原子物理课件 第6节 空间量子化与史特恩—盖拉赫实验
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+2 +1 0
nφ = 3
h pψ = (3, 2,1,0, −1, −2, −3) 2π
-1 -2 -3
磁量子数是原子角动量空间量子化的标志。 磁量子数是原子角动量空间量子化的标志。
无外磁场时，能级与磁量子数无关, 无外磁场时，能级与磁量子数无关,原子光谱中不显示空间量 子化效应。原子处在外磁场中时，能级与磁量子数相关, 子化效应。原子处在外磁场中时，能级与磁量子数相关,角动 量的空间量子化显示出来。施特恩-格拉赫实验, 量的空间量子化显示出来。施特恩-格拉赫实验,证实了在外磁 场中原子轨道空间取向量子化的现象。 场中原子轨道空间取向量子化的现象。 在实验上，观察到的银原子轨道是两个，因此， 在实验上，观察到的银原子轨道是两个，因此，轨道取向的 理论还需要进一步的修正。 理论还需要进一步的修正。
e pφ 磁矩为： 磁矩为： µ = 2m nφ h he 量子化条件： 量子化条件： pφ = µ = nφ = nφ µ B , nφ = 1, 2, ⋅⋅ ⋅ 2π 4π m he 波尔磁子 µB = = 0.92732 × 10−23 安 ⋅ 米 2 4π m
磁场对磁矩的影响 (1)角动量在磁场中旋进 (1)角动量在磁场中旋进
一个 nϕ 对应 2nϕ + 1个 nψ 对应 2nϕ + 1 轨道的空间取向 轨道平面的空间取向量子化叫 原子的角动量“ 作原子的角动量“空间量子 化”。 例如： 例如： 当 nϕ ＝1时， pϕ = h / 2π ， nψ = +1, 0 − 1 h h cos α = +1, 0, −1, α = 0 ,90 ,180 , pψ = , 0, − 2π 2π
B
pφ
M = µ × B ⇒ M 方向向里
M = dpφ dt ⇒ dpφ 方向向里
µ
−e
dB dz
z
β
所以角动量要进动。 所以角动量要进动。
(2)磁矩在不均匀磁场中受力： (2)磁矩在不均匀磁场中受力： 磁矩在不均匀磁场中受力
µ
dB dB f = µz =µ cos β dz dz
百度文库
二、史特恩-盖拉赫实验 史特恩-
dB dz
z
β
µ
S=
1 2 1 f L 1 dB L at = = µ cos β 2 2 m v 2m dz v
2
2
在照片底片上有两个黑斑， 在照片底片上有两个黑斑，说明有两个 µz ，也就是有两 水银原子在磁场中有两个取向， 个β值 ，水银原子在磁场中有两个取向，有力证明了原子 在磁场中的取向是量子化的。 在磁场中的取向是量子化的。
nψ = +1
0 -1
nφ = 1
nφ = 2
nψ = +2
+1 0 -1 -2
h 当nϕ = 2时，pϕ = 2 ，nψ = +2, +1, 0, −1, −2 2π
1 1 cos α = +1, + , 0, − , −1, α = 0 , 60 ,90 ,120 ,180 , 2 2
h pψ = (2,1, 0, −1, −2) 2π
实 验 装 置
实验装置示意图
实验现象：银原子束经过不均匀的磁场，在底片形成两条黑斑。 实验现象：银原子束经过不均匀的磁场，在底片形成两条黑斑。
实验原理： 实验原理： 磁矩在不均匀磁场中受力： 磁矩在不均匀磁场中受力：
dB dB f = µz =µ cos β dz dz
原子在垂直方向偏离： 原子在垂直方向偏离：
电子在核的库仑场中运动， 电子在核的库仑场中运动 ， 其运动轨道是位于一个平面 上的椭圆，满足两个量子化条件。 上的椭圆，满足两个量子化条件。 原子处在外磁场中运动时， 原子处在外磁场中运动时，电子的轨道运动是三维空间的 曲线运动。需要三个量子化条件。 曲线运动。需要三个量子化条件。 P
ψ
第三个广义坐标与电子轨道 平面在磁场中的取向有关。 平面在磁场中的取向有关。 的方向。 Z 轴取在外磁场 B 的方向。 α：轨道角动量与极轴之间的夹角
r r
nr 径向量子数
nϕ 角量子数 nψ 磁量子数
θ
α
Ze
ϕ ψ
N
r
−e
其中 pϕ是守恒量，可以解出： pϕ = nϕ h / 2π，nϕ = 1, 2,3,⋯ 是守恒量，可以解出：
pψ 也是守恒量,可以解出： 也是守恒量,可以解出：
pψ = nψ h / 2π，nψΨ= 1, 2,3,⋯ n 为整数
h 当nϕ = 3时，pϕ = 3 ，nψ = +3, +2, +1, 0, −1, −2, −3 2π
2 1 1 2 cos α = 1, , ,0, − , − , −1, 3 3 3 3
α = 0 , 48 47`, 70 29`,90 ,109 31`,131 13`,180 ,
nψ = +3
§2.6、史特恩－盖拉赫实验 2.6、史特恩－ 原子空间取向的量子化
一、电子轨道运动的磁矩 电子的轨道运动相当于一个闭合电流
µ = iA
dϕ
i 电子的电流为： 电子的电流为： =
e
τ
r
i
电路所包围的面积： 电路所包围的面积： 2π τ τ pφ 1 1 2 1 2 A = ∫ r ⋅ rdφ = ∫ r ω dt = ∫ mr ωdt = 2m τ 2 20 2m 0 0
Pφ
Z
θ
α
Ze
ϕ ψ
N
r
−e
r :电子的径向位置
ϕ ：r 在轨道平面的方位角 ψ：r 在水平面上的投影所具有的方位角
选取广义坐标：r , ϕ ,ψ
广义动量：线动量Pr , 角动量P , P 在外磁场的分量P ϕ ϕ ψ
P ψ
量子化条件： 量子化条件：
Pφ
Z
∫ p dr = n h ∫ pϕ dϕ = nϕ h ∫ pψ dψ = nψ h
pψ 是 pϕ 在外磁场方向上的分量，故得： pψ = pϕ cos α 在外磁场方向上的分量，故得：
比较可得： 比较可得： −1 ≤ nψ / nϕ ≤ 1 ( −1 ≤ cos α ≤ 1) ，
n 可取下列值： 对于给定的 nϕ ， ψ可取下列值： nψ = ± nϕ , ± (nϕ − 1), ± (nϕ − 2),⋯ , ±2, ±1, 0
nφ = 3
h pψ = (3, 2,1,0, −1, −2, −3) 2π
-1 -2 -3
磁量子数是原子角动量空间量子化的标志。 磁量子数是原子角动量空间量子化的标志。
无外磁场时，能级与磁量子数无关, 无外磁场时，能级与磁量子数无关,原子光谱中不显示空间量 子化效应。原子处在外磁场中时，能级与磁量子数相关, 子化效应。原子处在外磁场中时，能级与磁量子数相关,角动 量的空间量子化显示出来。施特恩-格拉赫实验, 量的空间量子化显示出来。施特恩-格拉赫实验,证实了在外磁 场中原子轨道空间取向量子化的现象。 场中原子轨道空间取向量子化的现象。 在实验上，观察到的银原子轨道是两个，因此， 在实验上，观察到的银原子轨道是两个，因此，轨道取向的 理论还需要进一步的修正。 理论还需要进一步的修正。
e pφ 磁矩为： 磁矩为： µ = 2m nφ h he 量子化条件： 量子化条件： pφ = µ = nφ = nφ µ B , nφ = 1, 2, ⋅⋅ ⋅ 2π 4π m he 波尔磁子 µB = = 0.92732 × 10−23 安 ⋅ 米 2 4π m
磁场对磁矩的影响 (1)角动量在磁场中旋进 (1)角动量在磁场中旋进
一个 nϕ 对应 2nϕ + 1个 nψ 对应 2nϕ + 1 轨道的空间取向 轨道平面的空间取向量子化叫 原子的角动量“ 作原子的角动量“空间量子 化”。 例如： 例如： 当 nϕ ＝1时， pϕ = h / 2π ， nψ = +1, 0 − 1 h h cos α = +1, 0, −1, α = 0 ,90 ,180 , pψ = , 0, − 2π 2π
B
pφ
M = µ × B ⇒ M 方向向里
M = dpφ dt ⇒ dpφ 方向向里
µ
−e
dB dz
z
β
所以角动量要进动。 所以角动量要进动。
(2)磁矩在不均匀磁场中受力： (2)磁矩在不均匀磁场中受力： 磁矩在不均匀磁场中受力
µ
dB dB f = µz =µ cos β dz dz
百度文库
二、史特恩-盖拉赫实验 史特恩-
dB dz
z
β
µ
S=
1 2 1 f L 1 dB L at = = µ cos β 2 2 m v 2m dz v
2
2
在照片底片上有两个黑斑， 在照片底片上有两个黑斑，说明有两个 µz ，也就是有两 水银原子在磁场中有两个取向， 个β值 ，水银原子在磁场中有两个取向，有力证明了原子 在磁场中的取向是量子化的。 在磁场中的取向是量子化的。
nψ = +1
0 -1
nφ = 1
nφ = 2
nψ = +2
+1 0 -1 -2
h 当nϕ = 2时，pϕ = 2 ，nψ = +2, +1, 0, −1, −2 2π
1 1 cos α = +1, + , 0, − , −1, α = 0 , 60 ,90 ,120 ,180 , 2 2
h pψ = (2,1, 0, −1, −2) 2π
实 验 装 置
实验装置示意图
实验现象：银原子束经过不均匀的磁场，在底片形成两条黑斑。 实验现象：银原子束经过不均匀的磁场，在底片形成两条黑斑。
实验原理： 实验原理： 磁矩在不均匀磁场中受力： 磁矩在不均匀磁场中受力：
dB dB f = µz =µ cos β dz dz
原子在垂直方向偏离： 原子在垂直方向偏离：
电子在核的库仑场中运动， 电子在核的库仑场中运动 ， 其运动轨道是位于一个平面 上的椭圆，满足两个量子化条件。 上的椭圆，满足两个量子化条件。 原子处在外磁场中运动时， 原子处在外磁场中运动时，电子的轨道运动是三维空间的 曲线运动。需要三个量子化条件。 曲线运动。需要三个量子化条件。 P
ψ
第三个广义坐标与电子轨道 平面在磁场中的取向有关。 平面在磁场中的取向有关。 的方向。 Z 轴取在外磁场 B 的方向。 α：轨道角动量与极轴之间的夹角
r r
nr 径向量子数
nϕ 角量子数 nψ 磁量子数
θ
α
Ze
ϕ ψ
N
r
−e
其中 pϕ是守恒量，可以解出： pϕ = nϕ h / 2π，nϕ = 1, 2,3,⋯ 是守恒量，可以解出：
pψ 也是守恒量,可以解出： 也是守恒量,可以解出：
pψ = nψ h / 2π，nψΨ= 1, 2,3,⋯ n 为整数
h 当nϕ = 3时，pϕ = 3 ，nψ = +3, +2, +1, 0, −1, −2, −3 2π
2 1 1 2 cos α = 1, , ,0, − , − , −1, 3 3 3 3
α = 0 , 48 47`, 70 29`,90 ,109 31`,131 13`,180 ,
nψ = +3
§2.6、史特恩－盖拉赫实验 2.6、史特恩－ 原子空间取向的量子化
一、电子轨道运动的磁矩 电子的轨道运动相当于一个闭合电流
µ = iA
dϕ
i 电子的电流为： 电子的电流为： =
e
τ
r
i
电路所包围的面积： 电路所包围的面积： 2π τ τ pφ 1 1 2 1 2 A = ∫ r ⋅ rdφ = ∫ r ω dt = ∫ mr ωdt = 2m τ 2 20 2m 0 0
Pφ
Z
θ
α
Ze
ϕ ψ
N
r
−e
r :电子的径向位置
ϕ ：r 在轨道平面的方位角 ψ：r 在水平面上的投影所具有的方位角
选取广义坐标：r , ϕ ,ψ
广义动量：线动量Pr , 角动量P , P 在外磁场的分量P ϕ ϕ ψ
P ψ
量子化条件： 量子化条件：
Pφ
Z
∫ p dr = n h ∫ pϕ dϕ = nϕ h ∫ pψ dψ = nψ h
pψ 是 pϕ 在外磁场方向上的分量，故得： pψ = pϕ cos α 在外磁场方向上的分量，故得：
比较可得： 比较可得： −1 ≤ nψ / nϕ ≤ 1 ( −1 ≤ cos α ≤ 1) ，
n 可取下列值： 对于给定的 nϕ ， ψ可取下列值： nψ = ± nϕ , ± (nϕ − 1), ± (nϕ − 2),⋯ , ±2, ±1, 0