概率论与数理统计B考试大纲(带公式)讲解
《概率论与数理统计B》课程教学大纲
《概率论与数理统计》课程教学大纲课程代码：课程性质：专业基础理论课必修或选修适用专业：测绘等工科类各专业开课学期：总学时数：总学分数：编写年月：修订年月：执笔：李大红、古伟清第一部分大纲一、课程的性质和目的概率论与数理统计是研究随机现象客观规律并付诸应用的数学学科，是工科本科各专业的一门重要基础理论课，通过本课程教学，使学生掌握概率论与数理统计的基本概念和基本理论，初步学会处理随机现象的基本思想和方法，培养解决实际问题的能力。
二、课程教学内容及基本要求（一）教学内容. 随机事件与概率随机事件及其运算(随机试验, 随机事件与样本空间, 事件之间的关系及其运算) 概率的定义、性质及其运算(频率, 概率的统计定义, 古典概率, 几何概率，概率的公理化定义, 概率的性质) 条件概率及三个重要公式(乘法公式, 全概率公式, 贝叶斯公式) 事件的独立性及贝努里()概型。
.随机变量及其分布随机变量的概念,随机变量的分布函数概念及其性质离散型随机变量及其概率分布、离散型随机变量常见分布连续性随机变量及其概率密度函数、连续性随机变量常见的分布随机变量的函数的分布. 多维随机变量及其分布二维随机变量的联合分布函数与边缘分布函数二维离散型随机变量及其概率分布二维连续型随机变量及其分布随机变量的独立性定义及其判别法随机变量的简单函数的概率分布. 随机变量的数字特征随机变量数学期望的定义及其性质、随机变量函数的数学期望随机变量方差的定义及其性质协方差, 相关系数的定义与计算公式几种重要随机变量的数学期望与方差。
. 大数定律和中心极限定理契比雪夫不等式贝努里大数定律和契比雪夫大数定律独立同分布的中心极限定理和德莫弗拉普拉斯()中心极限定理. 数理统计的基本概念总体和样本、样本的联合分布统计量与样本的数字特征正态总体的样本均值、样本方分布, 分布, 分布)的定义及其性质差的分布三个重要抽样分布(2. 参数估计参数的矩估计法的基本思想及其矩估计量的求法参数极大似然估计法的基本思想及其极大似然估计的求法点估计的评价标准(无偏性, 有效性, 一致性) 参数的区间估计方法. 假设检验假设检验的基本思想和基本概念：统计假设、检验法则、两类错误假设检验的一般步骤正态总体的参数检验(单个总体均值和方差的检验，两个正态总体的均值差和方差比的假设检验) 非参数的检验。
(完整版)《概率论与数理统计》讲义
第一章 随机事件和概率 第一节 基本概念1、排列组合初步（1）排列组合公式)!(!n m m P n m -= 从m 个人中挑出n 个人进行排列的可能数。
)!(!!n m n m C n m -=从m 个人中挑出n 个人进行组合的可能数。
例1．1：方程xx x C C C 76510711=-的解是 A ． 4 B ． 3 C ． 2 D ． 1例1．2：有5个队伍参加了甲A 联赛，两两之间进行循环赛两场，试问总共的场次是多少？(2)加法原理（两种方法均能完成此事）：m+n某件事由两种方法来完成，第一种方法可由m 种方法完成，第二种方法可由n 种方法来完成，则这件事可由m+n 种方法来完成。
(3)乘法原理（两个步骤分别不能完成这件事）：m ×n某件事由两个步骤来完成，第一个步骤可由m 种方法完成，第二个步骤可由n 种方法来完成，则这件事可由m ×n 种方法来完成。
例1．3：从5位男同学和4位女同学中选出4位参加一个座谈会，要求与会成员中既有男同学又有女同学，有几种不同的选法？例1．4：6张同排连号的电影票，分给3名男生和3名女生，如欲男女相间而坐，则不同的分法数为多少？例1．5：用五种不同的颜色涂在右图中四个区域里，每一区域涂上一种颜色，且相邻区域的颜色必须不同，则共有不同的涂法A．120种B．140种 C．160种D．180种(4)一些常见排列①特殊排列②相邻③彼此隔开④顺序一定和不可分辨例1．6：晚会上有5个不同的唱歌节目和3个不同的舞蹈节目，问：分别按以下要求各可排出几种不同的节目单？①3个舞蹈节目排在一起；②3个舞蹈节目彼此隔开；③3个舞蹈节目先后顺序一定。
例1．7：4幅大小不同的画，要求两幅最大的排在一起，问有多少种排法？例1．8：5辆车排成1排，1辆黄色，1辆蓝色，3辆红色，且3辆红车不可分辨，问有多少种排法？①重复排列和非重复排列（有序）例1．9：5封不同的信，有6个信箱可供投递，共有多少种投信的方法？②对立事件例1．10：七人并坐，甲不坐首位，乙不坐末位，有几种不同的坐法？例1．11：15人中取5人，有3个不能都取，有多少种取法？例1．12：有4对人，组成一个3人小组，不能从任意一对中取2个，问有多少种可能性？③ 顺序问题例1．13：3白球，2黑球，先后取2球，放回，2白的种数？（有序） 例1．14：3白球，2黑球，先后取2球，不放回，2白的种数？（有序） 例1．15：3白球，2黑球，任取2球，2白的种数？（无序）2、随机试验、随机事件及其运算（1）随机试验和随机事件如果一个试验在相同条件下可以重复进行，而每次试验的可能结果不止一个，但在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果，则称这种试验为随机试验。
概率论与数理统计B考试大纲(带公式)讲解
概率论与数理统计B考试大纲第2章描述统计学1.样本均值、样本方差、样本标准差的计算；2.样本中位数、分位数；先对数据按从小到大排序。
如果np不是整数，则第[np]+1个数据是100p%分位数。
如果np 是一个整数，那么100p%分位数取第[np]和第[np]+1个值的平均值。
特别地，中位数是50%分位数。
3.样本相关系数。
，第3章概率论基础1. 样本空间，事件的并、交、补，文图和德摩根律；，2. 概率的定义、补事件计算公式、并事件计算公式；对于任何的互不相交事件序列，3. 等可能概型的计算，排列和组合；4. 条件概率、乘法公式、全概率公式、贝叶斯公式；，5. 事件独立性及其概率的计算。
第4章随机变量与数学期望1. 随机变量的分布函数及其性质；2. 离散型随机变量的概率质量函数及其性质，有关概率的计算；离散型随机变量：取值集合有限或者是一个数列x i, i=1,2, …。
概率质量函数：，3. 连续型随机变量的概率密度函数及其性质，有关概率的计算；连续型随机变量：随机变量的可能的取值是一个区间。
概率密度函数f(x)：对任意一个实数集B有,,4 二维随机变量的联合分布函数、联合质量函数、联合密度函数，有关概率的计算；,,5. 随机变量的独立性，有关概率的计算；随机变量X与Y独立: ;分布函数离散型连续型6. 怎样求连续型随机变量函数的密度函数（先求分布函数，再求导）；Y=g(X)7. 数学期望（离散型，连续型），函数的数学期望（离散型，连续性）；离散型连续型8. 数学期望的性质，当X与Y独立时，E[XY]=E[X] E[Y]9. 方差和它的性质；；当X与Y独立，，10 协方差、相关系数，有关性质；Corr(X,Y)=1或-1，当且仅当X和Y线性相关，即P(Y=a+bX)=1 (当b>0, 相关系数为1; 当b<0, 相关系数为-1)当X与Y独立时，X与Y不相关，即.11. 切比雪夫不等式，弱大数定律，概率的频率意义。
概率论与数理统计笔记(重要公式)
r = A 中样本点数 / Ω 中样本点总数 n
= A 所包含的基本事件数 / 基本事件总数 条件概率:
对偶律： A B = A B , P ( AB ) 设 A, B 是两个事件， 且 P(B)>0， 称 P(A|B)= 为 贝叶斯公式: P( B) 在事件 B 发生条件下事件 A 发生的条件概率。显然， 当 P(A)>0 时，P(B|A)=
二项分布 X ~ B(n, p)： 指数分布 X ~ E(λ) 若随机变量 X 只取两个可能值 0, 1, …, n, 而 X 的分布律为 e x x 0 若随机变量 X 的概率密度为 f ( x) k k nk pk =P {X= xk }= Cn p q , k=0, 1, 2, …, n, x0 0
设 X 为离散型随机变量， 可能取值为 x1, x2, …, xk, … 且 P 概率密度的性质： (1) f(x)≥0 {X= xk }= pk, k=1, 2, …, 则称{pk}为 X 的分布律 表格形式: f ( x)dx =1 (2) X x1, x2, …, xk, … b P p1, p2, …, pk, … (3) P{a<X≤b}= F(b)-F(a)= f ( x)dx , a≤b a {pk}性质： (4) 设 x 为 f(x)的连续点，则 F’(x)存在，且 （1） pk≥0, k=1, 2, … F’(x)= f(x) （2） pk =1 均匀分布 X ~ U (a, b) k 1 若随机变量 X 的概率密度为 在求离散型随机变量的分布律时，首先要找出其所有可能 1 , a≤x≤b 的取值，然后再求出每个值相应的概率 ba f(x) = 在实际应用中，有时还要求“X 满足某一条件”这样事件的 概率， 求法就是把满足条件的 xk 所对应的概率 pk 相加可得 0, 其他 则称 X 服从区间[a,b]上的均匀分布，其分布函数为 其分布函数 F(x) = pk xk x 0, x≤a 0-1 分布： xa F(x) = , a<x<b 若随机变量 X 只取两个可能值 0, 1，且 ba P {X=1}=p, P{X=0}=q 1, x≥b 其中 0<p<1, q=1-p, 则称 X 服从 0-1 分布. X 的分布律为 设 X ~ U (a, b), a≤c<d≤b，即[a,b] [c,d]，则 X 0 1 d c P{c≤X≤d}= P q p ba
《概率论与数理统计》考试大纲
《概率论与数理统计》考试大纲一、课程简介概率论是一门研究随机现象统计规律性数量关系的数学学科，约形成于二十世纪初期，1917年苏联科学家伯恩斯坦首先给出了概率论的公理体系，1933年柯尔莫哥洛夫又以更完整的形式提出了概率论的公理结构，从此概率论臻于完善；而数理统计是研究如何有效地收集整理和分析受随机影响的数据，并作出统计推断、预测或者决策的一门学科，它是以概率论为基础的。
《概率论与数理统计》是一门研究和探索客观世界随机现象规律的数学学科，它以随机现象为研究对象，是数学的分支学科，在金融、保险、经济与企业管理、工农业生产、医学、地质学、气象与自然灾害预报等等方面都起到非常重要的作用。
随着计算机科学的发展，以及功能强大的统计软件和数学软件的开发，这门学科得到了蓬勃的发展，它不仅形成了结构宏大的理论，而且在自然科学和社会科学的各个领域应用越来越广泛。
该课程主要讲授“概率论与数理统计基本概念”、“随机变量”、“大数定律与中心极限定理”、“参数估计与假设检验”和“方差分析与回归分析”等内容，理、工、经管类本科生必修的一门重要的基础课。
学习该课程可使学生掌握概率论与数理统计的基本概念，了解它的基本理论和方法，从而使学生初步掌握处理随机现象的基本思想和方法，培养学生运用概率统计方法分析和解决、处理实际不确定问题的基本技能和基本素质。
二、考查目标目的是科学、公平、有效地测试考生是否具备攻读我校统计学专业硕士研究生所必须的基本素质、一般能力和培养潜能，以利于选拔具有发展潜力的优秀人才入学，为国家的经济建设培养具有良好职业道德、具有较强分析与解决实际问题能力的高层次应用型的统计学专业人才。
考查考生对概率论与数理统计的基本概念、基本理论和方法的掌握情况，是否具有较强的逻辑推理能力和灵活的思维能力，是否具有较强的计算能力，是否具有综合运用所学知识分析与解决较为复杂实际问题的能力。
要求考生：比较全面地掌握统计学的基本原理和方法，以及相关的概率论知识；具有一定的运用统计学模型分析实际数据和解释分析结果的能力。
概率论与数理统计超全公式总结
E (X )=∑∑x i p i jijxxn+∞ n n−λλkP (X = k ) = e ， (k = 0,1,...)k !(a ≤ x ≤ b )1b − af (x ) =概率论与数理统计公式总结F (x ) = P (X ≤ x ) = ∑P (X = k )k ≤x分布函数 对离散型随机变量F ' (x ) = f (x )第一章P(A+B)=P(A)+P(B)- P(AB)特别地，当 A 、B 互斥时， P(A+B)=P(A)+P(B)对连续型随机变量F (x ) = P (X ≤ x ) =∫−∞f (t )dt条件概率公式分布函数与密度函数的重要关系：P (A | B ) =P (AB )P (B )F (x ) = P (X ≤ x ) =∫−∞f (t )dt概率的乘法公式P (AB ) = P (B )P (A | B )= P (A )P (B | A )二元随机变量及其边缘分布分布规律的描述方法全概率公式：从原因计算结果P (A ) = ∑ P (B k )P (A | B k )k =1联合密度函数联合分布函数f (x , y ) ≥ 0f (x , y ) F (x , y )+∞ +∞Bayes 公式：从结果找原因∫−∞ ∫−∞f (x , y )dx dy = 1 0 ≤ F (x , y ) ≤ 1P (B k| A ) = P (B i )P (A | B i ) ∑P (B )P (A | B )F (x , y ) = P {X ≤ x ,Y ≤ y }f (x ) = ∫ f (x , y )d y 联合密度与边缘密度第二章kkk =1Xf Y (y ) = −∞+∞−∞f (x , y )dx二项分布（Bernoulli 分布）——X~B(n,p)P (X =k )=C k p k (1−p)n −k，(k =0,1,...n , ) 泊松分布——X~P(λ)概率密度函数离散型随机变量的独立性P {X = i ,Y = j } = P {X = i }P {Y = j }连续型随机变量的独立性f (x , y ) = f X (x ) f Y (y ) 第三章数学期望离散型随机变量，数学期望定义怎样计算概率P (a ≤ X ≤ b )b连续型随机变量，数学期望定义� E(a)=a ，其中 a 为常数P (a ≤ X ≤ b ) = ∫af (x )d x均匀分布 X~U(a,b)指数分布 X~Exp (θ)• E(a+bX)=a+bE(X)，其中 a 、b 为常数 � E(X+Y)=E(X)+E(Y)，X 、Y 为任意随机变量随机变量 g(X)的数学期望常用公式+∞∫−∞ f (x )dx = 1+∞E (X ) = ∑x k ⋅P kk =−∞+∞E (X ) = ∫−∞x ⋅ f (x )dxE (g (X )) = ∑ g (x k ) p kk∫Y / nD (X +Y ) = D (X ) + D (Y ) + 2E {(X − E (X ))(Y − E (Y ))} X ~ N (µ,σ2 )i σ 12 σ E (X Y ) = ∑∑x i y j p i jij2σ22−(x −µ) e 12πσf (x ) =不相关不一定独立第四章 正态分布E (X ) = µ,D (X ) = σ2方 差 定义式常用计算式常用公式当 X 、Y 相互独立时：标准正态分布的概率计算 标准正态分布的概率计算公式P (Z ≤ a ) = P (Z < a ) = Φ(a )P (Z ≥ a ) = P (Z > a ) = 1− Φ(a )P (a ≤ Z ≤ b ) = Φ(b ) − Φ(a )P (−a ≤ Z ≤ a ) = Φ(a ) − Φ(−a ) = 2Φ(a ) −1一般正态分布的概率计算一般正态分布的概率计算公式 P (X ≤ a ) = P (X < a ) = Φ(a − µσ ) a − µ方差的性质P (X ≥ a ) = P (X > a ) = 1− Φ( σ)D(a)=0，其中 a 为常数P (a ≤ X ≤ b ) = Φ(b − µ− Φ(a − µD(a+bX)=b2D(X)，其中 a 、b 为常数当 X 、Y 相互独立时，D(X+Y)=D(X)+D(Y) 协方差与相关系数E {[X − E (X )][Y − E (Y )]}= E (XY ) − E (X )E (Y )第 五 章卡方分布σ ) σ)n若X ~ N (0,1)，则∑ X 2 ~ χ2(n )i =121n2 2协方差的性质若Y ~ N (µ,σ ),t 分布则 2 ∑(Y i− µ) i =1 ~ χ (n )若X ~ N (0,1), Y ~ χ2(n ),则X ~ t (n )独立与相关独立必定不相关 Cov (aX ,bY ) = abCov (X ,Y )若U ~ χ2 (n ), F 分布正态总体条件下 样本均值的分布：V ~ χ2(n ),则U / n 1 V / n 2~ F (n 1,n 2 )相关必定不独立2X ~ N (µ,)nX − µ~ N (0,1)σ/ n 2− E (X )) ⋅ f (x )dx x +∞−∞∫ D (X ) =( E (XY ) = ∫ ∫ xyf (x , y )dxdy σX ~ N (µ,σ2 ) ⇔ Z = X − µ~ N (0,1)D (X )D (Y )XY ρ =C ov (X ,Y )Cov (X +Y , Z ) = Cov (X , Z ) + Cov (Y , Z )C ov (X , X ) = E (X 2 ) − (E (X ))2 =D (X )Cov (X ,Y ) = E (XY ) − E (X )E (Y )D (X +Y ) = D (X ) + D (Y )D (X ) =E (X 2 ) − [E (X )]2当X 与Y 独立时,E (XY ) = E (X )E (Y )Φ(a ) = 1− Φ(−a ) E (X +Y ) = E (X ) + E (Y )E (X ) = ∫ ∫ xf (x , y )dxdyn ⎠ n ⎠ n ⎠σ2 1 + 2 n 1 n 2 σ2 σ / n(x 1 − x 2 )± z α/ 2 2 2 ⎜ χ χ ⎛ ⎜ ⎟12x ± z样本方差的分布：正态总体方差的区间估计 两个正态总体均值差的置信区间(n −1)S 2 ~ χ2 (n −1) X − µ~ t (n −1) 大样本或正态小样本且方差已知σ2两个正态总体的方差之比⎛⎜ ⎜ ⎝S 2 / S 2两个正态总体方差比的置信区间1 2~ F (n 1 −1,σ2 /σ2n 2 −1)2 / S 2 , 2 / S 2⎞ ⎝ F α/ 2 (n 1 −1,n 2 −1) F α/ 2 (n 1 −1,n 2 −1) ⎠第六章点估计：参数的估计值为一个常数矩估计 最大似然估计n似然函数第七章假设检验的步骤1 根据具体问题提出原假设 H0 和备择假设 H12 根据假设选择检验统计量，并计算检验统计值3 看检验统计值是否落在拒绝域，若落在拒绝域则L = Π i =1f (x i ;θ)L = Π i =1p (x i ;θ)拒绝原假设，否则就不拒绝原假设。
概率论与数理统计完整公式
概率论与数理统计完整公式概率论与数理统计是数学的一个分支，研究随机现象和随机变量之间的关系、随机变量的分布规律、经验规律及参数估计等内容。
在概率论与数理统计的学习中，有许多重要的公式需要掌握。
以下是概率论与数理统计的完整公式。
一、概率论公式：1.全概率公式：设A1，A2，…，An为样本空间S的一个划分，则对任意事件B，有：P(B)=P(B│A1)·P(A1)+P(B│A2)·P(A2)+…+P(B│An)·P(An)2.贝叶斯公式：对于样本空间S的一划分A1，A2，…，An，其中P(Ai)>0，i=1,2，…，n，并且B是S的任一事件，有：P(Ai│B)=[P(B│Ai)·P(Ai)]/[P(B│A1)·P(A1)+P(B│A2)·P(A2)+…+P (B│An)·P(An)]3.事件的独立性：若对事件A，B有P(AB)=P(A)·P(B)，则称事件A，B相互独立。
4.概率的乘法公式：对于独立事件A1，A2，…，An，有：P(A1A2…An)=P(A1)·P(A2)·…·P(An)5.概率的加法公式：对事件A，B有：P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)6.条件概率的计算：对事件A，B有：P(A，B)=P(AB)/P(B)7.古典概型的概率计算：设事件A在n次试验中发生k次的次数服从二项分布B(n,p)，则其概率可表示为：P(X=k)=C(n,k)·p^k·(1-p)^(n-k)，其中C(n,k)=n!/[k!(n-k)!]二、数理统计公式：1.样本均值的期望和方差：样本的均值X̄的期望和方差分别为： E(X̄) = μ，Var(X̄) = σ^2 / n，其中μ 为总体的均值，σ^2 为总体方差，n 为样本容量。
2.样本方差的期望：样本方差S^2的期望为：E(S^2)=σ^2，其中σ^2为总体方差。
概率论与数理统计考试大纲
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概率论与数理统计考试大纲
一、基本概念：
1.运用加法公式，乘法公式以及事件的独立性计算随机事件的概
率；
2.掌握全概率公式，贝叶斯公式；
3.掌握几种常见分布（离散型：二项分布等；连续型：均匀分布；
正态分布等）的分布律和概率密度，以及相关的数字特征计算。
二、一维随机变量分布
1.掌握离散型分布律的性质；
2.掌握连续型密度的性质以及概率密度与分布函数的关系；；
3.会求一维连续型随机变量的函数的分布；
三、二维随机变量分布
1. 掌握离散型联合分布律的性质；已知联合分布律会求边缘分布
律；
2.掌握连续型联合密度的性质；已知联合密度会求边缘密度；
3. 会求简单的二维离散型随机变量的函数的分布
4. 随机变量的数字特征
四、随机变量数字特征
1. 掌握数学期望；方差以及协方差的性质以及计算方法；
五、参数估计和假设检验
1.掌握矩估计法和极大似然估计法；
2.掌握单个正态总体的假设检验。
基本题型：
填空（7x4分）+计算（72分）
计算题：
（1）全概率公式考察，贝叶斯公式。
（2）一维随机变量计算区间上的概率；计算变量函数的分布。
（3）二维随机变量计算边缘分布；相关性；协方差等。
（4）求参数的点估计和极大似然估计
（5）计算单个正态总体参数数学期望的假设检验
.。
8.《概率论与数理统计》考试大纲
《概率论与数理统计》考试大纲一、考查目标《概率论与数理统计》是为选拔学位学科教学（数学）教育硕士专业硕士研究生而为同等学历考生设置的入学考试科目。
其目的是科学、公平、有效地考查学生对《概率论与数理统计》的基础知识的掌握情况；是否具备攻读我校教育硕士研究生所必须的基本的数据分析素质和培养潜能.二、考试内容及要求第一章随机事件与概率（一）考核知识点1、随机事件与概率：样本空间，随机事件，随机变量，事件域，事件运算，事件间关系2、概率的定义及其确定方法3、概率的性质：可加性，单调性，连续性4、条件概率：定义，乘法公式，全概率公式，Bayes 公式5、事件与试验的独立性（二）考核要求1、深刻理解本章的各项内容2、能够应用本章的基本概念、基本原理、基本方法解决相关实际问题，如古典概率问题。
第二章随机变量及其分布（一）考核知识点1、随机变量及其分布：概念，离散随机变量，分布列，连续随机变量，密度函数，分布函数2、数学期望3、方差与标准差：定义，性质，切比雪夫不等式4、常用离散分布：二项分布，几何分布，泊松分布，超几何分布5、常用连续分布：正态分布，指数分布，均匀分布，伽玛分布6、随机变量函数的分布（二）考核要求1、深刻理解本章的各项内容2、能够应用本章的基本概念、基本原理、基本方法解决相关实际问题第三章多维随机变量及其分布（一）考核知识点1、多维随机变量及其分布：概念，联合分布列，联合密度函数，联合分布列，常用多维分布2、边际分布于随机变量的独立性：边际分布列，边际分函数，边际分密度函数，随机变量的独立性3、多维随机变量函数的分布：离散多维随机变量函数的分布，最大最小值分布，4、多维随机变量的特征：数学期望，方差，协方差，相关系数，运算，期望向量，协方差矩阵（二）考核要求1、领会本章的各项内容2、能够应用本章的基本概念、基本原理、基本方法解决相关实际问题，如多维正态分布问题。
第四章大数定律与中心极限定理（一）考核知识点1、大数定律：伯努利大数定律，大数定律的一般形式，切比雪夫大数定律，辛钦大数定律，马尔科夫数定律2、中心极限定理：利莫弗 - 拉普拉斯中心极限定理，莱维 - 林德伯格中心极限定理，正态近似3、多维随机变量函数的分布：离散多维随机变量函数的分布，最大最小值分布，（二）考核要求1、领会本章的各项内容2、能够应用本章的基本概念、基本原理、基本方法解决相关实际问题，如多维正态分布问题。
概率论与数理统计B教学大纲
概率论与数理统计第一章概率论的基本概念（ 9学时）[知识点]随机试验、样本空间、随机事件、频率与概率、等可能概型（古典概型）、条件概率、事件的独立性。
[重点]1、概率、条件概率与独立性的概念。
2、逆事件概率的计算公式。
3、加法公式、减法公式、乘法公式、全概率公式、贝叶斯公式。
[难点]1、古典概型的有关计算；2、全概率公式与贝叶斯公式的应用。
[基本要求]1、识记：随机试验、样本空间、随机事件、基本事件、频率、概率、古典概型、条件概率、加法公式、减法公式、乘法公式、全概率公式、贝叶斯公式、事件的独立性。
2、领会：概率计算的基本公式、全概率公式、贝叶斯公式。
3、简单应用：概率的基本性质、概率计算的基本公式（加法公式、减法公式、乘法公式）。
4、综合应用：全概率公式、贝叶斯公式及事件的独立性。
[考核要求]1、了解样本空间的概念，理解随机事件的概念，掌握事件的关系与运算。
2、理解概率、条件概率的概念，掌握概率的基本性质，会计算古典型的概率，掌握概率的加法公式、乘法公式、减法公式、全概率公式及贝叶斯公式。
3、理解事件的独立性的概念，掌握用事件独立性进行概率计算。
第二章随机变量及其分布（ 9学时）[知识点]随机变量、离散型随机变量及其分布律、随机变量的分布函数、连续型随机变量及其概率密度、随机变量的函数的分布。
[重点]1、随机变量及其概率分布的概念。
2、离散型随机变量分布律的求法。
3、二项分布与泊松分布的实际意义及有关计算。
4、连续型随机变量的概率密度与分布函数之间的关系及其运算。
5、均匀分布、正态分布、指数分布的实际意义及有关计算。
6、用随机变量表示事件，用概率密度或分布函数求事件的概率。
[难点]1、随机变量的定义；2、随机变量函数的分布。
[基本要求]1、识记：随机变量、分布函数、离散型随机变量及其分布律、连续型随机变量及其概率密度、伯努利试验、（0－1）分布、n重伯努利试验、二项分布、泊松分布、指数分布、均匀分布、正态分布、随机变量的函数的分布。
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概率论与数理统计第一章概率论的基本概念（ 9学时）[知识点]随机试验、样本空间、随机事件、频率与概率、等可能概型（古典概型）、条件概率、事件的独立性。
[重点]1、概率、条件概率与独立性的概念。
2、逆事件概率的计算公式。
3、加法公式、减法公式、乘法公式、全概率公式、贝叶斯公式。
[难点]1、古典概型的有关计算；2、全概率公式与贝叶斯公式的应用。
[基本要求]1、识记：随机试验、样本空间、随机事件、基本事件、频率、概率、古典概型、条件概率、加法公式、减法公式、乘法公式、全概率公式、贝叶斯公式、事件的独立性。
2、领会：概率计算的基本公式、全概率公式、贝叶斯公式。
3、简单应用：概率的基本性质、概率计算的基本公式（加法公式、减法公式、乘法公式）。
4、综合应用：全概率公式、贝叶斯公式及事件的独立性。
[考核要求]1、了解样本空间的概念，理解随机事件的概念，掌握事件的关系与运算。
2、理解概率、条件概率的概念，掌握概率的基本性质，会计算古典型的概率，掌握概率的加法公式、乘法公式、减法公式、全概率公式及贝叶斯公式。
3、理解事件的独立性的概念，掌握用事件独立性进行概率计算。
第二章随机变量及其分布（ 9学时）[知识点]随机变量、离散型随机变量及其分布律、随机变量的分布函数、连续型随机变量及其概率密度、随机变量的函数的分布。
[重点]1、随机变量及其概率分布的概念。
2、离散型随机变量分布律的求法。
3、二项分布与泊松分布的实际意义及有关计算。
4、连续型随机变量的概率密度与分布函数之间的关系及其运算。
5、均匀分布、正态分布、指数分布的实际意义及有关计算。
6、用随机变量表示事件，用概率密度或分布函数求事件的概率。
[难点]1、随机变量的定义；2、随机变量函数的分布。
[基本要求]1、识记：随机变量、分布函数、离散型随机变量及其分布律、连续型随机变量及其概率密度、伯努利试验、（0－1）分布、n重伯努利试验、二项分布、泊松分布、指数分布、均匀分布、正态分布、随机变量的函数的分布。
(完整版)概率论与数理统计复习提纲
三、最大似然估计法
1. 直观想法：在试验中，事件A的概率P(A)最大, 则A出现的可能性就大；如果事件A出现了，我们认为事件A的概率最大.
2. 定义 设总体X的概率函数或密度函数为 （或 ），其中参数 未知，则X的样本 的联
(1) 设总体X的概率密度函数为f(x), 则样本的联合密度函数为
(2)设总体X的概率函数为 , 则样本的联合概率函数为
二、统计量
1. 定义
不含总体分布中任何未知参数的样本函数 称为统计量, 是 的观测值.
注：（1）统计量 是随机变量； （2）统计量 不含总体分布中任何未知参数；
（3）统计量的分布称为抽样分布.
3.样本：从总体X中，随机地抽取n个个体 ,称为总体X的容量为n的样本。
注：⑴ 样本 是一个n维的随机变量；⑵ 本书中提到的样本都是指简单随机样本，其满足2个特性：
① 代表性： 中每一个与总体X有相同的分布.② 独立性： 是相互独立的随机变量.
4.样本 的联合分布
设总体X的分布函数为F(x)，则样本 的联合分布函数为
都有确定的实值P(A)，满足下列性质：
(1)非负性： (2)规范性：
(3)有限可加性(概率加法公式)：对于k个互不相容事件 ，有 .
则称P(A)为随机事件A的概率.
2．概率的性质
① ②
③若 ，则
④
注：性质的逆命题不一定成立的.如若 则 。（×）若 ，则 。（×）
三、古典概型的概率计算
古典概型：若随机试验满足两个条件：①只有有限个样本点,
合概率函数（或联合密度函数） （或
称为似然函数.
3. 求最大似然估计的步骤：
概率论与数理统计B教学大纲
概率论与数理统计B教学大纲第一篇：概率论与数理统计B教学大纲“概率论与数理统计（B）”教学大纲The Theory of Probability and Mathematical Statistics(B)预修课程: 高等数学总学时: 54 学分：3一、教学目标及要求本课程是高校理工类各专业的基础课，通过本课程的学习，使学生能系统正确地掌握概率论与数理统计学的基础知识和应用方法，为学习专业课程打下基础。
二、教学重点和难点教学重点：概率统计思想方法的应用。
教学难点：概率统计概念的直观理解。
三、教材及主要参考书教材：《概率论与数理统计》陈希孺编，中国科技大学出版社，1992年。
主要参考书:《基本统计方法教程》傅权、胡蓓华编，华东师范大学出版社，1986年。
四、课程章节与课时分配第一章事件的概率（9学时）§1.1概率是什么? §1.2古典概率计算§1.3事件的运算,条件概率与独立性第二章随机变量及其概率分布（9学时）§2.1一维随机变量§2.2多维随机变量§2.3条件概率分布与随机变量的独立性§2.4随机变量的函数的概率分布第三章随机变量的数字特征（9学时）§3.1数学期望与中位数§3.2方差与矩§3.3协方差与相关系数§3.4大数定理和中心极限定理第四章参数估计（12学时）§4.1数理统计的基本概念§4.2矩估计,极大似然估计§4.3点估计的优良性准则§4.4区间估计(置信区间) 第五章假设检验（15学时）§5.1问题的提法和基本概念§5.2重要参数的检验§5.3拟合优度检验第二篇：概率论与数理统计A,教学大纲概率论与数理统计AProbability & Statistics A课程编码：09A00210 学分：3.5 课程类别：专业基础课计划学时：56其中讲课：56 实验或实践：0 上机：0 适用专业：部分理工类、经济、管理类学院各专业，主要有信息学院、机械学院、电气自动化、土建学院、资环学院、商学院、物理学院等。
概率论与数理统计(完整公式,知识点梳理)
P( X k) q k1 p, k 1,2,3, ，其中 p≥0，q=1-p。
均匀分布
随机变量 X 服从参数为 p 的几何分布，记为 G(p)。
设随机变量 X 的值只落在[a，b]内，其密度函数 f (x) 在[a，b] 上为常数 1 ，即
ba
f
(
x)
b
1
a
,
0,
a≤x≤b 其他，
则称随机变量 X 在[a，b]上服从均匀分布，记为 X~U(a，b)。
X 的分布函数为
正态分布
F(x)
1 ex , 0,
记住积分公式：
x nex dx n!
0
x 0,
x<0。
设随机变量 X 的密度函数为
f (x)
1
( x )2
e 2 2 ，
x ，
2 其中 、 0 为常数，则称随机变量 X 服从参数为 、
的正态分布或高斯（Gauss）分布，记为 X ~ N (, 2 ) 。
n
A Bi
2°
i1 ，
则有
P(A) P(B1)P(A | B1) P(B2)P(A | B2) P(Bn)P(A | Bn) 。
设事件 B1， B2 ，…， Bn 及 A 满足
1° B1， B2 ，…， Bn 两两互不相容， P(Bi) >0， i 1，2，…， n ，
n
A Bi
2°
i1 ， P( A) 0 ，
在一个试验下，不管事件有多少个，总可以从其中找出这样一组事件，它具有
如下性质：
①每进行一次试验，必须发生且只能发生这一组中的一个事件；
（5）基本 事件、样本 空间和事 件
②任何事件，都是由这一组中的部分事件组成的。
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概率论与数理统计B考试大纲第2章描述统计学1.样本均值、样本方差、样本标准差的计算；2.样本中位数、分位数；先对数据按从小到大排序。
如果np不是整数，则第[np]+1个数据是100p%分位数。
如果np 是一个整数，那么100p%分位数取第[np]和第[np]+1个值的平均值。
特别地，中位数是50%分位数。
3.样本相关系数。
，第3章概率论基础1. 样本空间，事件的并、交、补，文图和德摩根律；，2. 概率的定义、补事件计算公式、并事件计算公式；对于任何的互不相交事件序列，3. 等可能概型的计算，排列和组合；4. 条件概率、乘法公式、全概率公式、贝叶斯公式；，5. 事件独立性及其概率的计算。
第4章随机变量与数学期望1. 随机变量的分布函数及其性质；2. 离散型随机变量的概率质量函数及其性质，有关概率的计算；离散型随机变量：取值集合有限或者是一个数列x i, i=1,2, …。
概率质量函数：，3. 连续型随机变量的概率密度函数及其性质，有关概率的计算；连续型随机变量：随机变量的可能的取值是一个区间。
概率密度函数f(x)：对任意一个实数集B有,,4 二维随机变量的联合分布函数、联合质量函数、联合密度函数，有关概率的计算；,,5. 随机变量的独立性，有关概率的计算；随机变量X与Y独立: ;分布函数离散型连续型6. 怎样求连续型随机变量函数的密度函数（先求分布函数，再求导）；Y=g(X)7. 数学期望（离散型，连续型），函数的数学期望（离散型，连续性）；离散型连续型8. 数学期望的性质，当X与Y独立时，E[XY]=E[X] E[Y]9. 方差和它的性质；；当X与Y独立，，10 协方差、相关系数，有关性质；Corr(X,Y)=1或-1，当且仅当X和Y线性相关，即P(Y=a+bX)=1 (当b>0, 相关系数为1; 当b<0, 相关系数为-1)当X与Y独立时，X与Y不相关，即.11. 切比雪夫不等式，弱大数定律，概率的频率意义。
切比雪夫不等式弱大数定律：样本均值趋向于总体均值频率趋向于概率第五章特殊随机变量1 伯努利实验和伯努利分布，数学期望和方差；伯努利(Bernoulli)试验：在一次试验中，其结果可以归为``成功‘’和``失败‘’两类。
2. 二项分布：应用背景，概率质量函数，单调性，伯努利分解，可加性，数学期望和方差；应用背景：伯努利试验“成功”的概率每次都为p, 这样独立进行n次，那么“成功”的总次数X服从参数为(n, p)二项分布，记为X~B(n,p)。
单调性：P(X=i)当i<(n+1)p递增，当i>(n+1)p递减。
二项分布的伯努利分解：设X～B(n, p)，那么, 其中X相互独立，且为相同的伯努利分布.可加性: 如果X与Y独立, 且X～B(n, p)，Y～B(m,p)，那么X+Y～B(n+m, p) 。
3. 泊松分布：应用背景，概率质量函数，单调性，数学期望和方差，可加性，二项分布的泊松近似；应用背景: 根据二项分布的泊松近似，一段时间内某种随机事件发生的次数。
单调性：i < λ时递增，i > λ时递减。
泊松分布的可加性: 设X1和X2为相互独立的泊松随机变量，它们的均值分别为λ1和λ2, 那么X1+X2为均值是λ1+λ2的泊松随机变量。
二项分布的泊松近似：设X~B(n, p) 。
当n很大p很小时，其分布近似于参数为λ =np的泊松分布4. 均匀分布：应用背景，概率密度函数，数学期望和方差，二维均匀分布，有关概率的计算；应用背景：随机变量X在区间[α, β]上等可能取值概率密度函数：，二维均匀分布：5. 正态分布：应用背景，概率密度函数及其对称性，数学期望和方差，标准正态分布N(0,1)，正态分布的标准化和概率计算，线性性质，独立和的性质，分位数及其对称性；应用背景：根据中心极限定理，大量独立随机变量的和近似服从正态分布。
密度函数：X~ N(μ, σ2),E[X]=μ, Var(X)=σ2标准正态分布N(0,1)：线性性质：正态随机变量的线性函数仍是正态分布。
设X~ N(μ, σ2), 那么对任意a, b≠0, Y=a+bX~N (a+bμ, b2σ2).特别地，，。
假设相互独立，且，则。
标准正态分布Z的100(1- α)%(下)百分位数Z：。
对称性：z1-α= - zα6. 指数分布：应用背景，概率密度函数，数学期望和方差，无记忆性，有关概率的计算；应用背景：如果单位时间内“事件发生”数是参数λ泊松分布（称为泊松过程），那么两次“发生”之间的间隔时间长度就是参数λ的指数分布。
概率密度函数：无记忆性7. 卡方分布：定义，可加性，分位数；定义：若Z, Z2, …, Z n相互独立, 且都服从N(0,1) ，则称其平方和1服从自由度n的χ2（卡方）分布。
可加性：当X1和X2分别为自由度为n1 和n2的χ2随机变量且相互独立时，则X1+X2服从自由度为n1+n2的χ2分布.100(1- α)%百分位数 χ2α,n：8. t-分布：定义，对称性，与N(0,1)的关系，分位数；设Z～N(0,1), X～χ2，Z和X独立，则称随机变量服从自由度n的t-分布。
n当n →∞，T n→N(0,1)，9. F分布：定义，分位数, 倒数性质。
设X和Y分别服从自由度为n和m的χ2分布，且相互独立，称服从自由度为n和m的F-分布。
，第六章统计抽样的分布1. 总体、样本及其观测值、统计量；样本：若X1, X2, …, X n是独立随机变量, 且具有相同的分布F, 则称它们构成来自分布F的一个样本. n称为样本容量。
样本的观测数据称为样本观测值x1, x2, …, x n。
统计量：不含未知参数的样本函数。
2. 样本均值：定义，数学期望和方差；设总体X(不一定是正态分布), E[X]=μ, Var(X)=σ2。
样本X1, X2, …, X n。
样本均值，，3. 中心极限定理：基本定理，二项分布的正态近似，样本均值的近似分布；基本定理：设X1, X2, …, X n为独立同分布的随机变量序列, 并均具有均值μ和方差σ2(无论分布类型是什么), 则对充分大的n （30以上），X1+X2+ …+ X n近似服从正态分布N(nμ,nσ2)。
二项分布的正态近似：设X~B(n,p), 对充分大的n（30以上）, X近似服从正态分布N(np, np(1-p))样本均值的近似分布:设总体X(不一定是正态分布), E[X]=μ, Var(X)=σ2。
样本X1, X2, …,X n。
当n充分大（30以上），近似有4.样本方差：定义，数学期望；样本方差,样本标准差5.正态总体：样本均值按N(0,1)（方差已知时）或t-分布（方差未知时），样本方差按卡方分布，样本均值与样本方差独立.定理: 设总体X~N(μ,σ2)。
样本X1, X2, …, X n。
则(1) , (2) , (3)与S2独立，(4) 。
第七章参数估计1. 估计量与估计值参数估计：设总体分布为Fθ，其中θ为未知参数。
样本X1, X2, …, X n，独立且与总体同分布。
需要估计θ。
估计量：用来估计未知参数θ的统计量，记为估计值：估计量的观察值无偏估计量：2. 极大似然估计：定义，似然函数，对数似然方程；似然函数：若总体的密度函数（或质量函数)为f(x|θ), 其联合概率函数(称为似然函数)极大似然估计: 求使得对数似然方程3. 伯努利分布、泊松分布、正态分布的极大似然估计；贝努里分布：p的极大似然估计是观测数中成功的比例。
泊松分布极大似然估计。
正态分布N(μ,σ2)的极大似然估计：正态分布方差σ2的无偏估计4. 置信区间的定义；参数θ的100(1-α)%置信区间满足5. 正态总体均值的双侧置信区间（方差已知）；6. 正态总体方差的双侧置信区间.第八章假设检验1. 假设检验的基本概念：原假设与备择假设，拒绝域构造原理，显著性水平，两类错误；原假设H0, 备择假设H1；显著性检验：H1是否显著，以至于可以拒绝H0；第一类错误——拒绝了正确的假设，第二类错误——接受了错误的假设；显著性水平α=P(样本观测值落入拒绝域|H0真)=犯第一类错误的概率。
2. 方差已知时正态总体均值的Z检验(双侧，右侧，左侧);双侧检验(临界值法或p值法)左侧检验(临界值法或p值法) 右侧检验(临界值法或p值法)3. 置信区间与拒绝域的关系；若原假设落在未知参数的100(1-α)%的置信区间内，则在显著性水平α下，接受H0 ，否则拒绝H0。
4. 方差已知时两个正态总体均值相等的Z检验(双侧);5. 方差未知但相等时两个正态总体均值相等的t检验(双侧);6. 成对样本均值相等的t检验(双侧)；令W i=Y i-X i化为关于W i的单样本检验: H0: μ=μ0, H1: μ≠μ0, (μ0=0)7. 两个正态总体方差相等的检验。