y ＝x 对称，所以d (x )＝2x ；设g (x )＝4(x －a )(x －2a )，x ≥1，h (x )＝2x －a ，x <1，因为f (x )恰有2个不同的零点，又因为h (x )至多有一个零点，故：①若g (x )有两个零点，h (x )没有零点，则⎩⎨⎧a ≥1，h （1）＝2－a ≤0，得a ≥2②若g (x )和h (x )各有1个零点，则⎩⎪⎨⎪⎧a <1，2a ≥1且⎩⎨⎧－a <0，h （1）＝2－a >0，得12≤a <1.综上，a ∈⎣⎡⎭⎫12，1∪[2，＋∞)．故答案选A.选择题答题卡本卷包括必考题和选考题两部分．第13～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22～23题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，满分20分．请把答案填在答题卷对应题号后的横线上．13．已知圆C 1：(x －a )2＋y 2＝1与圆C 2：x 2＋y 2－6x ＋5＝0外切，则a 的值为__0或6__． 【解析】圆C 1：(x －a )2＋y 2＝1的圆心为()a ，0，半径为1，圆C 2：x 2＋y 2－6x ＋5＝0的圆心为()3，0，半径为2，两圆外切，所以||a －3＝3，∴a ＝0，6，故a 的值为0或6.14．如果复数z 满足关系式z ＋||z －＝2＋i ，那么z 等于__34＋i__． 【解析】设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z －＝a －b i ，||z －＝a 2＋b 2，所以a ＋b i ＋a 2＋b 2＝2＋i ， 所以得：⎩⎨⎧a ＋a 2＋b 2＝2，b ＝1，解得：⎩⎪⎨⎪⎧a ＝34，b ＝1所以z ＝34＋i.15．已知2a ＝5b ＝10，则a ＋bab＝__1__．【解析】由已知，a ＝log 210＝1lg 2，b ＝log 510＝1lg 5.所以a ＋b ab ＝1a ＋1b ＝lg 2＋lg 5＝lg 10＝1.16．已知定义在R 上的函数f (x )满足：对任意实数a 、b 都有f (a ＋b )＝f (a )＋f (b )－1，且当x ＞0时f (x )＞1.若f (4)＝5，则不等式f (3x 2－x －2)<3的解集为__⎝⎛⎭⎫－1，43__． 【解析】设x 1＞x 2，则x 1－x 2＞0，f (x 1－x 2)＞1.所以f (x 1)－f (x 2)＝f [(x 1－x 2)＋x 2]－f (x 2)＝f (x 1－x 2)－1>0，即f (x 1)＞f (x 2)，所以f (x )是增函数．因为f (4)＝5，即f (2)＋f (2)－1＝5，所以f (2)＝3.所以原不等式化为f (3x 2－x －2)<f (2)3x 2－x －2<23x 2－x －4<0－1<x <43.故不等式的解集是⎝⎛⎭⎫－1，43.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．(本题满分12分)已知函数f (x )＝a sin x ＋b cos x ，a ≠0，x ∈R ，f (x )的最大值是2，且在x ＝π6处的切线与直线x－y ＝0平行．(1)求a 、b 的值；(2)先将f (x )的图象上每点的横坐标缩小为原来的12，纵坐标不变，再将其向右平移π6个单位得到函数g (x )的图象，已知g ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝1013，α∈⎝⎛⎭⎫π6，π2，求cos 2α的值．【解析】(1)f ′(x )＝a cos x －b sin x ，1分由已知有：⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝2a cos π6－b sin π6＝1，解之得：⎩⎨⎧a ＝3，b ＝1.4分 (2)由(1)有f (x )＝3sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6，6分因为将f (x )的图象上每点的横坐标缩小为原来的12，纵坐标不变，再将其向右平移π6个单位得到函数g (x )的图象，则g (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6，8分由g ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝1013，α∈⎝⎛⎭⎫π6，π2得sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝513，且2α＋π3∈⎝⎛⎭⎫2π3，π，则cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝－1213，10分cos 2α＝cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫2α＋π3－π3＝cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π3cos π3＋sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π3sin π3＝－1213·12＋513·32＝53－1226.12分18．(本题满分12分)如图，已知三棱柱ABC －A ′B ′C ′的侧棱垂直于底面，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，点M ，N 分别是A ′B 和B ′C ′的中点。
湖南师大附中2019届高三3月考数学(理)
湖南师大附中2019届高三3月考数 学(理科)一、选择题：1．已知集合A ＝{4，2，a －1}，B ＝{0，－2，a 2＋1}，若A ∩B ＝{2}，则实数a 满足的集合为(D)A ．{1}B ．{－1}C ．{－1，1}D ． 2．已知复数z 满足z ＋||z ＝3＋i ，则z ＝(D)A ．1－iB ．1＋i C.43－i D.43＋i3．下列说法正确的是(D) A ．命题“x 0∈[]0，1，使x 20－1≥0”的否定为“x ∈[]0，1，都有x 2－1≤0”B ．命题“若向量a 与b 的夹角为锐角，则a ·b >0”及它的逆命题均为真命题C ．命题“在锐角△ABC 中，sin A<cos B ”为真命题D ．命题“若x 2＋x ＝0，则x ＝0或x ＝－1”的逆否命题为“若x ≠0且x ≠－1，则x 2＋x ≠0”【解析】命题“x 0∈[]0，1，使x 20－1≥0”的否定应为“x ∈[]0，1，都有x 2－1<0”，所以A 错误；命题“若向量a 与b 的夹角为锐角，则a ·b >0”的逆命题为假命题，故B 错误；锐角△ABC 中，A ＋B>π2π2>A>π2－B>0，∴sin A>sin ⎝⎛⎭⎫π2－B ＝cos B ，所以C 错误，故选D.4．我国古代数学名著《九章算术》里有一道关于玉石的问题：“今有玉方一寸，重七两；石方一寸，重六两．今有石方三寸，中有玉，并重十一斤(176两)．问玉、石重各几何？”如图所示的程序框图反映了对此题的一个求解算法，运行该程序框图，则输出的x ，y 分别为(C)A ．90，86B ．94，82C ．98，78D ．102，74【解析】执行程序框图，x ＝86，y ＝90，s ≠27；x ＝90，y ＝86，s ≠27；x ＝94，y ＝82，s ≠27；x ＝98，y ＝78，s ＝27，结束循环，输出的x ，y 分别为98，78，故选C.5．已知定义在R 上的函数f(x)＝2|x －m|－1(m 为实数)为偶函数，记a ＝f(log 0.53)，b ＝f ()log 25，c ＝f ()2＋m 则a ，b ，c 的大小关系为(B)A ．a<b<cB ．a<c<bC ．c<a<bD ．c<b<a【解析】∵函数f ()x 是偶函数，∴f ()x ＝f ()－x 在R 上恒成立，∴m ＝0， ∴当x ≥0时，易得f(x)＝2||x －1为增函数， ∴a ＝f(log 0.53)＝f(log 23)，b ＝f ()log 25，c ＝f ()2，∵log 23<2<log 25，∴a<c<b ，故选B.6．学校组织学生参加社会调查，某小组共有5名男同学，4名女同学．现从该小组中选出3名同学分别到A ，B ，C 三地进行社会调查，若选出的同学中男女均有，则不同的安排方法有(D)A ．70种B ．140种C ．840种D ．420种【解析】从9名同学中任选3名分别到A ，B ，C 三地进行社会调查有C 39A 33种安排方法，3名同学全是男生或全是女生有(C 35＋C 34)A 33种安排方法，故选出的同学中男女均有的不同安排方法有C 39A 33－(C 34＋C 35)A 33＝420(种)．7．已知(x ＋1)5＋(x －2)9＝a 0＋a 1(x －1)＋a 2(x －1)2＋…＋a 9(x －1)9，则a 7＝(B) A ．9 B ．36 C ．84 D ．243【解析】令t ＝x －1，则(x ＋1)5＋(x －2)9＝(t ＋2)5＋(t －1)9，只有(t －1)9中展开式含有t 7项，所以a 7＝C 29＝36，选B.8．已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧1≤x ＋y ≤2，x ≤－1，则x ＋yy 的取值范围是(B)A.⎣⎡⎤12，23B.⎝⎛⎦⎤0，23C.⎝⎛⎦⎤－1，－13D.⎣⎡⎦⎤32，2 【解析】将题中可行域表示如右图，易知k ＝yx 在A(－1，3)处取得最小值－3，且斜率k小于直线x ＋y ＝1的斜率－1，故－3≤k<－1，则－1<x y ≤－13，故0<x ＋y y ≤23.9．正四棱锥S －ABCD 的侧棱长与底面边长相等，E 为SC 的中点，则BE 与SA 所成角的余弦值为(C)A.13B.12C.33D.32【解析】如图，设AC ∩BD ＝O ，连接OE ，因为OE 是△SAC 的中位线，故EO ∥SA ，则∠BEO 为BE 与SA 所成的角．设SA ＝AB ＝2a ，则OE ＝12SA ＝a ，BE ＝32SA ＝3a ，OB＝22SA ＝2a ，所以△EOB 为直角三角形，所以cos ∠BEO ＝OE BE ＝a 3a ＝33，故选C.10．如图所示，点F 是抛物线y 2＝8x 的焦点，点A ，B 分别在抛物线y 2＝8x 及圆(x －2)2＋y 2＝16的实线部分上运动，且AB 总是平行于x 轴，则△FAB 的周长的取值范围是(C)A ．(2，6)B ．(6，8)C ．(8，12)D ．(10，14)【解析】抛物线的准线l ：x ＝－2，焦点F(2，0)，由抛物线定义可得|AF|＝x A ＋2， 圆(x －2)2＋y 2＝16的圆心为(2，0)，半径为4，∴三角形FAB 的周长为|AF|＋|AB|＋|BF|＝(x A ＋2)＋(x B －x A )＋4＝6＋x B ，由抛物线y 2＝8x 及圆(x －2)2＋y 2＝16可得交点的横坐标为2，则x B ∈(2，6)，所以6＋x B ∈(8，12)，故选C.11．在平面直角坐标系xOy 中，已知点A(3，0)，B(1，2)，D(3，2)，动点P 满足OP →＝λOA →＋μOB →，其中λ∈[0，1]，μ∈[0，2]，λ＋μ∈[1，2]，则点P 落在三角形ABD 里面的概率为(A)A.12B.33C.32D.23【解析】以OA ，OB 为邻边做平行四边形OACB ，延长OB 至E ，使得OE ＝2OB ， ∵OP →＝λOA →＋μOB →，且λ∈[0，1]，μ∈[0，2]，λ＋μ∈[1，2]，∴P 点位于平行四边形ABEC 的内部(包含边界)，则点P 落在三角形ABD 里面的概率P ＝S △ABC S ABEC ＝12，选A.12．已知函数f(x)＝4sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6，x ∈⎣⎡⎦⎤0，46π3，若函数F(x)＝f(x)－3的所有零点依次记为x 1，x 2，x 3，…，x n ，且x 1<x 2<x 3<…<x n ，则x 1＋2x 2＋2x 3＋…＋2x n －1＋x n ＝(C)A.1 276π3 B ．445π C ．455π D.1 457π3【解析】函数f(x)＝4sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6，令2x －π6＝π2＋k π得x ＝12k π＋π3，k ∈Z ，即f(x)的对称轴方程为x ＝12k π＋π3，k ∈Z .∵f(x)的最小正周期为T ＝π，0≤x ≤46π3，当k ＝30时，可得x ＝46π3，∴f(x)在⎣⎡⎦⎤0，46π3上有31条对称轴，根据正弦函数的性质可知：函数f(x)＝4sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6与y ＝3的交点x 1，x 2关于π3对称，x 2，x 3关于5π6对称，…，即x 1＋x 2＝2π6×2，x 2＋x 3＝5π6×2，…，x n －1＋x n ＝2×⎝⎛⎭⎫292π＋π3，将以上各式相加得：x 1＋2x 2＋3x 3＋…＋2x 30＋x 31＝2⎝⎛⎭⎫2π6＋5π6＋…＋89π6＝(2＋5＋8＋…＋89)×π3＝455π，则x 1＋2x 2＋2x 3＋…＋2x n －1＋x n ＝(x 1＋x 2)＋(x 2＋x 3)＋x 3＋…＋x n －1＋(x n －1＋x n )＝2⎝⎛⎭⎫π2＋3π2＋…＋59π2＝455π.故选C.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a>0，b>0)的右焦点F 且斜率为1的直线与双曲线有且只有一个交点，则双曲线的离心率为．14．设函数f(x)的导数为f′(x)，且f(x)＝x 3＋f′⎝⎛⎭⎫23x 2－x ，f(x)，则f′(1)＝__0__． 【解析】因为f(x)＝x 3＋f′⎝⎛⎭⎫23x 2－x ，所以f′(x)＝3x 2＋2f ′⎝⎛⎭⎫23x －1， 所以f′⎝⎛⎭⎫23＝3⎝⎛⎭⎫232＋2f′⎝⎛⎭⎫23×23－1，则f′⎝⎛⎭⎫23＝－1，f(x)＝x 3－x 2－x ， 则f′(x)＝3x 2－2x －1，故f′(1)＝0.15．已知三棱锥P －ABC 的四个顶点均在某球面上，PC 为该球的直径，△ABC 是边长为4的等边三角形，三棱锥P －ABC 的体积为163，则此三棱锥的外接球的表面积为__80π3__．【解析】依题意，记三棱锥P －ABC 的外接球的球心为O ，半径为R ，点P 到平面ABC 的距离为h ，则由V P －ABC ＝13S △ABC h ＝13×⎝⎛⎭⎫34×42×h ＝163得h ＝433.又PC 为球O 的直径，因此球心O 到平面ABC 的距离等于12h ＝233.又正△ABC 的外接圆半径为r ＝AB 2sin 60°＝433，因此R 2＝r 2＋⎝⎛⎭⎫2332＝203，所以三棱锥P －ABC 的外接球的表面积为4πR 2＝80π3.16．已知在平面四边形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝2，AC ⊥CD ，AC ＝CD ，则四边形ABCD 的面积的最大值为．【解析】如图所示，设∠ABC ＝θ，θ∈(0，π)，则在△ABC 中，由余弦定理得， AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB·BC·cos θ＝6－42cos θ，∴四边形ABCD 的面积为S ＝S △ABC ＋S △ACD ＝12(AB·BC·sin θ＋AC·CD)，化简得：S ＝12(22sin θ＋6－42cos θ)＝3＋2(sin θ－2cos θ)＝3＋10sin(θ－φ)，其中tan φ＝2，当sin(θ－φ)＝1时，S 取得最大值为3＋10. 三、解答题：17．(本题满分12分)设数列{a n }的前n 项和为S n ，满足2S n ＝a n ＋1－2n ＋1＋1，n ∈N *，且a 1＝1，设b n ＝a n2n －1＋2，n ∈N *.(1)求数列{b n }的通项公式；(2)证明：对一切正整数n ，有1a 1＋1a 2＋…＋1a n <32.【解析】(1)∵2S n ＝a n ＋1－2n ＋1＋1，∴当n ≥2时，有2S n －1＝a n －2n ＋1， 两式相减整理得a n ＋1－3a n ＝2n ，2分则a n ＋12n －32·a n2n －1＝1， 即a n ＋12n ＋2＝32⎝⎛⎭⎫a n 2n －1＋2.∴b n ＋1＝32b n ，(n ≥2)，4分 当n ＝1时，2S 1＝a 2－22＋1，且S 1＝a 1＝1，则a 2＝5， ∴b 1＝a 120＋2＝3，b 2＝a 221＋2＝92，满足b 2＝32b 1，∴b n ＋1＝32b n ，(n ∈N *)．故数列{b n }是首项为3，公比为32的等比数列，即b n ＝3·⎝⎛⎭⎫32n －1.6分 (2)由(1)知b n ＝a n 2n －1＋2＝3⎝⎛⎭⎫32n －1，∴a n ＝3n －2n ，则1a n ＝13n －2n ，8分当n ≥2时，⎝⎛⎭⎫32n>2，即3n －2n >2n， ∴1a 1＋1a 2＋…＋1a n <1＋⎝⎛⎭⎫122＋⎝⎛⎭⎫123＋…＋⎝⎛⎭⎫12n ＝1＋12⎝⎛⎭⎫1－12n －1<32.11分 当n ＝1时，1a 1＝1<32，上式也成立．综上可知，对一切正整数n ，有1a 1＋1a 2＋…＋1a n <32.12分18．如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AD ＝DC ＝CB ＝1，∠ABC ＝60°，四边形ACFE 为矩形，平面ACFE ⊥平面ABCD ，CF ＝1.(1)求证：BC ⊥平面ACFE ；(2)点M 在线段EF 上运动，设平面MAB 与平面FCB 所成二面角为θ()θ≤90°，试求cos θ的取值范围．【解析】(1)在梯形ABCD 中，因为AB ∥CD ，AD ＝DC ＝CB ＝1，∠ABC ＝60°，所以AB ＝2， 所以AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB·BC·cos 60°＝3， 所以AB 2＝AC 2＋BC 2，所以BC ⊥AC.因为平面ACFE ⊥平面ABCD ，平面ACFE ∩平面ABCD ＝AC ， BC 平面ABCD ，所以BC ⊥平面ACFE.(2)建立以直线CA ，CB ，CF 为x 轴，y 轴，z 轴的空间直角坐标系如图所示， 令FM ＝λ(0≤λ≤3)，则C(0，0，0)，A(3，0，0)，B(0，1，0)，M(λ，0，1)， 所以AB →＝(－3，1，0)，BM →＝(λ，－1，1)， 设n 1＝(x ，y ，z)为平面MAB 的一个法向量， 由⎩⎪⎨⎪⎧n 1·AB →＝0，n 1·BM →＝0，得⎩⎨⎧－3x ＋y ＝0，λx －y ＋z ＝0，取x ＝1，所以n 1＝(1，3，3－λ)，因为n 2＝(1，0，0)是平面FCB 的一个法向量．所以cos θ＝|n 1·n 2||n 1||n 2|＝11＋3＋（3－λ）2×1＝1（λ－3）2＋4. 因为0≤λ≤3，所以当λ＝0时，cos θ有最小值77， 当λ＝3时，cos θ有最大值12.所以cos θ∈⎣⎡⎤77，12.19．(本题满分12分)如图，已知椭圆C 1：x 24＋y 2＝1的左、右顶点为A 1，A 2，上、下顶点为B 1，B 2，记四边形A 1B 1A 2B 2的内切圆为C 2.(1)求圆C 2的标准方程；(2)已知圆C 2的一条不与坐标轴平行的切线l 交椭圆C 1于P ，M 两点．(ⅰ)求证：OP ⊥OM ；(ⅱ)试探究1OP 2＋1OM 2是否为定值．【解析】(1)因为A 2，B 1分别为椭圆C 1：x 24＋y 2＝1的右顶点和上顶点，则A 2，B 1坐标分别为(2，0)，(0，1)，可得直线A 2B 1的方程为：x ＋2y ＝2.则原点O 到直线A 2B 1的距离为d ＝21＋22＝25，则圆C 2的半径r ＝d ＝25， 故圆C 2的标准方程为x 2＋y 2＝45.(2)(i)可设切线l ：y ＝kx ＋b(k ≠0)，P(x 1，y 1)，M(x 2，y 2)，将直线PM 方程代入椭圆C 1可得⎝⎛⎭⎫14＋k 2x 2＋2kbx ＋b 2－1＝0，由韦达定理得：⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－2kb 14＋k 2，x 1x 2＝b 2－114＋k2，则y 1y 2＝(kx 1＋b)(kx 2＋b)＝k 2x 1x 2＋kb(x 1＋x 2)＋b 2＝－k 2＋14b 214＋k 2，又l 与圆C 2相切，可知原点O 到l 的距离d ＝|b|k 2＋12＝25，整理可得k 2＝54b 2－1， 则y 1y 2＝1－b 214＋k 2，所以OP →·OM →＝x 1x 2＋y 1y 2＝0，故OP ⊥OM.8分(ii)由OP ⊥OM 知S △OPM ＝12||OP ||OM ，①当直线OP 的斜率不存在时，显然|OP|＝1，|OM|＝2，此时1OP 2＋1OM 2＝54； ②当直线OP 的斜率存在时，设OP ：y ＝k 1x 代入椭圆方程可得x 24＋k 21x 2＝1，则x 2＝41＋4k 21，故OP 2＝x 2＋y2＝(1＋k 21)x 2＝4（1＋k 21）1＋4k 21， 同理OM 2＝4⎣⎡⎦⎤1＋⎝⎛⎭⎫－1k 121＋4⎝⎛⎭⎫－1k 12＝4（k 21＋1）k 21＋4， 则1OP 2＋1OM 2＝1＋4k 214（1＋k 21）＋k 21＋44（1＋k 21）＝54. 综上可知：1OP 2＋1OM 2＝54为定值. 20．中国大学先修课程，是在高中开设的具有大学水平的课程，旨在让学有余力的高中生早接受大学思维方式、学习方法的训练，为大学学习乃至未来的职业生涯做好准备．某高中开设大学先修课程已有两年，两年共招收学生2 000人，其中有300人参与学习先修课程，两年全校共有优等生200人，学习先修课程的优等生有60人．这两年学习先修课程的学生都参加了考试，并且都参加了某高校的自主招生考试(满分100分)，结果如下表所示：否有关系，根据列联表的独立性检验，能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为学习先修课程与优等生有关系？(2)的频率作为今年参加大学先修课程学习成绩的概率．①在今年参与大学先修课程的学生中任取一人，求他获得某高校自主招生通过的概率；②设今年全校参加大学先修课程的学生获得某高校自主招生通过的人数为ξ，求Eξ.参考公式：K 2＝n （ad －bc ）（a ＋b ）（c ＋d ）（a ＋c ）（b ＋d ），其中n ＝a ＋b ＋c ＋d.【解析】2分等高条形图如图：4分通过图形可判断学习先修课与优等生有关系，又K 2＝2 000（60×1 560－140×240）2300×1 700×200×1 800≈39.216>6.635，因此在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为学习先修课程与优等生有关系.(2)①p ＝20300×0.9＋55300×0.8＋105300×0.6＋70300×0.5＋50300×0.4＝0.6.8分②设获得某高校自主招生通过的人数为ξ，则ξ～B ⎝⎛⎭⎫150，35， P(x ＝k)＝C k 150⎝⎛⎭⎫35k ⎝⎛⎭⎫25150－k，k ＝0，1，2，…，150，10分所以Eξ＝150×35＝90.12分21．设函数f(x)＝x 22－aln x －12，a ∈R .(1)若函数f(x)在区间[]1，e (e ＝2.718 28…为自然对数的底数)上有唯一的零点，求实数a 的取值范围；(2)若在[1，e](e ＝2.718 28…为自然对数的底数)上存在一点x 0，使得f ()x 0<x 202－a ＋1x 0－x 0－12成立，求实数a 的取值范围．【解析】(1)f′(x)＝x －a x ＝x 2－ax，其中x ∈[1，e]，①当a ≤1时，f ′(x)≥0恒成立，f(x)单调递增，又∵f(1)＝0，∴函数f(x)在区间[1，e]上有唯一的零点，符合题意．②当a ≥e 2时，f ′(x)≤0恒成立，f(x)单调递减，又∵f(1)＝0，∴函数f(x)在区间[1，e]上有唯一的零点，符合题意.3分③当1<a<e 2时，1≤x<a 时，f ′(x)<0，f(x)单调递减，又∵f(1)＝0，∴f(a)<f(1)＝0，∴函数f(x)在区间[1，a]上有唯一的零点，当a<x ≤e 时，f ′(x)>0，f(x)单调递增，∴当f(e)<0时符合题意，即e 22－a －12<0，∴a>e 2－12时，函数f(x)在区间[1，a]上有唯一的零点；∴a 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫a|a ≤1或a>e 2－12.6分 (2)在[1，e]上存在一点x 0，使得f ()x 0<x 202－a ＋1x 0－x 0－12成立，等价于x 0＋1x 0－aln x 0＋a x 0<0在[1，e]上有解，即函数g(x)＝x ＋1x －aln x ＋ax在[]1，e 上的最小值小于零．g ′()x ＝1－1x 2－a x －a x 2＝x 2－ax －a －1x 2＝()x ＋1()x －a －1x 2，8分①当a ＋1≥e 时，即a ≥e －1时，g ()x 在[]1，e 上单调递减，所以g ()x 的最小值为g ()e ，由g ()e ＝e ＋1＋a e －a<0可得a>e 2＋1e －1，∵e 2＋1e －1>e －1，∴a>e 2＋1e －1；②当a ＋1≤1时，即a ≤0时，g ()x 在[]1，e 上单调递增，所以g ()x 的最小值为g ()1，由g ()1＝1＋1＋a<0可得a<－2；10分③当1<a ＋1<e 时，即0<a<e －1时，可得g ()x 的最小值为g ()a ＋1，∵0<ln ()a ＋1<1，∴0<aln ()a ＋1<a ，g ()a ＋1＝a ＋1＋1a ＋1－aln ()a ＋1＋aa ＋1＝a ＋2－aln(a ＋1)>2，所以g ()1＋a <0不成立．综上所述：可得所求a 的取值范围是(－∞，－2)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫e 2＋1e －1，＋∞.12分(二)选考题：22．选修4－4：坐标系与参数方程已知曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋2cos θ，y ＝1＋2sin θ(θ为参数)．以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．(1)求曲线C 的极坐标方程；(2)若直线l ：θ＝α(α∈[0, π), ρ∈R )与曲线C 相交于A ，B 两点，设线段AB 的中点为M ，求|OM|的最大值．【解析】(1)曲线C 的普通方程为(x ＋1)2＋(y －1)2＝22，由⎩⎨⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，得ρ2＋2ρcos θ－2ρsin θ－2＝0.5分 (2)联立θ＝α和ρ2＋2ρcos θ－2ρsin θ－2＝0，得ρ2＋2ρ(cos α－sin α)－2＝0， 设A(ρ1, α)，B(ρ2, α)，则ρ1＋ρ2＝2(sin α－cos α)＝22sin ⎝⎛⎭⎫α－π4，由|OM|＝|ρ1＋ρ22|，得|OM|＝2⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫α－π4≤2， 当α＝3π4时，|OM|取最大值 2. 23选修4—5: 不等式选讲已知函数f ()x ＝||x ＋a ＋||x －2.(1)当a ＝1时，求不等式f ()x ≥7的解集；(2)若f ()x ≤||x －4＋||x ＋2a 的解集包含[]0，2，求a 的取值范围．【解析】(1)当a ＝1时， f ()x ＝⎩⎨⎧－2x ＋1，x ≤－1，3，－1<x<2，2x －1，x ≥2，当x ≤－1时，由f ()x ≥7得－2x ＋1≥7，解得x ≤－3；当－1<x<2时， f ()x ≥7无解；当x ≥2时，由f ()x ≥7得2x －1≥7，解得x ≥4，所以f ()x ≥7的解集为(]－∞，－3∪[)4，＋∞.(2)f ()x ≤||x －4＋||x ＋2a 的解集包含[]0，2等价于||x ＋a －||x ＋2a ≤||x －4||－x －2在[]0，2上恒成立，当x ∈[]0，2时，||x ＋a －||x ＋2a ≤||x －4||－x －2＝2等价于(||x ＋a －||x ＋2a )max ≤2恒成立，而||x ＋a －||x ＋2a ≤||（x ＋a ）－（x ＋2a ）＝||a ，∴||a ≤2，故满足条件的a 的取值范围是[]－2，2.。
湖南师范大学附属中学2019届高三上学期月考(四)数学(理)试卷(含答案)
1 ＋ 1 ＋ 1 ＋…＋ 1
21 22 23
2n－1
－2n－1＝1＋ 2n＋1 2
1－2n1－1
－2n－1＝3－2n＋3， 2n＋1 2 2n＋1
所以 Tn＝3－2n2＋n 3，10 分 由 Tn＝3－2n2＋n 3>1776－0 2n，得2n2＋n 3<3－1776－0 2n＝2n6＋0 3，即 2n>60，则 n≥6，
3 2的等边三角形，若该几何体的外接球的体积为 36π，则该几何体的体积为__9__．
【解析】根据几何体的三视图，得出该几何体如图所示，由该几何体的外接球的体积为 36π，
即4πR3＝36π，R＝3，则球心 O 到底面等边△ABC 的中心 O′的距离|OO′|＝ 3
R2－
3×3 3
22 ＝
3，
可得三棱锥的高 h＝2|OO′|＝2 3，故三棱锥的体积 V＝1× 3×(3 2)2×2 3＝9. 34
33
得 b＝9.故选 C. 4
7．气象意义上从春季进入夏季的标志为：“连续 5 天的日平均温度均不低于 22 ℃”．现有甲、
乙、丙三地连续 5 天的日平均温度的记录数据(记录数据都是正整数)：
①甲地：5 个数据的中位数为 24，众数为 22；
②乙地：5 个数据的中位数为 27，总体均值为 24； ③丙地：5 个数据中有一个数据是 32，总体均值为 26，总体方差为 10.8. 则肯定进入夏季的地区有(B) A．①②③ B．①③ C．②③ D．①§§§§§ 【解析】 由统计知识，①甲地：5 个数据的中位数为 24，众数为 22，可知①符合题意；②乙地： 5 个数据的中位数为 27，总体均值为 24，有可能某一天的气温低于 22 ℃，所以不符合题意；③丙 地：5 个数据中有一个数据是 32，总体均值为 26，总体方差为 10.8.若某一天的气温低于 22 ℃，则 总体方差就大于 10.8，所以满足题意，故选 B. 8．平面α过正方体 ABCD－A1B1C1D1 的顶点 A，平面α∥平面 A1BD，平面α∩平面 ABCD＝l， 则直线 l 与直线 A1C1 所成的角为(D)
湖南师范大学附属中学2019届高三上学期月考(五)数学(理)(解析版)
理科数学试题(附中版)－炎德·英才大联考湖南师大附中2019届高三月考试卷(五)数学(理科)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.若复数z满足 (i为虚数单位)，则z在复平面内对应的点位于（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】A【解析】【分析】由题意，根据复数的运算，化简求得，则z对应的点为(2，1)，即可得到答案.【详解】由题意，复数，则z对应的点为(2，1)．故选A.【点睛】本题主要考查了复数的四则运算，以及复数的表示，其中解答中熟记复数的运算法则，准确化简、运算复数是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.2.设m为给定的一个实常数，命题p：，则“”是“命题p为真命题”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分且必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】由图命题为真，求得，又由成立时，是成立的，即可得到“”是“命题为真命题”的充分不必要条件，得到答案.【详解】若命题为真，则对任意恒成立，所以，即.因为成立时，是成立的，所以“”是“命题为真命题”的充分不必要条件．选A.【点睛】本题主要考查了全称命题的应用，以及充分不必要条件的应用，其中解答中熟记二次函数的性质，求得恒成立时的取值范围，进而利用充要条件的判定方法求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.3.若等差数列的前5项之和，且，则（）A. 12B. 13C. 14D. 15【答案】B【解析】试题分析：由题意得，，又，则，又，所以等差数列的公差为，所以．考点：等差数列的通项公式．4.已知某7个数的平均数为3，方差为，现又加入一个新数据3，此时这8个数的平均数为x，方差为，则（）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】B【解析】【分析】由题设条件，利用平均数和方差的计算公式，进行求解，即可得到答案.【详解】由题意，根据这7个数的平均数为3，方差为，即，，即，现又加入一个新数据3，此时这8个数的平均数为，方差为，即，故选B.【点睛】本题主要考查了数据的平均数和方差的计算公式的应用，其中解答中熟记熟记的平均数和方差的计算公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.5.若正整数N除以正整数m后的余数为r，则记为N＝r(mod m)，例如13＝3(mod 5)．下列程序框图的算法源于我国古代算术《中国剩余定理》，则执行该程序框图输出的i等于（）A. 4B. 8C. 16D. 32【答案】C【解析】【分析】由题意，根据给定的程序框图，逐次循环，计算其运算的结果，即可得到答案.【详解】由题意，根据给定的程序框图，可知第一次执行循环体，得i＝2，N＝18，此时，不满足第一条件；第二次执行循环体，得i＝4，N＝22，此时，但22＜25，不满足第二条件；第三次执行循环体，得i＝8，N＝30，此时，不满足第一条件；第四次执行循环体，得i＝16，N＝46，此时，且46＞25，退出循环．所以输出i的值为16.选C.【点睛】本题主要考查了循环结构的程序框图的计算与输出问题，其中解答中根据给定的程序框图，根据判断条件，逐次循环，准确求解每次循环的运算结果求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.6.如图，已知六棱锥P－ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABC，则下列结论正确的是（）A. PB⊥ADB. 平面PAB⊥平面PBCC. 直线BC∥平面PAED. 直线CD⊥平面PAC【答案】D【解析】【分析】由题意，分别根据线面位置关系的判定定理和性质定理，逐项判定，即可得到答案.【详解】因为AD与PB在平面ABC内的射影AB不垂直，所以A答案不正确．过点A作PB的垂线，垂足为H，若平面PAB⊥平面PBC，则AH⊥平面PBC，所以AH⊥BC.又PA⊥BC，所以BC⊥平面PAB，则BC⊥AB，这与底面是正六边形不符，所以B答案不正确．若直线BC∥平面PAE，则BC∥AE，但BC与AE相交，所以C答案不正确．故选D.【点睛】本题考查线面位置关系的判定与证明，熟练掌握空间中线面位置关系的定义、判定、几何特征是解答的关键，其中垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型：(1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行；(2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直；(3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直．7.在的展开式中，的系数为（）A. －320B. －160C. 160D. 320【答案】B【解析】【分析】由题意，可知二项式的展开式中第r＋1项为，令和，即可求解得系数. 【详解】由题意，可知二项式的展开式中第r＋1项为，令，得r＝4；令，得r＝3.∴在展开式中的系数为.故选B.【点睛】本题主要考查了二项式定理的应用，其中解答中熟记二项展开式的通项，合理求解的值，准确运算是解答此类问题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.8.若函数 (，)的图象的一条对称轴方程是，函数的图象的一个对称中心是，则的最小正周期是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据题意得到，得，得出，即可求解函数的最小正周期，得到答案.【详解】由题设，有，即，得，又，所以，从而，所以，，即，，又由，所以，于是，故的最小正周期是.选B.【点睛】本题主要考查了三角函数的图象与性质的应用，其中解答中合理利用三角恒等变换的公式和三角函数的图象与性质，求解的值是解答本题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.9.已知点(x，y)是不等式组表示的平面区域内的一个动点，且目标函数的最大值为7，最小值为1，则（）A. 1B. －1C. 2D. －2【答案】B【解析】【分析】由目标函数的最大值为7，最小值为1，代入目标函数，联立方程组，求解A、B点的坐标，再代入，即可求解.【详解】由目标函数的最大值为7，最小值为1，联立方程和，解得A(3，1)，B(1，－1)，由题意知A，B两点在直线上，所以解得a＝－1，b＝1.故选B.【点睛】本题主要考查了简单的线性规划的应用问题，其中解答中正确理解题意，根据目标函数的最值，代入联立方程组求得A、B点坐标是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力.10.在△ABC中，∠ABC＝120°，AB＝3，BC＝1，D是边AC上的一点，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】设，根据向量的数量积，求解，即可求解的取值范围.【详解】因为D是边AC上的一点(包括端点)，∴设∵∠ABC＝120°，AB＝3，BC＝1，∴，∴∵，∴.∴的取值范围是.故选D.【点睛】本题主要考查了向量的数量积的应用，以及平面向量的基本定理的应用，其中合理利用平面向量的数量积的运算公式，化简得到是解答本题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.11.已知椭圆上一点A关于原点的对称点为点B，F为其右焦点，若AF⊥BF，设∠ABF＝α，且，则该椭圆的离心率e的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由题意设椭圆的左焦点为N，连接AN，BN，因为AF⊥BF，所以四边形AFBN为长方形，再根据椭圆的定义化简得，得到，，即可求解椭圆离心率的取值范围.【详解】由题意椭圆上一点A关于原点的对称点为点B，F为其右焦点，设左焦点为N，连接AN，BN，因为AF⊥BF，所以四边形AFBN为长方形．根据椭圆的定义：，由题∠ABF＝α，则∠ANF＝α，所以，利用，∵，∴，，即椭圆离心率e的取值范围是，故选A.【点睛】本题主要考查了椭圆的离心率的取值范围问题，其中解答中合理利用椭圆的定义和题设条件，得到，再利用三角函数的性质求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.12.设平行于x轴的直线l分别与函数和的图象相交于点A，B，若在函数的图象上存在点C，使得△ABC 为等边三角形，则这样的直线l（）A. 至少一条B. 至多一条C. 有且只有一条D. 无数条【答案】C【解析】【分析】设直线l的方程为，求得点、，得到|AB|＝1，再由CD⊥AB，得点，根据点C在函数的图象上，得到关于的方程，即可求解.【详解】设直线l的方程为，由，得，所以点．由，得，所以点，从而|AB|＝1.如图，取AB的中点D，连接CD，因为△ABC为等边三角形，则CD⊥AB，且|AD|＝，|CD|＝，所以点.因为点C在函数的图象上，则，解得，所以直线l有且只有一条，选C.【点睛】本题主要考查了指数函数的图象与性质的应用，其中解答中熟记指数函数的图象与性质，以及根据三角形的性质，合理列出关于实数的方程是解答问题的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.由一个长方体和两个圆柱体构成的几何体的三视图如图，则该几何体的体积为_________．【答案】【解析】【分析】根据几何体的三视图，可得原几何体表示两端为个圆柱，中间为一个长方体，分别利用圆柱和长方体的体积公式，即可求解.【详解】根据几何体的三视图，可得原几何体表示两端为个圆柱，中间为一个长方体，由长方体长为2，宽为1，高为1，则长方体的体积，圆柱的底面半径为1，高为1，则圆柱体的体积，则该几何体的体积.【点睛】本题考查了几何体的三视图及组合体的表面积的计算，在由三视图还原为空间几何体的实际形状时，要根据三视图的规则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线在三视图中为虚线.求解以三视图为载体的空间几何体的表面积与体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解.14.已知函数的值域为R，则实数a的最大值是______．【答案】2【解析】【分析】由题意，当时，，由的值域为，则当时，，根据对数函数的单调性，列出不等式，即可求解.【详解】由题意，当时，.因为的值域为R，则当时，，因为在上单调递增，则，即，所以，所以的最大值为2.【点睛】本题主要考查了函数的值域的应用，其中解答中熟记函数的值域的定义，以及对数函数的图象与性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.15.已知点，，若圆C：上存在一点P，使得PA⊥PB，则正实数m的取值范围是____．【答案】【解析】【分析】根据圆C的方程，设点，由P点到线段AB中点的距离为，可化简得，其中，根据三角函数的性质，即可求解.【详解】圆C的方程化为：，∴设，如图，线段AB的中点坐标为，，∴P点到线段AB中点的距离为，∴，∴，∴，其中，∴，又，∴.【点睛】本题主要考查了三角函数的图象与性质，以及直角三角形的性质和两点间的距离公式的应用，其中解答中根据直角三角形的性质，转化为P点到线段AB中点的距离为，再利用三角函数的性质求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及转化思想的应用.16.已知数列满足：，，，，且数列是单调递增数列，则实数λ的取值范围是____．【答案】【解析】【分析】由题意，数列满足，取倒数可得，即，利用等比数列的通项公式可得，代入得，再利用数列的单调性，即可求解.【详解】由题意，数列满足，取倒数可得，即，所以数列表示首项为2，公比为2的等比数列，所以，所以，因为数列是单调递增数列，所以当时，，即；当时，，因此.【点睛】本题主要考查了等比数列的定义的通项公式，以及数列的递推关系式，数列的单调性等知识点的综合应用，其中解答中根据等比数列的定义和递推关系式，合理利用数列的单调性，列出相应的不等式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．(一)必考题：共60分．17.在锐角△ABC中，.(Ⅰ)求角A的大小；(Ⅱ)求的取值范围．【答案】(Ⅰ) (Ⅱ)【解析】【分析】(Ⅰ)由题意，化简得，进而求得，即可得到A角的大小；(Ⅱ)由(Ⅰ)知，在锐角△ABC中，求得，又由三角恒等变换的公式，化简得，利用三角函数的额性质，即可求解.【详解】(Ⅰ)由已知，，即.在△ABC中，因为，则，所以，从而.所以，即.(Ⅱ)由(Ⅰ)知，在锐角△ABC中，，则，，由,知，所以，即的取值范围是.【点睛】本题主要考查了三角恒等变换，以及三角函数的性质的应用，其中解答中熟记三角恒等变换的公式，合理应用三角函数的性质求解是解答的关键，着重考查了推理与运算的能力，属于基础题.18.如图，三棱锥P－ABC的顶点P在圆柱轴线上，底面△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，且∠ABC＝60°，O1O ＝AB＝4，上一点D在平面ABC上的射影E恰为劣弧AC的中点．(Ⅰ)设，求证：DO⊥平面PAC；(Ⅱ)设，求二面角D－AC－P的余弦值．【答案】(Ⅰ) 见解析(Ⅱ)【解析】【分析】解法一：(Ⅰ)连结DE，OE，设OE与AC的交点为G，连结PG，DG，DO，证得DE⊥平面ABC，得出AC⊥平面DEOO1，进而得DO⊥AC，又在矩形中，证得DO⊥PG，利用线面垂直的判定定理，即可得到DO⊥平面PAC.(Ⅱ)由AC⊥平面DEOO1，得∠DGP即为二面角D－AC－P的平面角，在△DGP中由余弦定理，即可求解二面角的余弦值. 解法二：(Ⅰ)在平面ABC中，过点O作AB的垂线，交弧EC于H，建立空间直角坐标系，证得，，得到AC⊥OD，AP⊥OD，即可得到DO⊥平面PAC.(Ⅱ)分别求得平面PAC和平面DAC的法向量为，利用向量的夹角公式，即可求解二面角的余弦值.【详解】解法一：(Ⅰ)连结DE，OE，设OE与AC的交点为G，连结PG，DG，DO，因为△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，所以△ABC为直角三角形，又∠ABC＝60°，AB＝4，故BC＝2，，因为E是弧AC中点，所以OE⊥AC，.又因为DE⊥平面ABC，故DE⊥AC，所以AC⊥平面DEOO1，故DO⊥AC.又，所以在矩形中，，，故，又，所以，所以DO⊥PG，所以DO⊥平面PAC.(Ⅱ)在轴截面内有PO＝OG＝1，所以，，，由AC⊥平面DEOO1，得∠DGP即为二面角D－AC－P的平面角，在△DGP中由余弦定理可求得.解法二：(Ⅰ)在平面ABC中，过点O作AB的垂线，交弧EC于H，如图建立空间直角坐标系，因为△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，所以△ABC为直角三角形，又∠ABC＝60°，AB＝4，故BC＝2，AC＝2，又，所以，，，，所以，，，所以，，故AC⊥OD，AP⊥OD，从而DO⊥平面PAC.(Ⅱ)由OP＝1知P(0，0，1)，设平面PAC的法向量为，则有即取，设平面DAC的法向量，则有即取，则，所以二面角D－AC－P的余弦值为.【点睛】点睛：本题考查了立体几何中的线面垂直的判定和二面角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力；解答本题关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平面与平面关系的相互转化，通过严密推理，明确角的构成.同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.19.某有机水果种植基地试验种植的某水果在售卖前要成箱包装，每箱80个，每一箱水果在交付顾客之前要按约定标准对水果作检测，如检测出不合格品，则更换为合格品．检测时，先从这一箱水果中任取10个作检测，再根据检测结果决定是否对余下的所有水果作检测．设每个水果为不合格品的概率都为，且各个水果是否为不合格品相互独立．(Ⅰ)记10个水果中恰有2个不合格品的概率为，求取最大值时p的值；(Ⅱ)现对一箱水果检验了10个，结果恰有2个不合格，以(Ⅰ)中确定的作为p的值．已知每个水果的检测费用为1.5元，若有不合格水果进入顾客手中，则种植基地要对每个不合格水果支付a元的赔偿费用．(ⅰ)若不对该箱余下的水果作检验，这一箱水果的检验费用与赔偿费用的和记为X，求EX；(ⅱ)以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，当种植基地要对每个不合格水果支付的赔偿费用至少为多少元时，将促使种植基地对这箱余下的所有水果作检验？【答案】(Ⅰ)0.2 (Ⅱ) (ⅰ) (ⅱ)8【解析】【分析】(Ⅰ)记10个水果中恰有2个不合格品的概率为，求得，利用导数即可求解函数的单调性，进而求得函数的最值.(Ⅱ)由(Ⅰ)知，(ⅰ)中，依题意知，，进而利用公式，即可求解；(ⅱ)如果对余下的水果作检验，得这一箱水果所需要的检验费为120元，列出相应的不等式，判定即可得到结论. 【详解】(Ⅰ)记10个水果中恰有2个不合格品的概率为f(p)，则，∴，由，得.且当时，；当时，.∴的最大值点.(Ⅱ)由(Ⅰ)知，(ⅰ)令Y表示余下的70个水果中的不合格数，依题意知，∴.(ⅱ)如果对余下的水果作检验，则这一箱水果所需要的检验费为120元，由，得，且，∴当种植基地要对每个不合格水果支付的赔偿费用至少为8元时，将促使种植基地对这箱余下的所有水果作检测．【点睛】本题主要考查了独立重复试验的概率的应用，以及二项分布的应用，其中解答中认真审题，分析试验过程，根据对立重复试验求得事件的概率，以及正确利用分布列的性质求解上解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.20.如图所示，在△ABC中，AB＝2，AB的中点为O，点D在AB的延长线上，且.固定边AB，在平面内移动顶点C，使得圆M与边BC，边AC的延长线相切，并始终与AB的延长线相切于点D，记顶点C的轨迹为曲线Γ.以AB所在直线为x轴，O为坐标原点建立平面直角坐标系．(Ⅰ)求曲线Γ的方程；(Ⅱ)过点的直线l与曲线Γ交于不同的两点S，R，直线SB，RB分别交曲线Γ于点E，F.设，，求的取值范围．【答案】(Ⅰ) (Ⅱ)【解析】【分析】(Ⅰ)依题意得出，利用椭圆的定义，即可判定C点的轨迹，得到椭圆的方程；(Ⅱ)设，，，得到，，由，求得当直线SB与x轴不垂直时，设直线SB的方程为，代入椭圆Γ方程，利用根与系数的关系，化简得，，设直线l的方程为，代入椭圆方程并整理得，利用根与系数的关系，化简得，即可求解.【详解】(Ⅰ)依题意得AB＝2，，设动圆M与边AC的延长线相切于，与边BC相切于，则，，.所以，所以点C的轨迹Γ是以A，B为焦点，长轴长为2的椭圆，且挖去长轴的两个顶点．则曲线Γ的方程为.(Ⅱ)设，，，由题意得，则，．由，得，即当直线SB与x轴不垂直时，直线SB的方程为，即，代入椭圆Γ方程并整理得，则有，即，于是.当SB与x轴垂直时，点S的横坐标为1，λ＝1，显然成立．同理可得.设直线l的方程为，代入椭圆方程并整理，得，依题意有解得又，则.由，得，即．【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程与几何性质、直线与圆锥曲线的位置关系的应用问题,解答此类题目，通常确定椭圆方程是基础，通过联立直线方程与椭圆方程的方程组，应用一元二次方程根与系数的关系，得到“目标函数”的解析式，确定函数的性质进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错漏百出，本题能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等.21.已知函数有两个不同的极值点．(Ⅰ)求实数a的取值范围；(Ⅱ)设，讨论函数的零点个数．【答案】(Ⅰ) (Ⅱ) 当时，有2个零点；当时，有1个零点；当时，没有零点．【解析】【分析】(Ⅰ)由题意，求得，令，得，设，转化为直线y＝a与函数的图象有两个不同的交点，利用导数求得函数的单调性与最值，进而求解的取值范围；(Ⅱ)由(Ⅰ)可知，，且，求得函数的单调性和极值，分类讨论，即可确定函数的极值点的个数.【详解】(Ⅰ)由题意，求得，因为有两个不同的极值点，则有两个不同的零点．令，则，即.设，则直线y＝a与函数的图象有两个不同的交点．因为，由，得ln x＜0，即，所以在上单调递增，在上单调递减，从而.因为当时，；当时，；当时，，所以a的取值范围是．(Ⅱ)因为，为的两个极值点，则，为直线与曲线的两个交点的横坐标．由(Ⅰ)可知，，且，因为当或时，，即；当时，，即，则在，上单调递减，在上单调递增，所以的极小值点为，极大值点为.当时，因为，，，则，所以在区间内无零点．因为，，则①当，即时，.又，则，所以.此时在和内各有1个零点，且.②当，即时，，此时在内有1个零点，且.③当，即时，，此时在内无零点，且.综上分析，当时，有2个零点；当时，有1个零点；当时，没有零点．【点睛】本题主要考查导数在函数中的应用，以及函数的极值点个数的确定问题，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，求解曲线在某点处的切线方程；(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数；(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决函数的恒成立与有解问题，同时注意数形结合思想的应用.(二)选考题：共10分．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22. 选修4—4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中，设倾斜角为α的直线l：（t为参数）与曲线C：（θ为参数）相交于不同的两点A，B．（Ⅰ）若α＝，求线段AB中点M的坐标；（Ⅱ）若｜PA｜·｜PB｜＝｜OP｜，其中P（2，），求直线l的斜率．【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）将曲线的参数方程化为普通方程，当时，设点对应参数为．直线方程为代入曲线的普通方程，得，由韦达定理和中点坐标公式求得，代入直线的参数方程可得点的坐标；（2）把直线的参数方程代入椭圆的普通方程可得关于参数的一元二次方程，由已知条件和韦达定理可得，求得的值即得斜率.试题解析：设直线上的点，对应参数分别为，．将曲线的参数方程化为普通方程．（1）当时，设点对应参数为．直线方程为（为参数）．代入曲线的普通方程，得，则，所以，点的坐标为．（2）将代入，得，因为，，所以．得．由于，故．所以直线的斜率为．考点：直线的参数方程与椭圆参数方程及其在研究直线与椭圆位置关系中的应用.23.选修4－5：不等式选讲，已知函数，.(Ⅰ)当a＝1时，求不等式的解集；(Ⅱ)若对任意实数，，不等式恒成立，求实数a的取值范围．【答案】(Ⅰ) (Ⅱ)【解析】【分析】(Ⅰ)当时，不等式化为，分类讨论，即可求解不等式的解集；(Ⅱ)根据绝对值的三角不等式，求得，，根据，列出相应的不等式组，即可求解.【详解】(Ⅰ)当时，不等式化为.则或或，即或或，即，所以不等式的解集是．(Ⅱ)因为，当，即时取等号，所以.因为，当时取等号，所以.据题意，，则，即，所以解得，所以a的取值范围是．【点睛】本题主要考查了绝对值不等式的求解，以及绝对值不等式的三角不等式的应用，其中解答中合理分类讨论，以及正确运用绝对值的三角不等式求得函数的最值是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力.。
湖南师大附中2019届高三上学期月考试卷(一) 数学(理)
湖南师大附中2019届高三月考试卷(一)数 学(理科)★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
3、选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4、非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
6、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并上交。
时量：120分钟满分：150分一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设复数z ＝x ＋y i ，其中x ，y 是实数，i 是虚数单位，若y 1－i＝x ＋i ，则复数z 的共轭复数在复平面内对应的点位于(D)A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【解析】由已知，y ＝(1－i)(x ＋i)＝x ＋1＋(1－x )i ，则y ＝x ＋1，且1－x ＝0，即x ＝1，y ＝2.所以z －＝x －y i ＝1－2i ，所对应的点(1，－2)位于第四象限，选D.2．已知向量a 与b 的夹角是π3，且|a |＝1，|b |＝4，若(3a ＋λb )⊥a ，则实数λ的值为(B) A.32B ．－32C.23D ．－23【解析】由已知，(3a ＋λb )·a ＝0，即3a 2＋λb ·a ＝0，所以3＋2λ＝0，即λ＝－32，选B. 3．下列说法中正确的是(C)A ．若样本数据x 1，x 2，…，x n 的平均数为5，则样本数据2x 1＋1，2x 2＋1，…，2x n ＋1的平均数为10B ．用系统抽样法从某班按学号抽取5名同学参加某项活动，若抽取的学号为5，16，27，38，49，则该班学生人数可能为60C ．某种圆环形零件的外径服从正态分布N (4，0.25)(单位：cm)，质检员从某批零件中随机抽取一个，测得其外径为5.6 cm ，则这批零件不合格D ．对某样本通过独立性检验，得知有95%的把握认为吸烟与患肺病有关系，则在该样本吸烟的人群中有95%的人可能患肺病【解析】对于A ，若x 1，x 2，…，x n 的平均数为5，则2x 1＋1，2x 2＋1，…，2x n ＋1的平均数为2×5＋1＝11，所以说法错误；对于B ，由抽取的号码可知样本间隔为11，则对应的人数为11×5＝55人．若该班学生人数为60，则样本间隔为60÷5＝12，所以说法错误．对于C ，因为μ＝4，σ＝0.5，则(u －3σ，u ＋3σ)＝(2.5，5.5)，因为5.6 (2.5，5.5)，则这批零件不合格，所以说法正确．对于D ，有95%的把握认为吸烟与患肺病有关系，是指对该样本所得结论：“吸烟与患肺病有关系”有95%的正确性，所以说法错误．选C.4．已知⎝⎛⎭⎫2x 2－1x n (n ∈N *)的展开式中各项的二项式系数之和为128，则其展开式中含1x项的系数是(A)A ．－84B ．84C ．－24D ．24【解析】由已知，2n ＝128，得n ＝7，所以T r ＋1＝C r 7(2x 2)7－r ⎝⎛⎭⎫－1x r＝(－1)r ·27－r C r 7x14－3r . 令14－3r ＝－1，得r ＝5，所以展开式中含1x项的系数为(－1)527－5C 57＝－84，选A.5.已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且f (x )在R 上单调递增，若a ，b ，c 成等差数列，且b ＞0，则下列结论正确的是(A)A ．f (b )＞0，且f (a )＋f (c )＞0B ．f (b )＞0，且f (a )＋f (c )＜0C ．f (b )＜0，且f (a )＋f (c )＞0D ．f (b )＜0，且f (a )＋f (c )＜0【解析】由已知，f (b )＞f (0)＝0.因为a ＋c ＝2b ＞0，则a ＞－c ，从而f (a )＞f (－c )＝－f (c )， 即f (a )＋f (c )＞0，选A.6．设x 为区间[－2，2]内的均匀随机数，则计算机执行下列程序后，输出的y 值落在区间⎣⎡⎦⎤12，3内的概率为(C)A.34B.58C.12D.38【解析】因为当x ∈[－2，0]时，y ＝2x ∈⎣⎡⎦⎤14，1； 当x ∈(0，2]时，y ＝2x ＋1∈(1，5]．所以当y ∈⎣⎡⎦⎤12，3时，x ∈[－1，1]，其区间长度为2，所求的概率P ＝24＝12，选C. 7．已知函数f (x )＝sin 2x －2sin 2x ＋1，给出下列四个结论：(B)①函数f (x )的最小正周期是2π；②函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤π8，5π8上是减函数；③函数f (x )的图象关于直线x ＝π8对称；④函数f (x )的图象可由函数y ＝2sin 2x 的图象向左平移π4个单位得到．其中正确结论的个数是A ．1B ．2C ．3D ．4【解析】f (x )＝sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4. ①因为ω＝2，则f (x )的最小正周期T ＝π，结论错误．②当x ∈⎣⎡⎦⎤π8，5π8时，2x ＋π4∈⎣⎡⎦⎤π2，3π2，则f (x )在区间⎣⎡⎦⎤π8，5π8上是减函数，结论正确．③因为f ⎝⎛⎭⎫π8＝2为f (x )的最大值，则f (x )的图象关于直线x ＝π8对称，结论正确． ④设g (x )＝2sin 2x ，则g ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝2sin 2⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝2cos 2x ≠f (x )，结论错误，选B.8.已知命题p ：若a ＞2且b ＞2，则a ＋b ＜ab ；命题q ： x >0，使(x－1)·2x ＝1，则下列命题中为真命题的是(A)A ．p ∧qB ．(綈p )∧qC ．p ∧(綈q )D ．(綈p )∧(綈q )【解析】若a ＞2且b ＞2，则1a <12且1b <12，得1a ＋1b <1，即a ＋b ab<1，从而a ＋b ＜ab ，所以命题p 为真．因为直线y ＝x －1与函数y ＝⎝⎛⎭⎫12x 的图象在(0，＋∞)内有唯一交点，则方程x －1＝⎝⎛⎭⎫12x 有正数解，即方程(x －1)·2x ＝1有正数解，所以命题q 为真，选A.9．已知实数x ，y 满足|x |＋|y |≤1，则z ＝2|x |－|y |的最大值为(D)A ．5B ．4C ．3D ．2【解析】令|x |＝a ，|y |＝b ，则⎩⎨⎧a ＋b ≤1，a ≥0，b ≥0，且z ＝2a －b .作可行域，平移直线l ：b ＝2a －z ，由图知，当直线l 过点(1，0)时，直线l 的纵截距最小，从而z 为最大，且z max ＝2×1－0＝2，选D.10．如图，在平面四边形ABCD 中，AB ＝AD ＝CD ＝1，AB ⊥AD ，BD ⊥CD .将该四边形沿对角线BD 折成一个直二面角A ―BD ―C ，则四面体ABCD 的外接球的体积为(B) A.23π B.32π C ．2π D ．3π【解析】如图，因为平面ABD ⊥平面BCD ，BD ⊥CD ，则CD ⊥平面ABD ，从而CD ⊥AB .因为AB ⊥AD ，则AB ⊥平面ACD ，从而AB ⊥AC ，所以BC 是外接球的直径．在Rt △BDC 中，BC ＝BD 2＋CD 2＝3，则球半径R ＝32. 所以外接球的体积V ＝43π⎝⎛⎭⎫323＝32π，选B. 11．设双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，O 为坐标原点，若双曲线上存在点M 满足|MF 1|＝2|MO |＝2|MF 2|，则双曲线的离心率为(C)A ．6B ．3 C.6D. 3【解析】过点M 作x 轴的垂线，垂足为A ，因为|MO |＝|MF 2|，则A 为OF 2的中点，所以|AF 2|＝c 2，|AF 1|＝3c 2.设|MF 2|＝m ，则|MF 1|＝2m .在Rt △MAF 1中，|MA |2＝4m 2－94c 2. 在Rt △MAF 2中，|MA |2＝m 2－c 24，则4m 2－94c 2＝m 2－c 24，即3m 2＝2c 2. 因为|MF 1|－|MF 2|＝2a ，则m ＝2a ，所以3×(2a )2＝2c 2，即c 2＝6a 2，所以e ＝c a＝6，选C.12．对于给定的正整数n ，设集合X n ＝{1，2，3，…，n }，A X n ，且A ≠ ．记I (A )为集合A 中的最大元素，当A 取遍X n 的所有非空子集时，对应的所有I (A )的和记为S (n )，则S (2 018)＝(D)A ．2 018×22 018＋1B ．2 018×22 017＋1C ．2 017×22 017＋1D ．2 017×22 018＋1【解析】对于集合X n ，满足I (A )＝1的集合A 只有1个，即{1}；满足I (A )＝2的集合A 有2个，即{2}，{1，2}；满足I (A )＝3的集合A 有4个，即{3}，{1，3}，{2，3}，{1，2，3}；…；满足I (A )＝n 的集合A 有2n －1个，所以S (n )＝1＋2·2＋3·22＋…＋n ·2n －1.由错位相减法，得S (n )＝(n －1)2n ＋1，所以S (2 018)＝2 017×22 018＋1，选D.二、填空题，本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知cos ⎝⎛⎭⎫α－π3＝13，则sin ⎝⎛⎭⎫2α－π6＝__－79__． 【解析】sin ⎝⎛⎭⎫2α－π6＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫α－π3＋π2＝cos 2⎝⎛⎭⎫α－π3＝2cos 2⎝⎛⎭⎫α－π3－1＝－79.14．如图，在△ABC 中，AD →＝13DC →，P 是线段BD 上一点，若AP →＝mAB →＋16AC →，则实数m 的值为__13__． 【解析】因为AD →＝13DC →，则AC →＝4AD →，所以AP →＝mAB →＋23AD →. 因为B ，P ，D 三点共线，则m ＋23＝1，所以m ＝13. 15．已知函数f (x )＝|2x －1|－a ，若存在实数x 1，x 2(x 1≠x 2)，使得f (x 1)＝f (x 2)＝－1，则a的取值范围是__(1，2)__．【解析】令f (x )＝－1，则|2x －1|＝a －1.据题意，直线y ＝a －1与函数y ＝|2x －1|的图象两个不同的交点，由图可知，0＜a －1＜1，即1＜a ＜2.16．设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝1，且S n ＝4－⎝⎛⎭⎫1＋2n a n (n ∈N *)，则数列{a n }的通项公式是a n ＝__n 2n －1__． 【解析】当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝⎝⎛⎭⎫1＋2n －1a n －1－⎝⎛⎭⎫1＋2n a n ，则⎝⎛⎭⎫2＋2n a n ＝⎝⎛⎭⎫1＋2n －1a n －1，即a n n ＝a n －12（n －1），所以数列{a n n }是首项为1，公比为12的等比数列，则a n n＝⎝⎛⎭⎫12n －1，即a n ＝n 2n －1. 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答．(一)必考题：60分．17．(本小题满分12分)如图，在平面四边形ABCD 中，AB ＝4，AD ＝2，∠BAD ＝60°，∠BCD ＝120°.(1)若BC ＝22，求∠CBD 的大小；(2)设△BCD 的面积为S ，求S 的取值范围．【解析】(1)在△ABD 中，因为AB ＝4，AD ＝2，∠BAD ＝60°，则BD 2＝AB 2＋AD 2－2AB ·AD ·cos ∠BAD ＝16＋4－2×4×2×12＝12，所以BD ＝2 3.(3分) 在△BCD 中，因为∠BCD ＝120°，BC ＝22，BD ＝23，由BC sin ∠CDB ＝BD sin ∠BCD，得 sin ∠CDB ＝BC sin ∠BCD BD ＝22sin 120°23＝22，则∠CDB ＝45°.(5分) 所以∠CBD ＝60°－∠CDB ＝15°.(6分)(2)设∠CBD ＝θ，则∠CDB ＝60°－θ.在△BCD 中，因为BC sin （60°－θ）＝BD sin 120°＝4，则BC ＝4sin(60°－θ)．(8分) 所以S ＝12BD ·BC ·sin ∠CBD ＝43sin(60°－θ)sin θ＝43⎝⎛⎭⎫32cos θ－12sin θsin θ ＝3sin 2θ－23sin 2θ＝3sin 2θ－3(1－cos 2θ)＝3sin 2θ＋3cos 2θ－3＝23sin(2θ＋30°)－ 3.(11分)因为0°＜θ＜60°，则30°＜2θ＋30°＜150°，12<sin(2θ＋30°)≤1，所以0<S ≤ 3. 故S 的取值范围是(0，3]．(12分)18．(本小题满分12分)如图，在三棱锥P －ABC 中，P A ⊥底面ABC ，AB ＝2，AC ＝4，∠BAC ＝120°，D 为BC 的中点．(1)求证：AD ⊥PB ；(2)若二面角A －PB －C 的大小为45°，求三棱锥P －ABC 的体积．【解析】(1)在△ABC 中，由余弦定理得BC 2＝4＋16－2×2×4×cos 120°＝28，则BC ＝27.因为D 为BC 的中点，则BD ＝CD ＝7.(2分)因为AD →＝12(AB →＋AC →)，则AD →2＝14(AB →＋AC →)2＝14(AB →2＋AC →2＋2AB →·AC →) ＝14(4＋16＋2×2×4×cos 120°)＝3，所以AD ＝ 3.(4分) 因为AB 2＋AD 2＝4＋3＝7＝BD 2，则AB ⊥AD .(5分)因为P A ⊥底面ABC ，则P A ⊥AD ，所以AD ⊥平面P AB ，从而AD ⊥PB .(6分)(2)解法一：因为AD ⊥平面P AB ，过点A 作AE ⊥PB ，垂足为E ，连结DE .则DE ⊥PB ，所以∠AED 为二面角A －PB －C 的平面角．(8分)在Rt △DAE 中，由已知，∠AED ＝45°，则AE ＝AD ＝ 3.(9分)在Rt △P AB 中，设P A ＝a ，则PB ＝AB 2＋P A 2＝4＋a 2.(10分)因为AB ×AP ＝PB ×AE ，则2a ＝4＋a 2×3，即4a 2＝3(4＋a 2)，解得a 2＝12，所以P A ＝a ＝2 3.(11分)所以V P －ABC ＝13×S △ABC ×P A ＝13×12×2×4×sin 120°×23＝4.(12分)解法二：分别以直线AB ，AD ，AP 为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，如图．设P A ＝a ，则点B (2，0，0)，D (0，3，0)，P (0，0，a )．所以BD →＝(－2，3，0)，BP →＝(－2，0，a )．(8分)设平面PBC 的法向量为m ＝(x ，y ，z )，则 ⎩⎪⎨⎪⎧m ·BD →＝0，m ·BP →＝0，即⎩⎨⎧－2x ＋3y ＝0，－2x ＋az ＝0. 取x ＝3，则y ＝2，z ＝23a ，所以m ＝⎝⎛⎭⎫3，2，23a .(9分) 因为n ＝(0，1，0)为平面P AB 的法向量，则|cos 〈m ，n 〉|＝cos 45°＝22，即|m ·n ||m |·|n |＝22. 所以27＋12a2＝22，解得a 2＝12，所以P A ＝a ＝2 3.(11分) 所以V P －ABC ＝13×S △ABC ×P A ＝13×12×2×4×sin 120°×23＝4.(12分) 19．(本小题满分12分)有甲、乙两家外卖公司，其送餐员的日工资方案如下：甲公司底薪80元，送餐员每单抽成4元；乙公司无底薪，40单以内(含40单)的部分送餐员每单抽成6元，超过40单的部分送餐员每单抽成7元．现从这两家公司各随机选取一名送餐员，分别记录其50天的送餐单数，(1)40单的概率；(2)假设同一个公司的送餐员一天的送餐单数相同，将频率视为概率，回答下列两个问题： (ⅰ)求乙公司送餐员日工资的分布列和数学期望；(ⅱ)小张打算到甲、乙两家公司中的一家应聘送餐员，如果仅从日均工资的角度考虑，小张应选择哪家公司应聘？说明你的理由．【解析】(1)由表知，50天送餐单数中有30天的送餐单数不小于40单，记抽取的3天送餐单数都不小于40为事件A ，则P (A )＝C 330C 350＝29140.(3分) (2)(ⅰ)设乙公司送餐员的送餐单数为n ，日工资为X 元，则当n ＝38时，X ＝38×6＝228；当n ＝39时，X ＝39×6＝234；当n ＝40时，X ＝40×6＝240；当n ＝41时，X ＝40×6＋7＝247；当n ＝42时，X ＝40×6＋14＝254.所以X(7分)E ()X ＝228×15＋234×310＋240×15＋247×15＋254×110＝238.6.(9分) (ⅱ)依题意，甲公司送餐员的日平均送餐单数为 38×0.2＋39×0.2＋40×0.3＋41×0.2＋42×0.1＝39.8，(10分)所以甲公司送餐员的日平均工资为80＋4×39.8＝239.2元，(11分)因为238.6<239.2，所以小张应选择甲公司应聘．(12分)20．(本小题满分12分)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一个焦点与抛物线y 2＝43x 的焦点重合，且直线y ＝b ax 与圆x 2＋y 2－10x ＋20＝0相切．(1)求椭圆C 的方程；(2)设斜率为k 且不过原点的直线l 与椭圆C 相交于A 、B 两点，O 为坐标原点，直线OA ，OB 的斜率分别为k 1，k 2，若k 1，k ，k 2成等比数列，推断|OA |2＋|OB |2是否为定值？若是，求出此定值；若不是，说明理由．【解析】(1)因为抛物线y 2＝43x 的焦点为(3，0)，则c ＝3，所以a 2－b 2＝3.(2分)因为直线bx －ay ＝0与圆(x －5)2＋y 2＝5相切，则5b b 2＋a2＝5，即a 2＝4b 2.(4分) 解得a 2＝4，b 2＝1，所以椭圆C 的方程是x 24＋y 2＝1.(5分) (2)设直线l 的方程为y ＝kx ＋m (m ≠0)，点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，将直线l 的方程代入椭圆方程，得x 2＋4(kx ＋m )2＝4，即(4k 2＋1)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0，则x 1＋x 2＝－8km 4k 2＋1，x 1x 2＝4m 2－44k 2＋1.(7分) 由已知，k 2＝k 1k 2＝y 1y 2x 1x 2＝（kx 1＋m ）（kx 2＋m ）x 1x 2，则k 2x 1x 2＝(kx 1＋m )(kx 2＋m )， 即km (x 1＋x 2)＋m 2＝0，所以－8k 2m 24k 2＋1＋m 2＝0，即(1－4k 2)m 2＝0. 因为m ≠0，则k 2＝14，即k ＝±12，从而x 1＋x 2＝ 2m ，x 1x 2＝2m 2－2.(10分) 所以|OA |2＋|OB |2＝x 21＋y 21＋x 22＋y 22＝x 21＋(kx 1＋m )2＋x 22＋(kx 2＋m )2＝(k 2＋1)(x 21＋x 22)＋2km (x 1＋x 2)＋2m 2＝(k 2＋1)[(x 1＋x 2)2－2x 1x 2]＋2km (x 1＋x 2)＋2m 2.＝54[4m 2－2(2m 2－2)]－2m 2＋2m 2＝5为定值．(12分) 21．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝e x －a (x －1)，a ∈R ，e 为自然对数的底数．(1)若存在x 0∈(1，＋∞)，使f (x 0)＜0，求实数a 的取值范围；(2)若f (x )有两个不同零点x 1，x 2，证明：x 1＋x 2＞x 1x 2.【解析】(1)解法一：f ′(x )＝e x －a .(1分)①若a ≤0，因为e x >0，则f ′(x )>0，此时f (x )在R 上单调递增．当x ∈(1，＋∞)时，f (x )＞f (1)＝e ＞0，不合题意．(2分)②若a ＞0，由f ′(x )>0，得e x >a ，即x ＞ln a ，则f (x )在(ln a ，＋∞)上单调递增，在(－∞，ln a )上单调递减，所以f (x )min ＝f (ln a )＝e ln a －a (ln a －1)＝a (2－ln a )．(4分)据题意，⎩⎪⎨⎪⎧ln a >1，a （2－ln a ）<0，则ln a ＞2，即a >e 2，所以a 的取值范围是(e 2，＋∞)．(5分) 解法二：当x ∈(1，＋∞)时，由f (x )＜0，得e x <a (x －1)，即a >e x x －1.(1分) 设g (x )＝e xx －1(x >1)，据题意，当x ∈(1，＋∞)时，a ＞g (x )能成立，则a >g (x )min .(2分) 因为g ′(x )＝e x （x －1）－e x （x －1）2＝（x －2）e x（x －1）2(x >1)，(3分) 则当x ＞2时，g ′(x )>0，g (x )单调递增；当1＜x ＜2时，g ′(x )<0，g (x )单调递减．(4分) 所以g (x )min ＝g (2)＝e 2，故a 的取值范围是(e 2，＋∞)．(5分)(2)由题设，f (x 1)＝f (x 2)＝0，即⎩⎨⎧e x 1＝a （x 1－1），e x 2＝a （x 2－1），则e x 1·e x 2＝a 2(x 1－1)(x 2－1)， 即e x 1＋x 2＝a 2(x 1x 2－x 1－x 2＋1)．(7分)要证x 1＋x 2＞x 1x 2，只要证e x 1＋x 2<a 2，即证x 1＋x 2<2ln a ，即证x 1<2ln a －x 2.(8分) 不妨设x 1＜x 2，由(1)可知，a >e 2，且x 1＜ln a ＜x 2，从而2ln a －x 2＜ln a .因为f (x )在(－∞，ln a )上单调递减，所以只要证f (x 1)>f (2ln a －x 2)，即证f (x 2)>f (2ln a －x 2)．(9分)设h (x )＝f (x )－f (2ln a －x )，则h ′(x )＝f ′(x )＋f ′(2ln a －x )＝e x －2a ＋e 2ln a －x ＝e x ＋a 2e x －2a ≥2e x ·a 2ex －2a ＝0， 所以h (x )在R 上单调递增．因为x 2＞ln a ，则h (x 2)>h (ln a )＝f (ln a )－f (ln a )＝0， 即f (x 2)－f (2ln a －x 2)>0，即f (x 2)>f (2ln a －x 2)，所以原不等式成立．(12分)(二)选考题：共10分．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，已知曲线C 1的极坐标方程为ρ＝4cos θ，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1－255t ，y ＝1＋55t (t 为参数)． (1)求曲线C 1的直角坐标方程及直线l 的普通方程；(2)若曲线C 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos α，y ＝sin α(α为参数)，点P 在曲线C 1上，其极角为π4，点Q 为曲线C 2上的动点，求线段PQ 的中点M 到直线l 的距离的最大值．【解析】(1)由ρ＝4cos θ，得ρ2＝4ρcos θ.将ρ2＝x 2＋y 2，x ＝ρcos θ代入，得 曲线C 1的直角坐标方程为x 2＋y 2－4x ＝0.(3分)由⎩⎨⎧x ＝1－255t ，y ＝1＋55t ，得x ＋2y ＝3，所以直线l 的普通方程为x ＋2y －3＝0.(5分)(2)由题设，点P 的极坐标为⎝⎛⎭⎫22，π4，其直角坐标为(2，2)．(7分) 设点Q (2cos α，sin α)，则PQ 的中点M 的坐标为⎝⎛⎭⎫1＋cos α，1＋12sin α.(8分) 点M 到直线l 的距离d ＝|1＋cos α＋2＋sin α－3|5＝105⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4≤105. 所以点M 到直线l 的距离的最大值为105.(10分) 23．(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲已知函数f (x )＝|x ＋a |＋|x －2|，其中a 为实常数．(1)若函数f (x )的最小值为3，求a 的值；(2)若当x ∈[1，2]时，不等式f (x )≤|x －4|恒成立，求a 的取值范围．【解析】(1)因为f (x )＝|x ＋a |＋|x －2|≥|(x ＋a )－(x －2)|＝|a ＋2|，(3分)当且仅当(x ＋a )(x －2)≤0时取等号，则f (x )min ＝|a ＋2|.令|a ＋2|＝3，则a ＝1或a ＝－5.(5分)(2)当x ∈[1，2]时，f (x )＝|x ＋a |＋2－x ，|x －4|＝4－x .由f (x )≤|x －4|，得|x ＋a |＋2－x ≤4－x ，即|x ＋a |≤2，即―2≤x ＋a ≤2，即―x －2≤a ≤－x ＋2.所以(－x －2)max ≤a ≤(－x ＋2)min .(8分)因为函数y ＝－x －2和y ＝－x ＋2在[1，2]上都是减函数，则当x ＝1时，(－x －2)max ＝－3；当x ＝2时，(－x ＋2)min ＝0，所以a 的取值范围是[－3，0]．(10分)。
2019师大附中高三月考(一)理数答案
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理科数学参考答案! 附中版" !" !
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湖南师大附中2019届高三上学期月考(四)数学(理)试题(含解析)
湖南师大附中2019届高三月考试卷(四)数 学(理科)时量：120分钟 满分：150分一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A ＝{x ∈R |x 2－x －2＜0}，B ＝{x ∈Z |x ＝2t ＋1，t ∈A}，则A ∩B ＝( ) A ．{－1，0，1}B ．{－1，0}C ．{0，1}D ．{0}2．已知复数z ＝21－i ，给出下列四个结论：①|z|＝2；② z 2＝2i ；③z 的共轭复数z ＝－1＋i ；④z的虚部为i.其中正确结论的个数是( )A ．0B. 1C ．2D ．33．若向量a 与b 满足()a ＋b ⊥a ，且||a ＝1，||b ＝2，则向量a 在b 方向上的投影为( ) A. 3B ．－12C ．－1D.334．五进制是以5为底的进位制，主因乃人类的一只手有五只手指. 中国古代的五行学说也是采用的五进制，0代表土，1代表水，2代表火，3代表木，4代表金，依此类推，5又属土，6属水，……，减去5即得. 如图，这是一个把k 进制数a(共有N 位)化为十进制数b 的程序框图，执行该程序框图，若输入的k ，a ，n 分别为5，1 203，4，则输出的b ＝( )A ．178B ．386C ．890D ．14 3035．若(1－x)5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4＋a 5x 5，则|a 0|－|a 1|＋|a 2|－|a 3|＋|a 4|－|a 5|＝( ) A ．0B ．1C ．32D ．－16．若实数x ，y 满足⎩⎨⎧2x －y ≥0，y ≥x ，y ≥－x ＋b ，且z ＝2x ＋y 的最小值为3，则实数b 的值为( )A ．1B. 2C.94D.527．气象意义上从春季进入夏季的标志为：“连续5天的日平均温度均不低于22 ℃”．现有甲、乙、丙三地连续5天的日平均温度的记录数据(记录数据都是正整数)：①甲地：5个数据的中位数为24，众数为22； ②乙地：5个数据的中位数为27，总体均值为24；③丙地：5个数据中有一个数据是32，总体均值为26，总体方差为10.8. 则肯定进入夏季的地区有( ) A ．①②③B ．①③C ．②③D ．①8．平面α过正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的顶点A ，平面α∥平面A 1BD ，平面α∩平面ABCD ＝l ，则直线l 与直线A 1C 1所成的角为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°9．对于数列{}a n ，定义H n ＝a 1＋2a 2＋…＋2n －1a nn 为{}a n 的“优值”，现已知某数列的“优值”H n＝2n ，记数列{}a n 的前n 项和为S n ，则S 2 0192 019＝( )A ．2 022B ．1 011C ．2 020D ．1 01010．在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos B b ＋cos C c ＝23sin A3sin C ，cos B＋3sin B ＝2，则a ＋c 的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎤32，3B.⎝⎛⎦⎤32，3C.⎣⎡⎦⎤32，3D.⎣⎡⎦⎤32，311．已知函数f(x)＝⎩⎨⎧log 2()2－x ，0≤x ＜k ，x 3－3x 2＋3，k ≤x ≤a ，若存在实数k ，使得函数f(x)的值域为[－1，1]，则实数a 的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤32，1＋3B.[]2，1＋3C.[]1，3D.[]2，312．设A ，B 是抛物线y ＝x 2上的两点，O 是坐标原点，若OA ⊥OB ，则以下结论恒成立的结论个数为( )①|OA|·|OB|≥2；②直线AB 过定点(1，0)；③O 到直线AB 的距离不大于1 A ．0B ．1C ．2D ．3二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知函数f(x)＝sin ⎝⎛⎭⎫2ωx －π3(x ∈R ，ω>0)图象的相邻两条对称轴之间的距离为π2，则ω＝____．14．已知函数f(x)＝⎩⎨⎧x ＋1（－1≤x ≤0），1－x 2（0<x ≤1），则⎰11-)(dx x f 的值为____． 15．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a>0，b>0)，过x 轴上点P 的直线与双曲线的右支交于M ，N 两点(M在第一象限)，直线MO 交双曲线左支于点Q(O 为坐标原点)，连接QN.若∠MPO ＝120°，∠MNQ ＝150°，则该双曲线的渐近线方程为____ .16．某几何体的三视图如图所示，正视图是直角三角形，侧视图是等腰三角形，俯视图是边长为32的等边三角形，若该几何体的外接球的体积为36π，则该几何体的体积为____．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．(一)必考题：共60分． 17．(本小题满分12分)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，满足S 4＝2a 4－2，S 3＝2a 3－2. (Ⅰ)求{a n }的通项公式；(Ⅱ)记b n ＝log 2()a n －1·a n ，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫b n a n 的前n 项和为T n ，求使T n >177－2n 60成立的正整数n 的最小值．如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠DAB＝60°，∠ADP＝90°，平面ADP⊥平面ABCD，点F为棱PD的中点．(Ⅰ)在棱AB上是否存在一点E，使得AF∥平面PCE，并说明理由；(Ⅱ)当二面角D－FC－B的余弦值为24时，求直线PB与平面ABCD所成的角．19．(本小题满分12分)为了引导居民合理用水，某市决定全面实施阶梯水价．阶梯水价原则上以住宅(一套住宅为一户)的月用水量为基准定价，具体划分标准如表：阶梯级别第一阶梯水量第二阶梯水量第三阶梯水量月用水量范围(单位：立方米)[0，10) [10，15) [15，＋∞)从本市随机抽取了10户家庭，统计了同一月份的月用水量，得到如图茎叶图：(Ⅰ)现要在这10户家庭中任意选取3户，求取到第二阶梯水量的户数X的分布列与数学期望；(Ⅱ)用抽到的10户家庭作为样本估计全市的居民用水情况，从全市依次随机抽取10户，若抽到k户月用水量为一阶的可能性最大，求k的值．已知点F 是椭圆x 21＋a 2＋y 2＝1(a>0)的右焦点，点M(m ，0)，N(0，n)分别是x 轴，y 轴上的动点，且满足MN →·NF →＝0.若点P 满足OM →＝2ON →＋PO →(O 为坐标原点)．(Ⅰ)求点P 的轨迹C 的方程；(Ⅱ)设过点F 任作一直线与点P 的轨迹交于A ，B 两点，直线OA ，OB 与直线x ＝－a 分别交于点S ，T ，试判断以线段ST 为直径的圆是否经过点F ？请说明理由．21．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝a(x －1)，g(x)＝(ax －1)e x ，a ∈R .(Ⅰ)若直线y ＝f(x)与曲线y ＝g(x)相切于点P(x 0，y 0)，证明：0<x 0<1； (Ⅱ)若不等式f(x)>g(x)有且仅有两个整数解，求a 的取值范围．(二)选考题：共10分．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋acos φ，y ＝asin φ(φ为参数，实数a ＞0)，曲线C 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝bcos φ，y ＝b ＋bsin φ(φ为参数，实数b ＞0)．在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线l ：θ＝α⎝⎛⎭⎫ρ≥0，0≤α≤π2与C 1交于O ，A 两点，与C 2交于O ，B 两点．当α＝0时，|OA|＝2；当α＝π2时，|OB|＝4. (Ⅰ)求a ，b 的值；(Ⅱ)求2|OA|2＋|OA|·|OB|的最大值．23．(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲 已知函数f(x)＝2||x ＋a ＋⎪⎪⎪⎪x －1a ()a ≠0. (Ⅰ)当a ＝1时，解不等式f(x)＜4； (Ⅱ)求函数g(x)＝f(x)＋f(－x)的最小值．解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A ＝{x ∈R |x 2－x －2＜0}，B ＝{x ∈Z |x ＝2t ＋1，t ∈A}，则A ∩B ＝(C) A ．{－1，0，1} B ．{－1，0} C ．{0，1} D ．{0} 【解析】A ＝{x ∈R |x 2－x －2＜0}＝{x|－1＜x ＜2}， 则x ＝2t ＋1∈(－1，5)，所以B ＝{0，1，2，3，4}， 所以A ∩B ＝{0，1}，故选C.2．已知复数z ＝21－i ，给出下列四个结论：①|z|＝2；② z 2＝2i ；③z 的共轭复数z ＝－1＋i ；④z的虚部为i.其中正确结论的个数是(B)A ．0 B. 1 C ．2 D ．3【解析】由已知z ＝1＋i ，则|z|＝2，z 2＝2i ，z ＝1－i ，z 的虚部为1.所以仅结论②正确，故选B.3．若向量a 与b 满足()a ＋b ⊥a ，且||a ＝1，||b ＝2，则向量a 在b 方向上的投影为(B) A. 3 B ．－12 C ．－1 D.33【解析】利用向量垂直的充要条件有：()a ＋b ·a ＝a 2＋a ·b ＝0，∴a ·b ＝－1，向量a 在b 方向上的投影为a ·b ||b ＝－12.4．五进制是以5为底的进位制，主因乃人类的一只手有五只手指. 中国古代的五行学说也是采用的五进制，0代表土，1代表水，2代表火，3代表木，4代表金，依此类推，5又属土，6属水，……，减去5即得. 如图，这是一个把k 进制数a(共有N 位)化为十进制数b 的程序框图，执行该程序框图，若输入的k ，a ，n 分别为5，1 203，4，则输出的b ＝(A)A ．178B ．386C ．890D ．14 303【解析】模拟执行程序框图，可得程序框图的功能是计算并输出b ＝3·50＋0·51＋2·52＋1·53＝178.故选A.5．若(1－x)5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4＋a 5x 5，则|a 0|－|a 1|＋|a 2|－|a 3|＋|a 4|－|a 5|＝(A) A ．0 B ．1 C ．32 D ．－1【解析】由二项展开式的通项公式T r ＋1＝C r 5(－x)r ＝C r5(－1)r x r ，可知a 1，a 3，a 5都小于0，则|a 0|－|a 1|＋|a 2|－|a 3|＋|a 4|－|a 5|＝a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5，在原二项展开式中令x ＝1，可得a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝0.故选A.6．若实数x ，y 满足⎩⎨⎧2x －y ≥0，y ≥x ，y ≥－x ＋b ，且z ＝2x ＋y 的最小值为3，则实数b 的值为(C)A ．1 B. 2 C.94 D.52【解析】画出可行域如图阴影部分所示，当目标函数z ＝2x ＋y 过点B 时取得最小值，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x ＋b ，2x －y ＝0得B ⎝⎛⎭⎫b 3，2b 3，则2×b 3＋2b3＝3，解得b ＝94.故选C.7．气象意义上从春季进入夏季的标志为：“连续5天的日平均温度均不低于22 ℃”．现有甲、乙、丙三地连续5天的日平均温度的记录数据(记录数据都是正整数)：①甲地：5个数据的中位数为24，众数为22； ②乙地：5个数据的中位数为27，总体均值为24；③丙地：5个数据中有一个数据是32，总体均值为26，总体方差为10.8. 则肯定进入夏季的地区有(B)A ．①②③B ．①③C ．②③D ．①【解析】 由统计知识，①甲地：5个数据的中位数为24，众数为22，可知①符合题意；②乙地：5个数据的中位数为27，总体均值为24，有可能某一天的气温低于22 ℃，所以不符合题意；③丙地：5个数据中有一个数据是32，总体均值为26，总体方差为10.8.若某一天的气温低于22 ℃，则总体方差就大于10.8，所以满足题意，故选B.8．平面α过正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的顶点A ，平面α∥平面A 1BD ，平面α∩平面ABCD ＝l ，则直线l 与直线A 1C 1所成的角为(D)A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°【解析】如图所示，平面α过正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的顶点A ，平面α∥平面A 1BD ，平面α∩平面ABCD ＝l ＝AF ，平面A 1BD ∩平面ABCD ＝BD ，∴BD ∥AF ，又∵A 1C 1∥AC ，则直线l 与直线A 1C 1所成的角即为直线BD 与直线AC 所成的角，为90°.故选D.9．对于数列{}a n ，定义H n ＝a 1＋2a 2＋…＋2n －1a nn为{}a n 的“优值”，现已知某数列的“优值”H n＝2n ，记数列{}a n 的前n 项和为S n ，则S 2 0192 019＝(B)A ．2 022B ．1 011C ．2 020D ．1 010 【解析】由H n ＝a 1＋2a 2＋…＋2n －1a n n＝2n，得a 1＋2a 2＋…＋2n －1a n ＝n ·2n ， ①a 1＋2a 2＋…＋2n －2a n －1＝(n －1)·2n －1， ②①－②得2n －1a n ＝n·2n －(n －1)·2n －1＝(n ＋1)·2n －1，即a n ＝n ＋1，S n ＝n （n ＋3）2，所以S 2 0192 019＝1 011.故选B.10．在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos B b ＋cos C c ＝23sin A3sin C ，cos B＋3sin B ＝2，则a ＋c 的取值范围是(B)A.⎝⎛⎦⎤32，3 B.⎝⎛⎦⎤32，3 C.⎣⎡⎦⎤32，3 D.⎣⎡⎦⎤32，3 【解析】由题意cos B b ＋cos C c ＝23sin A3sin C可得：ccos B ＋bcos C bc ＝sin Ccos B ＋sin Bcos C bsin C ＝sin （B ＋C ）bsin C ＝23sin A 3sin C ，∴b ＝32. cos B ＋3sin B ＝2⎝⎛⎭⎫12cos B ＋32sin B ＝2sin ⎝⎛⎭⎫B ＋π6＝2，∴B ＋π6＝π2，B ＝π3，bsin B ＝1，∴A ＋C ＝2π3，0<C ＝2π3－A<π2，0<A<π2，∴π6<A<π2，a ＋c ＝sin A ＋sin C ＝sin A ＋sin ⎝⎛⎭⎫2π3－A ＝32sin A ＋32cos A ＝3sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π6，∵π6<A<π2，∴π3<A ＋π6<2π3， ∴32<3sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π6≤ 3. 故答案选B.11．已知函数f(x)＝⎩⎨⎧log 2()2－x ，0≤x ＜k ，x 3－3x 2＋3，k ≤x ≤a ，若存在实数k ，使得函数f(x)的值域为[－1，1]，则实数a 的取值范围是(B)A.⎣⎡⎦⎤32，1＋3B.[]2，1＋3C.[]1，3 D.[]2，3【解析】由于y ＝log 2(2－x)在[0，k)上是单调递减函数， 当x ＝0时，y ＝1,当x ＝32时，y ＝－1，所以0＜k ≤32.令g(x)＝x 3－3x 2＋3，则g′(x)＝3x 2－6x ＝0，解得x ＝0或x ＝2，当x ＝2时，函数取得极小值－1，当x 3－3x 2＋3＝1时，解得x 1＝1，x 2＝1＋3，x 3＝1－3＜0(舍)， 所以2≤a ≤1＋3，故选B.12．设A ，B 是抛物线y ＝x 2上的两点，O 是坐标原点，若OA ⊥OB ，则以下结论恒成立的结论个数为(C)①|OA|·|OB|≥2；②直线AB 过定点(1，0)；③O 到直线AB 的距离不大于1 A ．0 B ．1 C ．2 D ．3【解析】设A(x 1，x 21)，B(x 2，x 22)，OA →·OB →＝x 1x 2(1＋x 1x 2)＝0x 2＝－1x 1，|OA|·|OB|＝x 21()1＋x 211x 21⎝⎛⎭⎫1＋1x 21＝1＋x 21＋1x 21＋1≥2，①正确；直线AB 的斜率x 22－x 21x 2－x 1＝x 2＋x 1＝x 1－1x 1，方程为y －x 21＝⎝⎛⎭⎫x 1－1x 1(x －x 1)，过定点(0，1)，②错误；原点到直线AB ：⎝⎛⎭⎫x 1－1x 1x －y ＋1＝0的距离d ＝1⎝⎛⎭⎫x 1－1x 12＋1≤1，③正确．故选C.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知函数f(x)＝sin ⎝⎛⎭⎫2ωx －π3(x ∈R ，ω>0)图象的相邻两条对称轴之间的距离为π2，则ω＝__1__．【解析】由T 2＝π2，T ＝2π2ω得ω＝1.14．已知函数f(x)＝⎩⎨⎧x ＋1（－1≤x ≤0），1－x 2（0<x ≤1），则⎠⎛－11f(x)dx 的值为__12＋π4__． 【解析】⎠⎛－11f(x)dx ＝⎠⎛－10(x ＋1)dx ＋⎠⎛011－x 2dx ＝⎝⎛⎭⎫12x 2＋x |0－1＋π4＝12＋π4. 15．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a>0，b>0)，过x 轴上点P 的直线与双曲线的右支交于M ，N 两点(M在第一象限)，直线MO 交双曲线左支于点Q(O 为坐标原点)，连接QN.若∠MPO ＝120°，∠MNQ ＝150°，则该双曲线的渐近线方程为__y ＝±x__ .【解析】由题意可知：M ，Q 关于原点对称，∴k MN · k QN ＝b 2a 2，∵k MN ＝3，k QN ＝33，∴b 2a2＝1，渐近线方程为y ＝±x.16．某几何体的三视图如图所示，正视图是直角三角形，侧视图是等腰三角形，俯视图是边长为32的等边三角形，若该几何体的外接球的体积为36π，则该几何体的体积为__9__．【解析】根据几何体的三视图，得出该几何体如图所示，由该几何体的外接球的体积为36π，即43πR 3＝36π，R ＝3，则球心O 到底面等边△ABC 的中心O′的距离||OO′＝R 2－⎝⎛⎭⎫33×322＝3，可得三棱锥的高h ＝2||OO′＝23，故三棱锥的体积V ＝13×34×(32)2×23＝9.三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．(一)必考题：共60分． 17．(本小题满分12分)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，满足S 4＝2a 4－2，S 3＝2a 3－2. (Ⅰ)求{a n }的通项公式；(Ⅱ)记b n ＝log 2()a n －1·a n ，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫b n a n 的前n 项和为T n ，求使T n >177－2n 60成立的正整数n 的最小值．【解析】(Ⅰ)设{a n }的公比为q ，由S 4－S 3＝a 4得，2a 4－2a 3＝a 4，所以a 4a 3＝2，所以q ＝2.2分又因为S 3＝2a 3－2，所以a 1＋2a 1＋4a 1＝8a 1－2，所以a 1＝2. 所以a n ＝2n .5分(Ⅱ)由(Ⅰ)知b n ＝log 2(a n －1·a n )＝log 2(2n －1×2n )＝2n －1，所以b n a n ＝2n －12n ，6分T n ＝121＋322＋523＋…＋2n －12n ，则12T n ＝122＋323＋524＋……＋2n －32n ＋2n －12n ＋1，T n －12T n ＝12T n ＝12＋⎝⎛⎭⎫121＋122＋123＋…＋12n －1－2n －12n ＋1＝12＋⎝⎛⎭⎫1－12n －1－2n －12n ＋1＝32－2n ＋32n ＋1，所以T n ＝3－2n ＋32n ，10分由T n ＝3－2n ＋32n >177－2n 60，得2n ＋32n <3－177－2n 60＝2n ＋360，即2n >60，则n ≥6，所以n 的最小值是6.12分 18．(本小题满分12分)如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是边长为2的菱形，∠DAB ＝60°，∠ADP ＝90°，平面ADP ⊥平面ABCD ，点F 为棱PD 的中点．(Ⅰ)在棱AB 上是否存在一点E ，使得AF ∥平面PCE ，并说明理由； (Ⅱ)当二面角D －FC －B 的余弦值为24时，求直线PB 与平面ABCD 所成的角． 【解析】(Ⅰ)在棱AB 上存在点E ，使得AF ∥平面PCE ，点E 为棱AB 的中点．理由如下：取PC 的中点Q ，连结EQ 、FQ ， 由题意，FQ ∥DC 且FQ ＝12CD ，AE ∥CD 且AE ＝12CD ，故AE ∥FQ 且AE ＝FQ.所以，四边形AEQF 为平行四边形.3分所以，AF ∥EQ ，又EQ 平面PEC ，AF 平面PEC ， 所以，AF ∥平面PEC.5分(Ⅱ)由题意知△ABD 为正三角形，所以ED ⊥AB ，亦即ED ⊥CD ，又∠ADP ＝90°，所以PD ⊥AD ，且平面ADP ⊥平面ABCD ，平面ADP ∩平面ABCD ＝AD ，所以PD ⊥平面ABCD ，故以D 为坐标原点建立如图空间直角坐标系，7分 设FD ＝a ，则由题意知D ()0，0，0，F ()0，0，a ，C ()0，2，0，B ()3，1，0， FC →＝()0，2，－a ，CB →＝()3，－1，0， 设平面FBC 的法向量为m ＝()x ，y ，z ，则由⎩⎪⎨⎪⎧m ·FC →＝0，m ·CB →＝0 得⎩⎨⎧2y －az ＝0，3x －y ＝0，令x ＝1，则y ＝3，z ＝23a ，所以取m ＝⎝⎛⎭⎫1，3，23a ，显然可取平面DFC 的法向量n ＝()1，0，0， 由题意：24＝||cos 〈m ，n 〉＝11＋3＋12a 2，所以a ＝ 3.10分 由于PD ⊥平面ABCD ，所以PB 在平面ABCD 内的射影为BD ， 所以∠PBD 为直线PB 与平面ABCD 所成的角，易知在Rt △PBD 中，tan ∠PBD ＝PDBD ＝a ＝3，从而∠PBD ＝60°，所以直线PB 与平面ABCD 所成的角为60°.12分 19．(本小题满分12分)为了引导居民合理用水，某市决定全面实施阶梯水价．阶梯水价原则上以住宅(一套住宅为一户)的月用水量为基准定价，具体划分标准如表：阶梯级别 第一阶梯水量第二阶梯水量第三阶梯水量月用水量范围(单位：立方米)[0，10)[10，15)[15，＋∞)从本市随机抽取了10户家庭，统计了同一月份的月用水量，得到如图茎叶图：(Ⅰ)现要在这10户家庭中任意选取3户，求取到第二阶梯水量的户数X 的分布列与数学期望； (Ⅱ)用抽到的10户家庭作为样本估计全市的居民用水情况，从全市依次随机抽取10户，若抽到k 户月用水量为一阶的可能性最大，求k 的值．【解析】(1)由茎叶图可知抽取的10户中用水量为一阶的有3户，二阶的有5户，三阶的有2户．第二阶段水量的户数X 的可能取值为0，1，2，3，P(X ＝0)＝C 05C 35C 310＝112，P(X ＝1)＝C 15C 25C 310＝512，P(X ＝2)＝C 25C 15C 310＝512，P(X ＝3)＝C 35C 05C 310＝112，4分所以X 的分布列为X 0 1 2 3 P112512512112X 的数学期望E(X)＝0×112＋1×512＋2×512＋3×112＝32.6分(2)设Y 为从全市抽取的10户中用水量为一阶的家庭户数，依题意得Y ～B ⎝⎛⎭⎫10，310， P(X ＝k)＝C k 10⎝⎛⎭⎫310k ⎝⎛⎭⎫71010－k(k ＝0，1，2，3，…，10)，9分由⎩⎨⎧C k 10⎝⎛⎭⎫310k⎝⎛⎭⎫71010－k≥C k ＋110⎝⎛⎭⎫310k ＋1⎝⎛⎭⎫7109－k，Ck 10⎝⎛⎭⎫310k ⎝⎛⎭⎫71010－k ≥C k －110⎝⎛⎭⎫310k －1⎝⎛⎭⎫71011－k ，解得2310≤k ≤3310，又k ∈N *，所以当k ＝3时概率最大．即从全市依次随机抽取10户，抽到3户月用水量为一阶的可能性最大.12分 20．(本小题满分12分)已知点F 是椭圆x 21＋a 2＋y 2＝1(a>0)的右焦点，点M(m ，0)，N(0，n)分别是x 轴，y 轴上的动点，且满足MN →·NF →＝0.若点P 满足OM →＝2ON →＋PO →(O 为坐标原点)．(Ⅰ)求点P 的轨迹C 的方程；(Ⅱ)设过点F 任作一直线与点P 的轨迹交于A ，B 两点，直线OA ，OB 与直线x ＝－a 分别交于点S ，T ，试判断以线段ST 为直径的圆是否经过点F ？请说明理由．【解析】(Ⅰ) ∵椭圆x 21＋a 2＋y 2＝1(a>0)右焦点F 的坐标为(a ，0)，1分 ∴NF →＝(a ，－n)．∵MN →＝(－m ，n)， ∴由MN →·NF →＝0，得n 2＋am ＝0. 3分设点P 的坐标为(x ，y)，由OM →＝2ON →＋PO →，有(m ，0)＝2(0，n)＋(－x ，－y)， ⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－x ，n ＝y2.代入n 2＋am ＝0，得y 2＝4ax.即点P 的轨迹C 的方程为y 2＝4ax.5分(Ⅱ)解法一：设直线AB 的方程为x ＝ty ＋a ，A ⎝⎛⎭⎫y 214a ，y 1，B ⎝⎛⎭⎫y 224a ，y 2， 则l OA ：y ＝4a y 1x ，l OB ：y ＝4ay 2x. 6分由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝4a y 1x ，x ＝－a ，得S ⎝⎛⎭⎫－a ，－4a 2y 1，同理得T ⎝⎛⎭⎫－a ，－4a 2y 2. 8分∴FS →＝⎝⎛⎭⎫－2a ，－4a 2y 1，FT →＝⎝⎛⎭⎫－2a ，－4a 2y 2，则FS →·FT →＝4a 2＋16a 4y 1y 2.9分由⎩⎨⎧x ＝ty ＋a ，y 2＝4ax ，得y 2－4aty －4a 2＝0，∴y 1y 2＝－4a 2.10分 则FS →·FT →＝4a 2＋16a 4（－4a 2）＝4a 2－4a 2＝0. 因此，以线段ST 为直径的圆经过点F.12分解法二：①当AB ⊥x 时，A(a ，2a)，B(a ，－2a)，则l OA ：y ＝2x ，l OB ：y ＝－2x.由⎩⎨⎧y ＝2x ，x ＝－a ，得点S 的坐标为S(－a ，－2a)，则FS →＝(－2a ，－2a)． 由⎩⎨⎧y ＝－2x ，x ＝－a ，得点T 的坐标为T(－a ，2a)，则FT →＝(－2a ，2a)． ∴FS →·FT →＝(－2a)×(－2a)＋(－2a)×2a ＝0. 7分②当AB 不垂直x 轴时，设直线AB 的方程为y ＝k(x －a)(k ≠0)，A ⎝⎛⎭⎫y 214a ，y 1，B ⎝⎛⎭⎫y 224a ，y 2， 同解法一，得FS →·FT →＝4a 2＋16a 4y 1y 2.8分由⎩⎨⎧y ＝k （x －a ），y 2＝4ax ，得ky 2－4ay －4ka 2＝0，∴y 1y 2＝－4a 2.9分 则FS →·FT →＝4a 2＋16a 4（－4a 2）＝4a 2－4a 2＝0. 11分 因此，以线段ST 为直径的圆经过点F. 12分 21．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝a(x －1)，g(x)＝(ax －1)e x ，a ∈R .(Ⅰ)若直线y ＝f(x)与曲线y ＝g(x)相切于点P(x 0，y 0)，证明：0<x 0<1； (Ⅱ)若不等式f(x)>g(x)有且仅有两个整数解，求a 的取值范围． 【解析】(Ⅰ)g′(x)＝(ax ＋a －1)e x ，由导数的几何意义可知，(ax 0＋a －1)ex 0＝a ， ①1分 又直线y ＝f(x)的图象过定点(1，0)，因此（ax 0－1）ex 0x 0－1＝a ，即(ax 0－1)ex 0＝a(x 0－1)， ②2分 联立①②消去a 有ex 0＋x 0－2＝0.3分设φ(x)＝e x ＋x －2，则φ′(x)＝e x ＋1>0，所以φ(x)在R 上单调递增． 而φ(0)＝－1<0，φ(1)＝e －1>0，φ(0)φ(1)<0， 由函数零点存在性定理知 0<x 0<1.5分 (Ⅱ)由f(x)>g(x)得a ⎝⎛⎭⎫x －x －1e x <1，令h(x)＝x －x －1e x ，则h′(x)＝1＋x －2e x ＝e x ＋x －2e x ，6分由(Ⅰ)知φ(x)＝e x ＋x －2在R 上单调递增，且x ∈(－∞，x 0)时，φ(x 0)<0；在x ∈(x 0，＋∞)，φ(x 0)>0， 故h(x)在(－∞，x 0)上单调递减，在(x 0，＋∞)上单调递增． ∴h(x)min ＝h(x 0)＝x 0－x 0－1ex 0＝x 0ex 0－x 0＋1ex 0.易证e x≥x ＋1，∴h(x 0)＝x 0ex 0－x 0＋1ex 0>x 20＋1ex 0>0，8分当x ≤0时，h(x)≥h(0)＝1>0；当x ≥1时，h(x)≥h(1)＝1. (1)若a ≤0，则ah(x)≤0<1，此时ah(x)<1有无穷多个整数解，不合题意；9分(2)若a ≥1，即1a ≤1，因为h(x)在(]－∞，0上单调递减，在[)1，＋∞上单调递增，所以x ∈Z ，h(x)≥min {}h （0），h （1）＝1≥1a ，所以h(x)<1a无整数解，不合题意；10分(3)若0<a<1，即1a >1，此时h(0)＝h(1)＝1<1a ，故0，1是h(x)<1a 的两个整数解，又h(x)<1a只有两个整数解，因此⎩⎨⎧h （－1）≥1a ，h （2）≥1a ，解得a ≥e 22e 2－1，所以a ∈⎣⎡⎭⎫e 22e 2－1，1.12分(二)选考题：共10分．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋acos φ，y ＝asin φ(φ为参数，实数a ＞0)，曲线C 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝bcos φ，y ＝b ＋bsin φ(φ为参数，实数b ＞0)．在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线l ：θ＝α⎝⎛⎭⎫ρ≥0，0≤α≤π2与C 1交于O ，A 两点，与C 2交于O ，B 两点．当α＝0时，|OA|＝2；当α＝π2时，|OB|＝4. (Ⅰ)求a ，b 的值；(Ⅱ)求2|OA|2＋|OA|·|OB|的最大值．【解析】(Ⅰ)由曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋acos φ，y ＝asin φ(φ为参数，实数a ＞0)，化为普通方程为(x －a)2＋y 2＝a 2，展开为：x 2＋y 2－2ax ＝0，其极坐标方程为ρ2＝2aρcos θ，即ρ＝2acos θ，由题意可得当θ＝0时，|OA|＝ρ＝2，∴a ＝1.2分曲线C 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝bcos φ，y ＝b ＋bsin φ(φ为参数，实数b ＞0)，化为普通方程为x 2＋(y －b)2＝b 2，展开可得极坐标方程为ρ＝2bsin θ， 由题意可得当θ＝π2时，|OB|＝ρ＝4，∴b ＝2.5分(Ⅱ)由(Ⅰ)可得C 1，C 2的极坐标方程分别为ρ＝2cos θ，ρ＝4sin θ. ∴2|OA|2＋|OA|·|OB|＝8cos 2θ＋8sin θcos θ＝4sin 2θ＋4cos 2θ＋4 ＝42sin ⎝⎛⎭⎫2θ＋π4＋4，8分∵2θ＋π4∈⎣⎡⎦⎤π4，5π4，∴42sin ⎝⎛⎭⎫2θ＋π4＋4的最大值为42＋4，当2θ＋π4＝π2，θ＝π8时取到最大值.10分23．(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲 已知函数f(x)＝2||x ＋a ＋⎪⎪⎪⎪x －1a ()a ≠0. (Ⅰ)当a ＝1时，解不等式f(x)＜4； (Ⅱ)求函数g(x)＝f(x)＋f(－x)的最小值．【解析】(Ⅰ)∵ a ＝1，∴原不等式为2|x ＋1|＋|x －1|＜4，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＜－1，－2x －2－x ＋1＜4或⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x ≤1，2x ＋2－x ＋1＜4或⎩⎪⎨⎪⎧x>1，2x ＋2＋x －1＜4，3分∴－53＜x ＜－1或－1≤x ＜1或，∴原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－53＜x ＜1.5分 (Ⅱ)由题意得g(x)＝f(x)＋f(－x)＝2()|x ＋a|＋|x －a|＋⎝⎛⎭⎫⎪⎪⎪⎪x ＋1a ＋⎪⎪⎪⎪x －1a ≥2|2a|＋2|a|＝4||a ＋2|a|≥42，8分当且仅当2||a ＝1||a ，即a ＝±22，且－22≤x ≤22时，g(x)取最小值4 2.10分。
湖南省师大附中2019届高三5月猜题试卷数学(理科)试题(解析版)
湖南省师大附中2019届高三5月猜题试卷试题数学（理科）全卷满分150分，考试时间120分钟。
★祝考试顺利★注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题作答用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
答在试卷和草稿纸上无效。
3．非选择题作答用0.5毫米黑色墨水签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
答在试卷和草稿纸上无效。
考生必须保持答题卡的整洁。
考试结束后，只需上交答题卡。
第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合，，则等于( )A. B. C. D.【答案】A【解析】集合，所以.故选A.2.若复数满足，在复数的虚部为（）A. B. 1 C. -1 D.【答案】C【解析】【分析】由复数的除法运算公式可得，从而可求出z的共轭复数，即可得出结果.【详解】由题意可知，，故，所以其虚部为-1.【点睛】本题主要考查复数的四则运算和共轭复数的概念，属于基础题型.3.若，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由展开即可求出结果.【详解】.【点睛】本题主要考查两角和与差的正切公式，由已知角表示所求角，即可求出结果，属于基础题型.4.以双曲线的焦点为顶点，且渐近线互相垂直的双曲线的标准方程为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由已知双曲线先求出所求双曲线的顶点坐标，再由所求双曲线的渐近线互相垂直，可得，从而可得双曲线方程.【详解】由题可知，所求双曲线的顶点坐标为，又因为双曲线的渐近线互相垂直，所以，则该双曲线的方程为.【点睛】本题主要考查双曲线的简单性质，属于基础题型.5.若满足约束条件，则的最大值是（）A. B. C. D. 3【答案】D【解析】【分析】先画出不等式组所表示的平面区域，又表示可行域内一点与点连线的斜率，结合图像即可得出结果.【详解】画出可行域，如图所示，表示可行域内一点与点连线的斜率，由图可知，当，时，取得最大值3.【点睛】本题主要考查简单的线性规划问题，只需掌握目标函数的几何意义，即可求解，属于基础题型.6.某几何体的三视图如图所示（其中俯视图中的曲线是圆弧），则该几何体的表面积为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由三视图可知该几何体为圆柱体的一半，结合表面积公式可得结果.【详解】该几何体为一个圆柱体的一半，所以表面积.【点睛】本题主要考查根据几何体的三视图求几何体的表面、体积问题，属于基础题型.7.设，，则（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】利用对数的运算法则即可得出．【详解】，，，，则.故选D.【点睛】本题考查了对数的运算法则，考查了计算能力，属于基础题．8.若正整数除以正整数后的余数为，则记为，例如.如图程序框图的算法源于我国古代闻名中外的《中国剩余定理》.执行该程序框图，则输出的等于A. 4B. 8C. 16D. 32【答案】C【解析】初如值n=11,i=1,i=2,n=13,不满足模3余2.i=4,n=17, 满足模3余2, 不满足模5余1.i=8,n=25, 不满足模3余2,i=16,n=41, 满足模3余2, 满足模5余1.输出i=16.选C。
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湖南师大附中2019届高三上学期月考试卷(一)数学(理)炎德·英才大联考湖南师大附中2019届高三月考试卷(一)数学(理科)命题人：朱海棠贺祝华张天平欧阳普审题：高三数学备课组时量：120分钟满分：150分一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设复数z＝x＋y i，其中x，y是实数，i是虚数单位，若y1－i＝x＋i，则复数z的共轭复数在复平面内对应的点位于(D)A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解析】由已知，y＝(1－i)(x＋i)＝x＋1＋(1－x )i ，则y ＝x ＋1，且1－x ＝0，即x ＝1，y ＝2.所以z －＝x －y i ＝1－2i ，所对应的点(1，－2)位于第四象限，选D.2．已知向量a 与b 的夹角是π3，且|a |＝1，|b |＝4，若(3a ＋λb )⊥a ，则实数λ的值为(B)A.32 B ．－32 C.23 D ．－23【解析】由已知，(3a ＋λb )·a ＝0，即3a 2＋λb ·a＝0，所以3＋2λ＝0，即λ＝－32，选B. 3．下列说法中正确的是(C)A ．若样本数据x 1，x 2，…，x n 的平均数为5，则样本数据2x 1＋1，2x 2＋1，…，2x n ＋1的平均数为10B ．用系统抽样法从某班按学号抽取5名同学参加某项活动，若抽取的学号为5，16，27，38，49，则该班学生人数可能为60C ．某种圆环形零件的外径服从正态分布N (4，0.25)(单位：cm)，质检员从某批零件中随机抽取一个，测得其外径为5.6 cm ，则这批零件不合格D ．对某样本通过独立性检验，得知有95%的把握认为吸烟与患肺病有关系，则在该样本吸烟的人群中有95%的人可能患肺病【解析】对于A ，若x 1，x 2，…，x n 的平均数为5，则2x 1＋1，2x 2＋1，…，2x n ＋1的平均数为2×5＋1＝11，所以说法错误；对于B ，由抽取的号码可知样本间隔为11，则对应的人数为11×5＝55人．若该班学生人数为60，则样本间隔为60÷5＝12，所以说法错误．对于C ，因为μ＝4，σ＝0.5，则(u －3σ，u ＋3σ)＝(2.5，5.5)，因为5.6(2.5，5.5)，则这批零件不合格，所以说法正确．对于D ，有95%的把握认为吸烟与患肺病有关系，是指对该样本所得结论：“吸烟与患肺病有关系”有95%的正确性，所以说法错误．选C.4．已知⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x 2－1x n(n ∈N *)的展开式中各项的二项式系数之和为128，则其展开式中含1x项的系数是(A)A ．－84B ．84C ．－24D ．24【解析】由已知，2n ＝128，得n ＝7，所以T r ＋1＝C r 7(2x 2)7－r ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－1x r＝(－1)r ·27－r C r 7x 14－3r . 令14－3r ＝－1，得r ＝5，所以展开式中含1x项的系数为(－1)527－5C 57＝－84，选A.5.已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且f (x )在R 上单调递增，若a ，b ，c 成等差数列，且b ＞0，则下列结论正确的是(A)A ．f (b )＞0，且f (a )＋f (c )＞0B ．f (b )＞0，且f (a )＋f (c )＜0C ．f (b )＜0，且f (a )＋f (c )＞0D ．f (b )＜0，且f (a )＋f (c )＜0【解析】由已知，f (b )＞f (0)＝0.因为a ＋c ＝2b ＞0，则a ＞－c ，从而f (a )＞f (－c )＝－f (c )，即f (a )＋f (c )＞0，选A.6．设x 为区间[－2，2]内的均匀随机数，则计算机执行下列程序后，输出的y 值落在区间⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12，3内的概率为(C)A.34B.58C.12D.38【解析】因为当x ∈[－2，0]时，y ＝2x ∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤14，1； 当x ∈(0，2]时，y ＝2x ＋1∈(1，5]．所以当y ∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12，3时，x ∈[－1，1]，其区间长度为2，所求的概率P ＝24＝12，选C. 7．已知函数f (x )＝sin 2x －2sin 2x ＋1，给出下列四个结论：(B)①函数f (x )的最小正周期是2π；②函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π8，5π8上是减函数；③函数f (x )的图象关于直线x ＝π8对称；④函数f (x )的图象可由函数y ＝2sin 2x 的图象向左平移π4个单位得到．其中正确结论的个数是A ．1B ．2C ．3D ．4【解析】f (x )＝sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4. ①因为ω＝2，则f (x )的最小正周期T ＝π，结论错误．②当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π8，5π8时，2x ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，3π2，则f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π8，5π8上是减函数，结论正确． ③因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8＝2为f (x )的最大值，则f (x )的图象关于直线x ＝π8对称，结论正确． ④设g (x )＝2sin 2x ，则g ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝2cos 2x ≠f (x )，结论错误，选B.8.已知命题p ：若a＞2且b ＞2，则a ＋b ＜ab ；命题q ：x >0，使(x －1)·2x ＝1，则下列命题中为真命题的是(A)A ．p ∧qB ．(綈p )∧qC ．p ∧(綈q )D ．(綈p )∧(綈q )【解析】若a ＞2且b ＞2，则1a <12且1b <12，得1a＋1b <1，即a ＋b ab<1，从而a ＋b ＜ab ，所以命题p 为真．因为直线y ＝x －1与函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12x 的图象在(0，＋∞)内有唯一交点，则方程x －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12x 有正数解，即方程(x －1)·2x ＝1有正数解，所以命题q 为真，选A.9．已知实数x ，y 满足|x |＋|y |≤1，则z ＝2|x |－|y |的最大值为(D)A ．5B ．4C ．3D ．2【解析】令|x |＝a ，|y |＝b ，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ≤1，a ≥0，b ≥0，且z ＝2a －b .作可行域，平移直线l ：b ＝2a －z ，由图知，当直线l 过点(1，0)时，直线l 的纵截距最小，从而z 为最大，且z max ＝2×1－0＝2，选D.10．如图，在平面四边形ABCD 中，AB ＝AD ＝CD ＝1，AB ⊥AD ，BD ⊥CD .将该四边形沿对角线BD 折成一个直二面角A ―BD ―C ，则四面体ABCD的外接球的体积为(B)A.23π B.32πC．2πD．3π【解析】如图，因为平面ABD⊥平面BCD，BD⊥CD，则CD⊥平面ABD，从而CD⊥AB.因为AB⊥AD，则AB⊥平面ACD，从而AB⊥AC，所以BC是外接球的直径．在Rt△BDC中，BC＝BD2＋CD2＝3，则球半径R＝3 2.所以外接球的体积V＝43π⎝⎛⎭⎪⎫323＝32π，选B.11．设双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，O 为坐标原点，若双曲线上存在点M 满足|MF 1|＝2|MO |＝2|MF 2|，则双曲线的离心率为(C)A ．6B ．3 C. 6 D. 3【解析】过点M 作x 轴的垂线，垂足为A ，因为|MO |＝|MF 2|，则A 为OF 2的中点，所以|AF 2|＝c 2，|AF 1|＝3c 2.设|MF 2|＝m ，则|MF 1|＝2m .在Rt △MAF 1中，|MA |2＝4m 2－94c 2. 在Rt △MAF 2中，|MA |2＝m 2－c 24，则4m 2－94c 2＝m 2－c 24，即3m 2＝2c 2. 因为|MF 1|－|MF 2|＝2a ，则m ＝2a ，所以3×(2a )2＝2c 2，即c 2＝6a 2，所以e ＝c a＝6，选C.12．对于给定的正整数n ，设集合X n ＝{1，2，3，…，n }，A X n ，且A ≠．记I (A )为集合A 中的最大元素，当A 取遍X n 的所有非空子集时，对应的所有I (A )的和记为S (n )，则S (2 018)＝(D)A ．2 018×22 018＋1B ．2 018×22 017＋1C ．2 017×22 017＋1D ．2 017×22 018＋1【解析】对于集合X n ，满足I (A )＝1的集合A 只有1个，即{1}；满足I (A )＝2的集合A 有2个，即{2}，{1，2}；满足I (A )＝3的集合A 有4个，即{3}，{1，3}，{2，3}，{1，2，3}；…；满足I (A )＝n 的集合A 有2n －1个，所以S (n )＝1＋2·2＋3·22＋…＋n ·2n －1.由错位相减法，得S (n )＝(n －1)2n ＋1，所以S (2 018)＝2 017×22 018＋1，选D.二、填空题，本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3＝13，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－π6＝__－79__． 【解析】sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－π6＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫α－π3＋π2＝cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3＝2cos 2⎝⎛⎭⎪⎫α－π3－1＝－79.14．如图，在△ABC 中，AD →＝13DC →，P 是线段BD 上一点，若AP →＝mAB →＋16AC →，则实数m 的值为__13__． 【解析】因为AD →＝13DC →，则AC →＝4AD →，所以AP →＝mAB →＋23AD →. 因为B ，P ，D 三点共线，则m ＋23＝1，所以m ＝13.15．已知函数f (x )＝|2x －1|－a ，若存在实数x 1，x 2(x 1≠x 2)，使得f (x 1)＝f (x 2)＝－1，则a 的取值范围是__(1，2)__．【解析】令f (x )＝－1，则|2x －1|＝a －1.据题意，直线y ＝a －1与函数y ＝|2x －1|的图象两个不同的交点，由图可知，0＜a －1＜1，即1＜a ＜2.16．设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝1，且S n ＝4－⎝⎛⎭⎪⎪⎫1＋2n a n (n ∈N *)，则数列{a n }的通项公式是a n ＝__n 2__． 【解析】当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋2n －1a n －1－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1＋2n a n ，则⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2＋2n a n ＝⎝⎛⎭⎪⎫1＋2n －1a n －1，即a n n ＝a n －12（n －1），所以数列{a n n }是首项为1，公比为12的等比数列，则a n n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12n －1，即a n ＝n 2n －1. 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答．(一)必考题：60分．17．(本小题满分12分)如图，在平面四边形ABCD中，AB＝4，AD ＝2，∠BAD＝60°，∠BCD＝120°.(1)若BC＝22，求∠CBD的大小；(2)设△BCD的面积为S，求S的取值范围．【解析】(1)在△ABD中，因为AB＝4，AD ＝2，∠BAD＝60°，则BD2＝AB2＋AD2－2AB·AD·cos∠BAD＝16＋4－2×4×2×12＝12，所以BD＝2 3.(3分)在△BCD中，因为∠BCD＝120°，BC＝22，BD ＝23，由BC sin ∠CDB ＝BD sin ∠BCD，得 sin ∠CDB ＝BC sin ∠BCD BD ＝22sin 120°23＝22，则∠CDB ＝45°.(5分) 所以∠CBD ＝60°－∠CDB ＝15°.(6分)(2)设∠CBD ＝θ，则∠CDB ＝60°－θ.在△BCD 中，因为BC sin （60°－θ）＝BD sin 120°＝4，则BC ＝4sin(60°－θ)．(8分) 所以S ＝12BD ·BC ·sin ∠CBD ＝43sin(60°－θ)sin θ＝43⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos θ－12sin θsin θ ＝3sin 2θ－23sin 2θ＝3sin 2θ－3(1－cos 2θ)＝3sin 2θ＋3cos 2θ－3＝23sin(2θ＋30°)－ 3.(11分)因为0°＜θ＜60°，则30°＜2θ＋30°＜150°，12<sin(2θ＋30°)≤1，所以0<S ≤ 3.故S的取值范围是(0，3]．(12分)18．(本小题满分12分)如图，在三棱锥P－ABC中，PA⊥底面ABC，AB＝2，AC＝4，∠BAC＝120°，D为BC的中点．(1)求证：AD⊥PB；(2)若二面角A－PB－C的大小为45°，求三棱锥P－ABC的体积．【解析】(1)在△ABC中，由余弦定理得BC2＝4＋16－2×2×4×cos 120°＝28，则BC＝27.因为D为BC的中点，则BD＝CD＝7.(2分)因为AD →＝12(AB →＋AC →)，则AD →2＝14(AB →＋AC →)2＝14(AB →2＋AC →2＋2AB →·AC →) ＝14(4＋16＋2×2×4×cos 120°)＝3，所以AD ＝ 3.(4分)因为AB 2＋AD 2＝4＋3＝7＝BD 2，则AB ⊥AD .(5分)因为PA ⊥底面ABC ，则PA ⊥AD ，所以AD ⊥平面PAB ，从而AD ⊥PB .(6分)(2)解法一：因为AD ⊥平面PAB ，过点A 作AE ⊥PB ，垂足为E ，连结DE .则DE ⊥PB ，所以∠AED 为二面角A －PB－C的平面角．(8分)在Rt△DAE中，由已知，∠AED＝45°，则AE＝AD＝ 3.(9分)在Rt△PAB中，设PA＝a，则PB＝AB2＋PA2＝4＋a2.(10分)因为AB×AP＝PB×AE，则2a＝4＋a2×3，即4a2＝3(4＋a2)，解得a2＝12，所以PA＝a＝2 3.(11分)所以V P－ABC ＝13×S△ABC×PA＝13×12×2×4×sin 120°×23＝4.(12分)解法二：分别以直线AB，AD，AP为x轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，如图．设PA ＝a ，则点B (2，0，0)，D (0，3，0)，P (0，0，a )．所以BD →＝(－2，3，0)，BP →＝(－2，0，a )．(8分)设平面PBC 的法向量为m ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧m ·BD →＝0，m ·BP →＝0，即⎩⎨⎧－2x ＋3y ＝0，－2x ＋az ＝0.取x ＝3，则y ＝2，z ＝23a，所以m ＝⎝⎛⎭⎪⎫3，2，23a .(9分)因为n ＝(0，1，0)为平面PAB 的法向量，则|cos 〈m ，n 〉|＝cos 45°＝22，即|m ·n ||m |·|n |＝22.所以27＋12a 2＝22，解得a 2＝12，所以PA ＝a ＝2 3.(11分)所以V P －ABC ＝13×S △ABC ×PA ＝13×12×2×4×sin 120°×23＝4.(12分)19．(本小题满分12分)有甲、乙两家外卖公司，其送餐员的日工资方案如下：甲公司底薪80元，送餐员每单抽成4元；乙公司无底薪，40单以内(含40单)的部分送餐员每单抽成6元，超过40单的部分送餐员每单抽成7元．现从这两家公司各随机选取一名送餐员，分别记录其50天的送餐单数，得到如下频数分布表：送餐单数383944142甲公司天数111515乙公司天数115115(1)从记录甲公司的50天送餐单数中随机抽取3天，求这3天的送餐单数都不小于40单的概率；(2)假设同一个公司的送餐员一天的送餐单数相同，将频率视为概率，回答下列两个问题：(ⅰ)求乙公司送餐员日工资的分布列和数学期望；(ⅱ)小张打算到甲、乙两家公司中的一家应聘送餐员，如果仅从日均工资的角度考虑，小张应选择哪家公司应聘？说明你的理由．【解析】(1)由表知，50天送餐单数中有30天的送餐单数不小于40单，记抽取的3天送餐单数都不小于40为事件A，则P(A)＝C330C350＝29140.(3分)(2)(ⅰ)设乙公司送餐员的送餐单数为n，日工资为X元，则当n＝38时，X＝38×6＝228；当n＝39时，X＝39×6＝234；当n＝40时，X＝40×6＝240；当n＝41时，X＝40×6＋7＝247；当n＝42时，X＝40×6＋14＝254.所以X 的分布列为X 228 234 240 247 254p 15 310 15 15 110(7分)E ⎝⎛⎭⎫X ＝228×15＋234×310＋240×15＋247×15＋254×110＝238.6.(9分)(ⅱ)依题意，甲公司送餐员的日平均送餐单数为38×0.2＋39×0.2＋40×0.3＋41×0.2＋42×0.1＝39.8，(10分)所以甲公司送餐员的日平均工资为80＋4×39.8＝239.2元，(11分)因为238.6<239.2，所以小张应选择甲公司应聘．(12分)20．(本小题满分12分)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的一个焦点与抛物线y 2＝43x 的焦点重合，且直线y ＝b ax 与圆x2＋y2－10x＋20＝0相切．(1)求椭圆C的方程；(2)设斜率为k且不过原点的直线l与椭圆C 相交于A、B两点，O为坐标原点，直线OA，OB的斜率分别为k1，k2，若k1，k，k2成等比数列，推断|OA|2＋|OB|2是否为定值？若是，求出此定值；若不是，说明理由．【解析】(1)因为抛物线y2＝43x的焦点为(3，0)，则c＝3，所以a2－b2＝3.(2分)因为直线bx－ay＝0与圆(x－5)2＋y2＝5相切，则5bb2＋a2＝5，即a2＝4b2.(4分)解得a2＝4，b2＝1，所以椭圆C的方程是x2 4＋y2＝1.(5分)(2)设直线l的方程为y＝kx＋m(m≠0)，点A(x1，y1)，B(x2，y2)，将直线l的方程代入椭圆方程，得x2＋4(kx ＋m)2＝4，即(4k2＋1)x2＋8kmx＋4m2－4＝0，则x1＋x2＝－8km4k2＋1，x1x2＝4m2－44k2＋1.(7分)由已知，k2＝k1k2＝y1y2x1x2＝（kx1＋m）（kx2＋m）x1x2，则k2x1x2＝(kx1＋m)(kx2＋m)，即km(x1＋x2)＋m2＝0，所以－8k2m24k2＋1＋m2＝0，即(1－4k2)m2＝0.因为m≠0，则k2＝14，即k＝±12，从而x1＋x 2＝2m，x1x2＝2m2－2.(10分)所以|OA|2＋|OB|2＝x21＋y21＋x22＋y22＝x21＋(kx1＋m)2＋x22＋(kx2＋m)2＝(k2＋1)(x21＋x22)＋2km(x1＋x2)＋2m2＝(k2＋1)[(x1＋x2)2－2x1x2]＋2km(x1＋x2)＋2m2.＝54[4m2－2(2m2－2)]－2m2＋2m2＝5为定值．(12分)21．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝e x －a(x－1)，a∈R，e为自然对数的底数．(1)若存在x0∈(1，＋∞)，使f(x0)＜0，求实数a的取值范围；(2)若f(x)有两个不同零点x1，x2，证明：x1＋x2＞x1x2.【解析】(1)解法一：f′(x)＝e x－a.(1分)①若a≤0，因为e x>0，则f′(x)>0，此时f(x)在R上单调递增．当x ∈(1，＋∞)时，f (x )＞f (1)＝e ＞0，不合题意．(2分)②若a ＞0，由f ′(x )>0，得e x >a ，即x ＞ln a ，则f (x )在(ln a ，＋∞)上单调递增，在(－∞，ln a )上单调递减，所以f (x )min ＝f (ln a )＝e ln a －a (ln a －1)＝a (2－ln a )．(4分)据题意，⎩⎨⎧ln a >1，a （2－ln a ）<0，则ln a ＞2，即a >e 2，所以a 的取值范围是(e 2，＋∞)．(5分) 解法二：当x ∈(1，＋∞)时，由f (x )＜0，得e x <a (x －1)，即a >ex x －1.(1分)设g (x )＝e xx －1(x >1)，据题意，当x ∈(1，＋∞)时，a ＞g (x )能成立，则a >g (x )min .(2分)因为g ′(x )＝e x （x －1）－e x （x －1）2＝（x －2）e x（x －1）2(x >1)，(3分)则当x ＞2时，g ′(x )>0，g (x )单调递增；当1＜x ＜2时，g ′(x )<0，g (x )单调递减．(4分)所以g (x )min ＝g (2)＝e 2，故a 的取值范围是(e 2，＋∞)．(5分)(2)由题设，f (x 1)＝f (x 2)＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧e x 1＝a （x 1－1），e x 2＝a （x 2－1），则e x 1·e x 2＝a 2(x 1－1)(x 2－1)，即e x 1＋x 2＝a 2(x 1x 2－x 1－x 2＋1)．(7分) 要证x 1＋x 2＞x 1x 2，只要证e x 1＋x 2<a 2，即证x 1＋x 2<2ln a ，即证x 1<2ln a －x 2.(8分)不妨设x 1＜x 2，由(1)可知，a >e 2，且x 1＜ln a ＜x 2，从而2ln a －x 2＜ln a .因为f (x )在(－∞，ln a )上单调递减，所以只要证f (x 1)>f (2ln a －x 2)，即证f (x 2)>f (2ln a －x 2)．(9分)设h (x )＝f (x )－f (2ln a －x )，则 h ′(x )＝f ′(x )＋f ′(2ln a －x )＝e x－2a ＋e2ln a －x＝e x ＋a2ex －2a ≥2e x ·a2ex －2a ＝0，所以h (x )在R 上单调递增．因为x 2＞ln a ，则h (x 2)>h (ln a )＝f (ln a )－f (ln a )＝0，即f (x 2)－f (2ln a －x 2)>0，即f (x 2)>f (2ln a －x 2)，所以原不等式成立．(12分)(二)选考题：共10分．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，已知曲线C 1的极坐标方程为ρ＝4cos θ，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－255t ，y ＝1＋55t (t 为参数)．(1)求曲线C 1的直角坐标方程及直线l 的普通方程；(2)若曲线C 2的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2cos α，y ＝sin α(α为参数)，点P 在曲线C 1上，其极角为π4，点Q为曲线C 2上的动点，求线段PQ 的中点M 到直线l 的距离的最大值．【解析】(1)由ρ＝4cos θ，得ρ2＝4ρcos θ.将ρ2＝x 2＋y 2，x ＝ρcos θ代入，得曲线C 1的直角坐标方程为x 2＋y 2－4x ＝0.(3分)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－255t ，y ＝1＋55t ，得x ＋2y ＝3，所以直线l 的普通方程为x ＋2y －3＝0.(5分)(2)由题设，点P 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫22，π4，其直角坐标为(2，2)．(7分)设点Q (2cos α，sin α)，则PQ 的中点M的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1＋cos α，1＋12sin α.(8分) 点M 到直线l 的距离d ＝|1＋cos α＋2＋sin α－3|5＝105⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4≤105. 所以点M 到直线l 的距离的最大值为105.(10分)23．(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲已知函数f(x)＝|x＋a|＋|x－2|，其中a为实常数．(1)若函数f(x)的最小值为3，求a的值；(2)若当x∈[1，2]时，不等式f(x)≤|x－4|恒成立，求a的取值范围．【解析】(1)因为f(x)＝|x＋a|＋|x－2|≥|(x＋a)－(x－2)|＝|a＋2|，(3分)当且仅当(x＋a)(x－2)≤0时取等号，则f(x)min＝|a＋2|.令|a＋2|＝3，则a＝1或a＝－5.(5分)(2)当x∈[1，2]时，f(x)＝|x＋a|＋2－x，|x －4|＝4－x.由f(x)≤|x－4|，得|x＋a|＋2－x≤4－x，即|x ＋a|≤2，即―2≤x＋a≤2，即―x－2≤a≤－x ＋2.所以(－x－2)max≤a≤(－x＋2)min.(8分)因为函数y＝－x－2和y＝－x＋2在[1，2]上都是减函数，则当x＝1时，(－x－2)max＝－3；当x＝2时，(－x＋2)min＝0，所以a的取值范围是[－3，0]．(10分)。