静不定结构

*
i表示原静不定结构在 X i 作用点沿 X i 方向的
位移。 i 与 X i同向为“+”，反之为“-”，在很 多情况下 i 0 力法正则方程把求解静不定问题转化为在静不 定结构上求一系列位移 ij 、 iP的问题。而它们 可由“能量法”知识求出。 讨论： 1．求出之后,可用叠加法解原静不定结构 内力图。
）
力法求解简单（一次）静不定结构
P P
X1
A
B
1 静不定次数：1次 2 相当系统

P
vBP
vBX1
X1
3 位移协调条件（保证相
当系统的变形和位移与 原静不定结构相同）
v B v BP v BX1 0
4

物理条件：位移表达为力的函数
v BP 5Pl 3 48EI
v Bx1
n 次静不定的力法正则方程。
11 X 1 12 X 2 1n X n 1P 1 X X X 21 1 22 2 2n n 2P 2 n1 X 1 n 2 X 2 nn X n nP n
E1 A1 q a l N2 1 E A 1 1 2 E2 A2
求解AB梁的约束反力
A
解：
X1
P
B
变形条件
一次静不定问题
AX AP 0
相当系统
θAP
AP
Pl 2 （ 16EI
）
X 1 Pl 0 3 16
X1
θAX
AX
X 1l （ 3EI
）
3 X 1 Pl （ 16
例如
M M P Xi M i
i 1
n
M P图为相当系统，只保留原已知载荷作用的M 图。
M i图为相当系统，只保留 X i ，并令 X i 1 时的 M 图。
“+”：代数值叠加。
2． 求静不定结构上某点K的位移（广义）时 可把单位力加在相当系统的K点上，
例：图示结构，AB梁抗弯刚度EI，梁长l BD杆抗拉刚度EA，杆长a 。 求：拉杆BD内力。
力法求解高次静不定问题——力法正则方程 将上例中的位移协调方程改写一下：
v BX1 v BP v B B 1 （B是 X 1作用处）
vBX1
力与位移成线性关系 1 X ================== 11 X 1
1
v BP 1P
v B 1
l3 5Pl 3 X1 0 3EI 48EI
q
平衡条件： 2 N1 N2 q 2a 0
几何条件： 物理条件：
Байду номын сангаасN1
1 2
1 N1l E1 A1 2 N 2l E2 A2
a N1 N2
a
N1l N 2l 补充方程： E1 A1 E2 A2
E2 A2 qa 2l N1 E A 1 2 2 2 E1 A1
3．基本静定系和相当系统的选取不唯一。
m
（基）
m
（相）
X1
X1
P
P
P
X1
X2 X1
X3
X2
X3
P X2 X3
X1
P
X1
P
X1
X2
X2
X3
X3
选取适当的相当系统，有助于简化静不定分析
简单静不定问题的求解：变形协调条件 的建立。
通过建立变形协调条件——即“在相当系统上， 多余未知力作用处的变形， 应当与原结构相同” 建立补充方程，与平衡方程联立，求解全部未知 力。
21 X 1 22 X 2 2 P 0
求各影响系数
qa 2 2
11, 12 ( 21) 22 , 1P , 2 P
11
21
X1 1
力法求解静不定结构
基本静定系和相当系统
1 ．基本静定系：去掉原载荷，只考虑结构本身解除 多余约束后得到的静定结构，称为原结构的基本静 定系。 2．相当系统：在基本静定系上，用相应的多余约束力 代替被解除的多余约束，并加上原载荷，则称为相当 系统。
“相当”：指系统的受力状态与变形状态与原静不
定结构完全相同。
* 第i个方程物理意义：相当系统中，原已知 载荷与全部n个多余未知力共同作用下，在 X i 作用点，沿 X i 方向的位移应等于原结构 在 X i 作用点，沿 X i 方向的位移。 * 多余未知力的系数 ij组成的方阵的物理意义
1． 主对角线上称为主系数。其物理意义：在相当系 统上只保留Xi，并令Xi =1。它在Xi作用点，沿Xi方向引 起的位移。由于 ii 与 X 方向一致，所以恒为正。 i
• §17.1 概述
• §17.2 力法求解静不定结构 • §17.3 利用对称性简化静不定结构的计算 • §17.4 装配应力和温度应力 • §17.5 静不定结构的特点
静不定结构
外静不定：仅由平衡方程无法求出全部的 约束反力。 内静不定：仅由平衡方程无法求出全部的 内力。
“多余约束” ：AB梁中B端可动铰支座, 桁架 中的CD杆称为多余约束，相应 的约束力或内 力称为“多余约束力”。
X 1l 3 3EI
5 物理条件代入位移协调方程，求解多余未 知力 X 1
5Pl 3 X 1l 3 0 48EI 3EI
∴
5 X1 P 16

讨论：1.
X 1即为原静不定结构B端的约
束反力。A端的3个约束反力 可由静力平衡方程求出。 2． X 1 求出后，原静不定结构就相当于在 P及X 1共同作用下的静定梁（相当系统） 进而可按静定梁的方法作FS、M图， 求应力和变形，进行强度和刚度计算。 3. 相当系统不唯一。
3． 11 1 EI
1 4l 3 2 2 l l 3 l l l l 3EI
l
X1 1
(M 1 )
1 1P EI
1 1 l ql 2 ql 2 3 ql 2 3 l 2 4 l 2 l l 22 2 l
平面问题，多一个闭合框架，就多一3次静不定
P
P
M
Q
N
（4）将刚性联结换为单铰或将单铰换为链杆，
相当于去掉1个多余约束。
求解静不定问题——确定多余未知力
1．力法：以多余未知力为基本未知量，将位 移表示为未知力的函数，利用原约束的位移 协调条件建立补充方程，从而求解多 余未知力。
2．位移法：以位移为基本未知量，将多余未知力 表示为位移的函数，然后按平衡条件建立方程， 从而通过求解未知位移来求解多余未知力。 本章重点：力法
iP 载荷引起的i点的位移。 i 点的实际位移。
11 12 1n X 1 1P 1 X 2 22 2n 2 2 P 21 ...... n2 nn X n nP n1 n
* 11—— 在基本系统中，只作用X 1,并令 X 1 1 由它引起的 X 1 作用处，沿 X 1方向的 （广义）位移。 *
1P——
在基本系统中，只作用原载荷P（广 义力)由所有原已知载荷引起的作用 X1 处沿 X 1方向的（广义）位移。
由叠加原理， 11 X 1及1P 之和应等于原结构在 X 1作用 点沿 X 1方向的位移。
3ql 4 4 EI
4l 3 3 4 X ql 0 正则方程： 1 3EI 4 EI
解得：
9 X 1 ql 16
例17.3 求做图示结构的M图以及求截面B的转角 θB ，各杆抗弯刚度EI已知。
q
B C
q
X1 X1
a
A
a
解：二次静不定，取相当系统如图
正则方程： 11 X 1 12 X 2 1P 0
2． (i j ) 称为副系数。它的物理意义：在相当 系统中，只保留 X j，并令 X j 1，它在 X i作 用点，沿 X 1方向引起的位移。由于 ij与 X i 方 向不一定相同，所以可正可负可为零。
ij
ji 3． ij （位移互等定理），所以系数矩阵为对 称方阵。 * iP是自由项。物理意义：在相当系统上，去 掉所有多余未知力，保留所有原已知载荷； 它们在 X i作用点沿X i 方向引起的位移可正、 可负、可为零。
1
2
i j
n
原系统，n次静不定
1
X1
2 X2
i Xi j Xj
n Xn
相当系统，n个未知力
第i行方程的意义
i1 X1 i 2 X 2 ii X i ij X j in X n iP i
ij j点的单位力，引起 i点的位移。
则 11 X 1 1P 1------------------ 力法正则方程
* 第一个下标表示位移发生的地点和方向 第二个下标表示位移发生的原因（哪个 力引起的） *
X 1——
多余未知力。可以是外约束力，也 可是内约束力（广义的。可以是
力，可以是力偶）
* 1—— 原静不定结构上，X1作用处沿X1方向 的实际位移(广义：线位移、角位移、绝对位移、 相对位移）

1P
1 EI
1 l Pl 5 5Pl 3 2 2 2 6 l 48EI
P
(M )
X1 1
1P 代入正则方程，求解。 11、 4．
5PAl 3 X1 16 Al 3 3Ia

Pl 2


5．
N BD
5PAl 3 X1 16 Al 3 3Ia


（拉力）
X1
法2 1． 相当系统
2． 正则方程： 11 X 1 1P 0 3．
l3 1 l a l 11 3EI EA
1P 5Pl 3 48EI
P
X1
M1 N1
l

N1 1
X1 X1
MP NP
P

Pl 2
5PAl 3 X1 4． 16( Al 3 3Ia )
5．
N BD X 1
（拉）
讨论：1．不同的基本静定系，正则方程是不同的。 2．法1中正则方程出现负号的原因：原结 构B处位移向下与 X 1反向
求图示结构的约束反力
q
C
l
q B
l
ql 2 2
C
B X1 A
ql 2 2
P ql
l
2 2
P ql
A
l
2 2
(M P )
解： 1．相当系统 2．正则方程： 11 X 1 1P 0
A
B
可列平衡方程数：3 未知反力数：4 静不定次数：1
X3
X2 X1
X4
C
X X'
D
注意： 多余约束力对维持平衡是多余的，但对工 程实际并不多余，都是为了提高强度、或刚度 而加上去的。 静定梁和静不定梁的变形比较
A B
A
B
静不定次数
1． 外静不定结构
外静不定次数=约束反力数-平衡方程数 2 ．内静不定结构 将结构切开一个或多个截面暴露全部内力， 内静不定次数=内力总数-平衡方程数 3. 静不定次数=外静不定次数+内静不定次数 =未知力个数-平衡方程数
显然，有几个多余未知力，就可以建立几个补 充方程。
已知：杆1弹性模量E1 ，横截面积 A1；杆2弹性模量E2 ，横截面 积 A2，杆长l ，间距 a， 杆2与刚体间有一微小间隙 δ，刚体上作 用均匀分布载荷，集度q。 求：q充分大时，杆的内力N1、N2 q

1 a 2 a 1
变形协调条件的建立
解：
D
C
P
l 2
B
A
l 2
解：法1
1． 相当系统如图
D
2． 建立力法正则方程：
11 X 1 1P
X 1a EA
A
C
P
l 2
B
l 2
3．求影响系数
1 11 EI
X1
3 1 2 l 2 l l 3 l 3EI
P
（相）
l
(M 1 )
静不定次数的确定
首先，确认一些基本静定结构，如简支梁，悬臂梁， 外伸梁等都是静定结构。
基本静定结构
三次静不定
静不定次数的确定
（1）切开一个链杆（2力杆），相当于去掉1 个多余约束。
N
P
P
N
（2）切开一个单铰，相当于去掉2个多余约束。
P P
N
Q Q
N
（3）切开一处刚性联结，相当于去掉3个多余约束