第四章 周期信号的频谱分析
信号与系统第4章 周期信号的频域分析(3学时)
T0 /2
0
x(t )sin(n 0t )dt
四、信号对称性与傅里叶系数的关系
3、半波重迭信号
~ x (t ) ~ x (t T0 / 2)
~ x (t )
A t
T0
T0 / 2 0
T0 / 2
T0
特点： 只含有正弦与余弦的偶次谐波分量，而无奇次谐波分量。
四、信号对称性与傅里叶系数的关系
~ x (t )
2 1 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4
~ x (t ) ~ x1 (t ) ~ x2 (t )
nπ nπt t~ x (t ) 1.5 Sa ( ) cos( ) 2 2 n 1
~ x1 (t )
2
x 1(t ) 2
1 2 3 4
-4 -3 -2 -1
三、周期信号的功率谱
一、周期信号频谱的概念
连续时间周期信号可以表示为虚指数信号之和，其 中Cn 为傅里叶系数 。
~ x (t )
n =
Cn e
jn0t
1 Cn T0
T0 t 0
t0
~ x (t )e jn 0t dt
问题1：不同信号的傅里叶级数形式是否相同？ 相同 问题2：不同信号的傅里叶级数不同表现在哪里？ 系数
例3 课本P129
例4 已知连续周期信号的频谱如图，试写出信号的 Fourier级数表示式。 Cn
3 2 1 1 3 4 3 2
9
6
0
3
6
9
n
解： 由图可知 C0 4
C 1 3
C2 1
C 3 2
~ x (t )
第四章_周期信号的频谱分析
第四章 周期信号的频域分析1. 内容提要本章介绍连续周期信号的傅立叶级数及其基本性质；连续周期信号频谱的概念，相位谱的作用。
对离散周期信号傅立叶级数和其基本性质做简单了解。
2. 学习目标通过本章的学习，应达到以下要求：（1）掌握周期信号频谱的概念及信号频带宽度的概念。
（2）熟悉傅里叶变换的主要性质。
（3）熟悉频域分析法。
（4）了解离散傅立叶级数的概念3. 重点难点（1） 信号的对称性和傅立叶系数的关系（2） 连续信号的频谱分析，包括周期信号频谱的概念，相位谱和功率谱。
4. 应用周期信号频域分析的MATLAB 实现5. 教案内容4.1 连续时间信号的傅立叶变换周期信号的定义周期信号是定义在001/f T =(,)-∞∞区间，每隔一定的时间间隔0T ，按相同规律重复变化的信号。
即对t R ∀∈，存在一个大于零的0T ，使得0()(),f t T f t t R+=∀∈其中0T 为基波周期，002/T ωπ=为基波角频率，001/f T =为基波频率傅立叶级数的实质就是将复杂信号分解成为更容易处理的信号形式。
4.1.1 指数形式的傅里叶级数连续时间信号的傅立叶级数表示为0()jnw tn n f t C e∞=-∞=∑称C 为周期信号()f t 的傅立叶系数。
傅立叶系数的计算公式为00001()t T jn tt C n f t edtT ω+-=⎰4.1.2 三角形式的傅立叶级数若函数()f t 满足狄里赫利条件，周期信号f(t) 展开成傅里叶级数。
01111212111()cos sin cos 2sin 2cos sin n n f t a a t b t a t b ta n tb n t ωωωωωω=++++++++0111(cos sin )nn n a an t b n t ωω∞==++∑式中，n 为正整数；系数0,,n n a a b 称为傅里叶系数，考虑到三角函数集是一组完备的正交函数集，因此，可得一个周期1(0,)T 的傅里叶系数：11120011211()()T T T a f t dt f t dtT T -==⎰⎰11012()cos T n a f t n tdt T ω=⎰11012()sin T n b f t n tdtT ω=⎰4.1.3 信号的对称性和Fourier 系数的关系4.2 连续时间傅立叶级数的基本性质1、线性若11()()f t F ω↔，22()()f t F ω↔，则对于任意常数a 1和a 2，有：11221122()()()()a f t a f t a F a F ωω+↔+2、时移特性若()()f t F ω↔，则0()()j t f t t F eωω±±↔式中，0t 为常数。
第四章 周期信号的频域分析
c n = c n e − jϕ n 令： &
∞ 1 ∞ jnω t & & ∴ f (t ) = ∑ cn e = ∑ Fn e jnω t 2 n = −∞ n = −∞
& = 1 c 称为复傅里叶系数。 &n Fn 2
表明任意周期信号可以表示成 e jnω t 的线性组合， & 加权因子为 Fn 。
a− k e
− jkω0t
…
+ ak e
jkω0t
k 次谐波
例4－1：已知连续时间信号 f (t ) = 1 + cos ω0t + 2sin ( 3ω0t ) 求其傅立叶级数表示式及傅氏系数 ak ∞ 1 f (t ) = ∑ ak e jkω t 解： ak = ∫ f (t )e − jkω0t dt
不满足狄里赫利条件的周期信号
f (t )
狄里赫利条件 1 信号 f (t) 在任意一 个周期 T 内绝对可积
−2
f (t ) =
1 , 0 < t ≤1 t2
不满足条件 1
1
−1
0
1
2
t
2 信号 f (t) 在任意一
f (t )
个周期 T 内，只有有 限个极大和极小值点
3 信号 f (t) 在任意一
0
T1 T / 2
T
t
−T
−T1
0
T1
T
N =5
t
取 N =1, 5, 21, 81,用有限项傅氏级 数逼近连续时间周期脉冲信号 f (t)
ˆ f (t )
吉布斯（Gibbs）现象
信号的跳变点附近出现纹波 随项数增加，波纹峰值大小不 变，但被挤向信号的间断点处 信号连续点处傅氏级数收敛于信 号本身 信号跳变点处，傅氏级数收敛于 该处左极限和右极限的平均值
§4.3 周期信号的频谱共15页PPT资料
1cos t
2 4 3
是f(t)的(π/4)/(π/12 )=3次谐波分量；
14cos3t
2
3
是f(t)的(π/3)/(π/12
)=4次谐波分量；
画出f(t)的单边振幅频谱图、相位频谱图如图
An
A0 1
2
n
3
1
21
4
o
12
6
4
3
ω
(a)
P111211237 22 24 32
T
2π
O 2
(1)包络线形状：抽样函数 (2其 ) 最大n 值 0处 在， 。 为
(3)离散谱（谐波性）
当ωnΩ时 取
值（令 4)第 n 2一个 零 点坐n 标＝ 2π2 ： π
T
（5）Fn是复函数（此 函数 处） 为， 实幅度/相
F n0 ，相 0 ， F 位 n0 ,相 为 位 π。 为 ▲
面上得到的两个图，分别称为振幅频谱图和相位频 谱图。因为n≥0，所以称这种频谱为单边谱。
也可画|Fn|~ω和n~ω的关系，称为双边谱。若Fn
为实数，也可直接画Fn 。
▲
■
第 2页
频谱图示（单边）
幅度频谱
An ~ 或 Fn ~ 曲线
An A1
A0
2
A3
O 3
相位频谱
n
n ~曲线
■
第 10 页
周期信号频谱的特点
(1)周期信号的频谱具有谐波(离散)性。谱线位置是基频 Ω的整数倍；(2)一般具有收敛性。总趋势减小。
谱线的结构与波形参数的关系 T一定，变小，此时（谱线间隔）不变。两零点之 间的谱线数目：1/=（2/）/(2/T)=T/ 增多。
通信原理第四章word版
第四章.连续时间信号与系统频域分析一.周期信号的频谱分析1. 简谐振荡信号是线性时不变系统的本征信号：()()()()()j tj t j tj y t eh t eh d ee h d ωωτωωτττττ∞∞---∞-∞=*==⋅⎰⎰简谐振荡信号傅里叶变换：()()j H j e h d ωτωττ∞--∞=⎰点 测 法： ()()j t y t e H j ωω=⋅ 2.傅里叶级数和傅里叶变换3.荻里赫勒（Dirichlet ）条件（只要满足这个条件信号就可以用傅里叶级数展开）○1()f t 绝对可积，即00()t T t f t dt +<∞⎰○2()f t 的极大值和极小值的数目应有限 ○3()f t 如有间断点，间断点的数目应有限4.周期信号的傅里叶级数5.波形对称性与谐波特性的关系6.周期矩形脉冲信号7.线性时不变系统对周期信号的响应一般周期信号：()jn tnn F ef t ∞Ω=-∞=∑系统的输出 ：()()jn tnn F H jn t e y t ∞Ω=-∞Ω=∑ 二.非周期信号的傅里叶变换（备注）二.非周期信号的傅里叶变换1.连续傅里叶变换性质2.常用傅里叶变换对四.无失真传输1.输入信号()f t 与输出信号()f y t 的关系 时域： ()()f d y t kf t t =-频域：()()dj t f Y ke F ωωω-=2.无失真传输系统函数()H ω ()()()d f j t Y H ke F ωωωω-==无失真传输满足的两个条件：○1幅频特性：()H k ω= （k 为非零常数） 在整个频率范围内为非零常数 ○2相频特性：ϕ()d t ωω=- （ 0d t > ）在整个频率范围内是过坐标原点的一条斜率为负的直线3. 信号的滤波：通过系统后 ○1产生“预定”失真○2改变一个信号所含频率分量大小 ○3全部滤除某些频率分量 4.理想低通滤波器不存在理由：单位冲击响应信号()t δ是在0t =时刻加入滤波器 的，而输出在0t <时刻就有了，违反了因果律5.连续时间系统实现的准则时 域 特 性 ： ()()()h t h t u t =（因果条件） 频 域 特 性 ： 2()H d ωω∞-∞<∞⎰佩利-维纳准则（必要条件）：22()1H d ωωω∞-∞<∞+⎰五.滤波。
周期信号频谱分析
实验名称：周期信号的频谱分析教材名称：电工电子实验技术（下册）页码：P142 实验目的：1、了解和掌握周期信号频谱分析的基本概念；2、掌握Multisim软件用于频谱分析的基本方法；3、加深理解周期信号时域参数变化对其谐波分量的影响及变化趋势。
实验任务：1、根据9－1给定的波形和参数测量各谐波分量的幅度值。
2、根据所测数据绘制每一波形的谱线图。
设计提示：实验电路图：图一、分析用电路及信号发生器调整窗口实验结果：表9－1数据：周期信号的频谱分析（Multisim）0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 矩形波10％－4.023 1.923 1.833 1.689 1.499 1.273 1.024 0.763 0.506 0.263 0.047 矩形波30％－2.023 5.123 3.040 0.699 0.897 1.271 0.659 0.236 0.739 0.595 0.046 矩形波50％－0.022 6.366 0.045 2.121 0.045 1.271 0.045 0.906 0.045 0.703 0.045 正弦波0 4.999 0 0 0 0 0 0 0 0 0三角波50％0 4.053 0 0.451 0 0.162 0 0.083 0 0.050 0三角波70％0 3.903 1.147 0.166 0.177 0.193 0.079 0.030 0.072 0.048 0三角波90％0 3.479 1.654 1.012 0.669 0.450 0.298 0.186 0.103 0.043 0N 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 注：谱线数取10＋直流。
矩形波10％：矩形波30％：矩形波50％：正弦波50％：三角波50％：三角波70％：三角波90％：实验中注意事项：1、仿真过程中要在Simulate/Fourier Analysis/Output Variables中添加要进行分析的节点。
信号系统(陈后金)第4章-信号的频域分析
0 2 lim[ 2 ] 2 0 + w
2 w dw 2arctg( ) 2 2 2 +w
f (t )
dt (t )e jwt dt 1
(t )
(1)
1
F (w )
0
t
0
w
单位冲激信号及其频谱
(4) 直流信号
直流信号不满足绝对可积条件,可采用极限 的方法求出其傅里叶变换。
F [1] lim F [1 e
0
| t|
2 ] 2 (w ) ] lim[ 2 2 0 + w
符号表示：
F ( jw ) F[ f (t )] f (t ) F 1[ F ( jw )]
或
f (t ) F ( jw )
F
狄里赫莱条件
（1）非周期信号在无限区间上绝对可积
f (t ) dt
（2）在任意有限区间内，信号只有有限个最大值 和最小值。 （3）在任意有限区间内，信号仅有有限个不连续点， 且这些点必须是有限值。 狄里赫莱条件是充分不必要条件
P 1
2 2 2 | C ( n w ) | C ( 0 ) + 2 | C ( n w ) | 0.1806 0 0 n =1 4 4
n =—4
P 0.1806 1 90 % P 0.200
周期矩形脉冲信号包含在有效带宽内的各谐波平均功 率之和占整个信号平均功率的90%。
虚指数信号 正弦型信号单位冲激序列
• 常见周期信号的频谱密度
1. 常见非周期信号的频谱
(1) 单边指数信号
第四章(2)周期信号的频谱
周期性矩形脉冲信号的频谱还有自己的特点 周期性矩形脉冲信号的频谱还有自己的特点 : 1、各谱线的幅度按包络线 T 、
ωτ
= m π ( m = ±1, ± 2,...)
τ
Sa (
ωτ
2
) 的规律变化。 的规律变化。
各处， 的各处， 在 2 各处，即 的各处， τ 包络为零，其相应的谱线， 包络为零，其相应的谱线，亦即相应的频谱分量也等 于零。 于零。 2、周期矩形脉冲信号包含无限多条谱线，也就是说， 、周期矩形脉冲信号包含无限多条谱线，也就是说， 它可分解为无限多个频率分量。 它可分解为无限多个频率分量。 通常把频率范围 0 ≤ f ≤ τ (0 ≤ ω ≤ τ ) 称为周期矩形脉冲 带宽， 表示， 信号的带宽 信号的带宽，用符号 ∆F 表示，即周期矩形脉冲信 1 号的频带宽度为 ∆F = 。 τ
Fn F ( jω ) = lim = lim FnT T →∞ 1 / T T →∞
为频谱密度函数。 称 F ( jω )为频谱密度函数。
Fn lim = lim FnT 如何求频谱密度函数？ 如何求频谱密度函数？ F ( jω ) = T →∞ 1 / T T →∞
由式 f ( t ) =
n = −∞
T 2T f (t) T=8τ
0
3T
4T t
0 1/ 8
T f (t) T=16τ
0
2T
t
0 1/16
0
T
t
0
f (t) T→∞ τ/T
0 t 0
图4.3-5 周期与频谱的关系
思考： 思考：
1 1 1 f (t ) = [sin(Ωt ) + sin(3Ωt ) + sin(5Ωt ) + .... + sin(nΩt ) + ...] 3 5 n π 4
第四章周期信号傅里叶级数
f(t)1.5 S(anπ)conπ st()
n1 2
2
t
f (t) = f1(t) f2(t)
-4 -3 -2 -1
1 2 34
f 2 (t )
1
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
t
f2(t)0.5n 1S(an2π)con2 π st()
t
说明：某些信号波形经上下或左右平移 后，才呈现出某种对称特性，也有某些 信号波形可以由我们熟悉的基本信号的 波形进行简单的计算得到。因此，我们 可以利用傅里叶性质简化傅里叶级数的 计算。教材P147例3.6、例3.7
n 1
C 0
C nejn0t C nejn0t
C nejn0t和 C nejn0t共 轭
n1
C02 ReC(nejn0t )
n1
令
Cn
an
jbn 2
由于C0是实的，所以b0=0，故
C0
a0 2
由此可以推出：
三角形式傅立叶级数
连续时间周期信号三角形式傅立叶级数为：
f(t)a 2 0n 1anco n0 stn 1b nsinn0t
1(t e j n 0 t 00 e j n 0 td tt e j n 0 t 1 1 e j n 0 td )t
2 jn 0
1 1
00
(n1)2 (cons1)
0
2
T
例2 试计算图示周期三角脉冲信号的傅里叶级数 展开式。
f (t)
-2 1 0 2
t
解: 该周期信号f (t)显然满足狄里赫勒的三个条件，Cn存在
n ()
Cn
1
n1
n1
1
例1 周期矩形脉冲信号的频谱图
《周期信号的频谱》PPT课件
n
n0
• 例：
试求周期矩形脉冲信号在其有效带宽内谐波分量所具有的平 均功率占整个信号平均功率的百分比。其中A=1，T=1/4， =1/20。
fT (t)
A
T
T
t
2
2
• 解： 周期矩形脉冲的傅立叶复系数为：
Fn
A
T
S
a(n1)＝A
2T
sinn(1)
2
n1
2
将A=1，T=1/4，=1/20，代入：
F n 0 . 2 S ( n 1 a / 4 ) 0 0 . 2 S ( n / a 5 )
信号的平均功率为：P1 T/2 f2(t)dt0.2
T T/2
包含在有效带宽内的各谐波平均功率为：
有效带宽为： 0~2(rad/s) 0~40(ra/sd)
1 8
在带宽范围内有基波、二次、三次、四次谐波分量：
T(t) (tnT)
n
δT(t)
n=0, 1, 2, ….
-3T -2T -T 0 T 2T 3T t
系数：
F n
1 T
T 2
T 2
f (t )e jn1t d t
1
T 2
( t ) e d jn 1t t
T
T 2
1 T
则 ： f (t )
F e jn1t n
n
T (t )
An、n 均为 n1 的复函数，
分别组成 f(t) 的第 n 次谐波分量的振幅和相位。
振幅频谱
频谱图
相位频谱
以振幅为纵坐标所画出的谱线图 以ω为横坐标
以相位为纵坐标所得到的谱线图
• 试画振幅谱和相位谱
矩形波
实验四、周期信号的傅里叶级数和频谱分析
实验四、周期信号的傅里叶级数和频谱分析1实验目的1）学会利用MATLAB 分析傅里叶级数展开，并理解傅里叶级数的物理含义； 2）学会利用MATLAB 分析周期信号的频谱特性。
2实验原理及实例分析2.1 周期信号的傅里叶级数（基本原理请参阅教材第四章的4.1节和4.2节。
）例1：周期方波信号)(t f 如图1所示，试求出该信号的傅里叶级数，利用MATLAB 编程实现其各次谐波的叠加，并验证Gibbs 现象。
f(t)t(sec)图1 周期方波信号)(t f 的波形图解：从理论分析可知，周期方波信号)(t f 的傅里叶级数展开式为)9sin 917sin 715sin 513sin 31(sin 4)(00000 +++++=t t t t t t f ωωωωωπ其中，ππω220==T。
则可分别求出1、3、5、9、19、39、79、159项傅里叶级数求和的结果，其MATLAB 程序如下，产生的图形如图2所示。
close all;clear all; clct = -2:0.0001:2; omega = 2 * pi;y = square(2 * pi * t,50); n_max = [1 3 5 9 19 39 79 159]; N = length(n_max); for k = 1:Nfk = zeros(1,length(t)); for n = 1:2:n_max(k) bn = 4 / (pi * n);fk = fk + bn * sin(n * omega * t); endfigure; plot(t,y,t,fk,'Linewidth',2); xlabel('t(sec)');ylabel('部分和的波形'); String = ['最大谐波数=',num2str(n_max(k))];axis([-2 2 -3 3]);grid; title(String);disp([String,'时，在信号跳变点附近的过冲幅度（%）']);f_max = (max(fk) - max(y)) / (max(y) - min(y)) * 100 endt(sec)部分和的波形最大谐波数=1t(sec)部分和的波形最大谐波数=3t(sec)部分和的波形最大谐波数=5t(sec)部分和的波形最大谐波数=9t(sec)部分和的波形最大谐波数=19t(sec)部分和的波形最大谐波数=39t(sec)部分和的波形最大谐波数=79t(sec)部分和的波形最大谐波数=159图2 例1程序产生的图形程序输出的用于验证Gibbs 现象的数值分别为：13.6620 10.0211 9.4178 9.1164 8.9907 8.9594 8.9484 8.94642.2周期信号的频谱分析（基本原理请参阅教材第四章的4.3节。
第四章(1)周期信号的傅里叶级数和频谱
1 j n jnt f ( t ) An e e 2 n
1 j n j n 令复数量 2 An e Fn e Fn
，称其为复
Fn
傅里叶系数，简称傅里叶系数。其模为
，
相角为 n ， 则得傅里叶级数的指数形式为 ：
f (t )
n
F e
n
jnt
复傅里叶系数
n 2 , 4 , 6 , 8 ,...... n 1 , 3 , 5 , 7 ,.....
, 0 bn 4 n ,
4
1 1 1 f t [sin t sin3t sin5t .... sinnt ...] 3 5 n
2
0
T 2
2 an 0 T
n 0,1 , 2 , 3,.......
2 bn T 2 T
0
T 2 T 2
f ( t ) si nnt dt
2 T2 (1) si nnt dt T
0
T 2 0
si nnt dt
T 2
2 1 2 1 cosnt cosnt T T n T n 0
a0 an cos(nt ) bn sin(nt ) 2 n1 n 1 2 其中 an , bn 称为傅里叶系数， 。 T
那么,傅里叶系数如何求得呢?
T 2 T 2
a0 1 2 T
f ( t )dt
T 2 2 an T f ( t ) cos(nt )dt T 2 T b 2 2 f ( t ) sin( t )dt n n T T 2
A0 1 1 j n jnt j n jnt Ane e Ane e 2 2 n 1 2 n 1
周期信号的频谱分析
周期信号的频谱分析周期信号是指在一定时间内重复出现的信号，其频谱分析是对周期信号在频域上的描述和分析。
频谱分析是信号处理领域中的重要内容，它能够揭示周期信号的频率成分以及它们在信号中的相对强度。
周期信号可以用正弦函数来表示，即一个频率为f的正弦波。
频谱分析的目的就是要确定这个周期信号中包含的各个频率成分。
为了进行频谱分析，我们通常使用傅里叶变换。
傅里叶变换可以将一个周期信号转换为一系列频率成分的复数表示。
傅里叶变换将一个周期信号分解成一系列复振幅和相位分量。
复振幅表示了信号中每个频率分量的强度，而相位则表示了每个频率分量的相对位置。
通过傅里叶变换，我们可以得到一个频谱图，它显示了信号中各个频率成分的幅度和相位信息。
在频谱图中，横轴表示频率，纵轴表示振幅。
每个频率成分对应的幅度可以通过幅度谱来表示，而相位信息则可以通过相位谱来表示。
通过分析频谱图，我们可以得到周期信号中的主要频率成分、频率分量的强度以及它们在信号中的相对位置。
频谱分析在信号处理领域中有着广泛的应用。
例如，它可以用于音频信号的处理与分析。
在音频信号中，不同的频率成分对应着不同的音调和音色。
通过频谱分析，我们可以识别音频信号中的主要频率分量，从而实现对音频信号的合成、去噪等处理操作。
另外，频谱分析也可以用于振动信号和通信信号的分析。
在振动信号分析中，频谱分析可以帮助我们了解结构的固有频率以及存在的振动模态。
而在通信信号分析中，频谱分析可以帮助我们了解信号的带宽和调制方式，从而实现信号的解调和解码。
总之，周期信号的频谱分析是对周期信号在频域上的描述和分析。
通过傅里叶变换，我们可以将周期信号分解成一系列频率成分，并通过频谱图来展示这些成分的幅度和相位信息。
频谱分析在信号处理领域中有着广泛的应用，对于理解和处理周期信号具有重要作用。
3.2.1 周期信号的频谱周期信号的频谱分析——傅里叶级数
4
狄利克雷（Dirichlet）条件 条件1：在一周期内，如果有间断点存在，则间断点的 数目应是有限个。
条件2：在一周期内，极大值和极小值的数目应是有 限个；
条件3:在一周期内，信号绝对可积;
5
狄利克雷（Dirichlet）条件1:例1 不满足条件1的例子如下图所示，这个信号的周期 为8，它是这样组成的：后一个阶梯的高度和宽度是前一 个阶梯的一半。可见在一个周期内它的面积不会超过8， 但不连续点的数目是无穷多个。
0
1
1
0
1
2 1
2 1
指数形式的频谱图
F n 1
0.15
n
0.5
1.12
1
1.12
0.5
2 1
0.15 2 1
1
0.25
2 1 1
0
1
1
0
0.15
2 1
0.25
21
四．总结
（1）周期信号f(t)的傅里叶级数有两种形式
满足离散性，谐波性不满足收敛性，频带无限宽
26
一．频谱结构
f (t ) E
/ 2
脉宽为 脉冲高度为E 周期为T1
T1
/2
T1
t
1. 指数函数形式的谱系数
2. 频谱特点
27
1．指数形式的谱系数
1 F ( n 1 ) T1
1 = T1
jn 1 t
T1
T1
2 2
f ( t )e jn1t d t
bn n tg a n
1
关于的偶函数（实际 n 取正值） 关于的奇函数（实际 n 取正值） 关于的偶函数 关于 的奇函数
「实验三_周期信号的频谱分析」
「实验三_周期信号的频谱分析」实验三：周期信号的频谱分析一、实验目的掌握周期信号的频谱分析方法；通过实验了解正弦信号、方波信号和三角波信号的频谱特性。
二、实验原理周期信号是指在一定时间内重复出现的信号。
常见的周期信号有正弦信号、方波信号和三角波信号等。
频谱分析是将一个信号分解为一系列频率不同的正弦波的过程，通过频谱分析可以得到信号的频谱特性。
三、实验仪器和材料示波器、函数发生器。
四、实验步骤1.将示波器接通电源，调整示波器的触发源和扫描范围。
2.将函数发生器接通电源，调整相应的频率和幅度。
3.将函数发生器的输出端和示波器的输入端连接。
4.观察示波器上显示的波形，并记录下相应的频率和幅度。
5.通过示波器的操作界面，进行频谱分析，得到信号的频谱特性。
五、实验结果和分析结果显示，正弦信号的频谱特性为单频信号，频率为1000Hz，幅度为2V。
结果显示，方波信号的频谱特性为含有多个奇次谐波的信号，相邻谐波之间的幅度逐渐减小。
结果显示，三角波信号的频谱特性为包含有一系列奇次和偶次谐波的信号，谐波的幅度逐渐减小。
六、实验结论通过实验，我们了解了正弦信号、方波信号和三角波信号的频谱特性。
正弦信号的频谱特性为单频信号，方波信号的频谱特性为含有多个奇次谐波的信号，三角波信号的频谱特性为包含有一系列奇次和偶次谐波的信号。
七、实验总结通过本次实验，我们对周期信号的频谱分析有了更深入的了解。
频谱分析是了解一个周期信号频率特征的重要手段，通过分析信号的频谱可以得到信号的频率分量和相应的幅度。
实验中我们主要观察了正弦信号、方波信号和三角波信号的频谱特性，并通过示波器进行了频谱分析。
通过实验可以直观地观察到不同类型信号的频谱特性，加深对周期信号的认识。
第四章周期信号的频谱分析
第四章周期信号的频谱分析
4.1一个周期信号的频谱分析简介
频谱分析是一种多用途的工具，用于研究和分析周期信号的特性。
它
可以提取出信号的峰值、频率和其他特性，因此可以帮助您更好地了解和
控制信号变化。
频谱分析是一种时域到频域的过程，即将信号从时域量化为频谱量化。
频谱分析可以有效地提取信号中的特性信息，例如频率和峰值等，而这些
信息是不受时域离散程度影响的。
一个周期信号的频谱分析由三个步骤组成。
首先，周期信号需要被采样，这样才能得到有限的数字序列。
其次，在采样的基础上，频谱分析得
到不同频率分量的参数，以及沿着特定频率偏移的相位信息。
最后，所有
这些参数和信息都通过频谱图和频谱曲线等形式进行可视化。
4.2频谱分析的基础
要进行周期信号的频谱分析，首先需要考虑一些基础知识。
首先，需
要理解如何在时域量化信号，以及在信号时域量化以后如何进行频域量化。
时域量化的过程是指将连续的模拟信号离散化为一系列数字值，以便
更容易处理。
当量化信号时，通常使用正弦来表示，而此正弦的参数包括
幅值、频率和相位。
在频域量化过程中。
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第四章 周期信号的频域分析
1. 内容提要
本章介绍连续周期信号的傅立叶级数及其基本性质；连续周期信号频谱的概念，相位谱的作用。
对离散周期信号傅立叶级数和其基本性质做简单了解。
2. 学习目标
通过本章的学习，应达到以下要求：
（1）掌握周期信号频谱的概念及信号频带宽度的概念。
（2）熟悉傅里叶变换的主要性质。
（3）熟悉频域分析法。
（4）了解离散傅立叶级数的概念
3. 重点难点
（1） 信号的对称性和傅立叶系数的关系
（2） 连续信号的频谱分析，包括周期信号频谱的概念，相位谱和功率谱。
4. 应用
周期信号频域分析的MATLAB 实现
5. 教案内容
4.1 连续时间信号的傅立叶变换
周期信号的定义
周期信号是定义在001/f T =(,)-∞∞区间，每隔一定的时间间隔0T ，按相同规律重复变化的信号。
即对t R ∀∈，存在一个大于零的0T ，使得
0()(),f t T f t t R +=∀∈
其中0T 为基波周期，002/T ωπ=为基波角频率，001/f T =为基波频率
傅立叶级数的实质
就是将复杂信号分解成为更容易处理的信号形式。
4.1.1 指数形式的傅里叶级数
连续时间信号的傅立叶级数表示为
0()jnw t n n f t C e ∞
=-∞
=
∑
称n C 为周期信号()f t 的傅立叶系数。
傅立叶系数的计算公式为
00
00
1()t T jn t t Cn f t e dt T ω+-=
⎰
4.1.2 三角形式的傅立叶级数
若函数()f t 满足狄里赫利条件，周期信号f(t) 展开成傅里叶级数。
01111212111()cos sin cos 2sin 2cos sin n n f t a a t b t a t b t
a n t
b n t ωωωωωω=++++++++L L
0111
(cos sin )n n n a a n t b n t ωω∞
==++∑
式中，n 为正整数；系数0,,n n a a b 称为傅里叶系数，考虑到三角函数集是一组完备的正交函数集，因此，可得一个周期1(0,)T 的傅里叶系数：
1
11200112
11()()T
T T a f t dt f t dt T T -==⎰⎰
1
10
12()cos T n a f t n tdt T ω=⎰
1
10
12()sin T n b f t n tdt T ω=⎰
4.1.3 信号的对称性和Fourier 系数的关系
4.2 连续时间傅立叶级数的基本性质
1、线性
若11()()f t F ω↔，22()()f t F ω↔，则对于任意常数a 1和a 2，有：
11221122()()()()a f t a f t a F a F ωω+↔+
2、时移特性
若()()f t F ω↔，则
00()()j t f t t F e ωω±±↔
式中，0t 为常数。
3、卷积特性
若11()()f t F ω↔，22()()f t F ω↔，则
1212()()()()f t f t F F ωω*↔⋅
图4-1 时域卷积运算
图4-2 频域相乘运算
4、微分特性
设()f t 是以0T 为周期的周期信号，其傅立叶系数为
()n f t C ↔
则()f t 导数'()f t 的傅立叶系数为
'0()n f t jn C ω↔
若'()f t 的傅立叶系数为n D ，则()f t 的傅立叶系数为
0/,0n n C D jn n ω=≠
4.3 连续周期信号的频谱分析
4.3.1 周期信号频谱的概念
周期信号()f t 的指数形式傅立叶系数n C 一般为复函数，可表示为
0n
j n n C C e n ϕω=
n C 随频率变化的特性，称为信号的幅度频谱，简称幅度谱。
n ϕ随频率变化的特性称为信号的相位频谱，简称相位谱。
2
-
2
t
2
-2
t
=
*
τ
τ-⨯
=
注：若()f t 为实信号，则()f t 的幅度频谱为偶对称，相位频谱为奇对称。
周期信号频谱的特性：
1、离散频谱特性
所有周期信号的频谱都是由间隔为0ω的谱线组成，即离散频谱。
2、幅度衰减特性
周期信号的幅度频谱随着谐波0n ω增大时，幅度频谱n C 逐渐衰减，并最终趋于零。
4.3.2 相位谱的作用
谐波的相位使得各个谐波分量的幅度在不连续点前几乎都取相同的符号，在不连续点后各谐波分量的幅度取相反的符号。
4.3.3 信号的有效带宽
通常将包含主要谐波分量的0~2/πτ这段频率范围称为周期矩形脉冲信号的有效频带宽度（简称有效带宽），以符号或B f 表示，即有
2/B ωπτ=，1/B f τ=
4.3.4 周期信号的功率谱
1、Parseval 功率守恒定理
2n
n P C
∞
=-∞
=
∑
式中，n C 函数()f t 的傅立叶系数。
2、功率谱
上式中2
n C 随0n ω分布的特性称为周期信号的功率频谱，简称功率谱。
6. 例题
【例4-1】填空：
1、设()f t 为实信号，则()f t 的幅度频谱为（ ）对称，相位频谱为（ ）对称。
2、对t R ∀∈，存在一个大于零的0T ，有0()(),f t T f t t R +=∀∈，则信号()
f t
的基波周期为（ ），基波角频率为（ ），基波频率为（ ）。
3、就离散性和连续性来讲。
所有周期信号的频谱都是（ ）频谱。
4、设存在一个周期为T ，脉冲宽度为2τ周期矩形脉冲，该脉冲频谱的有效带宽为（ ）。
【答案】 1、偶、奇
2、0T 、02/T π、01/T
3、离散
4、/πτ或1/2τ
【例4-2】利用傅立叶级数的性质求解信号的傅立叶变换。
()(1)2t
f t u =-求函数的付里叶变换。
(给定（1()()j at F a a ω↔
F 、1[()]()u t j πδωω
=+F ） 【 解 】由时移特性知：
0[()]()j t
f t t F e ωω--=F
0[()]()j t f t t F e ωω+=F
由1()()j at F a a
ω
↔
F ，得 0
01[()]()t j a f at t F e a a
ωω--=F
将
01/2,
1
a t ==代入，得
21
[(1)]2[(2)]22j t u e j ωπδωω
-∴-=+⋅F
（注F 为傅立叶变换的符号）
7. 习题解答
8. 本章小结
（1）任意连续的周期信号在满足狄里赫利条件下，都可以展开为傅里叶级数。
（2）傅里叶变换的性质更进一步地揭示了信号在产生、传输及处理的过程中，时域特性与频域特性的内在关系，从而奠定了信号与系统的理论基础。
（3）频域分析法把系统的激励和响应关系应用傅里叶变换从时域变换到频域。
9. 重点习题
1、例题4-1，例题4-2
2、习题3（教案中），习题8（4）和（6）（教案中）。