中心极限定理教学设计
中心极限定理的教学
中心极限定理的教学知识与数理统计的相关，是教学中的一个难点.利用中心极限定理，数理统计中许多纷乱复杂的随机变量序列和的分布都可以用正态分布进行近似，而正态分布有着许多完美的结论，从而可以获得实用且简单的统计分析方法和结论.然而，由于中心极限定理的教学课时少而定理本身又较抽象，学生很难在短时间内理解该定理并能够加以应用.为此，不少教师对该内容进行了探讨.本文结合学生的和知识结构，产生的疑惑，以及教学的需要，提高学生的应用能力，对该定理的教学方法进行探讨.一、学生学习中心极限定理的困难中心极限定理这一节的教学目标是要求学生理解中心极限定理，并熟练运用该定理进行事件概率的近似计算，然而在讲解这一内容只有2个课时，学生又不熟悉相应的概率，导致无论是数学专业还是非数学专业的学生对该知识点都存在疑惑，主要表现在：不知道中心极限定理是什么意思，具体形式是什么，怎么用.针对这三方面的问题，教师首先应该要理解深刻，概括恰当，简明扼要.1.中心极限定理的背景2.中心极限定理的具体形式棣莫佛-拉普拉斯中心极限定理是Lindeberg-Levy中心极限定理的特例，两个中心极限定理归根到底是说独立同分布的随机变量和的极限分布为正态分布，可变形为标准正态分布.3.中心极限定理的应用学生对中心极限定理内容不理解，也导致无法将理论用于实践，偶尔的依葫芦画瓢并没有掌握其实质.中心极限定理常用作概率近似计算，需要根据问题的实际含义定义多个随机变量并给出分布，然后变为独立随机变量和，再利用中心极限定理和正态分布的查表求概率.只有在教学中选择恰当的例题，深入分析，合理总结，才能取到良好的效果.二、中心极限定理的教学设计首先利用简单的引例，让学生自主探索，总结规律.例1：有一个总体某，它是取值于[2，8]的随机数，在等可能被取出的假设下，总体某的分布为均匀分布U（2，8）.学生自主观察直方图的特点，得出的规律是“中间高，两边低，左右基本对称”.比照正态分布的密度曲线：上述直方图轮廓曲线，用如下概率函数表示关于u对称的钟形曲线最合适.将这一规律概括起来就是中心极限定理：其具体形式体现出三个定理.（1）中心极限定理是用极限理论反映的一个重要定理，其优势体现在非正态分布或不知道分布类型时，为数理统计的学习奠定基础.（2）主要应用两方面：第一，求随机变量之和落在某区间的概率；第二，已知随机变量之和的概率，求.（3）解题中分析随机总体可分解为许多独立随机变量的和的形式甚为关键.例2：某保险公司有2500个人参加保险，每人每年付1200元保险费，在一年内一个人死亡的概率为0.002，死亡时其家属可向保险公司领得20万元，问保险公司亏本的概率.学生处理实际问题的难点就在于不知如何进行问题的转化.提示两点：第一，将问题用随机变量表示，每个人参保是随机的独立的，如何刻画？第二，保险公司所得的总收益如何表示，学生经整理后发现，所求总收益正好可以看成2500个独立同分布随机变量之和，n=2500足够大，故想到用中心极限定理将其近似为正态分布.求出变量和的期望和方差，利用正态分布查表求概率.为了加强对中心极限定理的理解和巩固，对学生提出如下思考：2.列举贴近生活实例，让学生巩固练习，加以总结.3.学有余力拓展中心极限定理的应用领域.通过本节的学习，让学生自主发现规律，善于总结，容易接受，形成解决实际问题的统计思维，熟悉中心极限定理和正态分布相关理论很有必要.。
基于茶文化视角的中心极限定理的教学设计
2020年第08期基金项目：黔南民族师范学院项目“2014ZCSX15”，省科技厅联合基金项目“黔科合LH 字［2015］7720”作者简介：熊梅（1979-），女，贵州安龙人，高级实验师，研究方向：实验管理及实验教学。
收稿日期：2020年7月5日。
中心极限定理是概率论与数理统计中十分重要的定理，是概率论与数理统计课程教学中的一个重难点。
中心极限定理的重要性在于，不管一个随机变量是离散型还是连续型，也无论这个随机变量服从什么分布，当这种相互独立的随机变量的个数增加时，其和的分布都趋于正态分布。
因此，只要和式中加项的个数充分大，就可以不必考虑和式中的随机变量服从什么分布，都可以用正态分布来近似。
然而，在实际教学过程中，由于中心极限定理本身的抽象性和结果的多样性使得学生易产生畏难情绪，导致学生很难准确深入理解中心极限定理的实质。
1茶文化对创新思维培养的价值对世界文化影响比较深远的中国传统文化中，茶文化是其中之一。
茶文化包含了丰富的哲学思想，其中就有道家的“天人合一”及儒家“中庸”之道等优秀思想。
所以，茶文化中能体现出遵循事物的发展规律，实现人与自然的和谐。
这种和谐不是妥协适应，而是各个事物间能相互吸纳融合，使得各个事物间能以恰到好处的状态存在，并且达到一种平衡。
茶文化中的这些哲学思想在对社会大众心智的启迪起着非常重要的作用。
将茶文化的思想内涵渗透给学生，有利于他们在学习上能戒骄戒躁，踏实稳重，认真务实，树立正确的人生三观。
同时，将茶文化的哲学思想融入到教学的各个环节中，可以促进创新培养新方式方法的诞生，对于提高学生的创新水平有着重要的意义。
[1]本文在茶文化视角下，将教学设计与实验项目相结合，运用数学软件（如Matlab ，Mathematic ，Maple 等）实现中心极限定理的仿真模拟，培养学生的学习兴趣，加深对定理的理解。
2中心极限定理的表述在一般的教材中，中心极限定理是一组定理：林德伯格（Lindeberg ）-莱维（Levy ）中心极限定理（独立同分布中心极限定理）、De Moivre-Laplace 中心极限定理（二项分布的正态近似）和Liapunov 中心极限定理（独立但不同分布中心极限定理）[2]。
概率论与数理统计教案-大数定律及中心极限定理
2、切比雪夫大数定律
设随机变量序列
X1,
X 2,,
X n , 相互独立（或两两不相关），若存在常数
c
，使得
D
Xi
=
2 i
c
，
i 1, 2, , n, .则对任意 0 ，有
lim
n
P
1 n
n i 1
Xi
1 n
n i 1
E Xi
1.
也可以表示为 X
1 n
n i 1
Xi
P 1 n
设随机变量序列 X1, X 2,, X n , 独立同分布，且 X i B(1, p) ， i 1, 2, 。则对任意 0 ，有
lim
n
P
1 n
n i 1
Xi
p
1.
三、主要例题：
例 1 设X ~ N (, 2 )，（1）求 P( X 3 ) ；（2）用切比雪夫不等式估计概率 P( X 3 ) 。
理解切比雪夫不等式的意义
P X EX
掌握用切比雪夫不等式求解概率
的上界
理解依概率收敛的定义 掌握切比雪夫大数定律 掌握伯努利大数定律 掌握辛钦大数定律 理解大数定律在实际中的应用
新知识课
黑板多媒体结合
用切比雪夫不等式求解概率上 界；理解依概率收敛的定义 课后习题
教 学 基本内容
一、基本概念： 1、切比雪夫不等式
授课序号 02
教学基本指标
教学课题 第五章 第二节 中心极限定理 教学方法 讲授、课堂提问、讨论、启发、自学 教学重点 中心极限定理求解
课的类型 教学手段 教学难点
新知识课
黑板多媒体结合
中心极限定理求解
参考教材 高教版、浙大版《概率论与梳理统计》
高中数学备课教案概率与统计的抽样分布与中心极限定理
高中数学备课教案概率与统计的抽样分布与中心极限定理高中数学备课教案：抽样分布与中心极限定理导语：数学是一门理科，也是一门实践性很强的学科。
在高中数学中，概率与统计是一个重要的模块，对于学生的数学素养和综合运用能力有着关键的作用。
而作为教师，我们需要制定备课教案，合理安排教学内容，以便提高学生的学习效果。
本文将针对高中数学备课教案中的一个重要内容进行论述，即抽样分布与中心极限定理。
一、抽样分布的概念及意义1.1 抽样分布的定义在统计学中，抽样分布是指从总体中抽取若干个样本，计算各样本的统计量，并将这些统计量按照一定方式排列形成的新的频率分布。
1.2 抽样分布的意义通过抽样分布，我们可以了解样本统计量的分布规律，从而对总体进行推断。
抽样分布有助于我们进行假设检验、置信区间估计等统计推断的工作。
二、中心极限定理的概念及应用2.1 中心极限定理的定义中心极限定理是统计学中一个重要的定理，它指出当样本容量足够大时，无论总体分布形态如何，样本均值的分布都近似服从正态分布。
2.2 中心极限定理的应用中心极限定理为我们在实际问题中进行统计推断提供了便利。
通过中心极限定理，我们可以进行抽样分布的推断，如利用样本均值进行总体均值的估计、计算置信区间等。
三、备课教案设计3.1 教学目标通过本次教学，学生将了解抽样分布的概念及意义，掌握中心极限定理的定义与应用，提高统计推断的能力。
3.2 教学重点和难点教学重点：掌握抽样分布的概念、理解中心极限定理的由来及应用。
教学难点：理解中心极限定理的证明过程、运用定理进行实际问题的推断。
3.3 教学内容与教学方法教学内容：- 抽样分布的概念及意义- 中心极限定理的定义与应用教学方法：- 概念解释法：通过讲解与举例，引导学生了解抽样分布和中心极限定理的概念。
- 探究引导法：设计适当的实验或案例，让学生自主发现中心极限定理的应用。
3.4 教学步骤步骤一：引入概念，解释抽样分布的定义与意义。
中心极限定理的教学设计
中心极限定理的教学设计作者：施露芳来源：《世界家苑》2019年第06期摘要：中心极限定理在概率论与数理统计中占有重要的地位，应用非常广泛，但其理论性较强，不易掌握，本文阐述了两个常用的中心极限定理，并给出了其在实际问题中的应用.关键词：中心极限定理;正态分布;随机变量1 引言随着科技的进步与发展，概率论与数理统计方法已广泛应用到自然科学、社会科学、工农业生产等各个领域。
可以说，凡是有数据出现的地方，都不同程度地应用到了概率统计的模型与方法。
作为概率论与数理统计中的一个非常重要的定理，中心极限定理在其体系中起着承上启下的作用，数理统计中的大多统计方法基本以中心极限定理为理论基础.利用中心极限定理，自然界中许多纷乱复杂的随机变量序列和的分布可以利用正态分布近似。
中心极限定理也是教学中的一个难点，而且由于三本院校学生本身的理论基础差，学习不够积极，所以在这个教学过程中遇到了很多问题，老师往往认为讲的很认真很详细了，但是学生反馈回来的却是难学，难懂，难用。
本文结合我校学生的實际情况，对该定理的的教学方法进行研究。
5 结论语在中心极限定理的教学中，首先提出了定理的地位和作用，然后介绍了中心极限定理的客观背景，接着给出了两个常用的中心极限定理及其适用范围，最后举实例加以说明，巩固.参考文献：[1] 茆诗松，程依明，濮晓龙.概率论与数理统计教程第二版[M].高等教育出版社，2011.[2] 盛聚，谢式千.概率论与数理统计及其应用[J].高等教育出版社，2004.[3] 陈学慧，赵鲁涛，张志刚.案例式中心极限定理教学研究[J].大学数学，2015.作者简介：施露芳（1980-），女，湖北省武汉市人，硕士，讲师，研究方向：概率论与数理统计。
（作者单位：武汉科技大学城市学院）。
大数定律与中心极限定理教案
大数定律与中心极限定理教案教案：大数定律与中心极限定理教学目标：1.了解大数定律和中心极限定理的概念及其作用；2.掌握大数定律和中心极限定理的基本原理；3.能够应用大数定律和中心极限定理进行实际问题的解决。
教学内容：1.大数定律的概念及原理2.中心极限定理的概念及原理3.大数定律和中心极限定理的应用教学步骤：Step 1：导入通过举例介绍一个实际问题，引出对大数定律和中心极限定理的需求。
Step 2：大数定律的概念及原理1.解释大数定律的概念：在一定条件下，大量独立同分布的随机变量的平均值的极限是它们的数学期望。
2.介绍大数定律的两种形式：强大数定律和弱大数定律。
3.解释大数定律的原理：大量的观察次数可以使得随机过程的平均值趋近于理论值。
Step 3：中心极限定理的概念及原理1.解释中心极限定理的概念：大量独立同分布的随机变量的和的极限分布是正态分布。
2.介绍中心极限定理的两种形式：林德伯格-列维中心极限定理和棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理。
3.解释中心极限定理的原理：当随机变量相加的个数很大时，这些随机变量的分布可以近似看成是正态分布。
Step 4：大数定律和中心极限定理的应用1.介绍大数定律和中心极限定理在实际问题中的应用，如社会调查、质量控制、金融分析等。
2.通过实例演示如何应用大数定律和中心极限定理解决实际问题。
Step 5：总结对大数定律和中心极限定理进行总结，强调其在统计学和实际问题中的重要性和应用价值。
教学资源：1. PowerPoint演示文稿2.实例案例3.板书教学评估：1.教学过程中进行小组讨论，让学生思考如何应用大数定律和中心极限定理解决实际问题。
2.布置作业，要求学生分析一个实际问题，运用大数定律和中心极限定理进行解答。
教学延伸：进一步学习统计学中其他重要定理及其应用，如假设检验、置信区间等。
教学反思：本节课通过实例引出了大数定律和中心极限定理的需求，然后介绍了它们的概念、原理以及应用，并通过实例演示了如何应用。
第五章 大数定律及中心极限定理电子教案
(7
15
a
1,7
6
b0) .5上..1..8.有.1定42 00 42 义81 ,
0.5016
皮尔逊
li2m 40f0n0(x) f1(2x0)12
对罗于曼随诺机夫斯变基量列,n是 80否64有0
39699
逐点不00收..54太09敛02现53 实, 要求太 严!
Xn lim 0.X 5n( (n) p )( )
上的n函数列
0.5069
f
n
(
正x X设) n收面函德nn敛皮朝A 数: ·尔于上11 逊f 摩f( 12 (x 根x是)1)3,反f 指n 24 面( :x 53 朝) 1632( 2上0n 07340 x80831 ,2 94(a,1,40 b) 1)5116在有001 62 61区11963 间1 74
第五章 大数定律与中心极限定理
§1 大数定律
2/8
“概率”的概念是如何产生的
设 n 次独立重复试验中事件 发A 生的
次数为 n A , 则当 n时,有
随机变量
Xn
nA n
p
n重伯努利试验
频怎率样理解“概越率来P (越A )接近”？
怎样定义极限 lim Xn p n
“频率稳定性”的严格数学描述是什么
在概率论的公理化体系建立以后，大数定律可在理论上
进行严格的证明而成为意义明确的定理，故现在教材上称
为“大数定理”.
为什么叫“大数定律” END 而不叫“大数定理”
第五章 大数定律与中心极限定理
第五章 大数定律与中心极限定理
§1 大数定律
3/8
“抛硬币”试验将一枚硬币连续抛 n次 ,记
A{正面朝上 }
概率统计中的大数定律与中心极限定理-教案
概率统计中的大数定律与中心极限定理-教案一、引言1.1概率统计的基本概念1.1.1随机事件与概率1.1.2随机变量与分布函数1.1.3数学期望与方差1.1.4大数定律与中心极限定理的关系1.2大数定律与中心极限定理的应用领域1.2.1自然科学领域1.2.2社会科学领域1.2.3工程技术领域1.2.4经济学领域1.3教学目标与教学方法1.3.1理解大数定律与中心极限定理的基本原理1.3.2学会运用大数定律与中心极限定理解决实际问题1.3.3培养学生的数据分析能力与逻辑思维能力1.3.4采用案例教学、讨论式教学等方法提高教学效果二、知识点讲解2.1大数定律2.1.1大数定律的定义2.1.2大数定律的证明2.1.3大数定律的应用2.1.4大数定律与频率稳定性2.2中心极限定理2.2.1中心极限定理的定义2.2.2中心极限定理的证明2.2.3中心极限定理的应用2.2.4中心极限定理与正态分布2.3大数定律与中心极限定理的关系2.3.1大数定律是中心极限定理的基础2.3.2中心极限定理是大数定律的推广2.3.3大数定律与中心极限定理在实际应用中的联系2.3.4大数定律与中心极限定理在理论分析中的联系三、教学内容3.1大数定律的教学内容3.1.1大数定律的基本概念与性质3.1.2大数定律的证明方法3.1.3大数定律在实际问题中的应用3.1.4大数定律与频率稳定性在教学中的实例分析3.2中心极限定理的教学内容3.2.1中心极限定理的基本概念与性质3.2.2中心极限定理的证明方法3.2.3中心极限定理在实际问题中的应用3.2.4中心极限定理与正态分布在教学中的实例分析3.3大数定律与中心极限定理的关系教学内容3.3.1大数定律与中心极限定理的联系与区别3.3.2大数定律与中心极限定理在实际应用中的相互依赖3.3.3大数定律与中心极限定理在理论分析中的相互补充3.3.4大数定律与中心极限定理在教学中的综合运用实例分析四、教学目标4.1知识与技能目标4.1.1掌握大数定律和中心极限定理的基本概念4.1.2理解大数定律和中心极限定理的数学表达和证明方法4.1.3能够应用大数定律和中心极限定理解决实际问题4.1.4培养学生的数据分析能力和逻辑推理能力4.2过程与方法目标4.2.1通过实例引入，让学生体会从具体到抽象的学习过程4.2.2采用小组讨论，培养学生合作学习和交流表达能力4.2.3利用数学软件进行模拟实验，增强学生的实践操作能力4.2.4通过问题解决，训练学生的批判性思维和创造性思维4.3情感、态度与价值观目标4.3.1培养学生对概率统计学科的兴趣和热情4.3.2强调数学知识在实际生活中的应用价值4.3.3增强学生的科学精神和求真态度4.3.4培养学生的团队合作精神和责任感五、教学难点与重点5.1教学难点5.1.1大数定律和中心极限定理的数学证明5.1.2大数定律和中心极限定理在实际问题中的应用5.1.3学生对概率统计概念的理解和运用5.1.4学生数据分析能力的培养5.2教学重点5.2.1大数定律和中心极限定理的基本概念和性质5.2.2大数定律和中心极限定理的数学表达和直观理解5.2.3大数定律和中心极限定理在生活中的实际应用5.2.4学生数据分析技能的提升六、教具与学具准备6.1教具准备6.1.1多媒体教学设备（投影仪、电脑等）6.1.2数学软件（如MATLAB、R等）用于模拟实验6.1.3实物模型或教具（如骰子、硬币等）用于演示6.1.4教学课件和讲义6.2学具准备6.2.1笔记本电脑或平板电脑（用于数学软件操作）6.2.2笔和纸（用于笔记和练习）6.2.3预习资料和阅读材料6.2.4小组讨论记录表七、教学过程7.1导入新课7.1.1通过生活实例引入大数定律的概念7.1.2提问学生对概率统计的基本理解7.1.3介绍大数定律和中心极限定理的历史背景7.1.4阐述本节课的学习目标和重要性7.2主体教学7.2.1详细讲解大数定律的定义和数学表达7.2.2通过数学软件演示大数定律的实验验证7.2.3讲解中心极限定理的原理和数学证明7.2.4分析中心极限定理在实际问题中的应用案例7.3练习与讨论7.3.1分组进行数学软件模拟实验7.3.2小组讨论实验结果和理论联系7.3.3解答学生在实验和讨论中的疑问7.4.1回顾本节课的主要内容和重点难点7.4.2强调大数定律和中心极限定理的实际应用7.4.3布置相关的练习题和思考题7.4.4预告下一次课的内容和学习要求八、板书设计8.1大数定律与中心极限定理基本概念8.1.1大数定律的定义8.1.2中心极限定理的定义8.1.3大数定律与中心极限定理的关系8.1.4实际应用案例8.2大数定律与中心极限定理的数学表达8.2.1大数定律的数学表达8.2.2中心极限定理的数学表达8.2.3数学证明的关键步骤8.2.4数学表达在实际问题中的应用8.3大数定律与中心极限定理的教学实例8.3.1大数定律的教学实例8.3.2中心极限定理的教学实例8.3.3教学实例中的关键点分析九、作业设计9.1基础练习题9.1.1大数定律的基本概念题9.1.2中心极限定理的基本概念题9.1.3大数定律与中心极限定理的关系题9.1.4实际应用案例分析题9.2数学软件模拟实验9.2.1大数定律的数学软件模拟实验9.2.2中心极限定理的数学软件模拟实验9.2.4实验中的关键点和难点解析9.3拓展阅读与思考9.3.1相关历史背景和数学家的研究9.3.2大数定律与中心极限定理在其他领域的应用9.3.3对概率统计学科未来发展的思考9.3.4学生自主研究项目提案十、课后反思及拓展延伸10.1教学效果评估10.1.1学生对大数定律与中心极限定理的理解程度10.1.2学生在实际问题中的应用能力10.1.3教学方法和教学内容的适应性10.1.4教学目标达成情况的评估10.2教学改进措施10.2.1针对学生的反馈调整教学内容和方法10.2.2增加更多的实际应用案例和讨论环节10.2.3引入更多的数学软件和工具进行辅助教学10.2.4鼓励学生进行自主研究和项目实践10.3拓展延伸方向10.3.1大数定律与中心极限定理在其他学科的应用10.3.2概率统计领域的前沿研究和最新发展10.3.3学生自主研究和项目实践的方向指导10.3.4与其他数学分支的联系和交叉研究重点关注环节补充和说明：1.教学内容的适应性：根据学生的反馈和理解程度，适时调整教学内容和难度，确保学生能够充分理解大数定律与中心极限定理的基本概念和原理。
大数定律与中心极限定理教案
第五章 大数定律与中心极限定理一．教学目标及基本要求了解切比雪夫不等式、大数定律和中心极限定理。
二．教学内容大数定律中心极限定理 三．本章教学内容的重点和难点大数定律和中心极限定理的含义；四．本章教学内容的深化和拓宽中心极限定理的条件拓宽。
五．教学过程中应注意的问题1）大数定律的变形，大数定律的证明关键是使用了切比契夫不等式； 2）注意中心极限定理的条件和结论，如何使用这一结论解决应用题§ 5.1 大数定律大数定律是描述大量观测结果平均水平稳定性的一系列定理的总称。
如当一种随机现象在相同的条件下大量重复出现时，或大量随机现象的共同作用时，所产生的平均结果实际上是稳定的、几乎非随机的，呈现出明显的规律性。
定义5.1 设12,,,,n X X X 是一个随机变量序列，X 是一个随机变量或常数，若对于任意正数0ε>，有{}lim 1n n P X X ε→∞-<=则称序列12,,,,n X X X 依概率收敛于X ，记为n lim Pn n X XP X X →∞→=或—.定理5.1（切比雪夫（Chebyshev ）大数定律） 设12,,,,n X X X 是相互独立的随机变量序列，各有数学期望12(),(),E X E X , 及方差12(),(),D X D X ，并且对于所有k =1,2,…，都有()k D X l <，其中l 是与k 无关的常数，则对任给0ε>，有1111lim ()1n nk k n k k P X E X n n ε→∞==⎧⎫-<=⎨⎬⎩⎭∑∑. （5.1） 证 因12,,,n X X X 相互独立，所以2211111()n nk k k k l D X D X nl n n n n ==⎛⎫=<⋅= ⎪⎝⎭∑∑.又因1111(),n nk k k k E X E X n n ==⎛⎫= ⎪⎝⎭∑∑ 由切比雪夫不等式，对于任意0ε>，有21111()1n n k k k k l P X E X n n n εε==⎧⎫-<≥-⎨⎬⎩⎭∑∑,但又任何事件的概率都不超过1，即211111()1n nk k k k lP X E X n n n εε==⎧⎫-≤-<≤⎨⎬⎩⎭∑∑,因此1111lim ()1n nk k n k k P X E X n n ε→∞==⎧⎫-<=⎨⎬⎩⎭∑∑. 切比雪夫大数定律说明：在定理的条件下，当n 充分大时，n 个独立随机变量的算术平均的离散程度很小。
大数定律及中心极限定理通用教学课件
VS
不同点
大数定律主要研究随机变量的算术平均值 在样本容量趋于无穷大时的性质，而中心 极限定理则研究随机变量的算术平均值在 样本容量趋于无穷大时的散布情况。
大数定律与中心极限定理的联系与区分
联系
大数定律和中心极限定理都是研究随机变量的性质和散布，它们都是概率论中的重要理论。
区分
大数定律主要研究随机变量的算术平均值在样本容量趋于无穷大时的性质，而中心极限定理则研究随机变量的算 术平均值在样本容量趋于无穷大时的散布情况。
总结词
金融风险管理中中心极限定理的应用
详细描述
中心极限定理在金融风险管理中有着广泛的 应用。通过将多个独立同散布的随机变量相 加，中心极限定理可以近似描述这些随机变 量的散布特征。在金融风险管理领域，可以 利用中心极限定理对投资组合进行优化，降
低投资组合的风险。
案例三
总结词
大数据分析中的大数定律与中心极限定理应用
社会科学等。
对未来学习的展望和建议
深入学习概率论和统计学
大数定律和中心极限定理是概率论和统计学中的基础知识，但它们的 应用范围非常广泛，需要进一步深入学习。
学习其他相关课程
除了概率论和统计学，还可以学习其他相关课程，如回归分析、时间 序列分析、多元统计分析等，以更全面地掌握数据分析的方法。
关注实际应用
详细描述
在大数据分析中，大数定律和中心极限定理可以共同发挥作用。通过收集大量数据，利 用大数定律计算出数据的统计特征，然后利用中心极限定理对数据进行近似描述。这种
方法可以应用于数据发掘、机器学习等领域，帮助我们更好地理解和分析大数据。
06
CATALOGUE
总结与展望
本课程的主要内容总结
大数定理与中心极限定理教案
大数定理与中心极限定理教案引言：大数定理与中心极限定理是概率论与数理统计中的重要概念，它们在实际问题的分析和解决中起到了关键作用。
本教案将重点介绍大数定理与中心极限定理的定义、原理和应用，通过案例分析和实际场景的模拟演示，帮助学生深入理解和掌握这两个定理的核心概念和基本方法。
一、大数定理大数定理是概率论中的一组重要定理，描述了大量独立随机变量的平均值逐渐接近其数学期望的现象。
其核心思想是当样本容量较大时，样本均值的极限接近总体均值。
1. 列维大数定理（弱大数定理）列维大数定理是大数定理中最早被证明的一种形式，其表述如下：对于独立随机变量序列X1, X2,..., Xn，其数学期望μ和方差σ^2有限，那么对于任意正数ε，有：lim(n→∞) P(|(X1+X2+...+Xn)/n - μ| ≥ ε) = 02. 切比雪夫大数定理（强大数定律）切比雪夫大数定理是对列维大数定理的推广，其表述如下：对于独立随机变量序列X1, X2,..., Xn，其方差有限，那么对于任意正数ε，有：lim(n→∞) P(|(X1+X2+...+Xn)/n - μ| ≥ ε) = 0案例分析：掷硬币实验为了帮助学生理解大数定理的应用，教师可以进行掷硬币实验，并记录正面朝上的次数。
当实验次数逐渐增加时，学生可以观察到正面朝上的频率逐渐接近1/2，这符合大数定理的结论。
二、中心极限定理中心极限定理是概率论中另一组重要定理，描述了独立随机变量的和在适当条件下近似服从正态分布的现象。
其核心思想是当样本容量较大时，样本的平均值的分布趋近于正态分布。
1. 林德伯格-列维中心极限定理林德伯格-列维中心极限定理是中心极限定理中最为常用的形式，其表述如下：对于独立同分布的随机变量X1, X2,..., Xn，其数学期望μ和方差σ^2有限，那么随机变量（X1+X2+...+Xn - nμ）/√(nσ^2)的分布在n趋向于无穷大时，逐渐趋近于标准正态分布。
概率论与数理统计第五章_大数定律和中心极限定理精品教案
概率论与数理统计第五章_大数定律和中心极限定理精品教案第五章大数定律和中心极限定理本章介绍概率论中最基本也是最重要的两类定理：大数定律和中心极限定理，它们都是使用极限方法研究大量随机现象统计规律性的。
概括讲来，阐明大量重复试验的平均结果具有稳定性的定律称为大数定律；论证随机变量（试验结果）之和渐进服从某一分布的定理称为中心极限定理．5.1 大数定律在第一章我们曾指出，当试验次数很大时，随机事件发生的频率将与其概率非常接近。
本节将从理论上讨论这个问题。
为此，先介绍一个重要的不等式—切比雪夫(Chebyshev)不等式：若随机变量X 的数学期望E (X )和方差D (X )都存在，则对于任意0ε>，都有{}2()()D X P X E X εε-≤≥， (5.1)证明仅证X 是连续型随机变量的情况．设()f x 是X 的概率密度，则{}22|()||()|222[()]|()|()d ()d 1()[()]()d x E X x E X x E X P X E X f x x f x x D X x E X f x x εεεεεε--+∞-∞--=-=?．≥≥≥≤≤ 若取3()D X ε=，由切比雪夫不等式可知{}()()3()0.119()D X P X E X D X D X -≈≥≤. 也就是说，X 落在区间(()3()()3()E X D X E X D X --以外的可能性很小，而落在此区间中的概率很大。
当D (X )较小时，X 的取值便集中在E (X )附近。
D (X )越小，X 的取值越集中在E (X )附近，这正是方差的意义所在。
显然，切比雪夫不等式可以表示成如下的等价形式：{}2()|()|1D X P X E X εε-<≥-． (5.2)当D (X )已知时，(5.2)式给出了X 与E (X )的偏差小于ε的概率的估计值．例1 设某供电网有10000盏电灯，夜晚每盏灯开灯的概率均为0.7，假定灯的开、关是相互独立的，使用切比雪夫不等式估计夜晚同时开灯的盏数在6800至7200之间的概率．解令X 表示在夜晚同时开灯的盏数，则X 服从n =10000，p =0.7的二项分布，这时()7000E X np ==，()2100D X npq ==，由切比雪夫不等式可得22100{68007200}{|7000|200}10.95200P X P X <<=-<-≈．≥ 可见，虽然有10000盏灯，但是只要供应7200盏灯的电力就能够以相当大的概率保证够用.事实上，这个概率的近似值表明，在10000盏灯中，开着的灯数在6800到7200的概率大于0.95，而由二项概率公式算出此概率的精确值为0.99999．由此可知，切比雪夫不等式虽可用来估计概率，但精度不够高．1866年，俄国数学家切比雪夫证明了一个相当普遍的结论??大量观察结果的平均值具有稳定性，这就是切比雪夫大数定律．定理1 切比雪夫大数定律设随机变量12,,,,n X X X L L 相互独立,每一随机变量都有数学期望12(),(),,(),n E X E X E X L L 和有限的方差1()D X ，2()D X ，L ，()n D X ，L ，并且它们有公共上界c ，即(),1,2,k D X c k ≤=L ，则对任意ε >0，皆有1111lim ()1n nk k n k k P X E X n n ε→∞==??-<=∑∑． (5.3)证因12,,,,n X X X L L 相互独立，所以2211111()n nk k k k c D X D X nc n n n n ==??== ∑∑≤．又因 1111()()n n k k k k E X E X n n ===∑∑，由切比雪夫不等式可得2211111111()11n n n k k k k k k c P X E X D X n n n nεεε===≥-<--?? ?????∑∑∑≥≥，所以1111lim ()1n nk k n k k P X E X n n ε→∞==??-<=∑∑. 切比雪夫大数定律表明，相互独立的随机变量的算术平均值1 1n n i i X X n ==∑与其数学期望的差，在n 充分大时以概率1是一个无穷小量．这意味着在n 充分大时，n X 的值将比较紧密地聚集在它的数学期望()n E X 附近．由切比雪夫大数定律可以得到如下推论：推论1 设随机变量12,,,,n X X X L L 独立同分布，并且有数学期望μ及方差2σ，则对任意正数ε，都有11lim 1n i n k P X n με→∞=??-<=∑．(5.4) 推论1是我们利用重复观测值的算术平均来近似真实值的理论依据．例如，要测量某一物理量a ，进行n 次重复测量，得到n 个测量值12,,,n X X X L ，显然可以视它们为n 个独立同分布的随机变量，并且有数学期望a ．由大数定律可知，当n 充分大时，n 次测量的平均值可作为a 的近似值，即121(....)n a X X X n ≈+++ (5.5) 且当n 充分大时，近似计算的误差很小．定理2 贝努里大数定律设n μ是n 重贝努里试验中事件A 出现的次数，p 是事件A 在每次试验中出现的概率，则对任意0ε>，都有lim 1n n P p n με→∞??-<=． (5.6) 证设i X 是第i 次试验中事件A 发生的次数，则i X 服从参数为p 的0-1分布，(),()i i E X p D X pq ==，其中1,1,2,3,,q p i n =-=L ．又12,,,n X X X L 相互独立，且1nn i i X μ==∑，从而有1111(),n n n i i i i E E X E X p n n n μ=====? ?????∑∑ 211 11()n n n i i i i pq D D X D X n n n n μ===== ? ?∑∑．由切比雪夫不等式得221n n pq P p D n n n μμεεε-=?? ?????≥≤，因此lim 0n n P p n με→∞??-=≥，亦即lim 1n n P p n με→∞??-<=．历史上，贝努里大数定律是概率论中极限定理方面的第一个重要结论。
概率论与数理统计教案 第5章 大数定律与中心极限定理
第5章大数定律与中心极限定理
教学要求
1．理解切比雪夫不等式及其含义. 会用切比雪夫不等式估计概率和证明大数定律.
2．了解依概率收敛的概念.
3．理解大数定律的意义，掌握切比雪夫大数定理、辛钦大数定理、伯努利大数定理成立的条件和结论.
4．理解中心极限定理的实质，掌握独立同分布和棣莫佛-拉普拉斯中心极限定理的条件和结论，并会利用这两个定理近似计算有关事件的概率，了解李雅普诺夫中心极限定理成立的条件和结论.
教学重点
切比雪夫不等式与切比雪夫大数定理，独立同分布和棣莫佛-拉普拉斯中心极限定理.教学难点
用切比雪夫不等式与，独立同分布和棣莫佛-拉普拉斯中心极限定理估计概率.
课时安排
本章安排2课时.
教学内容和要点
一、大数定律
1.切比雪夫不等式
2.大数定理
二、中心极限定理
1.独立同分布中心极限定理
2.棣莫佛-拉普拉斯中心极限定理
3.李雅普诺夫中心极限定理
主要概念
依概率收敛。
概率论与数理统计电子教案：c5_2 中心极限定理
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10 第 i 个产品没有重复检查；
Xi 20
第 i 个产品需要重复检查一次；
同时 P(Xi =10) = P(Xi =20) =0.5 ( i = 1,2,3,…,1900) 即Xi 相互独立都服从同一分布。
EX i 10 0.5 20 0.5 15
DXi
lim P n
Yn nm
np(1 p)
x
Φ( x)
证明：对于任意正整数n，随机变量Yn 可表示为 Yn = X1＋ X2＋…＋ Xn
X1, X2,…, Xn 相互独立，Xi ~ B( 1, p )，且有
E( Xi ) = p , D( Xi ) = p(1-p) 所以相互独立的随机变量序列{ Xi }, i =1,2,…满足 中心极限定理。即有
中心极限定理
§5.2 中心极限定理
一. 基本定义
1. 定义: 依分布收敛 设随机变量X，X1，X2，…的分布函数分别为
F( x ),F1( x ), F2( x ), …,若
lim Fn ( x) F ( x)
n
在F( x )的每一个连续点上都成立，则称随机变量序列 {Xk}, k = 1,2,…依分布收敛于X 。并记为
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航船的稳定性
P(29500 X 30500)
Φ
30500
np
Φ
29500
np
np(1 p) np(1 p)
5 Φ
2 2
Φ
5
2 2
5 2Φ
2 2
1
0.995
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因为 X np np(1 p)
近似服从 N (0,1)
中心极限定理教学设计
概率论与数理统计教学设计
0.9437
．加入该学生回答各题目是相互独
并且要正确回答其中60才算通过考试．试计算该学生通过考试的可能性多大？⎨⎧=1X i ,99
而我们要求的是
.
盈利问题[5]：假设一家保险公司有10000个人参加保险，每人每年付12元保险费，在一年内一个人死亡的概率为0．006，死亡时，家属可向保险公司领得1000元，问
（1）保险公司亏本的概率有多少？
（2）保险公司一年的利润不少于40000元，60000
元，80000元的概率各为多少？
解： 设X 为一年内死亡的人数，则
)06.1,10000(~B X ，即
由德莫佛－拉普拉斯中心极限定理 (1)
≈.0)77.7(1≈Φ-7809
（2）设123,,A A A 分别表示一年的利润不少于40000元，60000元，80000元的事件，则
1(){80}
p A p X =≤⎭⎬⎫⎩⎨⎧⨯⨯⨯-≤⨯⨯⨯-=994.006.01000006.010********
.006.01000006.010000X P 9952.0)59.2(=Φ≈。
中心极限定理的课堂思政设计
中心极限定理的课堂思政设计摘要：本文以中心极限定理的教学内容为基础，以课程思政为导向，挖掘中心极限定理教学内容中蕴含的思政元素。
通过追溯中心极限定理的发展和演变，剖析定理的内涵和意义，应用定理解决实际问题三个方面阐述中心极限定理开展思政教学的有效运行，结合具体教学案例为课程思政的有效运行提供切实可行的方法。
关键词：中心极限定理、发展和演变、思政元素一、引言概率论极限理论是概率论的重要内容，是数理统计的理论基础。
中心极限定理是概率论中一个非常重要的定理，之所以称之为中心极限定理，由于中心极限定理是正态分布的源泉，是统计学的动力源泉，在统计学中具有重要的地位和作用。
中心极限定理内容抽象、形式复杂，是本课程教学的重点也是难点。
它是衔接概率论与数理统计的相关知识的桥梁，数理统计中许多的统计方法基本上是以中心极限定理为基本理论。
利用中心极限定理，数理统计中许多纷乱复杂的随机变量序列和的分布都可以用正态分布来近似。
因此中心极限定理是概率论与数理统计的理论基石。
本文以中心极限定理的教学内容为基础，深挖定理中蕴含的“思政元素”及所承载的思想政治教育功能，将思政元素有机的融入课堂教学，把“知识传授”与“价值引领”有机统一起来，以期达到“润物细无声”的育人效果。
二、通过追溯中心极限定理的发展历程，体会定理的发展和演变1733年，卡明向法国数学家棣莫弗提出了一个问题，引起了棣莫弗的兴趣，棣莫弗在解答和推广这个问题的过程中，证明了二项分布近似正态分布，当时没有正态分布的概念，棣莫弗并不知道自己已经证明了“中心极限定理”。
1785年，法国数学家拉普拉斯推广棣莫弗的成果，直到1810年，拉普拉斯才证明了服从均匀分布的随机变量乃至服从任意分布的随机变量都近似服从正态分布。
1824年，泊松完善和推广了拉普拉斯关于中心极限定理的证明。
证明了服从相同分布的随机变量情况还推广到服从不同分布的随机变量的情况。
1838年，德国数学家贝塞尔在拉普拉斯结论的基础上进一步做了推广。
概率论与数理统计第五章_大数定律和中心极限定理精品教案
第五章 大数定律和中心极限定理本章介绍概率论中最基本也是最重要的两类定理：大数定律和中心极限定理，它们都是使用极限方法研究大量随机现象统计规律性的。
概括讲来，阐明大量重复试验的平均结果具有稳定性的定律称为大数定律；论证随机变量（试验结果）之和渐进服从某一分布的定理称为中心极限定理．5.1 大数定律在第一章我们曾指出，当试验次数很大时，随机事件发生的频率将与其概率非常接近。
本节将从理论上讨论这个问题。
为此，先介绍一个重要的不等式—切比雪夫(Chebyshev)不等式：若随机变量X 的数学期望E (X )和方差D (X )都存在，则对于任意0ε>，都有{}2()()D X P X E X εε-≤≥， (5.1)证明 仅证X 是连续型随机变量的情况．设()f x 是X 的概率密度，则{}22|()||()|222[()]|()|()d ()d 1()[()]()d x E X x E X x E X P X E X f x x f x x D X x E X f x x εεεεεε--+∞-∞--=-=⎰⎰⎰．≥≥≥≤≤ 若取3()D X ε=，由切比雪夫不等式可知{}()()3()0.119()D X P X E X D X D X -≈≥≤. 也就是说，X 落在区间(()3()()3()E X D X E X D X --以外的可能性很小，而落在此区间中的概率很大。
当D (X )较小时，X 的取值便集中在E (X )附近。
D (X )越小，X 的取值越集中在E (X )附近，这正是方差的意义所在。
显然，切比雪夫不等式可以表示成如下的等价形式：{}2()|()|1D X P X E X εε-<≥-． (5.2)当D (X )已知时，(5.2)式给出了X 与E (X )的偏差小于ε的概率的估计值．例1 设某供电网有10000盏电灯，夜晚每盏灯开灯的概率均为0.7，假定灯的开、关是相互独立的，使用切比雪夫不等式估计夜晚同时开灯的盏数在6800至7200之间的概率．解 令X 表示在夜晚同时开灯的盏数，则X 服从n =10000，p =0.7的二项分布，这时()7000E X np ==，()2100D X npq ==，由切比雪夫不等式可得22100{68007200}{|7000|200}10.95200P X P X <<=-<-≈．≥ 可见，虽然有10000盏灯，但是只要供应7200盏灯的电力就能够以相当大的概率保证够用.事实上，这个概率的近似值表明，在10000盏灯中，开着的灯数在6800到7200的概率大于0.95，而由二项概率公式算出此概率的精确值为0.99999．由此可知，切比雪夫不等式虽可用来估计概率，但精度不够高．1866年，俄国数学家切比雪夫证明了一个相当普遍的结论−−大量观察结果的平均值具有稳定性，这就是切比雪夫大数定律．定理1 切比雪夫大数定律 设随机变量12,,,,n X X X L L 相互独立,每一随机变量都有数学期望12(),(),,(),n E X E X E X L L 和有限的方差1()D X ，2()D X ，L ，()n D X ，L ，并且它们有公共上界c ，即(),1,2,k D X c k ≤=L ，则对任意ε >0，皆有1111lim ()1n nk k n k k P X E X n n ε→∞==⎧⎫-<=⎨⎬⎩⎭∑∑． (5.3)证 因12,,,,n X X X L L 相互独立，所以2211111()n nk k k k c D X D X nc n n n n ==⎛⎫== ⎪⎝⎭∑∑≤． 又因 1111()()n n k k k k E X E X n n ===∑∑，由切比雪夫不等式可得 2211111111()11n n n k k k k k k c P X E X D X n n n n εεε===⎧⎫⎛⎫≥-<--⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭∑∑∑≥≥， 所以1111lim ()1n nk k n k k P X E X n n ε→∞==⎧⎫-<=⎨⎬⎩⎭∑∑. 切比雪夫大数定律表明，相互独立的随机变量的算术平均值11n n i i X X n ==∑与其数学期望的差，在n 充分大时以概率1是一个无穷小量．这意味着在n 充分大时，n X 的值将比较紧密地聚集在它的数学期望()n E X 附近．由切比雪夫大数定律可以得到如下推论：推论1 设随机变量12,,,,n X X X L L 独立同分布，并且有数学期望μ及方差2σ，则对任意正数ε，都有11lim 1n i n k P X n με→∞=⎧⎫-<=⎨⎬⎩⎭∑． (5.4) 推论1是我们利用重复观测值的算术平均来近似真实值的理论依据．例如，要测量某一物理量a ，进行n 次重复测量，得到n 个测量值12,,,n X X X L ，显然可以视它们为n 个独立同分布的随机变量，并且有数学期望a ．由大数定律可知，当n 充分大时，n 次测量的平均值可作为a 的近似值，即121(....)n a X X X n ≈+++ (5.5) 且当n 充分大时，近似计算的误差很小．定理2 贝努里大数定律 设n μ是n 重贝努里试验中事件A 出现的次数，p 是事件A 在每次试验中出现的概率，则对任意0ε>，都有lim 1n n P p n με→∞⎧⎫-<=⎨⎬⎩⎭． (5.6) 证 设i X 是第i 次试验中事件A 发生的次数，则i X 服从参数为p 的0-1分布，(),()i i E X p D X pq ==，其中1,1,2,3,,q p i n =-=L ．又12,,,n X X X L 相互独立，且1nn i i X μ==∑，从而有1111(),n n n i i i i E E X E X p n n n μ==⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑ 21111()n n n i i i i pq D D X D X n n n n μ==⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑． 由切比雪夫不等式得221n n pq P p D n n n μμεεε⎧⎫⎛⎫-=⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭≥≤， 因此lim 0n n P p n με→∞⎧⎫-=⎨⎬⎩⎭≥， 亦即lim 1n n P p n με→∞⎧⎫-<=⎨⎬⎩⎭． 历史上，贝努里大数定律是概率论中极限定理方面的第一个重要结论。
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才算通过考试．试计算该学生通过考试的可能性多大？
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盈利问题
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盈利问题[5]：假设一家保险公司有10000个人参加
保险，每人每年付12元保险费，在一年一个人死亡的
概率为0．006，死亡时，家属可向保险公司领得1000
元，问
（1）保险公司亏本的概率有多少？
（2）保险公司一年的利润不少于40000元，60000
元，80000元的概率各为多少？
解：设X为一年死亡的人数，则
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X，即
由德莫佛－拉普拉斯中心极限定理
(1)
≈.0
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1≈
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-7809
（2）设
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,,
A A A分别表示一年的利润不少于
40000元，60000元，80000元的事件，则
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