中国女子数学奥林匹克(CGMO)第10届(2011)解答

2011年全国高中数学联赛试题及详细解析

一、填空题（每小题8分，共64分）1．设集合},,,{4321a a a a A =，若A 中所有三元子集的三个元素之和组成的集合为}8,5,3,1{-=B ，则集合=A ．2．函数11)(2-+=x x x f 的值域为．3．设b a ,为正实数，2211≤+ba ，32)(4)(ab b a =-，则=b a log ． 4．如果)cos (sin 7sin cos 3355θθθθ-<-，)2,0[πθ∈，那么θ的取值范围是．二、解答题（本大题共3小题，共56分）9．（16分）设函数|)1lg(|)(+=x x f ，实数)(,b a b a <满足)21()(++-=b b f a f ，2lg 4)21610(=++b a f ，求b a ,的值．10．（20分）已知数列}{n a 满足：∈-=t t a (321R 且)1±≠t ，121)1(2)32(11-+--+-=++nn n n n n t a t t a t a ∈n (N )*．（1）求数列}{n a 的通项公式；（2）若0>t ，试比较1+n a 与n a 的大小．11．（本小题满分20分）作斜率为31的直线l 与椭圆C ：143622=+y x 交于B A ,两点（如图所示），且)2,23(P 在直线l 的左上方．（1）证明：△PAB 的内切圆的圆心在一条定直线上；（2）若︒=∠60APB ，求△PAB 的面积．加试1. （40分）如图，Q P ,分别是圆内接四边形ABCD 的对角线BD AC ,的中点．若DPA BPA ∠=∠，证明：CQB AQB ∠=∠．2. （40分）证明：对任意整数4≥n ，存在一个n 次多项式具有如下性质：4.（50分）设A 是一个93⨯的方格表，在每一个小方格内各填一个正整数．称A 中的一个)91,31(≤≤≤≤⨯n m n m 方格表为“好矩形”，若它的所有数的和为10的倍数．称A中的一个11⨯的小方格为“坏格”，若它不包含于任何一个“好矩形”．求A 中“坏格”个数的最大值。

第十届全国大学生数学竞赛预赛非数学类参考答案官方版

1 cos x cos x(1 cos 2 x 3 cos 3x ) 1 cos x cos 2 x 3 cos 3x ) lim 2 x 0 x 0 x2 x2 x

1 cos 2 x 1 1 cos 2 x 3 cos 3 x 1 cos 2 x (1 3 cos 3x ) lim lim 2 x 0 x2 2 x 0 x2 x2 1 (cos 2 x 1) 1 1 3 (cos 3x 1) 1 1 lim 2 x 0 x2 x2
中 | AB | 表示线段 AB 的长度.
证明：作辅助函数 (t ) f ( x1 t ( x2 x1 ), y1 t ( y2 y1 )) ，----------2 分显然 (t ) 在[0,1]上可导.根据拉格朗日中值定理，存在 c (0,1) ，使得
f (u , v) f (u , v) ------8 分 ( x2 x1 ) ( y2 y1 ) u v f (u , v) f (u , v) | (1) (0) || f ( x2 , y2 ) f ( x1 , y1 ) || ( x2 x1 ) ( y2 y1 ) | u v

rdrd
0
2
1 9 r
r 2 dz d
0
2
2 2
0
2 2 r 3 ( 9 r 2 1)dr (124 35 ) 5 5 256 ------12 分 3
2
( x
(V )
2
y 2 )dV ( x 2 y 2 )dV ( x 2 y 2 )dV ( x 2 y 2 )dV

2011年全国大学生数学竞赛非数学类试题解答

x (1+ x ) - e (1- ln(1+ x )) e x ln(1+x ) ln(1+x )-2 - e x e x x = 2e lim 1+ x = 2e lim x ®0 x ®0 x 2x × cos 2 × × cos n , 求 lim a n . 2 2 2解：若q = 0, 则lim a n = 1. 若q ¹ 0 ，则当 n 充分大，使得 2 >|k | 时，时， a n = cos × cos 2 × × cos n = cos × cos 2 × × cos n n × q q qq q qq 1qsin n× cos 2 × × cos n -1 × sin n -1 × qsin n= sin q × cos 2 × × cos n -2 2 sin n -2 × q q q q 1 q q2 sin n sin n 这时这时,, lim a n = lim sin q sin qq q n ®¥ n ®¥2 sin n1第三届全国大学生数学竞赛预赛试卷参考答案及评分标准（非数学类，2011）一、（本题共 4 小题，每题 6 分，共 24 分）计算题2 (1+ x ) x -e 2 (1- ln(1+ x )) 1. lim .x ®0 解：因为2 2 x = 2 l n(1+x ) x - e 2 (1- l n(1+ x )) x,lim x ®0 e 2 ln(1+ x ) x= e 2,………………………………………………3 分lim x ®0 e 2 x 2 = e 2 lim x ®0 2 -12 = e 2 lim x x ®0ln(1+ x ) - 2 x2 ln(1+ x ) - x 2 2 1 -1= -e 2 , ………………5 分所以lim x ®0 2 (1+ x ) x - e 2 (1- ln(1+ x )) x=0. ………………………………6 分2. 设 a n = cos q q qn ®¥n ®¥ ……………………1 分n×s in 2222222 2q qq q 1= cos . ………………………4 分2 2 2 2 2 2= cos × 2 2 2 2 2 n 2 2= . ………………………6 分n 21£ x £ 2, 0 £ y £ }£ x £2, dxdxdy = 1+ ò ò òòòòòò 2n -1 2n -2 2n -1 å 的和函数，并求级数 åx 2 n =1 2 解：令 S (x ) = å2n -1 2n -2 x x æ x 2 ö 2n -1 2n -2 S (t )dt = å ò t dt = åå=n 1ç 2 ÷ò001=n2n -1x3. 求òòsgn(xy -1)dxdy ，其中 D = {(x , y ) | 0 £ x £ 2, 0 £y£ 2} D解：设 D 1 = {(x , y ) | 0 £ x £ 1 2,0 £ y £ 2} D 2 = {(x , y ) | 1 12 xD 3 = {(x , y ) | 1 12 x £ y £ 2} ……………………………2 分 D 1ÈòD 2 2 1 x = 1+ 2 ln 2 ， òò dxdy =3 - 2 ln 2 . D 3………………………4 分 2sg n(x y-1)dx d y =d x d y -DD 3D 2ÈD3dxdy= 2 - 4 l n 2 . ………………………6 分4. 求幂级数¥¥n =1n2n -1的和的和..¥n =12nx ，则其的定义区间为 (- 2, 2) . "x Î(- 2, 2) ，æ ö¢ 2 + x 2 è 2 - x ø ， x Î (- 2, 2) . 于是， S (x ) = ç÷ = (2 - x ) 2n -1 2n -1 æ 1 ö æ 1 ö 10 ¥¥å=n1 2 2n çèø÷èn1. 如果 lim a n = a ，则lim 2. 如果存在正整数p ，使得 lim(a n + p n) = l，则 lim a n l n ®¥n p 证明：证明：1.1. 由 lim a n = a ， $M > 0 使得 | a n |£ M ，且 "e > 0, $N 1 Î，当 n > N 1 时， | a n -a |< e因为 $N 21 ，当n > N 2 时， N 1(M + | a |) e a 1 + +a n N 1(M + | a |) e (n - N 1) e222 2…………………………4 分2n-2n =12 2 ø 9 . ………………………………6 分二、（本题 2 两问，每问 8 分，共 16 分）设{a n }¥=0 为数列， a , l为有限数，求证： n ®¥ n ®¥a 1 + a 2 + + a n n= a ;-a = .n ®¥n ®¥. ……………………………………4 分2>N < .n2于是，- a £ + < e ,n n n 222.2.对于对于 i = 0,1, , p -1，令 A n = a (n +1) p +i -a np +i ，易知{A n } 为{a n + p - a n } 的子列的子列.. 由 lim(a n + p - a n ) = l ，知 lim A n = l ，从而 lim A 1 + A 2i ) + + A ni ) 而 A + A 2 + + A n = a (n +1) p +i - a p +i .所以， lim n a (n +1) p +i l a m lf ¢¢(0) + f ¢¢(0) - m £ ( f ¢¢¢(h 1 2 )) £ M )+ f ¢¢¢(hf ¢¢¢(x 0 12 )) =3 . ………………………15 分) = ( f ¢¢¢(h ) + f ¢¢¢(h所以，limn ®¥a 1 + a 2 + +a n n=a . …………………………………………8 分 (i ) (i ) n ®¥ n ®¥ n ®¥ (i ) (i ) n= l.(i ) (i ) (i )n ®¥a (n +1) p +i - a p +i n= l . 由 lim n ®¥ a p +i n= 0 .知 lim n ®¥a (n +1) p +i n = l. ………………………………………12 分从而 lim n ®¥ a (n +1) p +i (n +1) p + i= lim × = n ®¥ (n +1) p +i n p"m Î , $n , p , i Î ， (0 £ i £ p -1) ，使得 m = np + i ，且当 m ® ¥ 时， n ® ¥.所以， lim = .…………………………………………………………16 分m ®¥ m p三、（15 分）设函数f (x )在闭区间[-1,1]上具有连续的三阶导数，且 f (-1) = 0 ， f (1) = 1， f ¢(0) = 0 .求证：在开区间 (-1,1) 内至少存在一点 x 0 ，使得 f ¢¢¢( x 0 ) =3证. 由马克劳林公式，得f ( x ) = f (0) + 1 2!f ¢¢(0)x 2+ 1 3!f ¢¢¢(h )x 3 ，h 介于 0 与 x 之间， x Î[-1, 1] …3 分在上式中分别取 x = 1 和 x = -1, 得1 = f (1) = f (0) + 1 12! 3! f ¢¢¢(h 1 ) , 0 < h 1< 1. ………………………5 分 0 = f (-1) = f (0) + 1 1 2! 3!f ¢¢¢(h 2 ) , -1 < h 2 < 0 . ………………………7 分两式相减，得f ¢¢¢(h 1) + f ¢¢¢(h 2 ) =6 . ………………………10 分由于f ¢¢(x )在闭区间[-1,1] 上连续，因此 f ¢¢¢(x )在闭区间在闭区间[[h 2 ,h 1 ]上有最大值 M 最小值 m ，从而 12…………………………………13 分再由连续函数的介值定理，至少存在一点 x 0 Î[h 2 ,h 1 ] Ì (-1,1) ，使得 123解：在 x 轴的 x 处取一小段 dx , 其质量是 rdx ，到质点的距离为 h + x , 这一小段与质点的引力是 Gm r xdxGm r d (x 2 )2 -1/ 2 +¥ òa(h 2+ x 2 )3/ 2= - Gm r (h + x ) Gm r hdxh sec t Gm r æ a ö , z - ) = 0 确定的隐函数，其中 F 具有连续的二阶偏导数， ¶x ¶x ¶y ¶y, z - ) =0 两边分别关于 x 、 y 求偏导，得 - 2 )F u v = 0 ， + ¶x x ¶x+ 2 )F v = 0 . = 2 2 = + F ) ¶y y (F + F四、（15 分）在平面上分）在平面上,, 有一条从点 (a ,0) 向右的射线向右的射线,,线密度为 r. 在点 (0, h ) 处（其中 h > 0）有一质量为 m 的质点的质点.. 求射线对该质点的引力求射线对该质点的引力..2 2dF =Gm r dxh 2 +x 2 （其中 G 为引力常数）为引力常数）.. …………………5 分这个引力在水平方向的分量为 dF x = Gm r x dx (h 2 + x 2)3 2. 从而F x =+¥òòa(h 2+ x 2 )3/ 2= 2+¥2a=Gm r h 2 +a 2……10 分而 dF 在竖直方向的分量为 dF y =Gm r hdx (h 2 + x 2)3 2 ,故F y = +¥òa (h 2 + x 2 )3/ 2 = p/ 2 ò arctan a h Gm r h 2 sec 2 dt 3 3 = Gm r h p / 2 òcos tdt = a arctan hç1 - s in a rctan ÷ h è h ø 所求引力向量为 F = (F x , F y ) . …………………………15 分五、（15 分）设 z = z (x , y ) 是由方程 F (z +1 1x y且 F u (u , v ) = F v (u , v ) ¹ 0 .求证： x 2¶z ¶x + y 2 ¶z ¶y = 0 和 x 2 2 2 + xy (x + y ) + y 3 2 2 = 0 .解：在方程 F (z +1 1x y ( ¶z 1 ¶z F ¶z ¶y F u + ( ¶z 1 ¶y y…………………5 分由此解得，¶z ¶x F u ¶z -F v, x (F u vu v )所以， x2 ¶z ¶x + y 2 ¶z ¶y= 0 …………………………10 分对上式两边关于 x 和 y 分别求偏导，得4¶x ¶x ¶y ¶y + xy (x + y ) + y 3 六、（15 分）设函数 f (x ) 连续， a , b , c 为常数， S是单位球面 x + y + z = 1. 记第一型曲面积分这部分摊开可以看成一个细长条这部分摊开可以看成一个细长条.. 这个细长条的长是 2p 1 -u ，宽是 x 2¶2 z 2 + y 2¶2z ¶y ¶x= -2x ¶z ¶x ，x + y 2 2 = -2 y¶z ¶y 上面第一式乘以 x 加上第二式乘以 y ，并注意到 x 2 ¶z ¶x + y 2 ¶z ¶y= 0 ，得到 x 3 ¶2z ¶2z ¶2z ¶x 2 ¶x ¶y ¶y 2= 0…………………………………………15 分2 2 2 1 I = òò f (ax + by + cz )dS . 求证： I = 2p òf ( a 2 + b 2 + c 2 u )du S-1解：由 S的面积为 4p 可见：当 a , b , c 都为零时，等式成立都为零时，等式成立.. …………………2 分当它们不全为零时当它们不全为零时,, 可知：原点到平面 ax + by + cz + d =0 的距离是 | d |a 2 +b 2 +c 2. …………………………5 分设平面 P u : u =ax + by +cz a 2 + b 2 +c 2 ，其中 u 固定固定.. 则 | u | 是原点到平面 P u的距离，从而-1 £ u £1 . …………………………8 分两平面 P u 和 P u +du截单位球 S 的截下的部分上的截下的部分上,, 被积函数取值为 f ( a 2 + b 2 + c 2 u ). (10)分2 du 1 -u 2，它的面积是 2p du ，故我们得证我们得证..…………………………15 分5。

冯跃峰：2021年中国女子数学竞赛一个组合不等式的思路剖析与解答

冯跃峰：2021年中国女子数学竞赛一个组合不等式的思路剖析与解答展开全文【附】为便于编辑修改，特提供纯文本文档如下：2021年中国女子数学奥林匹克一个组合不等式的思路剖析与解答冯跃峰【真题2-2】设S是一个有限集合，P（S）是S的所有子集构成的集合。

对任意函数f：P（S）→R，证明：Σ┬(A∈P（S）) Σ┬(B∈P （S）)f（A）f（B）2|A∩B|≥0，这里|X|表示有限集合X的元素个数。

（2021年中国女子数学奥林匹克）【题感】本题是2021年女子奥赛试题，“官方”的解答简洁流畅，一气呵成，可谓精妙绝伦。

但考试结果却“不如预期”，可见有较大难度。

组合问题常常具有这样的特点：看其解答，非常容易读懂，误以为难度不大。

但真正做起来，却又很难找到解法，本题就是这样一个典型的例子。

从目标看，含有熟悉的结构：“2|A∩B|”的组合意义为A∩B的子集个数，想到引入“流动参数”，用X表示A∩B的任意子集，则2|A∩B|可表示为Σ┬(X⊂A∩B)1，即Σ┬(X⊂A@X⊂B)1。

由此将“单标限定”求和转换为“双标限定”求和。

如果对双标限定求和的变形方向难以把握，可先研究特例。

【研究特例】取S={1}，则S有2个子集：S1={}，S2={1}。

定义f（S1）=1，f（S2）=-1。

注意：本题的结论与f无关，实际上无需给出具体的映射f。

记原式左边为L，则L=Σ┬(A∈P（S）) Σ┬(B∈P（S）)f（A）f （B）2|A∩B|=Σ┬((A，B)@A、B∈P(S) ) f（A）f（B）2|A∩B|。

因为子集对有22=4种可能：（A，B）={S1，S1}，{S1，S2}，{S2，S1}，{S2，S2}，所以L= f（S1）f（S1）20+ f（S1）f（S2）20+ f（S2）f（S1）20+ f（S2）f（S2）21= f（S1）2+2 f（S1）f（S2）+2 f（S2）2=（f（S1）+f （S2））2+f（S2）2≥0。

2004-2012历届女子数学奥林匹克试题PDF(无答案)

目录2002年女子数学奥林匹克 (1)2003年女子数学奥林匹克 (3)2004年女子数学奥林匹克 (5)2005年女子数学奥林匹克 (7)2006年女子数学奥林匹克 (9)2007年女子数学奥林匹克 (11)2008年女子数学奥林匹克 (13)2009年女子数学奥林匹克 (16)2010年女子数学奥林匹克 (19)2011年女子数学奥林匹克 (21)2012年女子数学奥林匹克 (24)2002年女子数学奥林匹克1.求出所有的正整数n，使得20n+2能整除2003n+2002.2.夏令营有3n（n是正整数）位女同学参加，每天都有3位女同学担任执勤工作.夏令营结束时，发现这3n位女同学中的任何两位，在同一天担任执勤工作恰好是一次.（1）问：当n=3时，是否存在满足题意的安排？证明你的结论；（2）求证：n是奇数.3.试求出所有的正整数k，使得对任意满足不等式k(aa+ab+ba)>5(a2+a2+b2)4.⊙O1和⊙O2相交于B、C两点，且BC是⊙O1的直径.过点C作⊙O1的切线，交⊙O2于另一点A，连结AB，交⊙O1于另一点E，连结CE并延长，交⊙O2于点F.设点H为线段AF内的任意一点，连结HE并延长，交⊙O1于点G，连结BG并延长，与AC的延长线交于点D.求证：AA AH=AA AC.5.设P1，P2，⋯，P n(n≥2)是1，2，⋯，n的任意一个排列.求证：1P1+P2+1P2+P3+⋯+1P n−2+P n−1+1P n−1+P n>n−1n+2.6.求所有的正整数对(x,y)，满足x y=y x−y.7.锐角△ABC的三条高分别为AD、BE、CF.求证：△DEF的周长不超过△ABC周长的一半.8.设A1，A2，⋯，A8是平面上任意取定的8个点，对平面上任意取定的一条有向直线l，设A1，A2，⋯，A8在该直线上的摄影分别是P1，P2，⋯，P8.如果这8个射影两两不重合，以直线l的方向依次排列为P i1，P i2，⋯，P i8，这样，就得到了1,2，…，8的一个排列i1，i2，⋯，i8（在图1中，此排列为2,1,8,3,7,4,6,5）.设这8个点对平面上所有有向直线作射影后，得到的不同排列的个数为N8=N(A1,A2,⋯88的最大值.图12003年女子数学奥林匹克1. 已知D 是△ABC 的边AB 上的任意一点，E 是边AC 上的任意一点，连结DE ，F 是线段DE 上的任意一点.设AC AA =x ，AA AA =y ，CH CA =z .证明：（1） S △ACH =(1−x )yzS △AAA ，S △AAH =x (1−y )(1−z )S △AAA ;（2） �S △ACH 3+�S △AAH 3≤�S △AAA 3.2. 某班有47个学生，所用教室有6排，每排有8个座位，用(i ,j )表示位于第i 排第j 列的座位.新学期准备调整座位，设某学生原来的座位为(i ,j )，如果调整后的座位为(m ,n )，则称该生作了移动[a ,a ]=[i −m ,j −n ]，并称a +b 为该生的位置数.所有学生的位置数之和记为S .求S 的最大可能值与最小可能值之差.3. 如图1，ABCD 是圆内接四边形，AC 是圆的直径，BB ⊥AA ，AC 与BD 的交点为E ，F 在DA 的延长线上.连结BF ，G 在BA 的延长线上，使得BD ∥BB ，H 在GF 的延长线上，AC ⊥DB .证明：B 、E 、F 、H 四点共圆.图14.（1）证明：存在和为1的5个非负实数a、b、c、d、e，使得将它们任意放置在一个圆周上，总有两个相邻数的乘积不小于19；（2）证明：对于和为1的任意玩个非负实数a、b、c、d、e，总可以将它们适当放置在一个圆周上，且任意相邻两数的乘积均不大于19.5.数列{a n}定义如下：a1=2，a n+1=a n2−a n+1，n=1,2,⋯.证明：1−120032003<1a1+1a2+⋯+1a2003<1.6.给定正整数n(n≥2).求最大的实数λ，使得不等式a n2≥λ(a1+a2+⋯+a n−1)+2a n对任意满足a1<a2⋯<a n的正整数a1，a2，⋯，a n均成立.7.设△ABC的三边长分别为AB=b、BA=a、AA=a，a、b、c互不相等，AD、BE、CF分别为△ABC的三条内角平分线，且DE=DF.证明：（1）a b+c=b c+a+c a+b;（2）∠BAA>90°.8.对于任意正整数n，记n的所有正约数组成的集合为S n.证明：S n中至多有一半元素的个位数为3.2004年女子数学奥林匹克1.如果存在1，2，⋯，n的一个排列a1，a2，⋯，a n，使得k+a k(k=1,2,⋯,n)都是完全平方数，则称n为“好数”.问：在集合{11,13,15,17,19}中，哪些是“好数”，哪些不是“好数”？说明理由.（苏淳供题）2.设a、b、c为正实数.求a+3c a+2b+c+4b a+b+2c−8c a+b+3c的最小值.（李胜宏供题）3.已知钝角△ABC的外接圆半径为1.证明：存在一个斜边长为√2+1的等腰直角三角形覆盖△ABC.（冷岗松供题）4.一副三色纸牌，共有32张，其中红黄蓝每种颜色的牌各10张，编号分别是1，2，⋯，10；另有大小王牌各一张，编号均为0.从这副牌中任取若干张牌，然后按如下规则计算分值：每张编号为k的牌记为2k分.若它们的分值之和为2004，则称这些牌为一个“好牌组”.试求“好牌组”的个数.（陶平生供题）5.设u、v、w为正实数，满足条件u√vv+v√vu+v√uv≥1.试求u+v+v的最小值. （陈永高供题）6.给定锐角△ABC，点O为其外心，直线AO交边BC于点D.动点E、F分别位于边AB、AC上，使得A、E、D、F四点共圆.求证：线段EF在边BC上的投影的长度为定值.（熊斌供题）7.已知p、q为互质的正整数，n为非负整数.问：有多少个不同的整数可以表示为ii+jj的形式，其中i，j为非负整数，且i+j≤n.（李伟固供题）8.将一个3×3的正方形的四个角上各去掉一个单位正方形所得到的图形称为“十字形”.在一个10×11的棋盘上，最多可以放置多少个互不重叠的“十字形”（每个“十字形”恰好盖住棋盘上的5个小方格）？（冯祖明供题）2005年女子数学奥林匹克1.如图1，点P在△ABC的外接圆上，直线CP、AB相交于点E，直线BP、AC相交于点F，边AC的垂直平分线与边AB相交于点J，边AB的垂直平分线与边AC相交于点K.求证：AA2AH=AA⋅AA AA⋅AH.图1（叶中豪供题）2.求方程组�5�x+1x�=12�y+1y�=13(z+1z)xy+yz+zx=1,的所有实数解.（朱华伟供题）3.是否存在这样的凸多面体，它共有8个顶点、12条棱和6个面，并且其中有4个面，每两个面都有公共棱？（苏淳供题）4.求出所有的正实数a，使得存在正整数n及n个互不相交的无限整数集合A1，A2，⋯，A n满足A1∪A2∪⋯∪A n=Z，而且对于每个A i中的任意两数b>c，都有a−b≥a i.（袁汉辉供题）5.设正实数x、y满足x3+y3=x−y.求证：x2+4y2<1. （熊斌供题）6.设正整数n(n≥3).如果在平面上有n个格点P1，P2，⋯，P n满足：当�P i P j�为有理数时，存在P k，使得|P i P k|和�P j P k�均为无理数；当�P i P j�为无理数时，存在P k，使得|P i P k|和�P j P k�均为有理数，那么，称n是“好数”.（1）求最小的好数；（2）问：2005是否为好数（冯祖明供题）7.设m、n是整数，m>n≥2，S=�1，2，⋯，m�，T=�a1，a2，⋯，a n�是S的一个子集.已知T中的任两个数都不能同时整除S中的任何一个数.求证：1a1+1a2+⋯+1a n<m+n m. （张同君供题）8.给定实数a、b(a>a>0)，将长为a、宽为b的矩形放入一个正方形内（包含边界）.问正方形的边至少为多长?（陈永高供题）2006年女子数学奥林匹克1.设a>0，函数f:(0，+∞)→R满足f(a)=1.如果对任意正实数x、y，有f(x)f(y)+f�a x�f�a y�=2f(xy)，求证：f(x)为常数.（朱华伟供题）2.设凸四边形ABCD的对角线交于点O.△OAD、△OBC的外接圆交于点O、M，直线OM分别交△OAB、△OCD的外接圆于点T、S.求证：M是线段TS的中点.（叶中豪供题）3.求证：对i=1，2，3，均有无穷多个正整数n，使得n，n+2，n+28中恰有i个可表示为三个正整数的立方和.（袁汉辉供题）4.8个人参加一次聚会.(1)如果其中任何5个人中都有3个人两两认识，求证：可以从中找出4个人两两认识；(2)试问：如果其中任何6个人中都有3个人两两认识，那么是否一定可以找出4个人两两认识？（苏淳供题）5.平面上整点集S=�(a,a)�1≤a,a≤5(a、a∈Z)�，T为平面上一整点集，对S中任一点P，总存在T中不同于P的一点Q，使得线段PQ上除点P、Q外无其它的整点.问T的元素个数最少为多少？（陈永高供题）6.设集合M={1,2,⋯,19}，A={a1,a2,⋯,a k}⊆M.求最小的k，使得对任意的a∈M，存在a i、a j∈A，满足a=a i或a=a i±a j（a i、a j 可以相同）.（李胜宏供题）7.设x i>0(i=1,2,⋯,n),k≥1.求证：∑11+x i n i=1⋅∑x i n i=1≤∑x i k+11+x i n i=1⋅∑1x i k n i=1. （陈伟固供题）8.设p为大于3的质数，求证：存在若干个整数a1,a2,⋯,a t满足条件−p2<a1<a2<⋯<a t<p2，使得乘积p−a1|a1|⋅p−a2|a2|⋅⋯⋅p−a t|a t|是3的某个正整数次幂.（纪春岗供题）2007年女子数学奥林匹克1.设m为正整数，如果存在某个正整数n，使得m可以表示为n和n的正约数个数（包括1和自身）的商，则称m是“好数”.求证：（1）1,2,⋯,17都是好数；（2）18不是好数.（李胜宏供题）2.设△ABC是锐角三角形，点D、E、F分别在边BC、CA、AB上，线段AD、BE、CF经过△ABC的外心O.已知以下六个比值AC CA、AA AA、AH HA、AH HA、AA AA、AC CA中至少有两个是整数.求证：△ABC是等腰三角形.（冯祖明供题）3.设整数n(n>3)，非负实数a1，a2，⋯，a n满足a1+a2+⋯+a n=2.求a1a22+1+a2a32+1+⋯+a n a12+1的最小值.（朱华伟供题）4.平面内n(n≥3)个点组成集合S，P是此平面内m条直线组成的集合，满足S关于P中每一条直线对称.求证：m≤n，并问等号何时成立？（边红平供题）5.设D是△ABC内的一点，满足∠BAA=∠BAA=30°，∠BBA=60°，E是边BC的中点，F是边AC的三等分点，满足AF=2FC.求证：BD⊥DB.（叶中豪供题）6.已知a、a、b≥0，a+a+b=1.求证：�a+14(a−b)2+√a+√b≤√3（李伟固供题）7.给定绝对值都不大于10的整数a、b、c，三次多项式f(x)=x3+ ax2+ax+b满足条件�f(2+√3)�<0.0001.问：2+√3是否一定是这个多项式的根？（张景中供题）8.n个棋手参加象棋比赛，每两个棋手比赛一局.规定：胜者得1分，负者得0分，平局得0.5分.如果赛后发现任何m个棋手中都有一个棋手胜了其余m-1个棋手，也有一个棋手输给了其余m-1个棋手，就称此赛况具有性质P(m).对给定的m(m≥4)，求n的最小值f(m)，使得对具有性质P(m)的任何赛况，都有所有n名棋手的得分各不相同.（王建伟供题）2008年女子数学奥林匹克1.（1）问能否将集合�1，2，⋯，96�表示为它的32个三元子集的并集，且每个三元子集的元素之和都相等；（2）问能否将集合�1，2，⋯，99�表示为它的33个三元子集的并集，且每个三元子集的元素之和都相等.（刘诗雄供题）2.已知式系数多项式ϕ(x)=ax3+ax2+bx+d有三个正根，且ϕ(0)<0.求证：2a3+9a2d−7aab≤0. （朱华伟供题）3.求最小常数a(a>1)，使得对正方形ABCD内部任一点P，都存在△P AB、△PBC、△PCD、△PDA中的某两个三角形，其面积之比属于区间�a−1，a�.（李伟固供题）4.在凸四边形ABCD的外部分别作正△ABQ、△BCR、△CDS、△DAP，记四边形ABCD的对角线的和为x，四边形PQRS的对角线中点连线的和为y.求y x的最大值.（熊斌供题）5.如图1，已知凸四边形ABCD满足AB=BC，AD=DA，E、F分别是线段AB、AD上一点，满足B、E、F、D四点共圆，作△DPE顺向相似于△ADC，作△BQF顺向相似于△ABC.求证：A、P、Q三点共线.图1 注：两个三角形顺向相似是指它们的对应顶点同按顺时针方向或同按逆时针方向排列.（叶中豪供题）6. 设正数列x 1，x 2，⋯，x n ，⋯满足(8x 2−7x 1)x 17=8及x k+1x k−1−x k 2=x k−18−x k 8(x k x k−1)7(k ≥2).求正实数a ，使得当x 1>a 时，有单调性x 1>x 2>⋯>x n >⋯，当0<x 1<a 时，不具有单调性. （李胜宏供题）7. 给定一个2008×2008的棋盘，棋盘上每个小方格的颜色均不相同.在棋盘的每一个小方格中填入C 、G 、M 、O 这4个字母中的一个，若棋盘中每一个2×2的小棋盘中都有C 、G 、M 、O 这4个字母，则称这个棋盘为“和谐棋盘”，问有多少种不同的和谐棋盘？（冯祖明供题）8. 对于正整数n ，令f n =�2n √2008�+[2n √2009].求证：数列f 1,f 2,⋯中有无穷多个奇数和无穷多个偶数（[x ]表示不超过实数x 的最大整数）.（冯祖明供题）B2009年女子数学奥林匹克1. 求证：方程aab =2009(a +a +b )只有有限组正整数解(a,b,c).（梁应德供题）2. 如图1，在△ABC 中，∠BAA =90°，点E 在△ABC 的外接圆圆Γ的弧BC （不含点A ）内，AE >EC .连结EC 并延长至点F ，使得∠DAA =∠AAB ，连结BF 交圆Γ于点D ，连结ED ，记△DEF 的外心为O .求证：A 、C 、O 三点共线.图1 （边红平供题）3. 在平面直角坐标系中，设点集�P 1，P 2，⋯，P 4n+1�=�(x ,y )�x 、y 为整数，|x |≤n ,|y |≤n ,xy =0�，其中，n ∈N +.求(P 1P 2)2+(P 2P 3)2+⋯+(P 4n P 4n+1)2+(P 4n+1P 1)2的最小值.（王新茂供题）4. 设平面上有n (n ≥4)个点V 1，V 2，⋯，V n ，任意三点不共线，某些点之间连有线段.把标号分别为1，2，⋯，n 的n 枚棋子放置在这n 个点处，每个点处恰有一枚棋子.现对这n 枚棋子进行如下操作：每B次选取若干枚棋子，将它们分别移动到与自己所在点有线段相连的另一个点处；操作后每点处仍恰有一枚棋子，并且没有两枚棋子在操作前后交换位置.若一种连线段的方式使得无论开始时如何放置这n 枚棋子，总能经过有限次操作后，使每个标号为k (k =1,2,⋯,n )的棋子在点V k 处，则称这种连线段的方式为“和谐的”.求在所有和谐的连线段的方式中，线段数目的最小值. （付云皓供题）5. 设实数xyz 大于或等于1.求证：(x 2−2x +2)(y 2−2y +2)(z 2−2z +2)≤(xyz )2−2xyz +2 （熊斌供题）6. 如图2，圆Γ1、Γ2内切于点S ，圆Γ2的弦AB 与圆Γ1切于点C ，M 是弧AB （不含点S ）的中点，过点M 作MN ⊥AB ，垂足为N .记圆Γ1的半径为r .求证：AA ⋅AB =2rMN .图2 （叶中豪供题）7. 在一个10×10的方格表中有一个有4n 个1×1的小方格组成的图形，它既可被n 个“”型的图形覆盖，也可被n 个“”或“”型（可以旋转）的图形覆盖.求正整数n的最小值.（朱华伟供题）8.设a n=n√5−�n√5�.求数列a1，a2，⋯，a2009中的最大项和最小项，其中，[x]表示不超过实数x的最大整数.（王志雄供题）2010年女子数学奥林匹克1. 给定整数n (n ≥3)，设A 1，A 2，⋯，A 2n 是集合�1，2，⋯，n�的两两不同的非空子集，记A 2n+1=A 1.求∑|A i ∩A i+1||A i |⋅|A i+1|2n i=1的最大值.（梁应德供题）2. 如图1，在△ABC 中，AB =AA ，D 是边BC 的中点，E 是在△ABC 外一点，满足AD ⊥AB ，BD =BB .过线段BE 的中点M 作直线MB ⊥BD ，交△ABD 的外接圆的劣弧AD 于点F .求证：DB ⊥BB .图1 （郑焕供题）3. 求证：对于每个正整数n ，都存在满足下面三个条件的质数p 和整数m ：（1）i ≡5(mmd 6)；（2）i ∤n ；（3）n ≡m 3(mmd i ).（付云皓供题） 4. 设实数x 1，x 2，⋯，x n 满足∑x i 2=1(n ≥2)n i=1.求证：∑(1−k ∑ix i 2n i=1)2x k 2k n k=1≤(n−1n+1)2∑x k 2k n k=1，并确定等号成立的条件.（李胜宏供题）5.已知f(x)、g(x)都是定义在R上递增的一次函数，f(x)为整数当且仅当g(x)为整数.证明：对一切x∈R，f(x)−g(x)为整数.（刘诗雄供题）6.如图2，在锐角△ABC中，AB>AA，M为边BC的中点，∠BAA的外角平分线交直线BC于点P.点K、F在直线P A上，使得MB⊥BA，MM⊥PA.求证：BC2图2（边红平供题）7.给定正整数n(n≥3).对于1，2，⋯，n的任意一个排列P=(x1,x2,⋯,x n)，若i<j<k，则称x j介于x i和x k之间（如在排列（1,3,2,4）中，3介于1和4之间，4不介于1和2之间）.设集合S={P1,P2,⋯,P m}的每个元素P i(1≤i≤m)中都不介于另外两个数之间.求m的最大值.（冯祖鸣供题）8.试求满足下列条件的大于5的最小奇数a：存在正整数m1、n1、m2、n2，使得a=m12+n12，a2=m22+n22，且m1−n1=m2−n2.（朱华伟供题）2011年女子数学奥林匹克1.求出所有的正整数n，使得关于x，y的方程1x+1y=1n恰有2011组满足x≤y的正整数解(x，y) .（熊斌供题）2.如图1，在四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点E，边AB、CD的中垂线相交于点F，点M、N分别为边AB、CD的中点，直线EF分别与边BC、AD相交于点P、Q，若MB⋅AB=NB⋅AB, BQ⋅BP=AQ⋅AP，求证：PQ垂直于BC.图1（郑焕供题）3.设正数a，a，b，d满足aabd=1，求证：1+1+1+1+9≥25（朱华伟供题）4.有n(n≥3)名乒乓球选手参加循环赛，每两名选手之间恰好比赛一次(比赛无平局).赛后发现，可以将这些选手排成一圈,使得对于任意三名选手A，B，C，若A，B在圈上相邻,则A，B中至少有一人战胜了C，求n的所有可能值.（付云皓供题）5.给定非负实数a，求最小实数f=f(a)，使得对任意复数,Z1,Z2和实数x(0≤x≤1)，若|Z1|≤a|Z1−Z2|，则|Z1−xZ2|≤f|Z1−Z2|.（李胜宏供题）6.是否存在正整数m，n，使得m20+11n是完全平方数？请予以证明.（袁汉辉供题）7.从左到右编号为B1，B2，⋯，B n的n个盒子共装有n个小球，每次可以选择一个盒子B k，进行如下操作：若k=1且B1中至少有1个小球，则可从B1中移1个小球至B2中；若k＝n，且B n中至少有1个小球，则可从B n中移1个小球至B n-1中，若2≤k≤n－1且B k中至少有2个小球，则可从B k中分别移1个小球至B k－1和B k＋1中，求证：无论初始时这些小球如何放置，总能经过有限次操作使得每个盒子中恰有1个小球.（王新茂供题）8. 如图2，已知⊙O 为△ABC 中BC 边上的旁切圆，点D 、E 分别在线段AB 、AC 上，使得BD ∥BA .⊙O 1为△ADE 的内切圆，O 1B 交DO 于点F ,O 1C 交EO 于点G .⊙O 切BC 于点M .⊙O 1切DE 于点N .求证：MN 平分线段FG .图2 （边红平供题）A2012年女子数学奥林匹克1.设a1,a2,⋯,a n为非负实数，求证：11+a1+a1(1+a1)(1+a2)+⋯+ a1a2⋯a n−1(1+a1)(1+a2)⋯(1+a n)≤1.2.如图1所示，圆O1和O2外切于点T，点A、E在圆O1上，AB切圆O2于点B，ED切圆O2于点D，直线BD、AE交于点P.（1）求证：AB⋅DT=AT⋅DB；（2）求证：∠ATP+∠DTP=180°Array图13.求所有整数对（a,b），使得存在整数d>1，对任意的正整数n，都有d|a n+a n+1.4.在正十三边形的13个顶点上各摆放一枚黑子或者白子，一次操作是指将两枚棋子的位置交换.求证：无论开始时棋子是如何摆放的，总可以至多操作一次，使得各个棋子的颜色关于正十三边形的某一条对称轴是对称的.5.如图2所示，在△ABC中，I为内切圆圆心，D、E分别为AB、AC边上的切点，O为△BIC的外心，求证：∠OBB=∠ODA.图26. 某个国家有n (n ≥3)个城市，每两个城市间都有一条双向航线.这个国家有两个航空公司，每条航线由一家公司经营.一个女数学家从某个城市出发，经过至少两个其它城市，回到出发地.如果无论怎样选择出发城市和路径，都无法只乘坐一家公司的航班，求n 的最大值.7. 有一个无穷项的正整数数列a 1≤a 2≤a 3≤⋯.已知存在正整数k和r ，使得r a r =k +1，求证：存在正整数s ，使得s a s =k .8. 集合{0,1,2,⋯,2012}中有多少个元素k ，使得A 2012k 是2012的倍数.B。

第十届全国大学生数学竞赛决赛试题参考答案及评分标准(非数学类)

第十届全国大学生数学竞赛决赛试题参考答案及评分标准（非数学类，2019年3月30日）一、填空题（本题满分30分，每小题6分）1、设函数在点在处连续，则的值为答案：2、设则答案：3、设曲线L是空间区域的表面与平面的交线，则答案：4、设函数由方程确定，其中具有连续二阶偏导数，则答案：5、已知二次型，则的规范形为答案：二、设内三阶连续可导，满足，又设数列满足严格单调减少且计算【解】由于在区间（-1,1）内三阶可导，在处有Taylor公式又，所以分①由于数列严格单调且，则，且为严格单调增加趋于正无穷的数列，注意到，故由Stolz定理及①式，有分分三、设上具有连续导数，且证明：对于成立【证明】令则故函数在上严格单调增加，记的反函数为，则定义在上，且4分于是根据积分中值定理，存在使得分因此注意到则即分四、计算三重积分：，其中【解】采用“先二后一”法，并利用对称性，得其中分用极坐标计算二重积分，得交换积分次序，得分作变量代换:并利用对称性，得所以.分五、之和.【解】级数通项令分其中.因为所以满足解这个一阶线性方程，得由得,故且分六、设A是n阶幂零矩阵,即满足证明:若A的秩为r，且则存在n阶可逆矩阵P其中为r阶单位矩阵. 【证】存在n阶可逆矩阵H,Q，使得因为所以有分对QH作相应分块为则有因此分而所以显然，所以为行满秩矩阵.8分因为使得分令则有分七、设为单调递减的正实数列,收敛，证明：收敛，所以对任意给定，存在自然数，使得当时,有因为单调递减的正数列，所以分注意到当时，有令得到分下面证明：对于任意自然数n，如果满足则有事实上,即得到分利用（2），令可以得到即分又由知，存在自然数，使得分取则当时，有因此分。

历届女子数学奥林匹克试题

目录2002年女子数学奥林匹克 (1)2003年女子数学奥林匹克 (3)2004年女子数学奥林匹克 (5)2005年女子数学奥林匹克 (7)2006年女子数学奥林匹克 (9)2007年女子数学奥林匹克 (11)2008年女子数学奥林匹克 (13)2009年女子数学奥林匹克 (16)2010年女子数学奥林匹克 (19)2011年女子数学奥林匹克 (21)2012年女子数学奥林匹克 (24)2002年女子数学奥林匹克1.求出所有的正整数n，使得20n+2能整除2003n+2002.2.夏令营有3n（n是正整数）位女同学参加，每天都有3位女同学担任执勤工作.夏令营结束时，发现这3n位女同学中的任何两位，在同一天担任执勤工作恰好是一次.（1）问：当n=3时，是否存在满足题意的安排？证明你的结论；（2）求证：n是奇数.3.试求出所有的正整数k，使得对任意满足不等式k(aa+ab+ba)>5(a2+a2+b2)4.⊙O1和⊙O2相交于B、C两点，且BC是⊙O1的直径.过点C作⊙O1的切线，交⊙O2于另一点A，连结AB，交⊙O1于另一点E，连结CE并延长，交⊙O2于点F.设点H为线段AF内的任意一点，连结HE并延长，交⊙O1于点G，连结BG并延长，与AC的延长线交于点D.求证：AA AH=AA AC.5.设P1，P2，⋯，P n(n≥2)是1，2，⋯，n的任意一个排列.求证：1P1+P2+1P2+P3+⋯+1P n−2+P n−1+1P n−1+P n>n−1n+2.6.求所有的正整数对(x,y)，满足x y=y x−y.7.锐角△ABC的三条高分别为AD、BE、CF.求证：△DEF的周长不超过△ABC周长的一半.8.设A1，A2，⋯，A8是平面上任意取定的8个点，对平面上任意取定的一条有向直线l，设A1，A2，⋯，A8在该直线上的摄影分别是P1，P2，⋯，P8.如果这8个射影两两不重合，以直线l的方向依次排列为P i1，P i2，⋯，P i8，这样，就得到了1,2，…，8的一个排列i1，i2，⋯，i8（在图1中，此排列为2,1,8,3,7,4,6,5）.设这8个点对平面上所有有向直线作射影后，得到的不同排列的个数为N8=N(A1,A2,⋯88的最大值.图12003年女子数学奥林匹克1. 已知D 是△ABC 的边AB 上的任意一点，E 是边AC 上的任意一点，连结DE ，F 是线段DE 上的任意一点.设AC AA =x ，AA AA =y ，CH CA =z .证明：（1） S △ACH =(1−x )yzS △AAA ，S △AAH =x (1−y )(1−z )S △AAA ;（2） �S △ACH 3+�S △AAH 3≤�S △AAA 3.2. 某班有47个学生，所用教室有6排，每排有8个座位，用(i ,j )表示位于第i 排第j 列的座位.新学期准备调整座位，设某学生原来的座位为(i ,j )，如果调整后的座位为(m ,n )，则称该生作了移动[a ,a ]=[i −m ,j −n ]，并称a +b 为该生的位置数.所有学生的位置数之和记为S .求S 的最大可能值与最小可能值之差.3. 如图1，ABCD 是圆内接四边形，AC 是圆的直径，BB ⊥AA ，AC 与BD 的交点为E ，F 在DA 的延长线上.连结BF ，G 在BA 的延长线上，使得BD ∥BB ，H 在GF 的延长线上，AC ⊥DB .证明：B 、E 、F 、H 四点共圆.图14.（1）证明：存在和为1的5个非负实数a、b、c、d、e，使得将它们任意放置在一个圆周上，总有两个相邻数的乘积不小于19；（2）证明：对于和为1的任意玩个非负实数a、b、c、d、e，总可以将它们适当放置在一个圆周上，且任意相邻两数的乘积均不大于19.5.数列{a n}定义如下：a1=2，a n+1=a n2−a n+1，n=1,2,⋯.证明：1−120032003<1a1+1a2+⋯+1a2003<1.6.给定正整数n(n≥2).求最大的实数λ，使得不等式a n2≥λ(a1+a2+⋯+a n−1)+2a n对任意满足a1<a2⋯<a n的正整数a1，a2，⋯，a n均成立.7.设△ABC的三边长分别为AB=b、BA=a、AA=a，a、b、c互不相等，AD、BE、CF分别为△ABC的三条内角平分线，且DE=DF.证明：（1）a b+c=b c+a+c a+b;（2）∠BAA>90°.8.对于任意正整数n，记n的所有正约数组成的集合为S n.证明：S n中至多有一半元素的个位数为3.2004年女子数学奥林匹克1.如果存在1，2，⋯，n的一个排列a1，a2，⋯，a n，使得k+a k(k=1,2,⋯,n)都是完全平方数，则称n为“好数”.问：在集合{11,13,15,17,19}中，哪些是“好数”，哪些不是“好数”？说明理由.（苏淳供题）2.设a、b、c为正实数.求a+3c a+2b+c+4b a+b+2c−8c a+b+3c的最小值.（李胜宏供题）3.已知钝角△ABC的外接圆半径为1.证明：存在一个斜边长为√2+1的等腰直角三角形覆盖△ABC.（冷岗松供题）4.一副三色纸牌，共有32张，其中红黄蓝每种颜色的牌各10张，编号分别是1，2，⋯，10；另有大小王牌各一张，编号均为0.从这副牌中任取若干张牌，然后按如下规则计算分值：每张编号为k的牌记为2k分.若它们的分值之和为2004，则称这些牌为一个“好牌组”.试求“好牌组”的个数.（陶平生供题）5.设u、v、w为正实数，满足条件u√vv+v√vu+v√uv≥1.试求u+v+v的最小值. （陈永高供题）6.给定锐角△ABC，点O为其外心，直线AO交边BC于点D.动点E、F分别位于边AB、AC上，使得A、E、D、F四点共圆.求证：线段EF在边BC上的投影的长度为定值.（熊斌供题）7.已知p、q为互质的正整数，n为非负整数.问：有多少个不同的整数可以表示为ii+jj的形式，其中i，j为非负整数，且i+j≤n.（李伟固供题）8.将一个3×3的正方形的四个角上各去掉一个单位正方形所得到的图形称为“十字形”.在一个10×11的棋盘上，最多可以放置多少个互不重叠的“十字形”（每个“十字形”恰好盖住棋盘上的5个小方格）？（冯祖明供题）2005年女子数学奥林匹克1.如图1，点P在△ABC的外接圆上，直线CP、AB相交于点E，直线BP、AC相交于点F，边AC的垂直平分线与边AB相交于点J，边AB的垂直平分线与边AC相交于点K.求证：AA2AH=AA⋅AA AA⋅AH.图1（叶中豪供题）2.求方程组�5�x+1x�=12�y+1y�=13(z+1z)xy+yz+zx=1,的所有实数解.（朱华伟供题）3.是否存在这样的凸多面体，它共有8个顶点、12条棱和6个面，并且其中有4个面，每两个面都有公共棱？（苏淳供题）4.求出所有的正实数a，使得存在正整数n及n个互不相交的无限整数集合A1，A2，⋯，A n满足A1∪A2∪⋯∪A n=Z，而且对于每个A i中的任意两数b>c，都有a−b≥a i.（袁汉辉供题）5.设正实数x、y满足x3+y3=x−y.求证：x2+4y2<1. （熊斌供题）6.设正整数n(n≥3).如果在平面上有n个格点P1，P2，⋯，P n满足：当�P i P j�为有理数时，存在P k，使得|P i P k|和�P j P k�均为无理数；当�P i P j�为无理数时，存在P k，使得|P i P k|和�P j P k�均为有理数，那么，称n是“好数”.（1）求最小的好数；（2）问：2005是否为好数（冯祖明供题）7.设m、n是整数，m>n≥2，S=�1，2，⋯，m�，T=�a1，a2，⋯，a n�是S的一个子集.已知T中的任两个数都不能同时整除S中的任何一个数.求证：1a1+1a2+⋯+1a n<m+n m. （张同君供题）8.给定实数a、b(a>a>0)，将长为a、宽为b的矩形放入一个正方形内（包含边界）.问正方形的边至少为多长?（陈永高供题）2006年女子数学奥林匹克1.设a>0，函数f:(0，+∞)→R满足f(a)=1.如果对任意正实数x、y，有f(x)f(y)+f�a x�f�a y�=2f(xy)，求证：f(x)为常数.（朱华伟供题）2.设凸四边形ABCD的对角线交于点O.△OAD、△OBC的外接圆交于点O、M，直线OM分别交△OAB、△OCD的外接圆于点T、S.求证：M是线段TS的中点.（叶中豪供题）3.求证：对i=1，2，3，均有无穷多个正整数n，使得n，n+2，n+28中恰有i个可表示为三个正整数的立方和.（袁汉辉供题）4.8个人参加一次聚会.(1)如果其中任何5个人中都有3个人两两认识，求证：可以从中找出4个人两两认识；(2)试问：如果其中任何6个人中都有3个人两两认识，那么是否一定可以找出4个人两两认识？（苏淳供题）5.平面上整点集S=�(a,a)�1≤a,a≤5(a、a∈Z)�，T为平面上一整点集，对S中任一点P，总存在T中不同于P的一点Q，使得线段PQ上除点P、Q外无其它的整点.问T的元素个数最少为多少？（陈永高供题）6.设集合M={1,2,⋯,19}，A={a1,a2,⋯,a k}⊆M.求最小的k，使得对任意的a∈M，存在a i、a j∈A，满足a=a i或a=a i±a j（a i、a j 可以相同）.（李胜宏供题）7.设x i>0(i=1,2,⋯,n),k≥1.求证：∑11+x i n i=1⋅∑x i n i=1≤∑x i k+11+x i n i=1⋅∑1x i k n i=1. （陈伟固供题）8.设p为大于3的质数，求证：存在若干个整数a1,a2,⋯,a t满足条件−p2<a1<a2<⋯<a t<p2，使得乘积p−a1|a1|⋅p−a2|a2|⋅⋯⋅p−a t|a t|是3的某个正整数次幂.（纪春岗供题）2007年女子数学奥林匹克1.设m为正整数，如果存在某个正整数n，使得m可以表示为n和n的正约数个数（包括1和自身）的商，则称m是“好数”.求证：（1）1,2,⋯,17都是好数；（2）18不是好数.（李胜宏供题）2.设△ABC是锐角三角形，点D、E、F分别在边BC、CA、AB上，线段AD、BE、CF经过△ABC的外心O.已知以下六个比值AC CA、AA AA、AH HA、AH HA、AA AA、AC CA中至少有两个是整数.求证：△ABC是等腰三角形.（冯祖明供题）3.设整数n(n>3)，非负实数a1，a2，⋯，a n满足a1+a2+⋯+a n=2.求a1a22+1+a2a32+1+⋯+a n a12+1的最小值.（朱华伟供题）4.平面内n(n≥3)个点组成集合S，P是此平面内m条直线组成的集合，满足S关于P中每一条直线对称.求证：m≤n，并问等号何时成立？（边红平供题）5.设D是△ABC内的一点，满足∠BAA=∠BAA=30°，∠BBA=60°，E是边BC的中点，F是边AC的三等分点，满足AF=2FC.求证：BD⊥DB.（叶中豪供题）6.已知a、a、b≥0，a+a+b=1.求证：�a+14(a−b)2+√a+√b≤√3（李伟固供题）7.给定绝对值都不大于10的整数a、b、c，三次多项式f(x)=x3+ ax2+ax+b满足条件�f(2+√3)�<0.0001.问：2+√3是否一定是这个多项式的根？（张景中供题）8.n个棋手参加象棋比赛，每两个棋手比赛一局.规定：胜者得1分，负者得0分，平局得0.5分.如果赛后发现任何m个棋手中都有一个棋手胜了其余m-1个棋手，也有一个棋手输给了其余m-1个棋手，就称此赛况具有性质P(m).对给定的m(m≥4)，求n的最小值f(m)，使得对具有性质P(m)的任何赛况，都有所有n名棋手的得分各不相同.（王建伟供题）2008年女子数学奥林匹克1.（1）问能否将集合�1，2，⋯，96�表示为它的32个三元子集的并集，且每个三元子集的元素之和都相等；（2）问能否将集合�1，2，⋯，99�表示为它的33个三元子集的并集，且每个三元子集的元素之和都相等.（刘诗雄供题）2.已知式系数多项式ϕ(x)=ax3+ax2+bx+d有三个正根，且ϕ(0)<0.求证：2a3+9a2d−7aab≤0. （朱华伟供题）3.求最小常数a(a>1)，使得对正方形ABCD内部任一点P，都存在△P AB、△PBC、△PCD、△PDA中的某两个三角形，其面积之比属于区间�a−1，a�.（李伟固供题）4.在凸四边形ABCD的外部分别作正△ABQ、△BCR、△CDS、△DAP，记四边形ABCD的对角线的和为x，四边形PQRS的对角线中点连线的和为y.求y x的最大值.（熊斌供题）5.如图1，已知凸四边形ABCD满足AB=BC，AD=DA，E、F分别是线段AB、AD上一点，满足B、E、F、D四点共圆，作△DPE顺向相似于△ADC，作△BQF顺向相似于△ABC.求证：A、P、Q三点共线.图1 注：两个三角形顺向相似是指它们的对应顶点同按顺时针方向或同按逆时针方向排列.（叶中豪供题）6. 设正数列x 1，x 2，⋯，x n ，⋯满足(8x 2−7x 1)x 17=8及x k+1x k−1−x k 2=x k−18−x k 8(x k x k−1)7(k ≥2).求正实数a ，使得当x 1>a 时，有单调性x 1>x 2>⋯>x n >⋯，当0<x 1<a 时，不具有单调性. （李胜宏供题）7. 给定一个2008×2008的棋盘，棋盘上每个小方格的颜色均不相同.在棋盘的每一个小方格中填入C 、G 、M 、O 这4个字母中的一个，若棋盘中每一个2×2的小棋盘中都有C 、G 、M 、O 这4个字母，则称这个棋盘为“和谐棋盘”，问有多少种不同的和谐棋盘？（冯祖明供题）8. 对于正整数n ，令f n =�2n √2008�+[2n √2009].求证：数列f 1,f 2,⋯中有无穷多个奇数和无穷多个偶数（[x ]表示不超过实数x 的最大整数）.（冯祖明供题）B2009年女子数学奥林匹克1. 求证：方程aab =2009(a +a +b )只有有限组正整数解(a,b,c).（梁应德供题）2. 如图1，在△ABC 中，∠BAA =90°，点E 在△ABC 的外接圆圆Γ的弧BC （不含点A ）内，AE >EC .连结EC 并延长至点F ，使得∠DAA =∠AAB ，连结BF 交圆Γ于点D ，连结ED ，记△DEF 的外心为O .求证：A 、C 、O 三点共线.图1 （边红平供题）3. 在平面直角坐标系中，设点集�P 1，P 2，⋯，P 4n+1�=�(x ,y )�x 、y 为整数，|x |≤n ,|y |≤n ,xy =0�，其中，n ∈N +.求(P 1P 2)2+(P 2P 3)2+⋯+(P 4n P 4n+1)2+(P 4n+1P 1)2的最小值.（王新茂供题）4. 设平面上有n (n ≥4)个点V 1，V 2，⋯，V n ，任意三点不共线，某些点之间连有线段.把标号分别为1，2，⋯，n 的n 枚棋子放置在这n 个点处，每个点处恰有一枚棋子.现对这n 枚棋子进行如下操作：每B次选取若干枚棋子，将它们分别移动到与自己所在点有线段相连的另一个点处；操作后每点处仍恰有一枚棋子，并且没有两枚棋子在操作前后交换位置.若一种连线段的方式使得无论开始时如何放置这n 枚棋子，总能经过有限次操作后，使每个标号为k (k =1,2,⋯,n )的棋子在点V k 处，则称这种连线段的方式为“和谐的”.求在所有和谐的连线段的方式中，线段数目的最小值. （付云皓供题）5. 设实数xyz 大于或等于1.求证：(x 2−2x +2)(y 2−2y +2)(z 2−2z +2)≤(xyz )2−2xyz +2 （熊斌供题）6. 如图2，圆Γ1、Γ2内切于点S ，圆Γ2的弦AB 与圆Γ1切于点C ，M 是弧AB （不含点S ）的中点，过点M 作MN ⊥AB ，垂足为N .记圆Γ1的半径为r .求证：AA ⋅AB =2rMN .图2 （叶中豪供题）7. 在一个10×10的方格表中有一个有4n 个1×1的小方格组成的图形，它既可被n 个“”型的图形覆盖，也可被n 个“”或“”型（可以旋转）的图形覆盖.求正整数n的最小值.（朱华伟供题）8.设a n=n√5−�n√5�.求数列a1，a2，⋯，a2009中的最大项和最小项，其中，[x]表示不超过实数x的最大整数.（王志雄供题）2010年女子数学奥林匹克1. 给定整数n (n ≥3)，设A 1，A 2，⋯，A 2n 是集合�1，2，⋯，n�的两两不同的非空子集，记A 2n+1=A 1.求∑|A i ∩A i+1||A i |⋅|A i+1|2n i=1的最大值.（梁应德供题）2. 如图1，在△ABC 中，AB =AA ，D 是边BC 的中点，E 是在△ABC 外一点，满足AD ⊥AB ，BD =BB .过线段BE 的中点M 作直线MB ⊥BD ，交△ABD 的外接圆的劣弧AD 于点F .求证：DB ⊥BB .图1 （郑焕供题）3. 求证：对于每个正整数n ，都存在满足下面三个条件的质数p 和整数m ：（1）i ≡5(mmd 6)；（2）i ∤n ；（3）n ≡m 3(mmd i ).（付云皓供题） 4. 设实数x 1，x 2，⋯，x n 满足∑x i 2=1(n ≥2)n i=1.求证：∑(1−k ∑ix i 2n i=1)2x k 2k n k=1≤(n−1n+1)2∑x k 2k n k=1，并确定等号成立的条件.（李胜宏供题）5.已知f(x)、g(x)都是定义在R上递增的一次函数，f(x)为整数当且仅当g(x)为整数.证明：对一切x∈R，f(x)−g(x)为整数.（刘诗雄供题）6.如图2，在锐角△ABC中，AB>AA，M为边BC的中点，∠BAA的外角平分线交直线BC于点P.点K、F在直线P A上，使得MB⊥BA，MM⊥PA.求证：BC2图2（边红平供题）7.给定正整数n(n≥3).对于1，2，⋯，n的任意一个排列P=(x1,x2,⋯,x n)，若i<j<k，则称x j介于x i和x k之间（如在排列（1,3,2,4）中，3介于1和4之间，4不介于1和2之间）.设集合S={P1,P2,⋯,P m}的每个元素P i(1≤i≤m)中都不介于另外两个数之间.求m的最大值.（冯祖鸣供题）8.试求满足下列条件的大于5的最小奇数a：存在正整数m1、n1、m2、n2，使得a=m12+n12，a2=m22+n22，且m1−n1=m2−n2.（朱华伟供题）2011年女子数学奥林匹克1.求出所有的正整数n，使得关于x，y的方程1x+1y=1n恰有2011组满足x≤y的正整数解(x，y) .（熊斌供题）2.如图1，在四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点E，边AB、CD的中垂线相交于点F，点M、N分别为边AB、CD的中点，直线EF分别与边BC、AD相交于点P、Q，若MB⋅AB=NB⋅AB, BQ⋅BP=AQ⋅AP，求证：PQ垂直于BC.图1（郑焕供题）3.设正数a，a，b，d满足aabd=1，求证：1+1+1+1+9≥25（朱华伟供题）4.有n(n≥3)名乒乓球选手参加循环赛，每两名选手之间恰好比赛一次(比赛无平局).赛后发现，可以将这些选手排成一圈,使得对于任意三名选手A，B，C，若A，B在圈上相邻,则A，B中至少有一人战胜了C，求n的所有可能值.（付云皓供题）5.给定非负实数a，求最小实数f=f(a)，使得对任意复数,Z1,Z2和实数x(0≤x≤1)，若|Z1|≤a|Z1−Z2|，则|Z1−xZ2|≤f|Z1−Z2|.（李胜宏供题）6.是否存在正整数m，n，使得m20+11n是完全平方数？请予以证明.（袁汉辉供题）7.从左到右编号为B1，B2，⋯，B n的n个盒子共装有n个小球，每次可以选择一个盒子B k，进行如下操作：若k=1且B1中至少有1个小球，则可从B1中移1个小球至B2中；若k＝n，且B n中至少有1个小球，则可从B n中移1个小球至B n-1中，若2≤k≤n－1且B k中至少有2个小球，则可从B k中分别移1个小球至B k－1和B k＋1中，求证：无论初始时这些小球如何放置，总能经过有限次操作使得每个盒子中恰有1个小球.（王新茂供题）8. 如图2，已知⊙O 为△ABC 中BC 边上的旁切圆，点D 、E 分别在线段AB 、AC 上，使得BD ∥BA .⊙O 1为△ADE 的内切圆，O 1B 交DO 于点F ,O 1C 交EO 于点G .⊙O 切BC 于点M .⊙O 1切DE 于点N .求证：MN 平分线段FG .图2 （边红平供题）A2012年女子数学奥林匹克1.设a1,a2,⋯,a n为非负实数，求证：11+a1+a1(1+a1)(1+a2)+⋯+ a1a2⋯a n−1(1+a1)(1+a2)⋯(1+a n)≤1.2.如图1所示，圆O1和O2外切于点T，点A、E在圆O1上，AB切圆O2于点B，ED切圆O2于点D，直线BD、AE交于点P.（1）求证：AB⋅DT=AT⋅DB；（2）求证：∠ATP+∠DTP=180°Array图13.求所有整数对（a,b），使得存在整数d>1，对任意的正整数n，都有d|a n+a n+1.4.在正十三边形的13个顶点上各摆放一枚黑子或者白子，一次操作是指将两枚棋子的位置交换.求证：无论开始时棋子是如何摆放的，总可以至多操作一次，使得各个棋子的颜色关于正十三边形的某一条对称轴是对称的.5.如图2所示，在△ABC中，I为内切圆圆心，D、E分别为AB、AC边上的切点，O为△BIC的外心，求证：∠OBB=∠ODA.图26. 某个国家有n (n ≥3)个城市，每两个城市间都有一条双向航线.这个国家有两个航空公司，每条航线由一家公司经营.一个女数学家从某个城市出发，经过至少两个其它城市，回到出发地.如果无论怎样选择出发城市和路径，都无法只乘坐一家公司的航班，求n 的最大值.7. 有一个无穷项的正整数数列a 1≤a 2≤a 3≤⋯.已知存在正整数k和r ，使得r a r =k +1，求证：存在正整数s ，使得s a s =k .8. 集合{0,1,2,⋯,2012}中有多少个元素k ，使得A 2012k 是2012的倍数.B。

第十届全国大学生数学竞赛决赛参考答案

准考证号
Þ
省市
学校
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得
分
阅卷人
六、 (本题满分 11 分) 设 A 是 n 阶幂零矩阵, 即满足 A2 = O . n 证明: 若 A 的秩为 r , 且 1 6 r < , 则存在 n 阶可逆矩阵 P , 使得 2 ! O I O r P 1 AP = , 其中 Ir 为 r 阶单位矩阵. O O O
座位号
注意到当 m < n 时, 有
n X k =m k X i =1 n X k =1 n 1 X k =1
(Ak
Ak
1 )bk = An bn
= lim = lim = lim
机
n!1
密
2 a2 an n+1 n!1 2 an 2 an +1
2 lim nan = lim
n Stolz 1 H H H H lim 2 2 2 n!1 1/a n!1 1/a 1/an n n+1 = lim
2 f 2 (a ) an n 2 (a ) n!1 a2 f n n
第十届全国大学生数学竞赛决赛参考答案
（非数学类, 2019 年 3 月 30 日）
座位号
绝密 F 启用前
(14 金融工程–零蛋大)
考试形式：闭卷考试时间： 150 分钟满分： 100 分
题号满分一 30 二 12 三 12 四 12 五 12 六 11 七 11 总分 100
考场号
得分注意：本试卷共七大题, 满分 100 分, 考试时间为 150 分钟. 1: 所有答题都须写在试卷密封线右边, 写在其他纸上一律无效: 2: 密封线左边请勿答题, 密封线外不得有姓名及相关标记:

2011中国数学奥林匹克答案[1]

2011中国数学奥林匹克试题解答1. 设12,,...,n a a a (3n ≥)是实数，证明22111()2nni i i i i n a a a M m +==⎡⎤-≤-⎢⎥⎣⎦∑∑，其中 11n a a +=，1max i i nM a ≤≤=，1min i i nm a ≤≤=，[]x 表示不超过x 的最大整数．（姚一隽提供）证明若2n k =(k 为正整数)，则222111112()(),n n ni i i i i i i i a a a a a n M m ++===⎛⎫-=-≤⨯- ⎪⎝⎭∑∑∑从而222111()().22nni i i i i n n a a a M m M m +==⎡⎤-≤-=-⎢⎥⎣⎦∑∑ 若21n k =+(k 为正整数)，则对于循环排列的21k +个数，必有连续三项递增或递减(因为2121211111()()()0k k ii i i i i i i a aa a a a ++-+-==--=-≥∏∏，所以不可能对于每一个i ，都有1i i a a --与1i i a a +-异号)，不妨设为123,,a a a ，则有222122313()()(),a a a a a a -+-≤-从而22221113111132()()(),n n n ni i i i i i i i i i i a a a a a a a a a +++====⎛⎫-=-≤-+- ⎪⎝⎭∑∑∑∑这就将问题化为了2k 个数的情形．我们有222211311132()()2(),n n ni i i i i i i i a a a a a a a k M m ++===⎛⎫-≤-+-≤- ⎪⎝⎭∑∑∑即222111()(),2n n i i i i i n a a a k M m M m +==⎛⎫⎡⎤-≤-=- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭∑∑ 证毕．2．如图，设D 是锐角三角形ABC 外接圆Γ上弧 BC 的中点，点X 在弧 BD 上，E 是弧 AX 的中点，S 是弧 AC 上一点，直线SD 与BC 相交于点R ，SE 与AX 相交于点T ．证明：若 RT ∥DE ，则三角形ABC 的内心在直线RT 上．（熊斌提供）证明连接AD ，设AD 与RT 相交于点I ．因为D 是弧 BC 的中点，故AI 为BAC ∠的角平分线．连接AS ，SI ，则由RT ∥DE 知：,STI SED SAI ∠=∠=∠故A ，T ，I ，S 四点共圆，记此圆为1ω．连接CE ，设CE 与RT 相交于点J ，连接SC ，则SRJ SDE SCE ∠=∠=∠，于是S ，J ，R ，C 四点共圆，记此圆为2ω．设1ω，2ω除点S 外另一个交点为K ，下证K 为AJ 与CI 的交点．设1ω与AJ （除点A 外）的交点为1K ，由于E 是弧 AX 的中点，所以()()11122SK A STA SA XE SA AE ∠=∠=+=+ SDE SRT SRJ =∠=∠=∠，故S ，1K ，J ，R 四点共圆，即点1K 在2ω上．同理，设2ω与CI （除点C 外）另一个交点为2K ，则点2K 在1ω上．所以，点1K 与2K 重合，且为AJ 与CI 的交点，即K 为AJ 与CI 的交点．由于CAD CAI ∠=∠，且TJE CJR CED CAD ∠=∠=∠=∠，所以A ，I ，J ，C 四点共圆，因而ACI AJI ∠=∠．又由C ，K ，J ，R 四点共圆知：BCI ICR AJI ∠=∠=∠，所以ACI BCI ∠=∠，故I 为三角形ABC 的内心．KJ IS T R X E D CB A3. 设A 是一个有限实数集，12,,...,n A A A 是A 的非空子集，满足下列条件: (1) A 中所有元素之和为0;(2) 对任意 (1,2,,)i i x A i n ∈= ，都有120n x x x +++> ．证明: 存在121k i i i n ≤<<<≤ ，使得12.k i i i k A A A A n<这里X 表示有限集合X 的元素个数．（瞿振华提供）证明设11{,...,},....m m A a a a a =>> 则由条件(1)知1...0.m a a ++= 考虑每个i A 中的最小数，并设1,...,n A A 中恰有i k 个集合的最小数为,1,2,...,.i a i m = 则我们有1,m k k n ++=且由条件(2)知 110.m m k a k a ++>对1,2,...,1,s m =-共有1...s k k ++个集合，其最小数.s a ≥故这些集合的并集包含在1{,...,}s a a 中，元素个数不超过s ．下证存在{1,2,...,1},s m ∈-使得1....s snk k k m =++>用反证法，设对于1,2,...,1,s m =-都有 1....s sn k k m++≤由Abel 变换可知(注意10,11s s a a s m +->≤≤-)11111111110()(...)(...)()0,m m m mj j s s s m m s s m j j s s j sn n k a a a k k a k k a a a n a m m --++====<=-+++++≤-+==∑∑∑∑矛盾．对于这一s ，取1,...,n A A 中最小数s a ≥的那些集合，记为12,,...,k i i i A A A ．则由上述的结果可知，这些子集共有1...s snk k k m=++>个，且它们的并集的元素个数不超过s ，即 12|...|||.k i i i km kA A A s A n n≤<=4．设n 是给定的正整数，集合{1,2,...,}S n =．对非空的有限实数集合A 和B ，求||||||A S B S C S ∆+∆+∆的最小值，其中{|,},C A B a b a A b B X Y =+=+∈∈∆={|x x 恰好属于X 和Y 中的一个}，X 表示有限集合X 的元素个数．（冷岗松提供）解所求的最小值是 1n +．首先，取,A B S ==可知||||||A S B S C S ∆+∆+∆的确可以取到1n +．下面我们证明，||||||1l A S B S C S n =∆+∆+∆≥+．记\{|,}.X Y x x X x Y =∈∉显然有\\\\\\,l A S B S C S S A S B S C =+++++我们只要证明(i) \\\1,A S B S S C ++≥ (ii) \\\.C S S A S B n ++≥先证(i)．实际上，若\\0,A S B S ==则,.A B S ⊆于是1不可能是C 中元素，即\1,S C ≥所以(i)成立．再证(ii)．若,A S φ= 则\,S A n ≥结论已经成立．若,A S φ≠ 设A S 的元素中最大的一个是,01,n k k n -≤≤-则\.S A k ≥ (1)另一方面，对1,2,...,,i k k n =++要么i B ∉(这时\i S B ∈)，要么i B ∈(这时,n k i C -+∈即\n k i C S -+∈)，所以\\.C S S B n k +≥- (2)由(1)，(2)即得(ii)．综上可知，(i)，(ii)成立，知 1.l n ≥+ 所以最小值是n +1．5．给定整数4n ≥，对任意满足12120n n a a a b b b +++=+++>的非负实数1212,,...,,,,...,n n a a a b b b ，求11()()niiii niiii a a b b a b ==++∑∑的最大值．（朱华伟，付云皓提供）解所求最大值为1n -．由齐次性，不妨假设111.n ni i i i a b ====∑∑首先，当1231,0,n a a a a ===⋅⋅⋅==12310,1n b b b b n ===⋅⋅⋅==-时，1()1,ni i i i a a b =+=∑11(),1ni i i i b a b n =+=-∑故 11()1.()niiii niiii a a b n b a b ==+=-+∑∑下证对任意满足111n ni i i i a b ====∑∑的1212,,...,,,,...,n n a a a b b b ，都有11()1.()niiii niiii a a b n b a b ==+≤-+∑∑由于分母是正数，故上式等价于11()(1)(),n niiiiiii i a a b n b a b ==+≤-+∑∑即 22111(1)(2).n nni i i i i i i n b n a b a ===-+-≥∑∑∑由对称性，不妨设1b 是12,,...,n b b b 中最小的一个，则有()2221111212211222211111211(1)(2)(1)(1)(2)(1)(2)(1)1(2)(4)11,n n n nii i ii i i i i n i i nni i i i n b n a b n b n b n a b n b b n b n b b n b nb n b a a =======-+-≥-+-+-⎛⎫≥-++- ⎪⎝⎭=-+-+-=+-+≥=≥∑∑∑∑∑∑∑ 证毕．6．求证: 对于任意给定的正整数,m n ，总存在无穷多组互素的正整数,a b ，使得|.a b a b am bn ++（陈永高提供）证明如果1mn =，则结论成立．下设2mn ≥，由于()()(),a a b a b a a bn am bn a b n a mn n ++⎡⎤+=++-⎣⎦故只要证明存在无穷多组互素的正整数,,a b 使得|(),(,) 1.a a b a b mn n a b n ++-+=令p a b =+，我们只要证明存在无穷多个素数p 及正整数11a p ≤≤-，使得|().a p p mn n -由费尔马小定理知: 当12(mod 1)a a p ≡-，121,1a a ≥≥时，有12()()(mod ).a a mn mn p ≡ 因此只要证明存在无穷多个素数p 及正整数a ，使得|().a p mn n - (1)假设这样的素数只有有限个，记为12,,...,r p p p (由于2mn ≥，这样的素数必存在)．设12212()...,rr mn n p p p ααα-= i α为非负整数()1.i r ≤≤ (2)取12121...(1)...(1)2,rr r a p p p p p ααα=--+设1212()...,r a r mn n p p p βββ-= i β为非负整数()1.i r ≤≤ (3)若|,i p n 则由(3)及2a ≥可知|i i p n β，故2|()i i p mn n β-，从而由(2)知.i i βα≤若i p n ，则i p m ，故()1,1i ip mn α+=．由欧拉定理知(注意()()11i i i i i p p p ααϕ+=-为2a -的约数)12()()(mod ).i a i mn n mn n p α+-≡-由于1i i p α+ 2()mn n -，故由上式知1i i p α+ ()a mn n -．因而 .i i βα≤这样121221212()......().r ra r r mn n p p p p p p mn n βββααα-=≤=-与2a >矛盾．所以存在无穷多个素数p 及正整数a ，使得|().a p mn n -证毕．。

2011年全国高中数学联赛试题及答案详解(A卷)

一、填空题（每小题8分，共64分）1．设集合},,,{4321a a a a A =，若A 中所有三元子集的三个元素之和组成的集合为}8,5,3,1{-=B ，则集合=A ．2．函数11)(2-+=x x x f 的值域为． 3．设b a ,为正实数，2211≤+ba ，32)(4)(ab b a =-，则=b a log ． 4．如果)cos (sin 7sin cos 3355θθθθ-<-，)2,0[πθ∈，那么θ的取值范围是．二、解答题（本大题共3小题，共56分）9．（16分）设函数|)1lg(|)(+=x x f ，实数)(,b a b a <满足21()(++-=b b f a f ，2lg 4)21610(=++b a f ，求b a ,的值．10．（20分）已知数列}{n a 满足：∈-=t t a (321R 且)1±≠t ，121)1(2)32(11-+--+-=++nn n n n n t a t t a t a ∈n (N )*．（1）求数列}{n a 的通项公式；（2）若0>t ，试比较1+n a 与n a 的大小．11．（本小题满分20分）作斜率为31的直线l 与椭圆C ：143622=+y x 交于B A ,两点（如图所示），且)2,23(P 在直线l 的左上方．（1）证明：△PAB 的内切圆的圆心在一条定直线上；（2）若︒=∠60APB ，求△PAB 的面积．加试1. （40分）如图，Q P ,分别是圆内接四边形ABCD 的对角线BD AC ,的中点．若DPA BPA ∠=∠，证明：CQB AQB ∠=∠．2. （40分）证明：对任意整数4≥n ，存在一个n 次多项式0111)(a x a x a x x f n n n ++++=--具有如下性质：4.（50分）设A 是一个93⨯的方格表，在每一个小方格内各填一个正整数．称A 中的一个)91,31(≤≤≤≤⨯n m n m 方格表为“好矩形”，若它的所有数的和为10的倍数．称A 中的一个11⨯的小方格为“坏格”，若它不包含于任何一个“好矩形”．求A 中“坏格”个数的最大值。

中国数学奥林匹克(CMO)历届试题及解答(1986-2005)

2 2 a1 x2 1 + a2 x2 + · · · + an xn ; 2 2 a1 x2 1 + a2 x2 + · · · + an xn
0(i = 1, 2, . . . , n),则显然有a1 x1 + a2 x2 + · · · + an xn 0, ai −a1 > 0(i = 2, 3, . . . , n). ∴
√ sin ∠F AE FE AD 由正弦定理 sin AE 2 − AD2 = 5, ∠DAE = DE × AF .其中DE = √ √ F E = F D − DE = AF 2 − AD2 − DE = m2 − 122 − 5 > 0. ∴ m > 13, 且∠A为锐角等价于 ∠A为直角等价于 ∠A为钝角等价于解得当13 < m < 当m = 当m >
∈ Z.
1 3 2n+1 (2n + 1)ϕ = (2l + 3 = 2t + 3 2 )π (l ∈ Z). ∴ (2n + 1)(2k + 6 ) = 2l + 2 , 6 2 , n = 6t + 4(t ∈ Z). 5(2n+1) 5 ) = 2l + 3 = 2t + 3 或(2n + 1)(2k + 6 2, 6 2 , 5|4t + 3, t ≡ 3 (mod 5)(t ∈ Z).
zk ∈A 2 , yk A,x2 k 4 2 1 √
1 4 ,即
2 x2 k + yk 2 x2 k + yk
√
2xk . yk |
zk ∈A zk ∈A

【第十届小机灵杯辅导资料五年级综合练习1

2003 20012001 2003 10000 2001 20032003 2001 10000 2003 20012001 2001 20032003 2003 10000 2001 10000 2003 2001 10001 2001 2003 10001 2003 2001 10000
21 126 米远才能追上野兔。 21 16
第十届小机灵杯数学竞赛 2011 年辅导资料五年级综合练习⑴
城隍喵
【第 13 题】
abc 是一个质数，那么 abcabc 的约数共有 _______ 个。
【分析与解】
abcabc abc 1001 abc 7 11 13 ；
【第 12 题】猎狗追赶前方 30 米处的野兔。猎狗步子大，它跑 4 步的路程兔子要跑 7 步，但是兔子动作快，猎狗跑 3 步的时间兔子能跑 4 步。猎狗至少跑出 _______ 米远才能时间，猎狗和兔子的路程比为 : 21:16 ； 4 7
猎狗追赶前方 30 米处的野兔，猎狗至少跑出 30
因为 abc 是一个三位质数；所以 abc 与 7 、 11 、 13 互不相同；
abcabc 的约数共有 2 2 2 2 16 个。
【第 14 题】甲、乙两地方相距 60 千米，自行车队 8 点整从甲地出发到乙地去，前一半时间的平均速度是每分钟 1 千米，后一半时间的平均速度是每分钟 0.8 千米。那么，自行车队到达乙地的时间是 _______ 点 _______ 分 _______ 秒。【分析与解】设总时间为 2t ；自行车队的平均速度是 1 t 0.8 t 2t 0.9 千米/分；自行车队从甲地到达乙地用时 60 0.9

2011年全国高中数学联合竞赛试题及解答.(B卷)

显然当 t 0 时，恒有 a n 1 a n 0 ，即 a n 1 a n
2011B 11、（本题满分 20 分）已知 A1 ( x1 , y1 ), A2 ( x2 , y2 ), A3 ( x3 , y3 ) 是抛物线 y 2 px ( p 0) 上不同的三点，A1 A2 A3 有两边所在的直线与抛物线 x 2qy (q 0) 相切，证明：对不同的 i, j 高中数学联合竞赛试题（B 卷）第 1 页共 11 页
再由不等式①中等号成立的条件，得 ab 1 ．与②联立解得故 log a b 1 ．
a 2 1, b 2 1,
或
a 2 1, b 2 1,
d ( p ) 2 ，即 2 p 2 6 p 4 解得 p 1 或 2 ；
当3 p
p 6 4 ，解得 p 10 p p 2 2 ，即 p 2 时，当 x 时， AB 取得最小值，d ( p ) 2 2 4
2
综上，满足条件的实数 p 的和为 1 2 10 13 二、解答题：本大题共 3 小题，共 56 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 2011B 9、（本题满分 16 分）已知实数 x, y , z 满足： x y z ， x y z 1 ， x y z 3 .求实数 x 的取值范围. ★解析：令 x 1 t ，由 x y z 1 得 z t y ，代入 x y z 3 得
2
2
yi y j ( yi y j ) 为定值.
★证明：依题意有 y i 2 px i ， i 1,2,3 ， y1 , y 2 , y 3 互不相等。不妨设 A1 A2 , A2 A 3 所在的直线与抛物线 x 2qy (q 0) 相切，因为 x 2qy 的过原点 O 的切线与抛物线 y 2 px ( p 0) 只有一个公共点，所以原点 O 不能是所设内接三角形的顶点，即。 xi , y i 0,0 （ i 1,2,3 ）由于设 A1 A2 所在的直线与抛物线 x 2qy (q 0) 相切，所以 A1 A2 不平行 y 轴，即 x1 x 2 ，

中国女子数学奥林匹克(CGMO)第10届(2011)解答

2011女子数学奥林匹克2011年8月1日上午8:00 ~ 12:00广东深圳市第三高级中学1．求出所有的正整数n ，使得关于,x y 的方程111x y n+= 恰有2011组满足x y ≤的正整数解(,)x y ．解：由题设，20()()xy nx ny x n y n n --=⇒--=．所以，除了x=y=2n 外，x n -取2n 的小于n 的正约数，就可得一组满足条件的正整数解(x , y )．故2n 的小于n 的正约数恰好为2010．设11k kn p p αα= ，其中1,,k p p 是互不相同的素数，1,,k αα 是非负整数．故2n 的小于n 的正约数个数为1(21)(21)12k αα++- ，故1(21)(21)4021k αα++= ．由于4021是素数，所以1k =，1214021α+=，12010α=．所以，2010n p =，其中p 是素数．2．如图，四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点E，边AB、CD的中垂线相交于点F，点M、N分别为边AB、CD的中点，直线EF分别与边BC、AD相交于点P、Q．若MF CD NF AB⋅=⋅且DQ BP AQ CP⋅=⋅，求证：PQ BC⊥．证明：连接AF、BF、CF、DF．由题目条件可知△AFB和△CFD都是等腰三角形，FM 和FN分别为这两个等腰三角形底边上的高．由MF CD NF AB⋅=⋅，知△AFB∽△DFC，从而∠AFB=∠CFD，∠F AB=∠FDC．由∠AFB=∠CFD可得∠BFD=∠CF A，又因FB=F A，FD=FC，所以△BFD≌△AFC．由此可得∠F AC=∠FBD，∠FCA=∠FDB．从而A、B、F、E四点共圆，C、D、E、F 四点共圆．由上可得∠FEB=∠F AB=∠FDC=∠FEC，即直线EP是∠BEC的角平分线，从而EB/EC=BP/CP．同理，ED/EA=QD/AQ．由于DQ BP AQ CP⋅=⋅，所以EB ED EC EA⋅=⋅．由此可得ABCD为圆内接四边形，且点F为其外接圆的圆心．这时，因为∠EBC=12∠DFC=12∠AFB=∠ECB，所以EP BC⊥．QPMNFEDCBAABCDEFNMPQ3．设正实数,,,a b c d 满足1abcd =，求证：11119254a b c d a b c d ++++≥+++．证法一：首先我们证明，当,,,a b c d 中有两个相等时，不等式成立．不妨设a b =，令s a b c d =+++，则有2111192929(2)c d a s a a b c d a b c d a cd s a s+++++=++=+-++++ 32292()a a s a s =-++．若2a ≥，则232s abcd a a a =+++≥+≥，因此将s 视为变量，上式最小值在22s a a =+时取到，此时3232292292992()2(2)2a a s a a a a s a s a a s a s s -++=-+++=++=+799779254161616424s s s =++≥⨯+=+=．（这里用到了224s a a =+≥）若02a <<，则 3233292222()265(2)5a a s a a a a a a a s a a a -++≥-+=++->+254≥=>．因此当,,,a b c d 中有两个相等时，不等式成立．下面假设,,,a b c d 两两不等，不妨设a b c d >>>．由于1ad b c c abcd c⋅⋅⋅==，故由上面的分析得 11119254ad ad b c c b c c c c++++≥+++．下面我们只需证明1111911119ad ad a b c d a b c d b c c b c c c c ++++≥++++++++++． ①而 ①119192c ad a d a b c d ad c b c c⇔++≥+++++++ 29()()(2)ac cd c ad ad a d c ad acd c a b c d b c c+--⇔≥⋅+--+++++ ()()9()()()(2)a c c d a c c d ad acd c a b c d b c c----⇔≥⋅+++++ 19()(2)ad ad a b c d b c c⇔≥+++++()(2)9ad a b c d b c ad c ⇔+++++≥2ad b c c ⇐++≥2ad a b c d b c c +++>++）3ad c c⇐+≥ 而最后一式可以用均值不等式推出，这样就证明了结论．证法二：采用调整法.不妨设a b c d ≤≤≤，并记11119(,,,)f a b c d a b c d a b c d =+++++++.先往证：(,,,))f a b c d f b d ≥. (*)事实上，上式等价于119a c a b c d ++≥+++⇔≥（因为20≥）()9a b c d b d ac ⇐++++≥（因为b d +≥=(9a c ac ⇐+≥ ①而11abcd a a c c ac =≥⋅⋅⋅⇒≤⇒≥且a c +≥，故①左边169ac a≥≥=>=①右边.所以(*)成立.(*)说明，(,,,)f a b c d（其中a b c d≤≤≤）的最小值（或极小值）总是在a c=，即a b c==时取得.欲得到该四元函数的下界，我们就可不妨设(,,,)a b c d=()3111,,,t t tt，这里1t≥；这也说明了只需证明对1t∀≥，总有()311125,,,4t t tf t≥， (**)就证明了原不等式成立.代入，可知()311125,,,4t t tf t≥33874326543265432319253412257675120(1)(121427362412)01214273624120ttt tt t t tt t t t t t tt t t t t t⇔++≥+⇔-+-+≥⇔----+++≥⇐---+++≥5432(1)(1211330630)420t t t t t t⇔-+--+++≥②而1t≥，5331263t t t+≥=>，422113030.t t+≥=>故5432(1)(1211330630)420t t t t t t-+--+++>，②成立.至此，(**)成立，原不等式得证.。

2014年中国女子数学奥林匹克(CGMO)试题及其解答

(n)⋃A (n)⋃ … ⋃A (n) A (pn) = A(pn)⋂ ，pn = A(n)⋂ ，pn = A 于是知|A (pn)| = |A (pn)| = |A (pn)|。这即是说pn是“平衡的”。情形二：如果p ∤ n，则 x，pn = 1 ⇔ x，n = 1，且 x，p = 1。此时则有 A(pn) = A(n) − B(n) 这里B(n) = x|p|x，x ∈ A(n) = x|x = py，y ∈ A(n) 。由情形一的讨论可知，A(n)在区间 0，集合B(n)中的元素x = py ∈ 0，、，、，pn 中各有pm个元素。对应A(n)中的元素y ∈ 0，，这样的数有|A (n)| = m个，
− f(B) =
交流知识
共享智慧
文武光华
八、设n是正整数，S是 1，2， … ，n 中所有与n互素的数构成的集合。记S = S⋂ 0，，S = S⋂ ，，S = S⋂ ，n ，如果S的元素个数是3的倍数，求证：集合S 、S 、S 的元素个数相等。证明方法一：用|X|表示有限集合X的元素个数。对每个正整数n，定义A(n)是所有与n 互素的整数构成的集合，并对每个整数k，定义A (n) = A(n)⋂
文武光华
2014 年 CGMO 试题及其解答
解答人：文武光华数学工作室田开斌
一、如图，⊙O 、⊙O 交于 A、B 两点，延长O A交⊙O 于 C，延长O A交⊙O 于 D，过 B 作 BE∥O A交⊙O 于另一点 E，若 DE∥O A，求证：DC⊥CO 。
C D A E O1 O2 B
证明：如图，连结 AB、O O ，则 AB⊥O O 。因为∠O DA = ∠O AD = ∠O AC = ∠O CA，故C、D、O 、O 四点共圆。又因为 BE∥O A，DE∥O A，所以∠O DA = ∠O AD = ∠BED = ∠BAO ，所以O D∥AB，所以O D⊥O O ，所以 DC⊥CO 。

2011女子数学奥林匹克

÷ ＡＢＥＢＦ＝Ｃ，
互不相同的质数，，： … ，是非负整数．，ａ，
则ｎ的小于ｎ的正约数个数为（＋１（＋１ … （＋１２１）２２）２）一１
— — — — — — — — — — — 一
所以，Ｐ上Ｂ．ＥＣ
的方程
ｌ
— —
（，得对任意复数ｚ、２和实数 ∈ ）使，ｚ［１，Ｉｌ≤ ｚ — ２，０，］若ｚＩＩｌｚｌ则Ｉ１愆２＜２ｚ一２．（ｚ一Ｉｌ１Ｉ李胜宏￣为完全平方数？请证明你的结论．
，，ｂ
，）ｄ
①
事实上，式①
１
一
ａ
ｌ
ｃ
９
＋一
由于．ｃ：ｂｄ＝，由上面的证明得ｂｃｎｃ１故
１
— —
＋ａ０＋ Ⅱ 十Ｃ十
≥
＋＋＋— 一 ≥ ．＋＋ ■ ÷ ＋ ÷ 莩 ‘
＋＋
— —
去＋去＋
若０＜＜口，／ｆ
十
，＇
则
（＋）￣９Ｉ２Ｓ
＾
从而，Ｂ、Ｅ，Ｄ、Ｆ分别四点Ａ、Ｆ、ｃ、Ｅ、
共圆．故ＦＢ＝ＦＢ＝ＦＥＡＤＣ＝ＦＣＥ
≥三一口＋口：ｚ＋ａ＋（２２６５口一ａ）
手Ｃ求ｎ的所有可能值．（云皓．付
供题）
第二天
５给定非负实数．最小实数＝．求
图２

第十届全国大学生数学竞赛(非数学类)答案

第十届全国大学生数学竞赛（非数学类）预赛试题及答案一、填空题（本题满分24分, 共4小题, 每小题6分)（1）设(0,1),α∈则()lim (1)n n n αα→+∞+-=＿0＿＿＿＿＿＿.解由于 1111,n n α⎛⎫⎛⎫+<+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则 αααααα-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+<⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-+11111111)1(n n n n n n n ，于是 ααα-<-+<11)1(0nn n ，应用两边夹法则，()lim (1)0n n n αα→+∞+-=. （2）若曲线()y y x =由+cos +sin 1yx t t e ty t =⎧⎨+=⎩确定，则此曲线在0t =对应点处的切线方程为0(1)y x -=--解：当0t =时，1,0x y ==，对cos x t t =+两边关于t 求导：1sin dx t dt =-，01t dxdt ==，对+sin 1y e ty t +=两边关于t 求导：cos 0y dy dy e y t t dt dt +++=，01t dy dt ==-，则01t dydx ==-.所以，切线方程为0(1)y x -=--.（3）21ln(1)C 2x x +-++ 解1：tan ln(tan sec )ln(tan sec )sin sec x t t t dt t t d t t=+==+⎰⎰ln(tan sec )sin sin ln(tan sec )sint ln(tan sec )t t d t t t t d t t =+=+-+⎰⎰21sin ln(tan sec )sint(sec tan sec )tan sec t t t t t t dt t t =+-++⎰sin sin ln(tan sec )cos tt t t dt t=+-⎰21sin ln(tan sec )ln |cos |C ln(1)C 2t t t t x x =+++-++.解2：ln(x d =+⎰1x dx ⎛⎫=-21xx dxx=-+⎰21ln(1)C2x x-++（4）21coslimx x→-=＿＿＿3＿＿＿＿.解答：2001coslimx xxx→→⎡-=⎢⎣⎦211lim2x x→=+2211lim2x x x→⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦1lim2x→=++⎢⎥⎣⎦220011cos21cos313lim lim1322322x xx xx x→→--=++=++=.二 (本题满分8分) 设函数()f t在0t≠时一阶连续可导，且(1)0f=，求函数22()f x y-，使得曲线积分2222(2())()Ly f x y dx xf x y dy⎡⎤--+-⎣⎦⎰与路径无关，其中L为任一不与直线y x=±相交的分段光滑闭曲线.解：设22(,)(2())P x y y f x y=--，22(,)()Q x y xf x y=-，由题设可知，积分与路径无关，于是有(,)Q x y Px y∂∂=∂∂，由此可知222222()()()1x y f x y f x y'--+-=-----------5分记22t x y=-，则得微分方程()()1tf t f t'+=，即(())1tf t'=，())tf t t C=+又(1))0f=，可得1,C=-1())1f tt=-，从而22221()1f x yx y-=--.------------8分三 (本题满分14分) 设()f x在区间[0,1]上连续，且1()3f x≤≤.证明：1100141()()3f x dx dxf x≤≤⎰⎰.证明. 由柯西不等式111()()f x dx dx f x ⎰⎰≥201⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎰. --------4分又由于 ()()()1()30f x f x --≤，则()()()1()3/()0f x f x f x --≤，即 3()4()f x f x +≤， 103()4()f x dx f x ⎛⎫+≤ ⎪⎝⎭⎰. ----------10分由于21111000313()()()4()f x dx dx f x dx f x f x ⎛⎫≤+ ⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰故 11141()()3f x dx dx f x ≤≤⎰⎰. -----------14分四 (本题满分12分)计算三重积分22()V xy dV +⎰⎰⎰（），其中V （）是由222(2)4x y z ++-≥，222(1)9x y z ++-≤，0z ≥所围成的空心立体.解：（1）1sin cos ,sin sin ,1cos ():03,0,02x r y r z r V r ϕθϕθϕϕπθπ==-=⎧⎨≤≤≤≤≤≤⎩123222225()8()sin sin 315V x y dV d d r r dr ππθϕϕϕπ+==⋅⋅⎰⎰⎰⎰⎰⎰ ----------4分（2）2sin cos ,sin sin ,2cos ():02,0,02x r y r z r V r ϕθϕθϕϕπθπ==-=⎧⎨≤≤≤≤≤≤⎩222222225()8()sin sin 215V x y dV d d r r dr ππθϕϕϕπ+==⋅⋅⎰⎰⎰⎰⎰⎰ ----------8分（3）3cos ,sin ,10():02x r y r z V r θθθπ⎧==≤≤⎪⎨≤≤≤≤⎪⎩3022223510()22()1)(1243)55V r x y dV rdrd dz d dr πθθπ≤+===-⋅+⎰⎰⎰⎰⎰⎰12322222222()()()()256()()()()3V V V V x y dV x y dV x y dV x y dV π+=+-+-+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰------12分五 (本题满分14分) 设(,)f x y 在区域DM ≤，11(,)A x y ，22(,)B x y 是D 内两点，线段AB 包含在D 内。

2021年中国女子数学奥林匹克(CGMO)试题及参考答案

2021 年中国女子数学奥林匹克（CGMO ）试题及其解答解答人：文武光华数学工作室田开斌一、设A 是平面直角坐标系中三条直线x = 1，y = 0和y = t (2x − t )围成的闭区域，其中0＜t ＜1，求证：在区域 A 内，以P(t ，t 2)和Q(1，0)为其中两个顶点的三角形的面积不超过1。

4 证明：如图，阴影部分即为区域 A 。

设直线y = t (2x − t )与 x轴、y 轴的交点分别为 M 、 N ，则点M (t ，0)，N (1，t (2 − t ))。

显然点 P 在线段 MN 上。

对于区域 A 内任一点 A ，显然 2有S △PQA ≤ max ➨S △PQM ，S △PQN ➧，所以我们只需证明S △PQM ≤ 1且S △PQN ≤ 1。

作 PB ⊥x 轴于 B ，作 PC ⊥QN 于C ，则S △PQM =MQ·PB 2 4 (1–t )t 2 = 2 = 24(2–t)t 2 ＜4 (2–t)t ≤ 1； 4 4S △PQN = NQ·PC = t(2–t)·(1–t) ≤ (2–t) ＜ 1。

命题得证。

2 2 8 4二、如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，⊙O 1与 DA 、AB 、BC 三边相切，⊙O 2与 BC 、CD 、DA 三边相切。

设P 是⊙O 1与边 AB 的切点，Q 是⊙O 2与边 CD 的切点。

求证：AC 、BD 、PQ 三线共点。

D证明：因为 AB ∥CD ，根据位似，我们要证 AC 、BD 、PQ 共点，只需证明AP= CQ 。

BPDQ如图，连接O 1A 、O 1B 、O 1P ，O 2C 、O 2D 、O 2Q 。

因为 AB ∥CD ，所以∠O 1AP +∠O 2DQ = 90°，∠O 1BP + ∠O 2CQ = 90°。

所以O 1P= DQ ⇒ AP · DQ = O 1P · O 2Q ，AP O 2QO 1P =CQ ⇒ BP · CQ = O 1P · O 2Q ，于是知AP · DQ = BP · CQ ⇒ AP = CQ 。

2011年全国高中数学联合竞赛一试试题(B卷)解析

2
2
于是
BE2 CF 2
=
2x2 − 1 2x2 + 14
=
1−
15 . 2x2 + 14
由于
2x2
+ 14
∈
(16, 64)，
第2页共5页
8.
从而 BE2 CF 2
抛物线 y2
∈ =
( 1 , 49) < t2 16( 64 p)
2p x − (p
恒成立 ⇒ t ⩾ 7，所以 t 的最小值为 7.
#n»
⊥
#» SP ,
#n»
=
(x,
y,
z)
−x + y + z = 0, ⇒ 2x + 6y + 5z = 0.
取
#n»
= (1, −7, 8)，
√
所以异面直线
SP
与
AC1
的距离
d = |S# A» · n#»0| =
3 √
=
114
114 . 38
7.
在
△ABC
中，E, F
分别是
AC, AB
的中点，AB
所以
P (C)
=
C21 · 5 C226
=
20 26 · 25
=
2. 65
5. 若 △ABC 的角 A, C 满足 5(cos A + cos C) + 4(cos A cos C + 1) = 0，则
第1页共5页
tan A 2
·
tan
C 2
=
.
解答
设
x
=
tan
A ,
y