一元二次方程及其解法应用

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一元二次方程的解法及其应用

一元二次方程的解法及其应用一元二次方程是指只含有一个未知数的二次方程，其一般形式为ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c为已知实数且a ≠ 0。

解法：一元二次方程的解法主要有两种：因式分解法和求根公式法。

1. 因式分解法：当一元二次方程的形式可以直接因式分解时，使用因式分解法可以快速求得其解。

例如，对于方程x^2 + 5x + 6 = 0，我们可以将其因式分解为(x + 2)(x + 3) = 0。

根据零乘法，当一个乘积等于零时，其中一个或多个因子必须为零。

因此，我们得到x + 2 = 0或x + 3 = 0，从而解得x = -2或x = -3。

这两个解是方程的根，即方程的解集为{-2, -3}。

2. 求根公式法：对于一般形式的一元二次方程ax^2 + bx + c = 0，可以使用求根公式法求得其解。

根据求根公式：x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)，我们可以直接计算出方程的解。

例如，对于方程2x^2 + 5x - 3 = 0，根据求根公式，我们有x = (-5 ±√(5^2 - 4*2*(-3))) / (2*2)。

计算得x = (-5 ± √(25 + 24)) / 4，进一步化简得x = (-5 ± √49) / 4，即x = (-5 ± 7) / 4。

因此，方程的解为x = (-5 + 7) / 4或x = (-5 - 7) / 4，简化得x = 1/2或x = -3/2。

解集为{1/2, -3/2}。

应用：一元二次方程的解法在数学中有着广泛的应用。

以下是一些常见的应用场景：1. 几何问题：一元二次方程的解法可以应用于几何问题中，例如求解二次函数的零点，即方程y = ax^2 + bx + c = 0的解，可以帮助我们确定函数的图像与x轴的交点，从而求得抛物线的顶点、焦点等信息。

2. 物理问题：在物理学中，一元二次方程的解法可以用于解决与运动和力有关的问题。

数学第讲一元二次方程及应用

❖ 3、(５x-４)2 -(4-５x)=０ ( 分解因式法）
❖ 4、 x２-４x-10=０
( 配方法）
❖ 5、３x２-４x-５=０
( 公式法）
❖ 6、 x２＋６x-1=0
( 配方法）
❖ 7、 y2- y-1=0
( 公式法）
小结：选择方法的顺序是：直接开平方法 →分解因式法 → 配方法 → 公式法
【解析】由题意得 x1＋x2＝3，x1x2＝－2，所以 x21＋3x1x2＋x22＝x21＋2x1x2＋x22＋x1x2＝(x1＋x2)2 ＋x1x2＝33＋(－2)＝9－2＝7.
【答案】7
(2011 中考预测题)阅读材料：设一元二次方
程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根为 x1、x2，则
两根与方程系数之间有如下关系：x1＋x2＝－
b ≠0)有两个相等的实数根，即 x1＝x2＝－2a；
3．b2－4ac＜0⇔一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0(a
≠0)没有实数根；
一元二次方程根的判别式：
△=b2-4ac>0 △=b2-4ac=0 △=b2-4ac<0
有两个不相等实数根有两个相等实数根方程无实数解
(2010·上海)已知一元二次方程 x2＋x－1＝0，下列判断正确的是( ) A．该方程有两个相等的实数根 B．该方程有两个不相等的实数根 C．该方程无实数根 D．该方程根的情况不确定
一元二次方程的应用
考点三：一元二次方程根的判别式
关于 x 的一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠
0)的根的判别式为 b2－4ac.
1．b2－4ac＞0⇔一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0(a
≠ 0) 有两个不相等的实数根，则 x1,2 ＝

一元二次方程的解法及其实际应用

。
例 3 已知关于 x 的一元二次方程 ax2 bx c 0a 0 的系数满足 a c b ，则此方程必有一根
为
。
针对练习：
★1、已知方程 x2 kx 10 0 的一根是 2，则 k 为
，另一根是 kx 2 0 的一个解与方程 x 1 3 的解相同。⑴求 k 的值； ⑵方程的另一个 x 1
。
变式 3：若 x2 xy y 14 ， y 2 xy x 28 ，则 x+y 的值为
。
例 3、方程 x2 x 6 0 的解为（）
A. x1 3，x 2 2 B. x1 3，x 2 2 C. x1 3，x 2 3
例 4、已知 2x 2 3xy 2 y 2 0 ,则 x y 的值为
例2、已知 x、y 为实数，求代数式 x 2 y 2 2x 4 y 7 的最小值。
例3、已知 x2 y 2 4x 6 y 13 0，x、y 为实数，求 x y 的值。
针对练习：
★★1、试用配方法说明 10x2 7x 4 的值恒小于 0。
★★2、已知 x2 1 x 1 4 0，则 x 1
.
x2
x
x
类型四、公式法
⑴条件： a 0,且b2 4ac 0
⑵公式： x b b2 4ac , a 0,且b2 4ac 0 2a
类型五、 “降次思想”的应用
⑴求代数式的值；
⑵解二元二次方程组。
典型例题：
例1、已知 x2 3x 2 0 ，求代数式 x 13 x 2 1 的值。
④ x2 y2 (x y)( x y)( x y) ⑤方程 (3x 1)2 7 0 可变形为 (3x 1 7 )(3x 1 7) 0

用一元二次方程解应用题常见的范例及解题方法

每件盈利 40 元，为了扩大销售量，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果这种衬衫的售价每降
低 1 元，那么衬衫平均每天多售出 2 件，商场若要平均每天盈利
1200 元，每件衬衫应降价多少元？
分析：假设每件衬衫应降价 x 元，现每件盈利为（40－ x ）元，
现每天销售衬衫为（20＋2 x ）件，根据等量关系：
后本息共 1320 元，根据本息和=本金×（1＋利率）等量关系可列出方程。
解：设这种存款方式的年利率为 x 。根据题意得，[2000（1＋ x ）－1000]（1＋ x ）=1320 ∴(x1)2 －0.5( x ＋1)－0.06=0 ∴（ x ＋1＋0.6）（ x ＋1－1.1）=0
∴ x 1=－1.6（舍去）， x 2=0.1=10%
本金
对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术关，通系电1，力过根保管据护线生高0不产中仅工资2艺料22高试2可中卷以资配解料置决试技吊卷术顶要是层求指配，机置对组不电在规气进范设行高备继中进电资行保料空护试载高卷与中问带资题负料2荷试2，下卷而高总且中体可资配保料置障试时2卷，32调需3各控要类试在管验最路；大习对限题设度到备内位进来。行确在调保管整机路使组敷其高设在中过正资程常料1工试中况卷，下安要与全加过，强度并看工且25作尽52下可22都能护可地1关以缩于正小管常故路工障高作高中；中资对资料于料试继试卷电卷连保破接护坏管进范口行围处整，理核或高对者中定对资值某料，些试审异卷核常弯与高扁校中度对资固图料定纸试盒，卷位编工置写况.复进保杂行护设自层备动防与处腐装理跨置，接高尤地中其线资要弯料避曲试免半卷错径调误标试高方中等案资，，料要编试求5写、卷技重电保术要气护交设设装底备备置。4高调、动管中试电作线资高气，敷料中课并设3试资件且、技卷料中拒管术试试调绝路中验卷试动敷包方技作设含案术，技线以来术槽及避、系免管统不架启必等动要多方高项案中方；资式对料，整试为套卷解启突决动然高过停中程机语中。文高因电中此气资，课料电件试力中卷高管电中壁气资薄设料、备试接进卷口行保不调护严试装等工置问作调题并试，且技合进术理行，利过要用关求管运电线行力敷高保设中护技资装术料置。试做线卷到缆技准敷术确设指灵原导活则。。：对对在于于分调差线试动盒过保处程护，中装当高置不中高同资中电料资压试料回卷试路技卷交术调叉问试时题技，，术应作是采为指用调发金试电属人机隔员一板，变进需压行要器隔在组开事在处前发理掌生；握内同图部一纸故线资障槽料时内、，设需强备要电制进回造行路厂外须家部同出电时具源切高高断中中习资资题料料电试试源卷卷，试切线验除缆报从敷告而设与采完相用毕关高，技中要术资进资料行料试检，卷查并主和且要检了保测解护处现装理场置。设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。

一元二次方程与实际问题的公式

一元二次方程与实际问题的公式一、引言在数学学科中，一元二次方程是一种经典的数学概念。

它在代数学和实际问题中有着重要的应用。

本文将深入探讨一元二次方程及其在实际问题中的应用，帮助读者更加全面地理解这一数学概念。

二、一元二次方程的基本形式和求解方法一元二次方程通常写作ax²+bx+c=0的形式，其中a、b和c是已知的常数，而x是未知数。

解一元二次方程可以使用因式分解、配方法和求根公式等方法。

这些方法能够帮助我们找到方程的根，进而解决各种实际问题。

三、一元二次方程在几何中的应用以一元二次方程为基础的二次函数能够描述抛物线的形状。

抛物线在现实生活和几何中都有广泛的应用，比如天文学中的行星运动轨迹、物理学中的抛体运动等。

一元二次方程在几何中有着重要的地位。

四、一元二次方程在经济学中的应用在经济学中，成本、收益和利润往往是与生产量或销售量相关的。

这些关系通常可以用一元二次方程来描述。

通过求解一元二次方程，我们可以找到最大化利润或最小化成本的最优解，这对企业经营和管理有着重要的指导意义。

五、一元二次方程在物理学中的应用在物理学中，一元二次方程经常出现在描述运动、力学和波动等方面。

比如自由落体运动、弹簧振动系统的频率等问题，都可以用一元二次方程来建模和求解。

六、总结与展望通过对一元二次方程的深入探讨，我们可以看到它在数学、几何、经济学和物理学中都有着广泛的应用。

它不仅是一种抽象的数学概念，更是解决实际问题的有力工具。

希望本文能够帮助读者更好地理解一元二次方程及其在实际问题中的应用，让数学变得更加具体和生动。

七、个人观点在我看来，数学中的一元二次方程不仅是一种工具，更是一种思维方式。

通过对实际问题的抽象和建模，我们可以运用数学的知识和方法来解决各种复杂的问题。

我认为掌握一元二次方程及其应用是非常重要的。

希望读者能够通过本文的阅读，对一元二次方程有更深入的理解和应用。

通过本文对一元二次方程的探讨，我们可以深刻地理解这一数学概念所蕴含的丰富内涵。

一元二次方程的解法及实际应用

一元二次方程的解法及实际应用一、引言在数学中，一元二次方程是一种常见的形式，它可以用来解决很多实际生活中的问题。

本文将介绍一元二次方程的解法，并探讨一些实际应用。

二、一元二次方程的解法1. 标准形式一元二次方程的标准形式为：ax² + bx + c = 0。

其中，a、b、c分别代表方程中的系数，且a ≠ 0。

2. 利用“求根公式”解方程一元二次方程可通过求根公式来解决。

求根公式为：x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a。

- 若b² - 4ac > 0，方程有两个不同实数根；- 若b² - 4ac = 0，方程有一个实数根，且为重根；- 若b² - 4ac < 0，方程无实数根，但可以有复数根。

三、实际应用1. 抛体运动在物理学中，抛体运动问题可以通过一元二次方程来建模和求解。

例如，当我们抛出一个物体时，可以通过解一元二次方程来计算物体的落地时间、最高高度等。

2. 金融领域一元二次方程在金融领域中也有实际应用。

例如，在债券定价中，可以使用一元二次方程来计算债券的到期回报率；在利润预测模型中，可以通过一元二次方程来估计销售量与利润之间的关系。

3. 工程建模在工程领域中，一元二次方程经常用于建立工程模型和解决实际问题。

例如，用于预测水位变化情况、建筑物的稳定性分析等。

4. 生活中的应用一元二次方程还广泛应用于我们的日常生活中，例如：- 菜价预测：可以使用一元二次方程拟合历史数据，预测未来的价格变动趋势；- 汽车刹车距离计算：根据实验数据构建一元二次方程，通过计算得到刹车距离；- 光学仪器矫正：利用一元二次方程来计算镜片的度数以及矫正度数；- 音乐振动学：通过一元二次方程来计算乐器的音调和共振频率。

四、结论一元二次方程作为数学中常见的形式，具有广泛的实际应用领域。

掌握一元二次方程的解法有助于我们在解决实际问题时提供更准确的结果。

一元二次方程的解法及应用

一元二次方程的解法及应用一元二次方程是数学中常见的二次多项式方程，其一般形式为ax²+bx+c=0，其中a、b、c为实数且a≠0。

解一元二次方程的方法通常有因式分解法、配方法和求根公式法等。

本文将依次介绍这几种解法，并探讨一元二次方程在实际生活中的应用。

一、因式分解法对于一元二次方程ax²+bx+c=0，当其可以因式分解成两个一次因式的乘积时，可以直接利用因式分解法求解。

具体步骤如下：1. 将方程转化为标准形式，即将方程两边移项合并同类项，使等式右边为0；2. 对方程进行因式分解，将二次项拆分为两个一次项的乘积；3. 令得到的每个一次项等于0，解出方程；4. 检查解是否满足原方程，若满足则为方程的解，若不满足则舍去。

例如，对于方程3x²+7x+2=0，可以进行因式分解得到(3x+1)(x+2)=0，解得x=-1/3和x=-2。

二、配方法配方法是通过变形将一元二次方程转化为一个完全平方的形式，进而求解方程。

其主要步骤如下：1. 将方程转化为标准形式；2. 将方程的一次项系数b通过添加或减去一个适当的常数c/2a使其成为一个完全平方；3. 将方程的左边转化为一个完全平方，即将一次项的系数与1/2a相乘后平方；4. 将方程的两边开平方，解出方程。

例如，对于方程x²+4x-3=0，可以通过配方法将其变形为(x+2)²-7=0，进而解得x=-2+√7和x=-2-√7。

三、求根公式法求根公式法也称为根号公式法，适用于任何一元二次方程的解法。

一元二次方程ax²+bx+c=0的解可通过求根公式x=(-b±√(b²-4ac))/2a得到。

具体步骤如下：1. 将方程的系数代入求根公式，并计算出方程的两个解；2. 验证解是否满足原方程，若满足则为方程的解，若不满足则舍去。

例如，对于方程2x²-5x+2=0，代入求根公式得到x=1和x=2/2。

一元二次方程的解法及应用

一元二次方程的解法及应用一元二次方程是高中数学中的重要内容，它在现实生活中的应用领域十分广泛。

本文将介绍一元二次方程的基本概念、解法和应用，以帮助读者更好地理解和应用这一数学知识。

1. 一元二次方程的基本概念一元二次方程是指含有一个未知数的二次项的方程，其一般形式为ax^2+bx+c=0，其中a、b、c为已知常数，且a≠0。

方程中的x代表未知数，而a、b、c则分别表示二次项系数、一次项系数和常数项。

2. 一元二次方程的解法解一元二次方程的常用方法有因式分解法、配方法和求根公式法。

下面将逐一介绍这些方法。

2.1 因式分解法当一元二次方程可以因式分解时，可以利用因式分解法求解。

例如，对于方程x^2+5x+6=0，可以将其分解为(x+2)(x+3)=0，然后令括号中的两个因式分别等于0，解得x=-2和x=-3，即方程的解为x=-2和x=-3。

2.2 配方法对于一些无法直接因式分解的一元二次方程，可以使用配方法进行求解。

配方法的关键是通过添加或减少适当的常数，使方程转化为一个可以因式分解的形式。

以方程x^2+4x-5=0为例，我们可以通过加上9和减去9来完成配方，即(x^2+4x+9)-9-5=0，化简后得到(x+2)^2=14，然后对方程两边开方，得到x+2=±√14，再解得x=-2±√14。

因此，方程的解为x=-2+√14和x=-2-√14。

2.3 求根公式法如果一元二次方程无法通过因式分解或配方法求解，可以利用求根公式进行计算。

求根公式即一元二次方程的根的公式表示。

根据求根公式，一元二次方程ax^2+bx+c=0的根可由公式x=(-b±√(b^2-4ac))/2a给出。

例如，对于方程2x^2+5x-3=0，可以直接利用求根公式计算，得到x=(-5±√(5^2-4*2*(-3)))/(2*2)，进一步计算得到x=1/2和x=-3。

3. 一元二次方程的应用一元二次方程在各个领域有广泛的应用。

一元二次方程的求解方法及应用

一元二次方程的求解方法及应用一元二次方程是高中数学中的重要内容，广泛应用于实际问题的建模与求解。

本文将介绍一元二次方程的求解方法，并通过实际应用案例展示其在解决现实问题中的应用价值。

一、一元二次方程的一般形式一元二次方程的一般形式为：ax²+bx+c=0，其中a、b、c为已知实数，且a≠0。

方程中的x称为未知数，Δ=b²-4ac称为方程的判别式。

二、求解一元二次方程的方法1. 因式分解法当方程能够被因式分解为两个一次因式相乘的形式时，可利用因式分解法求解。

以下是一个例子：假设给定方程 2x²+5x+3=0，可以通过因式分解的方式将其转化为(x+1)(2x+3)=0。

得到x+1=0或2x+3=0，解得x=-1或x=-3/2。

2. 公式法当方程无法进行因式分解时，可以通过一元二次方程的求根公式来求解。

一元二次方程的求根公式为：x = (-b±√Δ)/(2a)其中，±表示两个解，Δ=b²-4ac为方程的判别式。

以下是一个例子：考虑方程 3x²-4x-1=0，可以得到a=3，b=-4，c=-1。

根据求根公式，我们可以计算出Δ=(-4)²-4×3×(-1)=40。

然后带入求根公式，得到x= (4±√40)/(2×3)。

进一步化简得到x=(2±√10)/3，即为方程的解。

3. 完全平方式当方程是一个完全平方的形式时，也可以利用完全平方方式求解。

以下是一个例子：考虑方程 x²+6x+9=0，可以将其写成(x+3)²=0的形式。

根据完全平方式，得到x+3=0，解得x=-3。

三、一元二次方程的应用一元二次方程在实际问题中的应用非常广泛。

举个例子，考虑以下实际问题：某物体从高度h0开始自由落体，经过t秒后落地。

已知重力加速度为g，则有以下一元二次方程描述物体的高度：h(t) = h0 - 0.5gt²其中h(t)表示t秒后物体的高度。

一元二次方程解法与应用

一元二次方程解法与应用【知识要点】1. 一元二次方程你知道有哪些常用解法？2. 还记得如何用配方法解方程吗？3. 因式分解法解方程的理论依据是什么？4. 如何解决实际应用中的增长率和经营问题【典型例题】#例1判断下列方程是不是一元二次方程:(1)x 2 y 1(5) a 1 x 2 k 1 ( a 、k 是常数)#例3.用适当的方法解下列方程:2(1) x 1 5 (6) x 1 x 2 x 1 x 2 2x 1 x 1#例2.当m 为何值时，方程 3mx 2 2mx 5x 2m 是关于x 的.次方程?(3) xy 1(4)2x x 232(2) 81 x 2 16再用水加满，这时容器里的溶液含纯酒精32升，求每次倒出溶液的升数.(3) x 2 4x 5 0 (4) x 2 2ax a 2 0例4 .用配方法解下列方程2(1)2x 5x 1(2)4x 28x 1(3) x 2 px q 0( p 24q 0)(4)y 2 y 1 y y 1 0例6.容器盛满纯酒精 50升，第一次倒出一部分纯酒精后用水加满，第二次又倒出同样多的酒精溶液,例5. 用适当的方法解方程(1) 3x 2 5x 4x(x3)(x 2)(x 3)(3) x 2 3x 2x .6(4) (2y 1)2 3(1 2y)例7某书店老板去批发市场购买某种图书，第一次购用100元，按该书定价2.8元现售，很快售完•由于该书畅销，第二次购书时，每本的批发价已比第一次高0.5元，用去了150元，所购数量比第一次多410本•当这批书售出4时，出现滞销，便以定价的5折售完剩余的图书，试问该老板第二次售书是赔钱5了，还是赚钱了（不考虑其它因素）？若赔钱，赔多少？若赚钱，赚多少？3 i例8.已知a ，求a4 5a3 6a2 5a 4J3 1*例9.已知方程x2 bx c 0及x2 ex b 0分别各有两个整数根x1, x2及x1, x2,且x1x2 0, x1 x20 • (1)求证：x10, x20,x10, x2 0 ； (2)求证：b 1 e b 1 ； (3)求b,e 所有可能的值.再用水加满，这时容器里的溶液含纯酒精32升，求每次倒出溶液的升数.*例10.小强有5张人民币，面值合计20元。

一元二次方程的应用题解法

解一元二次方程的应用题一般步骤是“审、设、列、解、答”，本节主要针对解决利率、利润经营决策、面积、动点等问题，进行分析讲解，通过建立一元二次方程，得到要求结果．本章节的内容综合性较强．1、比赛问题：解决此类问题的关键是分清单循环和双循环．（1）送贺卡原则是我送你一张你也要送我一张，所以对于每个人都送出去了1x -张，总共有x 个人所以列式为()1930x x -=；（2）而握手以及单循环比赛是不重复进行的，但我们可以假设它重复进行，所以列式为(1)1052x x -=．2、传播问题：(1)n a x A +=，a 表示传染前的人数，x 表示每轮每人传染的人数，n 表示传染的轮数或天数，A 表示最终的人数．内容分析知识结构知识精讲模块一传播问题一元二次方程的应用题解法例题解析【例1】学校组织了一次篮球单循环比赛（每两队之间都进行了一次比赛），共进行了15场比赛，那么有几个球队参加了这次比赛?【例2】参加一次商品交易会的每两家公司之间都签订一份合同，所有的公司共签订了45份合同，共有多少家公司参加商品交易会?【例3】某实验室需要培养一群有益菌，现有60个活体样本，经过两轮培植后，总和达到24000个，其中每个益生菌一次可以分裂出若干个相同数目的有益菌．求每轮分裂中平均每个有益菌可分裂出多少个有益菌?【例4】我们知道传销能扰乱一个地方的正常的经济秩序，是国家法律明令禁止的，如图是某传销公司的发展模式，该传销模式经两轮发展后，共有传销人员111名，问该传销公司要求每人发展多少名下家?模块二利率、利润问题知识精讲1、利率问题基本公式：利息=本金*利率*期数2、利润问题基本公式：单件利润=售价-成本；利润=（售价-成本）*销售的件数．例题解析【例5】小明同学将1000元压岁钱第一次按一年定期储蓄存入“少儿银行”，到期后将本金和利息取出，并将其中的500元捐给“希望工程”，剩余的又全部按一年定期存入，这时存款的年利率已下降到第一次存款时年利率的60%，这样到期后，可得本金和利息共530元，求第一次存款时的年利率．（利息税为20%，只需要列式子）【例6】某商场按标价销售某种工艺品时，按照标价出售，每件可获利45元，并且商场每天可售出该工艺品100件，若每件工艺品降价1元，则每天可多售出该工艺品4件．（1）每件工艺品应降多少元出售，可使每天获得的利润为4900？（2）若已知按标价的八五折销售该工艺品8件与标价降低35元销售工艺品12件所获得的利润相等，则工艺品每件的进价为多少元?【例7】某单位组织员工去天河湾旅游度假，咨询了几家旅行社，定价相当，可有不同的优惠方案．稍后见到某旅行社的广告：基价1000元/人，若单位组织超过25人，每增加1人可将人均定价降低20元，结合单位员工人数进行比较，发现这家旅行社价格明显优于其他的旅行社，最终选择了这家旅行社．旅行结束后，单位经办人员按照这一标准，准备了2.7万元的支票前去结账，却被告知金额不止2.7万元，并取出合同，指明在有关旅游景点、食宿标准、自费项目等附则最后一项约定：优惠后的价格以人均不低于700元为限．双方对此发生争执，经当地消费者协会调查，调解，认为旅行社未在广告、合同明显位置明确这一约定，且不能提供证明在签字合同时尽到了告知的义务，存在欺诈行为；但鉴于消费者在签订合同时的失误，也应承担双方争执差额的30%的责任．（1）这家单位还应补缴多少金额?（2）对这一场消费纠纷，你有什么想法?【例8】利达经销店为某工厂代销一种建筑材料（这里的代销是指厂家先免费提供货源，待货物售出后再进行结算，未售出的由厂家负责处理）．当每吨售价为260元时，月销售量为45吨．该经销店为提高经营利润，准备采取降价的方式进行促销．经市场调查发现：当每吨售价每下降10元时，月销售量就会增加7.5吨．综合考虑各种因素，每售出一吨建筑材料共需支付厂家及其它费用100元．（1）当每吨售价是240元时，计算此时的月销售量；（2）在遵循“薄利多销”的原则下，问每吨材料售价为多少时，该经销店的月利润为9000元．（3）小静说：“当月利润最大时，月销售额也最大．”你认为对吗？请说明理由．1、面积问题：首先判断清楚要设的未知数是关键点，其次找出题目中的等量关系，然后判断所求面积的图形的形状，再根据公式将要求出的量用x 表示出来．例如要求的某个长方形面积，就必须先把长和宽表示出来．【例9】如图，某农场要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长18m ），另三边用木栏围成，木栏长35m ．（1）农场的面积能达到1502m ？（2）农场的面积能达到1802m 吗？如果能，请给出设计方案；如果不能，请说明理由．（3）若墙长为a m ,另三边用竹篱笆围成，题中的墙长度a m 对题目的解起着怎样的作用？【例10】有一面积是150平方米的长方形鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长18米），墙对面有一个2米宽的门，另三边（门除外）用竹篱笆围成，篱笆总长33米．求鸡场的长和宽各多少米?模块三面积问题知识精讲例题解析 18米2米九年级练数学习同步【例11】如图，要设计一本书的封面，封面长27cm ，宽21cm ，正中央是一个与整个封面长宽比例相同的长方形，如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，上、下边衬等宽，左、右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度（精确到0.1cm ）？【例12】如图，某中学为方便师生活动，准备在长30m ，宽20m 的长方形草坪上修两横两纵四条小路，横纵路的宽度之比为2∶1，若使余下的草坪面积是原来草坪面积的三分之二，则路宽应为多少（精确到0.1cm ）?【例13】要对一块长60米、宽40米的长方形荒地ABCD 进行绿化和硬化，设计方案如图所示，长方形形P 、Q 为两块绿地，其余为水泥路面，P 、Q 两块绿地周围的水泥路面宽都相等，并使两块绿地面积的和为长方形ABCD 面积的14，求P 、Q 两块绿地周围的水泥路面的宽度．A B CDP Q传播问题1、动态几何类问题：（1）若动态图形比较特殊，思考用基本几何图形的面积公式找等量关系列方程或函数关系式；（2）如动态图形不特殊，则思考用组合图形的面积和差找等量关系列方程或函数关系式；【例14】如图，长方形ABCD 中，AB =6cm ，BC =12cm ，点P 从A 开始沿AB 边向点B 以1厘米/秒的速度移动，点Q 从点B 开始沿BC 边向点C 以2厘米/秒的速度移动，当点P 到达B 点或点Q 到达C 点时，两点停止移动，如果P 、Q 分别是从A 、B 同时出发，t 秒钟后．（1）求出△PBQ 的面积；（2）当△PBQ 的面积等于8平方厘米时，求t 的值；（3）是否存在△PBQ 的面积等于10平方厘米，若存在，求出t 的值，若不存在，说明理由．模块五动态几何类问题知识精讲例题解析A BCD P Q【例15】在长方形ABCD 中，AB =9cm ，BC =15cm ，点P 从点A 开始以3cm /s 的速度沿AB边向点B 移动，点Q 从点B 开始以cm /s 的速度5沿BC 边向点C 移动，如果P 、Q 分别从A 、B 同时出发，当点Q 运动到点D 时，P 、Q 两点同时停止运动，试求△PQD 的面积S 与P 、Q 两个点运动的时间t 之间的函数关系式．【例16】等腰直角三角形ABC 中，AB =BC =8cm ，动点P 从A 点出发，沿AB 向B 移动，通过点P 引平行于BC 、AC 的直线与AC 、BC 分别交于R 、Q ．当AP 等于多少厘米时，平行四边形PQCR 的面积等于162cm ?A BCD P QABC Q PR【例17】有一边为8cm 的正方形ABCD 和等腰三角形PQR ，PQ ＝PR ＝5cm ，QR ＝52cm ，点B 、C 、Q 、R 在同一直线l 上，当C 、Q 两点重合时，等腰三角形PQR 以1cm /s 的速度沿直线l 按箭头方向匀速运动，t 秒后正方形ABCD 与等腰三角形PQR 重合部分的面积为5，求时间t ．【例18】已知竖直上抛物体离地高度h （米）和抛出瞬间的时间t （秒）的关系是2012h v t gt =-，0v 是抛出时的瞬时速度，常数g 取10米/秒2．一枚爆竹以0v =30米/秒的速度从地面上升，试求：（1）隔多少时间爆竹离地面高度是25米?（2）多少时间以后爆竹落地?【例19】象棋比赛中，每个选手都与其他选手恰好比赛一局，每局赢者记2分，输者记0分．如果平局，两个选手各记1分，有四个同学统计了比赛中全部选手的得分总数，分别是1979，1980，1984，1985.经核实，有一位同学统计无误，其他三名同学均有错误.试计算这次比赛共有多少个选手参加．模块六其他类问题例题解析A B C DPQ Rl【例20】一个容器内乘有60升纯酒精，倒出若干升后用水加满，第二次倒出比第一次多14升的溶液，再用水加满．这时容器内纯酒精和水正好各占一半，问第一次倒出了多少的纯酒精?随堂检测【习题1】要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场，比赛组织者应邀请多少个队参赛．【习题2】用20厘米长的铁丝能否折成面积为30平方厘米的长方形，若能够，求它的长与宽；若不能，请说明理由．【习题3】小华勤工俭学挣的100元钱按一年期存入银行，到期后取出50元来购买学习用品，剩下的50元和所得的利息又全部按一年定期存入银行，若存款的年利率又下调到原来的一半，这样到期后可得本息和为63元，求第一次存款的年利率（不计利息税）【习题4】某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品，据市场分析，若每千克50元销售，一个月能售出500kg，销售单价每涨1元，月销售量就减少10kg，针对这种水产品情况，请解答以下问题：（1）当销售单价定为每千克55元时，计算销售量和月销售利润．（2）设销售单价为每千克x元，月销售利润为y元，求y与x的关系式．（3）商店想在月销售成本不超过10000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，销售单价应为多少．【习题5】在一幅长80cm ，宽50cm 的长方形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅长方形挂图，如果四周金色纸边的面积是14002cm ，求金色纸边的宽．【习题6】课外植物小组准备利用学校仓库旁的一块空地，开辟一个面积为130平方米的花圃，打算一面利用长为15米的仓库墙面，三面利用长为31米的旧围栏，并且在花圃的较长的一面留一个2米门，求花圃的长和宽．【习题7】如图，用总长为54米的篱笆，在一面靠墙的空地上围成由八个小长方形组成的长方形花圃ABCD ，并使面积为72平方米，求AB 和BC 的长．【习题8】某林场计划修一条长750m ，断面为等腰梯形的渠道，断面面积为1.62m ，上口宽比渠深多2m ，渠底比渠深多0.4m ．（1）渠道的上口宽与渠底宽各是多少?（2）如果计划每天挖土483m ，需要多少天才能把这条渠道挖完．A B CD【习题9】一个容器盛满纯药液63L ，第一次倒出一部分纯药液后用水加满，第二次又倒出同样多的药液，再加水补满，这时容器内剩下的纯药液是28L ，设每次倒出液体x L ，求每次倒出的药液量．【习题10】某商场礼品柜台春节期间购进甲、乙两种贺年卡，甲种贺年卡平均每天可售出500张，每张盈利0.3元，乙种贺年卡平均每天可售出200张，每张盈利0.75元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，调查发现，如果甲种贺年卡的售价每降价0.1元，那么商场平均每天可多售出100张；如果乙种贺年卡的售价每降价0.25元，那么商场平均每天可多售出40张．如果商场要想每种贺年卡平均每天盈利120元，那么哪种贺年卡每张降价的绝对量大?【习题11】如图，Rt △ABC 中，∠B =90°，AC =10cm ，BC =6cm ，现有两个动点P 、Q 分别从点A 和点B 同时出发，其中点P 以2cm/s 的速度，沿AB 向终点B 移动；点Q 以1cm/s 的速度沿BC 向终点C 移动，其中一点到终点，另一点也随之停止．连接PQ ．设动点运动时间为x 秒．（1）用含x 的代数式表示BQ 、PB 的长度；（2）当x 为何值时，△PBQ 为等腰三角形；（3）是否存在x 的值，使得四边形APQC 的面积等于202cm ？若存在，请求出此时x 的值；若不存在，请说明理由．ABCPQ【作业1】从正方形的铁片上，截去宽为2厘米的一个长方形，余下的面积是48平方厘米，则原来的正方形铁片的面积是________．【作业2】已知有46米长的竹篱笆，要围成一边靠墙（墙长25米）的长方形鸡场，其面积是260平方米，则鸡场的长为______米，宽为______米．【作业3】在一块长12m ，宽8m 的长方形平地中央，划出地方砌一个面积为82m 的长方形花台，要使花坛四周的宽度一样，则这个宽度为多少?（结果保留根号）【作业4】如图所示的一防水坝的横截面（梯形），坝顶宽3m ，背水坡度为1：2，迎水坡度为1：1，若坝长30m ，完成大坝所用去的土方为45003m ，问水坝的高应是多少?（说明：背水坡度CF ：BF =1：2，迎水坡度1：1=DE ：AE ，10110.049 精确到0.1m ）【作业5】某种细菌，一个细菌经过两轮繁殖后，共有256个细菌，每轮繁殖中平均一个细菌繁殖了多少个细菌?【作业6】从盛满20升纯酒精的容器里倒出若干升，然后用水注满，再倒出同样升数的混合液后，这时容器里剩下纯酒精5升．问每次倒出溶液的升数?课后作业F E A BCD【作业7】某同学在初二年级末，将500元班费存入了半年期的定期储蓄，到期后取出240元，其余的继续存半年定期，毕业时正好到期，取到本利和272.68元．求这种储蓄半年期的获利率?（只列方程，不需要求解）.【作业8】将进价为40元的商品加价25%出售能卖出500个，若以后每涨1元，其销售量就减少10个，如果使利润为9000元，售价应该定为多少?【作业9】百货大搂服装柜在销售中发现：“七彩”牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了迎接“元旦”，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，减少库存．经市场调查发现：如果每件童装降价1元，那么平均每天就可多售出2件．（1）要想平均每天销售这种童装上盈利1200元，那么每件童装应降价多少元?（2）用配方法说明：要想盈利最多，每件童装应降价多少元?【作业10】已知在等腰直角三角形ABC 中，∠BAC =45°，CD ⊥AB ，垂足为D ，CD =2，P 是AB 上的一动点（不与A 、B 重合），且AP =x ，过点P 作直线l 与AB 垂直．（1）设三角形ABC 位于直线l 左侧部分的面积为S ，写出S 与x 之间的函数关系式；（2）当x 为何值时，直线l 将三角形ABC 的面积分成1:3的两部分．A BCD l P。

专题08一元二次方程及其应用(知识点总结例题讲解)-2021届中考数学一轮复习

中考数学专题 08 一元二次方程及其应用（知识点总结+例题讲解）一、一元二次方程有关概念：1.一元二次方程定义：只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是 2(二次)的整式方程，叫做一元二次方程；2.一般形式：ax2+bx+c=0；(其中 a、b、c 为常数，a≠0)（1）其中 ax2、bx、c 分别叫做二次项、一次项和常数项；（2）a、b 分别称为二次项系数和一次项系数；（3）二次项系数：a≠0；（当 a=0 时，不含有二次项，即不是一元二次方程）3.一元二次方程必须具备三个条件：（1）必须是整式方程（等号两边都是整式）；（2）必须只含有 1 个未知数；（3）所含未知数的最高次数是 2；4.一元二次方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解；一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根。

【例题1】（2020 秋•奉贤区期末）下列各方程中，一定是一元二次方程的是（）A．1 + 1 −2 = 0 B．ax2+bx+c＝0x2 xC．（x﹣2）2＝2（x﹣2）D．x2+2y＝3【答案】C【解析】利用一元二次方程定义进行解答即可．解：A、含有分式，不是一元二次方程，故此选项不符合题意；B、当 a＝0 时，不是一元二次方程，故此选项不符合题意；C、是一元二次方程，故此选项符合题意；= D 、含有两个未知数，不是一元二次方程，故此选项不符合题意；故选：C ．【变式练习 1】（2020 秋•丹阳市期末）关于 x 的方程（m+1）x 2+2mx ﹣3＝0 是一元二次方程，则（）A ．m≠±1B ．m ＝1C ．m≠1D ．m≠﹣1【答案】D【解析】根据一元二次方程定义可得 m+1≠0，再解可得答案．解：由题意得：m+1≠0，解得：m≠﹣1；故选：D ．【例题 2】（2020 秋•郫都区期末）若 x ＝m 是方程 x 2+x ﹣1＝0 的根，则 m 2+m+2020 的值为（）A ．2022B ．2021C ．2019D ．2018【答案】B【解析】把 x ＝m 代入已知方程，可以求得 m 2+m ＝1，然后整体代入所求的代数式求值即可．解：∵x＝m 是方程 x 2+x ﹣1＝0 的根，∴m 2+m ﹣1＝0，∴m 2+m ＝1，∴m 2+m+2020＝1+2020＝2021．故选：B ．【变式练习 2】设 m 是方程 x 2﹣3x+1＝0 的一个实数根，则m 4+m 2+18 ． m 2【答案】8【解析】利用一元二次方程的解的意义得到 m 2﹣3m+1＝0，两边除以 m 得到 m + 1=3，m再把原式变形得到原式＝m 2+1+ 1m 2=（m + 1 ）2﹣2+1，然后利用整体代入的方法计算． m解：∵m 是方程 x 2﹣3x+1＝0 的一个实数根，∴m 2﹣3m+1＝0，∴m + 1 =3，∴原式＝m 2+1+ 1 ＝（m + 1）2﹣2+1＝9﹣2+1＝8．mm 2mq b 4ac ≥0 二、一元二次方程的解法：1.解一元二次方程的基本思想：转化思想，即把一元二次方程转化为一元一次方程来求解；2.常用方法：（1）直接开平方法：适用形式：x 2=p(p≥0)，(x+n)2=p 或(mx+n)2=p(p≥0)的方程；（2）配方法：套用公式 a 2+2ab+b 2=(a+b)2；a 2-2ab+b 2=(a-b)2将一元二次方程ax 2+bx+c=0(a≠0)配方为(x+m)2=n 的形式，再用直接开平方法求解；配方法解一元二次方程的一般步骤是： ①将已知方程化为一般形式；②化二次项系数为 1；③常数项移到右边；④方程两边都加上一次项系数的一半的平方，使左边配成一个完全平方式；变形为(x+p)2=q 的形式：如果 q≥0，方程的根是 x=-p± ；如果 q ＜0，方程无实根；（3）公式法：利用求根公式 x = -b ±∆ = 2 -)解一元二次方程 ax 2+bx+c=0(a≠0)； 2a（4）因式分解法：将一元二次方程通过分解因式变为(x-a)(x-b)=0 的形式；进而得到 x-a=0 或 x-b=0 来求解； 3.方法选择技巧：（1）若一元二次方程缺少常数项，且方程的右边为 0，可考虑用因式分解法求解；（2）若一元二次方程缺少一次项，可考虑用因式分解法或直接开平方法求解；（3）若一元二次方程的二次项系数为 1，且一次项的系数是偶数时或常数项非常大时，可考虑用配方法求解；（4）若用以上三种方法都不容易求解时，可考虑用公式法求解。

一元二次方程的解法

一元二次方程的解法汇总1．直接开方法解一元二次方程(1)直接开方法解一元二次方程：利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法称为直接开平方法.(2)直接开平方法的理论依据：平方根的定义.(3)能用直接开平方法解一元二次方程的类型有两类：（点击图片可放大阅览）要点诠释：用直接开平方法解一元二次方程的理论依据是平方根的定义，应用时应把方程化成左边是含未知数的完全平方式，右边是非负数的形式，就可以直接开平方求这个方程的根.2.因式分解法解一元二次方程（1）用因式分解法解一元二次方程的步骤:①将方程右边化为0；②将方程左边分解为两个一次式的积；③令这两个一次式分别为0，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解.（2）常用的因式分解法提取公因式法，公式法（平方差公式、完全平方公式），十字相乘法等.要点诠释：（1）能用分解因式法来解一元二次方程的结构特点：方程的一边是0，另一边可以分解成两个一次因式的积；（2）用分解因式法解一元二次方程的理论依据：两个因式的积为0，那么这两个因式中至少有一个等于0；（3）用分解因式法解一元二次方程的注意点：①必须将方程的右边化为0；②方程两边不能同时除以含有未知数的代数式.【典型例题】类型一、用直接开平方法解一元二次方程（点击图片可放大阅览）【总结升华】应当注意，如果把x+m看作一个整体，那么形如(x+m)2=n(n≥0)的方程就可看作形如x2=k的方程，也就是可用直接开平方法求解的方程；这就是说，一个方程如果可以变形为这个形式，就可用直接开平方法求出这个方程的根．所以，(x+m)2=n可成为任何一元二次方程变形的目标．举一反三：（点击图片可放大阅览）类型二、因式分解法解一元二次方程（点击图片可放大阅览）【总结升华】若把各项展开，整理为一元二次方程的一般形式，过程太烦琐．观察题目结构，可将x+1看作m，将(2-x)看作n，则原方程左端恰好为完全平方式，于是此方程利用分解因式法可解．举一反三：【变式】方程(x-1)(x+2)＝2(x+2)的根是________．【答案】将(x+2)看作一个整体，右边的2(x+2)移到方程的左边也可用提取公因式法因式分解．即(x-1)(x+2)-2(x+2)＝0，(x+2)[(x-1)-2]＝0．∴ (x+2)(x-3)＝0，∴ x+2＝0或x-3＝0．∴ x1＝-2 x2＝3．（点击图片可放大阅览）【总结升华】如果把视为一个整体，则已知条件可以转化成一个一元二次方程的形式，用因式分解法可以解这个一元二次方程．此题看似求x、y 的值，然后计算，但实际上如果把看成一个整体，那么原方程便可化简求解。

函数与方程中的一元二次方程与解法

函数与方程中的一元二次方程与解法一元二次方程是数学中常见且重要的方程形式，它在函数与方程的研究中具有广泛的应用。

本文将重点探讨一元二次方程及其解法，帮助读者更好地理解和应用这一概念。

一、一元二次方程的定义与形式一元二次方程是指具有如下形式的方程：ax² + bx + c = 0其中，a、b、c为常数，且a ≠ 0。

二、一元二次方程的解法解一元二次方程可以使用以下几种方法：方法一：因式分解法当一元二次方程可以被因式分解为两个一次因式相乘时，我们可以直接根据因式的零点得到方程的解。

例如，对于方程2x² + 5x + 3 = 0，我们可以将其因式分解为(2x + 1)(x + 3) = 0。

由此可得，方程的两个解为x = -1/2和x = -3。

方法二：配方法配方法是一种常用的解一元二次方程的方法，通过变形使方程左侧成为一个平方的形式，从而得到方程的解。

具体步骤如下：1. 将方程标准形式转化为完成平方的形式。

2. 完成平方后，将方程变形为(x + p)² = q的形式。

3. 对方程进行求根运算，得到方程的解。

例如，对于方程3x² + 4x + 1 = 0，我们可以通过配方法求解：1. 将方程变形为3(x² + 4/3x) + 1 = 0。

2. 完成平方后，得到3[(x + 2/3)² - 4/9] + 1 = 0。

3. 化简得到(x + 2/3)² - 4/3 + 1/3 = 0，即(x + 2/3)² = 1/3。

4. 对方程进行求根运算，得到方程的两个解为x = -2/3 + √(1/3)和x = -2/3 - √(1/3)。

方法三：利用求根公式一元二次方程的求根公式是解一元二次方程的一种常用公式，可以直接得到一元二次方程的精确解。

求根公式如下：x = (-b ± √(b² - 4ac)) / (2a)例如，对于方程x² - 5x + 6 = 0，我们可以直接利用求根公式求解：x = (5 ± √(5² - 4*1*6)) / (2*1)，化简得到方程的两个解为x = 2和x = 3。

一元二次方程的解法及应用

一元二次方程的解法及应用一元二次方程是数学中常见的一种方程形式，具有许多重要的解法和应用。

本文将介绍一元二次方程的解法，并探讨其在实际生活中的应用。

一元二次方程的标准形式为：ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c 为已知常数，且a≠0。

解一元二次方程的经典方法是使用求根公式，即二次方程的根公式。

根据根公式，一元二次方程的解可以通过以下公式求得：x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a其中，“±”表示两个解，即正负两个根。

在求解过程中，首先计算方程中的判别式Δ = b^2 - 4ac，然后根据Δ的正负情况来确定方程的解的性质。

如果Δ > 0，方程有两个实数解；如果Δ = 0，方程有两个相等的实数解；如果Δ < 0，方程无实数解，但可以有复数解。

除了根公式，求解一元二次方程还可以使用配方法、因式分解法等。

这些方法在特定情况下可以更加简便有效地求解方程。

例如，当方程可以进行因式分解时，可以直接将方程写成两个一次因式相乘的形式，然后令每个因式为零，求解得到方程的解。

配方法则通过将方程变形为一个完全平方的形式，进而求解方程。

一元二次方程的解法在实际生活中有着广泛的应用。

其中，最常见的应用之一是在物理学中的运动学问题中。

例如，当我们需要计算一个物体从静止开始运动的加速度、速度或位置时，往往需要建立起相应的运动方程，这样就可以转化为一元二次方程进行求解。

通过解方程，我们可以得到物体的运动规律和相关的物理量。

一元二次方程还广泛应用于工程学、经济学等领域。

在工程学中，一元二次方程可以用于建模和求解各种问题，如电路分析、结构力学、流体力学等。

在经济学中，一元二次方程可以用于描述供求关系、市场价格等经济现象，从而进行经济预测和决策分析。

除了以上的应用，一元二次方程还可以用于解决一些日常生活中的问题。

例如，我们可以利用一元二次方程来优化地设计园艺花坛的形状和面积，使其美观且占用空间最小。

一元二次方程及其解法应用

活动1
问题1 如图，有一块矩形铁皮，长100 cm，宽50 cm．在它的四个角分别切去一个正方形，然后将四周突出的部分折起，就能制作一个无盖方盒．如果要制作的无盖方盒的底面积是3 600 cm2，那么铁皮各角应切去多大的正方形？(课件：制作盒子)
例已知：关于x的方程 (2m-1)x2-(m-1)x=5m
3、说明多项式 x2 2mx 2m2 1 的值恒大于0
x m2 m2 1
4、先用配方法说明：不论x取何值，代数式 x2 5x 7 值总大于0，再求出当x取何值时，代数式 x2 5x 7 的值
最小？最小值是多少？
随堂练习 1 解下列方程. 1.x2 – 2 = 0;
2.x2 -3x- 1 =0 ;
根，你能求出a的值吗？
根的作用：可以使等号成立.
活动3
巩固练习
1．你能根据所学过的知识解出下列方程的解吗？
（1） x2 36 0；
（2） 4x2 9 0 .
形如 ax2 c 0（a≠0，c ≠ 0）的一元二次方程的解法：
ax2 c.
x2 c .
a
当ac<0时， x
c.
3
拓展与提高：
2、解方程： (x 1)2 4(x 2)2
练习 (1) (x 1)2 36(1 2x)2 0 (2) 4(3x 1)2 9(3x 1)2 0
用配方法解一元二次方程的步骤:
移项:把常数项移到方程的右边; 配方:方程两边都加上一次项系数
一半的平方;
开方:根据平方根意义,方程两边开平方; 求解:解一元一次方程; 定解:写出原方程的解.
❖ （2）方程3 X2＋2X=1的常数项是1，方程 3 X2－2X＋6=0的一次项系数是2，这种说法对吗？

【初中数学】中考数学第一部分教材知识梳理第二单元第7课时一元二次方程及其应用课件

数，b为增长后的量，则 a(1 m)n b ；当m为平
均下降率，n为下降次数，b为下降后的量，则
a(1 m)n b .
（2）利润问题：见第6课时考点3.
最新中小学教案、试题、试卷、课件 8
（3）面积问题： A.如图（1），设空白部分的宽为x， (a-2x)(b-2x) ; 则S阴影＝⑧____________
提取公因式得：(x+1)(x-3)=0,
解得 x1 =-1或 x2 =3.
最新中小学教案、试题、试卷、课件 11
拓展1 （’15重庆A卷）一元二次方程 x2-2x=0
的根是（ D ）
A. x1= 0, x2 = -2
C. x1= 1, x2 = -2
B. x1= 1, x2= 2
D. x1 = 0, x2 = 2
_________ 2a
可化为a(x+m)(x+n)=0的方程，用因式分解法求解，则x1=-m,x2=-n
最新中小学教案、试题、试卷、课件 4
考点2 一元二次方程根的判别式(2011版新课标选学内容)
一元二次方程判别式根的情况
b2-4ac___ ＞ 0
ax2+bx+c=0(a≠0）＝ 0 b2-4ac___ ＜ 0 b2-4ac___
3
2. 一元二次方程的解法
一般形式：ax2+bx+c=0(a≠0)
直接开平方法
配方法公式法因式分解法
形如（x+m)2=n(n≥0)的方程，可直接开方求 n m 解.则 x1 n m , x2 ①______
若ax2+bx+c=0(a≠0)不易于分解因式，可考虑配方为a(x+h)2=k,再直接开方求解公式法求根公式：x=②b b2 4ac (b2 4ac 0)

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