小波分析小结

小波分析小结

小波分析的形成

小波分析是一门数学分支，是继Fourier 变换之后新的时频域分析工具。小波理论的形成经历了三个发展阶段：

Fourier 变换阶段：

Fourier 变换是将信号在整个时间轴上进行积分，它将信号的时域特征和频域特征联系起来，分别进行分析。设信号()f t ，其Fourier 变换为：

()()i t

F f t e dt ωω∞

--∞

=⎰

()

F ω确定了()f t 在整个时间域上的频谱特性。但

Fourier 变换不能对信号从时域和频域结合起来分析，它是一种全局变换，在时间域上没有任何分辨率。

例：()1,(22)f t t =-<=<=，其Fourier 变换对应图如下：

短时Fourier 变换阶段：

短时Fourier 变换即加窗Fourier 变换，其思想是把信号分成许多小的时间间隔，用Fourier 分析每个时间间隔，以确定该间隔存在的频率，达到时频局部化目的。其表达式为：

(,)(),()()()j t j t f R

G f t g t e f t g t e dt

ωωωτττ-=〈-〉=-⎰

式中，()g t 为时限函数，即窗口函数，j t

e ω-起频限

作用，(,)

f

G

ωτ大致反映了()f t 在τ时、频率为ω的信

号成分含量。

由上式，短时Fourier 变换能实现一定程度上的时频局部化，但窗口函数确定时，窗口大小和形状固定，所得时频分辨率单一。 小波分析阶段：

为了克服上述缺点，小波变换应运而生。小波变换在研究信号的低频成分时其窗函数在时间窗长度上增加，即在频率宽上减小；在研究信号的高频成分时其窗函数在时间窗长度上减小，而在频率宽上增加。对信号可以进行概貌和细节上的分析。

小波的定义：

设2

()()t L R ψ∈ （为能量有限的空间信号），其Fourier 变换为µ()ψ

ω，若满足容许条件：

·

2

|()|||d ψωωω∞

-∞<+∞⎰

则称()t ψ为母小波，由容许条件可得：µ(0)()0t dt ψψ∞-∞

==⎰

，说明()t ψ具有波动性，在有限区间外恒为0或快速趋近于0.

以Marr 小波2

2

2())2t

t t e ψπ

-=-为例，如下图：

将母小波进行伸缩平移所得小波系列称为子小波，定义式如下:

,()(),0b a t b t a a a

ψψ-=

>

其中a 为伸缩因子，b 为平移因子。

a

以Marr 小波为例，分别取伸缩平移因子a ，b 为0.5、1、2、4；-1、0、1，对应图形如下:

Daubichies小波

常见的小波有Daubechies、Symlets、Morlet、Mexican Hat、Meyer小波等，其对应的图形及性质如下：

Daubechies小波是正交小波，没有解析表达式（除Haar小波外）。其简写形式为dbN，N表示阶数，支集区间为（0，2N-1）。

Symlets小波与db小波的差别是sym小波有更好的对称性。

Morlet 小波不具备正交性，不存在紧支集，不能做离散小波变换，没有解析尺度函数，其小波函数为：

2

/2()cos(5)x x e x ψ-=

Mexican Hat 小波不具有正交性，不存在尺度

函数，是高斯函数的二阶导数，小波函数为：

21/4/2

()3

x x e ψ--=

Meyer 小波为在频域定义的具有解析形式的正交小波，不存在紧支集，但其频谱有限，具有对称性。

小波函数的特点：

正交性：小波函数与自身内积为1，而与其伸缩平移后的小波系列内积为0。正交小波的优点是小波变换可将信号分解到无重叠的子频带上，并且可以进行高效的离散小波变换。

对称性：不具有对称性的小波函数所重构的信号会有相位失真。

紧支性：具有紧支性的小波其小波函数仅在有限区间内是非零的，其局部化能力强，小波变换复杂度低。

正则性：用于刻画小波函数的光滑程度，正则性越高，函数越光滑。

消失矩：用于衡量小波逼近光滑函数时的能力。消失矩越大，压缩比越大。

尺度函数：若函数2

()()t L R ϕ∈，其整数平移系列()()k

t t k ϕϕ=-满

足：

(),()k k kk t t ϕϕδ''=

则称()t ϕ为尺度函数。

对尺度函数()t ϕ进行平移和伸缩，可得一个尺度和位移均可变的函数集合：

/2,()2(2)(2)j j j j k k t t k t ϕϕϕ---=-=

称每一个固定尺度j 上的平移系列(2)j k t ϕ-所张成的空间j V 为尺度j 的尺度空间：

{}(2),j j k V span t k Z ϕ-=∈

正交多分辨分析：Hilbert 空间2()L R 中，若一列闭子空间{}j j z V ∈满足如下性质：嵌套性：1,();j j V V j z -⊆∈ 逼近性：2{0},();j j j z

j z

V V L R ∈∈⋂=⋃=

伸缩性：1()(2);

j j f t V f t V -∈⇔∈

平移不变性：()(),;j

j f t V

f t k V j Z ∈⇔-∈∈

正交性（Riesz 基）：存在0()t V ϕ∈，使得{(),}t k k z ϕ-∈是0V 的标准正交基。 滤波器：在二尺度方程中，对系数系列{}k k z h ∈和1(1),k k k g h k z -=-∈作Fourier 变换得()H ω和()G ω，其中1()2ik k k z H h e ωω-∈=

∑，1

()2ik k k z

G g e ωω-∈=∑，称()H ω和()G ω分别为低通滤波器和高通滤波器。称{}k k z h ∈和{}k k z g ∈分别为低通滤波器系

数和高通滤波器系数。

小波变换

连续小波变换：设ψ为一母小波，2

()()f t L R ∈，称

1

2

,()(,),||

()(

)a b t b

W f a b f a f t dt a

ψψψ∞

-

-∞

-=〈〉=⎰

为f 的连续小波变换。

离散小波变换

离散小波：通过离散化连续小波变换中的平移因子b 和尺度因子a 得到，通

常取0

00,,,m m a a b nb a m n Z ==∈.