中国女子数学奥林匹克(CGMO)第10届(2011)解答

2011女子数学奥林匹克

2011年8月1日 上午8:00 ~ 12:00广东 深圳市第三高级中学

1．求出所有的正整数n ，使得关于,x y 的方程

111x y n

+=

恰有2011组满足x y ≤的正整数解(,)x y ．

解：由题设，20()()xy nx ny x n y n n --=⇒--=．所以，除了x=y=2n 外，x n -取2n 的小于n 的正约数，就可得一组满足条件的正整数解(x , y )．故2n 的小于n 的正约数恰好为2010．

设1

1k

k n p p α

α= ，其中1,,k p p 是互不相同的素数，1,,k αα 是非负整数．故2n 的

小于n 的正约数个数为

1(21)(21)1

2

k αα++- ，

故1(21)(21)4021k αα++= ．

由于4021是素数，所以1k =，1214021α+=，12010α=． 所以，2010n p =，其中p 是素数．

2．如图，四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点E，边AB、CD的中垂线相交于点F，点M、N分别为边AB、CD的中点，直线EF分别与边BC、AD相交于点P、Q．若M F C D N F AB

⋅=⋅且DQ BP AQ CP

⋅=⋅，求证：PQ BC

⊥．

证明：连接AF、BF、CF、DF．由题目条件可知△AFB和△CFD都是等腰三角形，FM 和FN分别为这两个等腰三角形底边上的高．由M F C D N F AB

⋅=⋅，知△AFB∽△DFC，从而∠AFB=∠CFD，∠FAB=∠FDC．

由∠AFB=∠CFD可得∠BFD=∠CFA，又因FB=FA，FD=FC，所以△BFD≌△AFC．由此可得∠FAC=∠FBD，∠FCA=∠FDB．从而A、B、F、E四点共圆，C、D、E、F四点共圆．

由上可得∠FEB=∠FAB=∠FDC=∠FEC，即直线EP是∠BEC的角平分线，从而EB/EC=BP/CP．同理，ED/EA=QD/AQ．由于DQ BP AQ CP

⋅=⋅，所以EB ED EC EA

⋅=⋅．由此可得ABCD为圆内接四边形，且点F为其外接圆的圆心．这时，因为

∠EBC=1

2∠DFC=1

2

∠AFB=∠ECB，所以E P B C

⊥．

Q

P

M

N

F

E

D

C

B

A

A

B

C

D

E

F

N

M

P

Q

3．设正实数,,,a b c d 满足1abcd =，求证：

11119254

a b c d a b c d

++++

≥+++．

证法一：首先我们证明，当,,,a b c d 中有两个相等时，不等式成立．不妨设a b =，令

s a b c d

=+++，则有

2

111192929(2)c d a s a a b c d

a b c d a

cd

s

a

s

+++++

=

+

+

=

+-+

+++ 3

2

292()a a s a

s =

-++

．

若2

a ≥

则232s a b c d a a

a

=+++≥+

≥

，因此将s 视为变量，上式最小值在22s a a

=+

时取到，此时

3

2

32

292292992()2(2)2a a s a a a a s a

s

a

a

s

a

s

s

-++

=

-++

+

=

++

=+

79977925416

16

16

4

2

4

s s s

=

+

+

≥

⨯+=

+

=

．（这里用到了224s a a

=+

≥）

若02

a <<

3

2

3

3

292222()265(2)5a a s a a a a a a a

s

a

a

a

-++

≥

-+=

++->

+254

≥=>

．

因此当,,,a b c d 中有两个相等时，不等式成立．

下面假设,,,a b c d 两两不等，不妨设a b c d >>>．由于1ad b c c abcd c

⋅⋅⋅==，故由

上面的分析得

11119254

ad ad b c c b c c

c c

++++

≥+++．

下面我们只需证明

1111911119ad ad a b c d a b c d

b c c b c c

c c

++++

≥++++

++++++． ①