第十六章结构的极限荷载

B θ1
Mu Mu P Mu
Δ
C
Mu
1 M u ) (M u 2
θ2
1 M u 2 Pu Pu M u
2l
3M u ) (M u
Mu
11

例：19-4 求Pu。
解：A处形成一塑性铰 塑性铰C的位置待定。 该机构相应的可破坏荷载 q+ l q M u ( A C ) , 2
§19-2 极限弯矩、塑性铰、极限状态 σ σs 一、极限弯矩
h b y z σ σs
σs y0
σs
σs σs 随着M的增大，梁会经历 （b b） ） （a） （ （c） （d ） 2 •弹性阶段（b） s bh Ms （弹性极限弯矩，或屈服弯矩） s E , M EIk 6 •弹塑性阶段（c）在弹性核内，应力按线性分布， M y k y 2 3 M 弯矩与曲率呈非线性。 2 k •塑性阶段(d) 弹性核消失，整个截面达到 塑性流动 ，弯矩达到极限弯矩Mu.
Mu Pu 6.4 2 l
1.5P
2θ
ql 3ql ql 3 l 17 ..6 l 6 . 4 7 6M Mu 3ql l u 8 1 1..2 2M Muu M 1 . 2 M M 2 q M ql ql 2 q M u u 2 u 2 . 4 M 2 M 2 q 6 . 756 2 u 1 u u 3 u u 2 l l2 9 15 2 l2 2 2 22 4 l2
9M u Pu M u M u 2 Pu l
2）A、D出现塑性铰的破坏机构
3Mu 该破坏机构实现的条件是： Mu 3 9 1 , 2 2l 2l 3
1 M u ) M u (M u 3M u ) 如M B (M u 2
A
Mu
2 2 Mu 3 2 4 l
2
11.66
Mu l2
13

↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
q
qul2/8
MU
MU
l/2
l/2
2、连续梁的极限荷载 设梁在每一跨内是等截面，但各跨的截面可以不同。 设荷载 的作用方向彼此相同（向下），并按比例加载。 对于等截面梁，最大负弯矩只可能在支座处，负塑性铰只 可能出现在支座处。故每跨内为等截面的连续梁，只可能在各 跨内独立形成破坏机构。(且遵循单跨梁形成破坏机构的原则)
q1 l
2
1.2Mu
q ↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓ Mu
1.2Mu
1.5ql2.4Mu 2Mu
l
q ↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
0.75l 0.75l
1.5ql
Mu
2θ
第二跨破坏：
q2
ql
第三跨破坏：
17.6 Mu 2 l
ql
q ↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓ θ Δ 2θ q ↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓ θΔ
1.5ql
基本概念 极限弯矩计算 超静定梁的极限荷载 判定极限荷载的一般定理 刚架的极限荷载 习题课
1ຫໍສະໝຸດ Baidu
小变形、应力与应变成正比、位移与荷载呈线性关系，无残余变形。 由此看到，①材料加载是弹塑性的，卸载是弹性的； §19-1 概述 结构在正常使用情况下，弹性分析能给出相当精确的结果。 jx ②经历塑性变形之后，应力与应变之间不再存在单值对应关系。 [ ] 要得到弹塑性解答，需要追踪全部受力变形过程，所以结 max 1、线弹性体系 弹性分析 弹性设计法 k 构的弹塑性分析比弹性分析要复杂的多。 弹性设计法的最大缺陷是以某一局部的σmax >[jx σ] ，作为衡 s 塑性材料 而结构的极限分析不考虑弹塑性变形的发展过程，直接研 量整个结构破坏的标准。事实上，对于塑性材料的结构（特别是 jx b 脆性材料 究论结构的破坏状态求出极限荷载，因而比较方便。 超静定结构）当σmax=[σ] 时，结构还没破坏。因此弹性设计法 塑性分析只适用于延性较好的弹塑性材料而不适用于脆性 不能正确地反映整个结构的安全储备，是不够经济的。 材料；对于变形条件要求较严的结构也不易采用弹塑性分析方法。 2、塑性分析 考虑材料的塑性，按照结构丧失承载能力的极限 状态来计算结构所能承受的荷载的极限值。极限荷载 Pjx 荷载不再增加， 从整个结构的承载能 塑性设计法 P [ P] 变形继续增加 k 力考虑，更切合实际。 塑性分析时平衡条件、几何条件、平截面假定与弹性分析相同。 σ 3、理想弹塑性材料 σs •σ< σs ，σ=Eε •σ =σs ，σ不增，ε 继续增加。 2ε •卸载 Δσ =EΔε εs
l A , C x x(l x)

↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
q
l x
A θA C θC
2l x 2 M u q x(l x) l
dq 0 x 2 4lx 2l 2 0 dx
x1 (2 2 )l , x2 (2 2 )l
qu
M u 240 80 20 50 20 40 20 2 46080000 ( N .m m) 46.08(kN.m)
5
二、塑性铰：当截面达到塑性流动阶段时，极限弯矩保持
不变， C 截面的纵向纤维塑性流动（伸长或缩短），于是 两相邻截 面可产生有限的相对转动。称该截面形成了塑性 铰。 塑性铰与真实铰的区别 承受极 塑性铰 限弯矩
C
F
B
•弹塑性阶段（Fps<F<Fpu） 6 A截面形成塑性区→扩大 Pl 32 →C截面形成塑性区 A → A截面形成第一个塑性铰. MU •塑性阶段 MA =Mu不增 A MC增→ Mu MU C截面形成第二个塑性铰 （F → Fpu）
A
l/2
C
5 Pl 32
l/2
F≤Fps B
C Fpu MU
极限状 态时中 性轴平 分截面 面积即 等分截 轴。
S1、S2 分别为拉、压区面积对中性轴（等分截面轴）的静矩。 Ws称为塑性截面系数。 4
已知材料的屈服极限 σs=240MPa， 求截 面的极限弯矩。(mm) 应力的单位用（Pa）长度单位 用（m）力的单位用（N）得 到弯矩单位（N.m）
120
2 M P u ql
qu l 2 qu l 2 16M 2M u Mu , 或: qu 2 u 8 16 l
P P ↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
P
α=
P P 1/11 －1/14 1/16 －1/16………………………………………
14

例：图示各跨等截面连续梁， ql 第一、二跨正极限弯 1.2M u 矩为Mu，第三跨正极 Mu 限弯矩为2Mu，各跨 l/2 l/2 负极限弯矩为正极限 弯矩的1.2倍，求qu。 ql 第一跨破坏： θΔ 6.4
三、极限状态
当结构形成足够多的塑性铰时，结构变成几何可变体系 （破坏机构），形成破坏机构的瞬时所对应的变形状态称为结 构的极限状态，此时的荷载Fpu即为极限荷载。 如果只限于求结构的极限荷载，可不考查其实际的内力和 变形情况，将破坏机构作为分析对象，根据极限状态结构的内 力分布，按平衡条件求极限荷载，这种方法称为极限平衡法。 7
单向铰
双向铰
P
卸载而消失
不消失
位置随荷载的分 布不同而变化 位置固定
Pu
真实铰 不承受 弯矩
C Mu C
C
P
Mu
6

•横向荷载
通常剪力对承载力的影响很小，可忽略不计，纯弯 导出的结果横弯仍可采用。
弹塑性分析全过程
•在加载初期，各截面弯矩≤弹性极限弯矩Ms→某截面弯矩= Ms 弹性阶段结束。此时的荷载叫弹性极限荷载Fps。 •当F>Fps，在梁内形成塑性区。 •随着荷载的增大，塑性区扩展→形成塑性铰，继续加载，→形 成足够多的塑性铰（结构变成破坏机构）。
80
A1 A2
20
等分截面轴
20
M u s S1 S 2
20
240 106 0.08 0.02 0.05 0.02 0.04 0.02 2 46080 ( N .m) 46.08(kN.m)
或者应力的单位用（MPa）长度单位用（mm）力的单位用 （N）得到弯矩单位（N.mm）

其它截面
形心轴 等面积轴
σs A2 = A1
σs
σs
A1
随着M的增大，梁会经历
σs


σs
（c）
y0

（d）
（b）
σs
•弹性阶段（b） 应力按直线分布，中性轴通过形心。 •弹塑性阶段（c） 中性轴的位置随弯矩的大小而变。 •塑性阶段（d） 截面达到塑性流动
A s A1 s A2 0 A1 A2 截面轴力为零： 2 M u s A1a1 s A2a 2 s (S1 S2 ) sWs




极限弯矩是整个截面达到塑性流动时截面所能承受的最大弯矩。 它主要与σs和截面形状尺寸有关，剪力对它的影响可忽略不计。 •截面形状系数
矩形截面 1.5 M u 16 3 1.7 圆形截面 Ms 1.15 工字形截面
3
bh2 Mu s 4
Δ

2 l
静力法： 根据塑性铰截面的弯矩Mu，由平衡方程求出 机动法： 8 利用机构的极限平衡状态，根据虚功方程求得。
§17-3 超静定梁的极限荷载
1、超静定梁的破坏过程和极限荷载的特点 超静定梁必须出现足够多个塑性铰，才变成机构，从而丧失 承载能力，破坏。 •弹性阶段（F≤Fps）
A

例19-1求图示简支梁的Pu。 静力法：根据平衡条件 4M u Pu l 得： Pu Mu l 4 机动法：采用刚塑性假设 画机构虚位移图 虚功方程：
Mu
P
l
l
Pu l 4
Mu θ
P
Mu 2θ
Pu - M u 2 0
4M u Pu 2M u l
极 限 平 衡 法 求 极限荷载

§17-4 比例加载时判定极限荷载的一般定理 一、预备知识：
•比例加载：荷载按同一比例增加，且不卸载。 •假设材料为理想弹塑性材料。 1、前提条件 •截面的正负极限弯矩绝对值相等。且忽略轴 力和剪力对极限弯矩的影响 1、平衡条件： 2、极限受 2、内力局限条件：│M│≤Mu 力状态应 3、单向机构条件：在极限受力状态中，使 当满足的 结构变成机构，能够沿荷载作正功的方 一些条件 向做单向运动。 1、对于任意单向破坏机构，用平衡条件求得 3、两个 的荷载值称为可破坏荷载 P+ (满足1、3条） 定义 2、如果对某个荷载，能找到一内力状态与之平 衡且各截面内力都不超过极限值，则此荷载 称为可接受荷载 P－ (满足1、2条）

2 l
3M u 3）如果 M u 两种破坏机构都能实现，出现三个塑性 例 19-2 求图示变截面梁的极限荷载。 铰A、B、D。 P A M B Mu D 解：AB、BC段的极限弯矩不同。 u C 4）对于变截面梁，负塑性铰可能会出现在跨间。 塑性铰可能出现在A、D和B处， l/3 l/3 l/3 破坏机构的可能形式既与突变截 P A M Mu C Mu B Mu u / M u 有关。 面位置有关，也与 M u θ Δ 1）B、D出现塑性铰的破坏机构 2θ 3 该破坏机构 如MA=3Mu> M u l 实现的条件是： M u Mu 3Mu 3Mu
Fps <F<Fpu
B
C
B
9

求极限荷载 •静力法 根据极限状态的弯 矩图,求极限荷载 Pu l M u 6M u M u Pu 4 2 l •机动法 根据虚功方程求Pu
MU A C
Pu MU
B
MU
A
Mu θ
Pu Mu 2θ
B
Δ
6M u Pu (M u 2 M u ) 0 Pu l 1）如能事先判断出超静定梁的破坏机构，就无须考虑结构的弹塑 性变形的发展过程，直接利用机构的平衡条件求Pu。 2）超静定结构极限荷载的计算, 只需考虑平衡条件，而无须考虑 变形协调条件。因而计算比弹性计算简单。 3）超静定结构极限荷载，不受温度改变,支座移动等因素的影响。 4）假定等截面单跨超静定梁破坏机构的原则： ①跨中塑性铰只能出现在集中力作用点处或分布荷载分布范 围内剪力为零处。②当梁上荷载同为向下作用时，负塑性铰 10 只可能出现在固定端处。