正多边形平面镶嵌问题
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生活中的数学
欣赏 美
研究美
不留空隙
来自百度文库
不重叠
用一种或几种多边形进行拼接,彼此之间不留空 隙,也不重叠地铺成一片,这叫平面图形的镶嵌.
研究美
观察下面多边形，它们的边，内角有什么特点？
思考:(我1)们三把边各都边相相等等的，三各角内形角是也正相三等角的形多吗边? 形叫(做2)正四多边边都形相。等的四边形就是正方形吗? (3)四个角都相等的四边形就是正方形吗?
不重叠地铺成一片,这叫平面图形的镶嵌.
20
结论：能单独镶嵌平面的正多边形只有3 种，即正三角形、正方形、正六边形。
例题
用边长相等的正八边形和正方形能镶嵌平面吗？
解：因为正八边形的内角为135o，正方形的内角为90o, 由于135o×2+90o×1＝360o，所以两个正八边形和一个 正方形能拼成一幅镶嵌图。
应用美
如果有钱人想用正三角形、正四边形、 正六边形中的两种来镶嵌地面，他该如 何选择材料？
3
2
1
3
3
1
3
2
1
3
2
2
1
3
共顶点的各个角的度数之和等于360°
拓展
形状、大小完全相同的任意四边形可以镶嵌平面。
34
12
34
12
12
12
34
34 12
34
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34
12
共顶点的各个角的度数之和等于360°
拓展
谈谈收获
1.正多边形及镶嵌的概念 2. 平面镶嵌的有关规律
研究美 观察下面多边形，它们的边，角有什么特点？
算一算
求下列各正多边形的各个内角度数：
正三角形
60o
正方形
90o
正n边形呢？
正五边形
108o
正六边形
120o
(n 2)180 n
创造美
拼一拼：分别用若干个正三角形、正方形、
正五边形、正六边形的纸片尝试镶嵌. 问题：这几种正多边形中,哪些能单独镶嵌平面， 哪些不能?你能说明其中的原因吗？
正三角形 正方形
我们内把角各都边相相等等，，各边内也角都也相相等等的的多多边边形形叫做正多边形。
收获
规律小结：
（1）共顶点的各个角之和应等 于360°.；
（2）能单独用来镶嵌平面的正 多边形的内角度数一定能整 除360。
研究美
不留空隙
不重叠
用一这种些或图几案种都多是边由形哪进些行基拼本接的,平彼面此图之形间构不成留的空？隙,也 这些图形拼成一个平面图案有什么共同特征 ？
规律小结：
(1)如果正多边形能够镶嵌平面，那么共 顶点的各个角的度数之和应等于360°. (2)能单独用来镶嵌平面的正多边形的 内角度数一定能整除360.
试一试
能用下列正多边形单独镶嵌平面吗？
(1)正八边形； (8 2)180 135
8
(2)正十边形；
(10 2)180 144 10
(3)正二十边形； (20 2)180 162
正五边形
正六边形
正多边 形边数
3
拼图
每个内角 每个内角与 的度数 360°的关系
60° 6×60°= 360°
结论 能镶嵌
4
90° 4×90°= 360° 能镶嵌
108° 3×108°＜ 360°不能镶嵌 5
108° 4×108°＞ 360°不能镶嵌
6
120° 3×120°= 360° 能镶嵌
收获
正多边形
拼
图
正三角形
和
正四边形
解：设共顶点的正三角形有x个，正 六边形有y个，由题意得
60° x + 120°y= 360° 3×x6=0°6 +- 2y2 ×90°= 360°
正三角形 当y＝1时，x＝4
和
当y＝2时，x＝2
正六边形
2×60°+2 ×120°=360° 4×60°+1 ×120°=360°
创造美
选择边长相等的正多边形中的两种或两种以 上进行镶嵌平面，使拼出的图案既符合要求 又比较美观，比一比，哪一组同学最快展示 作品？并说明其中的数学原理。
拓展
探究：全等的三角形、全等的四边形能单独镶嵌平面吗？
①
2
1
3
②
12
34
拓展
形状、大小完全相同的任意三角形可以镶嵌平面.
1
3
1
2
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2
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欣赏 美
研究美
不留空隙
来自百度文库
不重叠
用一种或几种多边形进行拼接,彼此之间不留空 隙,也不重叠地铺成一片,这叫平面图形的镶嵌.
研究美
观察下面多边形，它们的边，内角有什么特点？
思考:(我1)们三把边各都边相相等等的，三各角内形角是也正相三等角的形多吗边? 形叫(做2)正四多边边都形相。等的四边形就是正方形吗? (3)四个角都相等的四边形就是正方形吗?
不重叠地铺成一片,这叫平面图形的镶嵌.
20
结论：能单独镶嵌平面的正多边形只有3 种，即正三角形、正方形、正六边形。
例题
用边长相等的正八边形和正方形能镶嵌平面吗？
解：因为正八边形的内角为135o，正方形的内角为90o, 由于135o×2+90o×1＝360o，所以两个正八边形和一个 正方形能拼成一幅镶嵌图。
应用美
如果有钱人想用正三角形、正四边形、 正六边形中的两种来镶嵌地面，他该如 何选择材料？
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共顶点的各个角的度数之和等于360°
拓展
形状、大小完全相同的任意四边形可以镶嵌平面。
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共顶点的各个角的度数之和等于360°
拓展
谈谈收获
1.正多边形及镶嵌的概念 2. 平面镶嵌的有关规律
研究美 观察下面多边形，它们的边，角有什么特点？
算一算
求下列各正多边形的各个内角度数：
正三角形
60o
正方形
90o
正n边形呢？
正五边形
108o
正六边形
120o
(n 2)180 n
创造美
拼一拼：分别用若干个正三角形、正方形、
正五边形、正六边形的纸片尝试镶嵌. 问题：这几种正多边形中,哪些能单独镶嵌平面， 哪些不能?你能说明其中的原因吗？
正三角形 正方形
我们内把角各都边相相等等，，各边内也角都也相相等等的的多多边边形形叫做正多边形。
收获
规律小结：
（1）共顶点的各个角之和应等 于360°.；
（2）能单独用来镶嵌平面的正 多边形的内角度数一定能整 除360。
研究美
不留空隙
不重叠
用一这种些或图几案种都多是边由形哪进些行基拼本接的,平彼面此图之形间构不成留的空？隙,也 这些图形拼成一个平面图案有什么共同特征 ？
规律小结：
(1)如果正多边形能够镶嵌平面，那么共 顶点的各个角的度数之和应等于360°. (2)能单独用来镶嵌平面的正多边形的 内角度数一定能整除360.
试一试
能用下列正多边形单独镶嵌平面吗？
(1)正八边形； (8 2)180 135
8
(2)正十边形；
(10 2)180 144 10
(3)正二十边形； (20 2)180 162
正五边形
正六边形
正多边 形边数
3
拼图
每个内角 每个内角与 的度数 360°的关系
60° 6×60°= 360°
结论 能镶嵌
4
90° 4×90°= 360° 能镶嵌
108° 3×108°＜ 360°不能镶嵌 5
108° 4×108°＞ 360°不能镶嵌
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120° 3×120°= 360° 能镶嵌
收获
正多边形
拼
图
正三角形
和
正四边形
解：设共顶点的正三角形有x个，正 六边形有y个，由题意得
60° x + 120°y= 360° 3×x6=0°6 +- 2y2 ×90°= 360°
正三角形 当y＝1时，x＝4
和
当y＝2时，x＝2
正六边形
2×60°+2 ×120°=360° 4×60°+1 ×120°=360°
创造美
选择边长相等的正多边形中的两种或两种以 上进行镶嵌平面，使拼出的图案既符合要求 又比较美观，比一比，哪一组同学最快展示 作品？并说明其中的数学原理。
拓展
探究：全等的三角形、全等的四边形能单独镶嵌平面吗？
①
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拓展
形状、大小完全相同的任意三角形可以镶嵌平面.
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