初中数学竞赛试题汇编

中国教育学会中学数学教学专业委员会

2013年全国初中数学竞赛九年级预赛试题

（本卷满分120分，考试时间120分钟）

一、选择题（本大题共 6个小题，每小题5分，共30分）

在下列各小题中，均给出四个答案，其中有且只有一个正确答案，请将正确答案的字母代 号填入题后的括号里，不填、多填或错填均为零分.

1. 从长度是2cm, 2cm, 4cm, 4cm 的四条线段中任意选三条线段，这三条线段能够组成 等腰三角形的概率是（

）

A. 丄

B.

1

C. 1

D. 1

4

3

2

2.如图，皿是厶ABC 勺边BC 的中点，AN 平分/ BAC 于 N,且 AB=10，BC=15，MN 3，则△ ABC 的周长为（ ）

A. 38 B . 39 C .40 D. 41 3. 已知xy 1, 且有5x 2

2011x 9 0 , 9y 2 2011 y 5 0，则-的值等于（

y

)

A. 5

B . 9

C .

2011

D

2011

9

5

5

9

4 .已知直角三角形的一直角边长是

4,以这个直角.•八、 三角形的三

边为直径作三个半圆（如图所示），已知两个月牙形（带斜疫 ----------- 线的阴影图

（第4题图）

形）的面积之和是10,那么以下四个整数中，最接近图 中两个弓形

（带点的阴影图形）面积之和的是（ ）

A. 6

B. 7 C . 8

D. 9

5

.设a

,b ,c >△ ABC 勺三边长，二次函数y （a b ）x 2

则厶ABC ^（ ）

数据e , d , c ,取出数据的顺序是c , d , e ,现在要从这两个堆栈中取出）5 个数据（每次取出1个数据），则不同顺序的取法的种数有（ ）第6题图）

cX 3 2

在X 1

时取最小值

8 -b ,

5

A .等腰三角形

B .锐角三角形 直角 、取^ 次存/数 b ;堆栈（2）的3个连续存储单元已依次存入

C .钝角三角形

D. 6 •计算机中的堆栈是一些连续的存储单元，在每个堆栈中数据的存入

照“先进后出”的原则，如图，堆栈（1）中的2个连续存储单元已依 据

b , a ，取出数据的顺序是a ,

、填空题（本大题共 6个小题，每小题5分，共30 分） 7•若x 2 2x 1 4 0，则满足该方程的所有根之和为

8. （人教版考生做）如图A ，在 ABCDK 过A, B, C 三点的圆交AD 于E ，且与CD 相 切，若AB=4，BE=5,则DE 的长为 _______ .

& （北师大版考生做）如图B,等边三角形 ABC 中, D, E 分别为AB BC 边上的两个动 点，且总使AD=BE AE 与 CD 交于点F , AGLCD 于点G,则匹

.

AF

9. 已知a 2 a 1 0，且24

珂

2

2，则x .

a 3 4 5 6 2xa 2 a 3

10. 元旦期间，甲、乙两人到特价商店购买商品，已知两人购买商品的件数相同，且每 件商品的单价只有8元和9元两种.若两人购买商品一共花费了 172元，则其中单价为9元 的商品有

11. 如图，已知电线杆 AB 直立于地面上，它的影子恰好照在土坡的坡面 CD 和地面BC 上，如果CD 与地面成45°，/ A =60° , CD=4m BC=（W6 2应）m,则电线杆AB 的长为 ___________

12. 实数x 与y ，使得x y , x y , xy ,-四个数中的三个有相同的数值，则所有具有

y

15.(本题满分20分)

对于给定的抛物线y x 2 ax b ，使

实数p , q 适合于ap 2(b q). (1)证明：

2 记A OMP 勺面积为S ,求S 关系式（0 < t < 6 ）;并求t 为何 最大值？

3 试探究：当S 有最大值时， 否存在点T ,使直线ONC 分

件.

这样性质的数对（x,y ）为 ____

C

题共 3个小题 三、解答

13E

（本题满

已知： A B A

（本题满图分） 20分）如图（第将题图A = 6 , AB = 4的矩形 11OAB （放置在平面直角坐

标系中, 14. 动点M N

以每秒1个单位的速度分别从点 A, C 同时出发，其中点 M 沿AO 向终点O 运 动，点N 沿CB 向终点B 运动，当两个动点运动了 t 秒时，过点N 作NF L BC 交OB 于点

P,连接MP

（1）点B 的坐标为

;用含t 的式子表示点P 的坐标为

在y 轴上是 割成三角 积是△ ONC

20分) c)(x B G

(x 每小题20 分, E

F

b) (x

共 60 分)

A

D

a)是 与t 的函数 值时，S 有

抛物线y x2px q通过定点；

(2)证明：下列两个二次方程，x2ax b 0与x2px q 0中至少有一个方程有实数

根.

2013年全国初中数学竞赛试题

考试时间2013年3月17日9：30- 11: 30 满分150分

答题时注意：

1. 用圆珠笔或钢笔作答；

2.2.解答书写时不要超过装订线；

3. 3草稿纸不上交。

一、选择题(共5个小题，每小题7分，共35分。每道小题均给出了代号为A B、C、D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，请将正确选项的代号填入题后的括号里，

不填、多填或错填都得0分)

1. 设非零实数a、b、c满足a 2b 3c 0

，则

a

b

b

c

c

a的值为()

2a 3b 4c 0 a be

1 1

(A) -丄(B) 0 (C) 1(D) 1

2 2

2. 已知a、b、c是实常数，关于x的一元二次方程ax2 bx c 0有两个非零实根，则下列

关于x的一元二次方程ax2 bx c 0中，以厶，厶为两个实根的是( )

x-1 x2

(A) c2x2 (b2 2ac)x a2 0 ( B) c2x2 (b2 2ac)x a2 0