数学建模中常用的算法和经验

5、动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定
界等计算机算法
• 对有约束条件的最优化问题（其可行解为有限数）的所有可行解空间 恰当地进行系 • 统搜索，这就是分枝与定界内容。通常，把全部可行解空间反复地分 割为越来越小的子 • 集，称为分枝；并且对每个子集内的解集计算一个目标下界（对于最 小值问题），这称 • 为定界。在每次分枝后，凡是界限超出已知可行解集目标值的那些子 集不再进一步分枝， • 这样，许多子集可不予考虑，这称剪枝。这就是分枝定界法的主要思 路。 • 这些算法是算法设计中比较常用的方法，很多场合可以用到竞赛中。 • 92 年B 题用分枝定界法 • 97 年B 题是典型的动态规划问题
4、图论算法
这类算法可以分为很多种，包括最短路、网 络流、二分图等算法，涉及到图论的问题可 以用这些方法解决，需要认真准备。 这类问题算法有很多，包括：Dijkstra、 Floyd、Prim Bellman-Ford，最大流，二分匹配等问题。 98 年B 题、00年B 题、95 年锁具装箱等问题 体现了图论问题的重要性
插值拟和与参பைடு நூலகம்估计
• 插值：求过已知有限个数据点的近似函数。 • 拟合：已知有限个数据点，求近似函数，不要求过已知数据点， 只要求在某种意义 • 下它在这些点上的总偏差最小。 • 插值和拟合都是要根据一组数据构造一个函数作为近似，由于 近似的要求不同，二 • 者的数学方法上是完全不同的。而面对一个实际问题，究竟应 该用插值还是拟合，有时 • 容易确定，有时则并不明显。 • 拟合与插值方法（给出一批数据点，确定满足特定要求的曲线 或者曲面，从而反映对象整体的变化趋势）： matlab可以实现 一元函数，包括多项式和非线性函数的拟合以及多元函数的拟 合，即回归分析，从而确定函数； 同时也可以用matlab实现分 段线性、多项式、样条以及多维插值。
建模中常用的算法和经验
常用算法和一些个人经验 （仅供参考）
主要内容
• 一、简介建模； • 二、建模中常用的算法； • 三、组队时应该考虑哪些； • 四、赛前准备； • 五、赛中的角色分配。
一、建模简介
• 数学建模竞赛与纯数学竞赛有本质上的区别。它 涉及计算机、物理、化学、生物、医学、管理等 各个领域，当然基本的数学知识是必备的，但它 又不受任何一门具体的学科、领域所局限。这就 要求我们知识面宽广，也是我们参加建模的目的 所在，通过建模拓展我们的知识面，增加学习的 技能。
图论
最短路问题：两个指定顶点之间的最短路径—给出了一个连接若干个城 镇的铁路网络，在这个网络的两个指定城镇间，找一条最短铁路线 （Dijkstra算法 ）每对顶点之间的最短路径 （Dijkstra算法、Floyd算 法 ）。 最小生成树问题：连线问题—欲修筑连接多个城市的铁路设计一个线路 图，使总造价最低（prim算法、Kruskal算法 ）。 图的匹配问题：人员分派问题：n个工作人员去做件n份工作，每人适合 做其中一件或几件，问能否每人都有一份适合的工作？如果不能，最多 几人可以有适合的工作？(匈牙利算法)。 遍历性问题：中国邮递员问题—邮递员发送邮件时，要从邮局出发，经 过他投递范围内的每条街道至少一次，然后返回邮局，但邮递员希望选 择一条行程最短的路线 最大流问题。 运输问题： 最小费用最大流问题：在运输问题中，人们总是希望在完成运输任务的 同时，寻求一个使总的运输费用最小的运输方案
2、数据拟合、参数估计、插值等数据处理算
法
• 比赛中通常会遇到大量的数据需要处理，而处理数据的关 • 键就在于这些算法，通常使用MATLAB 作为工具。与图 形 • 处理有关的问题很多与拟合有关系。 • 98 年美国赛A 题，生物组织切片的三维插值处理。 • 94 年A 题逢山开路，山体海拔高度的插值计算。 • 此类问题在MATLAB中有很多函数可以调用，只有熟悉 • MATLAB，这些方法才能用好。
二、建模中的常用算法
• 建模中根据具体问题的不同可以采用不同的算法 ，一个算法可能解决一类问题，当然对于同一个 问题，也可能有不同的算法求解，不同算法求解 的差异可能不大也可能大相径庭，也就是说建模 时没有最好的算法，只是适合和不适合。
常用算法：
1、蒙特卡罗算法：该算法又称随机性模拟算法，是通过计算机仿真
来解决问题的算法，同时可以通过模拟可以来检验自己模型的正确性， 是比赛时必用的方法。 • 求解各种类型规划。（随机取样法 m文件 lingo软件） • 选址问题 固定费用问题 指派问题 生产销售计划问题 97年的A题，每个零件都有自己的标定值，也都有自己的容差等 级，而求解最优的组合方案将要面对着的是一个极其复杂的公式 和108种容差选取方案，根本不可能去求解析解，那如何去找到 最优的方案呢？随机性模拟搜索最优方案就是其中的一种方法， 在每个零件可行的区间中按照正态分布随机的选取一个标定值和 选取一个容差值作为一种方案，然后通过蒙特卡罗算法仿真出大 量的方案，从中选取一个最佳的。 02年的B题，关于彩票第二问，要求设计一种更好的方案， 首先方案的优劣取决于很多复杂的因素，同样不可能刻画出一 个模型进行求解，只能靠随机仿真模拟。
3、线性规划、整数规划、多元规划、二次规
划等规划类问题
此类问题主要有线性规划、整数规划、多元规划、二次 规划等。竞赛中很多问题都和数学规划有关，可以说不 少的模型都可以归结为一组不等式作为约束条件、几个 函数表达式作为目标函数的问题，遇到这类问题，求解 就是关键了。 98年B 题，用很多不等式完全可以把问题刻画清楚。 因此列举出规划后用Lindo、Lingo 等软件来进行解决比 较方便，所以还需要熟悉这两个软件。
常用算法
在数学建模中常用的方法：类比法、二分法、量纲 分析法、差分法、变分法、图论法、层次分析法、 数据拟合法、回归分析法、数学规划（线性规划， 非线性规划，整数规划，动态规划，目标规划）、 机理分析、排队方法、对策方法、决策方法、模糊 评判方法、时间序列方法、灰色理论方法、现代优 化算法（禁忌搜索算法，模拟退火算法，遗传算法， 神经网络）。 用这些方法可以解下列一些模型：优化模型、微分 方程模型、统计模型、概率模型、图论模型、决策 模型。