浅谈定积分的计算和应用
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
ａ
ｒ ｂ
点评 ： 本题 主要考 查定积分 的几何 意 分 的 简单 运 算 和 应 用 ．求 解 出直 线 ＝
常数） ：
，ｂ ｒ ｂ
功 Ｗ＝ Ｊ Ｉ ａ
） ．
１
下
Ｌ
， 一 ２ ， 曲线 ， ， ＝ 及 轴所 围曲边 梯
（ ２ ） ｆ
ａ
≥Ｏ） 在 时间区 间 ６ ］ 上的定积分 ， 即ｓ ＝
，Ｕ ＾
是定积分 Ｊ
上
２
的值，可用微积分
、
直接利用微积分基本定理进行定
积分的计算 根 据微积分 基本定理 ： 如 果 是 区 间［ Ⅱ ， ６ ］ 上 的连续 函数 ， 并且 ） ） ， 那
ｒ
程为 ５ ， 则 ｓ等 于其速度 函数 ＝ （ １ ） （ （ ｔ ） 基本定理加以求解 ．
６ （ｎ ≠６ ） ， Ｙ ＝ ０和 曲线 ｙ ＝ ｌｘ ｆ ） 所 围成的 曲
，
ｓ ＝ Ｊ ｆ １ ｝ ＝ ｉ 眦 ｌ ２ ＜ １ ，
，
ｂ
边梯形的面积 ，这就是定积分 ｊ Ｆ （ ｘ ） ｄ ｘ
Ｊ ａ
的应 用和计 算 ， 对 当被 积 函数 比较 简单
时 ，可 直接 进行 积分 求值 的 掌握较 好 ， 但 当被 积 函数 较 复 杂 、 不 可直 接 积 分
（ ） 土 （ ） ］ ＝』 （ ）
ａ
ｆ
ｂ
点评 ： 这 类题型主要考 查利 用微积分 形 的面积为 ２ １ ｎ ２ ． 基 本定理来计 算定积分 与函数值 问题 ． 例４ ． （ ２ ０ １ ３年高考北京卷 （ 理） 改编 ）
ｕ 盔勰
Ｓ ＨＵＸＵ Ｅ Ｉ Ｉ ＡＯＹ Ｕ
浅谈定积分的计算和应用
■福建省沙县一中 黄仍洪
关键词 ： 定积分 数学 梯形 则Ｓ ， Ｓ ２ ， Ｓ ３ 的大小关系为 —
＇
—
．
ｒ
ｂ
定 积 分 的计 算 在高 中数 学 中 占了
一
么定积分 Ｉ Ｆ（ ｘ ） ｄ ｘ 表示 由直线 ｘ ＝ ａ ，
ｍ ） 是— — ．
分析 ： 利用微积 分基本定理和定积分
的相关知识 ， 所 求曲边梯 形的面积 公式就
ｒ
２
１
应用， 借 以拓展 同学 们的学 习视 野 ， 加深
对相关知识的认识和理 解．
一
本题主要考 查微积 分在物 理上 的基 本应 用： 如果变速直线 的物体所 经过 的路
函数进行积分 ，要 注意加 以区分和应 用， 同时可以用到定积分 的如下性质 ：
ｆ
ｌ十 ｔ
） ［ ７ ｔ － ３ ｔ ２ ＋ ２ ５ １ ｎ （ １ ＋ ￡ ） ］
＋ ２ ５ １ ｎ ５ ．
ｄ ｘ １ ｎ Ｉ ｌ ｎ ２ 一 Ｉ ｎ — 告 一 ｌ ｎ ２ 一 （ １ ｎ ｌ — ｌ ｎ ２ ）
计算方法 ， 这样不仅可 以增加学生计算定 积分 的方法和技巧 ， 而且还增强 了他们 的
例２ ．（ ２ ０ １ ３年 高考湖 北卷 （ 理） 改 到紧 急情 况 而刹 车 ，以速 度 （ ） ＝ ７ — ３ ｔ ＋
例３ ．（ ２ ０ ０ ８年 高考海 南宁夏 卷理 ）
编） 一辆 汽车在高 速公路 上 行驶， 由于遇 由直线 ＝ — ， ＝ ２ ， 曲线 ｙ ＝ 及 轴所
ａ
ｂ
２
，
ｔ ： ４ ，所以所求的路 程为 ＝ Ｉ （ ７ — ３
Ｊ ａ
—
及 轴所 围图形的面积为 ｓ ＝ｆ
—
一
数／ ） 在某个 区间［ 儡６ ］ 上的定积分是定积
＿ ｌ ＿
２ 源自文库
分部分最 重要 的应 用之 一． 这 类题 目有时 是对单一的函数进 行积分 ， 有时也对分段
２
，
１
的几何 意义．根据定积分 的几何意义 ， 如
Ｓ ３ ＝ Ｊ １ ｅ Ｍ ｘ ６ ： ｅ ２ － ｅ ： ｅ （ ｅ 一 １ ） ÷．
所以 Ｓ ２ ＜ Ｓ １ ＜ ｜ ｓ ｛ ＿ ．
果要求某 曲边梯形 的面积 ， 就是求相应的
定积分 的值 ， 但 当曲线 ｙ ＝ ｌ ｆ ｘ ） 在 轴 上方
时， 却 往往缺 少解题 方法和 技巧． 如 对于
１
计算定积分 ｆ 、 ／ Ｔ
ｄ ｘ的值就毫
而 当在 轴下方时 本题考查定积 分 的基本运 算即利 用 时面积 与定积分 同号 ， 微积分 基本定理进行定积分的简单运算 ． 面积为定积分的相反数．
无办法 ， 所以本文试 图总结一些定积分 的
２ Ｌ
＝
同样的方法可解决变力做功问题： 如
果物体在 变力 ） 的作 用下做直线 运动 ， 并 且物体 沿着与变力 Ｆ ） 相 同的方 向从
ｂ ｒ
２ １ ｎ ２ ．
ｂ
（ １ ） Ｊ
ａ
以及利 用微积分基本定理 来解决定积 ） ＝ ｋ ｌ ｆ （ ｘ ） ｄ ｘ（ 为 ｘ ＝ ａ 移到ｘ ＝ ｂ （ ａ ＜ ｂ） ， 那么变 力 ） 所做 的 义 ，
ａ
＝
定 的地位 ，并且 是高考 的 内容 之一 ，
解 ： Ｓ Ｊ １ Ｚ ｄ ｘ ２ ７ ３ 『 ： 一 ，
＇
但 目前 高 中 对定 积 分 这 块 知识 的教 学 和 高考 的要 求仅 局 限于 了解 层面 ， 所 以 大部 分 同 学和 老 师 还 仅 满 足 于其 简单
围图形 的面积为 — — ．
学 习兴趣 ， 引导他们 积极思考 问题 ， 培养
他们分析 问题和解决问题 的能力 ， 另外也 希 望探讨一些 定积分在一 些综合题 中的
Ｉ 十 ０的单位 ： ｓ ， 的单￣ ： ｍ ／ ｓ ） 行驶 至停
止． 在 此期间汽车继续 行驶 的距 离（ 单位 ：
ｌ １
解： 因为 （ ｌ 似） ’ ＝上 ， 所 以所 围图形 的面积 即直线 ＝
‘
ｆ （ ｔ ） ｄ ｔ ． 由 （ ｔ ） ＝ ７ － ３ ｔ ＋ ＝ ｏ ， 解得
ａ ｉＴ
，
， ｘ ＝ ２ ，曲线 ， ， ＝ 上
，
ｂ
么 Ｉ／ ） ＝ ） 一 ∞，利用此定理求函
ｒ ｂ
点评 ： 本题 主要考 查定积分 的几何 意 分 的 简单 运 算 和 应 用 ．求 解 出直 线 ＝
常数） ：
，ｂ ｒ ｂ
功 Ｗ＝ Ｊ Ｉ ａ
） ．
１
下
Ｌ
， 一 ２ ， 曲线 ， ， ＝ 及 轴所 围曲边 梯
（ ２ ） ｆ
ａ
≥Ｏ） 在 时间区 间 ６ ］ 上的定积分 ， 即ｓ ＝
，Ｕ ＾
是定积分 Ｊ
上
２
的值，可用微积分
、
直接利用微积分基本定理进行定
积分的计算 根 据微积分 基本定理 ： 如 果 是 区 间［ Ⅱ ， ６ ］ 上 的连续 函数 ， 并且 ） ） ， 那
ｒ
程为 ５ ， 则 ｓ等 于其速度 函数 ＝ （ １ ） （ （ ｔ ） 基本定理加以求解 ．
６ （ｎ ≠６ ） ， Ｙ ＝ ０和 曲线 ｙ ＝ ｌｘ ｆ ） 所 围成的 曲
，
ｓ ＝ Ｊ ｆ １ ｝ ＝ ｉ 眦 ｌ ２ ＜ １ ，
，
ｂ
边梯形的面积 ，这就是定积分 ｊ Ｆ （ ｘ ） ｄ ｘ
Ｊ ａ
的应 用和计 算 ， 对 当被 积 函数 比较 简单
时 ，可 直接 进行 积分 求值 的 掌握较 好 ， 但 当被 积 函数 较 复 杂 、 不 可直 接 积 分
（ ） 土 （ ） ］ ＝』 （ ）
ａ
ｆ
ｂ
点评 ： 这 类题型主要考 查利 用微积分 形 的面积为 ２ １ ｎ ２ ． 基 本定理来计 算定积分 与函数值 问题 ． 例４ ． （ ２ ０ １ ３年高考北京卷 （ 理） 改编 ）
ｕ 盔勰
Ｓ ＨＵＸＵ Ｅ Ｉ Ｉ ＡＯＹ Ｕ
浅谈定积分的计算和应用
■福建省沙县一中 黄仍洪
关键词 ： 定积分 数学 梯形 则Ｓ ， Ｓ ２ ， Ｓ ３ 的大小关系为 —
＇
—
．
ｒ
ｂ
定 积 分 的计 算 在高 中数 学 中 占了
一
么定积分 Ｉ Ｆ（ ｘ ） ｄ ｘ 表示 由直线 ｘ ＝ ａ ，
ｍ ） 是— — ．
分析 ： 利用微积 分基本定理和定积分
的相关知识 ， 所 求曲边梯 形的面积 公式就
ｒ
２
１
应用， 借 以拓展 同学 们的学 习视 野 ， 加深
对相关知识的认识和理 解．
一
本题主要考 查微积 分在物 理上 的基 本应 用： 如果变速直线 的物体所 经过 的路
函数进行积分 ，要 注意加 以区分和应 用， 同时可以用到定积分 的如下性质 ：
ｆ
ｌ十 ｔ
） ［ ７ ｔ － ３ ｔ ２ ＋ ２ ５ １ ｎ （ １ ＋ ￡ ） ］
＋ ２ ５ １ ｎ ５ ．
ｄ ｘ １ ｎ Ｉ ｌ ｎ ２ 一 Ｉ ｎ — 告 一 ｌ ｎ ２ 一 （ １ ｎ ｌ — ｌ ｎ ２ ）
计算方法 ， 这样不仅可 以增加学生计算定 积分 的方法和技巧 ， 而且还增强 了他们 的
例２ ．（ ２ ０ １ ３年 高考湖 北卷 （ 理） 改 到紧 急情 况 而刹 车 ，以速 度 （ ） ＝ ７ — ３ ｔ ＋
例３ ．（ ２ ０ ０ ８年 高考海 南宁夏 卷理 ）
编） 一辆 汽车在高 速公路 上 行驶， 由于遇 由直线 ＝ — ， ＝ ２ ， 曲线 ｙ ＝ 及 轴所
ａ
ｂ
２
，
ｔ ： ４ ，所以所求的路 程为 ＝ Ｉ （ ７ — ３
Ｊ ａ
—
及 轴所 围图形的面积为 ｓ ＝ｆ
—
一
数／ ） 在某个 区间［ 儡６ ］ 上的定积分是定积
＿ ｌ ＿
２ 源自文库
分部分最 重要 的应 用之 一． 这 类题 目有时 是对单一的函数进 行积分 ， 有时也对分段
２
，
１
的几何 意义．根据定积分 的几何意义 ， 如
Ｓ ３ ＝ Ｊ １ ｅ Ｍ ｘ ６ ： ｅ ２ － ｅ ： ｅ （ ｅ 一 １ ） ÷．
所以 Ｓ ２ ＜ Ｓ １ ＜ ｜ ｓ ｛ ＿ ．
果要求某 曲边梯形 的面积 ， 就是求相应的
定积分 的值 ， 但 当曲线 ｙ ＝ ｌ ｆ ｘ ） 在 轴 上方
时， 却 往往缺 少解题 方法和 技巧． 如 对于
１
计算定积分 ｆ 、 ／ Ｔ
ｄ ｘ的值就毫
而 当在 轴下方时 本题考查定积 分 的基本运 算即利 用 时面积 与定积分 同号 ， 微积分 基本定理进行定积分的简单运算 ． 面积为定积分的相反数．
无办法 ， 所以本文试 图总结一些定积分 的
２ Ｌ
＝
同样的方法可解决变力做功问题： 如
果物体在 变力 ） 的作 用下做直线 运动 ， 并 且物体 沿着与变力 Ｆ ） 相 同的方 向从
ｂ ｒ
２ １ ｎ ２ ．
ｂ
（ １ ） Ｊ
ａ
以及利 用微积分基本定理 来解决定积 ） ＝ ｋ ｌ ｆ （ ｘ ） ｄ ｘ（ 为 ｘ ＝ ａ 移到ｘ ＝ ｂ （ ａ ＜ ｂ） ， 那么变 力 ） 所做 的 义 ，
ａ
＝
定 的地位 ，并且 是高考 的 内容 之一 ，
解 ： Ｓ Ｊ １ Ｚ ｄ ｘ ２ ７ ３ 『 ： 一 ，
＇
但 目前 高 中 对定 积 分 这 块 知识 的教 学 和 高考 的要 求仅 局 限于 了解 层面 ， 所 以 大部 分 同 学和 老 师 还 仅 满 足 于其 简单
围图形 的面积为 — — ．
学 习兴趣 ， 引导他们 积极思考 问题 ， 培养
他们分析 问题和解决问题 的能力 ， 另外也 希 望探讨一些 定积分在一 些综合题 中的
Ｉ 十 ０的单位 ： ｓ ， 的单￣ ： ｍ ／ ｓ ） 行驶 至停
止． 在 此期间汽车继续 行驶 的距 离（ 单位 ：
ｌ １
解： 因为 （ ｌ 似） ’ ＝上 ， 所 以所 围图形 的面积 即直线 ＝
‘
ｆ （ ｔ ） ｄ ｔ ． 由 （ ｔ ） ＝ ７ － ３ ｔ ＋ ＝ ｏ ， 解得
ａ ｉＴ
，
， ｘ ＝ ２ ，曲线 ， ， ＝ 上
，
ｂ
么 Ｉ／ ） ＝ ） 一 ∞，利用此定理求函