静不定结构
第14章 静不定问题
+
FS l 2
)
⋅(
l 2)dx2 ]
=
0
∫ ∫ Δ1/1' =
2 l/2 M [(
EI 0 2
+ Fs x1 )(x1) ⋅dx1 +
lM 0 (s 2
+
FS l 2
)
⋅(
l 2
)dx2
]
=
0
FS
=
− 15M 14l
求C截面转角
M/2
M/2
x2
xF1 S F
M (x1) =
M 2
+ Fs x1
=
q
1
2
3
A
B
αα
A
F
二、静不定结构分类
q
q
q
FAx A
FAy
B FBx
A
FBy
B
FAx A
FAy
FBx
B
FBy
外力静不定结构
内力静不定结构
混合型静不定结构
仅在结构外部存在多 仅在结构内部存在多 在结构外部和内部均
余约束
余约束
存在多余约束
¾ 外力静不定
F
q
F
q
外1度
外3度（平面）
外6度（空间）
约束力分量个数：
例1（教材例14-2）图示刚架，承受载荷F，
求刚架的最大弯矩。EI为常数。
B
C
解:沿CC’将刚架切开，由载
F
F
荷的对称性，截面C和C’上
A
A’
的剪力等于零，只有轴力FN 和弯矩M
利用平衡条件求出FN=F/2， 只有 M 为多余约束力
静不定结构
j1
说明： （1）系数 ij 组成n阶方阵
11 12 1n
21
22
2
n
主系数 ii （i=1,2,…,n） 恒为正
副系数ij ji (i j)（位移互等定理）
n1
n2
nn
可正可负可为零
h
21
11X1 12X2 1nXn 1F 1
21X1 22X2 2nXn 2F 2
h
6
（a）切开一个链杆（二力杆），只有FN，相当 于去掉1个多余约束。
P
FN
P FNห้องสมุดไป่ตู้
（b）切开一个单铰，有 2个内力分量：FN，FS
相当于去掉2个多余约束。
P
P FS FN
FN FS
h
7
（c）切开一处刚性联结，有3个内力分量FN，FS，M，
相当于去掉3个多余约束。
平面问题，多一个闭合框架，就多3次静不定。
F
F FS M FN
FN FS
（d）将刚性联结换为单铰或将单铰换为链杆，
相当于去掉1个多余约束（静不定次数减1)。
单铰----连接2杆, n次复铰----连接n+1杆
n次复铰=n个h 单铰
8
(e)桁架结构
杆数 S ,节点数 n , 若S=2n-3
A
B
若S>2n-3
静定桁架 静不定桁架
C
D S=6,n=4, 6-(2×4-3)=1次静不定
∴
X1
5 F
16 h
16
讨论：
1） X 1 即为原静不定结构B端的约束力 。
A端的3个约束力可由静力平衡方程求出。
2）X 1 求出后，原静不定系统就相当于在F及X 1
结构的静定与静不定
结构的静定与静不定结构分析是工程领域中极其重要的一部分，通过对结构的力学性能进行研究，可以确保工程的安全可靠。
在结构力学中，结构的静定与静不定是其中的重要概念之一。
本文将围绕着结构的静定与静不定展开探讨，介绍其基本概念、特点和应用方面的内容。
一、结构的静定静定是指结构在受力平衡的条件下，各个构件的位移可以由已知的力和几何条件唯一确定。
在静定结构中，构件的位移和应力可以通过静力平衡方程唯一求解。
简言之，一个结构如果满足所有构件的位移和应力能够通过静力平衡方程唯一确定，那么这个结构就是静定结构。
静定结构的特点有几个方面：1. 构件数量与方程数量相等：静定结构的构件数目等于描述结构平衡的方程数目。
2. 几何约束：静定结构的几何约束对于解的唯一性至关重要。
这些约束可以是连杆的铰接连接、构件的固定或约束等。
静定结构在工程实践中具有广泛的应用。
例如，在桥梁设计中常常需要保证桥梁结构在静力平衡的条件下，能够承受来自自身重力和车辆荷载的力。
此外，在建筑物的设计中也需要保证结构在静力平衡的条件下，能够承受地震等外部荷载的作用。
二、结构的静不定静不定是指结构在受力平衡的条件下，构件的位移和应力不能完全由已知的力和几何条件确定。
换言之，一个结构如果无法通过静力平衡方程唯一求解所有构件的位移和应力，那么这个结构就是静不定结构。
静不定结构的特点如下：1. 构件数量与方程数量不相等：静不定结构的构件数目多于描述结构平衡的方程数目。
2. 多余约束：静不定结构的多余约束使得构件的位移和应力无法由已知的力和几何条件唯一确定。
静不定结构的分析需要借助一些附加的条件，例如材料的变形规律、拉伸和剪切的本构关系等。
常用的方法包括力法、位移法和能量法等。
这些方法可以通过添加一些简化假设和辅助约束，将静不定结构的问题转化为静定结构的求解来解决。
静不定结构在实际工程中的应用也非常广泛。
例如，在梁柱设计中，为了提高结构的承载能力和刚度，常常采用悬臂梁、悬臂柱等静不定结构形式。
静不定结构
A
E
P
a a a
C
D
F B
例11.1 解
A
E
P
a
C
a
a
D F
X1 P
A
E
B
x
例11.2
计算各杆内力。设各杆EA相同。
a
4 5 3 2 6
P a
1
例11.2 解
a
4 5
P
4
X1 a
5
P
3
2
6
1
3
2
6
1
例11.3 作曲杆弯矩图源自P45°B
a
A
45°
例11.3 解
P f A B X1
静不定次数与力系性质的关系
(b)为平面力系，属三次静不定 (c)为空间力系，属六次静不定
静不定问题求解的要点
解除约束
构造静定基 确定相当系统 静不定问题的两种解法
a.位移法
• 矩阵位移法-大型结构
b.力法
• 力法正则方程-中小型结构
§11.2 用力法解静不定结构
D1P=？
D1X =？
P
45°
B
a
A
45°
例11.4 求解静不定刚架。EI相等。
§11.3 对称与反对称性质的利用
对称结构
正对称受载 反对称受载
对称变形 反对称变形
对称结构，对称受载时，对 称面内，反对称内力必为零。
P X3 X2 X3 P
X1
X1 X2
对称结构，受反对称载荷时， 对称面内，对称内力必为零。
为求AB之间的相对位移，施加 如图的单位载荷
1
A
14章静不定结构-小结
对于约束反力, 以整体为研究对象, 3个平衡方程求3个约束反力, 约束反力静定,
对于杆BF和CE的轴力, 就要取结点F,E为研究对象, 而这两个点分别连接3根杆, 这就意味着2个平衡方程要求3根杆的轴力, 所以这是内力一次静不定问题.
Mechanics of Materials
解: 1) 以整体为研究对象, 求约束反力,
1 1P 11. X 1 0
但注意：1P 的含义是： 静定基在原载荷作用下 引起的与解除约束对应的位移
原载荷并不意味着只有一个载荷P
原载荷意味着若干个已知载荷
A
C
P
l
P 1
B A
1 P
A
B
静定基
X1
C P
P 1
B
A
C P
P 1
B
相当系统
Mechanics of Materials
3个平衡方程求 解3个内力
5、闭合平面刚架：
约束 反力
3个平衡方 程求解3个 约束反力
约束反 力静定
约束 反力
3个平衡方 程求解3个 约束反力
约束反 力静定
各杆 内力
当中间铰 提供的2个 内力求出 来后,3个平 衡方程求 解3个内力
内力二次 静不定
各杆 内力
当被截开 截面的3个 内力求出 来后,3个平 衡方程求 解3个内力
X1
Mechanics of Materials
5) 分析相当系统, 分析横梁得受力, 计算横梁得最大弯矩 P
X1
X1
Mechanics of Materials
C
P 1
对于n次静不定，用力法如何求解？
B
P2
A
第14章 静不定结构
(Statically Indeterminate Structure) 二、对称载荷和反对称载荷
P M F P M F F M P P M F
对称载荷：作用位置对称、数值相等、指向对称; 反对称载荷：作用位置对称、数值相等、但是指向相反; 对称载荷：绕对称轴对折后，结构在对称轴两边的载荷的作用点和 作用方向将重合，而且每对力数值相等。 反对称载荷：绕对称轴对折后，结构在对称轴两边的载荷的数值 相等，作用点重合而作用方向相反。
l B l/2 C l/2 C B
F
l/2
F
l/2
FB
D A
D A
相当系统
解:取B处的反力为多余约束。 变形协调条件是:B点的铅锤位移等于零.
B 0
(Statically Indeterminate Structure) l
B x l/2 C D A l/2 A x x B l/2 x C D x
4 M ( ) FB asin F a sin( )( ) 4 4 2
单位力系统各段的弯矩方程：
)
(b)
B
M asin
应用莫尔积分,
1
M()
A
M ( ) M ( )ds ΔB 0 s EI
(c)
(Statically Indeterminate Structure) MMds 1 π 4 FB a sin a sin ad ΔB 0 s EI EI 0
例题2 （教材14-3） 图示刚架，C截面承受弯矩M作用，计算 M C截面转角。EI为常数。
B C D
解：图示刚架为三次静不定，但 由于结构具有对称性，载荷反对称， 故对称轴横截面上轴力、弯矩为零， 只有一个多余未知力（剪力FS ）。 变形协调条件是: 切口两侧截面的相对竖直位移等于零。
超静定结构的概述
(a)
(b)
图 11-3
除上述主要特征外，超静定结构还具有整体性强、变形小、受力较为 均匀等特点，因而这种结构在实际工程中被广泛采用。例如，图11-4a 所 示的两跨连续梁较图11-4b 所示的两跨简支梁，在力 F 作用点处的弯矩和 挠度均为小。
（a） 静定结构
（b） 超静定结构
（c） 静定结构受力图
算上来说，静定结构的静力特征是用静力平衡条件就能求得全 部反力和内力；而超静定结构的静力特征是仅用静力平衡条件不能求得 全部反力和内力。例如，对图11-1a 所示的静定梁，其受力图如图11-1c 所示，梁的反力（FAx、FAy、FB）和内力（FN、FQ、M）分别由三个静 力平衡方程求得。 而对图 11-lb 所示的连续梁，其受力图如图 11-ld 所示， 梁的反力共有四个(FAx、FAy、Fx1、FB），其中Fx1称为多余约束所对应 的多余未知力，用三个静力平衡方程不可能将此四个反力全部求得，只 要有一个反力尚未确定，梁的内力就不能确定。因此，还须补充其他条 件，才能求解。
【例11-3】确定图11-13a 所示结构的超静定次数。
解：图11-13a 所示刚架，具有一个多余约束。若将横梁某处改为铰接， 即相当于去掉一个约束，得到如图11-13b 所示的静定结构，故原结构 n = l。
若去掉支座 B 处的水平支杆，则得图11-13c 所示的静定结构。 但是，若去掉支座 B 或支座 A 的竖向支杆，即成可变体系如图11-13d 所 示，显然这是不允许的，所以此刚架支座处的竖向支杆不能作为多余约束。
图 11-6
② 去掉一个单铰，相当于去掉两个约束 。 如图11-7a 所示的结构，去掉一个单铰而变成静定结构，如图11-7b 所示。 因 n = 2，故该结构为两次超静定 。
静不定结构 力学(固体力学)
静不定结构力学（固体力学）静不定结构是具有多余约束的结构，又称超静定结构。
定义
静不定结构是具有多余约束的结构，又称超静定结构。
多余约束是指在静定结构上附加的约束。
每个多余约束都带来一个多余未知广义力，使广义力的总数超过了所能列出的独立平衡方程的总数，超出的数目称为结构的静不定度或静不定次数。
理论力学是基础，材料力学是一个过渡。
三大力学：理论力学、材料力学、结构力学。
理论力学是研究物体机械运动的基本规律的学科。
力学的一个分支。
它是一般力学各分支学科的基础。
理论力学通常分为三个部分：静力学、运动学与动力学。
静力学研究作用于物体上的力系的简化理论及力系平衡条件。
材料力学是研究材料在各种外力作用下产生的应变、应力、强度、刚度、稳定和导致各种材料破坏的极限。
一般是机械工程和土木工程以及相关专业的大学生必须修读的课程，学习材料力学一般要求学生先修高等数学和理论力学。
结构力学是固体力学的一个分支，它主要研究工程结构受力和传力的规律，以及如何进行结构优化的学科，它是土木工程专业和机械类专业学生必修的学科。
14静不定结构
M2
a
CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY
△3F 为MF图与M3图互乘
3F
1 1 1 2 qa 3 [ a qa (1)] EI 3 2 6 EI
1
1
q
MF
1 2 qa 2
1
M3
CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY
外力静不定
内力静不定
2 静不定次数的确定
混合静不 定
静不定次数 = 未知力个数 - 独立平衡方程数 (1) 外力静不定次数的确定 根据约束的性质及力系的类型来确定。
CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY
(2) 内力静不定次数的确定
平面桁架 未知力个数 = 约束反力数 + 杆件数 独立方程数 = 节点数 乘以 2
计算系数 i j
11 为M1图与M1图自乘
22 为M2图与M2图自乘
1 1 2 4a 3 11 ( a a a a a a) EI 2 3 3EI
22
a a
1 1 2 a3 ( a a a) EI 2 3 3EI
1 1
M1
M2
a
CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY
CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY
11 X1 1F 0
(c)
A
C
Δ1F
B
△1F 表示:在X1作用点沿X1
F
静定结构和静不定结构判断方法
静定结构和静不定结构判断方法The methods for determining statically determinate and indeterminate structures are critical in the field of structural engineering. 静定结构和静不定结构的判断方法在结构工程领域中至关重要。
Statically determinate structures are those for which all the forces and reactions can be determined using only the equations of statics, while statically indeterminate structures require the use of additional equations such as compatibility equations and equations of equilibrium. 静定结构是指仅使用静力学方程就可以确定所有的力和反力的结构，而静不定结构则需要额外使用兼容方程和平衡方程等方程。
The distinction between the two types of structures has significant implications for the design and analysis of buildings, bridges, and other structures. 这两种结构类型的区别对建筑物、桥梁和其他结构的设计和分析有着重要的影响。
In practical terms, determining whether a structure is statically determinate or indeterminate involves analyzing the internal forces and reactions within the structure. 在实际情况中，确定结构是静定还是静不定涉及分析结构内部的力和反力。
第十三章 静不定问题分析
第31单元第十三章静不定问题分析§13-1 引言能量法是静不定问题分析的普遍有效的方法。
一、静不定结构分类：内力、外力、混合静不定。
静不定次数(静不定度)：多余约束(Redundant confinement)数 (1)外力静不定外一度外三度空间：外6度(一个固定端6个约束分量)(外力)平面静定结构：3个约束(外力)空间静定结构：6个约束平面固定铰：2个约束空间球形铰：3个约束平面活动铰：1个约束空间固定端：6个约束平面固定端：3个约束(2)内力静不定静不定度()32--=n mm : 杆数 n :节点数6-(2×4-3)=1封闭框架三内，加一铰减一，加一刚接杆加3，加一铰支杆加1三内 二内 6内 4内 (截开为静定结构，分析有几个多余力) (3)混合(一般)静不定1+1=2度 3+3=6度 内 外 内 外 例：静不定判断。
梁3 (外静不定) 环3 (内静不定)二者接触(A 点)1(内静不定) 共7(混合或一般静不定)无摩擦，圆环在水平方向有一自由度。
二、分析方法(1)力法(force method)或柔度法(Flexibility method)，以力、力的反力为未知数，利用变形协调条件列方程，通常简单，但格式不统一，不便于计算机求解。
(2)位移法(displacement method)或刚度法(stiffness method)（有限元法），以位移为未知数，利用平衡条件求解，不需判断静不定度，格式统一，便于计算机分析。
§13-2 用力法分析静不定问题基本系统：解除多余约束后的静定结构。
相当系统：作用有载荷和多余反力的基本系统。
求解：静力平衡方程+变形协调条件(通过能量法转换为未知力的方程)。
对比：以前由几何法画变形图，然后通过物理方程转换为未知力的方程，分析复杂结构存在困难。
一、外力静不定问题例：若P 、EI 均为已知，试画刚架弯矩图。
解：1.求约束反力 (1)静不定度1(2)静定基：解除B 点约束 (3)变形条件：0=B f(4)能量法求解(求位移与力的关系) BC 段：()()1111x x M x N x M B ==AC 段：()()a x M Px a N x M B =-=222()[]010*******=-+=∴⎰⎰aB a B B dx a Px a N dx x N EIfP N EI Paa N EI a N B B B 830213333=⇒=-+ 2.画弯矩图，由于各段无布力，图形为直线，只须找端值连结，(一般情况根据弯矩方程)例：计算A 点水平位移。
第14章静不定结构详解
（a）
外力超静定
（b）
内力超静定
（c）
外力超静定
（d）
内力超静定
（e）
混合超静定
(Statically Indeterminate Structure) 四、超静定次数的判定
（1）外力超静定次数的判定:根据约束性质确定支反力的个 数,根据结构所受力系的类型确定独立平衡方程的个数,二者的差 即为结构的超静定次数；
§14-2 用力法解静不定结构
一、力静定结构的多余约束，用多余约束力代替多余约束,得 到一个几何不变的静定系统,称为原静不定系统的“相当系统”;
2.在多余约束处满足“变形几何条件”,得到变形协调方程; 3.由补充方程求出多余约束力;（利用能量法求解） 4.在基本系统上求解原超静定结构的内力和变形. （解除多余约束后的静定结构）
(Statically Indeterminate Structure)
第十四章 静不定问题分析
§14-1 静不定结构概述 §14-2 用力法解静不定结构 §14-3 对称及反对称性质的应用
(Statically Indeterminate Structure)
§14-1 静不定结构概述
一、静不定结构
M
=
FB (asinϕ) −
F (a sin(φ
−
π
)) 4
当在B点作用一单位力时（图d）,
弯矩方程为
B
F
ϕ FB
A
π/4
(b)
B
M = asinϕ M = asinϕ
1
ϕ
A (d)
(Statically Indeterminate Structure)
应用莫尔积分,并设曲杆的EI为常量,
《静不定结构》课件
梁的截面性质对其承受弯曲力和剪切力的能力至关重要。了解梁的截面性质对设计和分析静 不定梁非常重要。
内力和应力计算
1
截面受弯矩时的应力
2
静不定梁在受弯矩作用下会发生应力
分布。了解截面受弯矩时的应力对梁
的设计和分析非常重要。
3
截面受拉和受压时的应力
在计算静不定结构的内力和应力时， 需要考虑梁的截面受拉和受压时的应 力分布。
截面受剪力时的应力
剪力是静不定结构中的常见力。了解 截面受剪力时的应力分布有助于分析 和设计静不定结构。
静不定梁的分析方法
静最大值三种方法
静不定梁的分析可以使用三种 常见的方法：弯矩法、剪力法 和位移法。
数值分析方法
数值分析方法可以应用于解决 更复杂的静不定结构问题。它 运用数学模型和计算方法，提 供准确的结果。
静力学平衡定理
静力学平衡定理是分析静不定结构的基础。它要 求结构的总受力和总弯矩为零，以保持结构的平 衡。
应力分析
法向应力和切向应力
法向应力和切向应力是静不定结构中的重要概念。它们描述了物体内部受力的方向和大小。
支反力和弯矩方程
支反力和弯矩方程是通过应力分析来计算静不定结构中的支撑力和弯曲力矩的工具。
总结与展望
1 总结
通过本课程，你学习了静不定结构的基本概念、力学原理和应力分析方法。
2 展望
静不定结构是一个复杂而有趣的领域，还有许多进一步的研究和应用。希望你可以继续 探索并深入了解这个领域。
3 悬臂梁上的集中力和分布力
在悬臂梁上施加集中力和分布力会对梁产生不同的弯曲和剪力，通过实例分析可以更好 地理解这些力的影响。
静不定结构设计与应用
设计流程
静不定结构求位移的方法及其证明
静不定结构是指在静力作用下，由于某种原因而不能保持平衡的结构。
为了求出静不定结构的位移，可以使用下列方法。
自由体图法
自由体图法是利用自由体图求解静不定结构的位移的方法。
自由体图是指在静不定结构上画出所有节点和所有支点的图形，并标出各点的位移量，然后通过平衡方程求解各点的位移量的方法。
摆动定律法
摆动定律法是利用摆动定律求解静不定结构的位移的方法。
摆动定律是指对于静不定结构的一个节点，它的位移量是由周围节点的位移量所决定的。
通过迭代计算，可以求得静不定结构的位移量。
以上是求解静不定结构位移的两种方法。
对于这两种方法，还可以根据实际情况进行适当的组合使用，以提高求解效率。
证明
对于自由体图法，可以通过研究静不定结构的动平衡方程来证明。
动平衡方程是指在静不定结构上，每个节点的力平衡方程之和。
通过解动平衡方程，可以求得静不定结构的位移量。
对于摆动定律法，可以通过研究静不定结构的动力学方程来证明。
动力学方程是指在静不定结构上，每个节点的动力学方程之和。
通过解动力学方程，可以求得静不定结构的位移量。
以上就是关于静不定结构求位移的方法及其证明。
这些方法在工程力学、建筑学等领域有广泛的应用，可以有效地解决静不定结构位移问题。
静不定结构
超静定结构
14-3 对称及反对称性质的应用
一、对称结构的对称变形与反对称变形
EI 对 称 轴
E1I1
E1I1
超静定结构
F2
F2
F1
F1
超静定结构
F2
F2
F1
F1
超静定结构
对称变形对称截面上，反对称内力(剪力)为零；
超静定结构
反对称变形反对称截面上，对称内力(轴力,弯矩)为零。
请同学们用图乘法证明
材料力学
Mechanics of Materials
Chapter 14 Statically Indeterminate Structure
超静定结构
第十四章 静不定结构
14-1 超静定结构概述 14-2 用力法解超静定结构
超静定结构
14-1 超静定结构概述
结构按静力学特性可以分成静定结构和静不定结构两类。
由平衡方程求得:
X1
F
6 FRAy FRBy F 7 FRAx FRBx F 4 M A M B Fa
FRAx
A
FRBx
MA FRBy
B
FRAy
MB
超静定结构
作业: 14.4
超静定结构
材料力学实验方法及注意事项
15/58
超静定结构
例题1 如图所示,梁EI为常数,试求支座反力. q
A l B
（1）去掉多余约束代之以多 余约束力,得基本静定系
X1 为多余约束力 q
B
A
X1
16/58
超静定结构 q
A
l
q
B
A B
X1
（2） 利用多余约束处的变形情况写出变形协调条件 变形协调条件： B点的挠度为
材料力学14章-3静不定结构中对称与反对称性质
在材料力学的14章-3中，我们将探讨静不定结构中的对称与反对称性质。了 解这些性质对于理解结构的力学行为至关重要。
对称性与反对称性
对称性和反对称性是结构力学中重要的概念。它们可以帮助我们分析和预测 结构的行为，并提供简化问题的方法。
静Hale Waihona Puke 定结构介绍静不定结构是指需要使用静力学和弹性力学的原理进行分析的结构。它们在工程中非常常见，需要特殊的技巧 来解决。
对称性的定义和特点
对称性是指一个结构在某种变换下保持不变的特性。它可以简化结构分析， 并揭示结构的关键特点和行为。
反对称性的定义和特点
反对称性是指一个结构在特定条件下会发生变化的特性。它可以帮助我们理 解结构的变形和应力分布。
对称性与反对称性在结构中的应用
对称性和反对称性在结构设计和分析中具有广泛的应用。它们能够帮助我们优化结构设计、降低成本，并提高 结构的可靠性和稳定性。
对称性与反对称性的优劣比较
对称性和反对称性各自具有优劣势，根据结构的具体需求和约束条件，选择适合的性质可以使结构更加高效和 可靠。
结论和要点
通过研究材料力学14章-3中的对称与反对称性质，我们可以更好地理解和分析静不定结构的行为。这些概念在 结构设计和分析中起着重要的作用。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
）
力法求解简单（一次）静不定结构
P P
X1
A
B
1 静不定次数：1次 2 相当系统
P
vBP
vBX1
X1
3 位移协调条件（保证相
当系统的变形和位移与 原静不定结构相同）
v B v BP v BX1 0
4
物理条件：位移表达为力的函数
v BP 5Pl 3 48EI
v Bx1
则 11 X 1 1P 1------------------ 力法正则方程
* 第一个下标表示位移发生的地点和方向 第二个下标表示位移发生的原因（哪个 力引起的） *
X 1——
多余未知力。可以是外约束力，也 可是内约束力（广义的。可以是
力，可以是力偶）
* 1—— 原静不定结构上，X1作用处沿X1方向 的实际位移(广义：线位移、角位移、绝对位移、 相对位移）
5．
N BD X 1
（拉）
讨论：1．不同的基本静定系，正则方程是不同的。 2．法1中正则方程出现负号的原因：原结 构B处位移向下与 X 1反向
求图示结构的约束反力
q
C
l
q B
l
ql 2 2
C
B X1 A
ql 2 2
P ql
l
2 2
P ql
A
l
2 2
(M P )
解： 1．相当系统 2．正则方程： 11 X 1 1PBiblioteka 012i j
n
原系统，n次静不定
1
X1
2 X2
i Xi j Xj
n Xn
相当系统，n个未知力
第i行方程的意义
i1 X1 i 2 X 2 ii X i ij X j in X n iP i
ij j点的单位力，引起 i点的位移。
1P
1 EI
1 l Pl 5 5Pl 3 2 2 2 6 l 48EI
P
(M )
X1 1
1P 代入正则方程，求解。 11、 4．
5PAl 3 X1 16 Al 3 3Ia
Pl 2
5．
N BD
5PAl 3 X1 16 Al 3 3Ia
*
i表示原静不定结构在 X i 作用点沿 X i 方向的
位移。 i 与 X i同向为“+”，反之为“-”，在很 多情况下 i 0 力法正则方程把求解静不定问题转化为在静不 定结构上求一系列位移 ij 、 iP的问题。而它们 可由“能量法”知识求出。 讨论： 1．求出之后,可用叠加法解原静不定结构 内力图。
* 11—— 在基本系统中，只作用X 1,并令 X 1 1 由它引起的 X 1 作用处，沿 X 1方向的 （广义）位移。 *
1P——
在基本系统中，只作用原载荷P（广 义力)由所有原已知载荷引起的作用 X1 处沿 X 1方向的（广义）位移。
由叠加原理， 11 X 1及1P 之和应等于原结构在 X 1作用 点沿 X 1方向的位移。
iP 载荷引起的i点的位移。 i 点的实际位移。
11 12 1n X 1 1P 1 X 2 22 2n 2 2 P 21 ...... n2 nn X n nP n1 n
力法求解高次静不定问题——力法正则方程 将上例中的位移协调方程改写一下：
v BX1 v BP v B B 1 （B是 X 1作用处）
vBX1
力与位移成线性关系 1 X ================== 11 X 1
1
v BP 1P
v B 1
l3 5Pl 3 X1 0 3EI 48EI
D
C
P
l 2
B
A
l 2
解：法1
1． 相当系统如图
D
2． 建立力法正则方程：
11 X 1 1P
X 1a EA
A
C
P
l 2
B
l 2
3．求影响系数
1 11 EI
X1
3 1 2 l 2 l l 3 l 3EI
P
（相）
l
(M 1 )
21 X 1 22 X 2 2 P 0
求各影响系数
qa 2 2
11, 12 ( 21) 22 , 1P , 2 P
11
21
X1 1
3．基本静定系和相当系统的选取不唯一。
m
（基）
m
（相）
X1
X1
P
P
P
X1
X2 X1
X3
X2
X3
P X2 X3
X1
P
X1
P
X1
X2
X2
X3
X3
选取适当的相当系统，有助于简化静不定分析
简单静不定问题的求解：变形协调条件 的建立。
通过建立变形协调条件——即“在相当系统上， 多余未知力作用处的变形， 应当与原结构相同” 建立补充方程，与平衡方程联立，求解全部未知 力。
显然，有几个多余未知力，就可以建立几个补 充方程。
已知：杆1弹性模量E1 ，横截面积 A1；杆2弹性模量E2 ，横截面 积 A2，杆长l ，间距 a， 杆2与刚体间有一微小间隙 δ，刚体上作 用均匀分布载荷，集度q。 求：q充分大时，杆的内力N1、N2 q
1 a 2 a 1
变形协调条件的建立
解：
q
平衡条件： 2 N1 N2 q 2a 0
几何条件： 物理条件：
N1
1 2
1 N1l E1 A1 2 N 2l E2 A2
a N1 N2
a
N1l N 2l 补充方程： E1 A1 E2 A2
E2 A2 qa 2l N1 E A 1 2 2 2 E1 A1
n 次静不定的力法正则方程。
11 X 1 12 X 2 1n X n 1P 1 X X X 21 1 22 2 2n n 2P 2 n1 X 1 n 2 X 2 nn X n nP n
力法求解静不定结构
基本静定系和相当系统
1 ．基本静定系：去掉原载荷，只考虑结构本身解除 多余约束后得到的静定结构，称为原结构的基本静 定系。 2．相当系统：在基本静定系上，用相应的多余约束力 代替被解除的多余约束，并加上原载荷，则称为相当 系统。
“相当”：指系统的受力状态与变形状态与原静不
定结构完全相同。
静不定次数的确定
首先，确认一些基本静定结构，如简支梁，悬臂梁， 外伸梁等都是静定结构。
基本静定结构
三次静不定
静不定次数的确定
（1）切开一个链杆（2力杆），相当于去掉1 个多余约束。
N
P
P
N
（2）切开一个单铰，相当于去掉2个多余约束。
P P
N
Q Q
N
（3）切开一处刚性联结，相当于去掉3个多余约束
平面问题，多一个闭合框架，就多一3次静不定
P
P
M
Q
N
（4）将刚性联结换为单铰或将单铰换为链杆，
相当于去掉1个多余约束。
求解静不定问题——确定多余未知力
1．力法：以多余未知力为基本未知量，将位 移表示为未知力的函数，利用原约束的位移 协调条件建立补充方程，从而求解多 余未知力。
2．位移法：以位移为基本未知量，将多余未知力 表示为位移的函数，然后按平衡条件建立方程， 从而通过求解未知位移来求解多余未知力。 本章重点：力法
X 1l 3 3EI
5 物理条件代入位移协调方程，求解多余未 知力 X 1
5Pl 3 X 1l 3 0 48EI 3EI
∴
5 X1 P 16
讨论：1.
X 1即为原静不定结构B端的约
束反力。A端的3个约束反力 可由静力平衡方程求出。 2． X 1 求出后，原静不定结构就相当于在 P及X 1共同作用下的静定梁（相当系统） 进而可按静定梁的方法作FS、M图， 求应力和变形，进行强度和刚度计算。 3. 相当系统不唯一。
3． 11 1 EI
1 4l 3 2 2 l l 3 l l l l 3EI
l
X1 1
(M 1 )
1 1P EI
1 1 l ql 2 ql 2 3 ql 2 3 l 2 4 l 2 l l 22 2 l
E1 A1 q a l N2 1 E A 1 1 2 E2 A2
求解AB梁的约束反力
A
解：
X1
P
B
变形条件
一次静不定问题
AX AP 0
相当系统
θAP
AP
Pl 2 （ 16EI
）
X 1 Pl 0 3 16
X1
θAX
AX
X 1l （ 3EI
）
3 X 1 Pl （ 16
2． (i j ) 称为副系数。它的物理意义：在相当 系统中，只保留 X j，并令 X j 1，它在 X i作 用点，沿 X 1方向引起的位移。由于 ij与 X i 方 向不一定相同，所以可正可负可为零。
ij
ji 3． ij （位移互等定理），所以系数矩阵为对 称方阵。 * iP是自由项。物理意义：在相当系统上，去 掉所有多余未知力，保留所有原已知载荷； 它们在 X i作用点沿X i 方向引起的位移可正、 可负、可为零。