安财商学院统计计算题

例1:两种不同水稻品种，分别在5个田块上试种，其产量如下：要求：⑴分别计算两品种的单位面积产量。

⑵计算两品种亩产量的标准差和标准差系数。

⑶假定生产条件相同，确定哪一品种具有较大稳定性，宜于推广。

解：注：f f x x ∙==面积产量⑴)(50052500公斤甲===∑∑fxf x )(52063120公斤乙==x ⑵()公斤甲3.55515275)(2==-=∑∑ffx x σ %06.11%1005003.55=⨯==甲甲甲x V σ()公斤乙6.4069900==σ %8.7%1005206.40=⨯=乙V ⑶因V 乙<V 甲故乙品种具有较大稳定性，宜于推广。

例2.甲、乙两班同时参加《英语》课程的统考，甲班平均成绩为７０分，标准差为９分；乙班的成绩分组资料如下：计算乙班学生的平均成绩和标准差，并比较甲、乙两个班哪个班的成绩差异程度大？ 注意：开口组首组的假定下限=首组上限-邻组组距，如果邻组组距大于首组上限，那么开口组首组的假定下限为0，则：开口组首组的组中值=（首组上限+0）/2例3：甲、乙两厂生产同种电子元件，经抽查，甲厂该种电子元件的平均耐用时间为116.8小时，标准差为76.233 ，乙厂该电子元件耐用时间的分组资料如下：（1）计算并比较哪个厂电子元件平均耐用时间长？ （2）计算并比较哪个厂电子元件耐用时间差异较大？例4：某灯泡厂对10000个产品进行使用寿命检验，随机抽取2%样本进行测试，所得资料如下表。

表 抽样产品使用寿命资料表按照质量规定，电灯泡使用寿命在1000小时以上者为合格品，试计算平均合格率、标准差及标准差系数。

解：平均合格率20037188471++++=p标准差)1(P P p-=σ标准差系数pV pσ=例5-1 某灯泡厂对10000个产品进行使用寿命检验，随机抽取2%样本进行测试，所得资料如下表。

表 抽样产品使用寿命资料表按照质量规定，电灯泡使用寿命在1000小时以上者为合格品，可按以上资料计算抽样平均误差。

解：电灯泡平均使用寿命 1057=x 小时电灯泡合格率 %5.91=p电灯泡平均使用时间标准差 65.53=S 小时 电灯泡使用时间抽样平均误差：重复抽样：7922.320063.532±===σ=σ=μn S n n x (小时)不重复抽样：7541.3)100002001(200)63.53()1()1(222±=-⨯=-=-=N n n S Nn n x σμ(小时) 灯泡合格率的抽样平均误差： 重复抽样：%972.1200085.0915.0)1()1(±=⨯=-=-=μn p p n P P p 不重复抽样：952.1)100002001(200085.0915.0)1()1(±=-⨯=--=μN n n P P p例5-2 某学校进行一次英语测验，为了解学生的考试情况，随机抽选部分学生进行调查，所得资料如下：试以95.45%的可靠性估计该校学生英语考试的平均成绩的范围及该校学生成绩在80分以上的学生所占的比重的范围。

解：（1）该校学生英语考试的平均成绩的范围：6.761007660===∑∑fxfx σ＝377.1110012944)(2==-∑∑ffx x1377.1100377.11===nx σμ △x ＝ t μx ＝2×1.1377＝2.2754 该校学生考试的平均成绩的区间范围是：x - △x ≤X ≤ x ＋△x76.6－2.2754≤X ≤76.6＋2.275474.32≤X ≤78.89（2）该校学生成绩在80分以上的学生所占的比重的范围%48100481===n n p04996.0100)48.01(48.0)1(=-=-=n p p p μ △p ＝ｔμp ＝2×0.04996＝0.09992 80分以上学生所占的比重的范围： Ｐ＝p ±△p ＝0.48±0.09992 0.3801≤Ｐ≤0.5799在95.45％概率保证程度下，该校学生成绩在80分以上的学生所占的比重的范围在38.01%—57.99%之间。

这是在简单抽样条件下进行区间估计的例题。

从上面的解法中，我们可以总结出这一类计算题的基本做法：先计算出样本指标，然后根据所给条件（重复抽样或不重复抽样）进行抽样平均误差的计算，抽样极限误差的计算，最后根据样本指标和极限误差进行区间估计。

例5-3.对一批产品按不重复抽样方法抽选200件，其中废品8件。

又知道抽样总体是成品总量的1/20，当概率为95.45%时，可否认为这一批成品的废品率低于5%？例5-4.对某区30户家庭的月收支情况进行抽样调查，发现平均每户每月用于书报费支出为45元，抽样平均误差为2元，试问应以多少概率才能保证每户每月书报费支出在41．08元至48．92元之间。

例5-5从某年级学生中按简单随机抽样方式抽取40名学生，对公共理论课的考试成绩进行检查，得知其平均分数为78．75分，样本标准差为12．13分，试以95．45%的概率保证程度推断全年级学生考试成绩的区间范围。

如果其它条件不变，将允许误差缩小一半，应抽取多少名学生?解：ｎ＝40x ＝78.56 σ＝12.13 t=2（１） nx σμ==92.14013.12=△x ＝ t μx ＝2×1.92＝3.84 全年级学生考试成绩的区间范围是：x - △x ≤X ≤ x ＋△x78.56－3.84≤X ≤78.56＋3.8474.91≤X ≤82.59（２）将误差缩小一半，应抽取的学生数为：()160)284.3(13.122)2(222222≈⨯=∆=xt n σ（人） 例6-1 某企业上半年产品产量与单位成本资料如下：月份 产 量（千件） 单位成本（元） １ ２ ７３ ２ ３ ７２ ３ ４ ７１ ４ ３ ７３ ５ ４ ６９ ６ ５ ６８要求：（１）计算相关系数，说明两个变量相关的密切程度。

（２）配合回归方程，指出产量每增加1000件时，单位成本平均变动多少？ （３）假定产量为6000件时，单位成本为多少元？解：计算相关系数时，两个变量都是随机变量，不须区分自变量和因变量。

考虑到要配和合回归方程，所以这里设产量为自变量（ｘ），单位成本为因变量（ｙ）月 份 产量（千件） 单位成本 2x 2y ｘｙ ｎ ｘ （元）ｙ１ ２ ７３ ４ ５３２９ １４６ ２ ３ ７２ ９ ５１８４ ２１６ ３ ４ ７１ １６ ５０４１ ２８４ ４ ３ ７３ ９ ５３２９ ２１９ ５ ４ ６９ １６ ４７６１ ２７６ ６ ５ ６８ ２５ ４６２４ ３４０ 合计 ２１ ４２６ ７９ ３０２６８ １４８１ （１）计算相关系数[][]∑∑∑∑∑∑∑---=2222)()(y y n x xn yx xy n γ[][]9091.0426302686217964262114816-=-⨯-⨯⨯-⨯=9091.0-=γ说明产量和单位成本之间存在高度负相关。

（２）配合回归方程ｙ＝ａ＋ｂｘ∑∑∑∑∑--=22)(x x n y x xy n b =-1.82x b y a -==77.37回归方程为：ｙ＝７７.３７－１.８２ｘ（３）当产量为６０００件时，即ｘ＝６，代入回归方程： ｙ＝７７.３７－１.８２×６＝６６.４５（元）例6-2 根据某部门8个企业 产品销售额和销售利润的资料得出以下计算结果：∑xy =189127 ∑x2=2969700∑x =4290∑y2=12189.11∑y =260.1要求:（1）计算产品销售额与利润额的相关关系;（2）建立以利润额为因变量的直线回归方程并说明回归系数的经济意义； （3）计算估计标准误差。

解：（１）计算相关系数[][]∑∑∑∑∑∑∑---=2222)()(y y n x xn yx xy n γ=0.9934（２）配合回归方程ｙ＝ａ＋ｂｘ∑∑∑∑∑--=22)(x x n y x xy n b =0.742x b y a -==-7.2773回归方程为：ｙ＝-7.2772+0.742ｘ（3）估计标准误：22---=∑∑∑n xy b y a ysy=2.8493例6-3 某地区家计调查资料得到,每户平均年收入为8800元,方差为4500元,每户平均年消费支出为6000元,均方差为60元,支出对于收入的回归系数为0.8, 要求:(1)计算收入与支出的相关系数；(2)拟合支出对于收入的回归方程； (3)收入每增加1元,支出平均增加多少元。

解：收入为x ,支出为y ， 由已知条件知：8800=-x 元, 45002=x σ元 6000=-y 元 60=y σ b=0.8（1）计算相关系数: r =byx σσ =0.8604500⨯=0.89 （2）设配合回归直线方程为y c =a+bx a =---x b y=6000-0.88800⨯=-1040故支出对于收入的回归方程为 y c =-1040+0.8x （3）当收入每增加1元时,支出平均增加0.8元。

例7-1：某工业企业资料如下：要求计算：（1）一季度月平均工业增加值；（2）一季度月平均工人数； （3）一季度月平均劳动生产率； （4）一季度劳动生产率。

例7-2：某企业2003年有关某一产品的生产资料如下：要求：(1)用水平法计算该产品产量在第二季度的月平均增长速度； (2)计算生产工人人数在第二季度的月平均增长量； (3)计算第二季度的月平均劳动生产率。

（1）产量的平均发展速度%65.1012963103302===a a x （2）三月份工人人数25122502521=+=b （人） 六月份工人人数24922562423=+=b （人） 第二季度工人数的月平均增长量13251249303-=-=-=b b d （人） （2）30633103083003321=++=++=a a a a （件）321214321b b b b b +++=67.25132562124226025021=⨯+++⨯=（人） （2分）b ac =22.167.251306==（件/人）例7-3：已知下列资料计算：(1)第二季度每月劳动生产率；(2)第二季度平均月劳动生产率； (3)二季度劳动生产率。

例7-4：某商店有关资料如下：试计算：（1）各月商品周转次数（2）第一季度平均每月的商品周转次数（3）第一季度商品周转次数（1）一月份商品周转次数=)(22100次=二月份商品周转次数=)(325452159次=+三月份商品周转次数=)(5.225054130次=+（2）)(51.23/1553/3893/)2505452248(3/)130159100(次==+++++==b a c（3）)(53.751.23次=⨯=⋅c n例8-1：设某商店三种商品报告期和基期销售量及价格等资料如表所示： 表 某商店商品销售情况表 某商店商品销售情况销售额指数qp K =∑∑0011p qp q =163200202946=124.35% 销售额增加量：∑11p q －∑00p q =202946－163200=39746元 销售量指数q K =∑∑0001p q p q =163200179020=109.69% 由于销售量增加而引起的销售额增加量为：∑01p q －∑00p q =179020－163200=15820（元） 销售价格指数p K =∑∑1011q p q p =179020202946=113.36% 由于销售价格增加而引起的销售额增加量为：∑11q p －∑10q p =202946－179020=23926（元）销售额与销售量、价格之间数值变动的关系为：124.35%=109.69%×113.36%39746元=15820元+23926元计算结果表明，三种商品销售额报告期比基期总的增长了24.35%，绝对额增加了39746元，其中，三种商品销售量平均增长了9.69%，使销售额增加了15820元；销售价格平均增加了13.36%，使销售额增加了23936元。