第三章恒定电场

E 0 E J 0
( 0)
E 0 E D 0
D E
J E
2 0
S
2 0
q D D dS
I
E1t E2t
D1n D2n
E1t E2t
J dS
S
J1n J 2n
2U 0

所以得到电位函数:

2U 0

U0
电场强度为:
式中
e 为
1 E grad e r 1 2U 0 2U 0 U 0 e e r r
方向单位矢量。
电流密度为:
2 U 0 J E e r
2.库仑电场 Eq
3.恒定电流场：是恒定电场作用 在导电媒质中所引起的电荷流动 的物理过程。 4.电源的电动势
图3-1 蓄电池内的电场

B
A
E0 dl
（3-2）
3.2 导电媒质中的电流 3.2.1电流强度－概念回顾
单位时间内通过某一横截面的电量，简称为电流。
I dq dt A
R2
E
U0
R2
R1
EdR
R ln 2 2 R1
J E
L
U0
R ln R2 R`1
R0

J ds

2
0
JRd
介质内电流密度
2 U 0 R ln 2 R`1
介质单位长度的电流
2 U R2 2 2 U 2 0 0 P E dV d dR V R1 0 R2 R ln R2 ln R`1 R`1 介质单位长度消耗的功率
1 1 d 2 d 2 r r r r r 2 d 2 dz 2
2

图3-8 例3-3图 由边界条件
0
直接积分得: C1 C2 时, U 0 时， 0 2
1 d 2 2 0 2 r d
可确定出待定常数为: C2 U 0 C1
表明 1 导体表面是一条电流线。
E2 n 0 E1n J1n
1
0
D2 n D1n 2 E 2n
表明 2
导体与理想介质分界面上必有恒定（动
态平衡下的）面电荷分布。
E1t E2t
表明 3 电场切向分量不为零，导体非等位体，导体表面非等位面。 若 1 （理想导体），导体内部电场为零， 电流分布在导体表面，导体不损耗能量。 导体周围介质中的电场
两极板间还存在库仑电场，是有两 极板上的电荷激发的。
当局外电场大于库仑电场，局外电 场将从负极板推移正电荷至正极板。
若局外电场等于库仑电场，则保持 平衡。
图3-1a 蓄电池内的电场
导电媒质中的恒定电场
1.局外电场强度 E0
E0 lim
q0
F dF q dq
(3-1)
E2 E2t ex E2ne y
载流导体表面的电场
例3-2
同轴电缆其内导体外半径为R1，填充有两种非理想电介质，介质分界面的半径为
R2，它们的电容率分别为ε1和ε2 ，电导率分别为γ1和γ2，外导体的内半径为R3。 设内外导体间加电压U0，试求两介质中的电场强度及介质分界面的自由电荷密度。 解： 设介质内半径为R的单位长度的柱面上，流过的电流为I0
2 1 J1n 2 1
上式说明，媒质分界面上一般存在自由电荷，该电荷是建立恒定电流场 过程中积累在分界面处的。
c）
( 1 0) 媒质2是理想介质 ( 2 0) 情况。 媒质1是导体，
2 0 J2 0
J 2n J1n 0
J1
R2 R R3
2 1 U 0 1 2 21 J 1 n R3 R2 2 1 ln ln 2 1 R2 R1 R2
3.5 由基本方程出发
恒定电场的边值问题
E 0 E J 0 ( E) E 2 0

l
E dl 0
斯托克斯定理
( E ) dS 0
s
E 0
恒定电场是无旋场。
3. 恒定电场（电源外）的基本方程

s
J dS 0
J 0 E 0
J E

e
E dl 0
• 恒定电场是无源无旋场。
3.4 分界面的衔接条件
E dl 0 E1t E 2t L J dS 0 J1n J 2 n S
恒定电流的形成
例3.1 圆柱形电容器内导体的半径为R1，外导体的半径为R2，其间电介质并非理想的
绝缘介质，其电容率为ε，电导率为γ，若于内导体至外导体间施以恒定电压U0。 求单位长度上流过介质的电流及功率消耗。
解： 设内导体上单位长度的电荷为τ
E
2 R
R1
U0 R R ln 2 R`1
I
R2
通过薄钢片截面的电流:
I J dS பைடு நூலகம்
S
R1
2 U 0 2 U 0h R2 hdr ln r R1
因此电极之间的电阻:
课后作业：P93： 3-10 3-11
最后，代入已知数据求得数字解答:
3 60 10 2 5 106 4 103 ln 30 103 1.13 10 4
U0 R R2 I 2h ln R1
R

3.6 导电媒质中恒定电场与静电场的比拟
3.6.1 静电比拟 实例：一面积为S 的平板电容器，如果两板间电压为U，就能够求 得其中的电场强度E，电位函数 ，电位移矢量D 以及极板电荷q的表 达式。
U
d
0
E dl Ed
E U d D E U d
表2 静电场 ( 0)
两种场对应物理量
E E

D J I
q


导电媒质中恒定电场（电源外）
两种场各物理量所满足的方程一样，若边界条件也相同，那么，通过 对一个场的求解或实验研究，利用对应量关系便可得到另一个场的解。
2
3.3 恒定电场的积分形式定理
1. J 的散度 电荷守恒定律
q SJ dS t
t
在恒定电场中 q 0
J dS 0
S
散度定理
J dV 0
V
J 0
2. E的旋度
电流连续性原理：恒定电场是一个无源场，电 流线是连续的。
取积分路径不经过电源
例3-3 厚度为h=4mm的薄钢片，其形状、尺寸、电极位置、电极上的电位 如图3-8所示，若钢的电导率为5×106S/m，R1=30mm， R2＝60mm，求电 极之间的电阻。 解 通过电位函数 满足拉普拉斯方程来求解。 坐标 若选用圆柱坐标系，可以看出 仅与 有关，而与r、z坐标无关，因此所满足的拉普 拉斯方程不含对r、z的偏导数项，简化为 ：
I 是通量,并不反映电流在每一点的流动情况。
3.2.2 恒定电场的基本物理量——电流密度
电流密度是一个矢量，在各向同性线性导电媒
质中，它与电场强度方向一致。 1.体电流密度
电荷在某一体积内流动所形成的电流。
J lim
电流
i di S 0 S ds
A m2
I J dS
S
2. 面电流密度 电荷在一个几何曲面上流动所形成的电流。 i di J s lim Am l 0 l dl 电流
I J1 0 2R I J2 0 2R
R1 R R2 R2 R R3
I0 2
E1 E2
2 1R 2 2 R I0
I0
R1 R R2 R2 R R3
I0 2 1 2U 0 R R 2 ln 2 1 ln 3 R1 R2
J E
常数
得
2 0
分界面衔接条件
拉普拉斯方程
1 2 1 1 2 2
n n
很多恒定电场问题的解决，都可以归结为一定条件下，求出拉普拉斯方程的解 答（边值问题）。无旋无源的场又称之为调和场。 恒定电场中是否存在泊松方程？ 要考虑局外电场存在的情况。
+τ
U 0 EdR
R1
R3
2 ln
R2 R 1 ln 3 R1 R2
1 2
E1
2U 0
R3 R2 ln ln 1 2 R R R 1 2
R1 R R2
, E2
1U 0
R3 R2 ln ln 1 2 R R R 1 2
U
d
0
E dl Ed
E U d J E U d
I J dS JS
s

d
x
E dl
I
US
d
图3-9 平板电容器电介质中 的电场
3.6 导电媒质中恒定电场与静电场的比拟
3.6.2 静电与恒定电场的对应关系
表1 静电场 两种场所满足的基本方程和重要关系式 导电媒质中恒定电场（电源外）
恒定电场的知识结构框图
基本物理量
J
欧姆定律
J 的散度
基本方程
E 的旋度
边界条件
边值问题
电位
一般解法
电导与接地电阻
特殊解（静电比拟）
3.1 导电媒质中的恒定电场、局外电场 3.1.1恒定电场