基于数学史渗透的教学设计数系的扩充

基于数学史渗透的教学设计:数系的扩充

作者：曾荣

来源：《数学教学通讯(教师阅读)》2011年第11期

摘要：在数学教学中，“数系的扩充”是一个很好的渗透数学史的素材.本教学设计从数的概念发展的动力入手，通过阅读材料的方式创设情境，适时渗透数的发展史，开阔学生的视野，提高学生的学习兴趣，提升学生的数学素养.

关键词：数学史；阅读；引导；提炼；探究

■教材分析?摇

数的概念发展的动力来自于两方面，一方面是生产、生活的需要，另一方面是数学知识本身发展和研究的需要. 数系扩充的过程体现了数学的发现和创造过程，体现了数学发生发展的客观需求. 通过学习，学生在问题情境中了解数系扩充的过程以及引入虚数的必要性，体会人类理性思维在数系扩充中的作用，有助于提高学生的数学素养. 复数的引入是中学阶段数系的最后一次扩充. 学习复数的一些基本知识，为学习复数的四则运算和几何意义做好知识储备.

■教学目标?摇

1. 理解复数的基本概念与复数相等的充要条件.

2. 经历数的概念的发展和数系扩充的过程，体会数学发现和创造的过程，以及数学发生、发展的客观需要.

3. 虚数单位i的引入，产生了复数集，让学生体验在这个过程中蕴涵的创新精神和实践能力，感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系，渗透必要的数学史；让学生在问题生成和解决的过程中体验类比、化归等思想方法，提高数学素养，培养创新意识.

■教学重点?摇

数的概念的发展和数系扩充的过程，复数的有关概念.

■教学难点

虚数单位i的引进.

■教学方法?摇

阅读·引导·提炼·探究.

■教学过程

一、自主阅读提出问题

【阅读材料1】

我们把一个数集连同相应的运算及结构叫做一个数系. 在人类数的发展过程中，数集从自然数集扩充到实数集大致经历了以下过程（见图1）.

问题1：阅读以上材料，结合社会生活发展的需要思考数系的扩充过程，并在空格内填入适当的数集.

【阅读材料2】

16世纪，意大利数学家卡尔丹（G.Cardano，1501-1576）在讨论问题“将10分成两部分，使两者的乘积等于40”时，认为把答案写成“5+■和“5-■”就可以满足要求：

（5+■）-（5-■）=5+5=10，

（5+■）·（5-■）=5×5-■×■=25-（-15）=40.

问题2：卡尔丹的解释在实数集范围内能成立吗？为什么？

设计意图说明：在阅读以上材料的基础上，师生合作解决相关问题，学生对数系的扩充过程便有了一种整体性认识，并自然地猜想到数系结合新的认知冲突的出现会进一步扩充.以阅读材料的形式创设问题情境，一方面着力培养学生的阅读习惯，提高学生的阅读能力，另一方面也潜移默化地培养学生归纳概括、自主发现的意识.

二、引导交流数学活动

活动1：从数学内部发展的需要来看，每一次认知冲突的出现就带来了一次新的数系扩充. 你能结合数系的扩充过程总结数系的扩充需要遵循哪些原则吗？

活动2：在我们的数学学习中，是否还存在与阅读材料1相类似的认知冲突呢？

活动3：为了使数学家卡尔丹的解释变得合理，你认为需要引入具有怎样特征的数？

设计意图说明：通过学生积极主动的议论及教师的相机点拨，让学生对数系扩充的原则有清晰的认识，并积极地寻求解决阅读材料2的方法，为虚数单位的引入做好铺垫.

三、自主提炼数学建构

（一）数系的扩充过程

■

图2

设计意图说明：以阅读材料为载体，在问题串的引领下，在师生充分的交流中，让学生自然地、自主地实现实数系向复数系的扩充，这是本节课的重点之一.

（二）复数的有关概念

1. 虚数单位的引入：

规定：（1）i2=-1；

（2）实数可以与i进行四则运算，进行四则运算时，原有的加法、乘法运算律仍然成立.

2. 复数的定义

形如a+bi（a，b∈R）的数称为复数，通常用字母z表示，其中a叫做复数的实部，b叫做复数的虚部.

全体复数组成的集合叫做复数集，通常用C表示，即C=｛a+bia，b∈R｝.

3. 复数的分类

复数z=a+bi（a，b∈R），若b=0，则z为实数，若b≠0，则z为虚数.

特别地，当a=0且b≠0时，称为纯虚数.

（三）复数相等的充要条件

如果两个复数的实部与虚部分别相等，则称两个复数相等，即a+bi=c+di?圳a=c且b=d （a，b，c，d∈R）.

设计意图说明：通过数系扩充过程的介绍，自然地引出虚数单位i，并顺势介绍复数的定义，再根据复数z=a+bi（a，b∈R）中，a，b的取值对复数进行分类，研究复数相等的充要条件.

四、实践探究数学运用

1. 初步运用

例1指出下列复数的实部与虚部：

（1）4；?摇（2）2-3i；?摇?摇（3）5i+■；?摇（4）-6i；（5）0；（6）■i2.?摇

例2当实数m分别取什么值时，复数z=m（m-1）+（m-1）i是：

（1）实数？（2）虚数？（3）纯虚数？（4）6+2i？

例3已知复数z1=（x+y）+（x－2y）i，复数z2=（2x－5）+（3x+y）i，若z1=z2，求实数x，y的值.

设计意图说明：例1的设置是为了巩固复数的相关概念. 例2的设置是为了进一步理解什么是实数，什么是虚数，什么是纯虚数（特别要讲清楚当a=0且b≠0时才是纯虚数）. 其中由第（4）问自然过渡到复数相等的概念. 例3的设置是为了引出两复数相等的充要条件，同时进一步巩固复数的概念. 这个充要条件把复数问题转化为实数问题，体现了化归的思想方法.

2. 变式演练

练习：设z1=（m2-2m-3）+（m2-4m+3）i，z2=5+3i，当m取何实数时，（1）z1=0；（2）z1≠z2.

设计意图说明：学什么就练什么. 一方面学生巩固刚学的知识，减轻他们的负担；另一方面增强他们学习数学的积极性和信心.

3. 深入探究

下列结论从实数集扩充到复数集是否仍然成立？

①?摇若a∈R，则a2≥0. 若z∈C，则z2≥0.