3-4函数极限的几何意义

高等数学第3章第1节函数极限的概念.

第三章函数极限§1函数极限的概念引言在《数学分析》中，所讨论的极限基本上分两部分，第一部分是“数列的极限”，第二部分是“函数的极限”．二者的关系到是“特殊”与“一般”的关系；数列极限是函数极限的特例．通过数列极限的学习．应有一种基本的观念：“极限是研究变量的变化趋势的”或说：“极限是研究变量的变化过程，并通过变化的过程来把握变化的结果”．例如，数列这种变量即是研究当时，的变化趋势．我们知道，从函数角度看，数列可视为一种特殊的函数，其定义域为，值域是，即; 或或.研究数列的极限，即是研究当自变量时，函数变化趋势．此处函数的自变量n只能取正整数！因此自变量的可能变化趋势只有一种，即．但是，如果代之正整数变量n而考虑一般的变量为，那么情况又如何呢？具体地说，此时自变量x可能的变化趋势是否了仅限于一种呢？为此，考虑下列函数:类似于数列，可考虑自变量时，的变化趋势；除此而外，也可考虑自变量时，的变化趋势；还可考虑自变量时，的变化趋势；还可考虑自变量时，的变化趋势,由此可见，函数的极限较之数列的极限要复杂得多，其根源在于自变量性质的变化．但同时我们将看到，这种复杂仅仅表现在极限定义的叙述有所不同．而在各类极限的性质、运算、证明方法上都类似于数列的极限．下面，我们就依次讨论这些极限．一、时函数的极限1．引言设函数定义在上，类似于数列情形，我们研究当自变量时，对应的函数值能否无限地接近于某个定数Ａ．这种情形能否出现呢？回答是可能出现，但不是对所有的函数都具此性质．例如无限增大时，无限地接近于０；无限增大时，无限地接近于；无限增大时，与任何数都不能无限地接近．正因为如此，所以才有必要考虑时，的变化趋势．我们把象，这样当时，对应函数值无限地接近于某个定数Ａ的函数称为“当时有极限Ａ”．[问题]如何给出它的精确定义呢? 类似于数列,当时函数极限的精确定义如下.2.时函数极限的定义定义１设为定义在上的函数，Ａ为实数．若对任给的，存在正数Ｍ，使得当时有, 则称函数当时以Ａ为极限．记作或.3．几点注记（1）定义１中作用与数列极限中作用相同，衡量与Ａ的接近程度，正数Ｍ的作用与数列极限定义中Ｎ相类似，表明充分大的程度；但这里所考虑的是比Ｍ大的所有实数，而不仅仅是正整数n．（2）的邻域描述：当时，（3）的几何意义：对，就有和两条直线，形成以Ａ为中心线，以为宽的带形区域．“当时有”表示：在直线的右方，曲线全部落在这个带形区域内．如果给得小一点，即带形区域更窄一点，那么直线一般往右移；但无论带形区域如何窄，总存在正数Ｍ，使得曲线在的右边的全部落在这个更窄的带形区域内．（4）现记为定义在或上的函数，当或时，若函数值能无限地接近于常数Ａ，则称当或时时以Ａ为极限，分别记作，或，或．这两种函数极限的精确定义与定义１相仿，简写如下：当时，，当时，．（５）推论：设为定义在上的函数，则．４．利用＝Ａ的定义验证极限等式举例例１证明.例２证明１）；２）.二、时函数的极限１．引言上节讨论的函数当时的极限，是假定为定义在上的函数，这事实上是，即为定义在上，考虑时是否趋于某个定数Ａ．本节假定为定义在点的某个空心邻域内的函数，．现在讨论当时，对应的函数值能否趋于某个定数Ａ数列．先看下面几个例子：例１.（是定义在上的函数，当时，）例２.（是定义在上的函数，当时，）例３.（是定义在上的函数，当时，）由上述例子可见，对有些函数，当时，对应的函数值能趋于某个定数Ａ；但对有些函数却无此性质．所以有必要来研究当时，的变化趋势．我们称上述的第一类函数为当时以Ａ为极限，记作．和数列极限的描述性说法一样，这是一种描述性的说法．不是严格的数学定义．那么如何给出这类函数极限的精确定义呢？作如下分析：“当自变量越来越接近于时，函数值越来越接近于一个定数Ａ”只要充分接近，函数值和Ａ的相差就会相当小欲使相当小，只要充分接近就可以了．即对，当时，都有．此即．２．时函数极限的定义定义２设函数在点的某个空心邻域内有定义，Ａ为定数，若对任给的，使得当时有，则称函数当趋于时以Ａ为极限（或称Ａ为时的极限），记作或（.3．说明如何用定义来验证这种类型的函数极限4．函数极限的定义的几点说明：（１）是结论，是条件，即由推出．（２）是表示函数与Ａ的接近程度的．为了说明函数在的过程中，能够任意地接近于Ａ，必须是任意的．这即的第一个特性——任意性，即是变量；但一经给定之后，暂时就把看作是不变的了．以便通过寻找，使得当时成立．这即的第二特性——暂时固定性．即在寻找的过程中是常量；另外，若是任意正数，则均为任意正数，均可扮演的角色．也即的第三个特性——多值性；（）(3 是表示与的接近程度，它相当于数列极限的定义中的Ｎ．它的第一个特性是相应性．即对给定的，都有一个与之对应，所以是依赖于而适当选取的，为此记之为；一般说来，越小，越小．但是，定义中是要求由推出即可，故若满足此要求，则等等比还小的正数均可满足要求，因此不是唯一的．这即的第二个特性——多值性．（４）在定义中，只要求函数在的某空心邻域内有定义，而一般不要求在处的函数值是否存在，或者取什么样的值．这是因为，对于函数极限我们所研究的是当趋于的过程中函数的变化趋势，与函数在该处的函数值无关．所以可以不考虑在点a的函数值是否存在，或取何值，因而限定“”．（５）定义中的不等式；．从而定义２，当时，都有，使得．（６）定义的几何意义．例1．设，证明.例2．证明１）；２）.例3．证明.例4．证明.练习：１）证明; ２）证明.三、单侧极限１．引言有些函数在其定义域上某些点左侧与右侧的解析式不同，如或函数在某些点仅在其一侧有定义，如．这时，如何讨论这类函数在上述各点处的极限呢？此时，不能再用前面的定义（讨论方法），而要从这些点的某一侧来讨论．如讨论在时的极限．要在的左右两侧分别讨论．即当而趋于０时，应按来考察函数值的变化趋势；当而趋于０时，应按来考察函数值的变化趋势；而对，只能在点的右侧，即而趋于０时来考察．为此，引进“单侧极限”的概念．２．单侧极限的定义定义３设函数在内有定义，Ａ为定数．若对任给的，使得当时有, 则称数Ａ为函数当趋于时的右极限，记作或或．类似可给出左极限定义（，，或或）.注：右极限与左极限统称为单侧极限．３．例子例5讨论在的左、右极限．例6讨论函数在处的单侧极限．４．函数极限与的关系．定理３.１.注：１）利用此可验证函数极限的存在，如由定理3.1知：．还可说明某些函数极限不存在，如由例２知不存在．２），，可能毫无关系，如例２．作业：P47. 1（3）, （5）, 3，7。

1.3 函数的极限

→0
第三节函数的极限
第一章函数与极限
第一章函数与极限
定理1 （函数极限的唯一性）
若 lim 存在, 则这个极限唯一.
→0
自证.提示:参考数列极限唯一性的证明, 用反证法.
若函数()在自变量的某一变化过程中极限存在,
则这个极限唯一.
→ 0 ,
→ ∞,
第三节
第三节函数的极限
=

当 < −或 > 时,
函数 = ()图形
完全落在以直线
= 为中心线,
宽为2的带形区域内.
直线= A 为曲线 = () 的水平渐近线
第三节函数的极限
第一章函数与极限
3）两种特殊情形：
lim () =
→+∞
lim () =
→−∞
∀ > 0, ∃ > 0, 当 > 时, 有
数值, 那么叫做函数()当 → 0 时的极限.

如何描述？
|() − | <
问题：如何用数学语言描述这个极限过程？
2 − 1
在 → 1时的趋向
观察函数 () =
−1
( − 1)( + 1)
() =
= + 1, ≠ 1
−1
第三节函数的极限
第一章函数与极限
定义
都满足不等式
() − < ,
则称常数 A 为函数 () 当 → 0 时的极限, 记作
lim () = 或 → 当 → 0 .
→0
“ − ”定义
lim () =
→0
第三节函数的极限
∀ > 0, ∃ > 0, 当 ∈Ů(0 , ) 时, 有

函数的极限

有|f(x)−A|<
❖单侧极限
若当 x→x0−时 f(x) 无限接近于某常数 A 则常数 A 叫做函数f (x) 当 x→x0 时的左极限记为
或 f(x0−)=A .
•精确定义
0 d 0 当 x0−dxx0 有 |f(x)−A|<
注:
x→x0− 表示 x 从 x0 的左侧(即小于 x0 )趋于 x0 , x→x0+ 表示 x 从 x0 的右侧(即大于 x0)趋于 x0 .
函数的极限
一、函数极限的定义二、函数极限的性质
1
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铃
函数极限的基本类型
自变量变化过程的六种形式:
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自变量趋于无穷大时函数的极限
如果当 |x| 无限增大时 f(x)无限接近于某一常数A 则常数 A 叫做函数 f(x) 当 x→ 时的极限记为
•精确定义
lim f (x)=A
x→
例例16：证明 lim 1 = 0 x→ x
证明：因为
0
X
=
1
0
当|x|X 时
有
| f (x) − A|=| 1 − 0 |= 1
x |x|
所以 lim 1 = 0 x→ x
分析 | f (x) − A|=| 1 − 0 |= 1 x |x|
0
要使|f(x)−A|
只
要|
x
|
当 x 满足不等式 0<|x−x0|d 时对应的函数值 f(x)都满
足不等式
|f(x)−A|
那么常数 A 就叫做函数 f(x) 当 x→x0 时的极限记为

函数极限连续知识点总结

函数极限连续知识点总结一、函数极限的定义1.1 函数的极限概念首先，我们先来了解一下函数的极限概念。

对于给定的函数$f(x)$和实数$a$，如果当$x$趋于$a$时，函数$f(x)$的取值无限接近某个确定的实数$L$，那么我们称$L$为函数$f(x)$在$x$趋于$a$时的极限，记作$\lim_{x \to a}f(x) = L$，并称函数$f(x)$在$x$趋于$a$时收敛于$L$。

1.2 函数极限的定义根据上面的概念，我们可以得到函数极限的严格定义：设函数$f(x)$在点$a$的某个去心邻域内有定义，如果对于任意给定的正数$\varepsilon$，总存在正数$\delta$，使得当$0 <|x - a| < \delta$时，就有$|f(x) - L| < \varepsilon$成立，那么就称函数$f(x)$在$x$趋于$a$时的极限为$L$，记作$\lim_{x \to a}f(x) = L$。

上述定义可以用符号表示为：对于任意给定的$\varepsilon > 0$，总存在$\delta > 0$，使得当$0 < |x - a| < \delta$时就有$|f(x) - L| < \varepsilon$成立。

1.3 函数极限的几何意义函数极限的定义反映了函数在某一点附近的变化趋势。

通过函数图像可以直观地理解函数极限的几何意义：当$x$在点$a$的邻域内时，函数$f(x)$的图像逐渐接近直线$y=L$，并且可以任意地靠近直线$y=L$。

这也就意味着函数在$x$趋于$a$时，其值可以无限接近于$L$。

1.4 函数极限存在的充分条件函数极限的存在需要满足一定的条件，下面给出函数极限存在的充分条件：（1）函数$f(x)$在点$a$的某个邻域内有定义；（2）存在实数$L$，使得对任意给定的$\varepsilon > 0$，总存在$\delta > 0$，使得当$0 < |x - a| < \delta$时就有$|f(x) - L| < \varepsilon$成立。

高等数学函数的极限课件

函数极限的定义可以用数学符号表示为：lim f(x) = A，表示当x趋近于某个值时，f(x)趋近于A。
函数极限的性质
01
唯一性
函数的极限是唯一的，即如果 lim f(x) = A和lim f(x) = B，则
A = B。
02
有界性
函数的极限是有界的，即存在一个正数M，使得当x在某点附近时，f(x)的绝对值小于M。
高等数学函数的极限课件
目录
• 函数极限的基本概念 • 函数极限的运算性质 • 无穷小与无穷大 • 函数的连续性 • 极限的应用
01
函数极限的基本概念
函数极限的定义
01
02
函数极限的定义是高等数学中的基本概念，它描述了函数在某一点的变化趋势。具体来说，如果当自变量趋近于某一值时，函数值无限接近于一个确定的数，则称该数为函数的极限。
求复合函数极限的方法
通过将复合函数分解为基本初等函数或已知极限的函数，利用极限的四则运算性质和已知极限，求得复合函数的极限。
反函数的极限
反函数极限的定义
设函数y=f(x)在点x0有定义且f'(x0)=1，其反函数为x=g[f(x)]，如果lim(y→y0) x=lim(y→y0) g[f(x)]，则称反函数在点y0处存在极限。
03
局部保号性
如果lim f(x) = A且A > 0，则在某点附近存在一个正数δ，使得当x满足一定条件时，f(x)
> 0。
函数极限的存在性定理
函数极限的存在性定理是高等数学中一个重要的定理，它给出了函数极限存在的充分条件。根据这个定理，如果函数在某点的左右极限存在且相等，则函数在该点有极限。
连续性的几何意义

有关极限知识点总结

有关极限知识点总结一、极限的概念1.1 极限的定义在微积分中，我们通常用极限来描述函数在某一点附近的行为。

如果一个函数f(x)在x趋向于a的过程中，当x足够接近a时，f(x)的取值也趋向于一个确定的常数L，那么我们就说f(x)在x趋向于a时的极限存在，记作lim(x→a)f(x)=L。

这个定义还可以用符号ε和δ来表达，即对任意给定的ε>0，都存在一个δ>0，使得当0<|x-a|<δ时，有|f(x)-L|<ε成立。

1.2 极限的几何意义极限可以理解为函数在某一点附近的局部平均值。

当x趋向于a时，函数f(x)在a点的极限就是当x趋近a时，f(x)对应的y值所形成的一个集合，而这个集合的平均值即为该点的极限值。

这也可以理解为函数在某一点附近的近似值，通过这个近似值，我们可以更好地了解函数在该点的行为。

1.3 极限的存在性极限并不是所有函数都存在的，有些函数在某些点处可能不存在极限。

一般来说，函数在某一点处的极限是否存在取决于该点的邻域内函数的性质和变化规律。

我们需要通过一些定理和性质来判断函数在某一点的极限是否存在。

二、极限的性质2.1 极限的唯一性如果函数f(x)在x趋向于a时的极限存在且是唯一的，那么这个极限值是确定的，记作lim(x→a)f(x)=L。

这说明函数在某一点的极限只可能有一个值，如果存在多个值，则说明函数在该点的极限不存在。

2.2 极限的局部性极限具有局部性的特点，即函数在某一点的极限与该点的邻域内的函数值相关。

当x趋向于a时，函数f(x)的极限值只与a点邻域内的函数值有关，与该点的邻域外的函数值无关。

这也说明了极限可以通过邻域内的近似值来确定。

2.3 极限的分段性如果一个函数可以分成若干个区间，每个区间内函数的极限存在且是确定的，那么这个函数在整个定义域内的极限也是存在的。

这说明了极限的存在性与区间的分割是有密切关系的，通过区间的极限可以得到整个函数的极限。

函数的极限

sin x sin a x a .
所以
lim sin x sin a.
xa
15
三、关于函数极限的定理
定理1
设有f x , g x 及h x 三个函数定义在点a的一个空心 h x f x g x, 假如 lim g x =l 且 lim h x =l 则 lim f x =l
点a的去心邻域,

体现x接近a程度.

a
a
a
x
8
定义
设y f x 是定义在一点a的空心邻域
U r (a ) U r (a ) \ a a r , a a, a r 上,若存在一个实数l , 对于任意给定的 0,(无论它多么小) 都存在一个 0, 使得 f x l , 只要 0 x a , 则称当 x a 时,f x 以l为极限,记作 lim f x l 或 f x l x a
3 3 3
3 x 1
4 2 证明 0, 令 min , , 3 3 1 则当 0 x 1 时, x , 且 3 3 x 1 3 3 3x 1 2 x 1 , 3x 1 2 2 2 因此
lim 3x 1 2.
lim f (x)l 或 f (x) l (当x a)．
x a
分析：当xa时，f(x) l 当| xa | 0 时，|f (x)l |能任意小
任给 >0，当| xa |小到某一时刻，有|f (x)l |< 任给 >0，存在 >0，使当|xa | < 时，有|f (x)l|< ．

函数极限概念

x M
如果正数给的小一点,即当带形区域更窄一点,那么
直线 x= M 一般要往右平移;但无论带形区域如何窄,总存在这样的正数M ,使得曲线y = f(x) 在直线 x=M 的右边部分全部落在这更窄的带形区域内。
现设 f 为定义在U()或U( )上的函数,当 x 或x时,若函数值 f(x)能无限地接近某定数A ，则称 f 当x 或 x 时以 A为极限,分别记作 limf( x) = A 或 f (x) A ( x)
lim f( x )= A lim f( x )= lim f( x )= A .
x
x
x
例 1 证明lim 1 = 0.
x x
证 0, 取 M = 1 ,

则当xM时有
1 0 = 1 1 = ,
x
xM
y
O
x
所以lim 1 = 0. x x
问题:函数 y = f ( x)在 x 的过程中 ,对应函数值 f ( x)无限趋近于确定值 A.
通过上面演示实验的观察: 当 x无限,增 f(x)大 =six 时 n无限接 0. 近
x 问题: 如何用数学语言刻划函数f(x)“无限接近”某数A?
f(x )A 表f(示 x )A 任;意小
的图形的. 水平渐近线
二、自变量趋于有限值时函数的极限
先看一个例子考x察 1时 ,函f数 (x)=2(x21)的变化趋
x1
这个函数虽在x=1处
无定义，但从它的图
y
形上可见，当点从1的
4
左侧或右侧无限地接
近于1时， f(x)的值无
限地接近于4，我们称
常数4为f(x)当x→1 时

极限的概念汇总

x x0
lim f ( x) = A
•结论
x x0
lim f (x) = A lim - f (x) = A 且 lim f ( x) = A .
x x0 x x0
x x0
lim f (x) = A lim - f (x) = A 且 lim f ( x) = A .
例例 33 . 证明 lim (2x -1) =1 .
x1
证明因为 0, d= /2, 当0|x-1|d 时, 有 |f(x)-A|=|(2x-1)-1|=2|x-1| ,
所以 lim (2x -1) =1 .
x1
分析
|f(x)-A|=|(2x-1)-1|=2|x-1|. >0, 要使|f(x)-A|<, 只要|x-1|< /2.
x x0
所以 lim x = x0 .
x x0
分析
|f(x)-A|=|x-x0|. >0, 要使|f(x)-A|, 只要|x-x0| .
x x0
, d( > ,当 0<|x-x0|<d, 有|f(x)-A|< . 或 f (>0 x) A x0 x0)。 lim f(x)=A
= 0.00001 , 取N = 100000，从100001项起，
1 后面所有各项都有 | - 0 | 0.00001 n
无论你事先指定的正数从
aN 1 起,都有
1 | - 0 | n
多么小，总能找到
N = [ ] 1
1

就实例2进行辩论：是“竭”，还是“不竭”？
数列极限的精确定义
这一序列叫做数列, 记为{xn}, 其中第n项xn叫做数列的一般项.

函数的极限

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函数的极限考虑在自变量的某个趋向下（如 x无限接近于
x0），相应的函数值 f (x) 能否与一个确定的常
数 A 无限接近。
4
极限
y
y = f (x)
f (x) → A
A
o
x0
x
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x → x0
1．自变量趋于有限值时函数的极限．函数f(x)的值无限接近于的值无限接近于如果当x无限接近于x0 , 函数常数A, 为极限. 常数 , 则称当x趋于x0 时, f(x)以A为极限.
y
给定
A+ ε
A
，存在
A−ε
o
9
εห้องสมุดไป่ตู้
x0 −δ δ
y
x0
x0 + δ
x
变小，也变小
A+ε
A −ε
A
ε
x0 −δ δ x0 x0 + δ
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o
x
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单侧极限：若当x→x0− 时,f(x)无限接近于常数A，则常数A叫做函数 f(x)当 x→x0 时的左极限,记为：
x → x0
10
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定义: 定义 lim xn = a ⇔
n→∞
当 n > N 时, 总有自变量取正整数的函数称为数列
7
当 n > N 时, 总有
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时函数极限的分析定义（ε-δ语言），总，当时，有
成立，则称常数
8
为函数
当
时的极限
记作且

函数极限说课

∀ε > 0, 作出带形区域
A−ε < y < A+ ε
必存在x 必存在 0的去心邻域
0 < x − x0 < δ ,
y
A+ε
y = f ( x)
A A−ε
O
x 0 − δ x 0 x0 + δ
对于此邻域内的 x,
x
对应的函数图形位于这一带形区域内. 对应的函数图形位于这一带形区域内
注 (1) 定义中的 0 < x − x0 表示 x ≠ x0 , 有没有极限与f 在点在点x 所以 x → x 0时 , f (x)有没有极限与 (x)在点 0 有没有极限与是否有定义并无关系. 是否有定义并无关系有关. 一般地说, 越小, 也将越小. 有关一般地说 ε 越小 δ 也将越小 (2) 定义中 δ 标志接近 0的程度它与 ε 标志x接近的程度, 接近x
− x从左侧无限趋近 x0 , 记作x → x0 − 0 或x0 从左侧无限趋近 + x从右侧无限趋近 x0 , 记作x → x0 + 0 或x0 从右侧无限趋近
x0 − δ
x0
x0 + δ
左极限 ∀ε > 0, ∃δ > 0, 使得 x0 − δ < x < x0时,
恒有 f ( x ) − A < ε.
0 < x − x0 < δ 表示x → x0的过程 .
δ
O
δ
x0
U ( x0 , δ )
x0 + δ
x
o
x0 − δ
点x 0的去心δ邻域, δ体现x接近x0程度.
定义设函数 f ( x )在点 x0 的某去心邻域内有定义的某去心邻域内有定义.

函数的极限

1.4 函数的极限 (limit of function)
1. x x0时函数极限的直观描述
考虑x无限逼近1时，f (x) x 1的变化趋势。
2
记为 lim(x 1) 2.
1
x1
0
1
考虑x无限逼近1时，f ( x) x2 1的变化趋势。 x1
记为
x2 1
lim
2.
x1 x 1
2
1 0
2. 自变量趋向无穷大时函数的极限定义描述性极限定义
设对给定的常数A，当x无限逼近时，函数f (x)无限逼近A,则称A为x 时f (x)的极限，记为
易知：
几何意义
若极限lim f ( x) A存在，则称直线y A为 x
曲线y f (x)的水平渐近线。
说明
函数在无穷远处存在极限的几何意义就是它的图像有水平渐近线.
lim
x x0
f (x)
A或f
(x)
A( x
x0 )
ε 0,δ 0,使当0 x x0 δ时, 恒有 f (x) A ε .
注意
1.函数极限与f (x)在点x0是否有定义或取值都无关;
2.正数的任意性与给定性.
3.的相应性与不唯一性
4. 几何解释:
y
当x在x
的去
0
心邻
A
域时,函数y f ( x) A
思考与总结: 在一点处极限与函数值的关系?
二、函数在无穷远处的极限
1. 自变量趋向无穷大时函数的变化趋势
观察函数 sin x 当 x 时的变化趋势. x
二、函数在无穷远处的极限
1. 自变量趋向无穷大时函数的变化趋势
观察函数 sin x 当 x 时的变化趋势. x

文科高等数学(2.微积分的直接基础-极限)

第二章微积分的直接基础——极限§2.1 从阿基里斯追赶乌龟谈起——数列的极限一个实际问题:如可用渐近的方程法求圆的面积？设有一圆, 首先作内接正四边形, 它的面积记为A 1；再作内接正八边形, 它的面积记为A 2；再作内接正十六边形, 它的面积记为A 3；如此下去, 每次边数加倍, 一般把内接正8×2n -1边形的面积记为A n . 这样就得到一系列内接正多边形的面积: A 1, A 2, A 3, ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ , A n , ⋅ ⋅ ⋅设想n 无限增大（记为n →∞, 读作n 趋于穷大）, 即内接正多边形的边数无限增加, 在这个过程中, 内接正多边形无限接近于圆, 同时A n 也无限接近于某一确定的数值, 这个确定的数值就理解为圆的面积. 这个确定的数值在数学上称为上面有次序的数（数列） A 1, A 2, A 3, ⋅ ⋅ ⋅ , A n , ⋅ ⋅ ⋅当n →∞时的极限.数列的概念:如果按照某一法则, 使得对任何一个正整数n 有一个确定的数x n , 则得到一列有次序的数x 1, x 2, x 3, ⋅ ⋅ ⋅ , x n , ⋅ ⋅ ⋅这一列有次序的数就叫做数列, 记为{x n }, 其中第n 项x n 叫做数列的一般项. 数列的例子: {1+n n }: 21, 32, 43, ⋅ ⋅ ⋅ ,1+n n⋅ ⋅ ⋅; {2n}: 2, 4, 8, ⋅ ⋅ ⋅ , 2n, ⋅ ⋅ ⋅; {n 21}: 21, 41, 81, ⋅ ⋅ ⋅ , n 21, ⋅ ⋅ ⋅ ; {(-1)n +1}: 1, -1, 1, ⋅ ⋅ ⋅ , (-1)n +1, ⋅ ⋅ ⋅ ; {nn n 1)1(--+}: 2,21, 34, ⋅ ⋅ ⋅ , n n n 1)1(--+, ⋅ ⋅ ⋅ .它们的一般项依次为1+n n , 2n , n 21, (-1)n +1, n n n 1)1(--+.数列的几何意义:数列{x n }可以看作数轴上的一个动点, 它依次取数轴上的点x 1, x 2, x 3, ⋅ ⋅ ⋅ , x n , ⋅ ⋅ ⋅.数列与函数:数列{x n }可以看作自变量为正整数n 的函数: x n =f (n ),它的定义域是全体正整数. 数列的极限:数列的极限的通俗定义:对于数列{x n }, 如果当n 无限增大时, 数列的一般项x n 无限地接近于某一确定的数值a , 则称常数a 是数列{x n }的极限, 或称数列{x n }收敛a . 记为a x n n =∞→lim . 如果数列没有极限, 就说数列是发散的.例如11l i m =+∞→n n n ,021lim =∞→nn , 1)1(lim 1=-+-∞→nn n n ; 而{2n }, { (-1)n +1}, 是发散的.对无限接近的刻划:x n 无限接近于a 等价于|x n -a |无限接近于0,极限的精确定义:定义如果数列{x n }与常a 有下列关系:对于任意给定的正数ε (不论它多么小), 总存在正整数N , 使得对于n >N 时的一切x n , 不等式|x n -a |<ε都成立, 则称常数a 是数列{x n }的极限, 或者称数列{x n }收敛于a , 记为 a x n n =∞→lim 或x n →a (n →∞).如果数列没有极限, 就说数列是发散的.a x n n =∞→l i m ⇔∀ε >0, ∃N ∈N +, 当n >N 时, 有|x n -a |<ε .数列极限的几何解释: 例题: 例1. 证明1)1(lim 1=-+-∞→nn n n .分析: |x n -1|=nn n n 1|1)1(|1=--+-. 对于∀ε >0, 要使|x n -1|<ε , 只要ε<n1, 即ε1>n .证明: 因为∀ε >0, ∃]1[ε=N ∈N +, 当n >N 时, 有|x n -1|=ε<=--+-nn n n 1|1)1(|1, 所以1)1(lim1=-+-∞→nn n n .例2. 证明0)1()1(lim 2=+-∞→n nn .分析: |x n -0||0)1()1(|2-+-=n n 11)1(12+<+=n n .对于∀ε >0, 要使|x n -0|<ε , 只要ε<+11n , 即11->εn .证明: 因为∀ε >0, ∃]11[-=εN ∈N +, 当n >N 时, 有|x n -0|=ε<+<+=-+-11)1(1|0)1()1(|22n n n n ,所以0)1()1(lim2=+-∞→n nn .例3. 设|q |<1, 证明等比数列 1, q , q 2, ⋅ ⋅ ⋅ , q n -1, ⋅ ⋅ ⋅的极限是0.分析: 对于任意给定的ε >0, 要使 |x n -0|=| q n -1-0|=|q | n -1<ε ,只要n >log |q |ε +1就可以了, 故可取N =[log |q |ε +1]。

函数的极限

函数极限
关于函数的极限，根据自变量的变化过程，我们关于函数的极限，根据自变量的变化过程，主要研究以下两种情况：主要研究以下两种情况：一、当自变量x无限地接近于x0时，f(x)的变化趋势的变化趋势
即x → x0时, f ( x )的极限
的绝对值无限增大时, 二、当自变量x的绝对值无限增大时,f(x)的变化趋势的变化趋势
即x → ∞时, f ( x )的极限
时函数f(x)的极限一、x→x0 时函数的极限
2( x 2 − 1) 考察x → 1时,函数f ( x ) = 的变化趋势 x −1 这个函数虽在x=1 这个函数虽在 y 处无定义，处无定义，但从它的图形上可见，当点从1 图形上可见，当点从 4 的左侧或右侧无限地接近于1时接近于时， f(x)的值的值无限地接近于4，我们无限地接近于，称常数4 称常数4为f(x)当x→1 当 o 1 的极限。时f(x)的极限。的极限
(3)定义2.5中x→∞ 的方式是任意的,|x|既可沿x轴负方向无限增大,也可沿x轴正方向无限增大. 若当x→－∞ (或x→+∞ )时,函数f(x)无限趋近常－数a,则称常数a为 x→－∞ (或 x→+∞ )时函数－ f(x)的极限,记为
x→ −∞
lim f (x) = a
(或 lim f (x) = a)
先看一个例子
x
定义2.3 设函数f(x)在点x0 的某空心邻域内有定定义义,a为常数,如果对任意给定的ε>0 (不论ε多么小), 总存在δ>0 ,使当0<|x-x0|&l时函数f(x)的极限,或称x→x0 时
函数f(x)的极限为a,记为
使当…… 时 n>N
恒有

大一高数上_PPT课件_第一章

几个数集:
R表示所有实数构成的集合，称为实数集。
Q表示所有有理数构成的集合，称为有理集。 Z表示所有整数构成的集合，称为整数集。 N表示所有自然数构成的集合, 称为自然数集。子集: 若xA，则必有xB，则称A是B 的子集, 记为AB（读作A包含于B）。显然，N Z ，Z Q ，Q R 。
的上方。
y y=f(x) O x
y=K2
如果存在数 M,使对任一 xX，有 | f(x) |M，则称函数f(x)在X上有界；如果这样的M不存在，则称函数f(x)在X上是无界函数，就是说对任何M ，总存在 x1X，使|f(x)|>M。有界函数的图形特点：函数y = f(x)的图形在直线y = - M和y = M y 的之间。
高等数学研究的主要对象是函数，主要研究函数的分析性质（连续、可导、可积等）和分析运算（极限运算、微分法、积分法等）。那么高等数学用什么方法研究函数呢？这个方法就是极限方法，也称为无穷小分析法。从方法论的观点来看，这是高等数学区别于初等数学的一个显著标志。由于高等数学的研究对象和研究方法与初等数学有很大的不同，因此高等数学呈现出以下显著特点：
周期函数的图形特点：
y
y=f(x)
-2l
-l
O
l
2l
x
四、反函数与复合函数
1. 反函数设函数y=f(x)的定义域为D，值域为W。对于任一数值 yW，D上可以确定唯一数值 x 与 y 对应，这个数值 x 适合关系 f(x)=y。
如果把 y看作自变量，x 看作因变量，按照函数的定义就得到一个新的函数，这个新函数称为函数y=f(x)的反函数，记作 x=f -1(y)。
什么样的函数存在反函数？

函数极限的证明(精选多篇)

函数极限的证明(精选多篇)第一篇：函数极限的证明函数极限的证明(一)时函数的极限：以时和为例引入.介绍符号:的意义,的直观意义.定义(和.)几何意义介绍邻域其中为充分大的正数.然后用这些邻域语言介绍几何意义.例1验证例2验证例3验证证……(二)时函数的极限：由考虑时的极限引入.定义函数极限的“”定义.几何意义.用定义验证函数极限的基本思路.例4验证例5验证例6验证证由=为使需有为使需有于是,倘限制,就有例7验证例8验证(类似有(三)单侧极限:1.定义：单侧极限的定义及记法.几何意义:介绍半邻域然后介绍等的几何意义.例9验证证考虑使的2.单侧极限与双侧极限的关系:th类似有:例10证明:极限不存在.例11设函数在点的某邻域内单调.若存在,则有=§2函数极限的性质(3学时)教学目的：使学生掌握函数极限的基本性质。

教学要求：掌握函数极限的基本性质：唯一性、局部保号性、不等式性质以及有理运算性等。

教学重点：函数极限的性质及其计算。

教学难点：函数极限性质证明及其应用。

教学方法：讲练结合。

一、组织教学：我们引进了六种极限:,.以下以极限为例讨论性质.均给出证明或简证.二、讲授新课：(一)函数极限的性质:以下性质均以定理形式给出.1.唯一性:2.局部有界性:3.局部保号性:4.单调性(不等式性质):th4若和都存在,且存在点的空心邻域,使，都有证设=(现证对有)註:若在th4的条件中,改“”为“”,未必就有以举例说明.5.迫敛性:6.四则运算性质:(只证“+”和“”)(二)利用极限性质求极限：已证明过以下几个极限：(于正无穷。

把max{a1,...am}记作a。

不妨设f1(x)趋于a;作b>a>=0,m>1;那么存在n1,当x>n1,有a/mn2时，0ni时，0那么当x>n,有(a/m)第三篇：二元函数极限证明二元函数极限证明设p=f(x,y),p0=(a,b)，当p→p0时f(x,y)的极限是x,y 同时趋向于a,b时所得到的称为二重极限。

函数的极限

3
注：函数y =ƒ(x)当 x→∞ 时有极限与数列极限的不同点在于自变量一个是连续递增的, 一个是取自然数递增的(是函数极限的特殊情形). 仿数列“ε—N”定义有 2.函数(“ε—M”)定义设函数ƒ(x),当x>a时有定义. 函数(“ε— ”)定义对 ∀ε >0,∃M>0, 使得当x>M时,|ƒ(x)–A|< ε恒成立. 则称函数ƒ(x)当 x→∞ 时以A为极限.记
x → x0
此定理给出了怎样利用单侧极限判断函数极限存在的方法; 特别对分段函数适用. 例5.设ƒ(x)=|x| ,求
lim f ( x ).
x →0
− x , x < 0 解因 x = , x≥0 x f (0+ ) = lim f ( x) = lim x = 0, + +
x →0 x →0
1 y = , y = arctan x , y = e − x ; x y = ln x , y = e x , y = log a x
o
A–ε
M
x
当 x→∞ 时, 以什么为极限?极限是否存在?
5
3.直观描述 3.直观描述: 对函数 ƒ(x), 当x取负值而绝对值无限增直观描述大时(即x→－∞),如果ƒ(x)无限接近某常数A, 则称A是函数ƒ(x)当x→－∞ 时的极限. 4.函数 (“ε—M”)定义设函数ƒ(x), 当x<–a时有 4.函数 (“ ”)定义 ”) 定义. ∀ε > 0, ∃ M > 0, 使得当x<–M时,|ƒ(x)–A|< ε 恒成立.则称函数ƒ(x)当x→－∞ 时以A为极限.
lim− f ( x ) = A 或 f ( x 0 − ) → A .

函数的极限(3)

|f (x)-A|=|c-c|=0<e
成立，所以 lim c = c. x x0
例2
证明lim x x0
x=x0．
证明：这里|f(x)- A|=|x- x0|，因此对于任意给定的正数e ，
总可取d=e ，当 0<|x- x0|< d=e 时，能使不等式
|f (x)- A|=|x- x0|< e
成立．所以
x
结论：lim f (x) = A lim f (x) ＝ lim f (x) = A ．
x
x-
xx0 +0
极限lim f (x)=A 的定义的几何意义： x
y
A+e
A
y=f (x)
A-e
-X
O
X
x
例 7 证明lim 1 =0 x x
分析：设e是任意给定的正数．要证存在正数X，当|x|>X时，
x x0
xx0 -0
xx0 +0
讨论：
左右极限的e --d 定义如何叙述?
左极限的e --d 定义：若e>0， d>0， x： x0- d <x<x0，有|f (x)-A|<e ，则称
常数A为函数f (x)当xx0时的左极限．
例6 函数
x -1, x < 0,
f
(
x)
=
0, x = 0,
x +1, x > 0.
x
x-
x+
叙述？三者之间的关系如何？
极限的精确定义：设f(x)当|x|大于某一正数时有定义．如果对于任意给定的
正数e ，总存在着正数X，使得对于适合不等式|x|>X的一切x，

极限的概念和几何意义

极限的概念和几何意义
在数学中，极限是一种重要的概念，它描述了一系列数值序列、函数序列或空间序列的趋势或接近某个数值或者形状的过程。

数列极限的概念：对于一列有限或无限个数的有序排列，我们可以定义它的极限。

如果一个数列具有极限，那么这个数列中的元素会随着数列项数的增加而逐渐趋近于该极限值。

在数学符号中，这个极限可以用类似于“lim(n→∞)an=a”的形式来表示，其中an是数列的第n项，a是极限值。

函数极限的概念：函数极限是用来描述函数在某一点上的趋近过程的概念。

在这里，极限值是给定函数在无限趋于某点时对应的函数值。

在数学符号中，这个极限可以用类似于“lim(x→a)f(x)=L”的形式来表示，其中f(x)是函数，a是给定的点，L是极限值。

几何意义：极限的几何意义可以表示一组点向某个固定点靠近的过程。

例如，在一个平面直角坐标系中，我们可以画出一个点P(x,y)和一个坐标原点O(0,0)。

我们可以构造一系列点Q1、Q2、Q3等，这些点坐标的横纵坐标都与点P(x,y)很接近，并且这些点在平面上的位置趋近于原点O(0,0)。

当这些点无限趋近于原点O时，我们可以说这些点的极限是原点O。

在这个过程中，我们可以看出极限的概念是描述一组点在平面上向某个点靠近的过程。

总的来说，极限是数学中非常重要的概念，它可以描述数列、函数序列或空间序列的趋势或接近某个数值或形状的过程，并且具有广泛的应用，例如在微积分、数学分析、物理学、工程学和经济学中等。

3-4函数极限的几何意义

高等数学第3章第1节函数极限的概念.

1.3 函数的极限

函数的极限

函数极限连续知识点总结

高等数学 函数的极限课件

有关极限知识点总结

函数的极限

函数极限概念

极限的概念汇总

函数的极限

函数极限说课

函数的极限

文科高等数学(2.微积分的直接基础-极限)

函数的极限

大一高数上_PPT课件_第一章

函数极限的证明(精选多篇)

函数的极限

函数的极限(3)

极限的概念和几何意义

高等数学函数的极限课件